ecuacion_escalar_onda_20250826164147.pptx

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1. La Ecuación Escalar de la Onda Fundamentos matemáticos, derivaciones físicas, soluciones clásicas y aplicaciones prácticas en la propagación de ondas en medios unidimensionales y tridimensionales. ∂ ²u/ ∂ t² = c² · ∂ ²u/ ∂ x²

2. Introducción a las Ondas y Parámetros Fundamentales ¿Qué es una onda? Una onda es una perturbación que se propaga en un medio o en el espacio, transportando energía sin transportar materia. Matemáticamente, se describe como una función de posición y tiempo. Tipos de ondas Ondas Mecánicas Requieren un medio material para propagarse (sonido, ondas en agua, ondas sísmicas) Ondas Electromagnéticas Pueden propagarse en el vacío (luz, radio, rayos X) Parámetros fundamentales Amplitud (A) Desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio Longitud de onda (λ) Distancia entre dos puntos consecutivos en fase Frecuencia (f) Número de ciclos completos por segundo [Hz] Velocidad (v) Rapidez de propagación de la onda en el medio Relación fundamental: v = λ · f A λ x y Representación de una onda sinusoidal con sus parámetros principales Ejemplos cotidianos Sonido: ondas de presión en el aire Luz: ondas electromagnéticas Olas en el mar: ondas mecánicas en agua Radio: ondas electromagnéticas de baja frecuencia Terremotos: ondas sísmicas P y S

3. Derivación Matemática de la Ecuación de la Onda Planteamiento físico Consideramos una cuerda elástica bajo tensión T con densidad de masa ρ constante, y analizamos las vibraciones transversales de pequeña amplitud. Definimos u ( x , t ) como el desplazamiento vertical desde el eje x en posición x y tiempo t . Derivación desde principios físicos 1. Aplicación de la 2ª Ley de Newton Para un elemento infinitesimal de cuerda entre x 1 y x 2 , con Δ x = x 2 − x 1 . 2. Aproximación de pequeñas vibraciones Cuando Δ u ≪ Δ x , es decir, u x ≪ 1 : cos θ 2 ≈ cos θ 1 ≈ 1 sin θ 2 ≈ u x ( x 2 , t ) , sin θ 1 ≈ u x ( x 1 , t ) 3. Tensión constante y límite diferencial Con la aproximación anterior, la tensión es constante: T 1 = T 2 = T Dividiendo por Δ x y tomando el límite Δ x → : 4. Ecuación escalar de la onda Reordenando términos, obtenemos la ecuación final: x x ₁ x ₂ θ ₁ θ ₂ T ₁ T ₂ u(x,t) Análisis de fuerzas en un segmento infinitesimal de cuerda Análisis dimensional La ecuación obtenida describe cómo el cambio temporal de la onda depende de su curvatura espacial, escalada por la velocidad característica del medio. Tensión: [ T ] = m ⋅ l (fuerza) x ρ Δ x √ 1 + u 2 u tt = T 2 sin θ 2 − T 1 sin θ 1 x √ 1 + u 2 ≈ 1 ρ Δ xu tt = T ( u x ( x 2 , t ) − u x ( x 1 , t )) ρu tt = T ∂ 2 u ∂ x 2 ∂ 2 u 2 = c 2 ∂ u ∂ t 2 ∂ x 2 ρ donde c 2 = T y c es la velocidad de propagación de la onda t 2 Densidad: [ ρ ] = m (masa/longitud) Velocidad: [ c ] = l √ = T l ρ t

4. Soluciones Clásicas: d'Alembert y Ondas Sinusoidales Solución de d'Alembert La solución general para la ecuación de onda unidimensional fue desarrollada por Jean le Rond d'Alembert en 1747. Esta solución describe la onda como una superposición de ondas viajeras en direcciones opuestas: u(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct) Donde f representa una onda que viaja en dirección positiva con velocidad c , y g una onda que viaja en dirección negativa con la misma velocidad. Ondas Sinusoidales Las soluciones sinusoidales son casos particulares importantes de la solución general. Una onda sinusoidal armónica tiene la forma: u(x,t) = A sin(kx− ω t+ φ ) Número de onda (k) k = 2π/λ [rad/m] Frecuencia angular (ω) ω = 2πf [rad/s] Relación de Dispersión La relación entre la frecuencia angular ω y el número de onda k para ondas en la ecuación escalar es: ω = c·k Esta relación lineal indica que todas las componentes de frecuencia viajan a la misma velocidad c (no hay dispersión). Visualización de la solución de d'Alembert f(x- ct) g(x+ct) x y Ondas viajeras en direcciones opuestas Evolución temporal de una onda sinusoidal t ₁ t ₂ t ₃ Posiciones de la onda en diferentes instantes de tiempo Propiedades clave Las ondas mantienen su forma mientras se propagan La velocidad de propagación es constante La solución general es una superposición de ondas viajeras La forma de onda depende de las condiciones iniciales

5. Propiedades Físicas: Superposición, Interferencia y Reflexión Principio de Superposición Cuando dos o más ondas coinciden en un punto del espacio, la perturbación resultante es la suma algebraica de las perturbaciones individuales. Este principio es fundamental para comprender fenómenos como la interferencia. Interferencia Interferencia Constructiva Las ondas están en fase: sus amplitudes se suman. Ocurre cuando la diferencia de fase es 0, 2π, 4π... Interferencia Destructiva Las ondas están en contrafase: sus amplitudes se cancelan. Ocurre cuando la diferencia de fase es π, 3π, 5π... Reflexión y Transmisión Reflexión Cuando una onda incide en una frontera entre dos medios, parte de la energía regresa al medio original. La onda reflejada puede cambiar de fase según las condiciones de la frontera. Transmisión Parte de la energía de la onda incidente atraviesa la frontera y continúa en el segundo medio, generalmente con cambios en velocidad y longitud de onda. Ondas Estacionarias Resultado de la interferencia de dos ondas de igual amplitud y frecuencia que viajan en sentidos opuestos. Se caracterizan por tener puntos fijos que no oscilan (nodos) y puntos de máxima oscilación (antinodos). Nodos Puntos donde la amplitud de la onda es siempre cero. Permanecen inmóviles. Antinodos Puntos donde la amplitud de la onda es máxima. Oscilan entre valores extremos positivos y negativos. Superposición e Interferencia Construc Destructi Ondas Estacionarias Nodo Antinodo Ecuaciones principales Superposición: y(x,t) = y ₁ (x,t) + y ₂ (x,t) Onda estacionaria: y(x,t) = 2A·cos(kx)·sin(ωt) Condición nodos: x = nλ/2 (n = 0, 1, 2...)

6. Aplicaciones Prácticas de la Ecuación de Onda Ondas Sonoras Las ondas sonoras son vibraciones mecánicas que se propagan a través de medios materiales como gases, líquidos o sólidos. Ecuación de onda en acústica: ∇ ²p = (1/c²) ∂ ²p/ ∂ t² Donde p es la presión sonora y c es la velocidad del sonido en el medio. Aplicaciones: Diseño de salas de conciertos Ecografías médicas Sonar submarino Control de ruido Ejemplo: Ultrasonido médico Frecuencias: 2- 18 MHz Velocidad en tejidos: ~1540 m/s Ondas Electromagnéticas Las ondas electromagnéticas son oscilaciones de campos eléctricos y magnéticos perpendiculares entre sí que pueden propagarse en el vacío. Ecuación de onda electromagnética: ∇ ²E = μ ₀ ε ₀ ∂ ²E/ ∂ t² Donde E es el campo eléctrico, μ ₀ y ε ₀ son la permeabilidad y permitividad del vacío. Aplicaciones: Comunicaciones inalámbricas (radio, TV) Tecnología de microondas Imágenes médicas (rayos X) Fibra óptica Ejemplo: Wi-Fi (IEEE 802.11) Frecuencias: 2.4 GHz y 5 GHz Longitud de onda: ~12.5 cm (2.4 GHz) Ondas Sísmicas Las ondas sísmicas son perturbaciones elásticas que se propagan por la Tierra, generadas por terremotos o fuentes artificiales. Ecuación de onda sísmica: ρ ∂ ²u/ ∂ t² = μ ∇ ²u + (λ+μ) ∇ ( ∇ ·u) Donde u es el desplazamiento, ρ es la densidad, λ y μ son parámetros de Lamé. Tipos principales: Ondas P: Compresión, más rápidas (4- 7 km/s) Ondas S: Cizallamiento, más lentas (2- 5 km/s) Aplicaciones prácticas: Exploración petrolera Estudios de la estructura interna terrestre Detección de recursos minerales