ECUACIONES DE LA ELIPSE

1. Durante muchos siglos se consideró que las orbitas de los planetas
eran circunferenciales, con la Tierra como centro. Pero estudiando
las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del
planeta Marte, Kepler descubrió en 1610, que los planetas giran
alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elípticas y el sol
ocupa uno de los focos

2. 1
F
2
F
P(x,y)
X
Y
O
1
F
2
F
1
V
2
V
1
2
( , ) ( , ) tanP F d P F cons te+ =

3. Los elementos más importantes de la elipse son:
›FOCOS: Los puntos fijos
›RECTA FOCAL: La recta a la que pertenecen
los focos
›RECTA SECUNDARIA: La simetral del segmento
›CENTRO: Punto de intersección de las rectas focal y
secundaria y que equidista de los focos .
›VÉRTICES : Puntos de intersección de la elipse con la
recta focal. Se designan:
1 2
FyF
1 2
VV
1 2
BB
1 2
FF
1 2
VyV

4. •EJE MAYOR: Segmento que se
considera de longitud 2 a: a es el valor del
semieje mayor .
•EJE MENOR: Segmento de la recta
secundaria interceptada por la elipse . Se
considera de longitud 2b : b es el valor del
semieje menor.
•DISTANCIA FOCAL: Medida del segmento
Se considera de longitud 2c.
LADO RECTO : Cuerda focal
perpendicular a la recta focal o eje de
simetría . Su medida, como veremos más
adelante, es
1 2
VV
1 2
BB
1 2
FF
1 2
CC
2
2b
a

5. 1
B
2
B
1
V2
V
1
F
2
F
1
C
2
C
a
a
c c
b
a a

6. A toda elipse se le asocia un número real
que llamamos EXCENTRICIDAD DE LA ELIPSE,
designado por la letra e, y cuyo valor es :
c
e
a
=
c
a
Dado que la excentricidad depende de las medidas de c y a, su valor está
asociado con la forma de la respectiva elipse , es así que tenemos elipses
más o menos achatadas.
La excentricidad de la elipse es un número menor que 1.
Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto se forma
una circunferencia

7. 1
F
2
F
2
F
3
5
4
-4
-3 3
o
5
1
F
-4 4
5
Elipse de excentricidad e = Elipse de excentricidad e=
4
5
o
Ejemplo:

8. La ecuación canónica de la elipse es :
• Centro: C(0;0)
• 2a cantidad constante
• Eje focal : Eje “x”
• Focos: F1 (-c;0) y F2 (c;0)
• , 0 < c < a
2 2
2 2
1; ,
x y
a b R
a b
e+ =
y
X
V2(a,0)
V1(-a,0)
B1(0,b)
B2(0,-b)
P(x,y)
(eje focal en el eje X)
F2 (c;0)
F1 (-c;0)
C(0;0)
2 2 2 
a  b    c= +

9. La ecuación canónica de la elipse es :
• Centro: C(0;0)
• 2a cantidad constante
• Eje focal : Eje “Y”
• Focos: F1 (0;-c) y F2 (0;c)
• , 0 < c < a
Y
X
( Eje focal en el eje Y )
2 2
2 2
1
x y
b a
+ =
V1(0;a)
B1(-b;0)
P(x,y)
F1 (0;-c)
F2 (0; c)
C(0;0)
V2(0;-a)
B2( b;0)
2 2 2 
a  b    c= +

10. Determinar la ecuación de la elipse con
focos (0,6) y (0,-6) y semieje menor 8
Solución: eje focal coincide con el eje Y
Luego
2 2
2 2
1
x y
b a
+ =
c =6 ; b = 8 y a = 10
La ecuación pedida es :
2 2
1
64 100
x y
+ =

11. Encontremos los elementos de elipse de
ecuación
2 2
1
25 9
x y
+ =
2 2 2
b c a+ =Tenemos a = 5 y b = 3, además
2 2
2 2
1;
x y
a b
a b
+ = >
C = 4, los elementos de la elipse son :
FOCOS:
1 2
(4,0) ( 4,0)F yF -
EJE MAYOR : 2 a = 2·5 = 10
EJE MENOR : 2b = 2·3 = 6
LADO RECTO :
2
2 2·9 18
5 5
b
a
= =

12. EXCENTRICIDAD:
4
5
c
a
=
1
V
VERTICES: (5,0) y ( -5,0)
y
X
3
-3
5-5
4-4
1
F
2
F
2
V

13. Sea el centro de la elipse el punto C(h,k) y
el eje focal paralelo al eje X
1
F
2
F
h
k
O
Y
X
La ecuación principal de la
elipse con centro en C(h,k) es:
2 2
2 2
( ) ( )
1
x h y k
a b
- -
+ =

14. Al desarrollar los cuadrados de binomio, ordenando
la ecuación principal de la elipse e igualando a
cero, encontramos la ecuación equivalente ,
llamada ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
2 2
0Ax By Cx Dy F+ + + + =
A<B

15. Dada la ecuación principal de la elipse
2 2
( 3) ( 1)
1
8 9
x y- -
+ =
2 2
9 8 54 16 17 0x y x y+ - - + =
Determine la ecuación general de la elipse
Solución :

16. Determinemos los elementos de la elipse de ecuación:
Ordenamos la ecuación para completar los cuadrados de
binomio
2 2
5 9 80 54 221 0x y x y+ - + + =
2 2
2 2
2 2
2 2
5 80 9 54 221
5( 16 ) 9( 6 ) 221
5( 16 64) 9( 6 9) 221 320 81
1
5( 8) 9( 3) 180/·
180
x x y y
x x y y
x x y y
x y
- + + =-
- + + =-
- + + + + =- + +
- + + =
2 2
( 8) ( 3)
1
36 20
x y- +
+ =

17. Luego: h=8 y k =-3, (8,-3)
además
2
2
2 2 2 2
36 6
20 20 2 5
: 16 4
a a
b b
como a b c c c
= Þ =
= Þ = =
= + Þ = Þ =
1 2
2
cos: (12, 3) (4, 3)
:2 2·6 12
:2 2·2 5 4 5
2 2·20 40 20
Re
6 6 3
4 2
:
6 3
Fo F yF
EjeMayor a
EjeMenor b
b
Lado cto
a
c
Excentricidad
a
- -
= =
= =
= = =
= =
Como esta elipse ha sido trasladada con respecto a su posición canónica,
su eje focal también se ha trasladado en h=8 unidades. Por lo tanto, las
coordenadas de los focos son:

)3,2(
)3,14(
2
1
-=
-=
V
V
)3,2(
)3,14(
2
1
-=
-=
V
V

18. 1
F 2
F
·
8
-3
4
12
C(8,-3) 1
V
2
V
·
X
Y