Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas.pdf

Problemas resueltos del capítulo Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas. Tipler

1. Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas
Corriente de desplazamiento de Maxwell
1. Un condensador de placas paralelas horizontales en el aire tiene las placas circulares
de radio 2,3 cm separadas entre sí 1,1 mm. En la placa superior está entrando
corriente al mismo tiempo que sale de la placa inferior a un ritmo de 5 A,
a) Hallar la variación por unidad de tiempo del campo eléctrico entre las placas.
b) Calcular la corriente de desplazamiento entre las placas y demostrar que es igual
a 5 A.
a) En un condensador plano:
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
????????????∗????????????
�=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????
=????????????,????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????
???????????? ????????????

b) ????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
???????????? (????????????∗????????????)
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????=???????????? ????????????

2. En una región del espacio, el campo eléctrico varía de acuerdo con E= (0,05 N/C) sen 2000 t, en donde t está en segundos. Hallar la corriente máxima de desplazamiento a
través de un área de 1 m
2
perpendicular a E.
????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
???????????? (????????????∗????????????)
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????????????????∗????????????)
????????????
????????????,????????????????????????????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????,????????????????????????????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
????????????

3. En el caso del problema 1, demostrar que a una distancia r del eje de las placas el
campo magnético entre ellas viene dado por B=(1,89 10
-3
T/m) r si r es menor que el
radio de las placas.
Usando la ley de Ampere:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????
Si la corriente de desplazamiento está uniformemente distribuida:
????????????
????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
; ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????????????????
????????????
∗????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????

4. a) Demostrar que, en el caso de un condensador de placas paralelas, la corriente de
desplazamiento viene dada por ????????????
????????????=????????????????????????????????????/????????????????????????, siendo C la capacidad y V la tensión
aplicada al condensador.
b) Un condensador de placas paralelas con C = 5 nF se conecta a una fem ???????????? =
????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????, siendo ε o= 3 V y ω =500 π. Hallar la corriente de desplazamiento entre
las placas en función del tiempo. Despreciar las resistencias del circuito.
a) ????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
???????????? (????????????∗????????????)
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
�=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????

En el condensador plano:
????????????=????????????
????????????∗
???????????? ????????????

????????????
????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????

2. b) ????????????
????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗
????????????
????????????????????????
(????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????)=−????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
????????????=−????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=−????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)

5. En un condensador cuyas placas tienen un área de 0,5 m
2
, fluye una corriente de 10
A.
a) ¿Cuál es la corriente de desplazamiento entre las placas?
b) ¿Cuál es dE/dt entre las placas para esta corriente?
c) ¿Cuál es la circulación B dl a lo largo de una circunferencia de 10 cm de radio que
es paralela a las placas y está situada entre ellas?
a) ????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
???????????? (????????????∗????????????)
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????=???????????????????????? ????????????
b)
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
=
????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????.????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????
???????????? ????????????

c) ∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
; ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗
????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗
????????????.????????????
????????????
????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????

6. Un condensador con placas circulares paralelas recibe una carga Q
o. Entre las placas
existe un dieléctrico no perfecto con una constante dieléctrica ???????????? y una resistividad ρ .
a) Hallar la corriente de conducción entre las placas en función del tiempo.
b) Hallar la corriente de desplazamiento ente las placas en función del tiempo, ¿Cuál es la corriente total (conducción más desplazamiento)?
c) Hallar el campo magnético entre las placas producido por la corriente de
descarga en función del tiempo.
d) Hallar el campo magnético entre las placas producido por la corriente de
desplazamiento en función del tiempo.
e) ¿Cuál es el campo magnético total entre las placas durante la descarga del
condensador?
a) ????????????=????????????????????????/????????????????????????
En un condensador, la carga varia como:
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????�=????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
�????????????
−
????????????
????????????

�=−
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????


Esta corriente va en la dirección del campo eléctrico, que va desde la placa
positiva hacia la placa negativa.
b) ????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
???????????? (????????????∗????????????)
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????�
????????????
????????????
�
????????????????????????
=????????????
????????????∗
????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????

La capacidad del condensador es:
????????????=????????????
????????????∗????????????∗
???????????? ????????????

????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????

Entre los extremos del condensador el potencial varía según:
????????????=????????????
????????????∗????????????
−
????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????
????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=
???????????? ????????????
∗
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????�=−
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗????????????
−
????????????
????????????=
???????????? ????????????
∗????????????
La corriente Ib debida al flujo de estas cargas vinculadas a través de una
superficie estacionaria viene dada por:

3. ????????????
????????????=????????????????????????
????????????/????????????????????????
Q
b es la carga ligada en la superficie del dieléctrico al lado de la placa con carga
Q.
Q y Q
b son opuestos en signo y están relacionados por la ecuación:
????????????
????????????=−�????????????−
????????????
????????????
�∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
� −�????????????−
???????????? ????????????
�∗????????????�=−�????????????−
???????????? ????????????
�∗
????????????????????????
????????????????????????
=−�????????????−
???????????? ????????????
�∗????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????=????????????+????????????
????????????+????????????
????????????=????????????−
???????????? ????????????
∗????????????−�????????????−
???????????? ????????????
�∗????????????=????????????
c)

????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????=????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????


????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????

?
d) ????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????
????????????∗
???????????? ????????????
∗????????????=????????????
????????????∗
???????????? ????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????


????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????

?
e) ????????????=????????????
????????????+ ????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
−
????????????
????????????

∗�
????????????
????????????
−????????????� ?

7. El condensador con pérdidas del problema 6 se carga de forma que la tensión
entre las placas viene dada por ????????????(????????????)=�????????????,????????????????????????
????????????
????????????
�????????????.
a) Hallar la corriente de conducción en función de t.
b) Hallar la corriente de desplazamiento.
c) Hallar el tiempo necesario para que la corriente de desplazamiento sea
igual a la de conducción.
a) ????????????=
????????????(????????????)
????????????
=
????????????∗????????????(????????????)
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????

b) ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
�
????????????
????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????????????????
(????????????????????????????????????∗????????????)=????????????,????????????????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????

c) ????????????=????????????
????????????
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????
=????????????,????????????????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
;????????????=????????????∗????????????
????????????

8. Se rellena el espacio entre las placas de un condensador con un material de
una resistividad ρ = 10
4
Ω m y constante dieléctrica ????????????=????????????,????????????. Las placas son

4. circulares y paralelas con un radio de 20 cm y 1 mm de separación. La
tensión entre las placas viene dada por ????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ????????????, con V o= 40 V y ω = 120
π rad/s.
a) ¿Cuál es la densidad de la corriente de desplazamiento?
b) ¿Cuál es la corriente de conducción entre las placas?
c) ¿A qué frecuencia angular está desfasada 45º la corriente total respecto
a la tensión aplicada?
a) ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)=????????????
????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
�
????????????
????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????
∗
????????????
????????????????????????
(????????????
????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????))=−
????????????????????????∗????????????
????????????
∗(????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)
????????????
????????????=−
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)
????????????
????????????=−
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗∗????????????∗????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????
????????????.????????????????????????????????????
∗???????????????????????????????????? (????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗???????????????????????????????????? (????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)
b) ????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗(????????????????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????????????????
????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)
????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????????????????????????????∗????????????∗????????????)
c) El desfase entre las dos es independiente de la frecuencia, es de 90º.

9. En este problema se ha de demostrar que la forma generalizada de la ley de
Ampere (∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗(????????????+????????????
????????????)=????????????
????????????∗????????????+????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????????????????????????????
????????????????????????
) y la ley de biot
y Savart dan el mismo resultado en los casos en que pueden utilizarse
ambas. La figura muestra dos cargas +Q y – Q sobre el eje x en x = - a y x =
+a, y con una corriente I=- dQ/dt circulando a lo largo de la línea entre
ambas. El punto P está sobre el eje y para y = R.

a) Utilizar la ley de biot y Savart, para demostrar que el módulo de b en el
punto P es
????????????=
????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

b) Considerando un anillo circular de radio r y anchura dr en el plano yz con su centro en el origen. Demostrar que el flujo del campo eléctrico que atraviesa este anillo es
????????????
????????????????????????????????????=�
????????????
????????????
????????????
�????????????(????????????
????????????
+????????????
????????????
)
−????????????/????????????
???????????? ????????????????????????

5. c) Utilizar el resultado de (b) para hallar el flujo total de ????????????
???????????? que atraviesa
un área circular de radio R. Demostrar que
????????????
????????????????????????
????????????=????????????(????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
)
d) Hallar la corriente de desplazamiento I d y demostrar que
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

e) Entonces demostrar que la ecuación ∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗(????????????+????????????
????????????)=????????????
????????????∗
????????????+????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????????????????????????????
????????????????????????
da el mismo resultado para el encontrado en la parte
(a).
a) El campo magnético creado en P por la corriente es:
????????????
????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗(???????????????????????????????????? ????????????
????????????+???????????????????????????????????? ????????????
????????????)
???????????????????????????????????? ????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

????????????
????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

b) ????????????????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
Para el campo eléctrico de un dipolo tenemos:
????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
+????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? ????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????/????????????

????????????????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????/????????????
∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????∗�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
c) Usando la expresión anterior:
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????=
????????????∗????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????????????????
∗????????????∗????????????????????????
Integrando entre 0 y R:
????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????∗∫
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
=????????????∗????????????∗�−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
+
????????????
????????????
�
????????????
????????????∗????????????
????????????=????????????∗�????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
d) La definición de la corriente de desplazamiento es:
????????????
????????????=????????????
????????????∗
????????????????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
�????????????∗�????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
��=�????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�∗
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????=−????????????∗�????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????+????????????
????????????=????????????−????????????∗�????????????−
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
�=????????????∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

d) ∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗????????????
????????????????????????????????????=????????????
????????????∗(????????????+ ????????????
????????????)
????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗????????????∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????


Ecuaciones de Maxwell

10. Los físicos teóricos han especulado sobre la existencia de monopolos magnéticos y
se han realizado, infructuosamente, diversas investigaciones experimentales sobre
tales monopolos. Supongamos que se encuentran monopolos magnéticos y que el
campo magnético a una distancia r de un monopolo de intensidad q
m viene dado

6. por ????????????=
�
????????????????????????
????????????????????????
�????????????
????????????
????????????
????????????
- ¿Cómo deberían modificarse las ecuaciones de Maxwell para que
fuesen compatibles con este descubrimiento?
Según la teoría electromagnética de Maxwell, los monopolos magnéticos no existen.
Aplicando la ley de Gauss a los campos magnéticos se obtiene:
∮????????????(????????????�⃗)∗????????????????????????��⃗=????????????
????????????????????????��⃗=????????????
Esta ecuación indica que las líneas de los campos magnéticos deben ser cerradas.
Esto expresa que sobre una superficie cerrada, sea cual sea ésta, no seremos capaces
de encerrar una fuente o sumidero de campo. Por lo que una supuesta partícula que
emite un campo magnético B dentro de una superficie cerrada, tiene un flujo
magnético a través de esa superficie igual a cero ya que entran en esa superficie
tantas líneas de campo magnético como salen por la presencia de dipolos
magnéticos.
Así pues, esto expresa la no existencia del monopolo magnético. Si en algún
momento se demuestra que esta integral tiene un valor distinto de cero, se
demostrará la existencia de monopolos magnéticos, y la Ley de Gauss para el campo
magnético debería modificarse para adoptar la forma:
????????????????????????��⃗=????????????
????????????
donde ????????????
???????????? correspondería a la densidad de monopolos magnéticos. Esta densidad de
carga lleva aparejada una densidad de corriente ????????????⃗
???????????? , la cual obliga a modificar la ley
de Faraday, que pasaría a escribirse como
????????????⨂????????????��⃗=−
????????????????????????
????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????⃗
????????????
Asimismo, habría que ampliar la expresión de la Ley de Fuerza de Lorentz, para
incluir la fuerza sobre cargas magnéticas
????????????��⃗=????????????∗�????????????��⃗+????????????��⃗⨂????????????��⃗�+????????????
????????????∗(????????????���⃗−????????????��⃗⨂????????????��⃗)
con ????????????���⃗=????????????��⃗/ ????????????
???????????? y ????????????��⃗= ????????????
???????????? ????????????��⃗ el campo magnético y el desplazamiento eléctrico en el
vacío.
¿?

11. Demostrar que el componente normal del campo magnético B es continuo a través
de una superficie. Para ello, aplicar la ley de Gauss referida a B (∫????????????
????????????????????????????????????=????????????) a una
superficie gaussiana en forma de una cajita de píldoras que tiene una cara en cada
lado de la superficie.

7. ∮????????????��⃗
????????????
????????????��⃗∗????????????????????????=∫ ????????????��⃗∗????????????��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
+∫ ????????????��⃗∗????????????��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
+
∫ ????????????��⃗∗????????????��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Al ser nula la componente horizontal del campo:
∫ ????????????��⃗∗????????????��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????
???????????????????????? ???????????????????????????????????? ???????????? ???????????? ???????????? ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????? ???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????:
∫ ????????????��⃗∗????????????��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=−????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????
Al ser n y B enle mismo sentido en la cara superior:
∫ ????????????��⃗∗???????????? ��⃗∗????????????????????????
???????????????????????????????????????????????? ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
=????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????
De todo esto:
−????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????+????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????=????????????
????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????=????????????
????????????,????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Espectro electromagnético

12. ¿Qué ondas tienen mayores frecuencias, las ondas de luz o los rayos X?
La frecuencia de los rayos X es mayor que la de les ondas de luz.

13. Las frecuencias de la radiación ultravioleta, ¿son mayores o menores que la
de la radiación infrarroja?
Mayores.

14. ¿Qué tipo de ondas tienen longitudes de onda del orden de unos pocos
metros?
Las ondas de Televisión y radio de FM.

15. Hallar la longitud de onda correspondiente a
a) Una onda de radio AM típica con una frecuencia de 1000 kHz.
b) Una onda de radio de FM típica de 100 MhZ.
a) ????????????= ????????????∗???????????? ; ????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
b) ????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=???????????? ????????????

16. ¿Cuál es la frecuencia de una microonda de 3 cm?
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????.????????????????????????
=????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????
17. ¿Cuál es la frecuencia de unos rayos X con una longitud de onda de 0,1 nm?
????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????

8. Radiación del dipolo eléctrico
18. Un transmisor utiliza una antena circular con la espira en el plano horizontal.
La antena dipolar selecciona el campo (eléctrico) (magnético) de la onda, y la
antena circular detecta el campo (eléctrico) (magnético).
La antena dipolar detecta el campo eléctrico, la antena circular detecta el campo
magnético de la onda.

19. Un transmisor utiliza una antena circular con la espira en el pla no horizontal. ¿Cuál
debería ser la orientación de una antena dipolar en el receptor para la recepción
óptima de la onda?

La antena dipolar debe estar en el plano horizontal y normal a la dirección que une la
antena con el receptor.


20. La intensidad de radiación de un dipolo eléctrico es proporcional a
(????????????????????????????????????
????????????
????????????)/????????????
????????????
, en donde ϴ es el ángulo formado por el momento dipolar
eléctrico y el vector de posición r. Un dipolo eléctrico radiante coincide con el
eje z (su momento dipolar tiene la dirección z). Sea I
1 la intensidad de la
radiación a una distancia r = 10 m y a un ángulo ϴ=90º.
Hallar la intensidad (en función de I
1) cuando
a) r= 30 m, ϴ=90º.
b) r= 10 m, ϴ=45º.
c) r= 20 m, ϴ=30º.
a) ????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????
;????????????=????????????????????????????????????∗????????????
????????????
????????????(????????????????????????,????????????????????????)=
????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????
=
????????????????????????
????????????

b) ????????????(????????????????????????,????????????????????????)=
????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????
=
????????????????????????
????????????

c) ????????????(????????????????????????,????????????????????????)=
????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????????????????
∗
???????????? ????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
=
????????????????????????
????????????????????????


21. a) Para el caso descrito en el problema 20, ¿a qué ángulo es igual a I
1 la
intensidad cuando r = 5 m?
b) ¿A qué distancia es igual a I
1 la intensidad cuando ϴ=45º?
a) ????????????(????????????,????????????)=????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????; ????????????????????????????????????
????????????
????????????=
????????????????????????
????????????????????????????????????
;???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????????????????
; ????????????=????????????????????????º
b) ????????????(????????????,????????????????????????)=????????????
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????; ????????????
????????????
=????????????????????????????????????∗
????????????????????????
=????????????????????????;????????????=√????????????????????????=????????????.???????????????????????? ????????????

22. La antena transmisora de una estación de radio es un dipolo situado en lo alto
de una montaña a 2000 m por encima del nivel del mar. La intensidad de la
señal en una montaña próxima a 4 km de distancia y también a 2000 m de
altura es 4 10
-12
W/m
2
. ¿Cuál es la intensidad de la señal al nivel del mar y a
1,5 km de distancia del transmisor? (Véase problema 20).
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????

9. ????????????(????????????????????????????????????????????????,????????????????????????)=
????????????
????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
;????????????= ????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????

????????????(????????????????????????????????????????????????,????????????)=
????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????
????????????.????????????
�=????????????????????????.????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????,????????????????????????.????????????)=
????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????.????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
????????????/????????????
????????????


23. Una estación de radio que utiliza una antena dipolar vertical emite a una
frecuencia de 1,20 MHz con una potencia total de salida de 500 kW. El
diagrama de radiación es del tipo que muestra la figura

Es decir, la intensidad de la señal varía con el sen
2
ϴ, en donde ϴ es el ángulo
comprendido entre la dirección de propagación y la vertical y es
independiente del ángulo acimutal. Calcular la intensidad de la señal a una
distancia horizontal de 120 km de la estación. ¿Cuál es la intensidad en este
punto medida en fotones por centímetro cuadrado y por segundo?
????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????????????????,????????????????????????º)=
????????????
(????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
)
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
(????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
)
????????????

????????????????????????=????????????∗????????????????????????
????????????=∬????????????(????????????,????????????)∗????????????????????????
En polares:
????????????????????????=????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????∗????????????∅
????????????=∬ ????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????∗????????????∅
????????????????????????,????????????
????????????,????????????

????????????=∬
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
???????????? ∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????∗????????????∅
????????????????????????,????????????
????????????,????????????

????????????=∬
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
???????????? ∗????????????????????????∗????????????∅
????????????????????????,????????????
????????????,????????????

∫????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
=�−
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????+????????????�
????????????
????????????
=
????????????
????????????

????????????=
????????????????????????
∗????????????∗∫????????????∅
????????????????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????????????????,????????????????????????º)=
????????????
(????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
)
????????????
=
????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
(????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
)
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????/????????????
????????????

????????????
????????????∗∆????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗∆????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗∆????????????
=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????/????????????
=
????????????
????????????∗????????????

????????????
????????????∗∆????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????

????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????
∗
???????????? ????????????
????????????

????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????
????????????
∗????????????

10. 24. A una distancia de 30 km de una estación emisora de radio cuya frecuencia es
0,8 MHz, la intensidad de la onda electromagnética es 2 10
-13
W/m
2
. La
antena transmisora es un dipolo vertical. ¿Cuál es la potencia total irradiada
por la estación?
????????????(????????????,????????????)=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????;????????????=
????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????

Usando el problema anterior:
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗
????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????

Para ϴ= 90º:
????????????=
????????????∗????????????∗????????????(????????????)∗????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗�????????????????????????∗????????????????????????
????????????
�
????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

25. Un pequeño avión privado que se aproxima a un aeropuerto vuela a una altura de 2500 m sobre el suelo. El sistema de control de vuelos del aeropuerto transmite señales de 100 W a 24 MHz, utilizando una antena dipolar vertical. ¿Cuál es la intensidad de la señal en la antena receptora del avión cuando éste se encuentra a 4 km del aeropuerto?
????????????(????????????,????????????)=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
????????????;????????????=
????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????

Usando el problema anterior:
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????(????????????,????????????)∗????????????
????????????
????????????????????????????????????
????????????
????????????

????????????(????????????,????????????)=
????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=????????????????????????????????????????????????????????????�
????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????
�=????????????????????????º
????????????=√????????????????????????????????????????????????
????????????
+????????????????????????????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????(????????????????????????????????????????????????,????????????????????????)=
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????/????????????
????????????


Energía y cantidad de movimiento de una onda electromagnética.

26. Una onda electromagnética posee una intensidad igual a 100 W/m
2
. Calcular
a) La presión de radiación, P
r.
b) E
ef.
c) B
ef.
a) ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????
b) ????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????=�????????????∗????????????∗????????????
????????????=√????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????

11. c) ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

27. La amplitud de una onda electromagnética es E
o= 400 V/m.
Calcular
a) E
ef.
b) B
ef.
c) La intensidad I.
d) La presión de radiación P
r.
a) ????????????
????????????????????????=
????????????????????????
√????????????
=
????????????????????????????????????
√????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
b) ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
c) ????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????

d) ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

28. El valor eficaz del campo eléctrico de una onda electromagnética es E
ef=400
V/m.
a) Hallar B
ef.
b) La densidad de energía media.
c) La intensidad.
a) ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????∗????????????
=
????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????/????????????
????????????

c) ????????????=????????????
????????????????????????????????????∗????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????


29. Demostrar que las unidades de E = c B son coherentes, es decir, comprobar
que cuando B está en teslas y c en metros por segundo, las unidades de c B
son voltios por metro o newtons por culombio.
????????????
????????????
∗????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
????????????
∗????????????
=
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????


30. El valor eficaz del módulo del campo eléctrico de una onda electromagnética
de una onda electromagnética es B
ef= 0,245 mT. Hallar
a) E
ef.
b) La densidad de energía media.
c) La intensidad.
a) ????????????
????????????????????????=????????????
????????????????????????∗????????????=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????
b) ????????????
????????????????????????????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????∗????????????
=
????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????

c) ????????????=????????????
????????????????????????????????????∗????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????? ∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????
????????????


31. a) Una onda electromagnética de 200 W/m
2
incide normalmente sobre una
cartulina negra de 20 x 30 cm de lado que absorbe toda la radiación. Calcular
la fuerza ejercida sobre la cartulina por la radiación.
b) Calcular la fuerza ejercida por la misma onda si la cartulina refleja la
radiación que incide sobre ella.
a) ????????????
????????????=
????????????
????????????

12. ????????????=????????????
????????????∗????????????=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????.????????????=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
b) Si la tarjeta refleja toda la radiación incidente sobre ella , la fuerza ejercida sobre
la tarjeta se duplica:

????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

32. Calcular la fuerza ejercida por la onda electromagnética de la cartulina
reflectante del apartado (b) del problema 31 si la radiación incide con un
ángulo de 30º respecto a la normal.
????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=????????????∗
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????∗????????????.????????????∗???????????????????????????????????? ????????????????????????=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

33. Una estación típica de AM radia una onda sinusoidal isótropa con una
potencia media de 50 kW. ¿Cuáles son las amplitudes de E
max y Bmax a una
distancia de
a) 500 m.
b) 5 km.
c) 50 km.
a) ????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????=
????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????

????????????
????????????????????????????????????=�
????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗�
????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????

????????????
????????????????????????????????????(????????????????????????????????????)=
????????????
????????????????????????????????????
∗�
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????/????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

b) ????????????
????????????????????????????????????(????????????????????????????????????????????????)=
????????????
????????????????????????????????????????????????
∗�
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

c) ????????????
????????????????????????????????????(????????????????????????????????????????????????????????????)=
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????
∗�
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

34. La intensidad de la luz solar que incide sobre la parte superior de la atmósfera
terrestre, llamada constante solar, vale 1,35 kW/m
2
.
a) Hallar E
ef y Bef debido al Sol en dicha zona.
b) Hallar la potencia media emitida por el Sol.
c) Hallar la intensidad y la presión de radiación en la superficie del Sol.
a) ????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????∗???????????????????????? ; ????????????
????????????????????????=�????????????∗????????????∗????????????
????????????=√????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????

????????????
????????????????????????=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

13. b) Considerando la esfera formada con centro el Sol y el radio de la Tierra:
r=1.5 *10
11
m.
????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗(????????????.????????????∗????????????????????????
????????????????????????
)
????????????

????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????
c) Considerando el radio del Sol: 6.96*10
8
m
????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
�
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????????????????

35. Un láser para demostraciones tiene una potencia media de salida de 0,9 mW
y un diámetro de haz de 1,2 mm. Determinar la fuerza ejercida por el haz del
láser sobre
a) Una superficie negra 100 por ciento absorbente.
b) Una superficie 100 por ciento reflectante.
a) ????????????
????????????=
????????????
????????????

????????????=????????????
????????????∗????????????=
????????????
????????????
∗????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
????????????
b) ????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????=????????????∗
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????????????????
????????????
=????????????∗
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
????????????

????????????=????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
????????????

36. Un haz láser tiene un diámetro de 1,0 mm y una potencia media de 1,5 mW. Hallar
a) La intensidad del haz.
b) E
ef.
c) B
ef.
d) La presión de radiación.
a) ????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗�????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
�
???????????? =????????????????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????

b) ????????????
????????????????????????=�????????????∗????????????∗????????????
????????????=√????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
c) ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
d) ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????

37. En lugar de enviar energía eléctrica mediante una línea de transmisión de 750 kV, 1000 A, se desea utilizar un haz de onda electromagnética adecuada. El haz tiene una intensidad uniforme dentro de un área de su sección reta de 50 m
2
. ¿Cuáles son los valores eficaces de sus campos eléctrico y magnético? ????????????
????????????????????????=�????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????????????????????????????∗????????????
????????????????????????????????????
????????????

????????????
????????????????????????=�
????????????
????????????????????????????????????∗????????????
????????????????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????=�
????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????

????????????
????????????????????????=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

14. 38. Un pulso de láser tiene una energía de 20 J y un radio de haz de 2 mm. La
duración del pulso es de 10 ns y la densidad de energía es constante dentro
del pulso.
a) ¿Cuál es la longitud espacial del pulso?
b) ¿Cuál es la densidad de energía dentro del pulso?
c) Hallar las amplitudes eléctrica y magnética del pulso de onda.
a) ????????????=????????????∗∆????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????
b) ????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????∗????????????∗�????????????∗????????????????????????
−????????????
�
????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????
????????????


39. El campo eléctrico de una onda electromagnética oscila en la dirección y y el vector de Poynting viene dado por
????????????��⃗(????????????,????????????)=�????????????????????????????????????
????????????
????????????
????????????
�????????????????????????????????????
????????????
[???????????????????????? ????????????−(???????????? ????????????????????????
????????????
)????????????] ????????????⃗
En donde x está en metros y t en segundos.
a) ¿Cuál es la dirección de propagación de la misma?
b) Hallar la longitud de la onda y la frecuencia.
c) Hallar los campos eléctrico y magnético.
a) ????????????��⃗=
????????????��⃗⨂????????????��⃗
????????????????????????

El vector de Poynting indica la dirección de propagación de la onda, eje x.
b) ????????????=
????????????∗????????????
????????????
; ????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????
????????????=????????????∗????????????∗???????????? ;????????????=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????
=????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????
c) �????????????��⃗�=
????????????????????????
????????????
????????????????????????∗???????????? ; ????????????
????????????=��????????????��⃗�∗????????????
????????????∗????????????=√????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????

????????????
????????????=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????��⃗(????????????,????????????)=(????????????????????????????????????)∗???????????????????????????????????? [????????????????????????∗ ????????????−(???????????? ????????????????????????
????????????
)∗????????????]∗????????????⃗
????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????
????????????��⃗(????????????,????????????)=(????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)∗???????????????????????????????????? [????????????????????????∗ ????????????−(???????????? ????????????????????????
????????????
)∗????????????]∗????????????
��⃗

40. Un láser dispara un pulso de 1000 MW y 200 ns de duración sobre un objeto
pequeño de 10 mg de masa suspendido mediante una fibra muy fina de 4 cm de longitud. Si la radiación se absorbe por completo sin otros efectos, ¿Cuál es el máximo ángulo de desviación de este péndulo?

15. Usando la conservación de energía mecánica, inicialmente toda la energía
es cinética y al final toda es potencial:
????????????
????????????,????????????=????????????
????????????,????????????
????????????
????????????,????????????=
????????????
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????
????????????,????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????∗(????????????−???????????????????????????????????? ????????????)
????????????
????????????????????????
????????????∗????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗(????????????−???????????????????????????????????? ????????????)
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????−
????????????
????????????????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
�
????????????
????????????=????????????
????????????,???????????????????????????????????????????????? ???????????????????????? =
????????????
????????????
=
????????????∗∆????????????
????????????

????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????−
(????????????∗∆????????????)
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

�
????????????=???????????????????????????????????? ????????????????????????????????????�????????????−
�????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�
????????????
????????????∗�????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�
????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗�????????????∗????????????????????????
????????????
�
????????????

�=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????

41. Una cartulina de 10 por 15 cm tiene una masa de 2 g y es perfectamente
reflectante. Cuelga en un plano vertical y está libre para girar alrededor de un
eje horizontal que pasa por uno de sus bordes. La cartulina se ilumina
uniformemente mediante una luz intensa que hace que forme un ángulo de
1º con la vertical. Hallar la intensidad de la luz.

Considerando el momento debido a la fuerza a una distancia x del eje:
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó????????????
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
El factor 2 es debido a que la superficie es perfectamente reflectante.
????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =????????????∗????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =????????????∗
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????=????????????∗
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? =
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗∫????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????

16. El momento resultante, entre P y la radiación será nulo:
????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????ó???????????? −
????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????−
????????????????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗???????????????????????? ????????????=
????????????.????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????.????????????∗????????????.????????????????????????
∗???????????????????????? ????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????
????????????


42. Un diamante de gran valor de masa 0.08 Kg y un astronauta de 105 kg están
separados 95 m y ambos están inicialmente en reposo. El astronauta tiene un
láser de 1,5 kW que puede utilizarse como un cohete de fotones para
propulsarlo hacia el diamante. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer los 95 m
utilizando la propulsión que le suministra el cohete láser?
Utilizamos el teorema del impulso, en principio el astronauta enfoca el láser
en dirección contraria al diamante, el diamante no se mueve. Con esto el
teorema del impulso - cantidad de movimiento para el astronauta nos
proporciona:
????????????∗∆????????????=∆????????????
La variación de cantidad de movimiento del astronauta es igual y de sentido
contrario a la proporcionada por el láser:
|∆????????????
????????????????????????????????????|=|∆????????????
????????????????????????????????????|=
????????????????????????????????????∗∆????????????
????????????

????????????∗∆????????????=
????????????????????????????????????∗∆????????????
????????????
;????????????=
????????????????????????????????????
????????????

La fuerza es constante y el movimiento del astronauta m.r.u.a.:
????????????=
????????????????????????????????????
????????????
=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????

∆????????????=
????????????
????????????
∗????????????∗∆????????????
????????????
; ∆????????????=�
????????????∗∆????????????
????????????
=�
????????????∗∆????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????????????????
=�
????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????

43. Se ha sugerido que la presión de radiación del Sol podría utilizarse para
propulsar una nave espacial. ¿Cuál debe ser la densidad superficial (kg/cm
2
)
de una lámina perfectamente reflectora para que a la distancia de una unidad
astronómica la fuerza debida a la presión de radiación sea doble que la
atracción gravitatoria ejercida por el Sol sobre dicha lámina? (Nota: una
unidad astronómica es el radio de la órbita terrestre). ¿Cómo se modificará la
relación entre la fuerza de radiación y la fuerza de atracción gravitatoria
cuando la lámina reflectora acelera alejándose del Sol?
Usando la constante solar, problema 34, la intensidad de la luz solar sobre la
parte superior de la atmósfera terrestre es 1,35 kW/m
2
.
La Fuerza debida a la presión de radiación de la lámina reflectora será:
????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????

Está fuerza ha de ser el doble que la de atracción gravitatoria entre la lamina y el Sol:
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
;
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????−????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????

17. ????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????/????????????
????????????

• A medida que la lámina se aleja del Sol, la fuerza gravitatoria disminuirá
debido a la ley de inverso del cuadrado.
• La intensidad de la radiación también disminuye con el Área al Sol , el
inverso del cuadrado.
• La relación entre la fuerza de radiación y la fuerza de atracción
gravitatoria seguirá siendo constante siempre que la intensidad de
radiación no cambie.
44. Supongamos que una masa de 50 kg se sujeta a una lámina perfectamente
reflectora cuya densidad superficial es la obtenida en el problema 43. ¿Cuál
debe ser el área superficial de la lámina para que a una distancia de una
unidad astronómica la aceleración del sistema al alejarse del sol sea de 0,4
mm/s
2
. ¿Cómo varía la aceleración con la distancia al Sol?
Sobre la masa actúan la fuerza gravitatoria del Sol y la fuerza debido a la
presión de radiación, en sentidos contrarios.
????????????∗????????????∗????????????
????????????
−????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
=????????????∗????????????
La masa en desplazamiento serán los 50 kg más la masa de la lámina:
????????????=????????????????????????+????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
−????????????∗
????????????????????????∗(????????????????????????+????????????∗????????????)
????????????
????????????−????????????
????????????
=(????????????????????????+????????????∗????????????)∗????????????
�
????????????∗????????????
????????????
−????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
−????????????∗????????????�∗????????????=????????????????????????∗????????????+????????????∗
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????−????????????
????????????

????????????=
????????????????????????∗????????????+????????????∗
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
�
????????????∗????????????
????????????
−????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????−????????????
????????????
−????????????∗????????????�

????????????=
????????????????????????∗????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
+????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
∗????????????????????????
�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
�
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
�
=???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????

• A medida que la lámina se aleja del Sol, la fuerza gravitatoria disminuirá
debido a la ley de inverso del cuadrado.
• La intensidad de la radiación también disminuye con el Área al Sol, el
inverso del cuadrado.
• La relación entre la fuerza de radiación y la fuerza de atracción
gravitatoria seguirá siendo constante siempre que la intensidad de
radiación no cambie. La aceleración se mantendrá constante
Radiación del cuerpo negro
Un cuerpo negro es un objeto absorbente perfecto, es decir, que absorbe toda la radiación que incide sobre él. También es un radiador perfecto. La potencia radiada por un cuerpo negro de área A a la temperatura T viene
dada por la ley de Stefan-Boltzmann:
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????
????????????

???????????????????????????????????? ????????????=????????????.

18. ????????????
????????????=????????????????????????????????????
????????????

En donde σ=5,6704 10
-8
W/m
2
K
4
.
45. Un hilo muy largo de 4 mm de radio se calienta a 1000 K. Su superficie es un
radiador negro ideal.
a) ¿Cuál es la potencia total radiada por unidad de longitud?
b) Hallar el vector de Poynting.
c) E
ef.
d) B
ef
Todo a una distancia de 25 cm del hilo.
a) Supongamos un hilo esférico, su área será:
????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=????????????,????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????????????????
????????????

????????????????????????
????????????
=????????????????????????????????????????????????
????????????
???????????? ???????????????????????? ????????????????????????????????????????????????

b) El área determinada por 1 m de hilo a 25 cm de él es: A=2* ????????????∗????????????∗????????????
????????????=????????????=
????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
=
????????????????????????????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????

c) ????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
????????????∗???????????????????????? ; ????????????
????????????????????????=�????????????∗????????????∗????????????
????????????=√????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????

????????????
????????????????????????=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
d) ????????????
????????????????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

46. Un cuerpo negro esférico de radio R está a una distancia de 2 10
11
m del Sol.
El área efectiva del cuerpo para la absorción energía del Sol es π R
2
, pero el
área para la radiación de la esfera es 4 π R
2
. La potencia que emite el Sol es
3,83 10
26
W. ¿Cuál es la temperatura de la esfera?
Primero consideramos la intensidad de la radiación solar en el punto donde
se encuentra el cuerpo:
????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗(????????????∗????????????????????????
????????????????????????
)
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????

El cuerpo negro absorbe y radia la misma energía, la potencia absorbida:
????????????
????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????

La potencia emitida:
????????????
????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

Igualando:
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????=�
????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????

47. a) Si la Tierra fuese un cuerpo negro ideal con conductividad térmica infinita y
careciera de atmósfera, ¿Cuál sería su temperatura?
b) Si se reflejase el 40 % de la energía incidente del Sol, ¿Cuál sería entonces
la temperatura de la Tierra? (Ver problema 46).
a) ????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗(????????????.????????????∗????????????????????????
????????????????????????
)
????????????
=???????????????????????????????????????????????? ????????????/????????????
????????????

El cuerpo negro absorbe y radia la misma energía, la potencia absorbida:

19. ????????????
????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????
????????????

La potencia emitida:
????????????
????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

Igualando:
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????=�
????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
b) Si se refleja el 40 % se absorbe el 60 %
????????????.????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????

????????????=�
????????????.????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=�
????????????.????????????∗????????????????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????
????????????
=???????????????????????????????????? ????????????

Ecuación de onda de las ondas electromagnéticas

48. Demostrar por sustitución directa que la función de onda
????????????
????????????=????????????
???????????? ???????????????????????????????????? (???????????? ????????????− ???????????? ????????????)=????????????
???????????? ???????????????????????????????????? ???????????? (????????????−???????????? ????????????)
Donde c=ω/k, satisface la ecuación
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????

????????????????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗ ????????????− ????????????∗????????????)
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=−????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????( ????????????∗????????????− ????????????∗????????????)
????????????????????????????????????
????????????????????????
=−????????????
????????????∗ ????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗ ????????????− ????????????∗????????????)
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=−????????????
????????????∗ ????????????
????????????
∗???????????????????????????????????? (????????????∗ ????????????− ????????????∗????????????)
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????????????????
????????????
=−
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗ ????????????− ????????????∗????????????)=−????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????????????????( ????????????∗????????????− ????????????∗????????????)

49. Utilizar los valores conocidos de µo y εo en unidades del SI para calcular ????????????=
????????????
�????????????
???????????? ????????????????????????
y demostrar que es aproximadamente 3 10
8
m/s.
????????????=
????????????
�????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
=????????????∗????????????????????????
????????????
????????????/????????????

50. a) Utilizando razonamientos semejantes a los que se dan en el texto, demostrar que en el aso de una onda plana, en la que E y B son
independientes de y y z,
????????????????????????????????????
????????????????????????
=
????????????????????????????????????
????????????????????????

Y
????????????????????????????????????
????????????????????????
=????????????
???????????? ????????????
????????????
????????????????????????
????????????
????????????????????????

b) Demostrar que Ez y By también satisfacen la ecuación de onda.
a)

20. ????????????
????????????(????????????
????????????)=????????????
????????????(????????????
????????????)+
????????????????????????????????????
????????????????????????
∗∆????????????
Evaluando la integral de línea para el tramo rectangular Δz y Δx:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗≈−
????????????????????????????????????
????????????????????????
∗∆????????????∗∆????????????

En la misma área para el campo magnético:
∫????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????
????????????∗∆????????????∗∆????????????
Aplicando la ley de Faraday:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗≈−
????????????
????????????????????????
�∫????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
�≈−
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗∆????????????∗∆????????????�=−
????????????????????????????????????
????????????????????????
∗∆????????????∗∆????????????
−
????????????????????????????????????
????????????????????????
∗∆????????????∗∆????????????=−
????????????????????????????????????
????????????????????????
∗∆????????????∗∆????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????
=
????????????????????????????????????
????????????????????????

Procediendo de forma análoga, la integral de línea del campo magnético
para el tramo rectangular Δz y Δx:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗=????????????
????????????∗????????????
????????????∗∫????????????
????????????∗????????????????????????
????????????

????????????????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????????????????????????????
????????????????????????

b)
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�=
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�
Utilizando el resultado de a para
????????????????????????????????????
????????????????????????
:

????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????????????????????????????
????????????????????????
�=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????

????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????


????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�=????????????
????????????∗????????????
????????????∗
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????


????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
????????????????????????
????????????????????????
????????????


Problemas generales

51. Verdadero o falso:
a) Las ecuaciones de Maxwell se aplican sólo a campos que son constantes
en el tiempo.
b) La ecuación de ondas puede deducirse a partir de las ecuaciones de
Maxwell.

21. c) Las ondas electromagnéticas son ondas transversales.
d) En una onda electromagnética, los campos eléctrico y magnético están en
fase.
e) En una onda electromagnética, los vectores de campo eléctrico y
magnético E y B tienen el mismo valor.
f) En una onda electromagnética, las densidades de energía eléctrica y
magnética son iguales.
a) Falsa, se aplican a campos dependientes y independientes del tiempo.
b) Verdadero.
c) Verdadero.
d) Verdadero.
e) Falsa, E=c*B.
f) Verdadero.

52. a) Demostrar que, si E viene dado en voltios por metro y B en teslas, las
unidades del vector de Poynting ????????????��⃗=(????????????��⃗⨂????????????��⃗)/????????????
???????????? son vatios por metro
cuadrado.
b) Demostrar que, si la intensidad I viene dada en vatios por metro
cuadrado, las unidades de la presión por radiación P
r= I/c son N/m
2
.
a) Las unidades de µ
o en S. I. son T*m/A.
????????????
????????????
∗????????????∗
????????????
????????????∗
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗=
????????????
????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????

b)
????????????
????????????
????????????
∗????????????/????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????


53. Una antena circular que puede girar alrededor de un eje vertical se utiliza
para localizar a un transmisor de radio de un aficionado sin licencia. Si la
potencia del receptor es proporcional a la intensidad de la señal recibida,
¿Cómo varía la potencia del receptor con la orientación de la antena circular?
La corriente inducida en la antena es proporcional a la variación del campo
magnético con el tiempo. Para obtener la máxima señal el plano de la antena
ha de hacer un ángulo de 0º con la línea de transmisión transmisor antena. En
los otros casos la intensidad será proporcional a cos ϴ.

54. Una onda electromagnética tiene una frecuencia de 100 MHz y se propaga en
el vacío. El campo magnético viene dado por
????????????(????????????,????????????)=(????????????????????????
−????????????
????????????)???????????????????????????????????? ( ????????????????????????−???????????? ????????????) ????????????⃗
a) Hallar la longitud de onda y la dirección de propagación de la onda.
b) Hallar el vector de campo eléctrico E (z,t).
c) Determinar el vector de Poynting , y hallar la intensidad de esta onda.
a) ????????????=????????????∗????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????/????????????
b) ????????????=????????????∗???????????? ; ????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
=???????????? ????????????
c) ????????????=
????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????
=????????????.???????????????????????? ????????????????????????????????????/????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????????????????
−????????????
=???????????? ????????????/????????????
Para que S esté en la dirección positiva del eje z, E debe estar en la
dirección negativa del eje y para satisfacer ????????????��⃗=(????????????��⃗⨂????????????��⃗)/????????????
????????????.

22. ????????????(????????????,????????????)=−(???????????? ????????????/???????????? )∗???????????????????????????????????? ( ????????????.????????????????????????∗????????????−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗ ????????????) ????????????⃗
d) ????????????��⃗=
????????????��⃗⨂????????????��⃗
????????????????????????
=
�−????????????∗????????????????????????
−????????????
�
????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
( ????????????.????????????????????????∗????????????−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗ ????????????)∗????????????⃗⨂????????????⃗
????????????��⃗=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????
????????????
( ????????????.????????????????????????∗????????????−????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗ ????????????)∗????????????
��⃗
�????????????��⃗�=
????????????
????????????
∗
????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
=????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????/????????????
????????????

55. Para detectar ondas electromagnéticas puede utilizarse una espira circular de
hilo conductor. Supóngase que una estación de FM de 100 MHz radia 50 kW
uniformemente en todas direcciones. ¿Cuál es la máxima tensión eficaz
inducida en una espira de 30 cm a una distancia de 10
5
m de la estación?
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
|????????????|=�
????????????????????????????????????
????????????????????????
�=????????????
????????????∗????????????∗????????????∗???????????????????????????????????? (????????????∗????????????)
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗???????????? ; ????????????
????????????????????????=
????????????????????????∗????????????∗????????????
√????????????

????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=�????????????��⃗�=
????????????
????????????
∗
????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
=
????????????????????????
∗
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????
Igualando:
????????????
????????????
∗
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
; ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????????????????
????????????
∗�
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
????????????????????????=
????????????
????????????
∗�
????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
√????????????
=
????????????
????????????????????????
????????????
∗�
????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
√????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

56. El campo eléctrico a una cierta distancia de un transmisor de radio viene dado
por ????????????=�????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
�???????????????????????????????????? (????????????????????????
????????????
????????????), en donde t está en segundos.
a) ¿Qué tensión se recibe en un alambre de 50 cm orientado a lo largo de la
dirección del campo eléctrico?
b) ¿Qué tensión puede inducirse en una espira de 20 cm de radio?

a) ∆????????????=????????????∗????????????=�????????????????????????
−????????????
????????????
????????????
�∗????????????????????????????????????(????????????????????????
????????????
∗????????????)∗????????????.????????????
∆????????????=(????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
)∗???????????????????????????????????? (????????????????????????
????????????
∗????????????)
b) ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗???????????? ; ????????????
????????????????????????=
????????????????????????∗????????????∗????????????
√????????????

????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????∗????????????=
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
=
????????????????????????
−????????????
∗????????????∗????????????.????????????
????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

57. Un condensador circular de radio a tiene una pequeña resistencia R que conecta los centros de sus placas. Se aplica entre ellas una tensión ????????????
????????????????????????????????????????????????(???????????? ????????????).
a) ¿Cuál es la corriente que circula por este condensador?
b) Dar el campo magnético en función de la distancia radial r de la línea central entre placas y en el interior del condensador.
c) ¿Cuál es el ángulo de fase entre la corriente y la tensión aplicada?
a)

23. ????????????=????????????
????????????+
????????????????????????
????????????????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=????????????∗????????????
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
La capacidad del condensador es:
????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????
=
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=????????????
????????????∗�
????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
+
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
�
b) Aplicando la forma generalizada de la ley de Ampere a una trayectoria circular de
radio r centrada dentro de las placas del condensador, donde I
d’ es la corriente
de desplazamiento a través de la superficie plana S delimitada por la trayectoria
e I
c es la corriente de conducción a través de la misma superficie:
∮????????????��⃗∗????????????????????????⃗
????????????
=????????????
????????????∗(????????????
????????????+????????????
????????????
′
)
????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????
????????????∗(????????????
????????????+????????????
????????????
′
)
En la región entre las placas del condensador hay un campo eléctrico
uniforme debido a las cargas +Q y – Q:
????????????
???????????? ′=????????????
????????????∗
????????????∅????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗
????????????
????????????????????????
(????????????
′
∗????????????)=????????????
????????????∗????????????
′
∗
????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????

El campo entre las placas es:
????????????=
????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????

????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????
∗
????????????????????????
????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????
∗
????????????
????????????????????????
�????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�=
????????????????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????

????????????
???????????? ′=????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????∗????????????
????????????
∗????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=
????????????????????????∗�????????????????????????+????????????
????????????
′
�
????????????∗????????????∗????????????=
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗�
????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�
????????????=
????????????????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗�
????????????
????????????
∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+
????????????
????????????
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�
c) ????????????=????????????
????????????+????????????
????????????
????????????
????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????+????????????)=????????????
????????????,????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+????????????
????????????,????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????
????????????,????????????????????????????????????=
????????????????????????
????????????
; ????????????
????????????,????????????????????????????????????=
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????

24. tan????????????=
????????????
????????????,????????????????????????????????????
????????????
????????????,????????????????????????????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????=????????????????????????????????????????????????�
????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
�
58. Un haz radiante de 20 kW incide normalmente sobre una superficie que
refleja la mitad de la radiación. ¿Qué fuerza actúa sobre esta superficie?
La fuerza total sobre la superficie es la suma de la fuerza debida a la radiación
reflejada y la fuerza debida a la radiación absorbida. A partir de la conservación del
momento, la fuerza debida a los 10 kW que se reflejan es el doble de la fuerza
debida a los 10 kW que se absorben.
????????????
????????????=????????????
????????????+????????????
????????????=
????????????∗
????????????
????????????
∗????????????
????????????
+
????????????????????????
∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
=
????????????∗????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

59. Demostrar que la relación entre la cantidad de movimiento transportada por
una onda electromagnética y la energía (p=U/c) puede también deducirse
utilizando la relación de Einstein- Planck, E= hf; la ecuación de De Broglie, p=h/
λ; y c=f λ.
????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????


60. Dos ondas armónicas de frecuencias angulares ω1 y ω2 tienen campos
eléctricos dados por las ecuaciones ???????????? ��⃗
????????????=????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)????????????⃗ y ????????????��⃗
????????????=
????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)????????????⃗. Hallar a) El vector de Poynting instantáneo para el movimiento ondulatorio resultante.
b) La media temporal el vector de Poynting.
Si ????????????��⃗
????????????=????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????+????????????)????????????⃗ hallar
c) El vector instantáneo de Poynting del movimiento resultante.
d) La media temporal del vector de Poynting.
a) La onda se propaga en el eje x:
????????????��⃗⨂????????????��⃗=????????????
????????????∗????????????∗????????????⃗ ;????????????��⃗=????????????∗????????????��⃗
????????????=
????????????????????????+????????????????????????
????????????

????????????��⃗=
????????????
????????????
∗�????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????��⃗

25. ????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????
∗���????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�∗
????????????⃗�⨂�
????????????
????????????
∗�????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????��⃗��
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗��????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�
????????????
�∗
�????????????⃗⨂????????????��⃗�
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗��????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�
????????????
�∗????????????⃗
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗�????????????
????????????,????????????
???????????? ????????????????????????????????????
????????????
(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????∗????????????
????????????,????????????∗????????????
????????????,????????????∗????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)∗
????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)+????????????
????????????,????????????
???????????? ????????????????????????????????????
????????????
(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????⃗
b) El valor medio del cos es cero y el del cos
2
½.
????????????��⃗=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗�????????????
????????????,????????????
???????????? +????????????
????????????,????????????
????????????�∗????????????⃗
c) La onda 2 se propaga en sentido -x.
????????????��⃗
????????????=−????????????∗????????????��⃗
????????????��⃗=
????????????
????????????
∗�????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)−????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????��⃗
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????
∗���????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)+????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????+????????????)�∗
????????????⃗�⨂�
????????????
????????????
∗�????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)−????????????
????????????,???????????? ????????????????????????????????????(????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????��⃗��
????????????��⃗=
????????????
????????????
????????????∗????????????
∗�????????????
????????????,????????????
???????????? ????????????????????????????????????
????????????
(????????????
????????????????????????−????????????
????????????????????????)−????????????
????????????,????????????
???????????? ????????????????????????????????????
????????????
(????????????
????????????????????????+????????????
????????????????????????+????????????)�∗????????????⃗
d) ????????????��⃗=
????????????
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗�????????????
????????????,????????????
????????????−????????????
????????????,????????????
????????????�∗????????????⃗

61. En la superficie de la Tierra existe un flujo solar medio aproximado de 0,75
kW/m
2
. Una familia desea construir un sistema de conversión de la energía
solar en potencia para su casa. Si el sistema de conversión tiene un
rendimiento del 30 por ciento y la familia necesita un mínimo de 25 kW, ¿qué
área efectiva deberá tener la superficie de los colectores suponiendo que son
absorbentes perfectos?
????????????
????????????????????????????????????????????????=????????????
????????????????????????=????????????∗????????????∗
????????????????????????
????????????????????????????????????
;????????????=
????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????
????????????∗????????????????????????
=???????????????????????????????????? ????????????
????????????


62. Supóngase que tenemos una radio excelente, capaz de detectar señales tan débiles como 10
-14
W/m
2
. Esta radio tiene una antena formada por una
bobina de 2000 vueltas y radio 1 cm arrollada sobre un núcleo de hierro que
incrementa el campo magnético en un factor de 200. La frecuencia que se sintoniza es de 140 kHz.
a) ¿Cuál es la amplitud del campo magnético de esta onda?
b) ¿Cuál es la fem inducida en la antena?
c) ¿Cuál será la fem inducida en un hilo de 2m orientado en la dirección del campo eléctrico?

26. a) ????????????=
????????????????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????????????????
=
????????????∗????????????????????????
????????????
????????????∗???????????????????????? ; ????????????
????????????=�
????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
=�
????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
????????????
b) |????????????|=
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????)=????????????∗
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
|????????????|=????????????∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
|????????????|=????????????∗????????????.????????????????????????
????????????
∗????????????????????????????????????????????????∗????????????????????????????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗
????????????????????????????????????(????????????∗????????????∗????????????????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????)
|????????????|=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????)
c) ????????????=????????????∗????????????
????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
????????????=????????????∗????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????
????????????=????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????∗????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????)
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????????????????????????????(????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????)

63. Un láser de 654 nm cuyo diámetro del haz es 0,4 mm apunta hacia arriba. La
presión de radiación de este haz de láser es capaz de soportar en contra de la
gravedad una pequeña partícula esférica perfectamente reflectora de
diámetro 10 μm y densidad 0.2 g/cm
3
. Determinar la potencia de salida de
este láser.
????????????
????????????=
????????????
????????????
; ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????=
????????????
????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????

???????????? ????????????
∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????=????????????∗????????????∗???????????? ;????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????=
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
∗????????????∗(????????????.????????????∗????????????????????????
−????????????
)
????????????
=????????????.???????????????????????????????????? ????????????

64. Por un conductor cilíndrico largo de longitud L, radio a y resistividad ρ, circula
una corriente estacionaria I que está distribuida uniformemente en toda su
sección recta.
a) Utilizar la ley de Ohm para relacionar el campo eléctrico E en el conductor
con I, ρ y d.
b) Hallar el campo magnético B en el exterior, pero junto al conductor.
c) Utilizar los resultados de las partes (a) y (b) para calcular el vector de
Poynting ????????????��⃗=????????????��⃗⨂????????????��⃗/????????????
???????????? en r = a (superficie del conductor). ¿En qué
dirección está S?
d) Hallar el flujo ∮????????????
???????????????????????????????????? que atraviesa la superficie del conductor desde su
interior y demostrar que el flujo de energía por unidad de tiempo dentro
del conductor es igual a I
2
R, siendo R su resistencia. (Aquí S n es el
componente hacia dentro de S perpendicular a la superficie del
conductor).
a) ????????????????????????=????????????∗????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????
=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
=????????????∗????????????
????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????

b) ∫????????????��⃗∗????????????????????????⃗=????????????∗????????????∗????????????∗????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????
????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????

27. c) El campo eléctrico está dirigido en la dirección del hilo y el magnético en
círculos alrededor del hilo:
????????????��⃗=
????????????��⃗⨂????????????��⃗
????????????????????????
=
????????????
????????????
????????????
∗
????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗????????????��⃗
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????⨂????????????��⃗
????????????????????????????????????????????????
????????????��⃗=−
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????�⃗
Donde r es el vector unitario dirigido hacia afuera del conductor.
d) ∮????????????
????????????????????????????????????=????????????∗(????????????∗????????????∗????????????∗????????????)
∮????????????????????????????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗(????????????∗????????????∗????????????∗????????????)=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????

Usando ????????????=
????????????∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
.
∮????????????????????????????????????????????????)=????????????
????????????
∗????????????

65. Un solenoide largo de n vueltas por unidad de longitud transporta una corriente que aumenta lentamente con el tiempo. El solenoide tiene un radio R y la corriente en el arrollamiento tiene la forma I(t)=a t.
a) Hallar el campo eléctrico inducido a una distancia r<R del eje del solenoide.
b) Hallar el módulo y la dirección del vector de Poynting S en la superficie
cilíndrica r=R justo en el interior del arrollamiento.
c) Calcular el flujo ∮????????????
???????????????????????????????????? dentro del solenoide y demostrar que es igual al
crecimiento de la energía magnética por unidad de tiempo dentro del solenoide. (Aquí S
n es el componente hacia dentro de S perpendicular a la
superficie del conductor).
a) Aplicando la ley de Faraday a un circulo de radio r<R :
∮????????????��⃗
????????????
∗????????????????????????⃗=????????????∗????????????∗????????????∗????????????=−
????????????????????????????????????
????????????????????????

????????????=−
????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗
????????????????????????????????????
????????????????????????

El campo creado en un solenoide viene dado por:
????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????=????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=−
????????????
????????????∗????????????∗????????????
∗
????????????
????????????????????????
(????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????)=−
????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????

b) ????????????=
????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????

El campo E es tangencial y dirigido para crear una corriente inducida que
se oponga al aumento de B. El producto ????????????��⃗⨂????????????��⃗ tendrá el sentido del eje del
solenoide.
????????????��⃗=
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????�⃗
r es un vector unitario que apunta hacia afuera del solenoide en sentido
radial.
c) Consideramos una superficie cilíndrica de radio R y longitud L alrededor
del solenoide:
∮????????????????????????????????????????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????=????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗
????????????
????????????
∗????????????????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????

∮???????????????????????????????????????????????? =????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????=????????????∗????????????=
????????????
????????????
????????????∗????????????????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????=
(????????????∗????????????
????????????∗????????????∗???????????? )
????????????
????????????∗????????????????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????

28. ????????????
????????????=
????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
????????????
????????????

????????????????????????????????????
????????????????????????
=????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????=∮????????????
????????????????????????????????????

66. Partículas suficientemente pequeñas pueden verse alejadas del sistema solar
por la presió0n de radiación del Sol. Suponer que las partículas son esféricas
con radio r y densidad de 1 g/cm
3
y que absorben toda la radiación con un
área eficaz de π r
2
. Están a una distancia R del Sol. Que tiene una potencia de
emisión de 3,83 10
26
W. ¿Cuál es el radio r para el cual la fuerza repulsiva de
la radiación equilibre exactamente la fuerza gravitatoria de atracción del Sol?
????????????
????????????∗????????????=????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????

????????????
????????????
∗????????????=????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????
????????????
=????????????∗
????????????????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
=????????????∗
????????????????????????∗????????????∗
????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????

????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
=????????????∗
????????????????????????∗????????????∗
????????????????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????
????????????????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
????????????????????????∗????????????∗????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
=????????????.????????????????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????

67. Algunos escritores de ciencia ficción han utilizado velas solares para propulsar
naves interestelares. Imaginemos una vela gigante montada sobre una nave y
sometida a la presión de radiación solar.
a) Demostrar que la aceleración de la nave viene dada por
????????????=
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????
???????????? ????????????

En donde Ps es la potencia emitida por el Sol y que es igual a 3,8 10
26
W, a
es el área de la superficie de la vela, m la masa total de la nave, r la
distancia al sol y c la velocidad de la luz.
b) Demostrar que la velocidad de la nave a una distancia r del Sol se calcula
mediante
????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????+�
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????��
????????????
????????????
????????????
−
????????????
????????????
�
En donde vo es la velocidad inicial en ro.
c) Comparar las aceleraciones relativas debidas a la presión de radiación y a
la fuerza gravitatoria. Utilizar valores razonables par A y m. ¿Funcionará
un sistema así?
a) Despreciando la fuerza de atracción ejercida por el Sol:
????????????
????????????=????????????∗???????????? ; ????????????
????????????∗????????????=????????????∗???????????? ;
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗????????????
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
????????????
∗????????????=????????????∗???????????? ;????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????

b) ????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????+????????????∗????????????∗????????????????????????=????????????
????????????
????????????+????????????∗
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
∗????????????????????????
????????????
????????????
=????????????
????????????????????????+
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
∗�
????????????−????????????????????????
????????????
????????????
�

29. ????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????+
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗�
????????????
????????????
????????????
−
????????????????????????
????????????
????????????
�
????????????
????????????
=????????????
????????????
????????????+
????????????????????????
????????????∗????????????∗????????????∗????????????∗�
????????????
????????????
−
????????????????????????
????????????
????????????
�
c) La aceleración de la gravedad solar a una distancia r del Sol es:
????????????
????????????=????????????∗
????????????????????????
????????????
????????????

Si suponemos una distancia como la del Sol a Marte:
????????????
????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????????????????
∗
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�
????????????=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????????????????? ???????????? /????????????
????????????

Para tener una aceleración de este valor a una masa de 1 kg
necesitaremos un área de:
????????????=
????????????????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
;????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????
????????????
????????????
=
????????????.????????????????????????????????????????????????????????????????????????∗????????????∗????????????∗�????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????????????????
�
????????????
∗????????????∗????????????????????????
????????????
∗????????????
????????????.????????????∗????????????????????????
????????????????????????

????????????=???????????????????????????????????????????????? ????????????
????????????

Un área muy grande para una masa de 1 kg, que implicaría una densidad
de la vela muy pequeña. Difícil de conseguir.

68. En las tiendas de artículos de novedad se vende un aparato denominado
radiómetro, indicado en la figura, en cuyo interior una especie de hélice bien
equilibrada gira rápidamente. En cada brazo de la hélice se encuentra sujeta
una laminilla, una de cuyas caras es blanca y la otra negra. Supongamos que
la masa de cada laminilla es de 2 g, que el área colectora de luz de la misma
vale 1 cm
2
y que cada brazo de la hélice tiene una longitud de 2 cm.
a) Si una bombilla de 100 W produce 50 W de energía electromagnética y la
bombilla está a 50 cm del radiómetro, hallar la máxima aceleración
angular de la hélice. (Estimar el momento de inercia de la hélice
suponiendo que toda la masa de cada laminilla está situada e el extremo
de los brazos).
b) ¿Cuánto tardará la hélice en acelerar a 10 rev/min si parte del reposo y se
encuentra sometida a la aceleración angular máxima en todo instante?
c) ¿Puede justificar la presión de radiación el rápido movimiento del
radiómetro?

a) ????????????
????????????=
????????????
????????????
=
????????????
????????????
????????????∗????????????
=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????

30. ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????
∗????????????
????????????=
????????????????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????

????????????=
????????????
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????∗????????????
????????????
∗????????????∗????????????∗????????????
=
????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????∗????????????∗????????????.????????????
????????????
∗????????????
∗????????????????????????
????????????
∗????????????∗????????????????????????
−????????????
∗????????????.????????????????????????

????????????=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
????????????????????????????????????/????????????
????????????

b) ????????????=????????????∗∆???????????? ; ∆????????????=
????????????
????????????
=
????????????????????????
????????????????????????????????????
????????????????????????????????????
∗
???????????? ????????????????????????????????????
???????????????????????? ????????????
∗
???????????? ???????????? ????????????????????????????????????
???????????? ????????????????????????????????????
????????????.????????????????????????∗????????????????????????
−????????????
=????????????.????????????????????????∗????????????????????????
????????????
????????????
c) Como pone en la nota del libro: el radiómetro gira en sentido opuesto al
que sería de esperar si la fuerza se debiese a la presión de radiación. La
razón consiste en que el aire cercano a la cara negra está más caliente que
el próximo a la cara blanca, de modo que las moléculas de aire que chocan
contra la cara negra tienen más energía que las que inciden sobre la cara
blanca. Esta es la causa del movimiento del radiómetro.

69. Cuando una onda electromagnética se refleja con incidencia normal sobre
una superficie perfectamente conductora, el vector campo eléctrico de la
onda reflejada en la superficie reflectante es el negativo correspondiente a la
onda incidente.
a) Explicar por qué debe ser así.
b) Demostrar que la superposición de las ondas incidente y reflejada da lugar
a una onda estacionaria.
c) ¿Qué relación existe entre el vector campo magnético de las ondas
incidente y reflejada en la superficie reflectante?
a) En una superficie conductora el campo es nulo, por ello el campo
incidente ha de ser igual y de signo contrario al reflejado:
b) ????????????��⃗
????????????=−????????????��⃗
????????????
????????????
????????????=????????????
????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)
????????????
????????????=−????????????
????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)
????????????
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)−????????????
????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)
????????????
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????????????????∗�????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)−????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)�
????????????
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????????????????∗�????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(−????????????∗????????????)−????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(−????????????∗????????????)−
????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�
????????????
????????????+????????????
????????????=????????????
????????????????????????∗(????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????) −
????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)+????????????????????????????????????�(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)�

????????????
????????????+????????????
????????????=????????????∗ ????????????
????????????????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????)
Ecuación de una onda estacionaria.
c) ????????????��⃗⨂????????????��⃗=????????????
????????????????????????��⃗, S tiene la dirección de la propagación de la onda, el campo
magnético tendrá la dirección z. Para la onda incidente:

31. ????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????−????????????∗????????????)
Los vectores S y E se invierten en la reflexión, por ello:
????????????
????????????=????????????
????????????∗????????????????????????????????????(????????????∗????????????+????????????∗????????????)
Entonces los vectores del campo magnético están en la dirección de la superficie
reflectante.
????????????��⃗=????????????∗????????????��⃗
????????????

70. Una fuente puntual intensa de luz radia 1 MW isotrópicamente. La fuente
está localizada 1,0 m por encima de un plano infinito perfectamente reflector.
Determinar la fuerza que actúa sobre el plano.
Sí la fuente puntual está a una distancia a por encima del plano. Consideramos un
anillo de radio r y espesor dr en el plano y centrado en el punto directamente debajo
de la fuente de luz.
La intensidad en cualquier lugar a lo largo de este anillo infinitesimal es:
????????????=
????????????
????????????∗????????????∗(????????????
????????????
+????????????
????????????
)

La fuerza sobre el anillo es, teniendo en cuenta que solo la compone nte normal de la
radiación incidente influye en la fuerza sobre el plano:
????????????????????????=
????????????
????????????
∗????????????∗???????????????????????????????????? ????????????=
????????????
????????????∗????????????∗????????????∗
(????????????
????????????
+????????????
????????????)
∗????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????∗
????????????
�????????????
????????????
+????????????
????????????

????????????????????????=
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗(
????????????
????????????
+????????????
????????????
)
????????????/????????????

????????????=∫
????????????∗????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????∗????????????∗(
????????????
????????????
+????????????
????????????
)
????????????/????????????
∞
????????????
=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗∫
????????????
(
????????????
????????????
+????????????
????????????
)
????????????/????????????
∗????????????????????????
∞
????????????

∫
????????????
(
????????????
????????????
+????????????
????????????
)
????????????/????????????
∗????????????????????????
∞
????????????
=�−
????????????
�
????????????
????????????
+????????????
????????????
�
????????????
∞
=
????????????
????????????

????????????=
????????????∗????????????
????????????∗????????????
∗
????????????
????????????
=
????????????
????????????∗????????????
=
????????????????????????
????????????
????????????∗????????????∗????????????????????????
????????????
=????????????.???????????????????????????????????????????????????????????? ????????????