Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones a Vigas de las Ecuaciones Diferenciales

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
SOLUCION A LOS PROBLEMAS DE MODELOS
LINEALES CON VALORES INCIALES DE DENNIS
G. ZILL
Integrantes:Escudero Castillo, Carlos
Merino Manchinelly, Cristian
Ortiz Garcia, Raul
Perleche Quesquen, Daniel
Ramos Nu~nez, Lucciana Vanessa
Chiclayo - Peru
Junio 2011

2. Solucion de los Problemas de Modelos Lineales
5.1.1 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre No Amortiguado
1.
el perodo del movimiento armonico simple?
F=ks!4 = 16s!s=
1
4
x
00
+w
2
x= 0!w
2
=
k
m
=
16
1=2
= 32
x
00
+ 32x= 0
r
2
+ 32 = 0!r1=
p
32iyr2=
p
32i
CFS=fcos 4
p
2t, sin 4
p
2tg
x(t) =c1cos 4
p
2t+c2sin 4
p
2t
Entonces el periodo viene dado por :P=
2
w
=
2
4
p
2
=

p
2
8
2.
simple es 2/ciclos/s, >Cual es la constante del resorte k?>Cual es la constante del
movimiento armonico simple si la masa original se reemplaza con una masa de 80 kg?
m= 20Kg
La frecuencia esta dada por:
f=
1
T
=
!
2
=
2

!= 4
!
2
= 16
k
m
= 16;m= 20
La constante k sera:
k= 320N=m
m= 80Kg; !
2
=
k
m
= 4
La frecuencia es:
f=
1
T
=
!
2
=
2
2
f=
1

1

3. 3.
Al inicio, la masa se libera desde el reposo en un punto 3 pulgadas arriba de la posicion
de equilibrio. encuentre la ecuacion de movimiento.
W= 24lb!m=
24
32
=
3
4
k=
F
s
=
24
1=3
= 72lb=pie
La ecuacion diferencial es :
x
00
+!
2
x=0
x
00
+
k
m
x=0
x
00
+ 96x=0
La ecuacion caracterstica es:
m
2
+ 96 =0
m1= 4
p
6i
m2=4
p
6i
x(t) =C1cos 4
p
6t+C2sen 4
p
6t
Con los valores iniciales:
x(0) =C1=
1
4
x
0
(t) =
p
6 sen 4
p
6t+ 4
p
6C2cos 4
p
6t
x
0
(0) = 4
p
6C2= 0
C2= 0
Luego la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
4
cos 4
p
6t
4.
desde la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
!
2
= 96; x(0) = 0x
0
(0) = 2
x(t) =C1cos 4
p
6t+C2sen 4
p
6t
x(0) =C1= 0
x
0
(t) = 4
p
6C2cos 4
p
6t
x
0
(0) = 4
p
6C2= 2
C2=
p
6
12
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
p
6
12
sen 4
p
6t
2

4. 5.
el reposo de un punto 6 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio.
W= 20lb!m=
20
32
=
5
8
s= 6pulg=
1
2
pie
k=
F
s
=
20
1
2
= 40
lb
pie
La ecuacion diferencial es:
x
00
+ 64x= 0
Su solucion sera:
x(t) =C1cos 8t+C2sen 8t
Con los valores iniciales.
x(0) =C1=
1
2
x
0
(0)!C2= 0
Luego la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
2
cos 8t
a) =12; =8; =6; =4y9=32s.
x(

12
) =
1
4
x(

8
) =
1
2
x(

6
) =
1
4
x(

4
) =
1
2
x(
9
32
) =
p
2
4
b) =16s?>En que direccion se dirige la
masa en este instante?
La velocidad ent=
3
16
s esx
0
(t) =4 sen 8t
Yx(
3
16
) = 4, desciende
c)
1
2
cos 8t= 0
cos 8t= 0
8t= (2n+ 1)

2
t=
(2n+ 1)
16
; nf0;1;2; : : :g
3

5. 6.
del resorte y se libera inicialmente desde la posicion de equilibrio con una velocidad
hacia arriba de 10 m/s. Encuentre la ecuacion de movimiento.
k=
F
s
=
400
2
= 200m= 50Kg
x
00
+
k
m
x= 0
x
00
+ 4x= 0
Su solucion es:
x(t) =C1cos 2t+C2sen 2t
x(0) =C1= 0
x
0
(t) = 2C2cos 2t
x
0
(0) = 2C2=10
C2=5
La ecuacion del movimiento es:
x1(t) =5 sen 2t
7.
al sistema resorte-masa del problema 6. Al segundo resorte se le coloca una masa de
20 kg., y ambas se liberan al inicio desde la posicion de equilibrio con una velocidad
ascendente de 10 m/s.
k= 20
N
m
; m= 20Kg; !
2
= 1
x
00
+x= 0
Su solucion es:
x(t) =C1cost+C2sent
x(0) =C1= 0
x
0
(t) =C2cost
x
0
(0) =C2=10
La ecuacion del movimiento es:
x2(t) =10 sent
4

6. a)
A=
p
C1
2
+C2
2
A1= 5A2= 10
A2> A1
b) =4 s?>En=2?
x1(

4
) =5< x2(

4
) =5
p
2
x1(

2
) = 0> x2(

2
) =10
c)
masas en estos instantes?>En que direcciones se estan moviendo las masas?
5 sen 2t=10 sent
5(2 sentcost) =10 sent
sent(cost1) = 0
cost= 1 _ sent= 0
t= 2n _ t=n
t=n
Reemplazando enx1
x1(n) =5 sen 2n
= 0;Pos. de equilibrio
x
0
1(t) =10 cos 2t
x
0
1(n) =10 cos 2n
=10;hacia arriba
Reemplazando enx2
x2(n) =10 senn
= 0;Pos. de equilibrio
x
0
2(t) =10 cost
x
0
2(n) =10 cosn
Si:n par :10Cos(n) =10!hacia arriba
n impar :10Cos(n) = 10!hacia abajo
5

7. 8.
perodo de movimiento si la masa se libera inicialmente desde un punto situado 1 pie
arriba de la posicion de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s.>Cuantos
ciclos completos habra completado la masa al nal de 4segundos?
W= 32!m=
32
32
= 1,k=
F
s
!k=
32
2
= 16
x
00
+!
2
x= 0
x
00
+ 16x= 0
x(t) =C1cos 4t+C2sen 4t
x(0) =C1=1
x
0
(t) = 4 sen 4t+ 4C2cos 4t
x
0
(0) = 4C2=2!C2=
1
2
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =cos 4t
1
2
sen 4t
Su amplitud es:
A=
p
C1
2
+C2
2
A=
r
1
2
+
1
2
2
A=
p
5
2
El periodo es:
T=
2
omega
=
2
4
T=

2
Luego en 4segundos la masa habra completado 4

2
= 8 ciclos
9.
sistema resorte-masa exhibe movimiento armonico simple. Determine la ecuacion de
movimiento si la constante de resorte es 1 lb/pie y la masa se libera inicialmente desde
un punto 6 pulgadas abajo de la posicion de equilibrio, con una velocidad descendente
de
3
2
pie/s. Exprese la ecuacion de movimiento en la forma dada en (6).
W= 8!m=
8
32
=
1
4
,k= 1
lb
pie
x
00
+!
2
x= 0
6

8. x
00
+ 4x= 0
x(t) =C1cos 2t+C2sen 2t
x(0) =C1=
1
2
x
0
(t) =
1
2
sen 2t+ 2C2cos 2t
x
0
(0) = 2C2=
3
2
!C2=
3
4
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
2
cos 2t+
3
4
sen 2t
Su amplitud es:
A=
r
1
2
2
+
3
4
2
=
p
13
4
= arctan
C1
C2
= 0;588
Luego la ecuacion toma la siguiente forma:
x(t) =Asin (!t+)
x(t) =
p
13
4
sin (2t+ 0;5888)
10.
1
4
de pie. Esta masa se retira y se
coloca una de 1.6 slugs, que se libera desde un punto situado a
1
3
de pie arriba de la
posicion de equilibrio, con una velocidad descendente de
5
4
pie/s. Exprese la ecuacion de
movimiento en la forma dada en (6). >En que tiempos la masa logra un desplazamiento
debajo de la posicion de equilibrio numericamente igual a
1
2
de la amplitud?
k=
F
s
=
10
1
4
= 40,m= 1;6 slugs
x
00
+
k
m
x= 0
x
00
+
40
1;6
x= 0
x
00
+ 25x= 0
7

9. x(t) =C1cos 5t+C2sen 5t
x(0) =C1=
1
3
x
0
(t) =
5
3
sen 2t+ 5C2cos 5t
x
0
(0) = 5C2=
5
4
!C2=
1
4
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
1
3
cos 5t+
1
4
sen 5t
Su amplitud es:
A=
r

1
3
2
+
1
4
2
=
5
12
= arctan
C1
C2
=0;927
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
5
12
sin (5t0;927)
Cuandox=
1
2
A= +
5
24
x(t) =
5
12
sin (5t0;927) =
5
24
sin (5t0;927) =
1
2
arcsin
1
2
=f5t0;927 + 2njn2Zg [ f(5t0;927) + (2n+ 1)jn2Zg
t=
1
5
(0;927 +

6
2n)
n2Z
[
t=
1
5
(0;927 +
5
6
+ 2n)
n2Z
11.
un punto que esta 8 pulgadas arriba de la posicion de equilibrio, con una velocidad
descendente de 5 pies/s.
w= 64lb,x(0) =
2
3
pie,x
0
(0) = 5pie=s
a)
x
00
+w
2
x= 0 y ademas sabemos quew
2
=
k
m
8

10. Busqueda dek Busqueda dem
64 =k(0;32) W=mg
k= 200 64 = m(32))m= 2
Luego:w
2
=
k
m
= 100
Ecuacion Caracteristica:r
2
+ 100 = 0
r1= 10i,r2=10i
CFS=fcos 10t, sin 10tg
La solucion esx(t) =c1cos 10t+c2sin 10t
Condiciones iniciales :x(0) =
2
3
=c1
x
0
(t) =10c1sin 10t+ 10c2cos 10t
x
0
(0) = 5 = 10c2cos 0)c2=
1
2
)x(t) =
2
3
cos 10t+
1
2
sin 10t
b)
A=
q
c
2
1+c
2
2=
r
(
2
3
)
2
+ (
1
2
)
2
=
5
6
P=
2
w
=
2
10
=

5
Escribamos la solucion en forma sinusoidal:
calculo de
Sabemos tan=
c1
c2
=
2=3
1=2
tan=
4
3
)=0;927
)x(t) =
5
6
sin(10t0;927)
c) segundos?
1oscilacion!

5
xoscilacion!3
x= 15 oscilaciones
d)
abajo por segunda vez?
sin(10t0;927) = sin(n)
10t0;927 =n
)
n+ 0;927
10
=t
e)
de la posicion de equilibrio?
9

11. x
0
(t) =
25
3
cos (10t0;927) = 0
10t0;927 =

2
+n
t=
(2n+ 1)
20
+ 0;0927; n=f0;1;2; : : :g
f) t= 3?
x(3) =0;597
g) t= 3?
x
0
(3) =5;813
h) t= 3?
x
00
(3) = 59;702
i)
posicion de equilibrio?
t=
2n+ 0;927
10
Luego reemplazando en la ecuacion del movimiento:
x
0
(t) =
25
3
cos (10t0;927)
x
0
(
2n+ 0;927
10
) =
25
3
cos (2n)
x
0
(
2n+ 0;927
10
) =
25
3
j)
x(t) =
5
6
sen (10t0;927) =
5
12
sen (10t0;927) =
1
2
arcsin
1
2
=f10t0;927 + 2njn2Zg [ f(10t0;927) + (2n+ 1)jn2Zg
t=
1
10
(0;927 +

6
+ 2n); n2 f0;1;2; : : :g
10

12. k)
tando en direccion hacia arriba?
m= 1 slug,k= 9 lb/pie
12.
la masa se libera desde un punto que esta 1 pie arriba de la posicion de equilibrio con
una velocidad ascendente de
p
3 pies/s. Determine los instantes en los que la masa se
dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.
x
00
+!
2
x= 0
x
00
+ 9x= 0
x(t) =C1cos 3t+C2sen 3t
x(0) =C1=1
x
0
(t) = 3 sen 3t+ 3C2cos 3t
x
0
(0) = 3C2=
p
3!C2=
p
3
3
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =cos 3t
p
3
3
sen 3t
Luego la ecuacion toma la forma:
x(t) =
2
p
3
sin (3t+ (

3
+))
x(t) =
2
p
3
sin (3t+
4
3
)
La velocidad es:
x
0
(t) = 2
p
3 cos (3t+
4
3
)
2
p
3 cos (3t+
4
3
) = 3
cos (3t+
4
3
) =
p
3
2
11

13. 13. k1yk2, so-
portan una sola masa, laconstante de resorte efectiva del sistemase expresa
comok= 4k1k2=(k1+k2). Una masa que pesa 20 lb. estira un resorte 6 pulgadas y
a otro resorte 2 pulgadas. Los resortes se unen a un soporte rgido comun y luego a
una placa metalica. Como se ilustra en la gura, la masa se une al centro de la placa
en la conguracion de resorte doble. Determine la constante de resorte efectiva de este
sistema. Encuentre la ecuacion de movimiento si la masa se libera inicialmente desde
la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
k=
4k1k2
k1+k2
20 =k1(1=2) 20 = k2(1=6)
k1= 40 k2= 120
k=
4(40)(120)
40 + 120
= 120
w
2
=
k
m
=
120
5=8
= 192
La ecuacion viene dada por:x
00
+ 192x= 0
r1= 8
p
3i,r2=8
p
3i
CFS=fcos 8
p
3t, sin 8
p
3tg
x(t) =c1cos 8
p
3t+c2sin 8
p
3t
Calculamos las constantes:
c1= 0 c2=
p
3
12
)x(t) =
p
3
12
sin 8
p
3t
14.
1
3
de pie y otro resorte
1
2
de pie. Los dos resortes se
unen a un soporte rgido comun en la manera descrita en el Problema 13. Se quita la
primera masa y se coloca una que pesa 8 libras en la conguracion de resorte doble,
y se pone en movimiento el sistema. Si el periodo de movimiento es=15 segundos,
determine cuanto pesa la primera masa.
12

14. 15. x
00
+e
0;1t
x= 0. Por inspeccion de la
ecuacion diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un lar-
go periodo.
16. x
00
+tx= 0. Por inspeccion de la ecuacion
diferencial solamente, describa el comportamiento del sistema durante un largo periodo.
13

15. 5.1.2 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Libre Amortiguado
En los Problemas 17 a 20, la gura representa la graca de una ecuacion de movimiento
para un sitema amortiguado resorte-masa. Use la graca para determinar:
(a)si el desplazamiento inicial esta arriba o abajo de la posicion de equilibrio y
(b)si la masa se libera inicialmente desde el reposo, con direccion hacia abajo o hacia
arriba.
17.
a)
la pos. de equilibrio debido a quexen
0 es negativo
b)
arriba debido a que la curva esta bajan-
do
18.
a)
la pos. de equilibrio debido a quexen
0 es positivo
b)
derivada ent= 0 es 0
19.
a)
la pos. de equilibrio debido a quexen
0 es positivo
b)
arriba debido a que la curva esta bajan-
do
14

16. 20.
a)
la pos. de equilibrio debido a quexen
0 es negativo
b)
abajo debido a que la curva esta subien-
do
21.
dio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numericamente igual a la velocidad
instantanea. La masa se libera desde un punto situado 1 pie arriba de la posicion de
equilibrio con una velocidad descendente de 8 pies/s. Determine el tiempo en el que la
masa pas por la posicion de equilibrio. Encuentre el tiempo en el que la masa alcanza
su desplazamiento extremo desde la posicion de equilibrio. >Cual es la posicion de la
masa en este instante?
w=mg
4 =m(32)
1
8
=m
x(0) =1pies
x
0
(t) = 8pies=s
x= 2libras=pie
entonces
dx
dt
=
dx
dt
m
2
+ 8m+ 16 = 0
(m+ 4)(m+ 4) = 0
m1= e
4t
m2= e
4t
x(t) =C1e
4t
+C2te
4t
15

17. C1=1
C2= 4
entonces
x(t) =e
4t
+ 4te
4t
x
0
(t) = 8e
4t
16te
4t
si
x(t) = 0
entonces
t=
1
4
si
x
0
(t) = 0
entonces
t=
1
2
y el desplazamiento es
x= e
2t
pies
22.
libras. El medio por el que se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento
igual a
p
2 veces la velocidad instantanea. Encuentre la ecuacion de movimiento si
la masa se libera inicialmente desde la posicion de equilibrio con una velocidad des-
cendente de 5 pies/s. Calcule el tiempo en el que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posicion de equilibrio. >Cual es la posicion de la masa en ese instante?
S0= 4pies
w=mg
8 =m(32)
1
4
=m
8 =k(84)
k= 2libras=pies
16

18. d
2
x
dt
2
+
p
2
1=4
dx
dt
+
2
1=4
x= 0
m
2
+ 4
p
2m+ 8 = 0
(m+ 2
p
2)(m+ 2
p
2) = 0
m1=2
p
2multiplicidad2
x(t) =C1e
2
p
2t
+C2te
2
p
2t
x
0
(t) =2
p
2C1e
2
p
2t
+C2e
2
p
2t
+ (2
p
2)tC2e
2
p
2t
x(0) = 0
x
0
(0) = 5
C1= 0
C2= 5
x(t) = 5te
2
p
2t
x
0
(t) = 5e
2
p
2t
10
p
2te
2
p
2t
reemplazando cuando
t= 0;x
0
(0) = 0
obtenemos
t= 2
p
2
reemplazando
x(2
p
2) = 10
p
2e
2
p
2(2
p
2)
23.
completo se sumerge en un lquido que imparte una fuerza amortiguadora igual a 10
veces la velocidad instantanea. Determine las ecuaciones de movimiento si:
(a)al inicio la masa se libera desde un punto situado 1 metro abajo de la posicion de
equilibrio, y luego
(a)la masa se libera inicialmente desde un punto 1 metro abajo de la posicion de equi-
librio con una velocidad ascendente de 12 m/s
m= 1kg
k= 16N=m
B= 10
17

19. d
2
x
dt
2
+

m
dx
dt
+
k
m
x= 0
m
2
+ 10m+ 16 = 0
(m+ 8)(m+ 2) = 0
m1= e
8t
m2= e
2t
x(t) =C1e
8t
+C2e
2t
x
0
(t) =8C1e
8t
2C2e
2t
a)
x(0) = 1
C1=
1
3
C2=
4
3
x(t) =
1
3
e
8t
+
4
3
e
2t
b)
x(0) = 1
x
0
(0) =12
C1=
5
3
C2=
2
3
x(t) =
5
3
e
8t
+
2
3
e
2t
24.
equilibrio. En cada caso, calcule el tiempo en que la masa alcanza su desplazamiento
extremo desde la posicion de equilibrio. >Cual es la posicion de la masa en este instan-
te?
en a)
x(t) =
1
3
e
8t
+
4
3
e
2t
nunca es cero, el desplazamiento
x(0) = 1metro
18

20. en b)
x(t) =
5
3
e
8t
+
2
3
e
2t
= 0
cuando
t= 0;153
si
x
0
(t) =
40
3
e
8t
+
4
3
e
2t
= 0
entonces
t= 0;384
y el desplazamiento
x=0;232metros
25.
resorte, y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amorti-
guamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantanea.
m=
3;2
32
= 0;1 slug,k=
2
1
= 2 lb/pie, 2=
0;4
0;1
x
0
= 4x
0
x
00
+ 2x
0
+!
2
x= 0
x
00
+ 4x
0
+ 20x= 0
Su solucion
m
2
+ 4m+ 20 = 0
m=
4
p
4
2
4(1)(20)
2(1)
m1=2 + 4i
m2=24i
x(t) =C1e
2t
cos 4t+C2e
2t
sen 4t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) =C1=1
x
0
(t) = (4C22C1)e
2t
cos 4t(4C1+ 2C2)e
2t
sen 4t
x
0
(0) = 4C22C1= 0!C2=
1
2
19

21. a)
reposo en un punto situado a 1 pie por encima de la posicion de equilibrio.
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =e
2t
cos 4t
1
2
e
2t
sen 4t
b)
Con:
A=
r
(1)
2
+ (
1
2
)
2
=
p
5
2
= arctan
C1
C2
= arctan 2 = 1;11 += 4;25
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
p
5
2
e
2t
sen (4t+ 4;25)
c)
en direccion hacia arriba.
En la posicion de equilibriox= 0
0 =
p
5
2
e
2t
sen (4t+ 4;25)
0 = sen (4t+ 4;25)
n= 4t+ 4;25
La primera vez que va hacia arriba conn= 3. Luego:
t= 1;294
26.
medir 7 pies. Se retira la masa y se sustituye con una de 8 libras. Despues se coloca
al sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a la velocidad
instantanea.
m=
8
32
=
1
4
slug,k=
10
2
= 5 lb/pie, 2=
1
1=4
= 4
x
00
+ 2x
0
+!
2
x= 0
x
00
+ 4x
0
+ 20x= 0
m
2
+ 4m+ 20 = 0
m=
4
p
4
2
4(1)(20)
2(1)
m1=2 + 4i
m2=24i
20

22. x(t) =C1e
2t
cos 4t+C2e
2t
sen 4t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) =C1=1
x
0
(t) = (4C22C1)e
2t
cos 4t(4C1+ 2C2)e
2t
sen 4t
x
0
(0) = 4C22C1= 0!C2=
1
2
a)
reposo de un punto situado 1 pie arriba de la posicion de equilibrio.
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =e
2t
cos 4t
1
2
e
2t
sen 4t
b)
Con:
A=
r
(1)
2
+ (
1
2
)
2
=
p
5
2
= arctan
C1
C2
= arctan 2 = 1;11 += 4;25
La ecuacion toma la forma:
x(t) =
p
5
2
e
2t
sen (4t+ 4;25)
c)
cion hacia abajo.
0 =
p
5
2
e
2t
sen (4t+ 4;25)
0 = sen (4t+ 4;25)
n= 4t+ 4;25
t=
n4;25
4
; n= 2;3;4; : : :
Como el movimiento comienza arriba, entoncesn= 2 esta en direccion hacia
abajo,luego se deduce que los tiempos en los que la masa va hacia abajo son:
t=
n4;25
4
; n= 2;4;6; : : :
21

23. d)
La graca es:
27.
se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a(>0) veces la velocidad instantanea. Determine los valores de la constante de
amortiguamientode modo que el movimiento posterior sea:
m=
10
32
=
5
16
slug,k=
10
2
= 5 lb/pie, >0
mx
00
+x
0
+kx= 0
10
32
x
00
+x
0
+ 5x= 0
El discriminante de la ecuacion es:
4=
2
4(
10
32
)(5)
4=
2
(
25
4
)
a)
2
(
25
4
)>0) >
5
2
b)
2
(
25
4
) = 0)=
5
2
c)
2
(
25
4
)<0) <
5
2
28.
lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a(>0) veces la
velocidad instantanea. Si al inicio la masa se libera desde la posicion de equilibrio con
una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuando>3
p
2 la ecuacion de mo-
vimiento es:
x(t) =
3
p

2
18
e
2t=3
sinh
2
3
p

2
18t
22

24. m=
24
32
=
3
4
slug,k=
24
4
= 6 lb/pie, >0
mx
00
+x
0
+kx= 0
3
4
x
00
+x
0
+ 6x= 0
x
00
+
4
3
x
0
+ 8x= 0
m
2
+
4
3
m+ 8 = 0
m=
4
3

q
(
4
3
)
2
4(1)(8)
2(1)
m=
2
3

2
3
p

2
18; >3
p
2
x(t) =C1e
(
2
3
+
2
3
p

2
18)t
+ C2e
(
2
3

2
3
p

2
18)t
Aplicando los valores iniciales:
x(0) =C1+C2= 0
x
0
(t) =C1(
2
3
+
2
3
p

2
18)e
(
2
3
+
2
3
p

2
18)t
+ C2(
2
3

2
3
p

2
18)e
(
2
3

2
3
p

2
18)
x
0
(0) =C1(
2
3
+
2
3
p

2
18)C1(
2
3

2
3
p

2
18)
2 =C1
4
3
p

2
18
C1=
3
2
p

2
18
C2=
3
2
p

2
18
La ecuacion del movimiento es:
x(t) =
3
2
p

2
18
e
(
2
3
+
2
3
p

2
18)t
+
3
2
p

2
18
e
(
2
3

2
3
p

2
18)t
Pero:
senha=
e
a
e
a
2
Dando la forma a la ecuacion:
x(t) =
3
p

2
18
e
(
2
3
)

e
2
3
p

2
18
e

2
3
p

2
18
2
!
23

25. Quedara que la ecuacion del movimiento es:
x(t) =
3
p

2
18
e
(
2
3
)
senh
2
3
p

2
18
24

26. 5.1.3 SISTEMAS RESORTE - MASA: Movimiento Forzado
29.
8
3
pie un resorte. La masa se libera inicialmente
desde el reposo desde un punto 2 pies abajo de la posicion de equilibrio, y el movimien-
to posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual
a
1
2
de la velocidad instantanea. Encuentra la ecuacion de movimiento si se aplica a la
masa una fuerza externa igual af(t) = 10 cos 3t.
Primero hallamos los valores demykpara eso sabemos queW=mg, entonces
16 =m(32); por lo tantom=
1
2
. Ademas queW=ks, entonces 16 =k(
8
3
) por lo
tantok= 6; y como dato del problema tenemos=
1
2
. Teniendo en cuenta esto plan-
teamos la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2+
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x= 10cos3t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+m+ 12 = 0
Hallamos valor dem: m=
1
2

p
47
2
i
Por lo tanto:CFS= (e
t=2
cos
p
47
2
t;e
t=2
sin
p
47
2
t)
As tenemos que:xc(t) =c1e
t=2
cos
p
47
2
t+c2e
t=2
sin
p
47
2
t
Ahora, teniendof(t) = 10 cos 3taplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 9)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 9 = 0
Hallamos valor dem: m=3i
Por lo tanto:CFS= (cos 3t; sin 3t)
As tenemos que:xp(t) =c3cos 3t+c4sin 3t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x= 10 cos 3t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores dec3yc4:
c3=c4=
5
3
25

27. Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1e
t=2
cos
p
47
2
t+c2e
t=2
sin
p
47
2
t+
5
3
cos 3t+
5
3
sin 3t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del problema,x(0) = 0
yx
0
(0) = 2; y obtenemos:
c1=
1
3
c2=
29
p
47
2
De modo que:
x(t) =
1
3
e
t=2
cos
p
47
2
t+
29
p
47
2
e
t=2
sin
p
47
2
t+
5
3
cos 3t+
5
3
sin 3t
30.
se libera 1 pie abajo de la posicion de equilibrio con una velocidad descendente de 5
pies/s, y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece una fuerza de
amortiguamiento igual a 2 veces la velocidad instantanea.
(a)Encuentre la ecuacion de movimiento si una fuerza externa igual af(t) = 12 cos 2t+
3 sin 2tactua sobre la masa.
Primero expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemosm= 1,k= 5 y= 2
como datos del problema:
d
2
x
dt
2+
2
1
dx
dt
+
5
1
x= 12cos2t+ 3sin2t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
2
1
dx
dt
+
5
1
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 2m+ 5 = 0
Hallamos valor dem: m=12i
Por lo tanto:CFS= (e
t
cos 2t;e
t
sin 2t)
As tenemos que:xc(t) =c1e
t
cos 2t+c2e
t
sin 2t
Ahora, teniendof(t) = 12 cos 2t+3 sin 2taplicamos el metodo del Operador Anulador,
26

28. para hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 4)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 4 = 0
Hallamos valor dem: m=2i
Por lo tanto:CFS= (cos 2t; sin 2t)
As tenemos que:xp(t) =c3cos 2t+c4sin 2t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
1=2
1=2
dx
dt
+
6
1=2
x= 12 cos 2t+ 3 sin 2t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores dec3yc4:
c3=0;64
c4=0;02
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1e
t
cos 2t+c2e
t
sin 2t0;64 cos 2t0;02 sin 2t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del problema,x(0) = 1
yx
0
(0) = 5; y obtenemos:
c1= 1;64
c2= 3;35
De modo que:
x(t) = 1;64e
t
cos 2t+ 3;35e
t
sin 2t0;64 cos 2t0;02 sin 2t
(b)Graque las soluciones transitoria y de estado estable en los mismos ejes de las
coordenadas.
La solucion transitoria esxc(t), entonces:
xc(t) = 1;64e
t
cos 2t+ 3;35e
t
sin 2t
La graca sera:
27

29. La solucion de estado estable esxp(t), entonces:
xp(t) =0;64 cos 2t0;02 sin 2t
La graca sera:
28

30. (c)Graque la ecuacion de movimiento.
La solucion corresponde a la siguiente expresion:
x(t) = 1;64e
t
cos 2t+ 3;35e
t
sin 2t0;64 cos 2t0;02 sin 2t
La graca sera:
31.
pies y luego llega al punto de reposo en la posicion de equilibrio. Empezando ent= 0,
una fuerza externa igual af(t) = 8 sin 4tse aplica al sistema. Encuentre la ecuacion
de movimiento si el medio circundante ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 8
veces la velocidad instantanea.
Primero hallamos el valor dek, teniendomcomo dato para eso sabemos queW=mg,
entoncesW= (1)(32). Entonces siW=ks, tenemos 32 =k(2) por lo tantok= 16;
y como dato del problema tenemos= 8. Teniendo en cuenta esto planteamos la
ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2+
8
1
dx
dt
+
16
1
x= 8sin4t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
8
1
dx
dt
+
16
1
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 8m+ 16 = 0
Hallamos valor dem: m=4 2 veces
Por lo tanto:CFS= (e
4t
;te
4t
)
As tenemos que:xc(t) =c1e
4t
+c2te
4t
29

31. Ahora, teniendof(t) = 8 sin 4taplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 16)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 16 = 0
Hallamos valor dem: m=4i
Por lo tanto:CFS= (cos 4t; sin 4t)
As tenemos que:xp(t) =c3cos 4t+c4sin 4t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
8
1
dx
dt
+
16
1
x= 8 sin 4t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores dec3yc4:
c3=
1
4
c4= 0
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1e
4t
+c2te
4t

1
4
cos 4t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del problema,x(0) = 0
yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
c1=
1
4
c2= 1
De modo que:
x(t) =
1
4
e
4t
+te
4t

1
4
cos 4t
32. f(t) =
e
t
sin 4t. Analice el desplazamiento parat!.
Del problema 31 tenemos:
d
2
x
dt
2+
8
1
dx
dt
+
16
1
x=e
t
sin4t (1)
30

32. Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
8
1
dx
dt
+
16
1
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 8m+ 16 = 0
Hallamos valor dem: m=4 2 veces
Por lo tanto:CFS= (e
4t
;te
4t
)
As tenemos que:xc(t) =c1e
4t
+c2te
4t
Ahora, teniendof(t) =e
t
sin 4taplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 2D+ 17)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 2m+ 17 = 0
Hallamos valor dem: m=14i
Por lo tanto:CFS= (cos 4t; sin 4t)
As tenemos que:xp(t) =c3cos 4t+c4sin 4t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
8
1
dy
dx
+
16
1
y= 8 sin 4t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores dec3yc4:
c3=
1
4
c4= 0
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1e
4t
+c2te
4t

1
4
cos 4t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del problema,x(0) = 0
yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
c1=
1
4
c2= 1
De modo que:
31

33. x(t) =
1
4
e
4t
+te
4t

1
4
cos 4t
Por tanto si :t!(valor muy grande), la expresion quedara reducida a:
x(t) =
1
4
cos 4t
33.
ga al reposo en la posicion de equilibrio. Comenzando ent= 0, una fuerza igual a
f(t) = 68e
2t
cos 4tse aplica al sistema. Determine la ecuacion de movimiento en au-
sencia de amortiguamiento.
Primero expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemosm= 2,k= 32 y= 0
como datos del problema:
d
2
x
dt
2+
32
2
x= 68e
2t
cos4t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
32
2
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 16 = 0
Hallamos valor dem: m=4i
Por lo tanto:CFS= (cos 4t; sin 4t)
As tenemos que:xc(t) =c1cos 4t+c2sin 4t
Ahora, teniendof(t) = 68e
2t
cos 4taplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 4D+ 20)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 4m+ 20 = 0
Hallamos valor dem: m=24i
Por lo tanto:CFS= (e
2t
cos 4t;e
2t
sin 4t)
As tenemos que:xp(t) =c3e
2t
cos 4t+c4e
2t
sin 4t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
32
2
x= 68e
2t
cos 4t
32

34. Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores dec3yc4:
c3= 1
c4=4
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1cos 4t+c2sin 4t+e
2t
cos 4t4e
2t
sin 4t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del problema,x(0) = 0
yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
c1=1
c2=
9
2
De modo que:
x(t) =1 cos 4t+
9
2
sin 4t+e
2t
cos 4t4e
2t
sin 4t
34. x(t) =Asin(!t+
) +Be
2t
sin(4t+). >Cual es la amplitud de las vibraciones pasado un tiempo muy
largo?
Para hallarAyButilizamos las siguientes expresiones:
A=
p
c1
2
+c2
2
B=
p
c3
2
+c4
2
Entonces tenemos:
A=
q
(1)
2
+ (9=2)
2
=
p
85
2
B=
q
1
2
+ (4)
2
=
p
17
Y luego para hallaryusamos:
= arctan
c1
c2
= arctan
c3
c4
As tenemos:
33

35. =0;22rad
=0;24rad
Finalmente la expresion quedara:
x(t) =
p
85
2
sin(4t+0;22rad) +
p
17e
2t
sin(4t+0;24rad)
Cuandot!la amplitud sera:
A=
p
85
2
sin(0;22rad)
35. mse une al extremo de un resorte cuya constante esk. Despues que la masa
alcanza el equilibrio, su soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta
horizontalLsegun la formulah(t). El valor dehrepresenta la distancia en pies medida
desdeL. Vease la gura
(a)Determine la ecuacion diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en
un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a(
dx
dt
).
De la Ley de Hooke tenemos:
m
d
2
x
dt
2
=k(s+x) +mg
De la condicion de equilibrio tenemos que:mgks= 0, entonces la ecuacion quedara:
m
d
2
x
dt
2
=kx
34

36. Luego incluyendo la fuerza amortiguadora:
m
d
2
x
dt
2
=kx
dx
dt
Ahora como dato de problema tenemos que el soporte oscila verticalmente sobre la recta
Len funcion deh, entonces asumiremos que la oscilacion del soporte es la misma que
la del resorte, como consecuencia de esto comparten el mismok, entonces la ecuacion
quedara:
m
d
2
x
dt
2
=kx
dx
dt
+kh(t)
Ahora expresandolo como ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+

m
dx
dt
+
k
m
x=
k
m
h(t)
(b)Resuelva la ecuacion diferencial del inciso (a) si el resorte se alarga 4 pies con una
masa que pesa 16 libras y= 2 ,h(t) = 5 cost,x(0) =x
0
(0) = 0.
Al tener los datosm= 1=2,k= 4 y= 2 reemplazamos en la ecuacion obtenida en (a):
d
2
x
dt
2+
2
1=2
dx
dt
+
4
1=2
x= 40cost (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
2
1=2
dx
dt
+
4
1=2
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 4m+ 8 = 0
Hallamos valor dem: m=22i
Por lo tanto:CFS= (e
2t
cos 2t;e
2t
sin 2t)
As tenemos que:xc(t) =c1e
2t
cos 2t+c2e
2t
sin 2t
Ahora, teniendof(t) = 40 costaplicamos el metodo del Operador Anulador, para
hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos af(t) por (D
2
+ 1)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 1 = 0
Hallamos valor dem: m=i
Por lo tanto:CFS= (cost; sint)
As tenemos que:xp(t) =c3cost+c4sint
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial:
d
2
x
dt
2
+
2
1
2
dx
dt
+
4
1
2
x= 40 cost
35

37. Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as obtenemos los valores
dec3yc4:
c3=
56
13
c4=
32
13
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1e
2t
cos2t+c2e
2t
sin2t+
56
13
cost+
32
13
sint
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del
problema,x(0) = 0 yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
c1=
56
13
c2=
72
13
De modo que:
x(t) =
56
13
e
2t
cos2t
72
13
e
2t
sin2t+
56
13
cost+
32
13
sint
36.
dinas/cm. Despues de que la masa alcanza el equilibrio, su apoyo oscila
segun la formulah(t) = sin8t, dondehrepresenta el desplazamiento
desde su posicion original.
(a)En ausencia de amortiguamiento, determine la ecuacion de movi-
miento si la masa parte del reposo desde la posicion de equilibrio.
Primero hacemos la transformacion respectiva 1600dinas=cm= 1;6N=my
luego expresamos la ecuacion diferencial ya que tenemosm= 0;1,k=
1;6 y= 0 como datos del problema:
36

38. d
2
x
dt
2+
1;6
0;1
x= sin8t (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+
1;6
0;1
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 16 = 0
Hallamos valor dem: m=4i
Por lo tanto:CFS= (cos4t; sin4t)
As tenemos que:xc(t) =c1cos4t+c2sin4t
Ahora, teniendof(t) = sin8taplicamos el metodo del Operador Anu-
lador, para hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplicamos a
f(t) por (D
2
+ 64)
Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+ 64 = 0
Hallamos valor dem: m=8i
Por lo tanto:CFS= (cos8t; sin8t)
As tenemos que:xp(t) =c3cos8t+c4sin8t
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial
d
2
x
dt
2+
1;6
0;1
y= sin8t
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as los valores dec3yc4:
c3= 0
c4=
1
3
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1cos4t+c2sin4t
1
3
sin8t
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del
problema,x(0) = 0 yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
37

39. c1= 0
c2=
2
3
De modo que:
x(t) =
2
3
sin4t
1
3
sin8t
(b)>En que instantes la masa pasa por la posicion de equilibrio?
De la graca tenemos que la masa pasa por la posicion de equilibrio en
los instantest=
n
4
paran= 0;1;2;3;4:::
38

40. (c)>En que tiempos la masa alcanza sus desplazamientos extremos?
En la graca observamos la expresion de la ecuacion de movimiento color
morado y su correspodiente derivada color negro, teniendo en cuenta de
que la derivada de una funcion en el punto cero es maxima o mnima,
entonces la graca nos muestra los desplazamientos extremos ubicados
en los puntos:t= (
1
6
)paran3Ncon excepcion de los multiplos de 3.
(d)>Cuales son los desplazamientos maximo y mnimo?
Usamos el valor anterior dety reemplazamos en la ecuacion de movi-
miento:
x(

6
) =
2
3
sin4(

6
)
1
3
sin8(

6
)
y obtenemos que
xmax= 0;866
(e)Graque la ecuacion de movimiento.
39

41. 37.
d
2
x
dt
2+ 4x=5sin2t+ 3cos2t,x(0) =1,x
0
(0) = 1
Este tipo de problemas no tienen solucion usando el metodo de coe-
cientes indeterminados; pero se pueden resolver mediante el metodo de
variacion de parametros.
De igual forma hallamos primero la solucion complementariaxc(t):
d
2
x
dt
2
+ 4x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 4 = 0
Hallamos valor dem: m=2i
Por lo tanto:CFS= (cos2t; sin2t)
As tenemos que:xc(t) =u1(t)cos2t+u2(t)sin2t
Denimos el wronskiano del CFS:
W=




cos2t sin2t
2sin2t2cos2t




= 2cos
2
2t+ 2sin
2
2t= 2(1) = 2
Ahora las expresionesu1(t) yu2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z




0 sin2 t
5sin2t+ 3cos2t2cos2t




W
dt
u2(t) =
Z




cos2t 0
2sin2t5sin2t+ 3cos2t




W
dt
Entonces obtenemos los valores deu1(t) yu2(t):
u1(t) =
5
4
t+
5
16
sin4t+
3
16
cos4t
40

42. u2(t) =
3
4
t+
1
16
sin4t+
5
16
cos4t
Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
5
4
t+
5
16
sin4t+
3
16
cos4t)cos2t+(
3
4
t+
1
16
sin4t+
5
16
cos4t)sin2t
38.
d
2
x
dt
2+ 9x= 5sin3t,x(0) = 2,x
0
(0) = 0
Hallamos primero la solucion complementariaxc(t):
d
2
x
dt
2
+ 9x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+ 9 = 0
Hallamos valor dem: m=3i
Por lo tanto:CFS= (cos3t; sin3t)
As tenemos que:xc(t) =u1(t)cos3t+u2(t)sin3t
Denimos el wronskiano del CFS:
W=




cos3t sin3t
3sin2t3cos3t




= 3cos
2
3t+ 3sin
2
3t= 3(1) = 3
Ahora las expresionesu1(t) yu2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z




0 sin3 t
5sin3t3cos3t




W
dt
u2(t) =
Z




cos3t 0
3sin3t5sin3t




W
dt
41

43. Entonces obtenemos los valores deu1(t) yu2(t):
u1(t) =
5
6
t+
5
36
sin6t
u2(t) =
5
36
cos6t
Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
5
6
t+
5
36
sin6t)cos3t+ (
5
36
cos6t)sin3t
39.
d
2
x
dt
2+!
2
x=F0cost,x(0) = 0,x
0
(0) = 0
esx(t) =
F0
!
2

2(costcos!t)
Primero expresamos la ecuacion diferencial del problema:
d
2
x
dt
2+!
2
x=F0cost (1)
Entonces hallamos primero la solucion complementaria:
xc(t) :
d
2
x
dt
2+!
2
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+!
2
= 0
Hallamos valor dem: m=!i
Por lo tanto:CFS= (cos!t; sin!t)
As tenemos que:xc(t) =c1cos!t+c2sin!t
Ahora, teniendof(t) =F0costaplicamos el metodo del Operador
Anulador, para hallar la solucion particularxp(t) , entonces multiplica-
mos af(t) por (D
2
+
2
)
42

44. Entonces tenemos nuevamente la ecuacion caracterstica:m
2
+
2
= 0
Hallamos valor dem: m=i
Por lo tanto:CFS= (cost; sint)
As tenemos que:xp(t) =c3cost+c4sint
Ahora sabemos quexp(t); es solucion de la ecuacion diferencial
d
2
x
dt
2+
!
2
x=F0cost
Por tanto esta solucion debe cumplir con (1), y as los valores dec3yc4:
c3=
F0
!
2

2
c4= 0
Sabemos quex(t) =xc(t) +xp(t) por tanto:
x(t) =c1cos!t+c2sin
F0
!
2

2
cost
Luego para hallar los valores dec1yc2hacemos uso de los datos del
problema,x(0) = 0 yx
0
(0) = 0; y obtenemos:
c1=
F0
!
2

2
c2= 0
De modo que:
x(t) =
F0
!
2

2
(costcos!t)
(b) Evalue lm
!!
F0
!
2

2
(costcos!t).
Al evaluar este lmite tenemos en cuenta lo siguiente:
La expresion!!nos indica que la variable del lmite esy como
variables constantes quedaranty!
Al considerar!ytconstantes la expresion cos!ttambien sera con-
siderada constante.
43

45. La derivada de!
2

2
con las consideraciones anteriores quedara
como2
Para resolver el lmite aplicamos la regla de l'H^opital.
lm
!!
F0
!
2

2
(costcos!t)
lm
!!
F0tsint
2
=
F0tsin!t
2!
40.
solucion obtenida por medio de la variacion de parametros cuando la
fuerza externa enF0cos!t.
Hallamos primero la solucion complementariaxc(t):
d
2
x
dt
2
+!
2
x= 0
Ec. caracterstica:m
2
+!
2
= 0
Hallamos valor dem: m=!i
Por lo tanto:CFS= (cos!t; sin!t)
As tenemos que:xc(t) =u1(t)cos!t+u2(t)sin!t
Denimos el wronskiano del CFS:
W=




cos!t sin!t
!sin!t !cos!t




=!cos
2
!t+!sin
2
!t=!(1) =!
Ahora las expresionesu1(t) yu2(t) se obtienen de la siguiente forma:
u1(t) =
Z




0 sin !t
F0cos!t !cos!t




W
dt u 2(t) =
Z




cos!t 0
!sin!t F= 0cos!t




W
dt
Entonces obtenemos los valores deu1(t) yu2(t):
u1(t) =
F0
4!
2
cos2!t
u2(t) =
F0
2!
t+
F0
4!
2
sin2!t
44

46. Entonces la solucion de la ecuacion diferencial es:
x(t) = (
F0
4!
2
cos2!t)cos!t+ (
F0
2!
t+
F0
4!
2
sin2!t)sin!t
41. x(t) provista en el inciso (a) del Problema 39 se puede
escribir en la forma:
x(t) =
2F0
!
2

2sin
1
2
(!)tsin
1
2
(+!)t.
Para el desarrollo de este ejercicio usaremos el siguiente articio:
cos(A+B) = cosAcosBsinAsinB (1)
cos(AB) = cosAcosB+ sinAsinB (2)
Luego haciendo:
A+B=t
AB=!t
Tenemos:
A=
1
2
(+!)t
B=
1
2
(!)t
Entonces restando las expresiones (1) - (2) y reemplazando los valores
de A y B, tenemos:
x(t) =
2F0
!
2

2
sin
1
2
(!)tsin
1
2
(+!)t
(b) Si se dene=
1
2
(!), muestre que cuandoes peque~na una
solucion aproximada es:
x(t) =
F0
2
sintsint
Al evaluar este lmite tenemos en cuenta lo siguiente:
45

47. Para que la expresion:=
1
2
(!) sea muy peque~na basta con decir
que

=!esto quiere decir que la diferencia entre ambos tiende a
0.
La expresion!
2

2
se puede igualar a : 4
2
4
La expresion
1
2
(+!) se puede igualar a 2o 2!sin embargo usa-
remos el primero (2) para la resolucion del problema.
Al aplicar el lm
!0
2F0
!
2

2
sin
1
2
(!)tsin
1
2
(+!)tobtenemos la
solucion.
Reemplazamos valores:
lm
!0
2F0
4
2
4
sintsint
Analizando la situacion tenemos que :
2
=0 por tanto la expresion
quedara:
F0
2
sintsint
46