Ecuaciones Diferenciales 1.pptx

Ecuaciones de primer orden

1. Ecuaciones Diferenciales Clave de la asignatura: ACF – 0905 M.C. Angel Figueroa Delgado Enero 2022

2. Caracterización de la asignatura Esta asignatura consolida su formación matemática como ingeniero y potencia su capacidad en el campo de las aplicaciones, aportando al perfil del ingeniero una visión clara sobre el dinamismo de la naturaleza. Además, contribuye al desarrollo de un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar sistemas dinámicos. El curso de ecuaciones diferenciales es un campo fértil de aplicaciones ya que una ecuación diferencial describe la dinámica de un proceso; el resolverla permite predecir su comportamiento y da la posibilidad de analizar el fenómeno en condiciones distintas. Esta es la asignatura integradora en los temas de matemáticas y pueden diseñarse proyectos integradores con asignaturas que involucren sistemas dinámicos para cada una de las ingenierías. La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se aplican todos los conocimientos previos de las matemáticas.

3. Competencia a desarrollar Aplica los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias para resolver problemas que involucran sistemas dinámicos que se presentan en la ingeniería.

4. Temario Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Teoría preliminar. Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad) Soluciones de las ecuaciones diferenciales. Problema de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Variables separables y reducibles. Homogéneas. Exactas.

5. Temario Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Teoría preliminar. Definición de ecuación diferencial de orden n. Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Principio de superposición. Dependencia e independencia lineal. Wronskiano. Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas. Reducción de orden. Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes . Ecuación característica de una ecuación diferencial lineal de orden superior. Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Método de los coeficientes indeterminados. Variación de parámetros. La ecuación diferencial de Cauchy-Euler. Aplicaciones.

6. Temario Transformada de Laplace. Teoría preliminar. Definición de la transformada de Laplace. Propiedades. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de una función. Transformada directa. Transformada inversa. Función escalón unitario. Teoremas de traslación. Transformada de funciones multiplicadas por , y divididas entre t. Transformada de una derivada y derivada de una transformada. Teorema de convolución. Transformada de una integral. Transformada de una función periódica. Transformada de la función delta de Dirac.  

7. Temario Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Teoría preliminar. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos. Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Métodos de solución para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Método de los operadores. Utilizando la transformada de Laplace. Aplicaciones.

8. Temario Introducción a las series de Fourier. Teoría preliminar. Series de Fourier. Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo.

9. Intención didáctica La asignatura de Ecuaciones Diferenciales se organiza en cinco temas. En el primer tema se aborda la teoría preliminar para el estudio de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En la solución de algunas ecuaciones diferenciales se pueden realizar cambios de variable para reducirlas a separables. Se precisa que en algunos casos un factor integrante puede reducir una ecuación a tipo exacta. Es importante remarcar la relación que existe entre los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales estudiadas. Al finalizar el estudiante resuelve problemas de aplicación que puedan ser modelados con una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

10. Fuentes de información Textos: Boyce, W. (2010). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera . (5ª. Ed.). México. Limusa. Cengel , Y. A. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y ciencias. México. McGraw-Hill. Cornejo, S. C. (2008). Métodos de solución de Ecuaciones diferenciales y aplicaciones . México. Reverté. Garcia H., A. (2011). Ecuaciones diferenciales. México. Grupo Editorial Patria. Ibarra E., J. (2013). Matemáticas 5: Ecuaciones Diferenciales . México. Mc Graw Hill. Kreyszig . (2010). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería . (3ª. Ed.). México. Limusa. Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: Una introducción . Colombia. ECOE Ediciones. Nagle, K. (2012). Fundamentals of differential equations . (6a. Ed.) USA. Addison Wesley Longman. Nagle , K. (2005). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera . (4ª. Ed.). México. Pearson Educación. Rainville , E. (2009). Ecuaciones Diferenciales Elementales . (2ª. Ed.). México. Trillas. Simmons, G. (2007). Ecuaciones diferenciales: Teoría, técnica y práctica . México: McGraw-Hill. Zill Dennis G. (2009). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (9ª. Ed.). México. Cengage Learning . Zill . (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. (7ª. Ed.). México. Cengage Learning . Zill . (2008). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 1 : Ecuaciones diferenciales. (3ª. Ed.). México. Mc Graw Hill.

11. Evaluación Evidencia de aprendizaje % Indicador de alcance Evaluación formativa de la competencia A B C D E Actividades formativas 20 10 10       Trabajo individual y/o en equipo ( exposición , tareas, ejercicios) Examen 6         6 Evaluación conceptual y procedimental Carpeta de Evidencias (A, B, C, D, E) 15 5   5   5     Carpeta de evidencias con hoja de evaluación correspondiente Disciplina y puntualidad 5     5   Llega a clase puntual, entrega trabajos en tiempo y forma TOTAL 100 5 15 15 5 60  

12. Portafolio de evidencias

13. Portafolio de evidencias

14. Portafolio de evidencias

15. Portafolio de evidencias

16. 1.1. Teoría preliminar El estudio de los fenómenos físicos implica dos pasos importantes. En el primero se identifican todas las variables que afectan a los fenómenos, se realizan suposiciones y aproximaciones razonables, y se estudia la interdependencia de dichas variables. En el segundo paso se resuelve la ecuación diferencial mediante un método adecuado, y se obtiene la relación para la función desconocida en términos de las variables independientes

17. 1.1. Teoría preliminar Una expresión matemática con un signo de igual se llama ecuación . Una ecuación que incluye las derivadas de una o mas funciones se llama ecuación diferencial .

18. ¿CÓMO SURGEN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Las ecuaciones diferenciales surgen al aplicar las leyes y los principios físicos pertinentes a un problema, mediante la consideración de cambios infinitesimales en las variables de interés.

19. ¿CÓMO SURGEN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Ejemplo. Mediante la segunda ley del movimiento de Newton, obtenga una ecuación diferencial que describe la posición s de una masa m a lo largo de una línea recta influida por una fuerza F que actúa en la dirección del movimiento.                    

20. ¡Para Recordar! Variable Constante Variable independiente o argumento Variable dependiente o función Intervalo Funciones continuas y discontinuas Derivadas y diferenciales Integración

21. Actividad de aprendizaje 1.1 Contesta los siguientes cuestionamientos ¿Qué es una variable? ¿Cómo se distingue una variable dependiente de una independiente en un problema? ¿Cómo se identifican las funciones discontinuas? ¿Cuál es la diferencia entre derivadas parciales y derivadas ordinarias? ¿Cuál es la diferencia entre el grado y el orden de una derivada?

22. Actividad de aprendizaje 1.1 Contesta los siguientes cuestionamientos Determine los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas : Determine la derivada de las siguientes funciones : Realice las siguientes integraciones :  

23. Definición, orden, grado y linealidad Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependiente con respecto a una o más variables independientes es una Ecuación Diferencial. Estas se pueden clasificar en: Ecuación Diferencial Ordinaria (E.D.O) Ecuación Diferencial Parcial (E.D.P)

24. Definición, orden, grado y linealidad El Orden de una Ecuación depende directamente del orden de la derivada mas alta en una ecuación diferencial. Además se expresa en su forma estándar o normalizada. El grado de una ecuación diferencial corresponde a la potencia mas grande a la cual esta elevada una variable dependiente, o bien alguna de sus derivadas.  

25. Definición, orden, grado y linealidad La característica principal de las ecuaciones lineales algebraicas es que las variables están elevadas a la potencia 1. Una Ecuación Diferencial Lineal tiene como característica principal que la variable dependiente y todas sus derivadas están elevadas a la potencia 1. Si , la ecuación se denomina homogénea . Si , es no homogénea.  

26. Definición, orden, grado y linealidad Si , la ecuación se denomina homogénea . Si , es no homogénea.  

27. Definición, orden, grado y linealidad Otra clasificación de la ecuaciones diferenciales es por la naturaleza de sus coeficientes. Coeficiente constantes Coeficientes variables

28. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES No hay un solo método general de resolución que sea aplicable a todas las ecuaciones diferenciales. Buscamos funciones que satisfagan la ecuación en un intervalo especificado.        

29. SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES Una solución que incluya una o más constantes arbitrarias representa una familia de funciones que satisfacen la ecuación diferencial y se llama solución general o solución completa si cada solución de la ecuación puede obtenerse de ella como caso especial. Una solución que puede conseguirse a partir de una solución general mediante la asignación de valores específicos a las constantes arbitrarias se llama solución particular o solución específica . Una solución que no puede obtenerse a partir de la solución general asignando valores específicos a las constantes arbitrarias se llama solución singular .

30. Solución de una ecuación diferencial Ejemplos: Compruebe que es una solución de la ecuación diferencial  

31. Solución de una ecuación diferencial Ejemplos: Compruebe que es una solución de la ecuación diferencial , sin importar cual sea el valor de la constante arbitraria C.  

32. Actividad de aprendizaje 1.2: Compruebe que las funciones siguientes son soluciones de la ecuación diferencial dada en cada uno de los siguientes problemas

33. Solución de una ecuación diferencial Si la función incógnita nada mas puede expresarse en términos de la variable independiente, se dice que la solución es explícita ; en caso contrario, la solución es implícita.    

34. Solución de una ecuación diferencial

35. Solución de una ecuación diferencial Para obtener una solución única a un problema, necesitamos especificar más que solo la ecuación diferencial rectora. Debemos especificar algunas condiciones (tales como el valor de la función o el de sus derivadas para algún valor de la variable independiente) de modo que al forzar la solución para satisfacer estas condiciones se obtenga como resultado una solución única.

36. Solución de una ecuación diferencial Estas se llaman condiciones iniciales si todas ellas se especifican para el mismo valor de la variable independiente; y condiciones en la frontera si se especifican para dos o mas valores de la variable independiente.

37. Obtención de una ED con valores iniciales y de frontera Ejemplo: Caída libre de un cuerpo Cuando la resistencia del aire es despreciable, la caída libre de un cuerpo está regida por la ley de gravedad. Considere un objeto que inicialmente está a una altura y se deja caer libremente en el tiempo cero, como se muestra en la figura. Escriba la formulación matemática de este problema, y determine si es un problema de valores iniciales o de valores en la frontera.      

38. Obtención de una ED con valores iniciales y de frontera      

39. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Dado que las ecuaciones diferenciales incluyen derivadas y cada integración reduce el orden de una derivada en una unidad, es natural considerar que la integración directa es un método prometedor para resolver ecuaciones diferenciales.    

40. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Al resolver una ecuación diferencial por integración directa, todos los términos de ésta se integran uno a uno aplicando las reglas de integración, y se agrega una constante de integración. Cada vez que se integra la ecuación, el orden de la derivada se reduce en uno, y se introduce una nueva constante de integración. Ejemplo:    

41. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Ejemplo :    

42. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Ejemplo: Determine si las siguientes ecuaciones pueden resolverse por integración directa y obtenga la solución de las que se puedan solucionarse.      

43. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Ejemplo :      

44. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA Actividad de aprendizaje Ejercicio. Determine si las siguientes ecuaciones pueden resolverse por integración directa y obtenga la solución de las que se puedan solucionarse.          

45. Tarea      

46. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA CON CONDICIONES INICIALES Ejemplo: Caída libre de un cuerpo Un atrevido paracaidista equipado salta desde la cúspide de un edificio de 100 m en una ubicación donde la aceleración gravitacional es . El paracaídas se abre después del salto. Despreciando la resistencia del aire, determine la altura del individuo cuando se abre el paracaídas.  

47. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR INTEGRACIÓN DIRECTA CON CONDICIONES INICIALES        

48. Teorema de Existencia y Unicidad Si la función y su derivada son continuas en un dominio , el problema de condiciones iniciales Tiene una única solución para cada condición inicial en el dominio.  

49. Teorema de Existencia y Unicidad Ejemplo    

50. Teorema de Existencia y Unicidad Ejemplo    

51. Teorema de Existencia y Unicidad Ejemplo    

52. Teorema de Existencia y Unicidad Ejercicio: Verifica si los problemas de valor inicial dados satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad.            

53. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Se dice que la ED de primer orden en su forma estándar Es Separable si puede expresarse como la relación de una función de y una función de . Es decir:      

54. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Asi: O bien: Aplicando la integración directa:    

55. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Transformación de ecuaciones no separables en separables Una ED no separable a veces puede transformarse en una separable al cambiar de variable. Si la ecuación incluye combinaciones repetidas de x y y en cierta forma, la combinación es una opción obvia para la primera prueba de otra variable.    

56. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden    

57. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial          

58. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuación diferencial          

59. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Resuelve el siguiente Ejercicio: El Aerobee es un cohete de dos etapas que se usa para investigación atmosférica. La primera etapa tiene un empuje y una masa de despegue de . La fuerza de arrastre aerodinámico depende del cuadrado de la velocidad de esta manera: , donde es la densidad de la masa atmosférica, A es el área de sección transversal del cohete (la superficie perpendicular al flujo) y es el coeficiente de arrastre. Para el Aerobee , , , y para la atmósfera baja, . Por tanto, la fuerza de arrastre en newtons es , donde está en metros por segundo ( ). a) Obtenga la ecuación del movimiento para la velocidad v. b) Determine la velocidad del cohete después de 5 s.  

60. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Suponiendo que el cohete se mueve solo verticalmente, el diagrama de cuerpo libre puede trazarse como se muestra:   Por la ley de Newton

61. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Considerando la dirección de todas las fuerzas que actúan sobre el cohete.  

62. Actividad de aprendizaje Resolver por separación de variables las siguientes ecuaciones diferenciales Transformar y resolver por separación de variables la siguiente ecuaciones diferenciales      

63. 1.5 Actividad de aprendizaje Transformar y resolver por separación de variables la siguiente ecuaciones diferenciales 1.   2.   3.  

64. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Una ecuación diferencial de primer orden puede expresarse en la forma: Se llama ecuación diferencial exacta en una región D si existe la fusión tal que:        

65. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Si las derivadas parciales y son continuas en la región D, entonces la ecuación diferencial: Es exacta en esta región si y solo si      

66. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Compruebe que la ecuación diferencial es exacta, y luego resuélvala. La ecuación diferencial es exacta:        

67. Actividad de aprendizaje Resuelva el siguiente problema de valor inicial:    

68. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución alternativa: Método de agrupamiento El método anterior es prolongado y exige considerable cuidado y paciencia. Para quienes tienen poca paciencia y mucha intuición, hay un procedimiento alterno muy atractivo llamado método de agrupamiento y se basa en expresar la ecuación diferencial como la suma de las derivadas de los términos. Ejemplo:    

69. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo :    

70. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Factor de integración La ecuación diferencial , no es exacta ya, que , por lo tanto esta ecuación no puede resolverse por los métodos anteriores.      

71. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Factor de integración La ecuación diferencial , no es exacta ya, que , por lo tanto esta ecuación no puede resolverse por los métodos anteriores.      

72. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Factor de integración Resolver la ecuación  

73. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden La clase más conocida de ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a la forma separable es la ecuación homogénea . Se dice que una ecuación diferencial de primer orden es homogénea si es posible expresarla como Es decir, la función f de una ecuación homogénea puede expresarse como , donde .      

74. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo:    

75. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden La homogeneidad de las ecuaciones simples puede determinarse con facilidad mediante la inspección. Pero cuando se trata de ecuaciones complicadas, quizá sea necesario aplicar la siguiente prueba de homogeneidad: en la ecuación diferencial, reemplace todas las por , y todas las por , y simplifique. Si después de la simplificación todas las se cancelan y terminamos con la ecuación original, entonces la ecuación diferencial es homogénea.  

76. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo: Como regla practica, una ecuación que incluye potencias de y es homogénea si las sumas de las potencias de y de cada termino en el numerador y el denominador son idénticas en el lado derecho  

77. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Una vez que se determina que una ecuación es homogénea, su reducción a forma separable y sus soluciones son sencillas. Primero definimos una nueva variable . Entonces , y su derivada con respecto a es:    

78. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo:    

79. 1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Actividad de aprendizaje Resolver la ecuación Resolver Resolver