Ecuaciones Diferenciales de Lagrange, Ejercicios Resueltos

Artículo sobre ecuaciones diferenciales de Lagrange ejercicios
resueltos, dominarás los conceptos clave y metodologías necesarias para abordar estos
problemas.

1. EcuacionesDiferencialesdeLagrange,Ejercicios
Resueltos
BYMANUELALEJANDROVIVASRIVEROL
ecuacionesdiferencialesaplicaciones.com
ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com
1Motivacionparaestudiar
SileeshastaelfinaldelartículosobreecuacionesdiferencialesdeLagrangeejercicios
resueltos,dominaráslosconceptosclaveymetodologíasnecesariasparaabordarestos
problemas,superandolapercepcióndedificultadyencontrandoaplicacionesprácticas.
¿TefrustranlasecuacionesdiferencialesdeLagrange?¿Sientesquesondemasiado
complejasydifícilesdeaprender?¿Tegustaríatenerunametodologíaclaraysencilla
pararesolverlas?
Enésteartículoresponderesmosatuspreguntas.
LasecuacionesdeLagrangesonamenudopercibidascomountemacomplejoy
desafiante,loquepuededesanimaraalgunosestudiantesydocentes.Sinembargo,
alcomprenderyaplicardemaneraefectivalosalgoritmosdesoluciónpresentadosaquí,
podrásabordarestasecuacionesconconfianzayéxito.
Además,esteartículoproporcionaejemplosconcretosdeaplicacionesdelasecua-
cionesdeLagrangeenelmundoreal,loqueteayudaráaversurelevanciayutilidaden
diversoscontextos.
1.1Alfinaldeesteartículo,seráscapazde:
1.IdentificarsiunaecuacióndiferencialesdeLagrange.
2.AplicarlametodologíapararesolverEDdeLagrangeno-lineales.
3.Interpretarlosresultadosdelasolución.
¿Estáslistoparacomenzar?¡Sigueleyendo!
Observatuspensamientos,porqueseconviertenenpalabras.Observatus
palabras,porqueseconviertenenacciones.Observatusacciones,porquese
conviertenenhábitos.Observatushábitos,porqueseconviertenentu
carácter.Observatucarácter,porquedeterminatudestino.
Dhammapada(Budismo)
1

2. 2Lagrange,aportacionesyadversidades
Figure1.Joseph-LouisLagrange
Joseph-LouisLagrange,tambiénconocidocomoGiuseppeLodovicoLagrangia,fue
unmatemático,físicoyastrónomoitaliano.Nacióel25deenerode1736enTurín,
ReinodeCerdeña,ypasólamayorpartedesuvidaenPrusiayFrancia.
Lagrangeprocedíadeunafamiliaparisinaquegozabadebuenaposiciónsocial.
Fueelmayordeoncehermanosyelúnicoquealcanzólaedadadulta.Fueeducado
enlaUniversidaddeTurínynofuehastalosdiecisieteañoscuandomostróinterés
porlamatemática.Suentusiasmoempezóacaminarconlalecturadeunensayodel
astrónomoEdmundHalleysobreanálisismatemático.Trasunañodeincesantetra-
bajo,erayaunmatemáticoconsumado.
En1761Lagrangenoteníarivalenelcampodelasmatemáticas;perosutrabajo
incesantedurantelosúltimosnueveañoshabíaafectadoseriamenteasusalud,ylos
doctoressenegaronaserresponsablesdesuvidaamenosqueélselotomaraenserio.
2 SECTION2

3. Aunquesusaludfuetemporalmenterestablecida,susistemanerviosonuncarecuperó
sutonoydeaquíenadelantepadecióconstantementeataquesdemelancolíasevera.
En1766,traslainvitacióndeFedericollelGrandeyvivio20añosdesuvidaen
Prusia.Lagrangeeraelfavoritodelreyyfrecuentementedisertósobrelasventajasde
unaregularidadperfectaenlavida.Lalecciónlaaplicóasupropiavida:estudiósu
menteysucuerpocomosifueranmáquinas,yencontróexperimentandolacantidad
exactadetrabajoquepodíahacersinperderlasalud.
En1775fuenombradoprofesordelaEscueladeArtilleríayfundóunasociedad
matemáticaenTurín.Resultóserunprofesorproblemáticoporsuestilodominadopor
elrazonamientoabstracto;dispuestoarelegaraunsegundoplanolaprácticadela
artilleríaydelaingenieríadelasfortificaciones.
Encuantoasuvidaycostumbres,todaslasnochesseponíaunatareadefinida
paraeldíasiguiente,yalcompletarcualquiertemaescribíauncortoanálisisparaver
quépuntosenlasdemostracioneseransusceptiblesdemejora.Siemprepensóensus
artículosantesdecomponerlos,ynormalmentelosescribióconesmeroysinunasola
raspaduraocorrección.
Pesealasadversidadesdesaludyfamiliares,puestoquesupadre,perdíosufor-
tunaenespeculaciones,siendotesorerodelreinodeSardania,Lagrangerealizógrandes
contribucionesaunampliorangodelamatemáticas,incluyendolasecuacionesdifer-
enciales.Unavezdijo:
Sihubierasidorico,probablementenohabríasidodevotodelas
matemáticas
Lagrangeerademedianaestatura,complexióndébil,conojosazulclaroyuncolor
depielpálido.Eradeuncarácternerviosoytímido,detestólacontroversia,yalevitarla
debuenaganapermitióaotrostenercréditoporcosasqueélhabíahecho.Contribuyó
significativamenteamultiplesydiversasáreasdelasmatemáticasylafísica,siendosu
masgrandeobra:Mecaniqueanalytique,1788.
Ademáscontribuyoenáreascomo:
LAGRANGE,APORTACIONESYADVERSIDADES 3

4. 2.1CálculodeVariaciones.
i.Fueunodeloscreadoresdelcálculodevariaciones.
ii.DerivólasecuacionesdeEuler-Lagrangeparaencontrarextremosdefuncionales.
iii.Extendióelmétodoparaincluirposiblesrestricciones,llegandoalmétododelos
multiplicadoresdeLagrange.
2.2EcuacionesDiferencialesdeLagrange.
Figure2.LagrangeimpartíaclasesdematemáticasalosartillerosdelaacademiamilitardeTurín.
i.Lagrangeinventóelmétododesolucióndeecuacionesdiferencialesconocidocomo
variacióndeparámetros.Porestemétodoyporsusnumerosasaportacionesse
leconsideraunolosmayoresmatemáticosdetodoslostiempos
4 SECTION2

5. ii.Laecuacióny=xf′(y′)+g(y′)llevasunombreyesfundamentalenlateoríade
ecuacionesdiferenciales.
2.3OtroscamposdelamatemáticainfluidosporLagrange.
Lagrangehizoimportantesavancesenálgebra,incluyendoeldesarrollodemétodos
pararesolverecuacionesalgebraicas.Lagrangerealizócontribucionessignificativasen
teoríadenúmeros.Demostróquetodonúmeronaturaleslasumadecuatrocuadrados.
SutratadoThéoriedesfonctionsanalytiques,sobrefuncionesanalíticas,contribuyó
aldesarrollodelateoríadegrupos,anticipandoaGalois.
Lagrangetrabajóenfraccionescontinuas,unáreamatemáticaqueinvolucrarepre-
sentacionesaproximadasdenúmerosracionales.
Lagrangenoformulóecuacionesespecíficasenestecampo,perosutrabajoencálculo
devariacionesymecánicaanalíticainfluyóenlaresolucióndeecuacionesdiferenciales.
Joseph-LouisLagrange,muereenabrilde1813alaedadde77años.
Inspiradoporsuperseveranciaylogros,recordamosaLagrangecomounejemplode
superaciónydedicaciónenelmundodelasmatemáticasylaciencia.
3AplicacionesdelaEcuaciondeLagrange
LosinteresesdeLagrangeeranesencialmenteaquellosdeunestudiantede
matemáticapura:buscóyobtuvoresultadosabstractosdelargoalcance,yestabasat-
isfechodedejarlasaplicacionesaotros.Dehechopartedelosdescubrimientosde
sugrancontemporáneo,Laplace,consisteenlaaplicacióndelasfórmulasdeLagrangea
losfenómenosdelanaturaleza;porejemplo,lasconclusionesdeLaplacedelavelocidad
delsonidoydelaaceleraciónseculardelaLunaestányaimplícitamenteenlosresul-
tadosdeLagrange.
ProblemasdeDinámicayGravitación.Ensistemasdetrescuerpos,comoelprob-
lemadelosplanetasenórbita,lasecuacionesdeLagrangepermitendescribirlastrayec-
toriasylasinteraccionesgravitatorias.
TeoríadePropagacióndelsonido.Ensistemasdetrescuerpos,comoelproblemade
losplanetasenórbita,lasecuacionesdeLagrangepermitendescribirlastrayectoriasy
lasinteraccionesgravitatorias.
Encuantoalapropagacióndelsonido,Lagrangellegóalaconclusióndequela
formadelacurvaparauntiempotcualquieravienedadaporlaecuación:
y=asin(mt)sin(nt)
APLICACIONESDELAECUACIONDELAGRANGE 5

6. Figure3.Lagrangecontribuyoalestudiosobrelapropagacióndelsonido.
CálculodeVariacionesyPrincipiodeMínimaAcciónElprincipiodemínimaacción
esfundamentalenlafísicaysebasaeneltrabajodeLagrange.
Laideacentralesquelatrayectoriarealdeunsistemafísicoentredospuntosenel
espacio-tiempoesaquellaqueminimizalaacción(laintegraldellagrangianoalolargo
delatrayectoria).
AplicacionesdelaEcuacióndeLagrange:y=xf(y′)+g(y′)Laecuaciónapareceen
elcontextodelateoríadefuncionesanalíticas.Seutilizaparamodelarfuncionesque
sonanalíticasenundominioespecífico.Tambiénapareceapareceenlaresoluciónde
multiplesproblemasdedinámica,porejemplo,puededescribirelmovimientodetres
cuerposmutuamenteatraídosporlagravedad.
Unejemplodesuapariciónenproblemascomolatensióndelpendulosimple,sedá
acontinuación:
??????=−ml??????
˙2
−mgcos(??????)
4Metodologia
6 SECTION4

7. Lametodologíapresentadaconstade6pasosconcretos.Acontinuaciónsedetallan
dichospasospararesolverlaEDdeLagrange:
1.EscribimoslaformaestándardelaEDydefinimossiesunEDdeLagrange:
y=xf(y′)+g(y′)
Secomienzaidentificandolaformaestándardelaecuacióndiferencialydetermi-
nandosisepuedereduciraunaformadeLagrange.
2.Sustituimosy′=p,dondep=p(x),paraencontrarlasolucióngeneraldenforma
paramétricatransformandolaEDaunaEDdeterminosalgebraicosmásmanejables:
y=xf(p)+g(p)
3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
:
dy
dx
=xf′(p)p′+f(p)+g′(p)p′
dy
dx
=(xf′(p)+g′(p))p′+f(p)
(xf′(p)+g(p))p′=
dy
dx
−f(p)
Sustituimos,
dy
dx
=p:
p′=
p−f(p)
xf′(p)+g′(p)
dp
dx
=
p−f(p)
xf′(p)+g′(p)
NotarquelaEDanterioreslinealparax(éstosiempresucedeasí).Demodoque:
dx
dp
=
xf′(p)+g′(p)
p−f(p)
4.ResolvemoslaEDlineal:
dx
dp
=
f′(p)
p−f(p)
x+
g′(p)
p−f(p)
Seresuelvelaecuaciónlinealobtenidaenelpasoanteriorparaencontrarunasolu-
cióngeneral.
5.Solucionesparamétricas.DelaresolucióndelaEDlinealobtenemos.
x=h(p,C)
SustituimosésteresueltadoenlaEDoriginal,yobtenemos.
y=h(p,C)f(p)+g(p)
Demodoquelassolucionesparamétricasson:
x=h(p,C)
y=h(p,C)f(p)+g(p)
Seutilizalasolucióndelaecuacióndiferenciallinealparaobtenerlassoluciones
paramétricasfinales.Éstepasoessolosinosepuedeencontrarunasolucióny=f(x,
C).
METODOLOGIA 7

8. 6.Solucionessingulares.Básicamentebuscamoseliminarelparámetropenla
ecuaciónyyobtenerunasulucióndelaforma:
F(x,y)=0
Podemosaplicareljacobiano,det(
XcYc
XpYp
)=0ydespejarC=C(p),paradespuessusti-
tuirestosresultadosenlassolucionesparamétricasyasíeliminarelparámeropenla
ecuacióny.
Tambienpodemosbuscarsingularidadesenlassolucionesparamétricascomopor
ejemplo,sitenemos:ln(p−1)comounodelostérminos,podemosnotarquesip=1,se
formaunasingularidadquepodemossustituirenyparaobtenerlasoluciónsingular.
Estametodologíaproporcionaunmarcoclaroyefectivoparaabordarproblemasde
ecuacionesdiferencialesdeLagrange,loquepermitealosestudiantesyprofesionales
comprenderyresolverestosproblemasconmayorfacilidadyprecisión.
Figure4.Automatizatussolucionesconsagemath.
Calculadoradeecuacionesdiferencialeslagrange(código)
Siquieresautomatizartussolucionesconprogramación,utilizandounprograma
potenteyfácildeaprendercomosagemath,terecomendamosnuestra:Calculadorade
ecuacionesdiferencialeslagrange(codigo),paraqueestessegurodetussoluciones,no
pierdastiempoypuedashacersimulación.
8 SECTION4

9. 5EjerciciosResueltos
Ejercicio1.Resolver
y=x+y′−3(y′)
Solución.
1.Sustituimosy′=p.
y=x+p−3p
2
(1)
2.Derivamosrespectodex:
dy
dx
=1+p′−6pp′
3.Despejamosparax.
Siy′=p,entonces:
p=1+p′−6pp′
p=1+(1−6p)p′
(1−6p)p′=p−1
dp
dx
=
p−1
1−6p
1−6p
p−1
dp=dx
4.ResolvemoslaEDlineal.EnéstecasoparrticularlaEDesseparable,simplemente
5
dp
p−1
−65
pdp
p−1
=5dx+C
Paraintegrarelsegundotérminodelmiembroizquierdo,utilizamosfraccionesparciales.
p
p−1
=1+
1
p−1
Ésteresultadoseobtienedividiendopentrep−1.Demodoque:
5
dp
p−1
−65
pdp
p−1
=5dx+C
ln(p−1)−6?5dp+5
dp
p−1
?=5dx+C
ln(p−1)−6ln(p−1)−6p=x+C
−5ln(p−1)−6p=x+ln(C)
x=−5ln(p−1)−6p−ln(C)
5.Solucionesparamétricas.
Sustituimosen(1),elresultadoanterior:
y=x+p−3p
2
y=(−5ln(p−1)−6p−ln(C))+p−3p
2
Esdecir,lasecuacionesparamétricasson:
x=−5ln(p−1)−6p−ln(C)
y=(−5ln(p−1)−6p−ln(C))+p−3p
2
6.Solución(es)singular(es)
Podemosconsiderarqueunasoluciónnocontempladaalvariarlosparámetrossedacuandop=1,por
tanto,sip=1,entonces:
y=x+p−3p
2
y=x+1−3
y=x−2
Lasoluciónsingularbuscadaes:
y=x−2
Ejercicio2.Resolver
y=2xy′−(y′)
2
Solución.
1.Sustituimosy=p′.
y=2xp−p
2
(2)
2.Derivamosrespectoax.
dy
dx
=2p+2xp′−2pp′
EJERCICIOSRESUELTOS 9

10. 3.Despejamosparax.
Siy′=p,entonces:
p=2(x−p)p′+2p
p−2p=2(x−p)p′
−p=2(x−p)p′
2(x−p)p′=−p
dp
dx
=
−p
2(x−p)
LaEDanterioreslinealenx,portanto:
dx
dp
=−
2(x−p)
p
dx
dp
=−
2
p
x+2
dx
dp
+
2
p
x=2 (3)
4.ResolvemoslaEDlineal.
Calculamoselfactorintegrante:
e
∫P(p)dp
⇒P(p)dp=
2
p
dp
⇒5P(p)dp=25
dp
p
⇒5P(p)dp=2ln(p)
Portanto:
e
ln(p)
2
=p
2
Demodoque,multiplicandoelfactorintegranteporlaED(3)original:
p
2
?
dx
dp
+
2
p
x?=2p
2
p
2dx
dp
+2px=2p
2
d
dx
(p
2
x)=2p
2
d(p
2
x)=2p
2
dx
Integrando:
5d(p
2
x)dp=25p
2
dx+C
xp
2
=
2
3
p
3
+C
x=
2
3
p+Cp
−2
5.Solucionesparamétricas.
Sustituyendoen(2)elresultadoanterior:
y=2xp−p
2
y=2?
2
3
p+Cp
−2
?p−p
2
y=
4
3
p+2Cp
−2
−p
2
Demodoque.lasecuacionesparamétricasson:
x=
2
3
p+
C
p
2
y=
(((((((
(
(
4
3
p+2
C
p
2
)))))))
)
)
p−p
2
Desarrollandoobtenemos:
x=
2
3
p+
C
p
2
y=
1
3
p
2
+2
C
p
6.Solucionessingulares.
10 SECTION5

11. Utilizamoseldeterminantedelamatrizjacobianaigualadaa0,paradespejarC=C(p)ysustituirlos
resultadosenlaseuacionesparametricasparaobtnerlaenvolvente(osoluciónsingular).
det
(((((((
(
(
XcYc
XpYp
)))))))
)
)
=0
det
(((((((((((((((((((((((((((((((((((((
(
(
1
p
2
2
p
−
2C
p
3
+
2
3
2
3
p−
2C
p
2
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))
)
)
=0
4?
3C
p
3−1?
3p
+
2?p−
3C
p
2?
3p
2
=0
YresolviendoparaC,tenemos:
C=
1
3
p
3
Ahora,sustituyendoenlasecuacionesparamétricas,obtenemos:
x=p
y=p
2
Conelcualpodemosgraficarotambienpodemossustituirelvalordeplaecuación(2),dedonde:
y=2xx−x
2
y=2x
2
−x
2
y=x
2
Siendolaenvolventeosoluciónsingular:
y=x
2
Lagráficadelaenvolventejuntoconlasrectassoluciónes:
Figure5.RectassolucióndelaEDdeLagrangey=2xy′−(y′)
2
.Lasoluciónsingularestáencolor
rosado.
Ejercicio3.Resolver
y=(cos(y′)+y′)x+
1
2
sin(y′)cos(y′)+
1
2
y′
Solución.
1.Sustituimosy=p.
y=(cos(p)+p)x+
1
2
sin(p)cos(p)+
1
2
p (4)
2.Derivamosrespectoax.
dy
dx
=(−p′sin(p)+p′)x+(cos(p)+p)+
1
2
p′cos(p)cos(p)−
1
2
p′sin(p)sin(p)+
1
2
p′
dy
dx
=(−p′sin(p)+p′)x+(cos(p)+p)+
1
2
p′cos(p)
2
−
1
2
p′sin(p)
2
+
1
2
p′
dy
dx
=−xp′sin(p)+xp′+cos(p)+p+
1
2
p′cos(p)
2
−
1
2
p′sin(p)
2
+
1
2
p′
dy
dx
=(−xsin(p)+x)p′+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)p′+
1
2
p′+cos(p)+p
dy
dx
=?(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
?p′+cos(p)+p
3.Despejamosparax.
EJERCICIOSRESUELTOS 11

12. Siy′=p,entonces:
p=?(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
?p′+
cos(p)+p
0=?(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
?p′+
cos(p)
?(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
?p′=−cos(p)
p′=−
cos(p)
(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
dp
dx
=−
cos(p)
(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
LaEDanterioreslinealenx.demodoque:
dx
dp
=−
(−xsin(p)+x)+
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)+
1
2
cos(p)
dx
dp
=−
1−sin(p)
cos(p)
x−
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)
cos(p)
−
1
2cos(p)
dx
dp
+
1−sin(p)
cos(p)
x=−
1
2
(cos(p)
2
−sin(p)
2
)
cos(p)
−
1
2cos(p)
dx
dp
+
1−sin(p)
cos(p)
x=−
1
2
((((((((((
(
(
cos(p)−
sin(p)
2
cos(p)
+
1
cos(p)
))))))))))
)
)
(5)
4.ResolvemoslaEDlineal.
Calculamoselfactorintegrante.
e
∫P(p)dp
⇒P(p)=
1−sin(p)
cos(p)
⇒P(p)=
1−sin(p)
cos(p)
1+sin(p)
1+sin(p)
⇒P(p)=
1−sin(p)
2
cos(p)(1+sin(p))
⇒P(p)=
cos(p)
2
cos(p)(1+sin(p))
⇒P(p)=
cos(p)
1+sin(p)
Demodoque:
e
∫P(p)dp
⇒P(p)dp=
cos(p)
1+sin(p)
⇒5P(p)dp=5
cos(p)
1+sin(p)
dp
Utilizandolafórmula:∫udu,tenemos:
u=1+sin(p)
du=cos(p)
Portanto:
e
∫P(p)dp
⇒5P(p)dp=ln|1+sin(p)|
Dedondeelfactorintegrantebuscado,es:
e
ln(1+sin(p))
=(1+sin(p))
DemodoquemultiplicandoelfactorintegranteenlaED(5),tenemos:
(1+sin(p))?
dx
dp
+
1−sin(p)
cos(p)
x?=(1+sin(p))
((((((((((
(
(
−
1
2
((((((((((
(
(
cos(p)−
sin(p)
2
cos(p)
+
1
cos(p)
))))))))))
)
)
))))))))))
)
)
(1+sin(p))
dx
dp
+(1+sin(p))
1−sin(p)
cos(p)
x=−
1
2
(1+sin(p))
((((((((((
(
(
cos(p)+
1−sin(p)
2
cos(p)
))))))))))
)
)
d
dp
((1+sin(p))x)=−
1
2
(1+sin(p))
((((((((((
(
(
cos(p)+
cos(p)
2
cos(p)
))))))))))
)
)
d((1+sin(p))x)=?−
1
2
(1+sin(p))(cos(p)+cos(p))?dp
d((1+sin(p))x)=?−
1
2
(1+sin(p))2cos(p)?dp
d((1+sin(p))x)=−(cos(p))dp−(cos(p)sin(p))dp
12 SECTION5

13. Integrando:
5d((1+sin(p))x)=−5cos(p)dp−5cos(p)sin(p)dp
(1+sin(p))x=−sin(p)+
1
2
cos(p)
2
+C
Portanto:
x=−
sin(p)
1+sin(p)
+
1
2
cos(p)
2
(1+sin(p))
+
C
1+sin(p)
x=
cos(p)
2
+2C−sin(p)
2(1+sin(p))
5.Solucionesparamétricas.
Sustituyendoen(4)elresultadoanterior:
y=(cos(p)+p)x+
1
2
sin(p)cos(p)+
1
2
p
y=(cos(p)+p)
((((((((((
(
(
cos(p)
2
+2C−sin(p)
2(1+sin(p))
))))))))))
)
)
+
1
2
sin(p)cos(p)+
1
2
p
Demodoquelasecuacionesparamétricasson:
x=
cos(p)
2
+2C−sin(p)
2(1+sin(p))
y=(cos(p)+p)
((((((((((
(
(
cos(p)
2
+2C−sin(p)
2(1+sin(p))
))))))))))
)
)
+
1
2
sin(p)cos(p)+
1
2
p
6.Solucionessingulares.
CorroboraquelaEDnotienesolucionessingularesimplementandolatécnicaanteriordelJaco-
biano.
Ejercicio4.Resolver
y=x(y′+3)−2(y′)
2
Solución.
1.Sustituimosy′=p.
y=x(p+3)−2p
2
(6)
2.Derivarconrespectoax.
dy
dx
=x(p′)+(p+3)−4pp′
dy
dx
=(x−4p)p′+p+3
3.Despejamosparax.
Siy′=p,entonces:
p=(x−4p)p′+p+3
0=(x−4p)p′+3
(x−4p)p′=−3
p′=−
3
x−4p
dp
dx
=
−3
x−4p
LaEDanterioreslinealenx,demodoque:
dx
dp
=−
x−4p
3
dx
dp
=−
x
3
+
4
3
p
dx
dp
+
x
3
=
4
3
p (7)
4.ResolvemoslaEDlineal.
Calculamoselfactorintegrante.
e
∫P(p)dp
⇒P(p)=
1
3
Demodoque:
e
∫P(p)dp
⇒P(p)dp=
1
3
dp
⇒5P(p)dp=
1
3
5dp
⇒5P(p)dp=
1
3
p
EJERCICIOSRESUELTOS 13

14. Portanto,elfactorintegrantees:
e
∫P(p)dp
=e
1
3
p
MultiplicandoelfactorintegranteporlaED(7),tenemos:
e
1
3
p
?
dx
dp
+
x
3
?=e
1
3
p4
3
p
e
1
3
pdx
dp
+e
1
3
px
3
=
4
3
pe
1
3
p
d
dp
?e
1
3
p
x?=
4
3
pe
1
3
p
d?e
1
3
p
x?=
4
3
pe
1
3
p
dp
Integrando:
5d?e
1
3
p
x?=
4
3
5pe
1
3
p
dp+C
e
1
3
p
x=...
Paraintegrarelsegundomiembrodelaecuación,utilizamosintegraciónporpartes:
u=p;dv=e
1
3
p
dp
du=dpv=3∫
1
3
e
1
3
p
dp
=3e
1
3
p
Table1.Integraciónporpartes
Demodoque:
e
1
3
p
x=
4
3
5pe
1
3
p
dp+C
=
4
3
?3pe
1
3
p
−35e
1
3
p
dp?+C
=
4
3
?3pe
1
3
p
−9e
1
3
p
?+C
=4pe
1
3
p
−12e
1
3
p
+C
Portanto:
x=4p−12+Ce
−
1
3
p
5.Solucionesparamétricas.
SustituimoselresultadoanteriorenlaED(6),demodoque:
y=x(p+3)−2p
2
y=?4p−12+Ce
−
1
3
p
?(p+3)−2p
2
Demodoquelasecuacionesparamétricasson:
x=4p−12+Ce
−
1
3
p
y=?4p−12+Ce
−
1
3
p
?(p+3)−2p
2
6.Solucionessingulares.
Utilizamoseldeterminantedelamatrizjacobianaigualadaa0,paradespejarC=C(p)ysustituir
losresultadosenlaseuacionesparametricasparaobtnerlaenvolvente(osoluciónsingular).
det
(((((((
(
(
XcYc
XpYp
)))))))
)
)
=0
det
(((((((((((((((((((((((
(
(
e
−
1
3
p
(p+3)e
−
1
3
p
−
1
3
Ce
−
1
3
p
+4−
1
3
?Ce
−
1
3
p
−12?(p+3)+Ce
−
1
3
p
−12
)))))))))))))))))))))))
)
)
=0
Desarrollando,obtenemos:
C=12e
1
3
p
Sustituyendoésteresultadoenlasecuacionesparamétricas,estasseconviertenen:
x=4p
y=4p(p+3)−2p
2
Conelcualpodemosgraficarotambienpodemossustituirelvalordeplaecuación(6),dedonde:
y=x?
x
4
+3?−2?
x
4
?
2
y=
x
2
4
+3x−
2x
2
16
y=
1
8
x
2
+3
14 SECTION5

15. Siendolaenvolventeosoluciónsingular:
y=
1
8
x
2
+3
Lagráficadelaenvolventejuntoconlasrectassoluciónes:
Figure6.RectassolucióndelaEDdeLagrangey=x(y′+3)−2(y′)
2
.Lasoluciónsingularestá
encolorrosado.
Ejercicio5.Resolver
y=x(y′)
2
−y′
Solución.
1.Sustituimosy′=p.
y=xp
2
−p (8)
2.Derivarrespectoax.
dy
dx
=2xpp′+p
2
−p′
dy
dx
=(2xp−1)p′+p
2
3.Despejamosparax.
Siy′=p,entonces:
dy
dx
=(2xp−1)p′+p
2
p=(2xp−1)p′+p
2
(2xp−1)p′=p−p
2
p′=
p−p
2
2xp−1
dp
dx
=
p(1−p)
2xp−1
Éstaecuacióneslinealenx,detalmodoque:
dx
dp
=
2xp−1
p(1−p)
dx
dp
=
2
1−p
x−
1
p(1−p)
dx
dp
−
2
1−p
x=−
1
p(1−p)
(9)
4.ResolvemoslaEDlineal.
Calculamoselfactorintegrante:
e
∫P(p)dp
⇒P(p)=−
2
1−p
⇒P(p)dp=−
2
1−p
dp
⇒5P(p)dp=−5
2
1−p
dp
⇒5P(p)dp=−25
−dp
1−p
⇒5P(p)dp=2ln(1−p)
EJERCICIOSRESUELTOS 15

16. Demodoqueelfactorintegrantees:
e
ln(1−p)
−2
=(1−p)
2
MultiplicandoelfactorintegranteporlaED(9):
(1−p)
2
?
dx
dp
−
2
1−p
x?=−(1−p)
21
p(1−p)
(1−p)
2dx
dp
−(1−p)
22
1−p
x=−
1−p
p
(1−p)
2dx
dp
−2(1−p)x=−
1−p
p
d
dp
((1−p)
2
x)=−
1−p
p
d((1−p)
2
x)=−
1−p
p
dp
Integrando:
5d((1−p)
2
x)=−5
dp
p
+5dp+C
(1−p)
2
x=−ln(p)+p+C
x=−
ln(p)+p+C
(1−p)
2
5.Solucionesparamétricas.
SustituyendoelresultadoanteriorenlaED(8),tenemos:
y=xp
2
−p
y=−
ln(p)+p+C
(1−p)
2
p
2
−p
Demodoquelasecuacionesparamétricas,son:
x=−
ln(p)+p+C
(1−p)
2
y=−
ln(p)+p+C
(1−p)
2
p
2
−p
6.Solucionessingulares.
Buscamoseliminarelparámetrop,comosiempre,parapoderencontrarlasoluciónsingular.
Podemosnotardelasecuacionesparamétricasquep=0,locualdaríalasoluciónsingulary=0,
queciertamenteesunasolucióndelaED.
SiderivamoslaED(8)respectodepeigualandoaceroladerivada,parapoderencontrarlatangente
ay,vemosqueelresultadonodependedex,demodoquepodemosdespejarla:
y=xp
2
−p
dy
dx
=2xp−1
0=2xp−1
2xp=1
x=
1
2p
Despejandopparapodersustituirenynuevamente:
p=
1
2x
Estoimplica:
y=x?
1
2x
?
2
−
1
2x
y=
1
4x
−
1
2x
=
1−2
4x
y=−
1
4x
Lasolucionesy=−
1
4x
yy=0,sonsolucionessingularesdelaED(8),dondelay=0,demarcaellugar
geométricodelospuntosderetrocesodelafamiladecurvassolucionyy=−
1
4x
,delimita,amanerade
envolvente,alascurvassolucióndelaEDdelagrange.Verlasiguientefigura.
16 SECTION5

17. Figure7.CurvassoluciónyenvolventedelaEDy=x(y′)−y′
Siquieresautomatizartussolucionesconprogramación,utilizandounprograma
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pena.
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diferencialeslagrange(código),dondeencontrarás6ejemplosresueltospasoapasocon
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queteseamuyfácilseguirlospasosaúnycuandoestésempezandoaprogramarcon
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(código)
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Lineales(código).
6.1Llevatuconocimientoalsiguientenivel
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18 SECTION6

19. estudiantesyprofesionalesquedeseendominarestecampodeestudiohaciendouso
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resolverecuacionesdiferenciales(EDs),sistemasdeEDslinealesyno-linealesymás
aúnsistemasdeEDsconinteligenciaartificial,asícomoparaaplicaresteconocimiento
endiversoscamposdeestudioyaplicacionesprácticas.
Ecuaciones
6.1.1Cursosespecializados:
−¿QuésonlasEcuacionesDiferenciales?
−EcuacionesDiferencialesdePrimerOrden
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Ennuestrocurso,aprenderásamodelarmatemáticamentepoblacionesya
simularlasmediantemétodosnuméricos.
Figure10.Inscríbeteanuestroscursosespecializadosenecuacionesdiferencialese
inteligenciaartificial.
−EcuacionesDiferenciales,Modelado,AplicacioneseInteligenciaArtificial
Eldeseodedominarlasecuacionesdiferencialesdemaneraintegralseharáevi-
denteamedidaquedescubraselvalorañadidoqueofrecemos.Desdeelmodelado
matemáticohastalaprogramaciónsimbólicaynumérica,nuestroprogramate
sumergeenunaexperienciaeducativaúnica,despiertatucuriosidadyteimpulsa
aalcanzarnuevosnivelesdeconocimientoyhabilidad.
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20. Figure11.Inscríbeteanuestroprogramacompleto:EcuacionesDiferenciales,Modelado,Apli-
cacioneseInteligenciaArtificial,ydesarrollatodotupotencialprofesional.
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6.1.2¿Encontrasteloquebuscabas?
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EcuacionesDiferencialesdeClairaut
EcuacionesDiferencialesdeBernoulli
Tiposdeecuacionesdiferencialesordinariasdeprimerorden
DominalasEcuacionesDiferencialesOrdinarias:GuíaEsencial2004
20 SECTION6

21. 7Bibliografía
I.Rainville,EarlD.,Bedient,PhillipE.,yBedient,RichardE.(1981)."Elementary
DifferentialEquations".PrenticeHall.
II.Moya,LuisMaría.(2007)."EcuacionesDiferencialesOrdinarias".Editorial
Reverte.
III.Boyce,WilliamE.yDiPrima,RichardC.(2012)."ElementaryDifferentialEqua-
tionsandBoundaryValueProblems".Wiley.
IV.Tenenbaum,MorrisyPollard,Harry.(1985)."OrdinaryDifferentialEquations".
DoverPublications.
V.Simmons,GeorgeF.(2007)."DifferentialEquationswithApplicationsandHistor-
icalNotes".McGraw-Hill.
VI.Braun,Martin.(2005)."DifferentialEquationsandTheirApplications".Springer.
VII.Polyanin,AndreiD.(2002)."HandbookofExactSolutionsofOrdinaryDifferential
Equations".CRCPress.
VIII.VaronaMalumbres,JoseLuis.(2004)."MétodosClásicosdeResolucióndeEcua-
cionesDiferencialesOrdinarias".Paraninfo.
IX.CastroCepeda,Lidia.(2010)."EcuacionesDiferencialesOrdinarias".Pearson
Educación.
X.Herman,R.L.(2008)."AFirstCourseinDifferentialEquationsforScientistsand
Engineers".Brooks/Cole.
BIBLIOGRAFÍA 21