Ecuaciones diferenciales homogeneas de primer orde

Ecuaciones diferenciales homogeneas

1. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE PRIMER ORDEN

2. Si una ecuación de primer orden en la forma diferencial tiene la propiedad de que y , se dice que tiene coeficientes homogéneos o que es una ecuación homogénea . Una ecuación diferencial homogénea siempre puede reducirse a una ecuación separable por medio de una apropiada sustitución algebraica . Se dice que es una función homogénea de grado n, si para algún número real n, .  

3. Ejemplo 1 La función es homogénea de grado uno La función es homogénea de grado 3/2.  

4. ya que . La función no es homogénea . La función es homogénea de grado cero.  

5. Ejemplo 2   grado 1 grado 3 grado 2 grado 4 grado 2 grado 4 La función es homogénea de grado 4. ʄ ( x,y ) = x² y   grado 2 grado 1 La función no es homogénea .

6. Método de Resolución Una ecuación de la forma , en donde P y Q tienen el mismo grado de homogeneidad , puede reducirse a una ecuación de variables separables empleando cualquiera de las sustituciones o , en donde “u” y “v” son nuevas variables dependientes . En particular, si se elige , entonces . Por lo tanto , la ecuación diferencial se transforma en : Ahora bien , por la homogeneidad de P y Q se puede escribir  

7. De lo cual se obtiene El procedimiento debe desarrollarse por completo . La demostración de que la sustitución también conduce a una ecuación separable.  

8. Ejemplo 3 Resolver Solución . y son ambas homogéneas de grado 2. Si hacemos , se obtiene Aplicando las propiedades de los logaritmos , la solución precedente puede escribirse en la forma alternativa .  

9. Ejemplo 4 Resolver . Solución . Cada coeficiente es una función homogénea de grado cuatro . Puesto que el coeficiente de , ensayamos . Se obtiene que : o bien Si se hubiera empleado , se tendría .