Ecuaciones Diferenciales Lineales

Ecuaciones diferenciales de primer orden, resolución de este tipo de ecuaciones a través del factor integrante

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJAUNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
La Universidad Católica de LojaLa Universidad Católica de Loja
IntegranteIntegrantes:s:
Christopher OrtegaChristopher Ortega Alex Gonzaga Alex Gonzaga
Daniel SócolaDaniel Sócola Jorge Naranjo Jorge Naranjo
José Miguel Maldonado José Miguel Maldonado
Ecuaciones Diferenciales
TEMA: Ecuaciones Lineales

2. Ecuación Diferencial Lineal de Ecuación Diferencial Lineal de
Primer OrdenPrimer Orden
Definición de ecuación diferencial:Definición de ecuación diferencial:
Una ecuación diferencial de primer orden, de la Una ecuación diferencial de primer orden, de la
forma:forma:
es una ecuación lineales una ecuación lineal
Cuando Cuando g(x)=0, g(x)=0, la ecuación lineal es la ecuación lineal es
homogénea, en cualquier otro caso, es no homogénea, en cualquier otro caso, es no
homogénea.homogénea.
)()()(
01 xgyxa
dx
dy
xa 

3. Forma Estándar:Forma Estándar:
(a)(a)
Propiedad:Propiedad:
es una solución de la ecuación homogénea es una solución de la ecuación homogénea
asociadaasociada
(b)(b)
es una solución particular de (a) no es una solución particular de (a) no
homogéneahomogénea
pcyyy 
)()( xfyxP
dx
dy

c
y
0)( yxP
dx
dy
py

4. ProcedimientoProcedimiento
Definir una solución particular para la ecuación Definir una solución particular para la ecuación
siguiendo el procedimiento llamado siguiendo el procedimiento llamado variación de variación de
parámetrosparámetros
Ecuación Ecuación
Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x)Encontrar una función (u) tal que yp=u(x)y1(x)
Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x)Nuestra hipótesis de yp equivale a yc=cy1(x)
)()( xfyxP
dx
dy


5. Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:Al sustituir yp=uy1 en la ecuación:
 obtenemos:obtenemos:
)()( xfyxP
dx
dy

 
)(
)()(
)()(1
)()(
1
11
1
1
1
11
xf
dx
du
y
xf
dx
du
yyxP
dx
dy
u
xfuyxP
dx
du
y
dx
dy
u
xfuyxPuy
dx
d











6. Separamos variables, integramos y llegamos a:Separamos variables, integramos y llegamos a:
De acuerdo con la definición de y1 tenemos:De acuerdo con la definición de y1 tenemos:



dx
xy
xf
u
dx
xy
xf
du
1
1
)(
)(
)(




 dxxfe
euyyp
dxxP
dxxp )(
)(
)(
1






dxxfeeceyyy
dxxPdxxPdxxP
pc )(
)()()(

7. Método de SoluciónMétodo de Solución
Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer Pasos para la solución de una ecuación lineal de primer
orden:orden:
1.-Se convierte a la 1.-Se convierte a la forma Estándarforma Estándar de una ecuación de una ecuación
lineallineal
2.-Hay que identificar P(x) y definir el 2.-Hay que identificar P(x) y definir el factor integrantefactor integrante
3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor 3.-La ecuación obtenida se multiplica por el factor
integranteintegrante
4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida4.-Se integran ambos lados de la ecuación obtenida
)()( xfyxP
dx
dy


dxxP
e
)(

8. Solución de una Ecuación Diferencial Solución de una Ecuación Diferencial
LinealLineal
x
xP
exy
xdx
dy
exy
dx
dy
x
x
x
4
)(
4
4
5
6




dxxP
e
)(
4ln||ln4
/4 4





xeee
xx
xdx
Entonces el factor integrante es Entonces el factor integrante es
 
cexeyx
xeyx
dx
d
xeyx
dx
dy
x
xx
x
x






4
4
54
4

9. Factor IntegranteFactor Integrante
El factor integrante es una función de una El factor integrante es una función de una
ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza ecuación diferencial dada, al cual se lo utiliza
para hallar una solución exacta de una para hallar una solución exacta de una
ecuación diferencial lineal y esta dado por la ecuación diferencial lineal y esta dado por la
formula:formula:
Donde a P(x) se la obtiene de la forma Donde a P(x) se la obtiene de la forma
estándar de una ecuación lineal.estándar de una ecuación lineal.

dxxP
e
)(

10. EJEMPLOEJEMPLO

La ecuación es claramente lineal. Podemos La ecuación es claramente lineal. Podemos
transformarla en una ecuación exacta utilizando transformarla en una ecuación exacta utilizando
el siguiente factor integrante:el siguiente factor integrante:
x
ey
dx
dy
3

x
dx
eeu






11. Constante de IntegraciónConstante de Integración
Podemos mencionar que tanto en la descripción general Podemos mencionar que tanto en la descripción general
como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una como en algunos ejemplos no se toma en cuenta una
constante de integración para evaluar la integral indefinida constante de integración para evaluar la integral indefinida
en el exponente:en el exponente:
En este caso la constante de integración estaría dada por la En este caso la constante de integración estaría dada por la
constante (c), utilizando esta constante en el factor constante (c), utilizando esta constante en el factor
integrante quedaría:integrante quedaría:
Es muy importante mencionar que no es necesario escribir Es muy importante mencionar que no es necesario escribir
el factor integrante con la constante de integración ya que el el factor integrante con la constante de integración ya que el
factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación factor integrante multiplica a ambos lados de la ecuación
diferencial y el utilizar una constante de integración no diferencial y el utilizar una constante de integración no
cambia en nada la solución de la ecuación.cambia en nada la solución de la ecuación.

dxxP
e
)(

dxxP
e
)(

12. Solución de una ecuación lineal de Solución de una ecuación lineal de
primer ordenprimer orden
i.i.Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma Convertir una ecuación lineal de la forma (1) a la forma
estándar de la ecuación (2).estándar de la ecuación (2).
ii.ii.A partir de la forma estándar, identificar a A partir de la forma estándar, identificar a P(x)P(x) y a y a
continuación determinar el factor integrantecontinuación determinar el factor integrante
iii.iii.Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor Multiplicar la forma estándar de la ecuación por el factor
integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es integrante. El lado izquierdo de la ecuación resultante es
la derivada del producto del factor integrante por la la derivada del producto del factor integrante por la
variable dependiente, y; esto es,variable dependiente, y; esto es,
vii.vii.Se integran ambos lados de esta ecuaciónSe integran ambos lados de esta ecuación
)(
)()(
xfeye
dx
d dxxPdxxP









13. Solución GeneralSolución General
Es aquella solución de la ecuación que está en Es aquella solución de la ecuación que está en
la forma estándar; la cual, está definida en un la forma estándar; la cual, está definida en un
intervalo I llegando a ser de esta manera intervalo I llegando a ser de esta manera
miembro de la familia de soluciones.miembro de la familia de soluciones.
La solución general está conformada por las La solución general está conformada por las
constantes paramétricas, dependiendo del constantes paramétricas, dependiendo del
orden de la ecuación el número de éstas.orden de la ecuación el número de éstas.