Ecuaciones diferenciales lineales

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES Jorge Hugo Orozco Lara 10310306

2. ¿Qué es una ecuación diferencial lineal? Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma general y comprensible de escribir la ecuación es de la siguiente forma: O usando otra notación frecuente:

3. Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operador diferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como: Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

4. Ejemplo xdy / dx – 4y = x 4 + e x y’ – 4y/x = x 4 + e x p(x) = -4/x q(x) = x 4 + e x u = e -4 ∫ dx /x = e lnx -4 = x -4 y =1/ x -4 ∫ x 4 e x dx / x 4 dx y = x 4 [e x + c ]= x 4 e x + x 4 c

5. Ecuación lineal de primer orden Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita: O como su forma implícita:

6. Ecuaciones lineales de orden n Del mismo modo que se ha definido la ecuación diferencial lineal de primer orden podemos definir una ecuación diferencial de orden n como: Donde la derivada mayor que aparece es de orden n- ésimo