Ecuaciones diferenciales no lineales

Introducción de la Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli + 5 ejercicios Resueltos
Ecuaciones Diferenciales de Riccatti + 5 Ejercicios Resueltos

1. Ecuaciones Diferenciales No Lineales Lider Eduardo Pilligua Menéndez

2. Introducción Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no lineales que pueden ser convertidas en ecuaciones diferenciales lineales, entre las cuales destacan: la Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti .

3. Es una ecuación de la forma: Donde y son funciones continuas de (o constantes) y, ; (en el caso contrario resulta una ecuación lineal).   Ecuación Diferencial de Bernoulli

4. Paso Nº1: Dividir para   Esta ecuación, llamada de Bernoulli, se reduce a una ecuación lineal mediante la siguiente transformación:  

5. Paso Nº2: Cambiar de variable Además derivando la nueva variable con respecto a  

6. Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:       Ecuación Lineal

7. Es una ecuación no lineal de la forma: Para resolver, se debe conocer una solución particular Después de conocida dicha solución se realiza la siguiente sustitución:   Ecuaciones Diferenciales de Riccatti

8. Para resolverla suponemos una solución particular conocida de tal forma que  es una solución de la ecuación de Riccatti, con esto reducimos la ecuación de Bernoulli, veámoslo. Si y es una solución entonces.  

9. Ejercicios Resueltos Los Ejercicios del 1 al 5 son de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli y del 6 al 10 son de Ecuaciones Diferenciales de Riccatti.

10. Ejercicio Nº1 A la ecuación diferencial dada expresamos así: ; multiplicamos por multiplicamos por   Sea Reemplazamos ; ecuación lineal en z Y la solución general es: Multiplicamos para toda la ecuación  

11. Reemplazamos Integramos   Reemplazamos    

12. Ejercicio Nº2 Multiplicamos para Sustituimos Multiplicamos para – 1 ; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante   Derivamos Factor Integrante  

14. Ejercicio Nº3 Resolver Multiplicamos para Reemplazamos Multiplicamos ; ED Lineal   Sea Derivamos ; Factor Integrante  

15. Multiplicamos por Reemplazamos Integramos       ED Lineal      

16. Ejercicio Nº4 Multiplicamos para Sustituimos Multiplicamos para – 1 ; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante   Sea Derivamos Factor Integrante  

17. Reemplazamos    

18. Ejercicio Nº5 Dividimos para y² Reemplazando Simplificamos y multiplicamos para – 1 Multiplicamos para   Factor Integrante  

20. Ejercicio Nº6

21. Ejercicio Nº7

22. Ejercicio Nº8

23. Ejercicio Nº9

24. Ejercicio Nº10

25. Ejercicio Extra

26. Ecuación Diferencial de Bernoulli Sea la ecuación: Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes: NOTA. Todo esto va relacionado con la forma ordinaria de la ecuación

27. Solución En este punto sacaremos el valor de w. Por lo tanto: Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:

28. Resolvemos los paréntesis y queda: Ahora determinamos el factor integrante: NOTA. Para sacar el factor integrante se considera el valor de p(x) en la expresión diferencial. Factor integrante

29. Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula: Donde: u es el factor integrante. q(x) seria igual al valor que tiene f(x) Evaluamos la ecuación: Y nos queda:

30. Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de : Aplicamos la formula de “integrales por partes” Realizamos las integrales que aun quedan y el resultado es:

31. Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis: Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w=y-³ La respuesta simplificada es:

32. Conclusión Podemos resumir que para realizar una E.D.B es necesario: Acomodar la ecuación en la forma básica. Sacar los valores de la ecuación. Poner la ecuación en términos de la diferencial. Sacar el factor integrante. Evaluar la ecuación con la formula y resolver los paréntesis.

33. Libros: Calculo Diferencial e Integral - Tomo II – Piskunov – 3ra Edición – Mir Moscú – 1977 Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Kiseliov - Krasnov - Makarenko - 4ta Edición – Mir Moscú – 1984 Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones - Eduardo Espinoza Ramos - 5ta Edición - Lima – Perú – 1996 Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover - 5ta Edición - Pearson Educación - México – 2011 Cálculo Diferencial E Integral - William Anthony Granville - México - LIMUSA - 2009 Bibliografía

34. GRACIAS...