ECUACIONES LINEALES de matematicas de preparatoria_universidades

matematica 3er año

1. ECUACIONES LINEALES

2. Recordemos

3. ¿Qué es un ecuación? Una ecuación es una expresión de igualdad (=) con una variable o incógnita . Cada lado de la igualdad es un miembro de la ecuación, llamados primer miembro y segundo miembro . Una solución de la ecuación es un valor numérico fijo para la variable , que satisface la igualdad. Notaremos con S al conjunto de soluciones de una ecuación.

4. ECUACIÓN LINEAL Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Es el caso más simple de ecuaciones Tienen la forma: donde 𝑥,𝑦 son las incógnitas y 𝑎 1 ,𝑎 2 ,𝑏 1 ,𝑏 2 ,𝑐 1 ,𝑐 2 son números reales. Se llama solución de una ecuación de 2 incógnitas a todo par ordenado ( k 1 , k 2 ) de números reales que reemplazados ordenadamente en lugar de las incógnitas 𝑥 e 𝑦 convierten a la expresión (1) en una identidad. Se dice que k 1 , k 2 satisfacen la ecuación.

5. Ejemplos: -1)En la ecuación lineal con una incógnita 2𝑥 + 5 = 7 x = ? 2) Para 2x + y= -3 (0,-3) y (1,-5) son soluciones para esta ecuación lineal… y (1,2)? Es una solución?

6. Método de igualación ¿Cuál es la solución del par ordenado? Si tiene solución se dice compatible , pudiendo ser compatible determinado si la solución es única o compatible indeterminado si tiene más de una solución. Pero puede ocurrir que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución, en ese caso se dice que el sistema es incompatible . ¿es compatible? ¿y éste es compatible?

7. En el caso de los ejemplos anteriores (dos ecuaciones con dos incógnitas) podemos interpretarlos geométricamente de la siguiente manera:

8. Concepto de función Cuando una relación tiene ecuación explícita única, es decir, para valores fijos asignados a las variables independientes existe un único valor para la variable dependiente, se dice que la relación es una función. Una función que relaciona Una aplicación es una correspondencia que asigna a cada elemento del conjunto inicial un único elemento del conjunto final. Es decir, se expresa una variable y “en función” de las otras variables x 1 , x 2 ,..., x n , por medio de la ecuación:

9. Representación gráfica Una relación entre dos variables, en general notadas x e y , se representa gráficamente en el plano cartesiano. Dicha representación está constituida todos los puntos ( x , y ) que satisfacen la relación establecida. El plano cartesiano está formado por un par de rectas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, llamadas ejes cartesianos . La recta horizontal es el Eje X, también llamado eje de las abscisas y la recta vertical es el Eje Y, también llamado eje de las ordenadas . En dicho plano se ubican los puntos de coordenadas (x, y), donde la primer coordenada corresponde al eje X y la segunda al Eje Y

10. Variable dependiente Variable independiente m es la pendiente y esta relacionada con el ángulo de la recta la ordenada al origen, relacionada donde la recta corta al eje y (ordenadas) m  R, n  R, Las variables independiente y dependiente pueden representar cualquier magnitud: masa ,volumen ,presión, radio, edad, tiempo, etc.

11. Ejemplo: Un estudiante asistió a clase. Para llegar hasta el aula caminó de forma constante desde su casa hasta la Facultad. Contó los pasos que dio para recorrer esa distancia y graficó los valores. Considerar: p: cantidad de pasos d: distancia recorrida en metros Cálculo de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos Sean P 1 =(x 1 ; y 1 ) y P 2 =(x 2 ; y 2 ) dos puntos de una recta, entonces la pendiente (m) es la relación entre la variación de la variable dependiente ( Δy ) y la variable independiente ( Δx ).

12. La ecuación de la recta queda: ¿Cómo sería la ecuación de la recta roja? y = m.x + n p = 1,32. d

13. La pendiente m indica la inclinación Permite conocer el ángulo  que forma dicha recta con el eje x . La pendiente m indica la inclinación Si  > 0 ( positivo) , se mide en sentido contrario a las agujas del reloj a partir de la dirección positiva del eje x . Si  < 0 ( negativo), se mide en sentido de las agujas del reloj a partir de la dirección positiva del eje x . Ejemplos de pendiente:

14. Clasificación de las funciones lineales según su pendiente

15. Rectas paralelas: poseen la misma inclinación Cuáles de las siguientes rectas, son paralelas a: a) ¿cuáles cortan al eje de las ordenadas, en el mismo punto?  

16. Rectas secantes Una recta es secante respecto a otra, cuando ambas comparten un punto en común. Es decir se deben cruzar o intersecan.

17. ¿Cómo encuentro una recta perpendicular a y=3 x +2? Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1 m 1 x m 2 = -1 Para y=3x + 2 m 1 = 3 por lo tanto m 2 = ?

18. Ecuación de la recta. Expresión: explícita e implícita Para m , n  R fijos ,la expresión y = mx + n , es la forma explícita de la ecuación de la recta Para a , b , c  R fijos, la expresión a x + b y + c = 0 es la forma implícita de la ecuación de la recta 1) Transforma en expresión implícita a y= ½ x + 10 2) Expresa las siguientes ecuaciones en su forma explícita:   El área de un trapecio se calcula con A= ½ h (b 1 +b 2 ), donde h es la altura, y b1 y b2 son las bases. Calcula b 2 .

19. 4) Encontrar la función de la ecuación que pasa por (1;-1) Calcular la pendiente de la recta 5 )Se registra la presión sistólica de un niño desde su nacimiento hasta los 18 años. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de la recta suponiendo que durante los 18 años la presión se incrementó regularmente. b) Plantear la ecuación de la recta graficada c) ¿Cuál habrá sido la presión a los 10 años? d) ¿ A qué edad la presión sistólica del niño alcanzó los 90 mmHg ?

20. 6) En un experimento se miden valores de velocidad (v) de aparición de un producto de una reacción en función del tiempo(t) y al graficar se obtiene una recta con un ángulo de inclinación de 20° respecto del eje horizontal. Uno de los puntos medidos es( 2; 3,16).La ecuación de la función lineal es : a) v= 0,58 t+2 b) v= 0,36 t +2,44 c)v= 20 t + 3,16 d) v= 0,36 t +3,88

21. 7) La temperatura pulmonar provoca que los gases, se expandan aumentando su volumen. La función lineal de la figura muestra el comportamiento de un gas. Indicar la opción CORRECTA : a)La pendiente de la recta es m=1,7.10 -3 b)V y T son magnitudes inversamente proporcionales. c)La pendiente de la recta es m=0,25 d)La ecuación de la recta mostrada es V=1,7 T

22. Para pensar… Encuentra la fórmula de la función asociada a los siguientes fenómenos: (a) Cantidad de gasolina en el depósito de un coche de 60 litros de capacidad, inicialmente lleno, que consume 10 litros cada 100 km, en función de la distancia recorrida en un trayecto de 400km.