Ecuaciones logaritmicas.

1. Reflexiones Matemáticas. Nagua, Rep. Dom.
Reflexiones Matemáticas. Prof. Joel Amauris Gelabert S.
829-292-9484.
LOGARITMOS NATURALES.
Propiedades de los logaritmos.
1.- El logaritmo de la base es igual a la unidad.
Log x x=1.
2.- El logaritmo de la unidad es igual a cero.
Log x 1=0.
3.- El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.
Log x (A x B)= log x A + Log x B.
4.- El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.
Log x a
y
= y log x a.
5.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido
entre el índice de la raíz
Log

=



6.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el
logaritmo del divisor.
Log


= log A – Log B.
7- Los números negativos no tienen logaritmo.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la cual la variable está afectada
por la operación de logaritmación.

Ejemplos.
Log2 (x+2)
3
=6
Log3 (x+4)+Log3(x-4)=2
Log5 (x+64)-Log5 (x-8)=2

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Para resolver una ecuación logarítmica debemos dar los siguientes pasos:
1.- La ecuación dada se expresa como el logaritmo de una sola expresión.
2.- Se expresa de la forma exponencial.
3.- Se resuelve la ecuación resultante.

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Reflexiones Matemáticas. Prof. Joel Amauris Gelabert S.
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EJERCICIOS RESUELTOS.
Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
1.- Log3 (x-4)+ log3 (x+4)=2
Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión.
Log3 [(x-4) (x+4)]=2 Expresamos la ecuación de la forma exponencial.
(x-4)(x+4)=3
2

X
2
+4 x-4x-16=9
x
2
– 16= 9
x
2
= 9+16
x
2
= 25 Se aplica radicación en ambos lados.


= Se busca raíz cuadrada en ambos lados.

X = 5

2.- Log4 (x
2
+12x+35)-Log4 (x+7)=2

Log4


=2

(x+5)=4
2
Expresamos de la forma exponencial.
X+5=16
x=16-5
x = 11
3.- Log4 (2x
2
+6x+12)
2
=3
(2x
2
+6x+12)
2
=4
3

(2x
2
+6x+12)
2
= 64




=
2x
2
+6x+12= 8
2x
2
+6x+12-8=0
2x
2
+6x+4=0
2(2x
2
)+2(6x)+2(4)=0
Hacemos a=2x
a
2
+6a+8=0 Buscamos los factores de este trinomio.
(a+4)(a+2)=0
(2x+4)(2x+2)=0 Se sustituye a a por 2x



=0 Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original
(x+2)(2x+2)=0
Se iguala cada factor a cero
x+2=0 Los valores de x son: 2 y 1
x= 2

Se factoriza trinomio 2x
2
+6x+4 para hallar el
valor de x se multiplica todo el trinomio por el
coeficiente del término cuadrático y el 6 por 2.

Se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se
transpone el 5
Expresamos la ecuación como el logaritmo
de una sola expresión y factorizamos el
denominador
Efectuamos el producto de (x-4) (x+4) y se
transpone el 16
2x+2=0
2x = 2


=



x= 1

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4.-
(x+1)+
(x 1)=0

[(x+1) (x 1)]=0
(x+1)(x 1)=




1=8


= 8+1


= 9


=
x=9
5.-
=



(x+1)



= 0




= 0



=





=1





=1
2
=


=1
5x+1=x+1
5x x=1 1
4x=0



=



x= 0
6.-
x
2
+
x =1

[(x
2
) (x)]=1
x
3 =27
1
x
3 =27



=


x=3





Observa el
procedimiento que se
llevó a cabo para
resolver cada ecuación
logarítmica.

Recuerda que:
1.-

=
2.-


=



3.-




=

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Evaluación.
Aplique las propiedades de los logaritmos y calcule el valor de las siguientes
operaciones.

1.- Log


=
2.- Log

=
3.- Log [(720)(245)]=
4.- Log (368)
4
=
5.- Log


=
6.- Log





=

Exprese de forma exponencial a logarítmica y viceversa.
1.-
625 =4
2.-

= 343
3.-
4,096 =4
4.-
1,728=3
5.-

=256
6.-

=2
7.-




= 3
8.-

= 216

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.
1.- Log (x
2
16) Log (x+4)=2
2.-
(x
3
27)
(x
2
+x+1)=3
3.-
(x 6)+

(x+6)=2
4.-



=1
5.-


=2





Es hora de poner en
práctica lo que
aprendiste.