Ecuaciones paramétricas

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1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN BARCELONA
REALIZADO POR:
Stefany Marcano
C.I V-27.823.547
Profesor:
Pedro Beltrán
BARCELONA, 12 DE JUNIO DEL 2019

2. INTRODUCCIÓN
Unaecuaciónparamétricadefineungrupodecantidadescomofuncionesdeunaomásvariablesindependientes
llamadasparámetros.
Lasecuacionesparamétricasseusancomúnmenteparaexpresarlascoordenadasdelospuntosqueconformanun
objetogeométricocomounacurvaosuperficie,encuyocasolasecuacionessedenominancolectivamenteuna
representaciónparamétricaoparametrización(alternativamentedeletreadacomoparametrización)delobjeto.
Entresusexpresionesteselparámetro:Unpunto(x,y)estáenelcírculounitariosiysolosihayunvalordettalque
estasdosecuacionesgeneranesepunto.Aveces,lasecuacionesparamétricasparalasvariablesdesalidaescalares
individualessecombinanenunasolaecuaciónparamétricaenvectores.
Además de las curvas y las superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir variedades y variedades
algebraicas de dimensión superior, con el número de parámetros igual a la dimensión de la variedad o variedad, y el
número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera la variedad o variedad (para las curvas, la
dimensión es uno y se usa un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).

3. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA VECTORIAL
Fundamentos
Elálgebravectorialseoriginódelestudiodeloscuaterniones(extensióndelosnúmerosreales)1,i,j,yk,asícomotambién
delageometríacartesianapromovidaporGibbsyHeaviside,quienessedieroncuentadequelosvectoresserviríande
instrumentopararepresentarvariosfenómenosfísicos.
Elálgebravectorialesestudiadaatravésdetresfundamentos:
Geométricamente
Losvectoressonrepresentados
porrectasquetienenuna
orientación,ylasoperaciones
como suma, restay
multiplicaciónpornúmeros
realessondefinidasatravésde
métodosgeométricos.
Analíticamente
Ladescripcióndelosvectoresysus
operacionesesrealizadaconnúmeros,
llamadoscomponentes.Estetipode
descripciónesresultadodeuna
representacióngeométricaporqueseutiliza
unsistemadecoordenadas.
Axiomáticamente
Sehaceunadescripcióndelos
vectores,independientementedel
sistemadecoordenadasode
cualquiertipoderepresentación
geométrica.

4. Elestudiodefigurasenelespaciosehaceatravésdesurepresentaciónenunsistemadereferencia,quepuedeserenuna
omásdimensiones.
Entre losprincipalessistemasse encuentran:
Sistema unidimensional
Setratadeunarectadondeunpunto(O)
representaelorigenyotropunto(P)
determinalaescala(longitud)yel
sentidodeesta:
Sistema de coordenadasrectangulares
(bidimensional)
Estácompuestopordos rectasperpendicularesllamadas
ejex y ejey, que pasanporun punto(O) origen; de esa
forma el planoquedadividoencuatroregionesllamadas
cuadrantes. En este caso un punto(P) enel planoesdado
porlas distanciasque existenentre losejesy P.

5. Sistema de coordenadas polares (bidimensional)
En este caso el sistema es compuesto por un punto O
(origen) que es llamado polo y una semirrecta con origen
en O llamada eje polar. En este caso el punto P del plano,
con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo
(Ɵ), que se forma por la distancia que existe entre el
origen y el punto P.
Sistema tridimensional rectangular
Formadoportresrectasperpendiculares(x,y,z)
quetienencomoorigenunpuntoOenelespacio.
Seformantresplanoscoordenados:xy,xzyyz;el
espacioquedarádivididoenochoregiones
llamadasoctantes.LareferenciadeunpuntoP
delespacioesdadaporlasdistanciasqueexisten
entrelosplanosyP.

6. Losvectoressonrepresentacionesgráficasdeunamagnitudvectorial;esdecir,sonsegmentosderectaenlosquesu
extremofinaleslapuntadeunaflecha.
Estossondeterminadosporsumóduloolongituddelsegmento,susentidoqueesindicadoporlapuntadesuflechaysu
direccióndeacuerdoconlarectaalaquepertenezca.Elorigendeunvectorestambiénconocidocomoelpuntode
aplicación.
Loselementosdeunvectorsonlossiguientes:
Módulo
Esladistanciaquehaydesdeelorigenhastaelextremodeun
vector,representadaporunnúmerorealjuntoconunaunidad.
Porejemplo:
|OM|=|A|=A=6cm
Dirección
Eslamedidadelánguloqueexisteentreelejex(apartirdel
positivo)yelvector,asícomotambiénseutilizanlospuntos
cardinales(norte,sur,esteyoeste).
Sentido
Esdadoporlapuntadeflechaubicadaenelextremo
delvector,indicandohaciadóndesedirigeeste.

7. CAMPO VECTORIAL
Es toda aplicación que a cada punto del espacio le hace corresponder un vector. Ejemplo: la fuerza de atracción
gravitatoria que genera la tierra en cualquier punto del espacio.
CLASIFICACIÓNDELOSVECTORES
VECTOR FIJO
Esaquelcuyopuntode
aplicación(origen)esfijo;es
decir,quesemantieneligadoa
unpuntodelespacio,porloque
nopuededesplazarseeneste.
VECTOR LIBRE
Puedemoverselibrementeenelespacio
porquesuorigensetrasladaacualquier
puntosincambiarsumódulo,sentidoo
dirección.
VECTOR DESLIZANTE
Esaquelquepuedetrasladarsuorigena
lolargodesulíneadeacciónsincambiar
sumódulo,sentidoodirección.

8. VECTORES EQUIPOLENTES
Sonaquellosvectoreslibresque
tienenigualmódulo,dirección(o
estassonparalelas)ysentidoque
unvectordeslizanteounvector
fijo.
VECTORES EQUIVALENTES
Ocurrecuandodosvectorestienenla
mismadirección(osonparalelas),el
mismosentido,yapesardetener
diferentesmódulosypuntosde
aplicación,estosprovocanefectos
iguales.
IGUALDAD DE VECTORES
Estostienenigualmódulo,direccióny
sentido,auncuandosuspuntosde
partidasondiferentes,loquepermite
queunvectorparalelosetrasladeasí
mismosinafectarlo.
VECTORES OPUESTOS
Sonaquellosquetienenelmismo
móduloydirección,perosusentidoes
opuesto.
VECTOR NULO
Esaquelcuyomóduloesiguala0;es
decir,supuntodeorigenyextremo
coincidenenunmismopunto.
o

9. VECTOR UNITARIO
Esaquelenelqueelmóduloesigualalaunidad(1).Este
seobtienealdividirelvectorporsumóduloyesutilizado
paradeterminarladirecciónysentidodeunvector,bien
seaenelplanooenelespacio,utilizandolosvectores
baseounitariosnormalizados,queson:
OPERACIONES CONVECTORES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE
VECTORES EN EL ESPACIO
SUMA Y RESTA
MULTIPLICACIÓN
Elnuevovectortendrásuspropiascaracterísticas.
–Ladirección:estenuevovectorseráperpendicularalplano,quees
determinadoporlosvectoresoriginales.
–Elsentido:estesedeterminaconlaregladelamanoderecha,
dondesegiraelvectorAhaciaelBseñalandoelsentidodela
rotaciónconlosdedos,yconelpulgarsemarcaelsentidodelvector.
–Elmódulo:esdeterminadoporlamultiplicacióndelosmódulosde
losvectoresAxB,porelsenodelángulomenorqueexisteentreestos
vectores.Seexpresa:

10. Elvalordelánguloqueexisteentrelosdosvectoresvaa
dependerdesiestossonparalelosoperpendiculares.Entonces,
esposibleafirmarlosiguiente:
–Silosvectoressonparalelosytienenelmismosentido,seno0º
=0.
–Silosvectoressonparalelosytienensentidosopuestos,seno
180º=0.
–Silosvectoressonperpendiculares,seno90º=1.
Cuandounproductovectorialesexpresadoenfuncióndesus
vectoresbases,setieneque:
Permiterepresentarunacurvaosuperficieenelplanooenel
espacio,mediantevaloresquerecorrenunintervalodenúmeros
reales,medianteunavariable,llamadaparámetro,considerando
cadacoordenadadeunpuntocomounafuncióndependientedel
parámetro.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
•Comoejemplo,lahélicecirculartienelestas
ecuacionesparamétricasx=acost,y=asent,z=
bt
ParadescribirunasuperficieenelespacioR
3
se
empleandosparámetros.:s,t.yelcorrespondiente
sistemadetresecuacionesparamétricasesx=
x(s,t),y=y(s,t),z=z(s,t),resolviendoparasytel
sistemaformadoporlasdosprimerasecuacionesy
reemplazandoenlaecuaciónz=z(s,t)sepuede
obtenerz=f(x,y)obienF(x,y,z)=0
Porejemploparalaesfera,elsistemadeecuaciones
paramétricasesx=acosssent,y=asenssent,z
=acost
.
Seaplicaenelestudiodelacurvatura,radiode
curvaturadeunacurvaplana,lacurvaturaylatorsión
deunacurvaenelespacio;planotangentedeuna
superficie.,etc.ydamotivaalallamadaderivación
deecuacionesparamétricasconresultados
peculiares.
EnelespacioR
3
cadapuntodeunacurvasepuededefinirpor
unsistemadetresecuacionesx=x(t),y=y(t),z=z(t).

11. CURVAS NOTABLES
CIRCUNFERENCIA
Unacircunferenciacon centro en el origen de coordenadas y radiorverifica que:
Una expresiónparamétricaes:
ELIPSE
Unaelipsecon centroen, que se interseque con el eje x en , y con el ejeyen , verificaque:
Una expresiónparamétricaes:
REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA
En un espacion-dimensional consiste ennfunciones de una variabletque en este caso es la variable independiente
oparámetro(habitualmente se considera quet es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están
representados por n de la forma representalai-ésimacoordenadadelpunto
generadoalasignarvaloresdelintervalo[a,b]at.Porejemplo,pararepresentarunacurvaenelespacioseusan3
funcionesx=x(t),y=y(t),z=z(t)
donde

12. Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a
cada punto
lecorrespondaunpuntodistintodela
curva;silascoordenadasdelpuntoobtenidoalhacert=asonlasmismasdelpunto
correspondienteat=blacurvasedenominacerrada.
Sedicequeunpuntodelacurvacorrespondienteaunvalortdelintervaloesunpuntoordinariosilas
derivadasdelasfuncionesparamétricasexistenenysoncontinuasenesepuntoyalmenosunaesdistinta
de0.Siunarcodecurvaestácompuestosolamentedepuntosordinariossedenominasuave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial:
Donderepresentaal vector unitariocorrespondientea la coordenadaK-ésima.Porejemplo,las
funcionesparamétricasdeuncírculounitarioconcentroenelorigensonx=cost,y=sent.Podemos
reunirestasecuacionescomounasolaecuacióndelaforma:
Siendolabase usualdelespacio bidimensional real.

13. CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a sean además M(x,y) un punto de la curva y Θ=ángXOM
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia.

14. CICLOIDE
Es la curvatura descrita por un punto fijo de una circunferencia que rueda, sin resbalar, a lo largo de una
recta fija.
TómesealejexcomolarectafijaOXsobrelacualsehacerodarlacircunferenciadecentroCyradior,y
seaMelpuntofijoquedescribelacurva.

15. que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide.
Enelmomentoenquecomienzaarodarlacircunferencia,elpuntoMcoincideenelorigencon
T,puntodecontactodelacircunferenciaconOX.CuandoMyTlleguenaA,cadapuntohabrá
hechounrecorridoiguala2πr,esdecir,entodoinstantegenérico,ladistanciaOTesigualal
arcoTM.Teniendopresentequecuandolamedidadelángulosedaenradianes,elarcoesigual
alradiomultiplicadoporelnúmeroquemideelángulo,sepuedeescribir:

16. HIPOCICLOIDE
Eslacurvaturaquedescribeunpuntofijodeunacircunferenciaquerueda,sinresbalar,permaneciendo
siempretangenteinteriormenteaotracircunferenciafija.
Seanaelradiodelacircunferenciafijade
centroO,belradiodelacircunferencia
menor,decentroO´,querueda,
permaneciendosiempretangenteala
circunferenciamayor,Melpuntofijodela
circunferenciamenorquedescribela
hipocicloide,yTelpuntodetangencia.En
AcoincidenMyT.cuandoMhaya
descritolaarcadaAB;habrágirado360°,
yelpuntoThabrárecorridoelarcoAB;o
sea:arcoAB=2πb.

17. ConvieneexpresarelánguloφenfuncióndeΘparaquefigureunparámetrosolamente.

19. ASTROIDE
Silosradiosdelascircunferenciasqueintervienenenlageneracióndelahipocicloideson
inconmensurables,lacurvanovuelveapasarporelpuntoinicialA.Pero,silosradiosaybson
conmensurables,resultaunacurvacerrada.
Enelcasoparticulardeb=(1/4)a,se
obtieneunacurvallamadaastroide.
Lasecuacionesparamétricasde
estacurvasededucendelasdela
hipocicloide,sustituyendobpor
(1/4)aydespuésreduciendoqueda:
Que son las ecuaciones paramétricas de la astroide.

20. Demaneramásprecisa,setoman:unpuntoOdelplano,alqueselellamaorigenopolo,yunarectadirigida(orayo,
osegmentoOL)quepasaporO,llamadaejepolar(equivalentealejexdelsistemacartesiano),comosistemade
referencia.
Conestesistemadereferenciayunaunidaddemedidamétrica(parapoderasignardistanciasentrecadaparde
puntosdelplano),todopuntoPdelplanocorrespondeaunparordenado(r,θ)donderesladistanciadePalorigeny
θeselánguloformadoentreelejepolarylarectadirigidaOPquevadeOaP.
Elvalorθcreceensentidoantihorarioydecreceensentidohorario.Ladistanciar(r≥0)seconocecomola
«coordenadaradial»o«radiovector»,mientrasqueelánguloesla«coordenadaangular»o«ángulopolar».
Esunsistemadecoordendasbidimensionalenelcualcadapuntodelplanosedeterminaporunánguloy
unadistancia.
Enelcasodelorigen,O,elvalorderescero,peroelvalordeθesindefinido.Enocasionesseadoptalaconvención
derepresentarelorigenpor(0,0º).

21. EnelplanodeejesxyconcentrodecoordenadasenelpuntoOsepuededefinirunsistemadecoordenadaspolares
deunpuntoMdelplano,definidasporladistanciaralcentrodecoordenadas,yelángulodel vector de posición sobre
el ejex.
Conversióndecoordenadaspolaresarectangulares
Definidounpuntoencoordenadaspolaresporsuángulosobre el eje x, y su distancia r al
centro de coordenadas, se tiene:
Conversiónde coordenadasrectangularesa polares
Definidounpuntodelplanoporsuscoordenadasrectangulares(x,y),setienequelacoordenadapolarres:
(aplicando elTeorema de Pitágoras)
Para determinarla coordenadaangular θ, se debendistinguirdos casos:
•Para r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
•Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los
intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

22. Paraobtenerθenelintervalo[0,2π),sedebenusarlas
siguientesfórmulas(“arctan”denotalainversadelafunción
tangente):
Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes
fórmulas:
o equivalentemente

23. Enmatemática,lalongituddearco,tambiénllamadarectificacióndeunacurva,eslamedidade
ladistanciaocaminorecorridoalolargodeunacurvaodimensiónlineal.Históricamente,hasidodifícildeterminar
estalongitudensegmentosirregulares;aunquefueronusadosvariosmétodosparacurvasespecíficas.Lallegada
delcálculotrajoconsigolafórmulageneralparaobtenersolucionescerradasparaalgunoscasos.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma.
Ahoratrabajaremoselcasoenelquelacurvaestádadaenformaparamétrica;esdecir,cuandoxeysonfunciones
deunanuevavariable,elparámetrot.Parapoderusarlaintegraldelongituddearco,primerocalculamoslas
derivadasdeambasfuncionesyobtenemosdxydyentérminosdedt.
Se sustituye estas expresiones en la integral y se factoriza el
término dt² fuera del radical.

24. LA LONGITUD DE UNA CURVA PARAMETRIZADA
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamosque t varíede -1.5 a 1.5, la curva resultante se ve así:
EJEMPLO
Al diferenciar la función x Al diferenciar la función y

25. Al sustituir estas expresiones en la integral, obtenemos:
Ahoratodoelintegrandoestáescritoentérminosdetporloqueloslímitesdeintegracióncorrespondenconlos
valoresinicialyfinaldelparámetrot.Enestecaso,tvade-1.5a1.5

26. Lasecuacionesparamétricassonecuacionesquedefinenlaubicacióndelospuntosutilizandootravariable.Porlo
general,lavariableindependienteserepresentacomounvalort,mientrasquelosvaloresxeyseescribencomo
funcionesde"t".
Las ecuaciones han sido escritas en notación de funciones. Recuerde, esto significa que x (t) es una función llamada 'x'
que se define utilizando una variable t.
CONCLUSIÓN
Elálgebravectorialesunaramadelasmatemáticasencargadadeestudiarsistemasdeecuacioneslineales,vectores,
matrices,espaciosvectorialesysustransformacioneslineales.Serelacionaconáreascomoingeniería,resoluciónde
ecuacionesdiferenciales,análisisfuncional,investigacióndeoperaciones,gráficascomputacionales,entreotras.

28. https://www.youtube.com/watch?v=zuADQhh8huo
https://www.youtube.com/watch?v=LSsrD-gU-AE
https://www.youtube.com/watch?v=buX2WIloCSU

29. EcurRed, (25 de mayo del 2016). Ecuaciones paramétricas. Recuperado de:
https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
BIBLIOGRAFÍA
Wikipedia,(editadoel27demayo del2018).Ecuacionesparamétricas.Recuperado de
https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9trica
Superprof. Operacionescon vectores. Recuperadode
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/operaciones-de-vectores-en-el-espacio.html
Cursos.aiu.edu. Matemáticassuperiors. Recuperadode http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%202.pdf
Blogsalvatierrac.blogspot(15demayodel2013).¿Cómoconvertirunacurvaparamétricaypolaraunarectangularo
cartesiana?Recuperadodehttp://blogsalvatierrac.blogspot.com/2013/05/como-convertir-una-curva-parametrica-y.html
Lifeder.ÁlgebraVectorial:Fundamentos,Magnitudes,Vectores.Recuperadode:https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-
fundamentos-magnitudes-vectores/
Khanacademy.Camposvectoriales.Recuperadode:https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/thinking-
about-multivariable-function/ways-to-represent-multivariable-functions/a/vector-fields