Ecuaciones Paramétricas - Cartesianas

Trabajo de slideshare, para la cátedra de Matemáticas 3

1. República Bolivariana de Venezuela . Instituto Universitario Politécnico. “Santiago Mariño "  Extensión Barcelona Escuela de “Ingeniería de Sistemas ” Ecuaciones Paramétricas Bachiller : Remache, José C.I:24.983.497  

2. El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras. Introducción Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.

3. El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos: Geométricamente Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. Axiomáticamente Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica.

4. El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su representación en un sistema de referencia, que puede ser en una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se encuentran: Sistema unidimensional , que se trata de una recta donde un punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la escala (longitud) y el sentido de esta: Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que está compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.

5. Y por supuesto, el sistema tridimensional rectangular , formado por tres rectas perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el espacio. Se forman tres planos coordenados: xy , xz y yz ; el espacio quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los planos y P.

6. Entre otra generalidades: La Magnitud Magnitud es una cantidad física que puede ser contada o medida a través de un valor numérico . Magnitud escalar Son aquellas cantidades que se definen y representan de forma numérica; es decir, por un módulo junto con una unidad de medida. Por ejemplo: Tiempo : 5 segundos . Masa: 10 kg. Magnitud vectorial Son aquellas cantidades que son definidas y representadas por un módulo junto con una unidad, así como también por un sentido y dirección . Por ejemplo: Aceleración : 13 m /s2; S 45º E. Fuerza : 280 N, 120º. Las magnitudes vectoriales son representadas gráficamente por vectores.

7. Entre otra generalidades: Definición de Vectores Los vectores son representaciones gráficas de una magnitud vectorial; es decir, son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación.

8. Entre otra generalidades: Características de los Vectores Módulo Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto con una unidad. Por ejemplo: |OM| = |A| = A = 6 cm Dirección Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste). Sentido Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige este.

9. Entre otra generalidades: Tipos de Vectores Vector fijo Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no puede desplazarse en este. Vector libre Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o dirección.

10. Entre otra generalidades: Tipos de Vectores Vector deslizante Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.

11. Entre otra generalidades: Propiedades de los vectores Vectores equipolentes Son aquellos vectores libres que tienen igual módulo, dirección (o estas son paralelas) y sentido que un vector deslizante o un vector fijo. Vectores equivalentes Ocurre cuando dos vectores tienen la misma dirección (o son paralelas), el mismo sentido, y a pesar de tener diferentes módulos y puntos de aplicación, estos provocan efectos iguales. Igualdad de vectores Estos tienen igual módulo, dirección y sentido, aun cuando sus puntos de partida son diferentes, lo que permite que un vector paralelo se traslade a sí mismo sin afectarlo.

12. Vectores opuestos Son aquellos que tienen el mismo módulo y dirección, pero su sentido es opuesto. Vector unitario Es aquel en el que el módulo es igual a la unidad (1). Este se obtiene al dividir el vector por su módulo y es utilizado para determinar la dirección y sentido de un vector, bien sea en el plano o en el espacio, utilizando los vectores base o unitarios normalizados, que son: Entre otra generalidades: Propiedades de los vectores

13. Ejemplo de un Vector Se tiene un vector Ā que parte del origen y las coordenadas de sus extremos son dadas. Así, el vector Ā = ( Ax ; Ay; Az ) = (4; 6; -3) cm.

14. Ecuación paramétrica En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. Ecuaciones paramétricas de la recta en el espacio Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta expresada en componentes:

15. Separando por componentes obtenemos: Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta. Ecuación paramétrica

16. Grafica de la Ecuación vectorial de la recta en R3 Dado un vector u = ( a,b,c ) y un punto A (x1, y1, z1), nos propondremos a hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector u. Para ellos, lo primero es considerar un punto X ( x,y,z ) perteneciente a la recta r, y crear con ambos puntos, el vector AX, el cual resultará paralelo al vector u. AX = t . u (x – x1, y – y1, z – z1) = t . (a, b, c) (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t . (a, b, c) , t Є R “Ecuación Vectorial de la Recta” Su forma paramétrica: x = x1 + t . a y = y1 + t . b z = z1 + t . c

17. Curvas planas y ecuaciones paramétricas

18. Longitud de curva Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el intervalo a \le t \le b (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por: Para cálculos en el plano R3

19. Longitud de arco Imagina aproximar la curva con un montón de pequeños segmentos de recta . La longitud de cada segmento está dada por el teorema de Pitágoras, Los términos dx y dy representan el pequeño cambio en los valores de x y y desde el principio hasta el final del segmento . Podemos aplicar esta misma integral a curvas parametrizadas, no solo a gráficas de funciones. Esta vez, ya que x y y son funciones del parámetro t, escribimos dx y dy en términos de dt ; esto lo logramos al calcular las derivadas de ambas funciones con respecto al parámetro.

20. Un pequeño ejercicio de caculo de Longitud de arco Donde “u” representa “unidades”.

21. Transformación de ecuación paramétrica a Cartesiana

22. Transformación de ecuación paramétrica a Cartesiana

23. Si aplicamos los pasos a la ecuación paramétrica de la recta Aplicamos los pasos: Línea 2 + (Línea 3)*-1 = X = -1 + 3 k Y - z = -2 – 3k Línea 1 + Línea 2= X + y –z = -3 Consiguiendo la ecuación cuadrática de la recta

24. Conclusión Los vectores así como las ecuaciones lineales pueden ser estudiadas en un plano, para de esta forma poder graficar con cierta exactitud el comportamiento de la fuerza o magnitud en el espacio, recordando que dependiendo de las necesidades del estudio esa observación se puede hacer en el eje de R2 (x, y) o en el eje R3 (x, y, z). Las rectas pueden estudiarse tanto bajo su forma cartesiana así como paramétricas, solo es necesario observar correctamente sus componentes para así poder aplicar las ecuaciones de la forma correcta. Para estudiar una recta es necesario conocer un punto dentro de la recta y tener un vector director a la recta. Las ecuaciones paramétricas pueden transformarse en cartesianas aplicando una simple reducción. La longitud de la curva puede ser estudiada aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes.

25. Anexos https://www.youtube.com/watch?v=PquPODE1UBc https://www.youtube.com/watch?v=1x5zGY9DOdg

26. Anexos https://www.youtube.com/watch?v=N5eKa0a95mk

27. Bibliografía Vicenzo J. Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores. Lifeder.com. Recuperado de: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-vectores / Marta. Obtención de las ecuaciones paramétricas de la recta. Superprof Recuperado: https:// www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/ecuaciones-parametricas-de-la-recta.html (2017 ). Longitud de Arco de la Curva. Matesfacil . Recuperado de https://www.matesfacil.com/ESO/geometria_plana/circular/arco/longitud-arco-circunferencia-grados-radianes-angulo-formulas-problemas-resueltos.html ¿Cómo citar y referenciar páginas web con normas APA?. Normas APA a Chegg Service . Recuperado de: https://normasapa.com/como-citar-referenciar-paginas-web-con-normas-apa/