Ecuaciones presentación

Esta sencilla presentación esta diseñada para estudiantes de nivel secundaria, como apoyo para introducirlos a la resolución de ecuaciones.
UPAEP.

2. •¿Qué es una ecuación
•Elementos de una ecuación
ECUACIONES
•Ecuación lineales o de primer grado
•Forma a + x=b
•Forma ax = b
•Forma ax + b = c
ECUACIONES LINEALES
•Ecuación Cuadrática
•Clasificación
•Formas de Resolución:
•Factorización
•Formula general
ECUACIÓNES CUADRATICAS

3. Unaecuaciónesunaigualdadentredos
expresionesalgebraicasdenominadas
miembros,enlasqueaparecenvalores
conocidosodatos,ydesconocidoso
incógnita, relacionados mediante
operacionesmatemáticas.
a x = b
a x + b = c
x + a = b

4. 3 + x =15
1ermiembro 2domiembro
igualdad
Valores conocidos
o datos
Valore
desconocidos o
incógnitas
Operación
3 y 15 x suma

5. Se dice que una ecuación es de primer grado
cuando la variable “x” no está elevada a ninguna
potencia, es decir, su exponente es 1.
a x + b = c
1
exponente

7. Lasecuacionesdelaformaa+x=bseresuelve
así:
Tenemos 73 + x =125
1.Despejamoslax,esdecirdejarlaxsolaaun
ladodelsignoigual.
73 + x =125
2.Parapasarunnúmero,ounavariable,alotro
ladodelsignoigual.Siestásumandopasa
restandoysiestarestandopasasumando.
73 + x =125
Pasarlo al segundo
miembro
-73

8. 3.Posteriormenteserealizanlasoperaciones
indicadas
X = 125 –73
X =52
4.Serealizalacomprobación,tomandolaecuación
originalyenlugardelaincógnitasecolocaelvalor
encontrado.
Comprobación
4. 73 + x =125
73 + 52 = 125
125=125
Como es una igualdad ambos miembros tienen que da el mismo
resultado
Nos dice que “x” vale
52

9. Laura va al mercado con un billete de $50,
después de efectuar sus compras, le sobraron
$34.50. ¿Cuánto gasto en el mercado?
La ecuación que expresa el problema es:
34.50 + x= 50
“x” es el valor que gasto en el mercado

10. 34.50 + x= 50
x=50-34.50 despejamosxy
realizamosoperaciones
x=15.50 encontramoselvalorde“x”
Comprobación
34.50+x=50
34.50+15.50=50
Por lo tanto15.50 gasto en el mercado

12. Pararesolverecuacionesdelaformaa·x=b
seaplicalapropiedaddelasigualdades,que
dice:
“Si se multiplica o divide por un mismo
número a ambos lados de la igualdad, ésta
se mantiene. “
Cuandosetieneunaecuacióndeestaforma,en
lacualunnúmerosehallamultiplicandoala
incógnita,sedebedividiraambosladosdela
ecuaciónpordichonúmero.

13. Tenemos 5x = 30
1.Sedividesiempreporelnúmeroque
multiplicaala“x”.,osemultiplicaporel
númeroqueestadividiendoa“x”
5•x=30
2.Realizamoslasoperaciones
x=6
Esta multiplicando por
lo tanto vamos a
dividir por ese
número ambos
miembros
Encontramos el
valor de “x”

14. Comprobación
1. Tomamos la ecuación original
5x = 30
2.Sustituimoslaincógnitaporelvalor
encontrado
5x= 30
5(6) = 30
30 =30

15. Alejandra compró dos cuadernos en la papelería
y le cobraron $32.00 ¿Cuánto le costo cada
cuaderno?
Laecuaciónqueexpresaelproblemaes:
2n= 32.00
“n”es el precio del cuaderno que nos
interesa conocer

16. 2n=32
n = 16
Comprobación
2n= 32
2(16)=32
32=32
Porlotantocadacuadernocosto$16
Ambos
miembros
los dividimos
Encontramos el
valor de “n”

18. Para resolver este tipo de ecuaciones ax + b = c
es:
1. Se resta a “b” en ambos miembros , si su
signo es positivo y se suma si su signo es
negativo.
ax + b = c
2z –10 = 16
2z–10+10=16+10
2.Realizamosoperacionesynosqueda
2z=26

19. 3. Se divide a ambos miembros de la igualdad entre
“a”
En este caso es 2
2z = 26
Nosqueda
z =13
Comprobación
Sustituimosenellugardelaincógnitaelvalor
encontrado.
2z–10 = 16
2(13)-10=16
26-10=16
16=16

20. El perímetro de un rectángulo es 16 cm. Si un
lado mide 5 cm, ¿Cuál es la longitud del otro
lado?.
La ecuación que expresa el problema es:
2x+ 2 • 5 = 16
2x+ 10 = 16
Donde “x” es el valor de la longitud que no
conocemos su valor
5 cm
y

21. 2x+ 10 = 16
2x+ 10 -10 = 16 –10
2x = 6
x =3
Ambos
miembros les
restamos 10
Ambos miembros los
dividimos entre dos para
dejar a “x” solita

22. Comprobación
Sustituimos en el lugar de la incógnita el valor
encontrado.
2x+ 10 = 16
2(3) + 10 = 16
6 + 10 = 16
16 =16
Porlotantoelladomide:
2x= 2(3) =6 medida del lado

24. Unaecuacióncuadráticaodesegundo
gradoesaquellaenlacuallavariableo
incógnitaestaelevadaalcuadradoy
tienelasiguienteforma:
ax
2
+bx+c = 0
Termino lineal
Coeficiente
Termino cuadrático
Termino Independiente

26. Segúnsunumerodetérminosunaecuacióncuadrática
conunaincógnitapuedeser:
completa ax
2
+ bx+c = 0
3x
2 -
5x +6 = 0
Cuando a=1 se tiene la forma
ax
2
+bx+c = 0
x
2
+3x-2 = 0

27. Incompleta
Cuando le hace falta un termino lineal
ax
2
+ c = 0
2x
2 _
3 = 0
Cuando le hace falta un termino
independiente
ax
2
+bx = 0
3x
2 _
5x = 0
Cuando le falta el termino lineal e
independiente ax
2
= 0
16x
2
= 0

29. Resolución de una ecuación cuadrática por el método de
factorización:
Tenemos x² -4x = 12
1) La ecuación debe de estar igualada a cero. Por lo que a cada
lado de la igualdad le restaremos 12.
x² -4x = 12
x² -4x-12= 12-12
x² -4x -12 = 0
2) Se expresa el lado de la igualdad que no es cero como
producto de factores.
x² -4x-12 = 0
(x )(x ) = 0

30. comonoesuntrinomiocuadradoperfecto,hayque
buscarlosfactoresquealmultiplicarsenosdecómo
resultado-12yquecuandolossumemoselresultado
sea-4.
x²-4x-12=0
(x+2)(x-6)=0
3)Porultimoseigualaacerocadafactorysedespejala
variable.
(x+2)=0 (x-6)=0
x+2=0 x–6=0
(+2) x (-6) = -12
(+2) + (-6) = -4

31. Parapoderdespejaraxenlasigualdadessila
constantetienesignopositivoserestaalosdos
ladosdelaigualdadysitienesignonegativose
suma.
x+2-2=0-2 x -6 +6= 0 + 6
x= -2 x = +6
Los valores de x son: -2 y +6
Comprobación:
Se sustituyen cada uno de los valores encontrados.
X = -2 x = +6
x² -4x = 12 x² -4x = 12
(-2)² -4(-2) =12 (+6)² -4(+6) = 12
4 + 8 = 12 36 –24 = 12
12 = 12 12 = 12

32. El área de un rectángulo es de 32m², si se sabe que uno de sus lados
mide 4 metros mas que el otro, ¿Cuánto mide cada uno de sus lados?
x
x + 4
La formula del rectángulo es: Base x Altura, por lo que tenemos
B = x + 4 , la altura = x y el A= 32m², entonces
32 = (x+4) (x) multiplicando los factores tenemos la ecuación cuadrática:
32 = x² + 4x
x² + 4x = 32
Área = 32m²

33. x² + 4x = 32
1)Igualamos a cero la ecuación
x² + 4x -32 = 32-32
x² + 4x -32 = 0
(x-4) (x+ 8) = 0
Para igualar a cero la
ecuación le restamos 32
a los dos lados de la
igualdad
El -4 y 8 son los factores
que al multiplicarlos nos
da -32 y al sumarlos 4

34. X –4= 0 X+8 = 0
X -4+4= 0+ 4 X + 8 -8= 0 -8
X= 4 X = -8
Los valores de xson 4 y -8, pero para resolver
el problema utilizaremos el valor de 4, ya
que la medida de un lado del rectángulo no
puede ser negativa.
Base = x + 4 altura = x
Base = 4 + 4 = 8 altura = 4
Las medidas de los lados del rectángulo son
8m y 4m respectivamente
Se iguala a cero cada uno de los factores

35. sustituimos el valor de x=4, en la ecuación
x² + 4x = 32
(4)² + 4(4) = 32
16 + 16 = 32
32 = 32

37. Laformulageneralnospermiteresolvercualquiertipo
deecuacióncuadrática.
Laexpresión esconocidacomo
Discriminanteydeterminaelnumeroytipode
soluciones.
Sisuvalorespositivo,tiene2tiposdesoluciones
reales,unapositivayotranegativa.
Sisuvalorescerotieneunasoluciónreal
Sisuvaloresnegativotiene2solucionesimaginarias.

38. Resolución de una ecuación cuadrática
por medio de la formula general
6x² -8x+2=0
1)Identificamos en la ecuación cada uno
de los valores para a, b y c
6x² -8x+2= 0a=6
a=coeficiente de x²
b=-8
b=coeficiente de x
c=2
c=Termino
independiente

39. 2) Se sustituye cada uno de los valores en la formula general.
a=6, b=-8y c=2
Se realizan las operaciones
indicadas.
Xı= 1 X2 = ⅓
La discriminante
nos indica que su
solución tiene 2
números reales
distintos

40. Comprobación:
Reemplazamoslosvaloresdexenlaecuación,para
comprobarsisecumplelaigualdad.
Con el valor de Con el valor de
6x² -8x+2=0 6x² -8x+2 = 0
6(1)² -8(1)+2=0 6(1/3)² -8(1/3)+2 = 0
6 –8 + 2 = 0 6(1/9) -8/3 + 2 = 0
8 –8 = 0 6/9 –8/3 + 2 = 0
0 = 0 2/3 –8/3 + 2 = 0
-6/3 + 2 = 0
-2 + 2 = 0
0 = 0

41. Los lados de un triangulo rectángulo tiene por medidas en centímetros
tres números pares consecutivos. Halla los valores de dichos lados.
2x + 2 2x + 4
2x
Utilizando el teorema de Pitágoras a² + b² = c² ;tenemos que:
a² = 2x, b² = 2x + 2 y c² = 2x + 4
Entonces:
(2x)² +(2x + 2)² = (2x + 4)² desarrollando los cuadrados
4x² + 4x² + 8x + 4 = 4x² + 16x + 16 igualamos a cero la igualdad
4x² + 4x² + 8x + 4-4x² -16x -16 = 0 Se reducen términos semejantes

42. Por lo que se tiene la ecuación:
4x² -8x –12 = 0
4
x² -2x –3
a b c
SOLUCION
Utilizando la formula general
=3
Se sustituyen cada uno de los
valores en la formula
De los 2 valores de x
, el que permitirá
resolver el problema
es 3

43. Tomandocomo valor para x a 3 y sustituyéndolo en
cada una de las ecuaciones tenemos que:
a=2x b= 2x+2 c=2x+4
a= 2(3) b = 2(3)+2 c=2(3)+4
a=6 b= 8 c= 10
Las medidas de los lados del triangulo son:
6cm, 8cm y 10cm respectivamente.
COMPROBACION
x² -2x –3= 0
3² -2(3) –3 = 0 (-1)² -2(-1) –3 = 0
9 –6 –3 = 0 1 + 2 –3 = 0
9 –9 = 0 3 –3 = 0
0 = 0 0 = 0
X= -1
X = 3