EDI__PROBABILIDADES_FEBRERO-2024 (1).pptx

Presentación Probabilidad

1. ESTADISTICA_DESCRIPTIVA_E_ INFERENCIAL TEORIA DE LAS PROBABILIDADES_OGH TERMINOLOGIA_REGLAS_DE_PROBABILIDAD

2. Frecuentemente se escuchan preguntas como las siguientes: ¿ Qué probabilidad hay de que ocurra un accidente automovilístico en la autopista vía Floridablanca? ¿ Qué posibilidad hay que hoy llueva ? para llevar o no llevar paraguas? ¿ Cual es la probabilidad que falle un punto de soldadura? ¿Existe alguna probabilidad de reprobar el Quiz de esta semana? PROBABILIDAD

3. Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla de interpretar la probabilidad. Es por lo anterior que se debe entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias. PROBABILIDAD

4. PROBABILIDAD El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico El calculo de la probabilidad proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

5. TERMINOLOGIA BASICA A. Experimento o experiencia aleatoria - Es una acción que se realiza con el propósito de analizarla; tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados. - Se considera como aleatorio, si sus resultados no son constantes. - Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones. PROBABILIDAD

6. Ejemplos: - Lanzar dardos en un blanco determinado - Lanzar un par de dados no cargados - Obtener una carta de una baraja - Lanzar una moneda equilibrada PROBABILIDAD

7. B. Espacio Muestral o Conjunto Universal Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra Ω o U Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda equilibrada. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, cara (c) o sello (s) . (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). Ω = { c ; s } TERMINOLOGIA BASICA

8. Ejercicio: para el experimento lanzar un dado no cargado, construya el espacio muestral o conjunto universal Experimento : Se lanza un dado no cargado. Espacio muestral = conjunto de resultados en que podría caer el dado, o sea seis formas de interés: Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } TERMINOLOGIA BASICA

9. C. EVENTO O SUCESO ALEATORIO . Los eventos o sucesos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A , B , C, ... Son subconjuntos de Ω , esto es, A, B , C,…  Ω Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, mas de un elemento, o también no contener ningún elemento. Al número de elementos o puntos muéstrales de Ω se le representa por N(Ω) TERMINOLOGIA BASICA

10. Evento seguro .- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral. Ejemplo que al lanzar una moneda su resultado sea una cara o un sello. Evento Imposible .- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. Ejemplo: que al lanzar una moneda esta caiga de canto (parada); es un conjunto vacío . TERMINOLOGIA BASICA

11. Evento Elemental .- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de Ω , esto es, N(E) = 1. Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral .   TERMINOLOGIA BASICA

12. Ejemplo 1. Para el experimento lanzar una moneda equilibrada su conjunto universal será: Ω = { C, S } , C y S son sucesos elementales y N(Ω ) = 2 Para los eventos : A = Que caiga cara = { C }, N(A) = 1 B = Que caiga sello = { S }, N(B) = 1 TERMINOLOGIA BASICA

13. 2. Para el experimento lanzar un dado no cargado se tiene: Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } donde el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y N( Ω) = 6 puntos muéstrales Para los eventos : A = Que caiga un uno = { 1 } N(A) = 1 B = Que caiga un dos = { 2 } N(B) = 1 : : : F = Que caiga un seis = { 6 } N(F) = 1 TERMINOLOGIA BASICA

14. Evento Compuesto .- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de Ω , por tanto N(E) > 1 Evento complemento de A : es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A . Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo A c o bien Ā o A´. TERMINOLOGIA BASICA

15. Ejercicio : La noche anterior en la clínica materno infantil “San Luis” de Bucaramanga nacieron 3 bebes; Construya el e spacio muestral o el conjunto universal para representar el “ sexo” de los respectivos bebes. (F = Femenino = Niña) y (M = Masculino = Niño). PROBABILIDAD

16. Conjunto universal F F F F F M F M F F M M M F F M F M M M F M M M b) Determine los eventos: A: Que todos fueran niñas. B: Que nacieran minimo 2 niñas. C: Que nacieran maximo 2 niños.

17. Probabilidad clásica.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como: donde NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales PROBABILIDAD DE UN EVENTO

18. Esto es: donde N(A) = número de elementos del evento A N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω. PROBABILIDAD DE UN EVENTO

19. Ejemplo : Experimento. - Se lanza una moneda Evento A. - que al lanzar una moneda caiga cara. Calcular la probabilidad de A: Ω = { C, S}, N(Ω) = 2 A = { C }, N(A) = 1 PROBABILIDAD DE UN EVENTO

20. Para el ejercicio de los nacimientos, determine la probabilidad de los eventos: A: Que todos fueran niñas. B: Que nacieran minimo 2 niñas. C: Que nacieran maximo 2 niños.

21. Sea Ω un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A  Ω , entonces se cumple que  P(A)  1 Lo anterior significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro , y cuando es cero se llama evento imposible . PROBABILIDAD

22. Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a cero Ejemplos: - Una persona que quiere ganar la lotería, pero no compra boleto. -Que aparezca un siete al lanzar un dado -Que una persona viva 250 años -En estos casos los eventos son vacíos PROBABILIDAD

23. OPERACIÓN EXPRESION DESCRIPCION UNION A  B La unión de eventos es el conjunto de los elementos que están en A o en B o en ambos. INTERSECCION A  B La intersección de dos eventos es el conjunto de los elementos que están en A y en B; es decir son los elementos comunes a los dos eventos. COMPLEMENTO A c o Ā. Es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A . OPERACIONES BASICAS CON EVENTOS

24. La unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: a) Cuando los eventos son mutuamente excluyentes; es decir que los eventos no tienen elementos en común. Definición. - Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes , cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A  B =  , b) Cuando entre los eventos hay elementos comunes. UNION DE DOS EVENTOS

25. Ley Aditiva de la Probabilidad Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B   , entonces P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) PROBABILIDAD A  B

26. Ley Aditiva de la Probabilidad Ejercicio; Se lanza un dado no cargado, y usted gana $ 5000 si el resultado es un numero par o un numero divisible por 3; en caso contrario paga $ 1000; Determine: a) Cual es la probabilidad de ganar en este juego. b) Construya la tabla de distribución de probabilidades. c) Determine el valor esperado o esperanza matemática. d) Determine la varianza. e)Determine el coeficiente de variación o dispersión respectivo.

27. Ley Aditiva de la Probabilidad P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Ω = { 1,2,3,4,5,6 }, N( Ω ) = 6 Sean A, y B, los eventos A: número par = { 2, 4, 6 } N(A) = 3 B: número divisible por 3 = { 3, 6 }, N(B) = 2 (A  B) = { 6 } Calculo de probabilidades P(A) = 3/6 P(B)=2/6 P (A  B) = 1/6 P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) P(A  B) = 3/6 + 2/6 – 1/6 = 4/6 P( ganar) = P(A  B) = 4/6 P( perder) = 1 - P(ganar) = 1 - 4/6 P( perder) = 2/6

28. Ley Aditiva de la Probabilidad b) Construya la tabla de distribución de probabilidades Xi P(Xi) Pxi Pxi $5000 4/6 0.667 66.7% - $1000 2/6 0.333 33.3% ---------------------------- 6/6 1 100 % c) El valor esperado o esperanza matemática d) Obtenga la varianza e) la desviación estándar y el coeficiente de variación respectivo.

29. Eventos mutuamente Excluyentes: Ejercicio Experimento: Se lanzan dos monedas Ω = { SS, CC, SC,CS} N(Ω) = 4 Sean: A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos sellos exactamente B : el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sello exactamente. Los elementos de A y B son A = { SS } B = {SC, CS} Se puede ver que A  B =  , no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente excluyentes por tanto P(A  B) = P(A) + P(B) PROBABILIDAD

30. Probabilidad Condicional . Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como: PROBABILIDAD

31. Ejercicio: Experimento: Lanzar un dado. A: que al lanzar el dado caiga 3 E: que al lanzar un dado salga un impar Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar. Ω = {1,2,3,4,5,6} A = {3}, P(A) = 1/6 E = { 1,3,5}, (A  E) = {3}, P(A  E) = 1/6 P(A/E) = P(A  E)/ P(E) = 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3) = 6/18 = 1/3 PROBABILIDAD CONDICIONAL

32. REGLA DE LA MULTIPLICACION Sea: P (B/A) = P(A y B) / P(A) Despejando P(A y B) se tiene: P(A y B) = P(A) * P (B/A) Ejercicio: En una caja hay 3 balotas blancas y 2 negras. Si se extraen dos balotas sucesivamente y sin restitución, determine la probabilidad de: a) Que las dos sean negras. b) Que la 1era negra y 2da blanca. c) Que las dos sean blancas. d) Que 1era sea blanca y la 2da negra. e) Que las dos sean iguales. a) Que las dos sean diferentes. a)P(N1yN2) = P(N1)*P(N2/N1) P(N1yN2)= (2/5)(1/4) = 2/20 b)P(N1yB2) = P(N1)*P(B2/N1) P(N1yB2)= (2/5)(3/4) = 6/20

33. REGLA DE LA MULTIPLICACION c) P(B1yB2)= P(B1)*P(B2/B1) P(B1yB2) = (3/5) * (2/4) = 6/20 d)P(B1yN2) =P(B1)*P(N2/B1) P(B1yN2)= (3/5) *(2/4) = 6/20 e) P (las dos son iguales) P(N1yN2) U P(B1yB2) (2/5)(1/4) + (3/5)(2/4) (2/20) + (6/20) = 8/20 f) P (las dos son diferentes) P(N1yB2) U P(B1yN2) (6/20) + (6/20) = 12/20 o 1- P (las dos son iguales) 1- (8/12) = 12/20

34. Probabilidad total.- Sean A 1 , A 2 , A 3 ..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de Ω. Esto es Ai  Aj =  para toda i y toda j, y además Ω = A 1  A 2  A 3  A n A1 A2 A3 A4 A5 A6 An PROBABILIDAD

35. Ejercicio- En una empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M 1 , M 2 y M 3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, determine, cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ? PROBABILIDAD TOTAL

36. M 1 M 2 M 3 D ND D ND D ND P(M 1 )=.50 P(M 2 )=.30 P(M 3 )=.20 P(D/M 1 )=.03 P(ND/M 1 )=.97 P(D/M 2 )=.04 P(D/M 3 )=.05 P(ND/M 2 )=.96 P(ND/M 3 )=.95 P(M 1 )*P(D/M 1 )=.5*.03=0.015 P(M 2 )*P(D/M 2 )=.3*.04=0.012 P(M3)*P(D/M3)=.2*.05=0.01 P(D) = .015+.012+.01=0.037

37. Sea D el evento: Que sea un artículo defectuoso. P(M 1 ) = .50 P(D/M 1 ) = .03 P(M 2 ) = .30 P(D/M 2 ) = .04 P(M 3 ) = .20 P(D/M 3 ) = .05 P(D) = P(D/M 1 ) P(M1) + P(D/M2) P(M2) + P(D/M3) P(M3) = .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037 PROBABILIDAD

38. Teorema de Bayes.- Supóngase que A 1 , A 2 , A 3 ,..., A n es una partición de un espacio muestral Ω. En cada caso P( A i ) ≠ 0. La partición es tal que A 1 , A 2 , A 3 ,..., A n , son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier A i , PROBABILIDAD

39. PROBABILIDAD

40. Ejemplo del Teorema de Bayes. En una empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M 1 , M 2 y M 3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos. Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar, determine: a) Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ? b) Dado que el articulo seleccionado es defectuoso, determine cual es la probabilidad de que haya sido producido por la máquina M1? PROBABILIDAD

41. M 1 M 2 M 3 D ND D ND D ND P(M 1 )=.50 P(M 2 )=.30 P(M 3 )=.20 P(D/M 1 )=.03 P(ND/M 1 )=.97 P(D/M 2 )=.04 P(D/M 3 )=.05 P(ND/M 2 )=.96 P(ND/M 3 )=.95 P(M 1 )*P(D/M 1 )=.5*.03=0.015 P(M 2 )*P(D/M 2 )=.3*.04=0.012 P(M3)*P(D/M3)=.2*.05=0.01 P(D) = .015+.012+.01=0.037

42. PROBABILIDAD

43. Por teorema de Bayes se tiene: La probabilidad de que el artículo defectuoso haya sido producido en la M 1 es del 40.54% PROBABILIDAD

44. Teorema de Bayes (Ejercicio) Todas las noches el señor Mr Bean Herrera llega tarde a su casa; la probabilidad de que el señor Mr Bean Herrera llegue “Borracho” es del 60 %. La señora Herrera que es una “muy buena mujer” le deja siempre encendida la luz de la calle. La probabilidad de que el señor Mr Bean Herrera apague la luz estando borracho es del 5 % en tanto que esta es del 90 % si esta bueno y sano (sobrio). Determine: a) Cual es la probabilidad de que la luz sea apagada en una noche cualquiera ? b) Dado que la luz fue apagada en una noche cualquiera, determine cual es la probabilidad de que el señor Mr Bean Herrera estuviera “borracho”?