EDO DE PRIMER ORDEN PERO NO DE PRIMER GRADO

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About This Presentation

EDO DE PRIMER ORDEN PERO NO DE PRIMER GRADO


Slide Content

SEMANA 07
MSc Juan C. Broncano T.
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
EDO DE PRIMER ORDEN
PERO NO DE PRIMER GRADO

¿CÓMO RESOLVER EDOS DE PRIMER ORDEN PERO
NO DE PRIMER GRADO ?
LOGRO DE LA SESIÓN
DE CLASE
Al finalizar la sesión de clase, el estudiante
identifica y resuelve las EDO de Lagrange,
Clairaut así como EDOS no resueltas
respecto a la derivada, utilizando cambios
de variables y reducción de orden.
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

SESIÓN 16
EDO DE LAGRANGE
MSc Juan C. Broncano T.
SEMESTRE 2024 - I
ECUACIONES
DIFERFENCIALES ORDINARIAS

J. Lagrange
EDO de Lagrange
Es toda ecuación
de la forma:
�=���

+�(�

)
❑ La ecuación de Lagrange
puede tener soluciones
singulares dela forma:
�=�??????�+�(??????)
donde ?????? es una raíz de la
ecuación ??????=�(??????).
J.D’alembert
Ejemplo 1
Resolver la EDO:�=2��

+���(�

)
Solución
La EDO es de Lagrange, con ��

=2�

;��

=sen(y

)
Luego, si hacemos�

=�Al reemplazar en:
�=2��+���(�)
derivamos (1) respecto a �:��=2���+2���+������
���=2���+2���+������
⟹��=���
−���=2�+������
−�
��
��
=2�+����⟹
��
��
+
2
�
�=−
����
�
es una EDO lineal; por tanto; la solución es:
�=
�−�����−cos(�)
�
2
…(1)
…(2)
Al sustituir (2) en (1) se tiene:
�=
2�−�����−2cos(�)
�
…(3)
Luego la sol de la EDO es:
�=
�−�����−cos(�)
�
2
�=
2�−�����−2cos(�)
�
con ��(�

)≠�′ para
resolverla se hace
�

=� y se sustituye
�� por ��� para
obtener una EDO
lineal respecto a �.
La solución queda
expresada en forma
paramétrica en
función de �
Es decir:
�=2��

+���(�

)
se tiene
como �

=
??????�
??????�

Ejemplo 2
Solución
Ejemplo 3
Solución
EDO DE LAGRANGE
Resuelva la EDO:Resolver la EDO:2�=��

+�

��(�

)
La EDO es de Lagrange, tiene la forma:
�

=�⟹��=���al reemplazamos en la EDO se tiene:
�=
��
2
+
����
2
…(1)
Ahora derivamos (1) respecto a �:
2��=���+���+���+1��
���=���+���+1��
��
��

�
�
=
���+1
�
Como es una EDO lineal la solución es: …(2)
Al sustituir (2) en (1) se tiene: …(3)
Luego la solución paramétrica de la EDO es:
�=
�(��−2)
2
�=��−ln�−2
�=1+�

�+(�

)
2
�=�
�

2
+
�

���

2
Luego, si
�=
�(��−2)
2
�=��−ln�−2
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
¿tiene solución singular?
La EDO es de Lagrange, con ��

=1+�

;��

=(�

)
2
Luego, si hacemos�

=�Al reemplazar en:�=1+�

�+(�

)
2
se tiene�=1+��+(�)
2
…(1)
derivamos (1) respecto a �:��=(1+�)��como �

=
??????�
??????�
���=1+���+���+2���
⟹��=���
−��=(�+2�)��

��
��
=�+2�
como es una EDO lineal la solución es:�=2−2�+��
−??????
…(2)
Al sustituir (2) en (1) se tiene:�=1−2�
2
+�(1+�)�
−??????
Para hallar una solución singular, se deriva la ecuación
con respecto a �′:
�=1+�

�+(�

)
2
0=�+2�′como �

=�
0=�+2�⟹�=−
�
2
…(3)
Reemplazamos (3) en (1):
�=1−
�
2
�+(−
�
2
)
2
=�−
�
2
4
…(4)
(4) No es solución singular por que no verifica �=1+�

�+(�

)
2

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 4 Ejemplo 5
Solución Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
EDO DE LAGRANGE
�=2��

+�

��(�

) �=
3
2
��

+�
�′
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrad aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 6
Solución
Ejemplo 7
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
�=1+�

�+(�

)
2
EDO DE LAGRANGE
2�=� �′+ ���’
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

SESIÓN 17
EDO DE CLAIRAUT
MSc Juan C. Broncano T.
SEMESTRE 2024 - I
ECUACIONES
DIFERFENCIALES ORDINARIAS

EDO de Clairaut
Es toda EDO de la
forma:
�=��′+�(�

)
Para resolver la
EDO se hace �

=�
La solución general
tiene la forma:
A.Claiuaut
El interés que presenta la ecuación de Clairaut se debe al hecho de que tiene como
solución a una familia de rectas. Además, de la solución singular. Ésta fue una de las
primeras ocasiones en la historia en que este tipo de solución (la solución singular) se
puso de relieve.
Ejemplo 8
Resolver la EDO:
Solución
Puede tener solución
Singular para ello se
elimina � del sistema:
�=−�′(�)
�=−��

�+�(�)
�=??????�+�(??????)∀??????∈ℝ.
�=��

+1+(�

)
2
La EDO es de Clairaut, con �(�

)=1+(�

)
2
;
�=−
�
1+�
2
�=−
�
2
1+�
2
+1+�
2
=
1
1+�
2
❑Solución general
�=??????�+1+??????
2
❑Solución singular
Luego, si : �

=�⟹��=1+�
2
: � =??????� + �(??????)
Es decir;
�=−�′(�)
�=−��

�+�(�)
Es decir;
La solución singular EN FORMA IMPLÍCITA es:
�
2
+�
2
=1
Se debe eliminar la � del siguiente sistema;

Ecuación con valor absoluto
Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 9
Solución
Resolver la EDO:
EDO DE CLAIRAUT
Ejemplo 10
Resolver la EDO:
�=��

−�

−1
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
�=��

−2(�

)
2
Solución
La EDO es de Clairaut, con ��

=−2(�

)
2
Por tanto; hacemos �

=�⟹��=���
al reemplazar en la EDO se tiene:
�=��−2�
2
derivamos(*) respecto a �:��=���+���−4���
Al reemplazar (1) en (2) se obtiene:
…(2)
���=���+���−4���
0=�−4���
…(*)
…(1)
Por tanto;�−4�=0∨��=0
Si
Si
⟹�=??????
Al sustituir (3) en (*):�=��+2�
2
⟹�=
�
??????
−2??????
Para hallar la solución
��=0
�=2�
2
�=4�⟹�=
�
4
❑Solución general
…(3)
❑Solución singular
…(4)
Al sustituir (4) en (*):�=4�
2
−2�
2
⟹�=2�
2
⟹�=2(
�
4
)
2
⇒�=
�
2
8
�−4�=0⟹�=4�
singular se eliminamos � del sistema:

Ecuación con valor absoluto
Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 11
Solución
Resolver la EDO:
EDO DE CLAIRAUT
Ejemplo 12
Solución
Resolver la EDO:
�=��

+1+�′�=��

+(�

)
2
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Ecuación con valor absoluto
Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 13
Solución
Resolver la EDO:
EDO DE CLAIRAUT
Ejemplo 14
Solución
Resolver la EDO:
�=��

+
�
(�′)
2��

+�1+(�′)
2
=�
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

SESIÓN 18
EDO NO RESUELTA
RESPECTO A LA DERIVADA
MSc Juan C. Broncano T.
SEMESTRE 2024 - I
ECUACIONES
DIFERFENCIALES ORDINARIAS

Ana, una pregunta:
Dada la EDO:
ℱ�,�,�

(�)=0
¿En cuantos casos no
es posible despejar �′?
Juan, estos son los
casos:
Caso 01: ??????�′=??????
′Tiene por solución:
Caso 02: ??????�,�′=??????
Tiene por solución:
Caso 03: ??????�,�′=??????

y obtiene la solución
Se hace el cambio
de variable:
Caso 04: ??????�,�,�′=??????
❑Si: �=??????(�,�

)
Su solución es:
❑Si:�=??????(�,�

)
Su solución es:
Hacer �

=� Hacer �

=�
Ejemplo 1
Resolver la EDO:
Solución
La EDO es el caso 01. en consecuencia su solución es:
Ejemplo 2
Resolver la EDO:
Solución
La EDO es el caso 02. Por tanto; si:
�

=��=�
Hacer
�=��=�
3
−�−1
su solución es:
�=න�3�
2
−1��+??????=
3
4
�
4

�
2
2
+??????
�=�
3
−�−1
Ejemplo 3
Resolver la EDO:
Solución
La EDO es el caso 03. Por tanto; si:
�

=�
�=��=��
2
+��
3
Su solución es:
�=න2��+3��
2
��
�
=2��+
3�
2
�
2
+??????
�=��
2
+��
3
LAGRANGE - CLAIRAUT
�=(�′)
3
−�′−1

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 2
Solución
Ejemplo 1
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
EDO NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADA
�

−1=�
�−�′
Como
ln(�

−1)=�−�′
�=ln�

−1+�′
Es el caso 2. Por tanto:
�=�

ln(�

)
Su solución es:
�=න���+1
��
�
=
(���+1)
2
2
+�
�=�ln�
�

−1=�
�−�′
�

=�
�=ln�−1+�
Su solución es:
�=ln�−1+�
�=න
�
�−1
+���+??????=�+ln�−1+
�
2
2
+??????
Es el caso 3. Por tanto, si
�

=�
�=�(�)
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 4
Solución
Ejemplo 3
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
�=(�

)
2
�
�′
�′=(�

−1)�
�
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
EDO NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADA

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 6
Solución
Ejemplo 5
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
La EDO s e puede escribir como
Por tanto, es el caso 3. Si:
La solución es:
�=ln�

+���(�

)2=�

�
′2
+4 −�
ln�+�
2
+4+
2
�
+??????
�=�
′2
+4 −
2
�

�

=�
�=�
2
+4 −
2
�
�=�
2
+4 −
2
�
�=න
�
�
2
+4

2
�
2
��
�

1
�
2
+4
��=
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
EDO NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADA

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrad aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 7
Solución
Ejemplo 8
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
�=cos(�

)+�′�
�′
�
2
5+�′=���′
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
EDO NO RESUELTAS RESPECTO A LA DERIVADA

SESIÓN 19
REDUCCIÓN DE ORDEN
MSc Juan C. Broncano T.
SEMESTRE 2024 - I
ECUACIONES
DIFERFENCIALES ORDINARIAS

hacia el año 1700, Johann
logró resolver la EDO lineal
homogénea de orden �
introduciendo un factor
integrante �
??????
y disminuyendo,
sucesivamente, el orden de la
ecuación
Lagrange en 1774 demostró que las
solución general de una ecuación
diferencial lineal homogénea de orden �,
con coeficientes constantes, es de la
forma:
Donde�
1;�
2;…;�
?????? es un conjunto de
soluciones LI con �
1,�
2,…�
?????? constantes
arbitrarias hacia 1774
J. Bernoulli J. Lagrange
CASO 01
CASO 02
CASO 03
�
??????
�
��
??????
=�(�)
�
2
�
��
2
=�(�)
Su solución se obtiene
integrando � veces
Se hace�′′=�′
��′
��
para
hallar su solución
Se hace�=�
??????
donde
??????�,�
??????
,�
??????+1
,…,�
??????
=0
� es la derivada de menor
orden.

CAS0 01: REDUCCIÓN DE ORDEN
Ejemplo 1
Solución
Ejemplo 2
Solución
Resolver la EDO
Resolver la EDO
�
3
�
��
3
=��
�
�
3
�
��
3
=2�������
2
�−���
3
�
Como la EDO es de la forma: �
′′′
=�(�) se trata del caso 1
Por tanto:

�
3
�
��
3
��=න��
�
��
�
2
�
��
2
=�−1�
�
+�
1

�
2
�
��
2
��=න�−1�
�
+�
1��
��
��
=�−2�
�
+�
1�+�
2

��
��
��=න�−2�
�
+�
1�+�
2��
�=�−3�
�
+
�
1�
2
2
+�
2�+�
3
Como la EDO es de la forma: �
′′′
=�(�) se trata del caso 1.
Por tanto; se procede como el ejemplo anterior.

�
3
�
��
3
��=න2����(���
2
�−���
2
�)��
�
2
�
��
2
=−2���
3
�+2����+�
1

�
2
�
��
2
��=න2�������
2
�+�
1��
��
��
=
2���
3
�
3
+�
1�+�
2=����
���
2
�
3
+�
1�+�
2

��
��
��=න����
���
2
�
3
+�
1�+�
2��
�=−
1
3
����−
1
3
���
3
�+
�
1
2
�
2
+�
2�+�
3
=න2����(3���
2
�−1)��
=2����1−���
2
�+�
1=2�������
2
�+�
1
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 4
Solución
Ejemplo 3
Solución
Resolver la EDO Resolver la EDO
���
3
�
�
2
�
��
2
=����
�
3
�
��
3
=��
�
con�0=�

0=�
′′
0=0
CASO 01: REDUCCIÓN DE ORDEN
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 6
Resolver la EDO
�
2
�
��
2
=�(�)
Solución
Como:
�
2
�
��
2
=
�
��
��
��
=
��′
��
=
��′
��
��
��
=
��′
��
�′=�′
��′
��
Al sustituir se tiene:�

��

��
=��⟹�

��′=����
por lo tanto:
�

��

=����⟹
�′
2
2
=න����+�
1
�

=2න����+�
1⟹��=2න����+�
1��

1
2׬����+�
1
��=න��+�
2

1
2׬����+�
1
��=�+�
2
CASO 02: REDUCCIÓN DE ORDEN
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
Ejemplo 5
Solución
�
3
�
��
3
=�(�)
Escribir la EDO como una de segundo orden
Si
�
3
�
��
3
=
��′′
��
=
��
��
2
+�
�
2
�
��
2
�
=
��′′
��
��
��
=
��′′
��
�′
Por lo tanto:
�=
��
��
entonces
=
�
��
�′
��′
��
�′
=�
��
��
2
+�
2
�
2
�
��
2
�
3
�
��
3
=�(�)Se escribe de la siguiente manera:
�
2
�
2
�
��
2
+�
��
��
2
=�(�)
=
�
��
�
′′
�′
=
�
��
�
��
��
�

Si el lado de un cuadrado aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado. Si el lado de un cuadrad aumenta en 7 cm, su superficie aumenta en 301 cm2. Halla el lado.
Ejemplo 6
Solución
Escribir la EDO como una de tercer orden
�
4
�
��
4
=�(�)
Si
�
4
�
��
4
=
��′′′
��
=
��′′′
��
��
��
=
��′′′
��
�′
Por lo tanto:
�=
��
��
entonces
=
�
��
�
��
��
2
+�
2
�
2
�
��
2
�′=
�
��
�′′′�′
=
��
��
��
��
2
+2�
��
��
�
2
�
��
2
+2�
��
��
�
2
�
��
2
+�
2
�
3
�
��
3
�
=
��
��
3
+4�
��
��
�
2
�
��
2
+�
2
�
3
�
��
3
�
=�
��
��
3
+4�
2
��
��
�
2
�
��
2
+�
3
�
3
�
��
3
�
4
�
��
4
=�(�)Se escribe de la siguiente manera:
�
3
�
3
�
��
3
+�
��
��
3
+4�
2
��
��
�
2
�
��
2
=�(�)
CASO 02: REDUCCIÓN DE ORDEN
Docente: MSc Juan C. Broncano T.
Ejemplo 7
Solución
�
5
�
��
5
=�(�)
Escribir la EDO como una de cuarto orden

AplicacionesEcuación con valor absoluto
Ejemplo 10
Solución
Resolver la EDO:
Ejemplo 9
Resolver la EDO:
Solución
1−�
2
�
′′
−��

=2
CASO 03: REDUCCIÓN DE ORDEN
Como la EDO se escribe:4
��′
��
+�

=0�=
��
��
Si
se tiene:
4
��
��
+�=0⟹4
��
��
=−�⟹
4
�
��=−��
4���=−�+�
��
−�
=�
4
�
1�

�
4=�
En consecuencia:
�

=�
1�

�
4
��=�
1�

�
4��
�=න�
1�

�
4��
�=−4�
1�

�
4+�
2
Si�=
��
��
se tiene:1−�
2
��
��
−��=2⟹
��
��

�
1−�
2
�=
2
1−�
2
El factor integrante es:
�
׬−
�
1−�
2
??????�
=�
1
2
ln(1−�
2
)
=1−�
2
1−�
2
��
��

�
1−�
2
�=
2
1−�
2
Luego al multiplicar a la EDO por este factor integrante se
obtiene:
�
��
1−�
2
�=
2
1−�
2
En consecuencia:
1−�
2
�=න
2
1−�
2
��⟹�=
2
1−�
2
�������+
�
1
1−�
2
Luego:
��
��
=
2
1−�
2
�������+
�
1
1−�
2
⟹�=������
2
�+�
1�������+�
2
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

AplicacionesEcuación con valor absoluto
Ejemplo 11
Solución
Ejemplo 12
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
�
′′′
(�−1)−�′

=01+�
2
�
′′
+1+��

=0
CASO 03: REDUCCIÓN DE ORDEN
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

AplicacionesEcuación con valor absoluto
Ejemplo 13
Solución
Ejemplo 14
Solución
Resolver la EDO:Resolver la EDO:
�
′′
+
�′
�−1
=�(�−1)
�
3
+�
′′′
+�=�
′′
−3�
2
CASO 03: REDUCCIÓN DE ORDEN
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

Fuentes Bibliográficas
Dennis G. Zill. Ecuacionesdiferenciales. Con Aplicacionesde
Modelado. Ed. Cengage Learning
A. Kisellow. M. Krasnow. G. Makarenko. Ed. Mir Moscu.
Espinoza, Eduardo. Análisis Matematico IV. Ed. San Cristobal
Docente: MSc Juan C. Broncano T.

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