EDO-IME-Semana 02-2025 II.pdf- estudia chato

segunda parte del primer pdf de EDO

1. ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
VARIABLES
SEPARABLES
SEMANA 2

3. UNA DEFINICIÓN La ecuación (1) así como su método de solución, no son más
que un caso especial en el que f. en la forma normal dy/dx = f(x, y) se puede factori-

zar como el producto de una función de x por una función de y.

[EDEFINICIÓN ] Ecuación separable

Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

dy

1,109)
cB gaily

Se dice que es separable o que tiene variables separables.

Por ejemplo, las ecuaciones

ay ets
dx * dx

+ sen x

son respectivamente, separable y no separable. En la primera ecuación podemos fac-

ey)

y?xe**% como

gtx) hy)

! }

vet = (re,

fa») =

pero en la segunda ecuación no hay forma de expresar a y + sen x como un producto

de una función de x por una función de

5. MÉTODO DE SOLUCIÓN
EJEMPLO 1

6. Inly| = Inf 1 + x] + 이

enlitalta = enll+ . ges es de exponentes
= Y cı

[+ a e luexj=t rx
= 土 ea(] + x). Jl +x]=-a +»,

etl +.)

Haciendo c igual a te“: se obtiene )

SOLUCIÓN ALTERNATIVA Como cada integral da como resultado un logaritmo, la
elección más prudente para la constante de integración es In|c|, en lugar de c. Rees-
cribiendo el segundo renglón de la solución como In|y| = In|I + x] + Inle] nos permi-

te combinar los términos del lado derecho usando las propiedades de los logaritmos.
De In|y| = Inlc(1 + x)| obtenemos inmediatamente que y = c(1 + x). Aun cuando no
todas las integrales indefinidas sean logaritmos, podría seguir siendo más conveniente
usar In|c|. Sin embargo, no se puede establecer una regla firme. | |

ㄷㄷ curva stn
dy

Resuelva el problema con valores iniciales ax
dx

8. [EJEMPLO 1] Resoiverel problema de valor inicial

dy
— =-6y, »0)=7.
de xy, y0)

Solución De manera informal, dividiendo ambos lados de la ecuación diferencial entre y y
multiplicando cada lado por dx se obtiene

dy
I ニー な.

ES [sou
y

In|y| = -3x2 + C.

Por tanto

Se observa de la condición inicial y(0) = 7 que y(x) es positiva cerca de x = 0, por
lo que se pueden eliminar los símbolos de valor absoluto:

In y =-31+C,

10. | EJEMPLO 2 | Resolver la ecuación diferencial

Solución

FIGURA 14.2. Campo de
isoclinas y curvas solución para
y = 4 = 20762 — 5) del
ejemplo 2.

6)
Al separar las variables e integrar ambos lados se obtiene
for 5 dy = fe 2x) dx:

4-5 4G; (6)

Esta ecuación no es resuelta para y como una función explícita de 。 =

Como se ilustra en el ejemplo 2, puede o no ser posible y präctico resolver la
ecuación (4) explícitamente para y en términos de x. Si no es posible, entonces (4) se
llama una solución implícita de la ecuación diferencial en (2). Así, la ecuación (6)
proporciona una solución implícita de la ecuación diferencial en (5). Aunque no es
conveniente resolver la ecuación (6) explícitamente en términos de x, se observa que
cada curva solución y = y(x) se encuentra en un curva contorno (0 de nivel) donde la
función

HG,» =x? — 4x + y — Sy

es constante. La figura 1.4.2 muestra varias de estas curvas contorno.

11. | He

yd) =3, ⑦

se sustituye x = 1 y y = 3 en la ecuación (6) y se obtiene C = 9. De este modo la
solución particular deseada (x) está definida implícitamente por la ecuación

y} 5y= 4x x? +0. (8)

La curva solución correspondiente y = y(x) se encuentra en la curva contorno de la
parte superior de la figura 1.4.2 —pasa a través de (1, 3)—. Debido a que la gráfica
de una solución derivable no puede tener una línea tangente vertical en ninguna par-
te, se observa en la figura que esta solución particular está definida en el intervalo
(1. 5) pero no lo está en el intervalo (—3, 7). =

Comentario 1. Cuando se sustituye un valor específico de x en la ecua-
ción (8), se puede intentar resolver numéricamente para y. Por ejemplo, x = 4 admi-
te a la ecuación

fo

y —-5y-9=0.

La figura 1.4.3 muestra la gráfica de f. Con una calculadora con gráficos se puede obte-
ner la solución de la única raíz real y + 2.8552. Con esta se llega al valor (4) + 2.8552
de la solución particular del ejemplo 3.

14. PÉRDIDA DE UNA SOLUCIÓN Se debe tener cuidado al separar las variables ya
que las variables que sean divisores podrían ser cero en un punto. Concretamente,
si res una raíz de la función h(y), entonces sustituyendo y = ren dy/dx = g(x)h(y)
se encuentra que ambos lados son iguales a cero; es decir, y = r es una solución
constante de la ecuación diferencial. Pero después de que las variables se separan,

~ dy Ter 2
el lado izquierdo de iy) g (x) dx está indefinido en r. Por tanto, y = r podria no
ny.

representar a la familia de soluciones que se ha obtenido después de la integración
y simplificación. Recuerde que una solución de este tipo se llama solución singular.

| véraiós e una sotción

dy _

1
3

m2

16. | [EJEMPLO 4 | Un problema con valores iniciales

> dy
Resuelva (e? — y) cos x = € sen 2

(0) =
dx y(0)

SOLUCIÓN Dividiendo la ecuación entre er cos x se obtiene

e2 一

sen 2x
—dy= dx.

e cos Y

Antes de integrar se realiza la división del lado izquierdo y utilizamos la identidad
trigonométrica sen 2x = 2 sen x cos x en el lado derecho. Entonces tenemos que

graciôn de partes > Je — ye) dy = 2 E x dx

se obtiene e+ye+e=-2cosx+c. (7)

La condición inicial y = 0 cuando x = 0 implica que c = 4. Por tanto una solución del
problema con valores iniciales es

Ot ye? + oP = 4-208 x. (8) 画

18. | [EJEMPLO 5] Un problema con valores iniciales

dy

dx

Resuelva Y(3) =

SOLUCIÓN La función g(x) e es continua en (—%, 00), pero su antiderivada
no es una función elemental. Utilizando a 7 como una v

podemos escribir
*dy 200
| — dt | en de
3 dt 3

RON = [osa

700 — y3) = [ e*dr

y(x) = y(3) + [eva

ble muda de integración,

19. EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS

24. Encuentre las soluciones generales (implícita si es necesario,
o explícita) de las ecuaciones diferenciales de los proble-
mas 1 al 18. Las primas significan derivadas respecto de x.

Encuentre la solución particular explícita de los problemas de
valor inicial en los problemas 19 al 28.

2

y 19. 그 = yes y(0)= 2
1D +2xy=0 den 022
dx re a
. 20. = 3041) y0=
21. 2» = ==, (5)=2
5 y Fr 9
a 22. 4xy-y, y(1)=-3
と dy
23, 一 +1=2y y(1)=1
9. (1- of 2y 10. (1 +2 = (1+yP dx à + au)
y
11. 多 = xy? 12. yy’= x(y? +1) 24. (an) y (4) tx
dy dy 1+ ye dy Ñ
U _ (yt4 Tcosx a _ 그거 =
By = Of+Deosx 14 =: a By, 00)=1

dy _ (x- 1)y*
"dx Ry y)
17. y =1+x+y+xy (Sugerencia: Factorizar el lado 27.

derecho.)
18. xy ニュー ダキ アー xy?

26. 2xy +32 y y(1)=

16. (2 +1) (an y)y’ = x

= 62-7, y(0)=0
dx

28. 2 a =0 y(4) = 7/4

25. REDUCCIÓN A SEPARACIÓN DE VARIABLES
EJEMPLO 6

27. EJERCICIOS PROPUESTOSEJERCICIOS PROPUESTOS