EigenValues and Eigenvectors.pdf

EigenValues and Eigenvectors.
Valores y vectores propios.

1. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALORES Y EIGENVECTORES)
M.C. Neftalí
Antúnez H.
Esta fotode Autor desconocido está bajo licencia CC BY-SA

2. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALUES Y EIGENVECTORS)
EnmuchosproblemasdelaIngenieríasenecesitanconocerlosvaloresyvectores
característicospropiosdeunamatriz.
Estoseaplicaenrotacióndeelementosgeométricos,modelosdecrecimiento
poblaciones,solucióndeecuacionesdiferenciales,procesosdeMarkov,diagonalización
dematrices,transformacióndeimágenes,vibracionesenestructuras,robótica,dinámica
estructural,etc.
El problema de eigenvalores y eigenvectores(valores propios y vectores propios) consiste
en encontrar los vectores que no giran bajo una transformación.
LosvectorespropiosdeAsonvectoresquenocambiandedirecciónalser
transformadosporA,sólocambiansumagnitudosusentido.Elvalorpropioasociadoa
unvectorpropiocontroladichocambio.Pordefinición,unvectorpropioxdebeserun
vectorcolumnadistintodecero.

3. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALUES Y EIGENVECTORS)
Silosvalorescaracterísticoslosrepresentamospor??????
??????,laletragriegaLambdaysuvector
característicocorrespondientecomo�
??????,entoncesparatodamatrizcuadradaAden×n,
suecuacióndeeigenvalorquesedebecumplireslasiguiente:??????�=??????�
El número λ, es un eigenvalor o autovalor o valor propio.Mientras que el vector �es
el eigenvectoro autovectoro vector propio asociado a λ.
Si multiplicamos el lado derecho por 1 (La matriz identidad I), se tiene:??????�=????????????�
Igualando a cero, obtenemos:??????�−????????????�= 0
Factorizando la x, obtenemos: �??????−????????????=�

4. VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS
(EIGENVALORES Y EIGENVECTORES)
Para obtener soluciones diferentes de la trivial x = 0, necesitamos que se cumpla
que:�??????????????????−????????????=�
Al desarrollar el determinante anterior obtendremos un polinomio característico de
grado nde la matriz, al cual le hallaremos sus raíces y estos serán los valores propios o
característicos de la matriz. Si A es den x n, su polinomio característico es de grado n,
de lo que se concluye que Atiene, a lo sumo, n valores propios distintos.
Cada valor característico se sustituirá en la matriz original y resolveremos el sistema
de ecuaciones homogéneas que resulta y al resolverlo hallaremos su vector propio o
característico. La unión de todos los vectores propios o característicos nos dará la
matriz característicaSde la matriz original.
SeaAunamatrizden×n,yseanλ
1,λ
2,…,λ
n,valorespropiosdistintosdeAcon
vectorespropioscorrespondientesx
1,x
2,…,x
n.Entonces,x
1,x
2,…,x
nsonlinealmente
independientes.

5. RESUMIENDO PARA HALLAR LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:
1. Obtener el determinante de A-λI
• Este determinante es un polinomio de grado n, que comienza con λ
n
2. Encontrar las raíces de este polinomio
• Las nraíces son los valores propios de A
3. Para cada valor propio λ, resolver la ecuación (A-λI)x = 0. Nos produce un
sistema de ecuaciones lineales homogéneas, que hay que resolver.
• Debido a que el determinante es cero, existen soluciones además de x = 0.
Estas soluciones son los vectores propios buscados.

6. PROPIEDADES DE LOS VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS:
Siempre se cumple que la suma de los valores característicos es igual a la
traza de la matriz, que es la suma de los valores de la diagonal principal.
Esto es:trA=σ??????
??????
=σ�
????????????
tr(A) = λ
1+ λ
2+ λ
3+--------+ λ
n= a
11+ a
22+ a
33+---------+ a
nn
El producto de los nvalores propios es igual al determinante de A
det??????=λ
1∙λ
2∙λ
�--------∙λ
n=ෑ
??????=1
??????
λ
??????

7. Ejemplo: Hallar la matriz característica
de la siguiente matriz:
A =
��
��
�−l�−l−�(�)=�
�−l �
��−l
=�-
????????????���=෍l
??????=�+�=�
��
l
�
−�l+�=�
(l−�)(l−�)=�
+×
l−�=��l−�=�
l
�=��l
�=�
Polinomio Característico
Mode EQuatioN
ax
�
+�x+�=�
Polynomial2
1 + 3 = 4 OK
Cadaunodeestoseigenvalorestieneunconjuntode
eigenvectorescorrespondientes.Sustituyendolosvalores
propiosovalorescaracterísticos,tenemos:
Sustituyendol
�= 1
�−1�
��−1
�
�
�
�
=
�
�
1�
�1
�
�
�
�
=
�
�
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas a
resolver es:
��
�+��
�=�
��
�+1�
�=�
��
��
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando �
�de E1, queda:
El primer vector característico es:
�
�=−�
�
Asignando el valor 1 a �
�
�
�=−�
�
�
�
�
=
−�
�
Comosetratadeunamatriz2x2,eleigenvectorpropuestotieneque
tenerdimensiones2x1.SixesuneigenvectordeunamatrizA
correspondienteauneigenvalorl,tambiénloseskxconcualquierk≠0.

8. Sustituyendo los valores propios o valores
característicos, tenemos: Sustituyendol
�=3
�−3�
��−�
�
�
�
�
=
�
�
−1�
�−1
�
�
�
�
=
�
�
El sistema de ecuaciones lineales
homogéneas a resolver es:
−��
�+��
�=�
��
�−1�
�=�
��
��
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma E2 = E1 (-1)
Despejando �
�de E1, queda:
El segundo vector característico es:
−�
�=−�
�
Asignando el valor 1 a �
�
�
�=�
�
�
�
�
=
�
�
�
�=�
�
Finalmente, la matriz característica es:
S =
−��
��

9. Ejemplo 2: Hallar la matriz característica
de la siguiente matriz:
A =
�−�
�−�
�−l−�−l−�(−�)=�
�−l −�
�−�−l
=�-
????????????���=෍l
??????=�−�=�
��
l
�
−l−�=�
(l−�)(l+�)=�
+×
l−�=��l+�=�
l
�=��l
�=−�
Polinomio Característico
Mode EQuatioN
ax
�
+�x+�=�
Polynomial2
2 –1 = 1 OK
Sustituyendo los valores propios o valores característicos,
tenemos: Sustituyendol
�=2
�−2−�
�−�−2
�
�
�
�
=
�
�
2−�
�−5
�
�
�
�
=
�
�
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas a
resolver es:
��
�−��
�=�
��
�−5�
�=�
��
��
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando �
�de E1, queda:
El primer vector característico es:
��
�=��
�
Asignando el valor 2 a �
�
�
�=
�
�
�=�
�
�
�
�
=
�
�
−��−�l+�l+l
�
+��=�
�
�=
�
�
�
�

10. Sustituyendo los valores propios o valores
característicos, tenemos: Sustituyendol
�=-1
�−−1 −�
�−�−−�
�
�
�
�
=
�
�
5−�
�−2
�
�
�
�
=
�
�
El sistema de ecuaciones lineales
homogéneas a resolver es:
��
�−��
�=�
��
�−2�
�=�
��
��
Las ecuaciones E1 y E2 son la misma
Despejando �
�de E1, queda:
El segundo vector característico es:
��
�=��
�
Asignando el valor 1 a �
�
�
�=�
�
�
�
�
=
�
�
�
�=�
�
Finalmente, la matriz característica es:
S =
��
��

11. Ejercicio: Hallar la matriz característica para la siguiente matriz.
Siendo N tu número de lista.
A =
�??????
??????−��