Ejemplos tresca y von

ejemplos

1. Universidad Nacional de Córdoba
Facultad de Ciencias Exactas, Físicas, y Naturales
Departamento de Estructuras










Cátedra de

Mecánica de las Estructuras II




Ejercicios sobre Relaciones
Constitutivas – Criterios de Fluencia



Federico Pinto


2009

2. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
1/11
Ejercicio No. 8

Una probeta de un material elástico se encuentra confinada lateralmente y sometida a un
incremento de tensión vertical, ∆σ
v. Determinar el incremento de tensión en dirección
horizontal.
∆σv
∆σv


x1
x
2
x
3

Figura 1. Ejercicio 8
Solución:

Dado que existe restricción lateral, ε
11, ε33 = 0. Considerando la ecuación constitutiva
correspondiente a σ
22:

()
22 22 11 22 33
112
v
E ν
σσ ε εε ε
νν
∆= = + + +

+−

()
()( )
22 22
1
112
v
Eν
σσε
νν
−
∆= =
+−


Escribiendo las ecuaciones constitutivas para σ
11, σ33:

()
33 33 11 22 33
112
h
E ν
σσ ε εεε
νν
∆= = + + +

+−

33 22
112
h
Eν
σσε
νν∆= =
+−


Reemplazando ε
22 en función de ∆σ v:

()( )
()
112
112 1
hv
E
E ννν
σ σ
νν ν
+−
∆= ∆
+− −


Simplificando:

1
hv
ν
σ σ
ν∆= ∆
−


De esta manera, el incremento de tensiones horizontales para un material elástico
restringido lateralmente, es proporcional al incremento de tensiones verticales, siendo el
factor de proporcionalidad una función del módulo de Poisson del material.

3. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
2/11
Un caso frecuente en la práctica ingenieril relevante a este ejercicio es el de los
depósitos de suelos de gran extensión, los cuales suelen ser considerados confinados
lateralmente. La mecánica de suelos tradicional considera que las tensiones verticales y
horizontales en reposos son proporcionales, siendo el factor de proporcionalidad, K
0.

000hv
K
σ σ=

Sin embargo, el factor K
0 es, para el caso de suelos granulares, una función del ángulo
de fricción, ya que las tensiones se originan durante la formación del depósito de suelos,
mediante procesos generalmente inelásticos. Sin embargo, para el rango de descarga
(ejemplo, suelos sobreconsolidados por descarga), se puede considerar la relación
elástica para obtener las tensiones en la masa de suelo como:

00
1
hv v
K
ν
σσσ
ν=−∆
−


O considerando la relación de sobreconsilidación de suelos, OCR:

0
0

v
vv v
v
OCR
σ
σσσ
σ==−∆

()
0
1
1
hv
KOCR OCR
ν
σσ
ν
=−−

−


Dado que K
0 es generalmente mayor a ν/(1-ν), puede verse que la relación de tensiones
se ve incrementada con el valor de OCR, fenómeno que es reconocido por la mecánica
de suelos.

Ejercicio No. 9

Se tiene un perno de acero del tipo A325, de 1/2” de diámetro sometido a las fuerzas de
la Figura (ignorar posible flexión). Considerando una distribución uniforme de
tensiones, se pide:

a)
Verificar la condición de fluencia mediante el criterio de Von Mises.
b)
Verificar la condición de fluencia mediante el criterio de Tresca.

1.5 t
1.0 t
4.0 t


x1
x
2
x
3

Acero
:
σ
y = 6500 kg/cm
2

Figura 2. Ejercicio 9
Solución:

4. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
3/11

Las tensiones existentes no nulas son:

12
33 13 23

TTN
AAA
σσσ===

donde

()
2
2
0.635 1.267
A cm cmπ==

de esta manera:

33 13 23 22 2 2 22
4000 1500 1000
=3157 1184 789
1.267 1.267 1.267
kg kg kg kg kg kg
cm cm cm cm cm cm
σσσ=====


a)
En el caso de Von Mises, la condición de fluencia puede escribirse como:

()
() ()
()
222
11 22 22 33 11 33 222
12 23 13
3
222
y
σσ σσ σσ
σσσ σ
−−−
+++++≤

222
22222
3157 3 1184 789 4005 6500
kg kg kg kg kg
cm cm cm cm cm


++=≤
 

donde puede verse que el material no entra en fluencia, siendo el margen de un
40% para que se produzca la misma.

b)
En el caso del criterio de Tresca, es conveniente trabajar en el plano que
contiene a la resultante de T:


1.5 t
1.0 t
4.0 t
1.8 t


x1
x
2
x
3



Las tensiones no nulas resultan, entonces:

33 13 22 2 2
4000 1800
=3157 1423
1.267 1.267
kg kg kg kg
cm cm cm cm
σσ===

5. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
4/11

De esta manera, puede notarse que una de las tensiones principales es igual a
cero, ya que sólo hay tensiones en el plano definido por la resultante de corte, T,
y la fuerza normal, N. Las otras dos tensiones principales resultan de la
construcción del círculo de Mohr en el plano definido por T y N. Esto sólo es así
cuando no existen tensiones fuera del plano considerado.

13
13
2 22
233 33
2222
2 22
233 33
2222
3157 3157
= 1423 =3704
22 2 2
0
3157 3157
= 1423 =-547
22 2 2
I
II
III
kg kg kg kg
cm cm cm cm
kg kg kg kg
cm cm cm cmσσ
σσ
σ
σσ
σσ 
=+ + + +


=
 
=− + − +



De esta manera, el criterio de Tresca puede escribirse como:

22 2 2
3704 [phone]
IIII y
kg kg kg kg
cm cm cm cm
σσ σ−≤
=≤


donde puede verse que el material no entra en fluencia, siendo el margen de un
35% para que se produzca la misma.

Cabe destacar que el criterio de Von Mises indica un mayor margen de
seguridad debido a que pone menor énfasis en la influencia de las tensiones de
corte. Para el caso de un ensayo de corte puro, las condiciones de fluencia según
Von Mises y Tresca son, respectivamente:

Von Mises:
()
()
2
12 12
3 0.577
yy yyy
σστσσ≤∴==
Tresca:
()
()
2
12 12
2 0.500
yy yyy
σστσσ≤∴==

Donde puede verse que el criterio de Von Mises arroja valores de tensión de
corte admisible un 15.5% mayores que Tresca.

Ejercicio No. 10

Una probeta de hormigón ensayada a compresión simple muestra una resistencia última
de 240 kg/cm
2
. A fines de limitar el valor del ángulo de fricción resultante, se considera
una resistencia a la tracción igual a 1/7 de la resistencia a la compresión. Se pide
determinar:

a)
Parámetros para definir superficie de fluencia de Mohr Coulomb
b)
Para una tensión de 300 kg/cm2, con un confinamiento igual a 15 kg/cm2,
determinar si la probeta se rompe.
c)
Determinar la tensión última para un confinamiento igual al 5% de la tensión
principal menor (= máxima de compresión).

6. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
5/11

Solución:

a)
En el caso de materiales friccionales, tales como suelos o granos, se realizan
ensayos triaxiales a distintos confinamientos, de los cuales surgen
directamente los parámetros resitences c y φ. En el caso de los hormigones,
generalmente se trabaja con la resistencia a la compresión simple. Para el
caso de hormigones, entonces, se determinan los parámetros c y φ en función
de las resistencia a compresión y tracción de la siguiente manera:

Compresión
:

0
III
III c
σσ
σσ
==
=−


Las condiciones de fluencia son:

()()
( )()
()()()()
()()()()


2cos sin
2cos sin
2cos sin
III III
II III II III
IIII IIII
c
c
c
σσφσσφ
σσφσσφ
σσφσσφ
±− ≤ −+
±− ≤ −+
±− ≤ −+


Para el caso de compresión, la primera ecuación se cumple automáticamente,
mientras que las últimas dos resultan idénticas:

()
()2cos sin
III III
cσ φσ φ±≤ −

Considerando que
III c
σσ=−,

()
()2cos sin
cc
cσ φσ φ±≤ +

El caso que controla es cuando:

()
()2cos sin
cc
cσ φσ φ=+

Por lo que:

()
()
2cos
1sin
c
c
φ
σ
φ
=
−


Tracción:

0
II III
It
σσ
σσ==
=


Las condiciones de fluencia son:

7. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
6/11

()()
( )()
()()()()
()()()()


2cos sin
2cos sin
2cos sin
III III
II III II III
IIII IIII
c
c
c
σσφσσφ
σσφσσφ
σσφσσφ
±− ≤ −+
±− ≤ −+
±− ≤ −+


Para el caso de tracción, la segunda ecuación se cumple automáticamente,
mientras que la primera y última resultan idénticas:

()
()2cos sin
II
cσ φσ φ±≤ −

Considerando que
It
σσ=,

()
()2cos sin
tt
cσ φσ φ±≤ −

El caso que controla es cuando:

()
()2cos sin
tt
cσ φσ φ=−

Por lo que:

()
()
2cos
1sin
t
c
φ
σ
φ
=
+


De esta manera, la relación entre la resistencia a la tracción y a la
compresión, determinan el ángulo de fricción:

()
()
()
()
()
()
2cos 1sin 1sin
1sin 2cos 1sin
c
t
c
N
c
φ φφσ
σ φφ φ
++
== =
−−

()
1
sin
1
N
N
φ
−
=
+


Para el caso en consideración:

()
71 3 3
sin asin 0.848 48.6
71 4 4
rad
φφ
− 
==⇒= = =

+ 
o


La cohesión puede obtenerse por cualquiera de las ecuaciones de compresión
o tracción:
()
()
22
2cos
240 0.756 45.3
1sin
c
ckg kg
cc
cm cmφ
σ
φ
== =⇒=
−


Por lo tanto, los parámetros de Mohr Coulomb que definen el
comportamiento de la probeta de hormigón son:

8. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
7/11
2
48.6
45.3
kg
c
cmφ=
=
o


b)
Para el caso en que existe un confinamiento de 15 kg/cm
2
y una tensión axial
de 300 kg/cm
2
:
2
2
300
15
III
III
kg
cm
kg
cm
σ
σσ=−
==−


Las condiciones de fluencia son:

()
()( )()
( ) () ( ) ()
( ) () ( ) ()


0 2 cos sin 82.5
285 2 cos sin 296.3
285 2 cos sin 296.3
III III
II III II III
I III I III
c
c
cσσ φσσ φ
σσ φσσ φ
σσ φ σ σ φ±− = ≤ −+ =
±− =± ≤ −+ =
±− =± ≤ − + =


Como puede verse, las condiciones se cumplen, por lo que el material se
mantiene en el rango elástico.

c)
Para el caso de un ensayo de compresión con confinamiento igual al 5% de
la compresión mayor:

0.05
III c
III c
σσ
σσσ
=−
==−


Para que el material entre en fluencia, se debe cumplir alguna de las
siguientes condiciones:
()()
( )()
( ) () ( ) ()
()()( )()


2cos sin
2cos sin
2cos sin
III III
II III II III
I III I III
c
c
c
σσφσσφ
σσφσσφ
σσφσσφ
±− = −+ ±− = −+ ±− = − +


Reemplazando, y notando que las últimas dos ecuaciones resultan iguales:

2
2
0 60 0.075
0.95 60 0.788
c
cc
kg
cm
kg
cm
σ
σ σ
±= −
±= +


El menor valor positivo de σ
c que verifica las condiciones de fluencia (notar
que σ
c ha sido definido positivo para compresión ya que
III c
σσ=−) resulta
de la segunda ecuación:

9. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
8/11
22
60
369.2
0.162
c
kg kg
cm cm
σ==

Por lo tanto, se concluye que existe un importante incremento (54%) de la
resistencia a la compresión, aún cuando el confinamiento es sólo del 5%.

Ejercicio No. 11

Se considera una superficie de hormigón, con las propiedades obtenidas del ejercicio
No. 10, sobre la cual se apoya una carga uniformemente distribuida en una zona circular
de 30 cm de radio.
2R
q

Figura 3. Ejercicio 11

Considerando al hormigón como un medio semi-infinito, con módulo de Poisson, ν =
0.18, la distribución de tensiones bajo la línea central de la zona cargada está dada por:

()
()
()
3
2
2
3
22
3
3
3 3
3
22
22
23
3
1
21
12
2
v
h
x
q
xR
x xq
Rx
Rx
σ
ν
σν


=−
+



+
=+− +
+
+



siendo las restantes tensiones nulas. Considerando una carga q = 450 kg/cm2, se pide
determinar si se produce fluencia en el hormigón a profundidades de x
3=0, 30, y 60 cm.

Solución:

Reemplazando en las ecuaciones de distribución de tensiones, y notando que σ
III = σv y
σ
I = σh:

z σ v =
σIII σh = σI σI-σIII 2c cos(φ)-(σI+σIII)sin(φ)Fluencia?
[cm] [kg/cm
2
][kg/cm
2
][kg/cm
2
][kg/cm
2
]
0 -450 -306 144 627 No
30 -291 -10 281 286 Inminente
60 -128 8 136 150 No


x 1
x
2

x
3

10. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
9/11

Puede notarse que hay fluencia inminente a una profundidad de 30 cm, mientras que en
el resto de los puntos no se produce fluencia. Cabe destacar que el material se encuentra
más próximo a la fluencia a profundidades de 30 y 60 cm que a nivel superficial debido
a la rápida disminución del efecto de confinamiento en profundidad.

Se destaca, también, que la tensión aplicada que produce fluencia inminente en algunos
puntos de la masa de hormigón es muy superior a la resistencia a la compresión simple
del material (450 vs 240 kg/cm
2
).

Una forma de visualizar estos resultados en profundidad, es graficando las variables:

() ()()
()()


11
sin
22
1
cos
2
IIII IIII
sIIIIνν
ν
σ σσ σσ φ
σσσ φ=+−−
=−


las cuales representan los puntos de los círculos de Mohr más cercanos a la línea de falla
(ver Figura 4), junto a la recta de fluencia definida por:

()

tan
sff
c
ννν
σ σφ=−

Los resultados están indicados en la Figura 5, donde puede verse que los puntos más
cercanos a la línea de falla se encuentran por debajo de la superficie.

0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-500-400-300-200-1000
σ
νν
[kg/cm2]
σ
ν
s
[kg/cm2]
σνν, σ
νs
σIσIII

Figura 4. Definición de σ
νν, σνs

11. Mecánica de las Estructuras II 07/05/2009
Relaciones Constitutivas – Criterios de Fluencia
10/11
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
-350-300-250-200-150-100-500
σ
νν
[kg/cm2]
σ
ν
s
[kg/cm2]
x
3 = 0
x
3 = 75 cm
x
3 > 0

Figura 5. Variación de σ
νν, σνs en profundidad vs. superficie de fluencia