Ejercicio de torsión 03

Diseño de refuerzo transversal por corte y torsión en vigas de concreto armado

1. EJERCICIO DE TORSIÓN-III (PROF. JOSÉ GRIMÁN)
Diseñar el refuerzo longitudinal y transversal requerido para una viga rectangular de
dimensiones 40cm x 60cm y 7m de centro a centro de apoyos, sometida a una carga
permanente uniformemente distribuida Wp = 3500 kgf/m (que no incluye el peso
propio) y una carga variable uniformemente distribuida WV = 2000 kgf/m.
Adicionalmente la viga debe soportar una carga concentrada P aplicada por medio de
una ménsula de concreto armado de 25 cm de ancho y con las otras dimensiones
mostradas en la figura, el brazo de palanca de la carga P es z = 1 m, medido desde el
eje de la viga. El peso de la ménsula es 180 kgf y su brazo de palanca es zm = (5/9) m,
medido desde el eje de la viga. La carga P está compuesta por una parte permanente
dada por Pp = 4100 kgf y una parte variable dada por PV = 2550 kgf . Considere f’c =
280 kgf/cm2 , fy = 4200 kgf/cm2, recubrimiento de diseño rd = 6,5 cm, y el
recubrimiento al centro de estribos de 4,5 cm. Considere el ancho de la columna en la
dirección del eje de la viga a = 50 cm.

2. SOLUCIÓN:
1. Análisis de cargas:
Datos:
Sobre la viga: Se determina el peso propio por unidad de longitud de viga.
Wconcreto =2400 kgf/m
3
,
Peso permanente wpl = 0,40·0.60·2400 = b = 0,4
h = 0,6
WC = 2400
wp = 576kgf/m
Cargas mayoradas aplicadas a la viga:
Carga distribuida mayorada:
Carga distribuida permanente total: 3500 + 576 = 4076 kgf/m
Carga distribuida variable: 2000 kg/m
wuv1 = 1,4·4076 = factor = 1,4
wp 4076kgf/m
wu1 = 5706,4kgf/m
wuv2 = 1,2·4076+1,6·2000 = factor cp = 1,2
factor cv = 1,6
wpl = 4076
wvl = 2000
wuL2 = 8091,2kgf/m
Carga distribuida mayorada se toma igual a wu = 8091,2 kgf/m
Carga concentrada mayorada:
Puv1 = 1,4·4280 =5992kgf
Puv2 = 1,2·4280+1,6·2550 =9216kgf
Se toma como carga concentrada mayorada igual a Pu = 9216 kgf

3. Diagrama de corte y diagrama de torsión:

Se tiene conocido: wu = 8091,2 kgf/m, Pub = 9216 kgf,
Se determina el torque concentrado en B, Tub:
Se tiene Tbp = 4100·1 + (5/9)·180 =4200kgf-m
Se tiene Tbv = 2550·1 =2550kgf-m
El momento de torsión concentrado mayorado es:
Tub = 1,2·4200 + 1,6·2550 =9120kgf-m
De un programa de elementos finitos para análisis estructural se obtiene:
Mc = 31079,53 kgf-m y Ma = 30168,1 kgf-m.
Tc = 5443,8 kgf-m y Ta = 3676,2 kgf-m
Vc = 34373,98 kgf y Va = 31480,42 kgf

4. Se determina el diagrama de fuerza cortante:
0 ≤ x ≤ 2,5 m, V = 34373,98 – 8091,2·x
En x = 2,5 m, V(x = 2,5 m) = 34373,98 – 8091,2·2,5 = 14145,98kgf
Luego de la carga aplicada,
V(x > 2,5 m) =14145,98 - 9216 = 4929,98kgf
2,5 m ≤ x ≤ 7 m, V = 4929,98 – 8091,2·x
En x = 7 m, V(x = 7 m) = 4929,98 – 8091,2·4,5 = -31480,42kgf

Diagrama de fuerza cortante
Se determina el diagrama de torsión:
Se adoptará como convención que un vector de momento torsión actuante en un punto,
que apunte hacia la izquierda genera un salto positivo en el diagrama de torsión, y un
vector torsión actuante que apunte a la derecha, genera entonces un salto negativo en
el diagrama de torsión.

5. Considerando d = 53,5 cm y como el ancho de los apoyos es a = 50 cm, las secciones
críticas para corte y para torsión quedan a (53,5 + 50/2) = 78,5 cm, medidos desde el
centro del apoyo.
Estudiamos primero el lado CB.
Vucrit = 34373,98 – 8091,2·0,785 = Vu = 34373,98kgf
wu = 8091,2kgf/m
x secc crit = 0,785m
Vucrit = 28022,39kgf
Tucrit = 5443,8 kgf·m
Se chequea si ??????
� ≤??????∙�,��∙√�
′
??????
∙
??????
????????????
�
??????
????????????
(16.6). Si se cumple entonces se pueden
despreciar los efectos de la torsión.
Acp = 40·60= b = 40cm
h = 60cm
Acp = 2400cm2


Pcp = 2·(40+60) = b = 40cm
h = 60cm
Pcp = 200cm

6. ??????
� ≤??????∙�,��∙√�
′
??????
∙
??????
????????????
�
??????
????????????
=�,��∙�,��∙√���∙
����
�
���
= 975,88kgf·m
Como Tu crit = 5443,8 kgf·m, > 975,88 kgf·m, se debe considerar la torsión.
Estudiando la porción AB, con origen en A hacia B.
Vucrit = -31480,42 + 8091,2·0,785 = Vu = -31480,42kgf
wu = 8091,2kgf/m
x secc crit = 0,785m
Vucrit = -25128,83kgf
Tu crit = -3676,2 kgf-m
Pero para efecto de los cálculos siguientes, estos valores se consideran en valor
absoluto.
Considerando que se tiene la misma sección transversal, se tiene que como Tu crit =
3676,2 kgf·m, > 975,88 kgf·m, se debe considerar la torsión en el diseño de la
porción AB.
Se debe tener en cuenta que tenemos en este caso una torsión primaria, por lo cual los
valores de Tu no se deben reducir.
Antes de diseñar el refuerzo a torsión se debe verificar que la sección cumple con la
ecuación:

Se calcula Aoh y Ph considerando las dimensiones de la viga:
xo = 40 – 2·4,5 = 31cm
yo = 60 – 2·4, 5 =51cm
Aoh = xo·yo = 31·51 = 1581cm^2

7. Ph = 2·(xo +yo) = 2·( 31+51)
Ph = 164cm

Se chequea entonces la fórmula 11.21 de la Norma 1753-06
√(
28022,39
40·53,5
)
2
+(
5443,8∙100·164
1,7·1581
2
)
2
≤0,75∙2.7∙√280 24,76< 33,88kgf/cm2

Como la relación se cumple se continúa con el diseño, si no fuera así se debería
aumentar la sección de concreto. Esta misma relación nos permite concluir que para el
lado AB también se cumple porque Vu crit y Tu crít del lado AB son menores a los
considerados aquí.
Diseño por torsión del lado CB:
Como se cumple que ??????
&#3627408534; ≤??????∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627408519;
′
??????
∙
??????
????????????
&#3627409360;
??????
????????????
se considera la torsión
Se calcula el acero transversal por torsión:
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408482;??????⁄
2∙??????
&#3627408476;∙&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; ??????

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1581= 1343,85cm2
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
5443,8·1000.75⁄
2∙1343,85∙4200∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; 45°
=0,0643cm^2/cm

8. Entonces
2??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=2∙0,0643= 0,1286cm^2/cm
Se calcula el acero transversal por cortante:
Se chequea si ??????
&#3627408482; ≥ ??????∙??????
&#3627408464; :
Se calcula ϕ·Vc = ??????·0,53·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;= 0,75·0,53·√280·40·53,5=
??????·Vc = 14234,097kgf
Como Vu = 28022,39 kgf es mayor que ??????Vc = 14234,097 kgf , se requiere acero
transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:
Se calcula Vs =
??????
&#3627408482; ??????????????????&#3627408481;−????????????
??????
??????
=
28022,39−14234,097
0,75
= 18384,3907kgf
Se chequea con Vsmax = 2.1·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;=2.1·√280·40·53,5 =
??????
&#3627408480;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;= 75199,0032kgf
Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la
sección.
Calcula el acero necesario por cortante:
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408482;??????⁄−??????
??????
&#3627408467;
??????&#3627408483;·&#3627408465;
=
28022,390,75⁄ −14234,0970,75⁄
4200·53,5
= 0,082cm^2/cm
Se compara con Av / s min =
0.20·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;
≥
3.5·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;

??????
&#3627408483;
&#3627408480;
min=
0,20·√280·40
4200
=0,032cm^2/cm
3,5·40
4200
=0,0333cm^2/cm
Se debe colocar
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
= 0,082 cm
2
/cm
Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:
??????
&#3627408483;&#3627408481;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
+2·
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=0.082+0,1286=0,2106cm2/cm
Se chequea que
??????
&#3627408483;&#3627408481;
&#3627408480;
≥
3,5·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;
⟹ se cumple 0,2106 > 0,0333

9. Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm
2
=
&#3627408480;=
á&#3627408479;&#3627408466;&#3627408462; &#3627408465;&#3627408466; &#3627408473;&#3627408462;&#3627408480; &#3627408465;&#3627408476;&#3627408480; &#3627408479;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408480;
??????
&#3627408483;&#3627408481;&#3627408480;⁄
=
2,54
0,2106
= 12,06cm
Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más
exigente:
Por torsión &#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408480;??????ó&#3627408475;=≤{??????
ℎ8⁄ ;30 &#3627408464;&#3627408474;}= {1648⁄=20,5 &#3627408464;&#3627408474; ;30 &#3627408464;&#3627408474;}=
20,5 &#3627408464;&#3627408474;
Por cortante:
Se chequea si Vs es menor que 1,06·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;= 37957,5921kgf
Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm (Para ND1)
&#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;=≤{0,5·&#3627408465; ;60 &#3627408464;&#3627408474;;
5·??????
&#3627408483;&#3627408481;·&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;
&#3627408463;
&#3627408484;·√&#3627408467;′&#3627408464;
;
??????
&#3627408483;&#3627408481;·&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;
3,5·&#3627408463;
&#3627408484;
}=
&#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;=≤{0,5·53,5 ;60 &#3627408464;&#3627408474;;
5·2,54·4200
40·√280
;
2,54·4200
3,5·40
}=
0,5·53,5 = 26,75cm
5·2,54·4200
40·√280
=79,69cm
2,54·4200
3,5·40
= 76,20cm
Separación elegida es : s = 12 cm. El primer estribo se colocará a 5 cm de la cara del
apoyo, y los estribos siguientes a cada 12 cm, hasta donde sea necesario.
El refuerzo por torsión deja de ser necesario en el punto donde
??????
&#3627408534; =??????∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627408519;
′
??????
∙
??????
????????????
&#3627409360;
??????
????????????
=&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409363;∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;∙
&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
=
=975,88kgf·m
Como en cualquier punto de la viga, el momento de torsión Tu es mayor que este valor
del umbral de torsión, entonces se requiere refuerzo por torsión en toda la viga.

10. Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las
separaciones de los estribos: x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/ss (cm)
0,78528022,39 5443,8 0,1286 0,08180,2104174512,0712424
126282,782 5443,8 0,1286 0,07150,2000948912,693977
1,522237,182 5443,8 0,1286 0,04750,1760889614,4245271
1,919000,702 5443,8 0,1286 0,02830,1568842116,1902841
2,216573,342 5443,8 0,1286 0,01390,1424806517,8269816
2,4914226,894 5443,8 0,1286 0,00000,1285572119,7577402
2,514145,982 5444,8 0,1286 0,00000,1286235819,747546


Se puede observar en la tabla a partir de 1,90 m desde el eje del apoyo se pueden
colocar los estribos a cada 16 cm con el fin de reducir el número de estribos
necesarios. Observe que en x = 2,49 m, Vu es casi igual a ??????Vc = 14234,097 kgf, por
lo cual la cantidad (Av / s) es prácticamente cero, es decir es este punto, teóricamente
no se requiere refuerzo por cortante.
Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,
luego 14 estribos a cada 12 cm hasta una distancia de 1,98 m desde el eje del
apoyo. Luego 4 estribos a cada 16 cm, con lo cual se llega hasta una distancia de
2,62 m. En total 19 estribos como refuerzo transversal por corte y torsión.
Se calcula ahora el acero longitudinal.
Se tiene
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
5443,8·1000.75⁄
2∙1343,85∙4200∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; 45°
=0,0643cm^2/cm

??????
??????=(
??????
&#3627408533;
&#3627408532;
)·??????
&#3627408521;·(
&#3627408519;
??????&#3627408535;
&#3627408519;
????????????
)·??????&#3627408533;&#3627408520;
&#3627409360;
?????? ≥
&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409361;·√&#3627408519;
′
??????·??????
????????????
&#3627408519;
????????????
−(
??????
&#3627408533;
&#3627408532;
)·??????
&#3627408521;·(
&#3627408519;
??????&#3627408535;
&#3627408519;
????????????
)
??????
??????=(&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409364;&#3627409362;&#3627409361;)·&#3627409359;&#3627409364;&#3627409362;·(&#3627409359;)·&#3627409359;
&#3627409360;
= 10,55cm^2
Para calcular el Al min, At/s no debe ser menor que 1,75bw / fy =1,75·40/4200
=0,017, cumple:
&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409361;·√&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;·&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409362;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
−(&#3627409358;.&#3627409358;&#3627409364;&#3627409362;&#3627409361;)·&#3627409359;&#3627409364;&#3627409362;·(&#3627409359;)=2,1720324cm^2
Se cumple con Al > Al mín.

11. Si se divide Ph entre los 30 cm de separación máxima que deben tener entre sí las
barras de refuerzo longitudinal por torsión, se obtiene aproximadamente el número de
barras necesarias.
No. Barras = 164 / 30 = 5,47 , se consideran 6 barras.
El diámetro debe ser mayor que 0,042·s = 0,042·12 =0,504 cm, pero no menor que la
#3, es decir el diámetro =(3/8)·2,54 =0,953 cm.
Consideremos 6 barras: el área de una barra será aproximadamente: 10,55 / 6 = 1,76
cm
2
, lo cual se satisface con barras #5, con área Ab= 1,98 cm
2
.
Diseño por flexión de la sección rectangular: 40 x 60:
Momento flexionante:
En máximo en el apoyo C: ??????
&#3627408464;=31079,53 ??????&#3627408468;&#3627408467;−&#3627408474;
En el tramo, el punto donde el cortante es cero es en: ??????
&#3627408474;=
31480,42
8091.2
=3,891 &#3627408474;,
medidos desde A hacia B.
Entonces el momento máximo en el tramo es:
??????
&#3627408474;−&#3627408481;&#3627408479;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408476;=31480,42·3,891−30168,1−
8091,2∙3,891
2
2
=31072,31kgf-m
Se dimensiona la sección para el momento mayor, que es en el apoyo C:
Datos: b = 40 cm, h = 60 cm, rd = 6,5 cm, d = h – rd = 60 – 6,5 = 53,5cm.
1. Dado que f’c = 280 kg/cm
2
, ??????1 = 0,85
2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 =
t
??????
&#3627408481;=0,319∙??????
1∙
&#3627408467;
′
??????
&#3627408467;
??????
=0,319∙0,85∙
280
4200
=0,01808
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
??????=??????
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408464;??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408476;=0,90∙??????
&#3627408481;=0,90∙0,01808=0,0163
3. Se determina el factor de resistencia nominal R.

12. ??????=??????·&#3627408467;
&#3627408486;∙(1−0,59∙
??????∙&#3627408467;
&#3627408486;
&#3627408467;
′
&#3627408464;
)=0,0163∙4200∙(1−0,59∙
0,0163∙4200
280
)
??????=58,584
??????&#3627408468;
&#3627408464;&#3627408474;
2

4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción:
Mu = 31079,53 kgf -m

&#3627408465;
&#3627408479;&#3627408466;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408479;??????&#3627408465;&#3627408462;=√
??????
&#3627408482;
??????∙??????∙&#3627408463;
= √
31079,53∙100
0,90∙58,584∙40
=38,39cm
d = 53,5 cm > 38,39 cm, se diseña como SSA.
5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la
ecuación cuadrática que resulta de:
??????
&#3627408482;
??????∙&#3627408467;′
&#3627408464;∙&#3627408463;∙&#3627408465;
2
=??????(1−0,59∙??????)
31079,53∙100
0,90∙280∙40∙53,5
2
=??????−0,59∙??????
2

0,59∙??????
2
−??????+0,10772=0
La solución es  = 0,1156,
6. Se determina la cuantía geométrica del acero :
??????=??????∙
&#3627408467;
′
&#3627408464;
&#3627408467;
&#3627408486;
=0,1156∙
280
4200
=0,0077
7. Se determina el área de acero As:
??????
&#3627408480;=??????∙&#3627408463;∙&#3627408465;=0,0077∙40∙53,5=16,48 &#3627408464;&#3627408474;
2

8. Se determina el acero mínimo:
??????&#3627408480;
&#3627408474;??????&#3627408475;=
14
&#3627408467;
&#3627408486;
∙&#3627408463;∙&#3627408465; &#3627408480;?????? &#3627408467;
′
&#3627408464;
<315
??????&#3627408468;
&#3627408464;&#3627408474;
2

13. ??????&#3627408480;
&#3627408474;??????&#3627408475;=
14
4200
∙40∙53,5=7,13 &#3627408464;&#3627408474;
2

??????
&#3627408480;=16,48 &#3627408464;&#3627408474;
2
>7,13 &#3627408464;&#3627408474;
2
, cumple.
Para el centro del tramo:
Como el momento en el tramo tiene un valor cercano al del apoyo C, se considera
válido el mismo diseño de acero longitudinal por flexión.
Detalle de la sección en el apoyo:
Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 10,55 cm
2 en tres
partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y
en la zona a tensión y a compresión se agregan (10,55 – 3,96)/2 = 3,295 cm
2.
El acero a colocar en el apoyo, en la zona traccionada (arriba) es 16,48 + 3.295
=19,78 cm
2. Lo cual se suple con 4 #8, con un área de 20,27 cm
2.
As(abajo) = 10,13 + 3,295 =13,43 cm
2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3,88 = 14,01 cm
2

14. Diseño por torsión del lado AB:
Como se cumple que ??????
&#3627408534; ≤??????∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627408519;
′
??????
∙
??????
????????????
&#3627409360;
??????
????????????
se considera la torsión
Se calcula el acero transversal por torsión:
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408482;??????⁄
2∙??????
&#3627408476;∙&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; ??????

Asumiendo θ = 45°, Ao = 0.85·Aoh = 0.85·1581= 1343,85cm2
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
3676,2·1000.75⁄
2∙1343,85∙4200∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; 45°
=0,0434cm^2/cm
Entonces
2??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=2∙0,0434= 0,0868cm^2/cm
Se calcula el acero transversal por cortante:
Se chequea si ??????
&#3627408482; ≥ ??????∙??????
&#3627408464; :
Se calcula ϕ·Vc = ??????·0,53·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;= 0,75·0,53·√280·40·53,5=
??????·Vc = 14234,097kgf
Como Vu = 25128,83 kgf es mayor que ??????Vc = 14234,097 kgf , se requiere acero
transversal por corte, se calcula el acero transversal por corte:
Se calcula Vs =
??????
&#3627408482; ??????????????????&#3627408481;−????????????
??????
??????
=
25128,83−14234,097
0,75
= 14526,3107kgf
Se chequea con Vsmax = 2.1·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;=2.1·√280·40·53,5 =
??????
&#3627408480;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;= 75199,0032kgf
Como Vs es menor que Vsmax , se continua con el diseño, no se requiere aumentar la
sección.
Calcula el acero necesario por cortante:
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408482;??????⁄−??????
??????
&#3627408467;
??????&#3627408483;·&#3627408465;
=
25128,830,75⁄−14234,0970,75⁄
4200·53,5
= 0,065cm^2/cm
Se compara con Av / s min =
0.20·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;
≥
3.5·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;

15. ??????
&#3627408483;
&#3627408480;
min=
0,20·√280·40
4200
=0,032cm^2/cm
3,5·40
4200
=0,0333cm^2/cm
Se debe colocar
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
= 0,065 cm
2
/cm
Considerando torsión + corte, se calcula el acero transversal total:
??????
&#3627408483;&#3627408481;
&#3627408480;
=
??????
&#3627408483;
&#3627408480;
+2·
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=0,065+0,0868=0,1518cm2/cm
Se chequea que
??????
&#3627408483;&#3627408481;
&#3627408480;
≥
3,5·&#3627408463;
&#3627408484;
&#3627408467;
??????&#3627408483;
⟹ se cumple 0,1518 > 0,0333
Se asume el área de estribos como # 4 de dos ramas: Av = 2·1,27 = 2,54 cm
2
=
&#3627408480;=
á&#3627408479;&#3627408466;&#3627408462; &#3627408465;&#3627408466; &#3627408473;&#3627408462;&#3627408480; &#3627408465;&#3627408476;&#3627408480; &#3627408479;&#3627408462;&#3627408474;&#3627408462;&#3627408480;
??????
&#3627408483;&#3627408481;&#3627408480;⁄
=
2,54
0,1518
= 16,73cm
Se calculan las separaciones máximas para torsión y para cortante y se coloca la más
exigente:
Por torsión &#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408481;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408480;??????ó&#3627408475;=≤{??????
ℎ8⁄ ;30 &#3627408464;&#3627408474;}= {1648⁄=20,5 &#3627408464;&#3627408474; ;30 &#3627408464;&#3627408474;}=
20,5 &#3627408464;&#3627408474;
Por cortante:
Se chequea si Vs es menor que 1,06·√&#3627408467;′&#3627408464;·&#3627408463;
&#3627408484;·&#3627408465;= 37957,5921kgf
Se cumple, entonces smax = d/2 o 60 cm (Para ND1)
&#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;=≤{0,5·&#3627408465; ;60 &#3627408464;&#3627408474;;
5·??????
&#3627408483;&#3627408481;·&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;
&#3627408463;
&#3627408484;·√&#3627408467;′&#3627408464;
;
??????
&#3627408483;&#3627408481;·&#3627408467;
&#3627408486;&#3627408483;
3,5·&#3627408463;
&#3627408484;
}=
&#3627408480;
&#3627408474;&#3627408462;&#3627408485;&#3627408464;&#3627408476;&#3627408479;&#3627408481;&#3627408466;=≤{0,5·53,5 ;60 &#3627408464;&#3627408474;;
5·2,54·4200
40·√280
;
2,54·4200
3,5·40
}=
0,5·53,5 = 26,75cm
5·2,54·4200
40·√280
=79,69cm
2,54·4200
3,5·40
= 76,20cm

16. Separación elegida es : s = 16 cm. El primer estribo se colocará a 5 cm de la cara del
apoyo, y los estribos siguientes a cada 16 cm, hasta donde sea necesario.
El refuerzo por torsión deja de ser necesario en el punto donde
??????
&#3627408534; =??????∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627408519;
′
??????
∙
??????
????????????
&#3627409360;
??????
????????????
=&#3627409358;,&#3627409365;&#3627409363;∙&#3627409358;,&#3627409360;&#3627409365;∙√&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;∙
&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409360;
&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
=
=975,88kgf·m
Como en cualquier punto de la viga, el momento de torsión Tu es mayor que este valor
del umbral de torsión, entonces se requiere refuerzo por torsión en toda la viga.
Hacemos una tabla para considerar el efecto de las variaciones en Vu y Tu, en las
separaciones de los estribos: x (m) Vu Tu 2At/s Av/s 2At/s + Av/ss (cm)
0,78525128,83 3676,2 0,0868 0,06460,1514911716,7666538
123389,222 3676,2 0,0868 0,05430,1411686217,9926674
1,519343,622 3676,2 0,0868 0,03030,1171626821,6792574
1,916107,142 3676,2 0,0868 0,01110,0979579425,9294965
2,1314246,166 3676,2 0,0868 0,00010,0869152129,2238845
3 7206,822 3676,2 0,0868 0,03330,1201435921,1413688
3,89 5,654 3676,2 0,0868 0,00000,0868435929,2479839

Se tiene que 0,5 ??????Vc = 7117 kgf. Observe en la tabla que el punto donde Vu tiene el
valor de ??????Vc = 14234,097 kgf, es aproximadamente en x = 2,13 m, el punto donde Vu
es igual a 0,5 ??????Vc, es aproximadamente en x = 3 m, entre estos dos puntos la norma
manda colocar refuerzo transversal mínimo por cortantes dado por 0,0333 cm
2
/cm, por
esto la separación en esta región se puede considerar igual a la separación máxima por
cortante 20 cm. Desde x = 1,5 m hasta x = 2,13 m se coloca separación máxima por
torsión igual a 20 cm. Desde x = 3 m hasta x = (7 – 2,62) =4,38 m medidos desde A,
no se requiere refuerzo por cortante (Para ND1), por lo tanto en esa región se coloca el
refuerzo por torsión con su separación máxima igual a 20 cm.
Se colocaran estribos cerrados #4, el primero a 5 cm desde la cara de apoyo,
luego 8 estribos a cada 16 cm hasta una distancia de 1,58 m desde el eje del
apoyo A. Luego 13 estribos a cada 20 cm, con lo cual se llega hasta una distancia
de 4,18 m, porque en x = 4,38 m ya está colocado (justo a 0,20 m más) el último
estribo que viene de la parte BC, que está a x = 2,62 m de C. En total 22 estribos

17. como refuerzo transversal por corte y torsión, para esta parte AB. En total para la
viga completa serán 41 estribos.
Se calcula ahora el acero longitudinal.
Se tiene
??????
&#3627408481;
&#3627408480;
=
3676,2·1000.75⁄
2∙1343,85∙4200∙&#3627408464;&#3627408481;&#3627408468; 45°
=0,0434cm^2/cm

??????
??????=(
??????
&#3627408533;
&#3627408532;
)·??????
&#3627408521;·(
&#3627408519;
??????&#3627408535;
&#3627408519;
????????????
)·??????&#3627408533;&#3627408520;
&#3627409360;
?????? ≥
&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409361;·√&#3627408519;
′
??????·??????
????????????
&#3627408519;
????????????
−(
??????
&#3627408533;
&#3627408532;
)·??????
&#3627408521;·(
&#3627408519;
??????&#3627408535;
&#3627408519;
????????????
)
??????
??????=(&#3627409358;,&#3627409358;&#3627409362;&#3627409361;&#3627409362;)·&#3627409359;&#3627409364;&#3627409362;·(&#3627409359;)·&#3627409359;
&#3627409360;
= 7,12cm^2
Para calcular el Al min, At/s no debe ser menor que 1,75bw / fy =1,75·40/4200
=0,017, cumple:
&#3627409359;,&#3627409361;&#3627409361;·√&#3627409360;&#3627409366;&#3627409358;·&#3627409360;&#3627409362;&#3627409358;&#3627409358;
&#3627409362;&#3627409360;&#3627409358;&#3627409358;
−(&#3627409358;.&#3627409358;&#3627409364;&#3627409362;&#3627409361;)·&#3627409359;&#3627409364;&#3627409362;·(&#3627409359;)=2,1720324cm^2
Se cumple con Al > Al mín.
Si se divide Ph entre los 30 cm de separación máxima que deben tener entre sí las
barras de refuerzo longitudinal por torsión, se obtiene aproximadamente el número de
barras necesarias.
No. Barras = 164 / 30 = 5,47 , se consideran 6 barras.
El diámetro debe ser mayor que 0,042·s = 0,042·16 =0,672 cm, pero no menor que la
#3, es decir el diámetro =(3/8)·2,54 =0,953 cm.
Consideremos 6 barras: el área de una barra será aproximadamente: 7,12 / 6 = 1,19
cm
2
, lo cual se satisface con barras #4, con área Ab= 1,27 cm
2
.
Diseño por flexión de la sección rectangular: 40 x 60:
Momento flexionante:
En máximo en el apoyo A: ??????
??????=30168,1 ??????&#3627408468;&#3627408467;−&#3627408474;
Se determina el acero para el apoyo en A:
Datos: b = 40 cm, h = 60 cm, rd = 6,5 cm, d = h – rd = 60 – 6,5 = 53,5cm.
1. Dado que f’c = 280 kg/cm
2
, ??????1 = 0,85

18. 2. Se determina el porcentaje de acero para la sección controlada por tracción: 0,005 =
t
??????
&#3627408481;=0,319∙??????
1∙
&#3627408467;
′
??????
&#3627408467;
??????
=0,319∙0,85∙
280
4200
=0,01808
Se diseña para un porcentaje de acero seleccionado:
??????=??????
&#3627408480;&#3627408466;&#3627408473;&#3627408466;&#3627408464;&#3627408464;??????&#3627408476;&#3627408475;&#3627408462;&#3627408465;&#3627408476;=0,90∙??????
&#3627408481;=0,90∙0,01808=0,0163
3. Se determina el factor de resistencia nominal R.
??????=??????·&#3627408467;
&#3627408486;∙(1−0,59∙
??????∙&#3627408467;
&#3627408486;
&#3627408467;
′
&#3627408464;
)=0,0163∙4200∙(1−0,59∙
0,0163∙4200
280
)
??????=58,584
??????&#3627408468;
&#3627408464;&#3627408474;
2

4. Se determina la altura útil requerida para la sección controlada por tracción:
Mu = 30168,1 kgf -m

&#3627408465;
&#3627408479;&#3627408466;&#3627408478;&#3627408482;&#3627408466;&#3627408479;??????&#3627408465;&#3627408462;=√
??????
&#3627408482;
??????∙??????∙&#3627408463;
= √
30168,1∙100
0,90∙58,584∙40
=37,82cm
d = 53,5 cm > 37,82 cm, se diseña como SSA.
5. Se determina para la d conocida, la cuantía mecánica específica , resolviendo la
ecuación cuadrática que resulta de:
??????
&#3627408482;
??????∙&#3627408467;′
&#3627408464;∙&#3627408463;∙&#3627408465;
2
=??????(1−0,59∙??????)
30168,1∙100
0,90∙280∙40∙53,5
2
=??????−0,59∙??????
2

0,59∙??????
2
−??????+0,1046=0
La solución es  = 0,112,
6. Se determina la cuantía geométrica del acero :

19. ??????=??????∙
&#3627408467;
′
&#3627408464;
&#3627408467;
&#3627408486;
=0,112∙
280
4200
=0,00747
7. Se determina el área de acero As:
??????
&#3627408480;=??????∙&#3627408463;∙&#3627408465;=0,00747∙40∙53,5=15,99 &#3627408464;&#3627408474;
2

8. Se determina el acero mínimo:
??????&#3627408480;
&#3627408474;??????&#3627408475;=
14
&#3627408467;
&#3627408486;
∙&#3627408463;∙&#3627408465; &#3627408480;?????? &#3627408467;
′
&#3627408464;
<315
??????&#3627408468;
&#3627408464;&#3627408474;
2

??????&#3627408480;
&#3627408474;??????&#3627408475;=
14
4200
∙40∙53,5=7,13 &#3627408464;&#3627408474;
2

??????
&#3627408480;=15,99 &#3627408464;&#3627408474;
2
>7,13 &#3627408464;&#3627408474;
2
, cumple.
Detalle de la sección en el apoyo A:
Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 7,12 cm
2 en tres
partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 1/2 “, y
en la zona a tensión y a compresión se agregan (7,12 – 2,53)/2 = 2,295 cm
2.
El acero a colocar en el apoyo, en la zona traccionada (arriba) es 15,99 + 2,295
=18,29 cm
2. Lo cual se suple con 2 #8 + 3 #6, con un área de 18,68 cm
2.
As(abajo) = 10,13 + 2,295 =12,43 cm
2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 6 = 10,13 + 2,85 = 12,98 cm
2

20. Detalle de la sección en el tramo:
En el centro del tramo el refuerzo transversal por torsión es estribo #4 a cada 20 cm:
??????
??????=(
&#3627409359;,&#3627409360;&#3627409365;
&#3627409360;&#3627409358;
)·&#3627409359;&#3627409364;&#3627409362;·(&#3627409359;)·&#3627409359;
&#3627409360;
= 10,414cm^2
Se distribuye el área de acero longitudinal por torsión Al = 10,414 cm
2 en tres
partes, en la parte central de la sección de la viga se colocan 2 barras de 5/8 “, y
en la zona a tensión y a compresión se agregan (10,414 – 3,96)/2 = 3,227 cm
2.
El acero a colocar en el tramo, en la zona traccionada (abajo) es 16,48 + 3,227
=19,71 cm
2. Lo cual se suple con 4 #8, con un área de 20,27 cm
2.
As(arriba) = 10,13 + 3,295 =13,43 cm
2

Se coloca 2 # 8 + 1 # 7 = 10,13 + 3,88 = 14,01 cm
2