Ejercicios de integrales triples

EJERCICIOS DE INTEGRALES TRIPLES

1. Laintegralmúltiple
Problemasresueltos
1.Seafuna función denida enI= [1;2]£[1;4]del siguiente modo:
f(x; y) =
(
(x+y)
¡2
; x·y·2x ;
0;en el resto:
Indique, mediante un dibujo, la porciónAdel rectánguloIen la quefno es
nula y calcule el valor de la integral
Z
A
f, supuesta su existencia.
Solución:
La región sombreada,A=
©
(x; y)2R
2
: 1·x·2; x·y·2x
ª
;es la por-
ción del rectángulo en la quefno se anula. La funciónfes continua enA,
por tantofes integrable enA.
Luego, aplicando el teorema de Fubini:
Z
A
f=
Z
2
1
µZ
4
1
f(x; y)dy
¶
dx=
Z
2
1
µZ
2x
x
1
(x+y)
2
dy
¶
dx=
=
Z
2
1
·
¡
1
x+y
¸
2x
x
dx=
Z
2
1
(¡
1
3x
+
1
2x
)dx=
1
6
logx
¸
2
1
=
1
6
log 2:
2.Un sólido está limitado por la superciez=x
2
¡y
2
, el planoxy, y
los planosx= 1yx= 3. Calcule su volumen por doble integración.

2. Problemasresueltos
Solución:
La intersección de la supercie con el planoxyes:
z=x
2
¡y
2
z= 0
)
!y
2
=x
2
!
y=x
y=¡x
)
y con los planosx= 1yx= 3;las parábolasz= 1¡y
2
yz= 9¡y
2
;
respectivamente.
Para hallar el volumen del sólido dado hemos de calcular la integral doble de
la funciónz=f(x; y) =x
2
¡y
2
sobre la regiónDdel planoxycomprendida
entre las rectasx= 1; x= 3; y=xey=¡x:
D=f(x; y)2R
2
: 1·x·3;¡x·y·xg
V=
Z Z
D
(x
2
¡y
2
)dxdy=
Z
3
1
µZ
x
¡x
(x
2
¡y
2
)dy
¶
dx=
=
Z
3
1
·
x
2
y¡
y
3
3
¸
x
¡x
dx=
Z
3
1
4
3
x
3
dx=
1
3
x
4
¸
3
1
=
80
3
:
3.Calcule
Z Z
D
x
2
y
2
dxdysiendoDla porción acotada del primer cua-
drante situada entre las dos hipérbolasxy= 1yxy= 2y las líneas rectas
y=xey= 4x.

3. Laintegralmúltiple
Solución:
La regiónDes el conjunto
D=
©
(x; y)2R
2
: 1·xy·2; x·y·4xg=
=
n
(x; y)2R
2
: 1·xy·2;1·
y
x
·4
o
:
Esta expresión nos sugiere el cambio de variables
u=xy; v=
y
x
:
Con lo que
y=vx; u=vx
2
!x=
r
u
v
; y=
p
uv;siempre queu; v >0
y la transformación que obtenemos es
T:]0;+1[£]0;+1[!R
2
; T(u; v) = (
r
u
v
;
p
uv):
Tes una transformación inyectiva (para cada(x; y)hay un solo(u; v)tal
queT(u; v) = (x; y)) y es de claseC
1
:Hemos de comprobar además que su
jacobiano es no nulo:
JT(u; v) =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1=v
2
p
u=v
¡u=v
2
2
p
u=v
v
2
p
uv
u
2
p
uv
¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
1
2v
6= 0;8u; v >0:
Podemos dibujar fácilmente la regiónDcalculando los puntos de corte de
las rectas con las hipérbolas dadas (recordemos que son sólo los del primer
cuadrante):
xy= 1
y=x
)
!x
2
= 1!P1= (1;1);
xy= 1
y= 4x
)
!x
2
=
1
4
!P2= (
1
2
;1)
xy= 2
y= 4x
)
!x
2
=
1
2
!P3= (
1
p
2
;
4
p
2
);
xy= 2
y=x
)
!x
2
= 2!P4= (
p
2;
p
2)

4. Problemasresueltos
Es obvio que esta regiónD(en el planoxy) es la imagen,T(Q);del recinto
(en el planouv)
Q=
©
(u; v)2R
2
: 1·u·2;1·v·4
ª
:
Aplicando el teorema del cambio de variable obtenemos:
Z Z
D
x
2
y
2
dxdy=
Z Z
Q
u
2
1
2v
dudv=
=
Z
2
1
u
2
du:
Z
4
1
1
2v
dv=
u
3
3
¸
2
1
:
1
2
logv
¸
4
1
=
7
3
log 2:
4.Calcule la integral
Z Z Z
V
(2zx
2
+ 2zy
2
)dxdydz ;
siendoVel volumen exterior a la hoja superior del conoz
2
=x
2
+y
2
e interior
al cilindrox
2
+y
2
= 1, conz¸0.
Solución:
La intersección del cono con el cilindro es:
x
2
+y
2
=z
2
x
2
+y
2
= 1
)
!la circunferenciax
2
+y
2
= 1en el planoz= 1:

5. Laintegralmúltiple
El conjuntoVserá el conjunto descrito por:
V=
n
(x; y; z)2R
3
:x
2
+y
2
·1;0·z·
p
x
2
+y
2
o
Haciendo el cambio a coordenadas cilíndricas
x=½cos'
y=½sen'
z=z
9
>
=
>
;
T:U!R
3
; T(½; '; z) = (½cos'; ½sen'; z)
siendo
U=]0;+1[£]0;2¼[£R; JT(½; '; z) =½:
De esta manera, y puesto quex
2
+y
2
=½
2
= 1en el cilindro yz
2
=½
2
en
el cono, el recintoVes la imagen,T(Q), (salvo un conjunto de medida cero,
que es la región del planoy= 0comprendida entre el cilindro y el cono) del
conjunto
Q=f(½; '; z)2U: 0< ½·1;0< ' <2¼;0·z·½g ½U:
Por tanto, haciendo la integral con este cambio de variable obtenemos:
Z Z Z
V
(2zx
2
+ 2zy
2
)dxdydz=
=
Z Z Z
Q
2z½
2
½ d½d'dz=
Z
1
0
·Z
2¼
0
µZ
½
0
2z½
3
dz
¶
d'
¸
d½=
=
Z
1
0
µZ
2¼
0
z
2
½
3
¤
½
0
d'
¶
d½=
Z
1
0
µZ
2¼
0
½
5
d'
¶
d½= 2¼
½
6
6
¸
1
0
=
¼
3
:

6. Problemasresueltos
5.Calcule la integral
Z Z Z
A
xyz dxdydz, siendoAel conjunto
A=f(x; y; z)2R
3
:x
2
+y
2
+z
2
·1; x¸0; y¸0; z¸0g:
Solución:
Puesto que el conjuntoAes un trozo de esfera haremos el cambio a coordenadas
esféricas para que el recinto de integración sea más manejable.
x=½cos'senµ
y=½sen'senµ
z=½cosµ
9
>
=
>
;
T:U!R
3
; T(½; '; µ) = (½cos'senµ; ½sen'senµ; ½cosµ)
TesC
1
-invertible, con jacobiano,JT(½; '; µ) =¡½
2
senµ;distinto de cero en
cualquier punto del abiertoU=]0;+1[£]0;2¼[£]0; ¼[:
Sea
Q=
n
(½; '; µ)2R
3
: 0< ½·1;0< '·
¼
2
;0< µ·
¼
2
o
½U:
Es claro que su imagen medianteTes
T(Q) =A¡ f(x; y; z)2A:y= 0g

7. Laintegralmúltiple
y puesto que el conjuntof(x; y; z)2A:y= 0gtiene medida cero enR
3
;(es
un trozo de plano) podemos aplicar el teorema del cambio de variable para
calcular la integral que se pide por medio de una integral sobre el rectángulo
Q:
ZZZ
A
xyz dxdydz=
=
ZZZ
Q
½cos'senµ ½sen'senµ ½cosµ ½
2
senµ d½d'dµ=
=
Z
1
0
"
Z¼
2
0
"
Z¼
2
0
½
5
sen'cos'sen
3
µcosµ dµ
#
d'
#
d½=
=
Z
1
0
½
5
d½
Z¼
2
0
sen'cos' d'
Z¼
2
0
sen
3
µcosµ dµ=
=
·
½
6
6
¸
1
0
·
sen
2
'
2
¸¼
2
0
·
sen
4
µ
4
¸¼
2
0
=
1
48
:
6.Calcule la integral
Z Z
D
(x
2
+ 5y
2
)dxdy ;
extendida a la región del plano
D:=f(x; y)2R
2
:y¸0;4·x
2
+y
2
·16g:
Solución:

8. Problemasresueltos
La regiónDes una corona circular; esto sugiere el cambio a polares para hacer
la integral. Hacemos la transformación
x=½cos'
y=½sen'
)
T:U!R
2
; T(½; ') = (½cos'; ½sen')
dondeU=]0;+1[£]0;2¼[yJT(½; ') =½es distinto de cero enU.
La coronaDes la imagen medianteTdel rectángulo
Q=
©
½; ')2R
2
: 2·½·4;0< '·¼
ª
½U
salvo un conjunto de medida cero enR
2
que es el trozo del eje OX comprendido
entrex= 2yx= 4(que se obtendría con la imagen de los puntos tales que
'= 0):Aplicando el cambio de variable calculamos la integral doble enDpor
medio de una integral doble enQ, que nos resultará mucho más sencilla de
calcular porqueQes un rectángulo:
Z Z
D
(x
2
+ 5y
2
)dxdy=
Z Z
Q
¡
½
2
cos
2
'+ 5½
2
sen
2
'
¢
½ d½d'=
=
Z
4
2
·Z
¼
0
½
3
¡
1 + 4sen
2
'
¢
d'
¸
d½=
=
Z
4
2
½
3
·Z
¼
0
[1 + 2(1¡cos 2')]d'
¸
d½=
=
·
½
4
4
¸
4
2
h
3'¡sen2'
i
¼
0
= 180¼:
7.Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcule la integral de línea
Z
°
y
2
dx+xdy ;
siendo°el cuadrado de vertices (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1).

9. Laintegralmúltiple
Solución:
LLamemosDa la región, convexa, limitada por°:Es obvio que
D=°
¤
[int°= [¡1;1]£[¡1;1]:
Aplicaremos la fórmula de Green-Riemann
Z
°
P dx+Qdy=
Z Z
D
µ
@Q
@x
¡
@P
@y
¶
dxdy
conP(x; y) =y
2
yQ(x; y) =xque son de claseC
1
:Así:
Z
°
y
2
dx+xdy=
Z Z
D
(1¡2y)dxdy=
Z
1
¡1
·Z
1
¡1
(1¡2y)dy
¸
dx=
=
Z
1
¡1
£
y¡y
2
¤
1
¡1
dx=
Z
1
¡1
2dx= 4:
8.Considere la curva°una parametrización de la elipse4(x
2
¡1)+y
2
=
0. Calcule la integral
Z
°
(x+y)dx+ (y¡x)dy:
a) Directamente.
b) Aplicando el teorema de Green-Riemann.

10. Problemasresueltos
Solución:
a) Para calcular la integral de línea hemos de parametrizar la elipse:
4(x
2
¡1)+y
2
= 0!x
2
+
y
2
4
= 1!°(t) = (cost;2sent);8t2[0;2¼]
que es una parametrización de claseC
1
:
Z
°
(x+y)dx+ (y¡x)dy=
=
Z
2¼
0
[(cost+ 2sent)(¡sent) + (2sent¡cost)2 cost]dt=
=
Z
2¼
0
(sentcost¡2)dt=
·
sen
2
t
2
¡2t
¸
2¼
0
=¡4¼:
b) SeaD=°
¤
[int°:Aplicando el teorema de Green-Riemann conP(x; y) =
x+yyQ(x; y) =y¡x;y teniendo en cuenta que el área de la elipse de semiejes
aybes¼ab(en nuestro casoa= 1; b= 2);obtenemos:
Z
°
(x+y)dx+ (y¡x)dy=
Z
°
P dx+Qdy=
Z Z
D
µ
@Q
@x
¡
@P
@y
¶
dxdy=
=
Z Z
D
(¡2)dxdy=¡2¹(D) =¡4¼:

11. Laintegralmúltiple
9.Calcule el área de la región del primer cuadrante comprendida entre
las curvas:
y
2
= 2x;2x+y= 20; y= 0:
a) Mediante una integral doble.
b) Mediante una integral de línea.
Solución:
a) Calculemos la intersección de la parábola y la recta que delimitan la región
descrita:
y
2
= 2x
2x+y= 20
)
!y
2
+y¡20 = 0!
y=¡5;no es positivo
y= 4; x= 8
La región dadaDes la unión de dos regiones
D1=
n
(x; y)2R
2
: 0·x·8;0·y·
p
2x
o
D2=
n
(x; y)2R
2
: 8·x·10;0·y·20¡2x
o
con medida enR
2
:El área deD=D1[D2;calculada mediante una integral
doble, será:
Z Z
D
dxdy=
Z Z
D1
dxdy+
Z Z
D2
dxdy
Z Z
D1
dxdy=
Z
8
0
"
Z
p
2x
0
dy
#
dx=
Z
8
0
p
2x dx=
p
2
2
3
x
3
2
¸
8
0
=
64
3
:
Z Z
D2
dxdy=
Z
10
8
·Z
20¡2x
0
dy
¸
dx=
Z
10
8
(20¡2x)dx= 20x¡x
2
i
10
8
= 4:

12. Problemasresueltos
Sumando las dos integrales obtenemos:
area deD=
Z Z
D
dxdy=
64
3
+ 4 =
76
3
:
b) Hemos de parametrizar la curva°que delimita la regiónD:
¡la recta2x+y= 20 :°1(t) = (t;20¡2t); t2[8;10]
¡la parábolay
2
= 2x:°(t) = (
t
2
2
; t); t2[0;4]
¡el ejeOX:°(t) = (t;0); t2[0;10]:
De esta manera es°= (¡°1)[(¡°2)[°3:
Por el teorema de Green-Riemann, tomandoP(x; y) = 0; Q(x; y) =x;pode-
mos calcular el área deDcomo:
Z Z
D
dxdy=
Z
°
xdy=¡
Z
°1
xdy¡
Z
°2
xdy+
Z
°3
xdy=
=¡
Z
10
8
(¡2t)dt¡
Z
4
0
t
2
2
dt=t
2
i
10
8
¡
t
3
6
¸
4
0
=
76
3
:
10.Calcule, mediante integración, el volumen del sólido limitado por el
conox
2
+y
2
= 4z
2
y la esferax
2
+y
2
+z
2
= 5, siendoz¸0.
Solución:
La intersección de las dos supercies es
x
2
+y
2
+z
2
= 5
x
2
+y
2
= 4z
2
)
!
5z
2
= 5!z
2
= 1!z= 1 (z¸0)
x
2
+y
2
= 4

13. Laintegralmúltiple
SeaVel sólido considerado. Su volumen es
¹(V) =
Z Z Z
V
dxdydz
Para calcular esta integral haremos un cambio a coordenadas esféricas:
x=½cos'senµ
y=½sen'senµ
z=½cosµ
9
>
=
>
;
JT(½; '; µ) =¡½
2
senµ
La variación del ánguloµdentro del recinto de integración viene dada por
el ángulo que forma la generatriz del cono con el ejeOZen un punto de la
intersección de las dos supercies, por ejemplo el punto(0;2;1):En este punto
tanµ= 2y por lo tantoµ= arctan 2:El radio vector½variará desde 0 al
radio de la esfera
p
5y el ángulo'debe recorrer toda la circunferencia, de
modo que si consideramos el conjunto
Q=
n
(½; '; µ)2R
3
: 0·½·
p
5;0< ' <2¼;0< µ·arctan 2
o
su imagen medianteTes el recintoV(salvo un conjunto de medida cero en
R
3
:los puntos para los que'= 0óµ= 0):Entonces
Z Z Z
V
dxdydz=
Z Z Z
Q
½
2
senµ d½d'dµ=
=
Z
2¼
0
d'
Z
p
5
0
½
2
d½
Z
arctan 2
0
senµdµ= 2¼
·
½
3
3
¸
p
5
0
h
¡cosµ
i
arctan 2
0
=
=
10
p
5
3
¼
·
¡
1
p
1 + tan
2
µ
¸
arctan 2
0
=
10
3
¼(
p
5¡1):

14. Problemaspropuestos
Problemaspropuestos
1.Calcule las integrales dobles por integración sucesiva
a)
Z Z
I
xy(x+y)dxdydondeI= [0;1]£[0;1].
b)
Z Z
I
sen
2
xsen
2
ydxdydondeI= [0; ¼]£[0; ¼].
c)
Z Z
I
sen(x+y)dxdydondeI= [0; ¼=2]£[0; ¼=2].
Solución:
a)1=3. b)¼
2
=4. c)2.
2.Calcule
Z Z
I
f(x; y)dxdysiendoI= [0;1]£[0;1],
f(x; y) =
(
x+y; x
2
·y·2x
2
;
0;en el resto:
Solución:
21
40
¡
2
5
p
2
.
3.Calcule la integral doble
Z
A
(x
2
+y
2
)dxdysiendo
A=f(x; y)2R
2
:x
2
+y
2
·1g:
Solución:1=2.
4.Calcule la integral doble
Z
A
(4x+ 7y)dxdydonde
A=f(x; y)2R
2
: 0·x·1; x
3
·y·xg:
Solución:
12
10
.

15. Laintegralmúltiple
5.Dibuje la región de integración y calcule la integral doble
a)
Z Z
D
(x
2
+y
2
)dxdysiendoDel triángulo de vértices(0;0),(2;0),(2;1).
b)
Z Z
D
(1 +x)seny dxdysiendoDel trapezoide de vértices (0,0), (1,0), (1,2),
(0,1).
c)
Z Z
D
(x
2
¡y
2
)dxdysiendoDla región limitada por el ejeOXy la gráca
de la funcióny=senxen el intervalo[0; ¼].
Solución:a)13=6. b) 3=2¡2 sin(2)¡cos(2) + sin(1) + cos(1). c)
¼
2
¡40=9:
6.Considere la aplicaciónTdenida por las ecuaciones
x=u
2
¡v
2
; y= 2uv:
a) Calcule el jacobianoJT(u; v).
b) SeaQel rectángulo en el planouvcon vértices (1,1), (2,1), (2,3), (1,3).
Represente, mediante un dibujo, la imagenT(Q)en el planoXY.
Solución:a)JT(u; v) = 4(u
2
+v
2
).
7.Considere la aplicaciónTdenida por las ecuaciones
x=u+v; y=v¡u
2
:
a) Calcule el JacobianoJT(u; v).
b) Un triánguloQen el plano(u; v)tiene vértices (0,0), (2,0), (0,2). Repre-
sente, mediante un dibujo, la imagenT(Q) =Den el planoxy.
c) Calcule el área deDmediante una integral doble extendida aDy también
mediante otra integral doble extendida aQ.
Solución:Area= 14=3.
8.SiVes el sólido limitado por el elipsoide
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
= 1;calcule
Z Z Z
V
(
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
)dxdydz:

16. Problemaspropuestos
Solución:Cambio:x=a½sin(µ) cos('); y=b½sin(µ) sin('); z=c½cos(µ):
jJTj=abc½
2
sin(µ). Resultado:
4
5
¼abc.
9.Calcule la integral
Z Z Z
A
p
x
2
+y
2
dxdydz;siendoAel sólido for-
mado por la hoja superior del conoz
2
=x
2
+y
2
y el planoz= 1.
Solución:¼=6.
10.Calcule la integral
Z Z Z
V
(x
2
+y
2
)dxdydz;siendoVel sólido limi-
tado por la supercie2z=x
2
+y
2
y el planoz= 2:
Solución:Cambio a coordenadas cilíndricas. Solución:16¼=3.
11.Halle el volumen del tumor cuya ecuación en esféricas es
0·½·3 +sen(5')sen(4µ); '2[0;2¼]; µ2[0; ¼]:
Solución:821¼=21
12.Utilizando el cambio a polares, halle
Z Z
D
x
2
+y
2
;siendoD=
n
(x; y)2R
2
: (x¡1)
2
+y
2
·1
o
:
Solución:3¼=2
13.La densidad en un punto(x; y)sobre la lámina semicircular
D=
n
(x; y)2R
2
:y¸0; x
2
+y
2
·r
2
o

17. Laintegralmúltiple
esf(x; y) =a
p
x
2
+y
2
:Calcule el centro de masa de la lámina.
Solución:(0;3r=2¼)
14.SeaSel sólido limitado por el cilindroy
2
+z
2
= 9y los planos
x= 0; y= 3x; z= 0en el primer octante. Si tiene una función de densidad
dada porf(x; y; z) =x
2
+y
2
;calcule su masa, centro de masa y momento de
inercia alrededor del ejeOZ:
15.Halle el volumen del sólido comprendido dentro del tronco cónico
x
2
+y
2
= (z¡1)
2
;conz2[0;
1
2
];exterior al cilindrox
2
+y
2
=
1
4
;
utilizando el teorema de Pappus-Guldin.
Solución:¼=6
16.Halle el volumen del toro de radiosRyr(R > r)de ecuación
z
2
+ (
p
x
2
+y
2
¡R)
2
·r
2
a) utilizando el cambio a coordenadas cilíndricas.
b) utilizando el teorema de Pappus-Guldin.
Solución:2¼
2
Rr
2
17.Utilizando el teorema de Green-Riemann, calcule la integral de línea
Z
°
y
2
dx+xdy ;
siendo°la circunferencia de radio 2 y centro en el origen.
Solución:4¼.
18.Calcule, aplicando la fórmula de Green-Riemann, la integral
Z
°
(2xy¡x
2
)dx¡(x+y
2
)dy ;
siendo°la curva formada por los ejes coordenados y el cuadrante positivo de
la circunferenciax
2
+y
2
= 4.
Solución:¡¼¡16=3.

18. Problemaspropuestos
19.Calcule, mediante una integral de línea, el área de la región plana:
D=f(x; y)2R
2
:x¸y
2
¡1; x
2
+ 4y
2
·4g
20.Calcule el área de la región del primer cuadrante limitada por la curva
½= 3 cos 3t ; t2[0;
¼
6
]:
a) Mediante una integral doble.
b) Mediante una integral de línea.
Solución:3¼=8.
21.SeaDla región interior a la elipse4x
2
+9y
2
= 36y exterior al círculo
x
2
+y
2
= 1. Denotando por®a la frontera de esta región, calcule la integral
de línea Z
®
2xydx+ (x
2
+ 2x)dy:
Solución:10¼.
22.Calcule el área de la región interior a la circunferenciax
2
+y
2
= 4y
a la derecha de la rectax= 1.
Solución:4¼=3¡
p
3.
23.Calcule el área de la región del plano
A=f(x; y)2R
2
:y·4x¡x
2
; y¸6¡3x; y¸0g:
Solución:151=6.
24.Halle el volumen limitado por:
a)x
2
+y
2
+z
2
= 4,x
2
+y
2
= 3z.
b)z=x
2
+ 6y
2
,x
2
+ 4y
2
= 4,z= 0.
Solución:a)19¼=6. b)20¼=3.

19. Laintegralmúltiple
25.Calcule la integral triple
Z Z Z
V
(4x
2
+ 9y
2
+ 36z
2
)dxdydzsiendoV
el interior del elipsoide
x
2
9
+
y
2
4
+z
2
= 1:
Solución:Cambio:x= 3½sin(µ) cos('); y= 2½sin(µ) sin('); z=½cos(µ): JT=
¡6½
2
sin(µ). Valor de la integral:
864
5
¼.
26.Haciendo un cambio a coordenadas esféricas, resuelva la integral
ZZZ
A
(x
2
+y
2
+z
2
)dxdydz ;
siendoAel sólido
A=f(x; y; z)2R
3
:x
2
+y
2
+z
2
·1; x
2
+y
2
·z
2
; z¸0g:
27.Calcule el volumen del sólido limitado por las supercies
z= 4¡y
2
; y=x; x= 2; z= 0:
28.Utilizando un cambio de variable, halle el valor de la integral
Z Z
D
(x¡y)
2
sin
2
(x+y)dxdy ;
dondeDes el paralelogramo de vértices(¼;0),(2¼; ¼),(¼;2¼),(0; ¼).
29.Sea la regiónDdel plano limitada por las curvas4x
2
+ (y¡1)
2
= 4,
4x
2
+ (y+ 1)
2
= 4y que contiene el (0,0).
a) Calcule la integral
Z Z
D
(x¡y)dxdy:
b) Calcule la integral anterior como la integral curvilínea de cierto campo
vectorialF:R
2
!R
2
. (Utilice el teorema de Green-Riemann para encontrar
el campoFadecuado).

20. Problemaspropuestos
30.Calcule la integral
Z Z Z
V
zsin(x
2
+y
2
)dxdydz ;
siendoVel sólido limitado por las supercies
z= cos(x
2
+y
2
); z= 0conz¸0:
31.Calcule el área, utilizando coordenadas polares, de la región limitada
por la curva
(x
2
+y
2
)
2
= 2xy; x¸0; y¸0;
a) mediante una integral curvilínea,
b) mediante una integral doble.
32.Calcule el volumen de la porción del sólido comprendido entre las
supercies
(z+ 1)
2
=x
2
+y
2
;4z=x
2
+y
2
;
situada por encima el planoXY: