Ejercicios de la ecuación de la circunferencia

Ejercicios de la ecuación de la circunferencia

1. Página 1 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
1. (2.a)Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: A = ( 0,4), B = ( 1, 2) y C = (3, 2).

Primero, hallamos los puntos medios R y S.
 0;4 1;2 1;6 1
;3
2 2 2 2
AB
R
 
   



 

1;2 3;2 4;4
2;2
2 2 2
BC
S

    : , :Hallo los vectores de posición a y b así
1;2 0;4 1; 2a AB B A      
3;2 1;2 2; 0b BC C B     
, : ,
( ) :
Luego hallo los vectores perpendiculares a y b llamados
también vectores normales n así


 
 
1; 2 2;1
2;0 0;2
aa
bb


   
  

Teniendo en cuenta éstos vectores normales n , construimos las rectas L1 y L2 , así:
 L1 : R + t (n ) , t Є
L1: 1
;3
2


 + t 2;1
 L2 : S + s (n ) , s Є
L2 : 2;2 + s 0;2
Luego, hallo P0 el punto de intersección de L1  L2 .

2. (3. a) Hallar los puntos de intersección de la circunferencia con centro en el origen y de radio 5 con
la recta L1 : x – y + 5 = 0 .
 Según los datos, graficamos la circunferencia y luego graficamos la recta L1 , teniendo en
cuenta sus interceptos con los ejes X e Y.

2. Página 2 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica

Intercepto con el EJE X
( -5 ; 0)
Intercepto con el EJE Y
( 0 ; 5)

3. (5 . b ) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el EJE X y que pasa por (4, 6) y (1, 3).

Según datos del enunciado, sea O = ( x ; 0 ) el punto central de la circunferencia, y que pasa
por los puntos: A = (4 ; 6) y B = (1 ; 3), entonces, sabemos que : la distancia del punto A al
punto O (centro de la circunferencia) mide = que la distancia del punto B al punto O . Así:
d( A ; O ) = d( B ; O )
AO BO    O A O B  
;0 4;6 ;0 1;3xx  
   4 ; 6 1; 3xx   
 
2 2 2 2
4 6 1 3xx     
22
2 *4 16 36 2 *1 1 9x x x x      
6 10 52x
6 42x  
7x

Entonces, O = ( 7 ; 0 )
Luego, hallamos el radio. Así:


Radio = d( A ; O )
= AO
= 7;0 4;6

3. Página 3 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
=  3 ; 6
= 
22
36
= 9 36
Radio = 45
Luego:
C : (x - 7)
2
+ (y – 0 )
2
= 45

4. (5 . f ) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 50 y corta en el EJE X una cuerda de longitud
igual a 28 unidades, y que pasa por ( 0 ; 8).
Sea:
 El punto O el centro de la circunferencia,
 El punto A = ( 0 ; 8 )
 M el punto medio de la cuerda DE
 DE la cuerda que se intersecta en el EJE X

 Entonces trazamos la mediatriz OM (que pasa por el centro de la circunferencia
O ) bisecando a la cuerda DE
 Si : O D = 50 unidades
DM = 14 unidades
Entonces: OM = 48 unidades (por teorema de Pitágoras)
 Luego, En el AOB .
Si : OA = 50 unidades
OB = 40 unidades.
Entonces AB = 30 unidades.


Por lo tanto: C1 : ( x - 30 )
2
+ ( y - 48 )
2
= 2 500 ó
C2 : ( x + 30 )
2
+ ( y - 48 )
2
= 2 500
5. (14) Determinar la ecuación del diámetro de la circunferencia 22
6 4 12 0x y x y     que
biseca a la cuerda cuya ecuación es 3y + x - 6 = 0 .
 Hallo “O “ (el punto central de la circunferencia).

C1 : x
2
+ y
2
- 6x + 4 y - 12 = 0

4. Página 4 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
C1 : ( x
2
- 6 x + 3
2
) + ( y
2
+ 4y + 2
2
) – 12 – 9 – 4

= 0
C1 : ( x – 3 )
2
+ ( y + 2 )
2
= 2 5
 O = ( 3 ; - 2 )
Sea :
r : radio
D : diámetro
Si : r = 5  D = 10

 Grafico la cuerda, teniendo en cuenta la gráfica de la recta L1 : 3y + x – 6 = 0


Construyo la recta L2 (la cual forma la recta del diámetro) que pase por el punto O y el
punto M.
Como la recta L2 de la diagonal biseca (según enunciado) la cuerda (corta a la cuerda en
dos segmentos iguales) entonces L2  L1 .
Entonces, si :
 L1 : 3y + x – 6 = 0
 


2
;
1;3
3; 1
n A B
n
n IV cuadrante por donde pasa L



  
Reemplazo n
 en L2
Sea L2 la recta de la diagonal que tiene como ecuación general a :
L2 : Ax + By + C = 0
L2 : 3 x - y + C = 0
Hallamos el término independiente C.

L2 : 3 (3) - ( - 2 ) + C = 0
9 + 2 + C = 0
C = - 11
Luego :
L2 : 3 x - y = 11

5. Página 5 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
6. (15. a) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de la recta 4x – 3y +12
= 0 situado entre los ejes coordenados.
Hallo los interceptos de la recta L1 : 4x – 3y +12 = 0


 Sea : D (PQ ) el diámetro de la circunferencia.
 


22
22
2
0;4 3;0
3;4
34
25
5
5
,
2
,
.
3
;2
22
,.
PQ Q P
es el diámetro
Luego r
Hallo el punto Medio del diámetro el cual será
el punto central de lacircunferencia
PQ
M
Luego reeplazoen laecuación de la circunferencia
x h y k r
x

  









   


22
2
2
2
35
2
22
3 25
2
24
y
xy
   
   
   
   

   




7. (17) Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en las rectas L1 : x +y = 4 , L2 : 5x + 2y
= -1 , y de radio 3 .

6. Página 6 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
Graficamos las rectas L1 y L2 (teniendo en cuenta sus interceptos coordenados) y hallamos
L1  L2 por sustitución.

L1 : x +y = 4
L1 : y = 4 – x
Reemplazando en L 2
L2 : 5x + 2y = -1
5x + 2( 4 – x) = -1
5x +8 – 2 x = - 1
3x = - 9
 X = - 3 ; y = 7

Reemplazamos en la ecuación de la circunferencia. 
22
2
x h y k r   


22
2
22
3 7 3
3 7 9
xy
xy
   
   


8. (21) Hallar el valor de k para que la ecuación C 1 : x2 + y2 – 8x + 10y + k = 0 , representa una
circunferencia de radio 4 .

7. Página 7 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica  
 
22
1
22
2 2 2 2
22
2
2
: 8 10 0
8 10
8 4 10 5 16 25
4 5 41
: 41 4
41 16
25
C x y x y k
x x y y k
x x y y k
x y k
Hallamos k
Pero k
k
k
    
    
        
     
  
  



9. (22) El punto ( 8 ; 6) es el centro de una cuerda de la circunferencia C1 : x
2
+ y
2
– 12 x - 4y = 0.
Hallar la longitud de dicha cuerda.

 Hallamos el punto central O y el radio de la circunferencia C1 : x
2
+ y
2
– 12 x - 4y = 0 
22
2 2 2 2
22
12 4 0
12 6 4 2 36 4
6 2 40
: (6;2)
x y x y
x x y y
xy
Entonces O
   
      
   


radio = 40
 Graficamos

 Trazo la recta L1 que pase por el punto O y el punto M. Como M es punto medio de la
cuerda PQ , entonces la recta L1 biseca la cuerda en dos segmentos de igual longitud.
 Hallo d (O ;M)
L1

8. Página 8 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica
 


 
22
;
8;6 6;2
2;4
24
; 20
d O M OM
MO
d O M






 Luego, hallamos “b” en el OMQ, por el Teorema de Pitágoras. 
 
2 2 2
22
2
2
40 20
40 20
20
25
, " "
2
2 2 5
45
r a b
b
b
b
b
Pero la longitud dela cuerda PQ es dos veces b
PQ b
PQ
PQ









10. (23 ) Hallar la ecuación de una circunferencia tangente a la recta 7x - 24y – 55 = 0 , y cuyo centro
es el de la circunferencia x2 + y2 – 8x – 4y = 0 .
 Hallamos el punto central “ O ” de C1 : x
2
+ y
2
– 8x – 4y = 0
C1 : (x
2
– 8x + 4
2
) + (y
2
– 4y + 2
2
) = 20
C1 : (x

- 4)
2
+ (y - 2)
2
= 20
Entonces : O = ( 4 ; 2)
 Sea L1 : 7x - 24y – 55 = 0
Hallo d (O ; L1 ) 
22
7 4 24 2 55 28 48 55 75 75
3
2549 576 6257 24
   
    
 = radio

9. Página 9 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica

Luego:
Hallo la ecuación de la circunferencia C2 , teniendo en cuenta el punto O = ( 4 ; 2) y la d (O
; L1 ) .
C2 : (x - 4)
2
+ (y - 2)
2
= 3
2

C2 : (x - 4)
2
+ (y - 2)
2
= 9

11. (25) Hallar la máxima distancia del punto (10; 7) a la circunferencia x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0.

 Hallo el punto central “O” de la circunferencia y su radio.
C : x
2
+ y
2
– 4x – 2y – 20 = 0   



2 2 2 2 2 2
22
2
22
2 2 2
4 2 2 1 20 2 1
2 1 25
2 1 25
2 1 5
x x y y
xy
xy
xy
       
   
   
   

 r = 5
 O = ( 2 ; 1)
Sea : A = (10 ; 7) y
B , un punto ϵ a la circunferencia, el cual es el más lejano al punto A.

10. Página 10 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica

Luego : 

 



22
;;
;5
5
10;7 2;1 5
8;6 5
8 6 5
64 36 5
; 10 5
; 15
d B A d O A r
d B A OA
AO
d B A
d B A unidades de longitud


  
  

  
  




12. (27) Hallar la distancia del punto ( 4 ; 26 ) a la circunferencia x
2
+ y
2
+ 10y = 6x + 15 .

 Hallo el punto central “O” de la circunferencia y su radio.
C : x
2
+ y
2
+10y = 6x + 15 



22
2 2 2 2 2 2
22
22
2
22
2 2 2
x y 10y 6x 15
x 6 3 y 10y 5 15 3 5
3 5 15 9 25
3 5 49
3 5 49
3 5 7
x
xy
xy
xy
xy
   
       
     
   
   
   

 r = 7
 O = ( 3 ; - 5)
Sea : A = (4 ; 26) y
B , un punto ϵ a la circunferencia, el cual es el más cercano al punto A.

11. Página 11 de 11
U.N.P.R.G- Geometría Analítica

Luego : 

  
 

22
;;
;7
7
4;26 3; 5 7
1; 31 7
1 31 7
1 961 7
; 962 7
d B A d O A r
d B A OA
AO
d B A


  
   

  
  
