Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebra Lineal

- Instituto Politécnico Nacional
- ESIME Unidad Azcapotzalco
- Ingeniería en robótica industrial
- Algebra Lineal
- Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebra Lineal
- Raúl Mercado Martínez
- Ejercicios de matriz determinante por Cramer y Sarrus, matriz inversa realizados para la materia de fundamentos de algebra lineal.

1. Raúl Mercado Martínez 1CV8
3.4 Calcular el determinante de cada una de las siguientes matrices y el determinante de sus respectivas
inversas.
?????? =e
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
i ?????? =e
−1 2 −3
2 1 0
4 −2 5
i ?????? =e
1 2 3
2 5 3
1 0 8
i ?????? =e
1 6 4
2 4 −1
−1 2 5
i
El determinante de una matriz de ?????? ?????? ?????? se definirá de manera inductiva. En otras palabras, se usará lo que se
sabe sobre un determinante de 2 ?????? 2 para definir un determinante de 3 ?????? 3, que a su vez se usará para definir
un determinante de 4 ?????? 4, y así sucesivamente. Se comienza por definir un determinante de 3 ?????? 3.





Sea ?????? =e
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
i. Calcule |??????|.
|??????|=-
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
-= 1Z
−1 3
1 8
Z− 0Z
2 3
4 8
Z+ 2Z
2 −1
4 1
Z
= 1k(−1)(8)−(1)(3)o− 0k(2)(8)−(4)(3)o+ 2((2)(1)−(4)(−1))
= 1(−8 − 3)− 0(16 − 12)+ 2(2 −(−4)) = 1(−11)− 0(4)+ 2(6)
= −11 − 0 + 12 = −11 + 12 = 1
Determinante
|??????|= 1



Antes de utilizar determinantes para calcular las inversas es necesario definir la adjunta de una matriz ?????? =
k??????
??o. Sea ?????? =k??????
??ola matriz de cofactores de ??????. Entonces
?????? =f
??????
55??????
56⋯ ??????
?5
??????
65??????
66⋯ ??????
?6
⋮ ⋮ ⋮
??????
5???????
6?⋯ ??????
??
j 3.3





Determinante de 3x3
Sea ??????=e
??????
55
??????
56
??????
57
??????
65
??????
66
??????
67
??????
75
??????
76
??????
77
i. Entonces
det??????=|??????|=??????
55
Z
??????
66
??????
67
??????
76
??????
77
Z−??????
56
Z
??????
65
??????
67
??????
75
??????
77
Z+??????
57
Z
??????
65
??????
66
??????
75
??????
76
Z

Si ?????? es invertible, entonces det??????≠0 y
det??????
?5
=
1
det??????

La adjunta
Sea ?????? una matriz de ?????? ?????? ?????? y sea ??????, dada por (3.3), la matriz de sus cofactores. Entonces,
la adjunta de ??????, escrito ?????????????????? ??????, es la transpuesta de la matriz ?????? de ?????? ?????? ??????; es decir,
?????????????????? ??????=??????
?
=f
??????
55
??????
65
⋯??????
?5
??????
56
??????
66
⋯??????
?6
⋮⋮⬚⋮
??????
5?
??????
6?
⋯??????
??
j

2. Raúl Mercado Martínez 1CV8
Como det?????? = 1 ≠ 0 se ve que ?????? es invertible.
Sea ?????? =e
1 0 2
2 −1 3
4 1 8
i. Calcule ?????????????????? ??????.

Se tiene ??????
55=Z
−1 3
1 8
Z= −11,??????
56= −Z
2 3
4 8
Z= −4,??????
57=Z
2 −1
4 1
Z= 6,??????
65= −Z
0 2
1 8
Z= 2, ??????
66=Z
1 2
4 8
Z=
0,??????
67= −Z
1 0
4 1
Z= −1,??????
75=Z
0 2
−1 3
Z= 2,??????
76= −Z
1 2
2 3
Z= 1,??????
77=Z
1 0
2 −1
Z= −1.

Así, ?????? =e
−11 −4 6
2 0 −1
2 1 −1
i y ?????????????????? ?????? = ??????
?
=e
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
i.




Adjunta
?????????????????? ??????=e
−1122
−401
6−1−1
i
Así ??????
?5
=
5
5
e
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
i=e
−11 2 2
−4 0 1
6 −1 −1
i
Inversa
??????
?5
=e
−1122
−401
6−1−1
i

Verificación
??????
?5
??????=
1
1
e
−1122
−401
6−1−1
ie
102
2−13
418
i=
1
1
e
100
010
001
i= ??????

Determinante de la matriz inversa de ??????
det??????
?5
=
1
det??????
=
1
1

det??????
?5
= 1

Sea ?????? una matriz de ?????? ?????? ??????. Entonces ?????? es invertible si y sólo si det??????≠0. Si det??????≠0,
entonces
??????
?5
=
1
det??????
?????????????????? ??????

3. Raúl Mercado Martínez 1CV8
Sea ??????=e
−1 2 −3
2 1 0
4 −2 5
i. Calcule |??????|.

|??????|=e
−1 2 −3
2 1 0
4 −2 5
i= −1Z
1 0
−2 5
Z− 2Z
2 0
4 5
Z− 3Z
2 1
4 −2
Z
= −1k(1)(5)−(−2)(0)o− 2k(2)(5)−(4)(0)o− 3((2)(−2)−(4)(1)) = −1(5 − 0)− 2(10 − 0)− 3(−4 − 4)
= −1(5)− 2(10)− 3(8)= −5 − 20 + 24 = −25 + 24 = −1
|??????|=−1
Como det??????= −1 ≠ 0 se ve que ?????? es invertible.

Sea ??????=e
−1 2 −3
2 1 0
4 −2 5
i. Calcule ?????????????????? ??????.
Se tiene ??????
55=Z
1 0
−2 5
Z= 5,??????
56= −Z
2 0
4 5
Z= −10,??????
57=Z
2 1
4 −2
Z= −8,??????
65= −Z
2 −3
−2 5
Z= −4,??????
66=
Z
−1 −3
4 5
Z= 7,??????
67= −Z
−1 2
4 −2
Z= 6,??????
75=Z
2 −3
1 0
Z= 3,??????
76= −Z
−1 −3
2 0
Z= −6,??????
77=Z
−1 2
2 1
Z= −5.

Así ??????=e
5 −10 −8
−4 7 6
3 −6 −5
i y ?????????????????? ??????=??????
?
=e
5 −4 3
−10 7 −6
−8 6 −5
i.

?????????????????? ??????=e
5−43
−107−6
−86−5
i

Así ??????
?5
=
5
?5
e
5 −4 3
−10 7 −6
−8 6 −5
i=e
−54−3
10−76
8−65
i

Verificación
??????
?5
??????=
1
−1
e
5 −4 3
−10 7 −6
−8 6 −5
ie
−1 2 −3
2 1 0
4 −2 5
i=
1
−1
e
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
i=??????

Determinante de la matriz inversa de ??????
det??????
?5
=
1
det??????
=
1
−1

4. Raúl Mercado Martínez 1CV8
Sea ??????=e
1 2 3
2 5 3
1 0 8
i. Calcule |??????|.

|??????|=e
1 2 3
2 5 3
1 0 8
i= 1Z
5 3
0 8
Z− 2Z
2 3
1 8
Z+ 3Z
2 5
1 0
Z
= 1k(5)(8)−(0)(3)o− 2k(2)(8)−(1)(3)o+ 3k(2)(0)−(1)(5)o= 1(40 − 0)− 2(13 − 3)+ 3(0 − 5)
= 1(40)− 2(13)+ 3(−5)= 40 − 26 − 15 = 40 − 41 = −1
|??????|=−1
Como det??????= −1 ≠ 0 se ve que ?????? es invertible.

Sea ??????=e
1 2 3
2 5 3
1 0 8
i. Calcule ?????????????????? ??????.
Se tiene ??????
55=Z
5 3
0 8
Z= 40,??????
56= −Z
2 3
1 8
Z= −13,??????
57=Z
2 5
1 0
Z= −5,??????
65= −Z
2 3
0 8
Z= −16,??????
66=Z
1 3
1 8
Z=
5,??????
67= −Z
1 2
1 0
Z= 2,??????
75=Z
2 3
5 3
Z= −9,??????
76= −Z
1 3
2 3
Z= 3,??????
77=Z
1 2
2 5
Z= 1.

Así ??????=e
40 −13 −5
−16 5 2
−9 3 1
i y ?????????????????? ??????=??????
?
=e
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
i.

?????????????????? ??????=e
40−16−9
−135 3
−5 2 1
i

Así ??????
?5
=
5
?5
e
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
i=e
−40169
13−5−3
5−2−1
i

Verificación
??????
?5
??????=
1
−1
e
40 −16 −9
−13 5 3
−5 2 1
ie
1 2 3
2 5 3
1 0 8
i=
1
−1
e
−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
i=??????

Determinante de la matriz inversa de ??????
det??????
?5
=
1
det??????
=
1
−1

5. Raúl Mercado Martínez 1CV8

Sea ??????=e
1 6 4
2 4 −1
−1 2 5
i. Calcule |??????|.

|??????|=e
1 6 4
2 4 −1
−1 2 5
i= 1Z
4 −1
2 5
Z− 6Z
2 1
−1 5
Z+ 4Z
2 4
−1 2
Z
= 1k(4)(5)−(2)(−1)o− 6k(2)(5)−(−1)(−1)o+ 4k(2)(2)−(−1)(4)o
= 1(20 − (−2))− 6(10 − 1)+ 4k4 −(−4)o= 1(22)− 6(9)+ 4(8)= 22 − 54 + 32 = 54 − 54 = 0
|??????|= 0
Como det??????= 0 se ve que ?????? no es invertible.

6. Raúl Mercado Martínez 1CV8
3.5 Por medio de la regla de Cramer, determinar la intersección de los planos con ecuaciones:
??????)]
?????? + ?????? − ?????? = 7
4?????? − ?????? + 5?????? = 4
2?????? + 2?????? − 3?????? = 0
??????)]
?????? − 2?????? + 6?????? = 18
5?????? + 8?????? + 16 = 0
3?????? + 2?????? − 10?????? + 3 = 0

??????)]
?????? − 2?????? + 3?????? = 11
4?????? + ?????? − ?????? = 4
2?????? + 3?????? − ?????? = 10
??????)]
2?????? + 6?????? − 4?????? = 1
?????? + 3?????? − 2?????? = 4
2?????? + ?????? − 3?????? + 7 = 0
















??????)]
?????? + ?????? − ?????? = 7
4?????? − ?????? + 5?????? = 4
2?????? + 2?????? − 3?????? = 0
 e
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3
-
7
4
0
i
∆
?=-
1 1 −1
4 −1 5
2 2 −3
-
1 1
4 −1
2 2

= (1)(−1)(−3) + (1)(5)(2) + (−1)(4)(2) − (2)(−1)(−1) − (2)(5)(1) − (−3)(4)(1)
= 3 + 10 + (−8) − 2 − 10 − (−12) = 13 − 8 − 12 + 12 = 25 − 20 = 5

∆
?=-
7 1 −1
4 −1 5
0 2 −3
-
7 1
4 −1
0 2

= (7)(−1)(−3) + (1)(5)(0) + (−1)(4)(2) − (0)(−1)(−1) − (2)(5)(7) − (−3)(4)(1)
= 21 + 0 + (−8) − 0 − 70 − (−12) = 21 − 8 − 70 + 12 = 33 − 78 = −45

Regla de Cramer
Sea ?????? una matriz de ?????? ?????? ?????? y suponga que det??????≠0. Entonces la solución única al sistema
????????????=?????? está dada por
??????
5
=
??????
5
??????
,??????
6
=
??????
6
??????
,…,??????
?
=
??????
?
??????
,…,??????
?
=
??????
?
??????

Regla de Sarrus

Regla de Sarrus : El determinante de las tres columnas a la izquierda es la suma de los productos
a lo largo de las diagonales hacia abajo a la derecha menos la suma de los productos a lo largo de
las diagonales a la derecha.

7. Raúl Mercado Martínez 1CV8
∆
?=-
1 7 −1
4 4 5
2 0 −3
-
−1 7
4 4
2 0

= (1)(4)(−3)+(7)(5)(2)+(−1)(4)(0)−(2)(4)(−1)−(0)(5)(1)−(−3)(4)(7)
= −12 + 70 + 0 −(−8)− 0 −(−84)= −12 + 70 + 8 + 84 = −12 + 78 + 84 = −12 + 162 = 150

∆
?=-
1 1 7
4 −1 4
2 2 0
-
1 1
4 −1
2 2

=(1)(−1)(0)+(1)(4)(2)+(7)(4)(2)−(2)(−1)(7)−(2)(4)(1)−(0)(4)(1)= 0 + 8 + 56 − (−14) − 8 − 0
= 64 + 14 − 8 = 78 − 8 = 70

∆
?= 5,∆
?=−45,∆
?= 150,∆
?= 70

??????=
∆
?
∆
?
=
−45
5
= 9, ??????=
∆
?
∆
?
=
150
5
= 30, ??????=
∆
?
∆
?
=
70
5
= 14

??????=−9, ??????= 30, ??????= 14
Verificación
??????= −9, ??????= 30, ??????= 14

??????+??????−??????= 7
−9 + 30 − 14 = 7
−23 + 30 = 7
7= 7

4??????−??????+ 5??????= 4
4(−9)− 30 + 5(14)= 4
−36 − 30 + 70 = 4
4= 4

2??????+ 2??????− 3??????= 0
2(−9) + 2(30) − 3(14) = 0
−60 + 60 = 0
0= 0

8. Raúl Mercado Martínez 1CV8
??????)]
??????− 2??????+ 6??????= 18
5??????+ 8??????+ 16 = 0
3??????+ 2??????− 10??????+ 3 = 0
 e
−2 1 6
5 0 8
3 2 −10
-
18
−16
−3
i

∆
?=-
−2 1 6
5 0 8
3 2 −10
-
−2 1
5 0
3 2

= (−2)(0)(−10)+(1)(8)(3)+(6)(5)(2)−(3)(0)(6)−(2)(8)(−2)−(−10)(5)(1)
= 0 + 24 + 60 − 0 −(−32)−(−50)= 84 + 32 + 50 = 84 + 82 = 166

∆
?=-
18 1 6
−16 0 8
−3 2 −10
-
18 1
−16 0
−3 2

= (18)(0)(−10)+(1)(8)(−3)+(6)(−16)(2)−(−3)(0)(6)−(2)(8)(18)−(−10)(−16)(1)
= 0 +(−24)− 192 − 0 − 288 − 160 = −24 − 192 − 448 = −216 − 448 = −664

∆
?=-
−2 18 6
5 −16 8
3 −3 −10
-
−2 18
5 −16
3 −3

= (−2)(−16)(−10)+(18)(8)(3)+(6)(5)(−3)−(3)(−16)(6)−(−3)(8)(−2)−(−10)(5)(18)
= −320 + 432 +(−90)−(−288)− 48 −(−900)= −368 + 432 − 90 + 288 + 900 = 1162

∆
?=-
−2 1 18
5 0 −16
3 2 −3
-
−2 1
5 0
3 2

= (−2)(0)(−3)+(1)(−16)(3)+(18)(5)(2)−(3)(0)(18)−(2)(−16)(−2)−(−3)(5)(1)
= 0 +(−48)+ 180 − 0 − 64 −(−15)= −48 + 180 − 64 + 15 = −112 + 195 = 83

∆
?= 166,∆
?=−664,∆
?= 1162,∆
?= 83

??????=
∆
?
∆
?
=
−664
166
= −4, ??????=
∆
?
∆
?
=
1162
166
= 7, ??????=
∆
?
∆
?
=
83
166
= 0.5

??????=−4, ??????= 7, ??????= 0.5

9. Raúl Mercado Martínez 1CV8
Verificación
??????= −4, ??????= 7, ??????= 0.5

??????− 2??????+ 6??????= 18
7 − 2(−4)+ 6(0.5)= 18
7 + 8 + 3 = 18
15 + 3 = 18
18= 18

5??????+ 8??????+ 16 = 0
5(−4)+ 8(0.5)+ 16 = 0
−20 + 4 + 16 = 0
−20 + 20 = 0
0= 0


3??????+ 2??????− 10??????+ 3 = 0
3(−4)+ 2(7)− 10(0.5)+ 3 = 0
−12 + 14 − 5 + 3 = 0
−17 + 17 = 0
0= 0

10. Raúl Mercado Martínez 1CV8
??????)]
??????− 2??????+ 3??????= 11
4??????+??????−??????= 4
2??????+ 3??????−??????= 10
 e
1 −2 3
4 1 −1
2 −1 3
-
11
4
10
i

∆
?=-
1 −2 3
4 1 −1
2 −1 3
-
1 −2
4 1
2 −1

= (1)(1)(3)+(−2)(−1)(2)+(3)(4)(−1)−(2)(1)(3)−(−1)(−1)(1)−(3)(4)(−2)
= 3 + 4 +(−12)− 6 − 1 −(−24)= 7 − 12 − 7 + 24 = 31 − 19 = 12

∆
?=-
11 −2 3
4 1 −1
10 −1 3
-
11 −2
4 1
10 −1

= (11)(1)(3)+(−2)(−1)(10)+(3)(4)(−1)−(10)(1)(3)−(−1)(−1)(11)−(3)(4)(−2)
= 33 + 20 +(−12)− 30 − 11 −(−24)= 53 − 12 − 41 + 24 = 77 − 53 = 24

∆
?=-
1 11 3
4 4 −1
2 10 3
-
1 11
4 4
2 10

= (1)(4)(3)+(11)(−1)(2)+(3)(4)(10)−(2)(4)(3)−(10)(−1)(1)−(3)(4)(11)
= 12 +(−22)+ 120 − 24 −(−10)− 132 = 132 − 22 − 156 + 10 = 142 − 178 = −36

∆
?=-
1 −2 11
4 1 4
2 −1 10
-
1 −2
4 1
2 −1

= (1)(1)(10)+(−2)(4)(2)+(11)(4)(−1)−(2)(1)(11)−(−1)(4)(1)−(10)(4)(−2)
= 10 +(−16)+(−44)− 22 −(−4)−(−80)= 10 − 16 − 44 − 22 + 4 + 80 = 94 − 82 = 12

∆
?= 12,∆
?= 24,∆
?=−36,∆
?= 12

??????=
∆
?
∆
?
=
24
12
= 2, ??????=
∆
?
∆
?
=
−36
12
= −3, ??????=
∆
?
∆
?
=
12
12
= 1

??????= 2, ??????=−3, ??????= 1

11. Raúl Mercado Martínez 1CV8
Verificación
??????= 2, ??????= −3, ??????= 1

??????− 2??????+ 3??????= 11
2 − 2(−3)+ 3(1)= 11
2 + 6 + 3 = 11
8 + 3 = 11
11= 11

4??????+??????−??????= 4
4(2)+(−3)− 1 = 4
8 − 3 − 1 = 4
8 − 4 = 4
4= 4


2??????+ 3??????−??????= 10
2(2)+ 3(1)−(−3)= 10
4 + 3 + 3 = 10
4 + 6 = 10
10= 10

12. Raúl Mercado Martínez 1CV8
??????)]
2??????+ 6??????− 4??????= 1
??????+ 3??????− 2??????= 4
2??????+??????− 3??????+ 7 = 0
 e
2 6 −4
1 3 −2
2 −2 0
-
1
4
−7
i

∆
?=-
2 6 −4
1 3 −2
2 −2 0
-
2 6
1 3
2 −2

= (2)(3)(0)+(6)(−2)(2)+(−4)(1)(−2)−(2)(3)(−4)−(−2)(−2)(2)−(0)(1)(6)
= 0 +(−24)+ 8 −(24)− 8 − 0 = −24 + 8 + 24 − 8 = −32 + 32 = 0

∆
?= 0
Ya que el determinante de la matriz es cero, entonces el sistema no puede ser resuelta por este método (el
sistema no tiene solución o tiene muchas soluciones).