Ejercicios Distribución normal

ejercicios para comienzo y consolidación de la distribución normal

1. Halla, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades:
 20, a) zp
 271, b) zp
 031,520, c)  zp



Solución:
  5793,02,02,0 a)  zpzp



    1020,08980,0127,1127,1 b)  zpzp



    52,003,103,152,0 c) zpzpzp
       52,0103,152,003,1 zpzpzpzp
 5470,06985,018485,0 






Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución N(950, 200).
Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:

a) Superen los 1200 euros.
b) Estén entre 700 y 1000 euros.


Solución:
   





 


 25,1
200
9501200
200
950
1200 a) zp
x
pxp
  1056,08944,0125,11  zp
  





 





200
9501000
200
950
200
950700
1000700 b)
x
pxp
    125,025,01 zpzpzp

2.      1125,0125,0 zpzpzpzp  44,08413,015987,0 




En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:
 99690, a) kzp
 9850, b)  kzkp



Solución:
 74,29969,074,2 a)  kφ
     φ 985,05,025,02 b)  kkzpkzkp

  43,29925,0
2
985,0
5,0  kkk φφ


El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto efectúen cierta
prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen
normalmente con media  485 y desviación estándar  30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes
pasará la prueba?

Solución:


Calculando el valor de Z obtenemos:



X
Z
= 5.0
30
485500




Buscamos el valor correspondiente Z en la tabla de distribución normal. Z0.5 = 0.69146 = 69.146%
(probabilidad de que la calificación sea menor a 500 P (X<500)).
Dado que el porcentaje pedido es )500(XP la solución es 1-0.69146 =0.3085

30.85% de los participantes pasarán la prueba.



Sea XN(200, 20). Determinar las siguientes probabilidades:

a) P(185<X<210)
b) P(215<X<250)
c) P(X>240)
d) P(X>178)

Solución:

3. a)  
185 200 200 210 200
185 210
20 20 20
Z
p x p
  
     


   0.75 0,5 0,5 0.75p z p z p z                0,5 0.75 0, 5 1 0.75p z p z p z p z         
 0,6914 1 0.7734 0, 4648   


b)  
215 200 200 250 200
215 250
20 20 20
Z
p x p
  
     

    0.75 2,5 2,5 0.75p z p z p z       

0,9938 0.7734 0, 2204  


c)   
200 240 200
240 2
20 20
x
p x p p z

     

 1 2 1 0,9772 0,0228pz     


d)    
200 178 200
178 1.1
20 20
x
p x p p z

      

  1.1 0,8643pz




Los pesos de soldados presentan una distribución normal de media 65 kg y desviación típica 8 kg.
Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese:
a) Más de 61 kg.
b) Entre 63 y 69 kg.
c) Menos de 70 kg.
d) Más de 75 kg

Solución:
a)    
65 61 65
61 0.5
88
x
p x p p z

      

  0,5 0,6915pz


b)  
63 65 65 69 65
63 69
8 8 8
x
p x p
  
     

    0.25 0,5 0,5 0,25p z p z p z         

      0,5 0,25 0,5 1 0,25p z p z p z p z         

0,6915 0.4013 0, 2902  

4. c)    
65 70 65
70 0.63 0,7357
88
x
p x p p z

     



d)    
65 75 65
75 1.25
88
x
p x p p z

     

   1 1,25 0,1056pz   



Sea una v.a. X distribuida según una normal con media μ=50 y desviación típica =8. Obtener:
a) Probabilidad de que X tome valores entre 38 y 58.
b) Probabilidad de que X tome un valor mayor que 66.

Solución:

a)  
38 50 50 58 50
38 58
888
x
p x p
  
     

   2,5 1 1 2,5p z p z p z         
    1 2,5 1 1 2,5p z p z p z p z         
0,8413 0.0668 0, 7745  


b)   
50 66 50
66 2
88
x
p x p p z

     

  1 2 0,0228pz   


Supongamos que la demanda semanal de un artículo sigue una distribución normal de media μ =100 y
desviación típica =20. ¿Qué existencias deben tener al principio de la semana para poder satisfacer la
demanda con una probabilidad de 0’95?
Solución:

Lo primero que haremos en este problema es buscar que valor de Z le corresponde a 0,95
0,95 Z=1.64   
100 100
1,64
20 20
xk
p x k p p z

     



Igualaremos

5. 100
1,64 100 32.8 132,8 133
20
k
kk

     



El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es
de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes
que pesan:
a) Entre 48 y 71 kg.
b) Más de 91 kg. Sol:

Solución:

a)  
48 68,5 68,5 71 68,5
48 71
10 10 10
x
p x p
  
     

    2,05 0,25 0,25 2,05p z p z p z         
      0,25 2,05 0,25 1 2,05p z p z p z p z         
0,6179 0.0228 0, 5951  

El 59,51% estarán entre esos dos pesos. 59,51% de 500 = 298 estudiantes

b)    
68,5 91 68,5
91 2,25
10 10
x
p x p p z

     

   1 2,25 0,0122pz   


El 1,22% superarán los 91 kg. 1,22% de 500 =7 estudiantes



La media del diámetro interior del conjunto de lavadoras producidas por una máquina es 1,275 cm. y la
desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una
tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran
defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina,
suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.

Solución:
 
1,26 1,275 1,275 1,29 1,275
1,26 1,29
0,0125 0,0125 0,0125
x
p x p
  
     


   1,2 1,2 1,2 1,2p z p z p z         
      1,2 1,2 1,2 1 1,2p z p z p z p z         
0,8849 0.1151 0, 7698  

El 76.98 % está dentro del intervalo que se consideran correctas, así que el 23,02% restantes es el
defectuoso