ejercicios propuestos. Grafos y Digrafos

Estructura Discreta 2

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERRECTORADO ACADEMICO FACULTA DE INGENIERIA Luis Fernández 25.299.338 E jercicios Grafos y dígrafos

2. Ejercicio 1

3. A) Matriz de adyacencia: Ma =G v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v1 1 1 1 1 1 v2 1 1 1 1 1 v3 1 1 1 1 1 1 v4 1 1 1 1 v5 1 1 1 1 1 v6 1 1 1 1 1 v7 1 1 1 1 1 v8 1 1 1 1 1

4. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17 a18 a19 a20 v1 1 1 1 1 1 v2 1 1 1 1 1 v3 1 1 1 1 1 1 v4 1 1 1 1 v5 1 1 1 1 1 1 v6 1 1 1 1 v7 1 1 1 1 1 v8 1 1 1 1 B ) Matriz de incidencia:

5. C) Es conexo? Justifique su respuesta. R= Si es conexo ya que todos sus vértices están conectados entre si. D) Es simple? Justifique su respuesta. R= Si es simple porque el grafo no tiene lazos en ninguno de sus vértices y para cada par de vértices distintos solo existe una arista. E) Es regular? Justifique su respuesta. R= No, porque todos sus vértices tienen el mismo grado. F) Es completo? Justifique su respuesta. R= No, porque no cumple con la definición de una arista por cada par de vértices. G) Una cadena simple de grado 6. C= [ V1,a1,V2,a10,V6,a20,V7,a19,V5,a13,V3,a3,V2 ] H) Un ciclo no simple de grado 5. C= [ V1,a2,V3,a12,V8,a15,V4,a4,V1,a2,V3 ]

6. I) Árbol generador aplicando el algoritmo constructor. Seleccionar Vértice V1, H1 = {V1} Arista 1 y H2= {V1,V2} A rista 10 y H3= {V1,V2,V6 } Arista 20 y H4= {V1,V2,V6,V7}

7. Arista 19 y H5= {V1,V2,V6,V7,V5} Arista 13 y H6= {V1,V2,V6,V7,V5,V3} Arista 12 y H7= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8}

8. Arista 15 y H8= {V1,V2,V6,V7,V5,V3,V8,V4}

9. J) Subgrafo parcial.

10. K) Demostrar si es euleriano aplicando el algoritmo de Fleury. Seleccionamos a1 Seleccionamos a2 Seleccionamos a3 Seleccionamos a4

11. Seleccionamos a11 Seleccionamos a12 Seleccionamos a5 Seleccionamos a6

12. Seleccionamos a9 Seleccionamos a10 Seleccionamos a7 Seleccionamos a13

13. Seleccionamos a14 Seleccionamos a15 Seleccionamos a18 Seleccionamos a20

14. Seleccionamos a16   El grafo no es euleriano según el algoritmo de Fleury. Se debe tomar en cuenta que un grafo es euleriano sólo si no tiene vértices de grado impar y este no lo es ya que varios de sus vértices son de grado impar.

15. L) Demostrar si es hamiltoniano. R= Existe un camino hamiltoniano ya que se puede pasar por cada vértice una vez sin repetir ninguno. Cadena hamiltoniano V1, V3, V2, V6, V7, V5, V8, V4 Existe también un ciclo hamiltoniano. Ciclo hamiltoniano V1, V3, V2, V5, V6, V7, V8, V4, V1 Por lo tanto el grafo dado si es hamiltoniano.

16. Ejercicio 2

17. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1 1 1 1 v2 1 1 1 v3 1 1 v4 1 1 v5 1 1 1 v6 1 McD= A) Encontrar matriz de conexión:

18. B) Es simple?. Justifique su respuesta   R= Si, porque no tiene lazos ni arcos paralelos.   C) Encontrar una cadena no simple no elemental de grado 5   T1= [ V4,a12,V6,a14,V5,a10,V2,a4,V6,a14,V5 ]   D) Encontrar un ciclo simple   C1= [ V1,a6,V5,a13,V6,a14,V5,a11,V4,a9,V1 ]

19. E) Demostrar si es fuertemente conexo utilizando la matriz de accesibilidad. McD= v1 v2 v3 v4 v5 v6 v1 1 1 1 v3 1 1 1 v3 1 1 v4 1 1 v5 1 1 1 v6 1

20. M2= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M3= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M4= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M5=

21. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 M6= 1 1 1 1 1 1 Mi= Finalmente Acc (D)= bin =[I7 + M+M2+M3+M4+M5+M6] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 31 40 33 65 62 79 22 33 24 47 47 58 20 26 22 39 43 49 16 29 21 42 38 48 23 34 25 49 53 60 11 14 12 23 23 30 = Como la matriz de accesibilidad no tiene componentes nulos se puede afirmar que el dígrafo es fuertemente conexo.

22. F) Encontrar la distancia de v2 a los demás vértices utilizando el algoritmo de Dijkstra =[8,4](3) =[7,3](2) =[6,6](4) =[3,2](1) =[0,-](0) =[4,3](2) =[4,2](1)

23. Ponderación de las aristas Aristas a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 Ponderación 2 3 4 3 2 3 4 1 4 3 2 2 4 3 D v2 a v1 = 8 D v2 a v3 = 3 D v2 a v4 = 4 D v2 a v5 = 6 D v2 a v6 = 3