Ejercicios prueba de hipótesis

1. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE
TORREÓN
2012
PRUEBA DE
HIPÓTESIS
UNIDAD 3
*-*
A N G É L I C A C A S A S T O R R E S

2. PRUEBA DE HIPÓTESIS



























Contrastar dos hipótesis estadísticas. Toma de decisión acerca de las hipótesis, rechazar
o no una hipótesis en favor de la otra.
Una hipótesis estadística se denota por “H” y son dos:
Ho: hipótesis nula
Es una afirmación que no se rechaza
a menos que los datos muestrales
proporcionen evidencia convincente
de que es falsa.
H1: hipótesis alternativa
Es una afirmación que se acepta si
los datos muestrales proporcionan
evidencia suficiente de que la
hipótesis nula es falsa.

3. EJERCICIOS
1.-Las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la
población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En
un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la
creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes
puntuaciones:

11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8,
23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15.

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es
efectivo?
SOLUCIÓN
1º Ho = 11,5

2º H1 > 11,5
3º El estadístico de contraste en este caso es: t=


4º La media muestral = 11+9+12+17+8+11+9+4+5+9+14+9+17+24+19+10+17+17+8
+23+8+ 6+14+16+6+7+15+20+14+15= 374/30= 12.47

La desviación típica de la muestra es = 5.22, sustituyendo
en el estadístico estos valores se obtiene:

t= = t= = t= = t= 1.00

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la t de Student, con 29
grados de libertad, el valor que deja por debajo de sí una probabilidad de 0.95, que
resulta ser 1.699

6º El valor del estadístico es menor que el valor crítico, por consiguiente se acepta la
hipótesis nula.

7º La interpretación sería que no hay evidencia de que el programa sea efectivo.

4. 2- En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542
¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general
nacen más niños que niñas?

SOLUCIÓN:

1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo
mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.

Por consiguiente: Ho P = 0,5

2º H1 P > 0,5

3º El estadístico de contraste es:

4º Como la proporción muestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor
del estadístico:

= = = 2.66

5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la
variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282.

6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se
rechaza la hipótesis nula.

7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.

3- En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación
de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y
el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad,
obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza
del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario
debemos rechazarla.

SOLUCIÓN:
1º Ho = 0

2º H1 0

5. 3º El estadístico de contraste es: t=



4º Sustituyendo tenemos:

t= = t= = t= = t= 1.98

5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60
grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que
deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación
será el intervalo (-2 ,, 2).

6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se
acepta la hipótesis nula.

7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo
empleado no influye en la calificación.


4- Las puntuaciones en un test de razonamiento abstracto siguen una
distribución Normal de media 35 y varianza 60. Para evaluar un programa de
mejora de las capacidades intelectuales, a 101 individuos que están realizando
este programa se les pasa el test, obteniéndose una media de 50 puntos y una
varianza de 80 ¿Puede asegurarse, a un nivel de confianza del 90%, que el
programa incrementa las diferencias individuales en esta variable?

SOLUCIÓN:

1º H0 s2 60

2º H1 s2 60

3º El estadístico de contraste es:


4º Sustituyendo en el estadístico obtenemos:
= = 134.7

5º Como el contraste es unilateral buscamos en las tablas de la Ji-cuadrado, con 100
grados de libertad, el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de
0,9, este valor es 118,5.

6. 6º El valor del estadístico es mayor que el valor crítico, por consiguiente se rechaza la
hipótesis nula.



7º En efecto, la varianza es significativamente mayor lo que indica que ha aumentado la
dispersión de la puntuaciones lo que indica que se han incrementado las diferencias
entre los individuos.

5- Un criador de de pollos sabe por experiencia que el peso de los pollos de
cinco meses de 4,35 libras. Los pesos siguen una distribución normal. Para
tratar de aumentar el peso de dichas aves se le agrega un aditivo al alimento.
En una muestra de pollos de cinco meses se obtuvieron los siguientes pesos
en libras
4,41 4,37 4,33 4,35 4,30 4,39 4,36 4,38 4,40 4,39

En el nivel 0,01 el aditivo ha aumentado el peso medio de los pollos? Estime el
valor de p.
n=10
u=4,35
Xmed=43,68/10=4,368


S=

Peso Libras x x- (x-
4.41 0.042 0.001762 19.4481
4.37 0.002 4E-06 19.0969
4.33 -0.038 0.001444 18.7489
4.35 -0.018 0.000324 18.9225
4.3 -0.068 0.004624 18.49
4.39 0.022 0.000484 19.2721
4.36 -0.008 6.4E-05 19.0096
4.38 0.012 0.000144 19.1844
4.4 0.032 0.001024 19.36
4.39 0.022 0.000484 19.2721
43.68 0.01036 190.8046



Planteamiento de hipótesis

7. a) Prueba de una cola
b) Nivel de significancia 0.01
c) Estadistico de Prueba

t= Area= 0.4535

d) Plantear la regla de decisión
alfa= 0,01 y gl= n-1 = 10- 1= 9

Si t > 2.821 Se rechaza y si acepta

Tomar la decisión:

Como t(1.68) > 2.821 se Acepta la hipótesis nula y se rechaza y se concluye el aditivo no
aumenta el peso medio de los pollos en un 4.35

Valor p = 1.68 es 0.4535
P= 0.50 – 0.4535 = 0.046


6- Una empresa que se dedica a hacer encuestas se queja de que un agente
realiza en promedio 53 encuestas por semana. Se ha introducido una forma
más moderna de realizar las encuestas y la empresa quiere evaluar su
efectividad. Los números de encuestas realizadas en una semana por una
muestra aleatoria de agentes son:

53 57 50 55 58 54 60 52 59 62 60 60 51 59 56

En el nivel de significancia 0.05 puede concluirse que la cantidad media de
entrevistas realizadas por los agentes es superior a 53 por semana? Evalue el
valor p.
u= 53
n= 15
Xmed=56.4

S=

# Encuestas x- (x-
53 -3.4 11.56 2809
57 0.6 0.36 3249
50 -6.4 40.96 2500
55 -1.4 1.96 3025
58 1.6 2.56 3364
54 -2.4 5.76 2916
60 -3.6 12.96 3600
52 -4.4 19.36 2704
59 2.6 6.76 3481

8. 62 5.6 31.36 3844
60 3.6 12.96 3600
60 3.6 12.96 3600
51 -5.4 29.16 2601
59 2.6 6.76 3481
56 -0.4 0.16 3136
846 195.6 47910



Planteamiento de hipótesis





a) Prueba de una cola
b) Nivel de significancia 0.05
c) Estadístico de Prueba

t= Area= 0.4989

d) Plantear la regla de decisión
alfa= 0.05 y gl= n-1 = 15- 1= 14

Si t > 1.761 Se rechaza y se acepta

Tomar la decisión:

Como t(3.53) > 1.761 se rechaza la hipótesis nula y se rechaza y se concluye que la cantidad
media de entrevistas realizadas por los agentes es mayor a 53 por semana

Valor p = 1.761 es 0.4989
P= 0.50 – 0.4989 = 0.0011


7- Suponga una variable aleatoria X para designar el peso de un pasajero de
avión, que se interesa en conocer el peso promedio de todos los pasajeros.
Como hay limitacones de tiempo y dinero para pesarlos a todos, se toma una
muestra de 36 pasajeros de la cual se obtiene una media muestral x= 160 lbs.
Suponga además que la distribución de los pasajeros tenga una distribución
normal con desviación estándar de 30, con un nivel de significancia de 0.05. Se
puede concluir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170
lbs?
Datos
n=36

9. Rechazo
No Rechazo



Rechazo
Esto quiere decir que el peso promedio de todos los pasajeros es menor que 170 lbs.


8- Una compañía de transportes requiere comprar un gran lote de buses para
el transporte urbano con el fin de reemplazar su parque automotor y para tal fin
desea comprobar la afirmación hecha por el proveedor de la marca B, en el
sentido de que la marca A es menos ahorradora de combustible. Para tal fin la
empresa toma una muestra aleatoria de 35 vehiculos marca A y encuentra que
la misma tiene un promedio en el rendimiento de 18 km/galon con una
desviación estándar de 8 km/galon, mientras que una muestra de 32 vehiculos
marca B presenta un promedio de 22 km/galon con desviación estándar de 3
km/galon. ¿Qué decisión debe tomar el gerente de la compañía con un nivel de
significación del 5%?

SOLUCIÓN:

Hipotesis nula e hipótesis alternativa :


Nivel de Significacion :

Si el valor de Z calculado es menor que -1.64 se rechaza la hipótesis nula de que el rendimiento
en ambas marcas es igual

Calculo del estadístico sobre el cual se basara la decisión:
:


Z = = -2.75

Como el valor de X calculando (-2.75) se encuentra en la zona de rechazo, entonces, con un
nivel de significación del 5%, debemos rechazar la hipótesis nula de que el ahorro en ambas
marcas es igual y en estas condiciones debemos aceptar la hipótesis alternativa de que la
marca A es menos ahorradora de combustible que la marca B