Ejercicios resueltos

1. EJERCICIOS RESUELTOS
Sonia Almanza.
2C

2. PROBLEMAS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad
de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso
definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso
ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de
todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la
variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números
reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada
por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad
de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

3. Distribución de Bernoulli
1. Un jugador de basquetbol esta a punto de tirar hacia la parte
superior del tablero. La probabilidad de que anote el tiro es de 0.55
a) Sea X=1 anota el tiros si no lo hace X=0 determine la media y la
varianza de X

µ=1(p)+0(p)
µ=p
µ=1(0.55)+0(1-0.55)
µ=0.55+0(0.45)
µ=0.55

σ^2 x=0.55(1-0.55)
σ^2 x=0.55(0.45)
σ^2 x=0.2475

b) Si anota el tiro su equipo obtiene dos puntos si lo falla .Su equipo no
recibe puntos. Sea Y el numero de puntos anotados ¿Tiene la
distancia de Bernoulli ?si es así encuentre la probabilidad de éxito.
Explique por qué.

No tiene un distribución de Bernoulli por que los eventos posibles
(éxito y fracaso) solo pueden tener valores cero y uno
TIRO SE 3 PUNTOS
c) Determine la media y la varianza de Y.

µ=3(0)+0(1-p)
µ=3(0.55)+0(1-0.55)
µ=1.65+0(0.45)
µ=1.65
σ^2 x =(3-1.65 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45

4. σ^2 x =(1.35 )^20.55+(0-1.65)^2 0.45
σ^2 x =1.002375+1.225125
σ^2 x =2.2275
2. en un restaurante de comida rápida 25% de las órdenes para beber
es una bebida pequeña 35% una mediana y 40% una grande. Sea
X=1 se escoge aleatoriamente una orden de bebida pequeña y X=0
en cualquier otro caso sea X=1si la orden es una bebida mediana y
Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida
pequeña o mediana Z=0 para cualquier otro caso.

a) sea pxla probabilidad de éxito de X. Determine px
P=(X=1) es igual a .25 por lo tanto X Bernoulli (.25)

b) sea pyla probabilidad de éxito de Y. Determinepy
P= (y=1) es igual a .35 por lo tanto Y Bernoulli (.35)

c) sea pzla probabilidad de éxito de Z. Determine pz
P= (z=1) es igual a .60 por lo tanto Z Bernoulli (.60)

d) ¿Es posible que X y Y sean iguales a 1?
Si

e) ¿Es pz igual a PY y PY?

Si


3. Se lanza una moneda de 1y 5 c. sean X=1 si sale cara en la moneda
de 1c y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale cara en la
moneda de 5c y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale cara en
ambas monedas y Z =0 en cualquier otro caso.
a) sea px la probabilidad de éxito de X. Determine px.
Ny=1 salga cara en la moneda de 1.
P(X=1)=5 por lo tanto X Bernoulli (0)
Px= (0) (1-.5) + (1) (.5)=p5

5. b) Sea py la probabilidad de éxito de X. Determine py
Y=1 cuando salga la moenda de 5 p(x=1)=5 por lo tanto x
Bernoulli
Py= {0} (1-.5) +(1) (.5) =p5

c) Sea pz la probabilidad de éxito de X. Determine pz.
{2=1} cuando cara en las dos monedas.
P(z=2)=.5 por lo tanto X Bernoulli. Pz (2)(1-.5) + (1)(.5)= 2 = .5


d) ¿Son X y Y independientes?
Si son independientes X y Y.


4. Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. sea z=XY.

a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.
Puestoque los valores de XyY son 0 y 1, los valores posibles del
producto Z=xy son también 0y1 por tanto Z=0 y ya sea X,Y o
ambas, también son iguales a 0 por lo que nuevamente Z=XY.

b) Demuestre si XyY son independientes, entonces Pz= PxPy
Pz=P(z=1)=P(xy=1)=P(x=1yY=1)=P(x=1)=PxPy



DISTRIBUCION BINOMIAL

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito,
hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han
leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

6. 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan
leido la novela 2 personas?
B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?



2
Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas
de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según
las tablas actuales, la probabilidad de que una persona
en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la
probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
1. Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

7. 3.Exactamente dos personas.

3
Un laboratorio afirma que una droga causa de
efectos secundarios en una pro porción de 3 de cada 100
pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro
laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la
droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
1. Ningún paciente tenga efectos secundarios.
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

2.Al menos dos tengan efectos secundarios.

8. 3.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera
laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100
pacientes al azar?

4
En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que
el 5% de los conductores controlados dan positivo en la
prueba y que el 10% de los conductores controlados no
llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se
ha observado que las dos infracciones son
independientes.
Un guardia de tráfico para cinco conductores al
azar. Si tenemos en cuenta que el número de
conductores es suficientemente importante como para
estimar que la proporción de infractores no varía al hacer
la selección.
1. Determinar la probabilidad a de que exactamente
tres conductores hayan cometido alguna de las dos
infracciones.

9. 2. Determine la probabilidad de que al menos uno de
los conductores controlados haya cometido alguna de las
dos infracciones.

5
La probabilidad de que un hombre acierte en el
blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad
de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es
la probabilidad de que acierte por lo menos en una
ocasión?
B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

10. DISTRIBUCION DE POISSON


1.- Sea X ~ Poisson(4). Determine
a) P(X=1)
b) P(X=0)
c) P(X<2)
d) P(X>1)
e) μX
f) σx

a) P(X=1)= e
-4
*
P(X=1)= 0.018315638*

P(X=1)= 0.018315638* 4

P(X=1)= 0.073262555





b) P(X=0) = e
-4
*
P(X=0)= 0.018315638*

P(X=0)= 0.018315638* 1

P(X=0)= 0.018315638


c) P(X<2)
P(X=1)= e
-4
* P(X=0) = e
-4
*
P(X=1) = 0.018315638* P(X=0)= 0.018315638*

P(X=1) = 0.018315638* 4 P(X=0)= 0.018315638* 1

11. P(X=1) = 0.073262555 P(X=0)= 0.018315638


P(X<2) =P(X=1)+P(X=0)
P(X<2) =0.07326255+0.018315638
P(X<2) =0.091578193





d) P(X>1)
P(X=2)= e
-4
* P(X=3)= e
-4
*
P(X=2)= 0.018315638* P(X=3)= 0.018315638*

P(X=2)= 0.018315638* 8 P(X=3)= 0.018315638* 10.66666667

P(X=2)= 0.146525111 P(X=3)= 0.195366814


P(X=4)= e
-4
* P(X>1)= P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
P(X=4)= 0.018315638* P(X>1)= 0.146525111+0.195366814+
0.195366814
P(X=4)= 0.018315638* 10.66666667

P(X=4)= 0.195366814 P(X>1)=0.537258739



e)μX
μX= 4

f) σx
σx=
σx= 2


2.- suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos producidos en cierto
proceso tiene pequeños agujeros que los dejan inservibles. X representa el

12. numero de contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que tienen
este defecto. Determine:

a) P(X=3)
b) P(X≤2)
c) P(1≤X<4)
d)μX
e) σx

a) P(X=3)= e
-3
*
P(X=3)= 0.049787068*

P(X=3)= 0.049787068* 4.5

P(X=3)= 0.0224041807


b) P(X≤2)
P(X=0)= e
-3
* P(X=1)= e
-3
*
P(X=0)= 0.049787068* P(X=1)= 0.049787068*

P(X=0)= 0.049787068* 1 P(X=1)= 0.049787068* 3

P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205


P(X=2)= e
-3
* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 0.049787068* P(X≤2)= 0.049787068+0.149361205+
0.149361205
P(X=2)= 0.049787068* 4.5

P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008


c)P(X<2)
P(X=1)= e
-3
* P(X=2)= e
-3
*
P(X=1)= 0.049787068* P(X=2)= 0.049787068*

P(X=1)= 0.049787068* 3 P(X=2)= 0.049787068* 4.5

13. P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807


P(X=3)= e
-3
* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
P(X=3)= 0.049787068* P(X<2)= 0.149361205+0.224041807+
0.224041807
P(X=3)= 0.049787068* 4.5

P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819


d)μX
μX= 3

e) σx
σx=
σx= 1.732030808


3.- el numero de mensajes recibidos por el tablero computado de anuncios
es una variable aleatoria de Poisson con una razón media de ocho
mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una
hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en
11/2 horas?

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco mensajes en una
hora?
P(X=3)= e
-8
*
P(X=3)= 3.354626279x10
-4
*

P(X=3)= 3.354626279x10
-4
* 273.0666667

P(X=3)= 0.09160366


b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes en 1.5 horas?

14. P(X=10)= e
-12
*
P(X=10)= 6.144212353x10
-6
*

P(X=10)= 6.144212353x10
-6
* 17062.76571

P(X=10)= 0.104837255


c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres mensajes en
11/2 horas?
P(X=0)= e
-12
* P(X=1)= e
-12
*
P(X=0)= 6.144212353x10
-6
* P(X=1)= 6.144212353x10
-6
*

P(X=0)= 6.144212353x10
-6
* 1 P(X=1)= 6.144212353x10
-6
* 12


P(X=0)= 6.144212353x10
-6
P(X=1)= 7.373054824x10
-5

P(X=2)= e
-12
* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 6.144212353x10
-6
* P(X<3)= 6.144212353x10
-6
+
7.373054824x10
-5
+

P(X=2)= 6.144212353x10
-6
* 72 4.423832894x10
-4
=

P(X=2)= 4.423832894x10
-4
P(X<3)= 5.2225805x10
-4


4.- una variable aleatoria X tiene una distribucion binomial y una variable Y
tiene una distribucion de Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a
3. ¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene la varianza mas
grande? Elija una de las siguientes respuestas:

i) Sí, X tiene la varianza mas grande.
ii) Sí, Y tiene la varianza mas grande
iii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,n, para X.
iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito, p, para X.
v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.

Fórmula para determinar la varianza en una distribución binomial:
σ
2
x= (1-p)
σ
2
x= (1-3)
σ
2
x= -2

15. Formula para determinar la varianza en una distribución Poisson:
σ
2
y= λ
σ
2
y= 3

Respuesta:
ii) Sí, Y tiene la varianza más grande



5.- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se agita
por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3 mL. Sea X el
numero de partículas que son retiradas. Determine.

a) P(X=5)
b) P(X≤2)
c)μX
d) σx

a) P(X=5)= e
-6
*
P(X=5)= 2.478752177x10
-3
*

P(X=5)= 2.478752177x10
-3
* 64.8

P(X=5)= 0.160623141


b) P(X≤2)
P(X=0)= e
-6
* P(X=1)= e
-6
*
P(X=0)= 2.478752177x10
-3
* P(X=1)= 2.478752177x10
-3
*

P(X=0)= 2.478752177x10
-3
* 1 P(X=1)= 2.478752177x10
-3
* 6

P(X=0)= 2.478752177x10
-3
P(X=1)= 0.014872513


P(X=2)= e
-6
* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
P(X=2)= 2.478752177x10
-3
* P(X≤2)= 2.478752177+0.014872513+
0.044617539
P(X=2)= 2.478752177x10
-3
* 18

16. P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804


c) μX
μX= 6

d) σx
σx=
σx= 2.4494897
DISTRIBUCION NORMAL
1. Determine el área bajo la curva normal
a) Ala derecha de z= -0.85.
b) Entre z = 0.40 y z = 1.30.
c) Entre z =0.30 y z = 0.90.
d) Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas al final de los
problemas
A – 1 – 0.1977 = 0.8023
B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404

2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen
normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90.
a) ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
b) ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
c) Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se
encuentra?
d) ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
µ = 480 σ = 90

17. A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
Z = (520 – 480)/90 = 0.44
El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

18. 3- La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye normalmente
con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación
tenga resistencia mayor a 12 GPa?
b) Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
c) Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
RESULTADOS
µ = 10 σ = 1.4
A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 – 0.9236 =
0.0764
B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

4- La penicilina es producida por el hongo penicillium, que crece en un
caldo, cuyo contenido de azúcar debe controlarse con cuidado. La
concentración optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración
excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso debe suspenderse todo
el día.

a) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo se
distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y desviación
estándar 0.6 mg/mL en que proporción de días se suspenderá
el proceso?
b) El distribuidor ofrece vender caldo con una concentración de
azúcar que se distribuye normalmente con medida de 5.2
mg/mL y desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá
efectos con menos días de producción perdida?
RESULTADOS
A) (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 = 0.0336

19. B) Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de los días

20. 5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se
distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de
0.03 onzas.
a) ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
b) La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración. ¿En que
valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12
onzas o mas?
c) Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que valor debe
fijarse la media para que el 99% de las latas contenga 12 onzas o mas?

RESULTADOS
A) (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

B) Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07 onzas

C) – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas

21. TABLA PARA EL AREA A LA DERECHA DE Z

22. TABLA PARA EL AREA LA IZQUIERDA DE Z

23. DISTRIBUCION GAMMA
Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una
distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6,
2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a
p)

a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667
La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que
son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una
distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor
que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100

24. Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

26. DISTRIBUCION T DE ESTUDENT
1. Sea T ~ t(4,0.5)
a) Determinar


b) Determinar


c) Determinar P(T
P(T
= 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e
(0.5)(1)
=1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
=0.000175
d) Determinar P(T
P(T
= e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
=0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
=0.9344

2. Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar


b) Determinar

27. c) Determinar P(T
P (T>5) =1-P(T1) = 1 – e-

3. En el articulo “ParameterEstimationwithOnlyOne Complete
FailureObservation”se modela la duracion en horas, de cierto tipo
de cojinete con la distribucion de Weibull con parámetros


a) Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas de 1000
horas


b) Determine la probabilidad de que un cojinete dure menos de
2000 horas
P(T<2000)= P(T

c) La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es el riesgo
en T=2000 horas?
h(t) =

4. La duración de un ventilador, en horas , que se usa en un sistema
computacional tiene una distribución de Weibull con

a) ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure mas de 10 000
horas?
P(T>10 000 ) =1 –(1- =0.3679

28. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure menos de
5000 horas?
P(t<5000) =P(T


5. Un sistema consiste de dos componentes conectados en serie.
El sistema fallara cuando alguno de los componentes falle. Sea T
el momento en el que el sistema falla. Sean X1 y X2 las
duraciones de los dos componentes. Suponga que X1 y X2 son
independientes y que cada uno sigue una distribución Weibull
con 2
a) Determine P(
P(

b) Determine P(T5)

P(T =0.8647

c) T Tiene una distribución de Weibull= si es Así ¿Cuáles son sus
parámetros?
Si, T~ Weibull (2,

29. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de
500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica
25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se
encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él
sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

30. AQUÍ SE ENCUENTRAN LAS MUESTRAS QUE SE TOMARON PARA RESOLLVER EL
PROBLEMA.

Solución:
 Para poder resolver el problema lo que se tendrá que hacer será lo
siguiente se aplicara una formula la cual tendremos que desarrollar
con los datos con los que contamos.
 Tendremos que sustituir los datos
 t= x -μ
 SI n α = 1- Nc = 10%
 v = n-1 = 24
 t = 2.22

Procedimiento:se demostrara la forma en que se sustituiran los datos.
 VALOR DE LOS DATOS..APLICACION DE LA FORMULA
 µ=500 h t=505.36-500 t = 2.22
 n=25 12.0725
 Nc=90% v = 25 -1 = 24
 X=505.36 α = 1- 90%= 10%
 S=12.07

31. Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.