Ejercicios resueltos

ejemplos de resistencia de materiales

1. x
y
z
12
4
4
8
2
1
6
1
2
x
y
z
x
y
z
12
4
4
8
2
1
6
1
2
Solución:
Dado el tensor de tensiones (referido a un sistema cartesiano
de referencia) en un punto de un sólido:
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− − =
6 1 2
1 8 4
2 4 12
T
Se pide:
- Dibujar, sobre el punto elástico de la figura, y en las caras más alejadas del
origen de coordenadas, la dirección y sentido de cada una de las
componentes tensionales que, sobre dichas, caras actúan.
-Determinar el valor de las tensiones normal y tangencial que actúan sobre un
plano paralelo al plano x+y+z=0que pasa por las proximidades (distancia
infinitesimal) del punto considerado.
MPa
Ejercicio 1.1

2. Vector normal al plano:
(
)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− =
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− − =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ + =
7
5
18
3
1
3
1
3
1
3
1
6 1 2
1 8 4
2 4 12
kj i
3
1
u
*
z
*
y
*
x
σ
σ
σ
r
r r r
Tensión normal:
()
MPa 67,6
3
20
75 18
3
1
u
*
n
= = +− =⋅ =
r r
σ σ
Tensión tangencial:
MPa 39,9 49,44 67, 132
2
n
2
*
= − = − =
σ σ τ
r

3. Ejercicio1.2
• Determinar las tensiones principales sabiendo que el
tensor de tensiones viene definido por:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− −
−
10 25 30
25 30 40
30 40 20
σ=
MPa

4. Solución:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
z yz zx
zy y xy
zx xy x
σ τ τ
τ σ τ
τ τ σ
σ=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− −
−
10 25 30
25 30 40
30 40 20
=
MPa
1
222
2
222
3
2
xyz
x y x z y z xy xz yz
xyz xyxzyzxyzyxzzxy
I
I
I
σ
σσ
σσ σσ σσ τ τ τ
σ
σστττστστστ
=
++
=++−−−
=+ −−−
= 20 + 30 –10 = 40 MPa
= -3025 MPa
= 89500 MPa
32
123
0 III
σσσ
−
+−=

5. 0
3 2
2
1
3
= − + −I I I
σ σ σ
MPa
MPa
MPa
8,51
5,26
3,65
3
2
1
−=
=
=
σ
σ
σ
Resultado:

6. En un problema bidimensional, el punto elástico de la figura
se encuentra sometido al estado tensional que se indica. Se pide:
a) Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y
b) Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x’,y’
(e (el eje x’ forma un ángulo de 35º , en sentido antihorario, con el eje x).
40 MPa
15 MPa
25 MPa
x
y
La expresión, en x-y, del tensor de tensiones es:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− −
−
=
25 15
15 40
T
La expresión de dicho tensor en ejes x’-y’ la
podemos obtener como:
[
]
[
]
[
][
]
RT R 'T
T
=
[]
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛−
=
º35 cos º35 sen
º35 sen º35 cos
R
Siendo:
[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
48,10 67,35
67,35 52,4
'T
Ejercicio 1.3

7. Suponiendo la ausencia de fuerzas internas, determinar los posibles
valores de las constantes C
1
, C
2
y C
3
para que la siguiente distribución
de tensiones puede existir en un sólido en equilibrio:
()
0 y C zx C y C C
0 z C yx C2
yz 3 xz 3
2
2 1 xy
z
2
2 y 1 x
= ⋅ −= ⋅⋅ + − ⋅ =
= ⋅ = ⋅⋅ ⋅−=
τ τ τ
σ σ σ
SOLUCIÓN:
Ecuaciones de equilibrio interno (X=Y=Z=0)
) cumple se(0
z y x
0 C zC 0
z y x
0 C xC2yC2 0
z y x
z zy zx
3 3
yz y yx
1 1 1
xz xy x
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ⇒ = =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= ⇒ − −= =
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
σ τ τ
τ σ τ
τ
τ
σ
C
2
puede tomar cualquier valor, por lo que el estado tensional tendría la forma:
0 0 0
0 z C 0
yz xz xy
z
2
2 y x
= = =
= ⋅ = =
τ τ τ
σ σ σ
Ejercicio 1.4

8. El tensor de tensiones en un punto de un sólido viene defini do, respecto de un sistema de coordenadas cartesianas,
por la siguiente matriz:
1.-Determinar de forma analítica:
a) Los dos primeros invari antes del tensor de tensiones
b) Los valores de las tr es tensiones principales
c) Los tres vectores unitarios que de finen las tres direcciones principales
d) La tensión tangencia l máxima que se produce en las proximidades del punto considerado
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
0 0 0
0 20 20
0 20 50
T
600 20 20 50
70 20 50
2
2
1
= − ⋅ =
= + =
I
I
a)
b)Una de las tensiones principales ( σ
z
) es nula. Las otras dos las calcularemos
resolviendo:
10 60 0
20 20
20 50
0
2 1
= = ⇒ =
− −
− −
= −
σ σ
σ
σ
σ
I T
Por tanto, las tensi ones principales son:
0 10 60
3 2 1
=
=
=
σ
σ
σ
y
c)Como el eje zes una dirección principal ( ), las otras dos las ca lcularemos resolviendo:
k u r
r
=
3
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− −
− −
0
0
20 20
20 50
2
1
u
u
σ
σ
Dirección principal 1:
j i u
a
ar r r
4473 0 8943 0
0
0
40 20
20 10
1
2
1
, ,− = ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− −
− −
Dirección principal 2:
j i u
a
ar r r
8943 0 4473 0
0
0
10 20
20 40
2
2
1
, ,+ = ⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
d)La tensión tangencial máxima será:
()
30 530 25
2
10
2
60
2
10 60
= =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=,, max , , max
max
τ
Ejercicio 1.5

9. 2.- Para el estado tensional relativo al plano x-y, determinar gráficamente:
e) El círculo de Mohr
f) Las coordenadas ( σ,τ) del polo de dicho círculo
g) Los dos planos principales que se obtienen de dicho círculo
h) Los dos planos sobre los que actúa la tensión tangencial máxima
i) Los planos, paralelos al eje z, sobre los que el vector tensión forma el mayor
ángulo posible con la normal a dichos planos.
j) El plano al que representa el polo del círculo de Mohr

10. σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y

11. POLO
σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y

12. POLO
Plano
principal I
Plano
principal II
σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
60
10
x
y

13. POLO
Plano
principal I
Plano
principal II
Plano de máxima tensión
tangencial
Plano de
máxima tensión
tangencial
σ
τ
Plano Y
Plano X
50
20
20
x
y
35
25
x
y
35

14. POLO
Plano en el que
el vector tensión forma
el mayor ángulo posible
con la normal
Plano en el que
el vector tensión forma
el mayor ángulo posible
con la normal
σ
τ

15. POLO
Plano correspondiente
al polo del círculo de Mohr σ
τ

16. El vector desplazamiento en un punto ge nérico de un sólido cargado viene dado
(referido a un sistema cartesi ano de referencia) por:
()()
kaz ax iaz ax
r r r
2 3 2 2+ + − =
δ

donde a es una constante conocida. Se pide:
a) Expresión del tensor de deformaciones en un punto genérico del sólido
b) ¿Es, físicamente, posible este campo de desplazamientos?
c) ¿Qué lectura proporcionarí a una banda extensométrica s ituada en la dirección de
la bisectriz del pr imer cuadrante del sistema cartesiano que se utiliza?
Ejercicio2.2

17. a) El tensor de deformaciones se obtiene del campo de desplazamientos como sigue:

()
()
()
0
y
w
z
v
a a3a2
x
w
z
u
0
x
v
y
u
a2
x
w
0
x
v
a2
x
u
az2 ax3 z,y,xw w
0 z,y,xv v
az2 ax2 z,y,xu u
yz
xz
xy
z
y
x
=
∂
∂
+
∂
∂
=
= + −=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
=
∂
∂
=
+ = =
= =
− = =
γ
γ
γ
ε
ε
ε

El tensor de deformaciones es:
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
a2 02/a
0 0 0
2/a0 a2
D

18. b) Para que el campo de desplazamientos, o el de deformaciones que de él se derivan,
sea físicamente posible, debemos comprobar que se satisfacen las ecuaciones de
compatibilidad de deformaciones:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
z y x z yx zx x z
z y x y xz zy y z
z y x x zy y x x y
xy xz yz z xz z x
xy xz yz y yz z y
x
y
xz yz x xy y x
γ γ γ ε γ ε ε
γ γ γ ε γ ε ε
γ γ γ ε γ ε ε
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;
En estas ecuaciones sólo aparecen derivadas segundas de las deformaciones, por lo que
se verifica automáticamente al ser el campo deformaciones líneal. Por tanto, el campo
de desplazamientos dado es físicamente posible.

19. c) El vector unitario de la bisectriz del primer cuadrante del es:
) (kj i u
r r r r
+ + =
3
1

El vector deformación unitaria sería:
{}
[]
{}
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
= =
2/a5
0
2/a5
3
1
3
1
1
1
1
a2 02/a
0 0 0
2/a0 a2
uD *
r r
ε

La deformación longitudinal correspondiente (la medida de la banda) es:
a
3
5
2
a5
2
a5
3
1
3
1
1
1
1
2/a502/a5
3
1
u*=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ =
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⋅ =
r r
ε ε

20. En un pilar vertical de sección cuadrada hueca, tal como se indica en la figura (cotas en
metros),
x
y
1111
1
1
1
1
x
y
1111
1
1
1
1

el tensor de deformaciones viene dado por:
[]
()
()
4
10
2 0 0
0 0 3 2
0 3 2 4 3
−
⋅
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ −
+ − +
=y x
y x x
D

Calcular:
a) la variación de longitud del pilar, i ndicando si éste se alarga o se acorta,
sabiendo que, su altura inicial era de 5 m
b) la variación del ángulo, en el plano x,y, que se produce en el vértice de l
a

sección de coordendas (2,2), indicando si el ángulo final en dicho vértice (que
inicialmente era recto) aumenta o dism inuye respecto de su valor inicial.
c) El cambio de volumen que experimenta el pilar, indicando si aumenta o
disminuye el volumen inicial del mismo.
Ejercicio 2.3

21. a)
nto) (alargamie 10 5 102 102
3 4 4
m h h
z z
− − −
=⋅ ⋅=⋅ =∆ ⇒ ⋅=
ε ε

b)
(
)
(
)
4 4
10 6 4 10 3 2 2
− −
⋅ + −= ⋅ + −⋅=y x y x
xy
γ

Para el punto (2,2),
()
rad 10 4 10 2624
4 4
xy
− −
⋅ = ⋅⋅+⋅−=
γ
(el ángulo disminuye)
c)
()
4
10 6 3
−
⋅ + = + + =x e
z y x V
ε ε ε

() ( )() ( )
() ( )
3 4
2
1
4
1
1
4
1
2
4
pilar
V
m 10 360 54 dx 10 6x3
52 dx 10 6x3 54 dx 10 6x3 dV e V
− −
−
−
−
−
−
⋅ =⋅⋅ ⋅ ⋅ + +
+⋅⋅ ⋅ ⋅ + +⋅⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ =
∫
∫ ∫ ∫
∆

(el volumen del pilar aumenta)
dx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx
dV=(a-b).h.dx dx
x
y
z
dx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx
dV=(a-b).h.dx dx
dx
h
a
a
b
b
dV=a.h.dx
dV=(a-b).h.dx dx
x
y
z

22. Ejercicio 2.1
Dado el tensor de deformaciones:
encontrar la deformación unitaria según la dirección:
(
)
3/kjim
r
r
r
r
++=
[
]
mD
m
r
r
=
ε
mr
[]
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− −
−
=
002 0 0 002 0
0 002 0 001 0
002 0 001 0 003 0
, ,
, ,
, , ,
D
00033 0
3
1
3
1
3
1
002 0 0 002 0
0 002 0 001 0
002 0 001 0 003 0
3
1
3
1
3
1,
, ,
, ,
, , ,
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
− −
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
m
ε

23. dx
P
P
x
L
e
Determinar el desplazamiento relativo entre las dos secciones
extremas de la barra de la figura:
P = 50.000 N, E = 2x10
7
N/cm
2
e = 1 cm, b
1
= 5 cm, b
2
= 10 cm, L = 40 cm Datos:
Ejercicio 3.1
b
1
b
2

24. Consideremos una rebanada de longitud dx a una distancia x de la
sección b
1
. El canto será:
1
,
=+
−
=+
=
−
b
bb
L
x
b
ax
a
bb
L
1
21
1
21
El área (A
x
) de la sección escogida será: (b
1
+a.x)e
Si esta rebanada experimenta una elongación du, su deformación será:
x
AE
P
dx
du
⋅
=

25. La elongación total, u, que experimenta la barra será: u
P
AE
dx
P
b
ax eE
dx
u
P
eE
dx
b
ax
P
aeE
b
ax
u
P
aeE
b
aL
b
x
LL
L
==
+
=
+
=+
=
+
0
1
0
1
0
1
1
1
()
ln
ln
∫
∫
∫
1
1
0 0
ln
b
La b
Eea
P
dx
AE
P
du u
L
x
L
⋅
+
⋅⋅
=
⋅
= =
∫ ∫
0
L

26. Substituting back for K, u
P
bb
L
eE
b
b
=
−
()
ln
21
2
1
e = 1 cm, b
1= 5 cm, b
2
= 10 cm, L = 40 cm,
P = 50.000 N, E = 2 x 107 N/cm
2
u
..
cm =
−
=
50000
10 5
40
12.10
10
5
001386
7
.
()
ln ,
Sustituyendo el valor de a:
En el problema:

27. Ejercicio 4.1 Para la barra prismática de la figura, que se encuentra sometida a la
acción de su propio peso, determinar el campo de tensiones, de
deformaciones, de desplazamientos y la energía elástica acumulada
Volumen
Peso
=
γ
z
x
y
B
D
L
g

28. 0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
xz
yz
xy
z
y
x
z
τ
τ
τ
γ σ
σ
σ
Tensiones:
z
x
y
b
c
L
0
0
0
1
=
=
=
=
−=
−=
xz
yz
xy
z
y
x
z
E
z
E
z
E
ε
ε
ε
γ ε
γ
ν
ε
γ
ν
ε
Deformaciones:
z
z
z
σ
Peso
γ σ
γ
σ
⋅= ⇒
⇒
⋅
⋅
=
=
⋅
z
zA Peso A
z
z

29. ()
[]
2 2 2 2
2
L y x zE
w
yz
E
v
xz
E
u
− + + =
−=
−=
ν
γ
γ
ν
γ
ν
Desplazamientos:
()
2 2
1
2
2
2
z
E E
z
γ
σ ω
= =
Densidadde energía:
E
AL
Adz z
E
dV U
V
L3 2
0
2
2
6 2γ γ
ω
= = ⋅ =
∫∫
Energíaelásticaalmacenadaen la barra:

30. Una placa rectan
g
ular se encuentra sometida a las acciones indicadas en la fi
g
ura.
Determinar la función de Airy que resuelve el problema.
x
y
L
h
σ
2
σ
2
σ
1
σ
1
x
y
L
h
σ
2
σσ
2
σ
2
σ
1
σ
1
σ
1
σ
1

La función de Airy será:
2 2 3 2 2 3
gy fxy cx dy cxy y bx ax+ + + + + + =
φ

f cy bx
yx
e by ax
x
g dy cx
y
xy y x
− − −=
∂∂
∂
−= + + =
∂
∂
= + + =
∂
∂
=2 2 2 2 6 2 6 2
2
2
2
2
φ
τ
φ
σ
φ
σ

Imponiendo que: en x=0,
1
1 2
σ
σ σ
σ
+
−
=y
h
x
; en x=0,
0=
xy
τ
; en y=0,
0=
y
σ

Se obtienen las constantes del polinomio, resultando:
2 1 3 1 2
2 6
y y
h
σ σ σ
φ
+
−
=

Ejercicio 5.1:

31. Ejercicio 5.2:
Un tubo de pared gruesa tiene un radio interior “
1
r
”y exterior “
2
r
” y se encuentra
sometido a una presión interior de valor “ p”. Suponiendo que trabaja en condiciones de
tensión plana, determinar el cambio de l ongitud que experimenta el radio interno del
tubo al aplicar la presión “ p”.
Supóngase conocidos los valores de “ E”y “ν” del material.
La distribución de tens iones en el tubo es:
[]
[]
p
r r
r r
pr pr
r r
p pr pr
r r
r
2
1
2
2
2
2
2
1 2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1 1
−
+
= +
−
= −= −
−
=
θ
σ σ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
= ∆ ⇒ = ∆ ⇒
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
=
−
=
ν ε ν
νσ σ
ε
θ
θ
θ
2
1
2
2
2
2
2
1 1
1 1 1
2
1
2
2
2
2
2
1
r r
r r
E
pr
r r r
r r
r r
E
p
E
r

32. l Ll L
DB CB
80 60, ,
=
=
Por condiciones de
equilibrio:
P F P F
DB CB
80 60, ,−
=
+
=
De la geometría de la
estructura:
• Energía de deformación:
()()[]
AE
lP
AE
lP
AE
L F
AE
L F
U
DB DB CB CB
2 3 3 2
2 2
364 0
2
80 60
2 2
,
, ,
=
+
=
+ =
• Igualdad entre trabajo de las
cargas externas y energía elástica
almacenada:
AE
Pl
d
dP
AE
LP
U
W U
B
B
728 0
364 0
2
1
2
,
,
=
= =
=
Calcular el desplazamiento vertical que experimenta el punto B del sistema
articulado de la figura, formado por dos barras del mismo material (módulo
de elasticidad E) y la misma sección transversal (Área=A).
Ec. (1)
C
P
l
B
D
3
4
3
4
Ejercicio 6.1

33. Determinar los coeficientes de influenc ia, de la siguiente viga sometida a las
acciones indicadas.
F
1
=P F
2
=2P
6 m
3 m
2 m
sabiendo que está realizada con un material de módulo de elasticidad E
y que el momento de inercia de su sección transversal es I.
DATOS:
Ecuación de la elástica:
()
lx a
l
xl
l
a
-
EI
xl Fla
d
ax
l
x
l
b
EI
Flbx
d
≤ ≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
−
=
≤ ≤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− − =
para 1
6
0 para 1
6
2
2
2
2
2
2
2
F
l
a
x
y
b
Ejercicio 6.2

34. 1
6 m
2 m
x
y
4 m
3 m
2 m
6 m
12

EI
1
3,56
6
2
6
4
1
6
2461
2
2
2
2
11
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− −
⋅⋅⋅
=
EI
d
()
EI
-
EI
d
1
83,3
6
36
6
2
1
6
36261
2
2
2
21
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
−⋅⋅⋅
=
F
1
=P F
2
=2P

35. 1 6 m
2 m
x
y
4 m
12

EI
1
3,83
6
2
6
3
1
6
2361
2
2
2
2
12
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− −
⋅⋅⋅
=
EI
d

EI
1
4,5
6
3
6
3
1
6
3361
2
2
2
2
22
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− −
⋅⋅⋅
=
EI
d
3 m 3 m

36. Determinar, haciendo uso del concepto de coeficiente de influencia, la energía
elástica almacenada por la siguiente vi ga sometida a las acciones indicadas.

EI
1
3,56
11
=d
EI
d
1
83,3
21
=

EI
1
3,83
12
=d

EI
1
4,5
22
=d
()
[
]
22
2
21 12 11
2
11
2 2 2
2
1
2
1
d P dPP dP P d P
EI
FFd W U
j i
n
i
ij
n
j
⋅ + ⋅⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = = =
∑∑
==
EI
P
U
2
44,18⋅
=
(
)
P P d P d d
⋅
=
⋅
+
⋅
=
22,11 2
12 11 1
- Determinar el desplazamiento vertical experimentado por la sección sobre la que
actúa la carga P.
6 m
3 m
2 m
F
1
=P F
2
=2P
Ejercicio 6.3

37. Determinar, en función de los desplazamientos verticales (flechas) que experimentan
las secciones sobre las que se aplican las cargas exteriores, la energía elástica
almacenada en la viga
n in i i i
F d F d F d d
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
........
2 2 1 1
n jn j j j
d k d k d k F
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
........
2 2 1 1
En nuestro caso:
2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
F d F d d
F d F d d
⋅ + ⋅ =
⋅
+ ⋅
=

EI
1
3,56
11
=d
EI
d
1
83,3
21
=

EI
1
3,83
12
=d

EI
1
4,5
22
=d
Resolviendo el sistema:
[
]
()
[]
2 1 2
2 1 1
00476 0 2555 0 2
2555 0 30
d d EI P F
d d EI P F
, ,
, ,
+ − = =
−
=
=
EI k30
11
,
=
EI k2555 0
12
,
−
=
EI k2555 0
21
,
−
=
EI k00476 0
22
,
=
Ec. (2)
Ejercicio 6.4

38. [] []
2
2 12
2
1
2
2 12 21
2
1
2
1
2
1
00476 0 511 0 30
2
00476 0 2555 0 2555 0 30
2
2
1
d dd d
EI
d dd dd d
EI
ddk W U
jm
mj jm
, , ,
, , , ,
+ − =
= + − − =
= = =
∑∑
==

39. l Ll L
BD BC
8,0 6,0=
=
De la geometría de la
estructura:
Resolver la estructura de la figura aplicando el P.T.V.
C
P
l
B
D
3
4
3
4
δ
C
P
l
B
D
3
4
3
4
B’
Desplazamiento virtual: B B´
Ejercicio 6.5

40. CB
CB
L
α
δ
ε
δ
cos
=
DB
DB
L
β
δ
ε
δ
cos
=
Deformaciones
virtuales:
α
β
δ
C
P
l
B
D
B’
δ
C
B
α
δcos α
B’

41. ()
dVol
d f dVol f
V
yz yz xz xz xy xy zz y y xx
V
V
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫
+ + + + + =
=Ω ⋅ + ⋅
Ω
Ω
δ δ δ δ δ δ
γτ γτ γτ εσ εσ εσ
δ δ
r
r
r
r
0=Ω ⋅ + ⋅
∫∫∫ ∫∫
Ω
Ω
d f dVol f
V
V
δ δ
r
r
r
r
()
()
()
DB
DB
DB CB
CB
CB
V
yz yz xz xz xy xy zz y y x x
LA
L
LA
L
dVol
⋅ + ⋅ =
= + + + + +
∫∫∫
β δ
σ
α δ
σ
γτ γτ γτ εσ εσ εσ
δ δ δ δ δ δ
cos cos
()
()
0= ⋅ + ⋅
DB
DB
DB CB
CB
CB
LA
L
LA
L
β
δ
σ
α
δ
σ
cos cos
T.T.V.
Trabajo virtual
fuerzas exteriores:
Trabajo
virtual
tensiones
internas:

42. ()
()
0= ⋅ + ⋅
DB
DB
DB CB
CB
CB
LA
L
LA
L
β
δ
σ
α
δ
σ
cos cos
βα
σ σ β σ α σ
cos
cos
cos cos
CB DB DB CB
−= ⇒ = +0
Por condiciones de equilibrio, habíamos obtenido previamente:
P F P F
DB CB
80 60, ,
−
=
+
=
CB CB DB
σ σ σ
3
4
5
3
5
4
−= −=
CB CB DB
F F F
3
4
60
80
−= −=
,
,
Si multiplicamos por A los dos miembros de esta última ecuación:
CB DB CB DB
F F A A
3
4
3
4
−= ⇒ ⋅ −= ⋅
σ σ

43. En el sistema articulado de la figura formado por tres barras de
idéntico material y siendo las áreas de sus respectivas
secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para
la barra BD, determinar, cuando, sobre él actúa la carga P:
a.-Las fuerzas axilesa las que se encuentran sometidas cada
una de las barras
b.-La energía elástica que almacena el sistema
c.-El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del
nudo D.
Ejercicio 6.6
B
D
C
l
l
l/2
P
Áreas:
Barra BD: 2A
Barras BC y CD: A

44. ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA
B
D
C
l
l
l/2
P
V
B
V
D
θθ
l
l
CB CD
l
l
118,1
cos
º565,26
2/
arctan
= = =
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
θ
θ

45. NUDO B
NUDO C
N
BC
=N
CD
por simetría
RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:
B
V
B
N
BD N
BC
θC
V
B
N
DC
N
BC
P
θ θ
P P N
P N N
P sen N
BD
BC DC
CD
= ⋅ =
= =
=
θ
θ
cos 118,1
118,1
2

46. BD’
C’
δ
RESOLUCIÓN DE LA ESTRUCTURA POR EL P.T.V.:
Desplazamientos virtuales:
B y C no se desplazan
D lo hace hacia su izquierda
una magnitud δ
B
D
C
l
l
l/2
P
V
B
V
D
θθ

47. BD’
C
δ
D
δ cosα
l l
BD CD
2
cos
δ
ε
α
δ
ε
δ δ
=
′
=
()
()
()
δ α δ
δ α δ
δ
σ
α
δ
σ ε σ ε σ δ
δ δ
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
′
=
= ⋅ +′⋅
′
= ⋅ ⋅ +′⋅ =
BD CD
BD CD
BD CD BD BD CD CD
N N l A
l A
N
Al
l A
N
l A
l
lA
l
l A lA W
cos 2 2
2 2
cos
2 2
2
cos
2 2
int
Trabajo fuerzas actuantes:
δ
W
ext
=0
Trabajo fuerzas internas:
0 cos
cos 0
int
= + ⋅ ⇒
⇒
∀
⋅
+
⋅
=
⇒
=
BD CD
BD CD ext
N N
N N W W
α
δ
δ
α
δ
δ
δ

48. AE
Pl
d
AE
lP
Pd
796,3 898,1
2
1
2
= ⇒ =
W U
=
NUDO C:
NUDO D:
()
()
EA
lP
EA
l P
E
A
P
l u
BD
⋅
=
⋅
= = ⋅ =
2
2
2
2
ε
w
AE
lP
EA
l P
EA
l P
EA
l P
U U U U
CD BC DB
2
2 2
2
898,1
2
) 118,1() 118,1(
2
) 118,1() 118,1(
)2(2
)2(
=
=
⋅⋅
+
⋅⋅
+
+
⋅ ⋅
= + + =

49. PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:
AE
Pl
AE
Pl
P
U
d
796,3 2 898,1
=
⋅
=
∂∂
=

50. Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la
estructura articulada del proble ma anterior el desplazamiento
vertical del punto C cuando actúa la carga Q que se observa
en la figura:
Ejercicio 6.7
Q
B
D
C
l
l
l/2

51. SISTEMA I
SISTEMA II
B
D
C
l
l
l/2
P
Q
B
D
C
l
l
l/2

52. (
)
(
)
← ⋅ =↓ ⋅
I II
uQ dP
E
A
lP
u
I
⋅
=
w
()
()
E
A
lQ
u
PQ
d
I II
⋅
= ← ⋅ =↓

53. AE
Pl
AE
Pl
P
U
d
B
728,0 364,02= ⋅=
∂
∂
=
AE
lP
U
2
364 0,=
EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO
Sabiendo que la expresión de la energía elástica almacenada en el sistema
articulado de la figura (ver Ec. (1)) es:
determinar el valor del desplazamiento vertical que
experimenta el nudo B.
C
P
l
B
D
3
4
3
4
Ejercicio 6.8

54. Determinar la máxima presión “p” manométrica interna que puede soportar una vasij
a
cilíndrica de pared delgada de espesor “ e” y radio “R” (R>>e) que contiene gas
sabiendo que la tensión de plastificación del material de la vasija es “
y
σ
”.
NOTA: Aplíquese el criterio de plastificación de Tresca

Las tensiones en la vasija son:
e
pR
e
pR
z
2
;= =
σ σ
θ
, por lo que las tres tensiones
p
rincipales resultan ser:
0 ; ;
3 2 1
= = =
σ σ σ σ σ
θ
z


El criterio de Tresca resulta:
R
e
p
e
pR
k
e
pR
y y
σ σ
σ σ σ
= ⇒ = ⇒ = = = −
2
2 2
1 3 1

Ejercicio 7.1

55. Ejercicio 9-10-11.1 La sección de la figura se encuentra sometida a un momento flector M
X
de –200kN.m y a un esfuerzo cortante Q
Y
de valor -2000 kN. Determinar
las máximas tensiones normales y tangenciales que se producen en la sección.
y
x
300
50
60
250
Cotas en
mm

56. (
)
(
)
−
2/y 60 y
G G
(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
2/ y 250 60 y 250
G G
()
(
)
(
)
0
y 250 25 50 300
G
=
−
+
−
mm 200 y
G
=
DETERMINACIÓN DEL C.D.G DE LA SECCIÓN:
Tomando momentos estáticos respecto del eje horizontal que pasa por G
xx
300
50
60
250
y
G
y
G
/2
Cotas en
mm
G

57. x
x
300
50
60
250
200
75
75
Cotas en
mm
M
x
= 200 KN.m
4 8 7
6 7 7
2 3
2 3
x
mm 10x50,2 10x44,8
10x13,3 10x44,8 10x81,7
)75)( 50)( 300( 12/)50)( 300(
)75)( 250 )( 60( 12/) 250 )( 60( I
= +
+ + + =
+ +
+ =
Momentode inercia:
I
yM
máx
máx
=
σ
σ
tracción
= 200x10
6
N.mm (200) mm / 2.50 x10
8
mm
4
= 160 MPa
σ
compresión
= 200x10
6
N.mm (100) mm / 2.50 x10
8
mm
4
= 80 MPa

58. x
x
300
50
60
250
200
75
25
Momentoestático
máximo:
En la fibraneutra:
a
0
=60 mm
Q
y
Q
y
= 2000 kN
M
e
= (300)(50)(75)
+ (60)(50)(25)
= 1,2 x 10
6
mm
3
(200x10
3
N) (1,2x10
6
mm
3
)
(2,50x10
8
mm
4
(60) mm
= 16 MPa
τ
max
=
Cotas en
mm

59. FlexiónCortante
80 MPa
160 MPa
Tracción
Compresión
τ
max
=16 MPa
Fibra
neutra
xx
300
50
60
250
G

60. Un árbol de 50 mm de diámetro y 0,7 m de longitud se encuentra
sometido a la acción de un momento torsorde 1200 Nm.
Calcular la máxima tensión tangencial que se produce y el
ángulo que giran entre sílas dos secciones extremas.
NOTA: G=90 GPa
4 9
4 4
10 59,613
32
05,0
32
m
D
I
O
−
× =
⋅
= =
π π
MPa
I
R M
O
z
89,48
10 59,613
025,0 1200
9 max
=
×
⋅
=
⋅
=
−
τ
rad
IG
L M
O
z
0152 ,0
10 59,613 10 90
7,0 1200
9 9
=
× ⋅ ×
⋅
=
⋅
⋅
=
−
θ
º871,0
2
360
0152 ,0= × =
π
θ
Ejercicio 12.1

61. Repetir el ejercicio 12.1 suponiendo que el árbol es un tubo
con un diámetro externo de 50 mm e interno de 30 mm.
(
)
(
)
4 9
4 4 4 4
10 07,534
32
03,0 05,0
32
m
d D
I
O
−
× =
− ⋅
=
−
=
π π
MPa
I
R M
O
z
17,56
10 07,534
025,0 1200
9
=
×
⋅
=
⋅
=
−
τ
rad
IG
L M
O
z
0175 ,0
10 07,534 10 90
7,0 1200
9 9
=
× ⋅ ×
⋅
=
⋅
⋅
=
−
θ
º1
2
360
0175 ,0= × =
π
θ
Ejercicio 12.2

62. El motor de un automóvil proporciona una potencia de 100
caballos a 1800 rpma un árbol de transmisión de 10 mm de radio.
Calcular la máxima tensión tangencial que sufre el árbol.
El momento torsor al que se encuentra sometido el árbol es:
()( )
mN
s rev
rad rev
hp
w
hp
angular Velocidad
Potencia
M
z
. 396
min
60
1
2
min
1800
7,745 100
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
= =
π
La máxima tensión tangencial es:
O
z
I
RM
=
τ
con
2
4
R
I
O
π
=
τ=252 MPa
Ejercicio 12.3