Ejercicios resueltos con_valor_absoluto__977__

Valor absoluto basico

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2. 1
Cap¶³tulo 5
Valor Absoluto
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr¶³guez S.
Instituto Tecnol¶ogico de Costa Rica
Escuela de Matem¶atica
¢ ¢ ¢
Revista digital Matem¶atica, educaci¶on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

3. 2
Cr¶editos
Primera edici¶on impresa: Rosario
¶
Alvarez, 1984.
Edici¶on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac¶on, Marianela Abarca, Lisseth Angulo.
y Walter Mora.
Colaboradores: Cristhian Pa¶ez, Alex Borb¶on, Juan Jos¶e Fallas, Je®rey Chavarr¶³a
Edici¶on y composici¶on ¯nal: Walter Mora.
Gr¶a¯cos: Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones: escribir a [email protected]

4. Contenido
5.1
Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.1.1 Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1 Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
Nuestro objetivo en este cap¶³tulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran
valor absoluto de expresiones algebraicas de la formaax+b, dondeaybson constantes reales cona6= 0, yx
es una variable real.
Para esto conviene recordar la de¯nici¶on de valor absoluto siguiente:
Para cada n¶umero realx, se de¯ne su valor absoluto (y se denotajxj) de la siguiente manera:
jxj= xsix¸0
o
jxj=¡x six < 0
Esta de¯nici¶on frecuentemente se denota de la siguiente manera:
jxj=
½
xsix¸0
¡xsix <0
Aplicando esta de¯nici¶on a expresiones de la formaax+bse tiene:
jax+bj=
½
ax+bsiax+b¸0
¡(ax+b) si ax+b <0
Usando la de¯nici¶on de valor absoluto se tiene:
Ejemplo1
j
x+ 5j=
8
<
:
x+ 5 six+ 5¸0
¡(x+ 5) six+ 5<0
3

5. 4Valor Absoluto
pero:x+ 5¸0() x¸ ¡5
y x+ 5<0() x <¡5
)jx+ 5j=
8
<
:
x+ 5 six¸ ¡5
¡(x+ 5) six <¡5
Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta informaci¶on en la tabla siguiente:
¡1 ¡5 +1
jx+5 j¡(x+5)x+5
Ejemplo2
j
x¡7j=
8
<
:
x¡7 six¡7¸0
¡(x¡7) six¡7<0
pero:x¡7¸0() x¸7
y x¡7<0() x <7
)jx¡7j=
8
<
:
x¡7 six¸7
¡(x¡7) six <7
y en forma resumida podemos escribir:
¡1 7 + 1
jx¡7j¡(x¡7)x¡7
Ejemplo3
j
¡2x+ 3j=
8
<
:
¡2x+ 3 si¡2x+ 3¸0
¡(¡2x+ 3) si¡2x+ 3<0
pero:¡2x+ 3¸0() ¡2x ¸ ¡3, o seax·
3
2
y ¡2x+3<0(
) ¡2x < ¡3, o seax >
3
2
)j¡2
x+ 3j=
8
>
>
<
>
>
:
¡2x+ 3 six¸
3
2
¡(¡2x +3)
six <
3
2
yen forma resumida podemos escribir:www.cienciamatematica.com

6. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.5
¡1 3=2 + 1
j¡2x+ 3j¡2x+3¡(¡2x +3)
Ejemplo4
j
¡3¡5xj=
8
<
:
¡3¡5xsi¡3¡5x¸0
¡(¡3¡5x) si¡3¡5x <0
pero:¡3¡5x¸0() ¡5x ¸3, o seax·
¡3
5
y ¡3¡5x<0(
) ¡5x < 3, o seax >
¡3
5
)j¡3¡5
xj=
8
>
>
<
>
>
:
¡3¡5xsix·
¡3
5
¡
(¡3¡5x)six
>
¡3
5
yen
forma resumida podemos escribir:
¡1 ¡3=5 +1
j¡3¡5 xj¡3¡5x ¡(¡3 ¡5x)
5.1.1Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuaci¶on algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podr¶an ser utilizadas para fa-
cilitar el trabajo en la resoluci¶on de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
Propiedad 1
8x; x2R:jxj ¸0
Demostraci¶on
x2R:jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡xsix <0
Hay dos posibles casos:
Caso 1:x¸0
x¸0 =) jxj=x
)jxj ¸0www.cienciamatematica.com

7. 6Valor Absoluto
Caso2:x <0
x <0 =) jxj=¡x
)jxj ¸0; puesx <0 =) ¡x > 0
Propiedad 2
Six2Ryjxj= 0 entoncesx= 0
Demostraci¶on:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 3
Six2R; y2Rentoncesjx¢yj=jxj jyj
Demostraci¶on
Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:
8a; a2R:jaj=
n
p
a
n
;sinespar (ver p¶agina 94)
en particular: jaj=
p
a
2
;8a;a2R
Usando
esta de¯nici¶on se tiene que:
jxyj=
p
(xy)
2
=
p
x
2
y
2
=
p
x
2
¢
p
y
2
=jxj¢ jyj
)=jxj ¢ jyj
Propiedad 4
8x; x2R:j ¡xj=jxj
Demostraci¶on:(ejercicio para el estudiante)
Propiedad 5
Six2R; y2R; y6= 0 entonces
¯
¯
¯
¯
x
y
¯
¯
¯
¯
=
jxj
jyj
Demostraci¶on
Aqu
¶³ tambi¶en usaremos el hecho que:
8a; a2R:jaj=
p
a
2www.cienciamatematica.com

8. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.7
Six2R; y2R; y6= 0 entonces
x
y
2R
)
¯
¯
¯
¯
x
y
¯
¯
¯
¯
=
s
µ
x
y
¶
2
=
s
x
2
y
2
=
p
x
2
p
y
2
=
jxj
jyj
¯
¯
¯
¯
x
y
¯ ¯
¯
¯
=
jxj
jyj
Propiedad6
8x;
x2R:jxj
2
=x
2
Demostraci¶on
8x; x2R: , se tiene que:
jxj=
p
x
2
)j
xj
2
= (
p
x
2
)
2
)j
xj
2
=x
2
pues8a; a2R(
p
a2R=)(
p
a)
2
=a)
)8x;x2R:jx
j
2
=x
2
Propiedad 7
Seaxuna variable real ykun n¶umero real positivo entonces:
jxj=k()x=k¶ox=¡k
Demostraci¶on:
Comojxj=
p
x
2
;setiene:
j
xj =k
()
p
x
2
=k
()(
p
x
2
)
2
=k
2
()x
2
=k
2
(
)x
2
¡k
2
= 0
() (x¡k)(x+k) = 0
()x=kox=¡k
)jxj=k()x=kox=¡kwww.cienciamatematica.com

9. 8Valor Absoluto
x
2
,setiene:
jxj < k
()
p
x
2
<k
(
)(
p
x
2
)
2
<k
2
(
)x
2
< k
2
() x
2
¡k
2
<0
() (x¡k)(x+k)<0
Resolviendo esta inecuaci¶on:
¡1 ¡k k +1x¡k ¡¡+
x+k ¡++
(x¡k)(x+k)+¡+
Deaqu¶³ se tiene:
(x¡k)(x+k)<0()x2]¡k; k[
o sea:¡k < x < k
)jxj< k() ¡k < x < k
Propiedad 9
Seaxuna variable real ykun n¶umero real positivo entonces:
jxj> k()x > kox <¡k
Demostraci¶on:
Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 9, ya demostrada, dejaremos esta demostraci¶on
como ejercicio para el estudiante.
Propiedad 10www.cienciamatematica.com

10. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.9
Seaxuna variable real ykun n¶umero real positivo entonces:
i:)jxj ·k() ¡k ·x·k
ii:)jxj ¸k()x¸kox·k
Demostraci¶on:
El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8.
Dejaremos esta demostraci¶on como ejercicio para el estudiante.
Propiedad 11
8x; x2R:¡jxj ·x· jxj
Demostraci¶on:
Sabemos que8x; x2R:jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡xsix <0
Caso 1:x¸0
x¸0 =)x=jxj
)x· jxj (*)
Adem¶as comojxj ¸0 entonces¡jxj ·0 y comox¸0 entonces:¡jxj ·x(¤¤)
As¶³ por (¤) y (¤¤) se tiene que:
¡jxj ·xyx· jxj
)¡jxj ·x· jxj (I)
Caso 2:x <0
x <0 =) jxj =¡x
=) ¡jxj = x
) ¡jxj · x(¤ ¤ ¤)
Adem¶as comox <0 yjxj ¸0 entonces
x· jxj (¤ ¤ ¤¤)
As¶³ por (¤ ¤ ¤ ) y (¤ ¤ ¤¤) se tiene que:
¡jxj ·xyx· jxj
)¡jxj ·x· jxj (II)
Por lo tanto de (I) y (II ) se concluye que:www.cienciamatematica.com

11. 10Valor Absoluto
8x;x2R:¡j xj ·x· jxj
Propiedad 12(desigualdad triangular)
Six2R; y2Rentoncesjx+yj · jxj+jyj
Demostraci¶on:
Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:
Lema:
Seana2R; b2R; c2R; d2R
Sia·byc·dentoncesa+c·b+d
Demostraci¶on(del lema)
Supongamos quea·byc·d, hay que demostrar quea+c·b+d
i:)a·b=)a+c·b+c
ii:)c·d=)b+c·b+d
pori:) yii:) se tiene quea+c·b+d
Nota:El lema anterior expresa que si se tienen desigualdadesa·byc·dpodemos sumar miembro a
miembro estas desigualdades de la manera siguiente:
a·b
c·d
a+c·b+d
Estamosahora
en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.
Demostraci¶on de la Propiedad 12(desigualdad triangular).
8x; x2R;8y; y2R, se tiene que:
¡jxj ·x· jxj y
¡jyj ·y· jyj
Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:
¡jxj+¡jyj ·x+y· jxj +jyj
)¡(jxj+jyj)·x+y· jxj+jyj
)jx+yj · jx j+jyjpor la propiedad (10:i)www.cienciamatematica.com

12. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.11
5.1.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto
A continuaci¶on resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre
que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna
de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la de¯nici¶on de valor absoluto.
Adem¶as es importante tener en cuenta que toda ecuaci¶on que involucre valor absoluto se puede resolver usando
la de¯nici¶on.
Ejercicios 1
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones
1.)j2x¡3j= 7
2.)jxj= 5
3.)jx¡3j=¡3
4.)jx+ 8j= 0
5.)j2x+ 3j=¡9
6.)jx+ 3j= 5 +x
7.)j1¡3xj+x=¡3
8.) 3jx + 4j ¡2 =x
9.)
4
p
(2x¡15)
4
=10
10.)
p
(3¡2x)
2
+x=3
11.)
2
4
p
(5¡4x)
4
=x+2
Soluci¶
on
1.)j2x¡3j= 7
Por la propiedad 7
j2x¡3j= 7
() 2x¡3 = 7 o 2x ¡3 = ¡7
() 2x= 10 o 2x=¡4
() x= 5 o x=¡2
)S=f¡2;5g
Observaci¶on:Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden
resolver usando la de¯nici¶on. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci¶on anterior usando la de¯nici¶on de
valor absoluto.www.cienciamatematica.com

13. 12Valor Absoluto
2
y 2
x¡3<0() 2x <3; o seax <
3
2
)j2x¡3j=
8
>
>
<
>
>
:
2x¡3six¸
3
2
¡(2x¡3)six
<
3
2
Conesta
informaci¶on construimos la tabla siguiente:
¡1 3=2 + 1
j2x¡3j ¡(2x¡3) 2x¡3
j2x¡3j=7 ¡(2x¡3)= 72x¡3= 7
¡2x+3 = 7 2x=10
¡2x=4 x=5
x=¡2
como¡22
¸
¡1;
3
2
·
como52
¸
3
2
;+1
·
)S1=f-2g )S2=f5g
As¶³ el conjunto soluci¶on esS=S1[S2o seaS=f-2,5g
2.)jxj= 5
Por la propiedad 7:
jxj= 5()x= 5 ox=¡5
)S=f¡5;5gwww.cienciamatematica.com

14. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.13
3.)jx¡3j=¡3
Por la propiedad 1,jx¡3j ¸0;8x; x2R, por lo tanto:
jx¡3j=¡3 !Nunca!
)S=;
4.)jx+ 8j= 0
Por la propiedad 2,
jx+ 8j= 0() x+ 8 = 0
() x =¡8
)S=f¡8g
5.)j2x+ 3j=¡9
Por la propiedad 1,j2x+ 3j ¸0;8x; x2R
)j2x+ 3j=¡9 <Nunca!
)S=;
6.)jx+ 3j= 5 +x
Nota:En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de
la siguiente manera:
jx+ 3j=
8
<
:
x+ 3 si x+ 3¸0
¡(x+ 3) six+ 3<0
o sea:
jx+ 3j=
8
<
:
x+ 3 si x¸ ¡3
¡(x+ 3) six <¡3
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 ¡3 +1www.cienciamatematica.com

15. 14Valor Absoluto
jx+3 j ¡(x+3) x+3
jx+3 j= 5 +x¡(x+3) = 5 +x x+3 = 5 +x
Resolviendoesta ecuaci¶on:Resolviendoesta ecuaci¶on:
¡x¡3= 5 +x x+3 = 5 +x
¡x¡x=5 + 3 x¡x=5¡3
¡2x=8 0=2
x=¡4
como¡42]¡1;¡3[
)S1=f¡4g )S2=;
As¶³ el conjunto soluci¶onSdejx+ 3j= 5 +xesS1[S2;o seaS=f¡4g
7.)j1¡3xj+x=¡3
En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:
j1¡3xj=
8
<
:
1¡3xsi 1¡3x¸0
¡(1¡3x) si 1¡3x <0
pero: 1¡3x¸0() ¡3x ¸ ¡1, o seax·
1
3
y 1¡3x <0() ¡3x < ¡1, o seax >
1
3
j1¡3xj=
8
>
>
<
>
>
:
1¡3xsix·
1
3
¡(1¡3x)six
>
1
3
Conesta
informaci¶on construiremos la siguiente tabla:www.cienciamatematica.com

16. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.15
¡1
1
3
+1
j1¡3xj 1¡3x ¡(1¡3x)
j1¡3xj+x=¡3 1¡3x+x=¡3 ¡(1¡3x)+x=¡ 3
¡2x=¡4 ¡1+ 3x+x=¡3
x=2 4x=¡2
Como262
¸
¡1 ;
1
3
¸
x=
¡1
2
como
¡1
2
=2
¸
1
3
;+1
·
)S1=; entonces:
)S2=;
As¶³ el conjunto soluci¶onSdej1¡3xj+x=¡3 esS1[S2o seaS=;
8.) 3jx + 4j ¡2 =x
En este caso:
jx+ 4j=
8
<
:
x+ 4 si x+ 4¸0
¡(x+ 4) six+ 4<0
o sea:
jx+ 4j=
8
<
:
x+ 4 si x¸ ¡4
¡(x+ 4) six <¡4
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:www.cienciamatematica.com

17. 16Valor Absoluto
¡1 ¡ 4 +1
jx+4j ¡(x+4) x+4
3jx+4 j ¡2 =x3[¡(x+4)]¡2 =x3(x+4)¡2 =x
3[¡x¡4]¡2=x 3x+12¡2 =x
¡3x¡12¡2=x 3x¡x+10 = 0
¡3x¡14¡x=0 2x=¡10
¡4x=14 x=¡5
x=
¡14
4
Como¡562[¡4;+1[
x=
¡7
2
entonces:S2=;
Como¡7=2 62]¡1;¡ 4]
entonces:S1=;
Deaqu¶³ se tiene que el conjunto soluci¶onSde 3jx¡4j ¡2 =xes vac¶³o o seaS=;
9.)
4
p
(2x¡15)
4
=10
4
p
(2x¡15)
4
=10( )
j2x¡15j= 10 () 2x¡15 = 10 o 2x ¡15 =¡10
() 2x= 25 o 2x = 5
() x=
25
2
ox=
5
2
)S=
½
25
2
;
5
2
¾
10.)
p
(3¡x)
2
=5
p
(3¡x)
2
=5( )
j3¡xj= 5 () 3¡x= 5 o 3 ¡x=¡5
() ¡x= 2 o ¡x=¡8
() x=¡2 o x= 8
)S=f¡2;8gwww.cienciamatematica.com

18. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.17
11.)
p
(3¡2x)
2
+x=3
p
(3¡2x)
2
+x=3( )
j3¡2xj+x = 3
Pero:
j3¡2xj=
8
<
:
3¡2xsi 3¡2x¸0
¡(3¡2x) si 3¡2x <0
Como: 3¡2x¸0() ¡2x ¸ ¡3, o seax·
3
2
y 3¡2
x <0() ¡2x < ¡3, o seax >
3
2
)j3¡2xj=
8
>
>
<
>
>
:
3¡2x six·
3
2
¡(3¡2x)six
>
3
2
Conesta
informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 3=2 +1
j3¡2xj 3¡2x ¡(3¡2x)
j3¡2xj+x=3 3¡2x+x=3 ¡(3¡2x)+x= 3
¡x=3¡3 ¡3+ 2x+x= 3
¡x=0 3x=6
x=0 x=2
como02
¸
¡1 ;
3
2
·
como22
¸
3
2
;+1
·
)S1=f0g )S2=f2g
Deaqu¶³ se tiene que el conjunto soluci¶onSde
p
(3¡2x)
2
+x=3 esf0;2go sea;S=f0;2g
12.) 2
4
p
(5¡4x)
4
=x+2www.cienciamatematica.com

19. 18Valor Absoluto
2j5¡4xj=x+2
P
ero:j5¡4xj=
8
<
:
5¡4x si 5¡4x¸0
¡(5¡4x) si 5¡4x <0
Como: 5¡4x¸0() ¡4x ¸ ¡5, o seax·
5
4
y 5¡4
x <0() ¡4x < ¡5, o seax >
5
4
)j5¡4xj=
8
>
>
<
>
>
:
5¡4x six·
5
4
¡(5¡4x)six
>
5
4
Conesta
informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 5=4 +1
j5¡4xj 5¡4x ¡(5¡4x)
2j5¡4xj=x+22(5¡4x)=x+ 22[¡(5¡4x)]=x+ 2
10¡8x=x+2 2[¡5+ 4x] =x+ 2
¡8x¡x=2¡10 ¡10+ 8x=x+ 2
¡9x=¡8 8x¡x=2 + 10
x=
8
9
7x=12
x=
12
7
como
8
9
2
¸
¡1;
5
4
·
como
12
7
2
¸
5
4
;+1
·
)S1=
½
8
9
¾
)S2=
½
12
7
¾
Deaqu¶³ se tiene que el conjunto soluci¶onSde 2
4
p
(5¡4x)
4
=x+3 es
½
8
9
;
12
7
¾
;oseaS=
½
8
9
;
12
7
¾
Ejercicios2
Resuelv
a cada una de las siguientes ecuaciones:
1.)jxj= 7www.cienciamatematica.com

20. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.19
2.)j2x+ 5j=¡8
3.)j ¡2x+ 9j= 11
4.)¡3j3¡2xj=¡12
5.)j3x+ 2j=x+ 1
6.) 2j2x ¡5j=x¡3
7.) 3j ¡ 5x¡1j=¡2x+ 3
8.)¡1¡2j5¡3xj=x
9.)
6
p
(2x+1)
6
= 3
10.)¡2
p
(1¡7x)
2
=¡6
11.)
p
(x¡2)
2
+3 x= 6
12.)x+ 2
4
p
(x¡6)
4
=5
13.)
2jxj+jx¡1j= 4
14.)j2x¡3j ¡2jxj= 3
15.)
¯
¯
¯
¯
x¡1
x+1
¯ ¯
¯
¯
=
2
16.) 2j3x ¡1j=
p
(x¡7)
2
17.) 2j2 ¡xj+j2x¡1j=x
18.)j3¡2xj¡3
jx+ 2j ¡x= 0
Nota:En las ecuaciones, que resolveremos a continuaci¶on, omitiremos algunos pasos al escribir la de¯nici¶on de
cada uno de los valores absolutos involucrados.
Soluci¶on
1.) 2jx j+jx¡1j= 4
En este caso se tiene que:
a.)jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡x six <0
b.)jx¡1j=
8
<
:
x¡1 si x¸1
¡(x¡1) six <1
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:www.cienciamatematica.com

21. 20Valor Absoluto
¡1 0 1 +1
jxj ¡x x x
jx¡1j ¡(x¡1) ¡(x¡1) x¡1
2jxj+jx¡1j=42x+¡(x¡1)= 42x+¡(x¡1)= 42(¡x)+ (x¡1) = 4
¡2x¡x+1 = 42x¡x+1 = 42x+x¡1= 4
¡3x=3 x=3 3x=5
x=¡1 x=
5
3
como¡12]¡1 ;0[Como362]0 ;1[como
5
3
2
¸
5
3
;+1
·
)S1=f¡1g )S2=; )S2=
½
5
Deaqu¶³ se tiene que el conjunto soluci¶on de 2jxj+jx¡1j= 4 esSdondeS=S1[S2[S3
)S=
½
¡1;
5
3
¾
2.)j2x¡3j¡2
jxj= 3
En este caso se tiene que:
a.)j2x¡3j=
8
>
>
<
>
>
:
2x¡3 si x¸
3
2
¡(2x¡3)six
<
3
2
b.)jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡x six<0
Con
esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:www.cienciamatematica.com

22. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.21
¡1 0 3=2 +1
j2x¡3j ¡(2x¡3) ¡(2x¡3) 2x¡3
jxj ¡x x x
j2x¡3j¡2 jxj= 3¡(2x¡3)¡2(¡x)= 3¡(2x¡3)¡2(x)= 32x¡3¡2x=3
¡2x+3 + 2x= 3¡2x+3¡2 x= 3¡3= 3
3=3 ¡4x=0 )S3=;
)S1=]¡1 ;0[x=0
como02
¸
0 ;
3
2
·
)S2=f0g
Deaqu¶³ que el conjunto soluci¶on dej2x¡3j ¡2jxj= 3 esS=S1[S2[S3
)S=]¡ 1;0]
3.)
¯
¯
¯
¯
x¡1
x+1
¯
¯
¯
¯
=
2
¯
¯
¯
¯
x¡1
x+1
¯
¯
¯
¯
=
2()
jx¡1j
jx+1 j
= 2, por la propiedad 5
() j x¡1j = 2 jx+ 1j (¤), conx6=¡1
() jx ¡1j
2
= (2jx + 1j)
2
() jx ¡1j
2
= 4jx + 1j
2
() (x¡1)
2
= 4(x+ 1)
2
, por la propiedad 6
() x
2
¡2x+ 1 = 4( x
2
+ 2x+ 1)
() x
2
¡2x+ 1 = 4x
2
+ 8x+ 4
() ¡3x
2
¡10x¡3 = 0
() 3x
2
+ 10x + 3 = 0
Resolviendo esta ecuaci¶on por f¶ormula general:www.cienciamatematica.com

23. 22Valor Absoluto
4=100¡4(3)(3)
4=
100¡36
4= 64
x1=
¡10 + 8
6
=)x1=
¡1
3
x2=
¡10¡8
6
=)x2=¡3
Deaqu
¶³ se tiene que el conjunto soluci¶on de
¯
¯
¯
¯
x¡1
x+1
¯ ¯
¯
¯
=
2 esS;donde
S=
½
¡3;
¡1
3
¾
Nota: A
partir de (¤) esta ecuaci¶on se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los
ejemplos (1) y (2) anteriores.
4.) 2j3x ¡1j=
p
(x¡7)
2
()2
j3x¡1j =jx¡7j (¤)(Ver nota anterior)
() (2j3x¡1j)
2
=jx¡7j
2
() 4j3x¡1j
2
=jx¡7j
2
() 4(3x¡1)
2
= (x ¡7)
2
() 4(9x
2
¡6x+ 1) = x
2
¡14x+ 49
() 36x
2
¡24x+ 4 = x
2
¡14x+ 49
() 35x
2
¡10x¡45 = 0
() 7x
2
¡2x¡9 = 0
Resolviendo esta ecuaci¶on por f¶ormula general:
4= 4¡4(7)(¡9)
4= 4 + 252
4= 256
x1=
2 + 16
14
=)x1=
9
7
x2=
2¡16
14
=)x2=¡1www.cienciamatematica.com

24. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.23
De aqui se tiene que el conjunto soluci¶on de 2j3x¡1j=
p
(x¡7)
2
esSdonde:S=
½
9
7
;¡1
¾
5.) 2j2 ¡xj+j2x¡1j=x
Eneste
caso se tiene que:
a.)j2¡xj=
8
<
:
2¡xsix·2
¡(2¡x) six >2
b.)j2x¡1j=
8
>
>
<
>
>
:
2x¡1 si x¸
1
2
¡(2x¡1)six
<
1
2
Conesta
informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 1=2 2 +1
j2¡xj 2¡x 2¡x ¡(2¡x)
j2x¡1j ¡(2x¡1) 2x¡1 2x¡1
2j2¡xj+j2x¡1j=x2(2¡x)+¡(2x¡1) =x2(2¡x)+ (2x¡1) =x2[¡(2¡x)]+ (2x¡1) =x
4¡2x¡2x+1 =x4¡2x+2 x¡1 =x2[¡2+x] + 2x¡1 =x
¡2x¡2x¡x=¡4¡1 3=x ¡4+ 2x+ 2x¡1 =x
¡5x=¡5 Como362
·
¡
1
2
;2
¸
2x+2 x¡x= 4 + 1
x=1 entonces: 3x=5
Como162
¸
¡1 ;
1
2
·
S2=; x=
5
3
entonces: Como
5
3
62]2;+1[
S1=;
S3=;
Deaqu¶³ que el conjunto soluci¶on de 2j2 ¡xj+j2x¡1j=xesS;dondeS=;www.cienciamatematica.com

25. 24Valor Absoluto
6.)j3¡2xj¡3 jx+ 2j ¡x= 0
En este caso se tiene que:
a.)j3¡2xj=
8
>
>
<
>
>
:
3¡2x six·
3
2
¡(3¡2x)six
>
3
2
b.)jx+2
j=
8
<
:
x+ 2 si x¸ ¡2
¡(x+ 2) six <¡2
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 ¡2 3=2 +1
3¡2x 3¡2x ¡(3¡2x)
jx+2j ¡(x+2) x+2 x+2
j3¡2xj¡3j x+ 2j ¡x= 03¡2x¡3[¡(x+2)]¡x= 03¡2x¡3(x+2)¡x= 0¡(3¡2x)¡3(x+2)¡x= 0
3¡2x¡3[¡x¡2]¡x=0 3¡2x¡3x¡6¡x=0 ¡3+ 2x¡3x¡6¡x= 0
3¡2x+3x+ 6¡x= 0¡6x¡3= 0 ¡2x¡9= 0
9=0 ¡6x=3 ¡2x=9
)S1=; x=
¡1
2
x=
¡9
2
como
¡1
2
2
¸
¡2;
3
2
·
Como:
¡9
2
62
¸
3
2
;+1
·
)S2=
½
¡1
2
¾
)S3=;
Deaqu¶³ que el conjunto soluci¶on dej3¡2xj ¡3jx+ 2j ¡x= 0 esS;dondeS=
½
¡1
2
¾
Ejercicios3
Resuelv
a cada una de las siguientes ecuaciones:
1.)
p
(4x¡1)
2
=j3¡8xj
2.)
¯
¯
¯
¯
2x+1
1¡x
¯
¯
¯
¯
=3
3.)j
x+ 3j ¡ jx ¡2j=xwww.cienciamatematica.com

26. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.25
4.)
4
p
(x+1)
4
¡3 jx¡2j= 6
5.)jx¡4j ¡
¯
¯
¯
¯
x¡1
5
¯
¯
¯
¯
=4¡x
6.)
jx
j
2
+3
x+ 4 =jx¡1j
5.1.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto
Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la formaax+b, dondeaybson
constantes cona6= 0 yxes una variable real. Para esto utilizaremos la de¯nici¶on de valor absoluto, y en los
casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el ¯n de facilitar el
procedimiento de resoluci¶on.
Ejercicios 4
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.)jx¡2j<1
2.)j5x¡7j ·3
3.)j3¡xj<4
4.)j5¡2xj ·7
5.)j2x¡3j · ¡5
6.)j7¡2xj ¸ ¡6
7.)j5x+ 2j>0
8.) 2j3 ¡xj ¡10¸0
9.)jx¡3j ·2x¡5
10.)jxj+ 3¸2x
11.)
6
p
(2x+1)
6
>3
12.)
s
µ
2
5
x+1
¶
2
¡x
<2
Soluci¶on
1.)jx¡2j<1
Sabemos que:
jx¡2j=
8
<
:
x¡2 six¸2
¡(x¡2) six <2
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:www.cienciamatematica.com

27. 26Valor Absoluto
¡1 2 + 1
jx¡2j ¡(x¡2) x¡2
jx¡2j<1 ¡(x¡2)<1 x¡2<1
¡x+2<1 x<3
¡x<¡ 1As¶³ debe cumplirse que
x>1 x¸2yx <3
As¶³ debe cumplirse que)S2=[2;3[
x<2 yx >1
)S1=]1 ;2[
Enconsecuenciael conjunto soluci¶onS;dejx¡2j<1 esS1[S2o seaS= ]1;3[
Nota:La inecuaci¶onjx¡2j<1 y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor
absoluto y adem¶as algunos resultados que se enuncian a continuaci¶on y que aceptaremos sin demostrar.
Resultado 1
8a; a2R;8b; b2R;8c; c2R;8k; k2R
i:)a < b < c()a+k < b+k < c+k
ii:)a·b·c()a+k·b+k·c+k
Resultado 2
8a; a2R;8b; b2R;8c; c2R;8k; k2Rconk >0
i:)a < b < c()ak < bk < ck
ii:)a·b·c()ak·bk·ck
Resultado 3
8a; a2R;8b; b2R;8c; c2R;8k; k2Rconk <0
i:)a < b < c()ak > bk > ck
ii:)a·b·c()ak¸bk¸ck
Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto,jx¡2j<1 se resuelve as¶³.www.cienciamatematica.com

28. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.27
jx¡2j<1() ¡1 < x¡2<1
() ¡1 + 2 < x¡2 + 2<1 + 2
() 1< x <3
)S=]1;3[
2.)j5x¡7j ·3
j5x¡7j ·3() ¡3 ·5x¡7·3
() ¡3 + 7 ·5x¡7 + 7·3 + 7
() 4·5x·10
()
1
5
¢4·
1
5
¢5x·
1
5
¢10
()
4
5
·x·2
)S=
·
4www.cienciamatematica.com

29. 28Valor Absoluto
j5¡2xj·7( ) ¡7 ·5¡2x·7
() ¡7 ¡5· ¡5 + 5 ¡2x· ¡5 + 7
() ¡12 · ¡2x·2
()
¡1
2
¢(¡12)¸
¡1
2
¢2
()6¸x¸
¡1
() ¡1 ·x·6
)S= [¡1;6]
5.)j2x¡3j<¡5
por propiedad 1:
j2x¡3j ¸0;8x; x2R
)j2x¡3j ¸ ¡5; <Nunca!
)S=?
6.)j7¡2xj ¸ ¡6
por propiedad 1;
j7¡2xj ¸0;8x; x2R
en particular
j7¡2xj ¸ ¡6;8x; x2R
)S=R
7.)j5x+ 2j>0
por propiedad 1;
j5x+ 2j ¸0;8x; x2R
por propiedad 2;
j5x+ 2j= 0() 5x+ 2 = 0
() 5x =¡2
() x =
¡2
5www.cienciamatematica.com

30. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.29
)j5x+ 2j>0;8x; x2R;tal quex6=
¡2
5
)S=R¡
½
¡2
5
¾
8.) 2j3 ¡xj¡10¸0
2
j3¡xj ¡10¸0() 2j3¡xj ¸10
() j3 ¡xj ¸5
() 3¡x¸5 o 3 ¡x· ¡5
() ¡x ¸2 o ¡x· ¡8
() x· ¡2 o x¸8
)S= ]¡ 1;¡2][[8;+1[
9.)jx¡3j ·2x¡5
Nota:en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en p¶aginas
anteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:
jx¡3j=
8
<
:
x¡3 six¸3
¡(x¡3) six <3
Con esta informaci¶on construimos la tabla siguientewww.cienciamatematica.com

31. 30Valor Absoluto
¡1 3 + 1
jx¡3j ¡(x¡3) x¡3
jx¡3j·2 x¡5¡(x¡3)·2x¡5 x¡3·2x¡5
¡x+3·2 x¡5x¡2x·¡ 5 + 3
¡x¡2x·¡ 5¡3¡x·¡ 2
¡3x·¡ 8 ¡x¸¡ 2
x¸
8
3
As¶³ debe cumplirseAs¶³ debe cumplirse
x¸
8
3
yx<3 x¸2yx¸3
)S1=
·
8
3
;3
·
)S2=[3;+ 1[
Enconsecuenciael conjunto soluci¶onS;dejx¡3j ·2x¡5 esS1[S2; o seaS=
·
8
3
;+1
·
10.)jxj+3¸2
x
Como
jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡x six <0
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 0 +1
jxj ¡x x
jxj+3¸2 x¡x+3¸2 xx+3¸2x
¡x¡2x¸¡ 3x¡2x¸¡ 3
¡3x¸¡ 3 ¡x¸¡ 3
x·1 x·3
As¶³ debe cumplirseAs¶³ debe cumplirse
x·1yx <0x·3yx¸0
)S1=]¡ 1;0[)S2=[0 ;3]www.cienciamatematica.com

32. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.31
En consecuencia el conjunto soluci¶onS;dejxj+ 3¸2xesS1[S2o seaS= ]¡ 1;3]
11.)
6
p
(2x+1)
6
>3
6
p
(2x+1)
6
>3( ) j2x + 1j>3
() 2x+ 1>3 o 2x + 1<¡3
() 2x >2 o 2x < ¡4
() x >1 ox <¡2
S1= ]1;+1[ y S2= ]¡ 1;¡2[
El conjunto soluci¶onS;de
6
p
(2x+1)
6
>3 esS1[S2;o seaS= ]1;+1[[]¡ 1;¡2[
12.)
s
µ
2
5
x+1
¶
2
¡x
<2
s
µ
2
5
x+1
¶
2
¡x
<2()
¯
¯
¯
¯
2
5
x+1
¯ ¯
¯
¯
¡x
<2
Para este caso se tiene que:
¯
¯
¯
¯
2
5
x+1
¯
¯
¯
¯
=
8
>
>
>
<
>
>
>
:
2
5
x+1
six¸
¡5
2
¡
µ
2
5
x+1
¶
six
<
¡5
2
Conesta
informai¶on construimos la tabla siguiente:www.cienciamatematica.com

33. 32Valor Absoluto
¡1
¡5
2
+1
¯
¯
¯
¯
2
5
x+1
¯ ¯
¯
¯ ¡
µ
2
5
x+1
¶
2
5
x+1
¯
¯
¯
¯
2
5
x+1
¯ ¯
¯
¯
¡x
<2
¡(
2
5
x+1)¡x
<22
5
x+1¡x
<2
¡2
5
x¡1¡x<2
2
5
x¡x<2¡1
¡2
5
x¡x<2
+ 1¡3
5
x<1
¡7
5
x<3 x>
¡
5
3
x>
¡
15
7
As¶³ debe cumplirseAs¶³ debe cumplirse
x>
¡
15
7
yx<
¡
5
2
x>
¡
5
3
yx¸
¡5
2
)S1=; )S2=
¸
¡5
3
;+1
·
)S=S1[S2=
¸
¡5
3
;+1
·
Ejercicios5
Resuelv
a cada una de las siguientes inecuaciones:
1.)j2x¡3j<7
2.)j3x+ 5j ·12
3.)
p
(9x+8)
2
· ¡3
4.)j13x¡15j>0
5.)j3 + 2x j>5
6.)j ¡2x+ 6j ¸ ¡4
7.)j2x¡7j+x¸6
8.)
8
p
(5¡2x)
8
<x¡7
9.)
2j3¡xj+ 3x >3
10.)¡2j7 +xj ¡3x·0
11.)
s
µ
x
2
+
2
3
¶
2
¸1www.cienciamatematica.com

34. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.33
12.) 2
p
(2x+7)
2
·x
Ejercicios
6
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.)jx¡1j+jx+ 1j<4
2.)jx¡2j+ 3jxj ·6
3.)j4¡xj+j2x¡5j>7¡x
4.)jxj ¡2
p
(6¡x)
2
¸x
Soluci¶on
1.)j
x¡1j+jx+ 1j<4
En este caso se tiene que:
jx¡1j=
8
<
:
x¡1 si x¸1
¡(x¡1) six <1
jx+ 1j=
8
<
:
x+ 1 si x¸ ¡1
¡(x+ 1) six <¡1
As¶³:
¡1 ¡1 1 +1
jx¡1j ¡(x¡1) ¡(x¡1) x¡1
jx+1 j ¡(x+1) x+1 x+1
jx¡1j+jx+1j<4¡(x¡1)+¡( x+ 1)<4¡(x¡1)+x+ 1<4x¡1+x+ 1<4
¡x+1¡x¡1<4 ¡x+1 +x+ 1<42x<4
¡2x<4 2<4 x<2
x>¡ 2
S1=]¡2 ;¡1[S2=[ ¡1;1[S3=[1;2[
)ComoS=S1[S2[S3;entonces:S= ]¡2;2[www.cienciamatematica.com

35. 34Valor Absoluto
2.)jx¡2j+3 jxj ·6
En este caso se tiene que:
jx¡2j=
8
<
:
x¡2 si x¸2
¡(x¡2) six <2
y
jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡x six <0
Con esta informaci¶on construimos la siguiente tabla:
¡1 0 2 +1
jx¡2j ¡(x¡2) ¡(x¡2) x¡2
jxj ¡x x x
jx¡2j+3 jxj ·6¡(x¡2)+ 3(¡x)·6¡(x¡2)+ 3x·6x¡2+ 3x·6
¡x+2¡3 x·6¡x+2 + 3x·64x·6+ 2
¡4x·6¡2 2x·6¡2 4x·8
¡4x·4 2x·4 x·2
x¸¡1 x·2
S1=[ ¡1;0[S2=[0 ;2[S3=f2g
ComoS=S1[S2[S3entoncesS= [¡1;2]
3.)j4¡xj+j2x¡5j>7¡x
Como:
j4¡xj=
8
<
:
4¡xsix·4
¡(4¡x) six >4
y
j2x¡5j=
8
>
>
<
>
>
:
2x¡5 si x¸
5
2
¡(2x¡5)six
<
5
2www.cienciamatematica.com

36. J.Rodr¶³guez S. A. Astorga M.35
As¶³:
¡1 5=2 4 +1
j4¡xj 4¡x 4¡x ¡(4¡x)
j2x¡5j ¡(2x¡5) 2x¡5 2x¡5
j4¡xj+j2x¡5j>7¡x4¡x+¡(2x¡5)>7¡x4¡x+2 x¡5>7¡x¡(4¡x)+ 2x¡5>7¡x
4¡x¡2x+5>7¡x ¡x+2 x+x >7 + 5¡4¡4+x+ 2x¡5>7¡x
¡x¡2x+x>7¡5¡4 2x>8 x+2x+x >7 + 5 + 4
¡2x>¡ 2 x>
8
2
4x>16
x<1 x>4 x>4
S1=]¡ 1;1[ S2=; S3=]4 ;+1[
ComoS=S1[S2[S3entoncesS= ]¡ 1;1[[]4;+1[
4.)jxj ¡2
p
(6¡x)
2
¸x
jxj¡2
p
(6¡x)
2
¸x()
j
xj ¡2j6¡xj ¸x
Adem¶as:
jxj=
8
<
:
xsix¸0
¡x six <0
y
j6¡xj=
8
<
:
6¡xsix·6
¡(6¡x) six >6
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37. 36V alor Absoluto
¡1 0 6 +1
jxj ¡x x x
j6¡xj 6¡x 6¡x ¡(6¡x)
jxj¡2j6¡xj ¸x¡x¡2(6¡x)¸xx¡2(6¡x)¸xx¡2(¡(6¡x))¸x
¡x¡12 + 2x¸xx¡12 + 2x¸xx+2(6¡x)¸x
¡x+ 2x¡x¸12x+2x¡x¸12x+12¡2x¸x
0¸12 2x¸12 x¡2x¡x¸ ¡12
x¸6 ¡2x¸ ¡12
x·6
)S1=; )S2=f6g )S3=;
Deaqu¶³ se tiene que:S=f6g
Ejercicios 7
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.)jx¡6j+jxj<4
2.) 4jx ¡2j+ 3jxj ¸6
3.) 3jx ¡4j ¡ j2x j ·x¡6
4.)
p
(x¡3)
2
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