Ejercicios resueltos de analisis matematico 1

analisis matematico ejercicios

1. Método de derivación logarítmica Lo utilizamos para funciones especiales: exponente variable Base variable Cuidado!! No confundir con función potencia: exponente constante base variable Ó función exponencial: exponente variable base constante  

2. Primero se debe tomar ln en ambos miembros Aplicar propiedades de los logaritmos en el segundo miembro Derivar en ambos términos Despejar “y” al otro miembro de la igualdad Reemplazar a “y” por su igual (la función dada) Ejemplos: tomamos ln en ambos miembros de la igualdad aplicamos propiedad del ln derivamos ambos miembros despejamos sustituimos a “y” por su igual ( función dada)  

3.   aplicamos ln a ambos términos aplicamos propiedad de los ln Derivamos en ambos términos Representa la derivada del término anterior  

4. Resolver los siguientes ejemplos  

5.   derivada del término anterior  

7. . .1  

8. Respuestas a actividades de derivada Actividad 1  

9. ó  

10. ó   a y b son constantes, por lo tanto el cos( a+b ) es constante. La derivada es K. f (x)

11. k)  

12. Actividad 2: Método de derivación logarítmica a)  

13. b)  

14. En los próximos ejercicios les damos resultado final. No todo el procedimiento. c) d) e) .  

15. Respuestas actividad 4. Guía de derivadas  

16. b)    

18. d)    

19. Actividad 5 . Determinar recta tg y normal a una curva en (0;0)   Reemplazando, la pendiente y el par ordenado por donde toca la tag a la curva en el modelo lineal, se obtiene la ordenada.

20. Para el cálculo de la normal, recordar las condiciones de perpendicularidad   Una vez determinada la pendiente, reemplazamos dicha pendiente y el par ordenado correspondiente, en el modelo lineal, para determinar la ordenada de la normal    

21. b) en (1;0)     Para determinar la ordenada de la recta tg reemplazamos la pendiente y el par ordenado en el modelo lineal

23. en (0;1)     Reemplazando, la pendiente y el par ordenado, en el modelo lineal, se obtiene la ordenada correspondiente a la tangente.

24.         Reemplazando, la pendiente y el par ordenado, en el modelo lineal, se obtiene la ordenada correspondiente a la normal.

25. en   Escriba aquí la ecuación. En este caso sólo tenemos el valor de x, entonces debemos calcular la ordenada de la curva, donde la recta tag toca a dicha curva. Reemplazamos el valor en la función dada: Entonces el par ordenado común a la curva y la recta tg es: (3;0) Ahora calculamos la pendiente  

27. Actividad 6. Indicar los puntos donde la recta tg es horizontal Para que una curva presente tg horizontal para algún punto de su dominio, la pendiente de dicha recta debe ser cero Si: la derivada primera debe ser cero para que la tg sea horizontal Si igualamos la derivada 1° a cero, nos aseguramos que la pendiente sea igual a cero y entonces, la tg será horizontal para esos puntos.  

28. ^   La curva presenta tg horizontal en los puntos del dominio: ^  

29.         La derivada 1° no se puede anular para ningún valor de “x” ya que el numerador es una constante. Por lo tanto la función no presenta tg horizontal para ningún punto de su dominio.

30. 1-Resolver las siguientes integrales a)     b)        

31. 2-Calcular el área comprendida entre a) b)        

32. 3-Dada la función: determine dy y Δ y para x=3 y Δ x=0,01  

33. 4- Ejercicios de aplicación a) Si el costo marginal de una empresa es encontrar la función Costo Total, sabiendo que cuando se producen 6 unidades, el costo total es de 100 pesos b) Dadas las funciones: Calcule la Utilidad total para un rango de producción de 0 a 3 unidades.    

34.         1-Resolver las siguientes integrales

37.   v=            

38.   Eje x   Eje x   2-Calcular el área comprendida entre

39.                 a)

40.   Área total Eje x       +   Área total B)

41. Eje x         Área=   C)

42. 3-Dada la función: determine dy y Δ y para x=3 y Δ x=0,01           Por definición:          

43. 4- Ejercicios de aplicación a) Si el costo marginal de una empresa es encontrar la función Costo Total, sabiendo que cuando se producen 6 unidades, el costo total es de 100 pesos CT: CT= 20 b) Dadas las funciones: Calcule la Utilidad total para un rango de producción de 0 a 3 unidades.  

44. 4- Ejercicios de aplicación b) Dadas las funciones: Calcule la Utilidad total para un rango de producción de 0 a 3 unidades. Utilidad Marginal: Img – Costo Mg        

45. Análisis Marginal La derivada tiene distintas aplicaciones en la Administración y en la Economía en la construcción de las que se conocen como tasas marginales. La palabra “marginal” se utiliza para indicar una derivada , es decir una tasa de cambio. Recordemos la definición de derivada de una función:  

46. Análisis Marginal COSTO TOTAL Y COSTO MARGINAL Dada una función costo total C(x) que represente el costo de producir una “x” cantidad de cierto artículo, el costo marginal se calcula de la siguiente forma:   Es decir el costo marginal es la derivada de la función costo total con respecto a la cantidad producida. El costo marginal lo podemos definir como el incremento en el costo total ante el aumento de una unidad en la cantidad producida.

47. Análisis Marginal COSTO TOTAL Y COSTO MARGINAL Ejemplo: dada la función costo Determinar el costo marginal. Evaluarlo cuando la producción está dada por x=50     Cuando se han producido 50 unidades, el costo marginal de los artículos extras está dado por :  

48. Análisis Marginal COSTO TOTAL Y COSTO MARGINAL Así como a partir del costo total podemos encontrar el costo marginal, de la misma forma podemos calcular el costo total a partir del costo marginal. Ejemplo: La función de costo marginal de una empresa a un nivel de producción x es: Calcular el costo total. Calcular el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades.  

49. Análisis Marginal Calcular el costo total. Costo total= Incremento en el costo total. El incremento en el costo es de 5500.  

50. Análisis Marginal De la misma forma que ocurre con las funciones Costo, el Ingreso Marginal representa la derivada del Ingreso Total, y la Utilidad Marginal es la derivada de la función Utilidad Total. Ejemplo: La función Ingreso Marginal de una empresa es Encontrar la función Ingreso Total ¿Qué ingreso se obtendrá al vender 20 unidades?   INGRESO MARGINAL y UTILIDAD MARGINAL

51. Análisis Marginal Encontrar la función Ingreso Ingreso para 20 unidades  

52. Análisis Marginal Otro ejemplo: Dada la función IM(q)=q+1 y la función CM(q)= encontrar la Utilidad total Utilidad= Ingresos – Costos  

53. Análisis Marginal Ut= 1)=10,66   UT= 10,66

54. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) El ingreso total por 10 unidades vendidas es de $ 1900. Sabiendo que:   (Ingreso marginal) a) Determinar la función ingreso total     Con los datos del problema debemos determinar la constante de integración      

55. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2) Determinar la cantidad demandada de un cierto producto cuando el precio se instala en $40, sabiendo que la demanda para precio $30 es igual a 140 unidades y la demanda marginal es:     Con los datos del problema debemos determinar la constante de integración   +C          

56. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 3)Dada la función utilidad marginal: Determinar la función Utilidad, sabiendo que si se produce y vende 1 unidad, la utilidad total es de $1000         1000      

57. Integrales impropias Indicar si las siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes        

58.   La integral es convergente   La integral es divergente

60.       La integral es divergente. Es suficiente para que el límite de uno de los términos no exista para decir que la integral es divergente

61.       La integral es divergente. Es suficiente para que el límite de uno de los términos no exista para decir que la integral es divergente

62. Guía de trabajos prácticos Funciones de dos o más variables independientes Determinar las derivadas parciales de 1° y 2° orden. 1) 2) 3) 4) 5)  

63.   1)             Derivadas parciales de 1° orden Derivadas parciales de 2° orden iguales

64. 2)       Derivadas parciales de 1° orden             De ri va das de 2° or den

65.   3)            

66. 4)              

67. 5)            

68. 1) Verificar que las derivadas parciales de segundo orden cruzadas son iguales: 2) 3)     4)

69. 1)         Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales

70. 2)        

71. 3)               Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales

72.   4)             Derivadas de 2° orden cruzadas, iguales

73. Calcular los extremos relativos y/o puntos de silla en las siguientes funciones: 1) 2) 3) 4) 5)  

74. Calcular los extremos relativos y/o puntos de silla en las siguientes funciones: 1)             Condición necesaria pero no suficiente   Punto crítico           Existe extremo relativo en el punto crítico. Cuál? Mínimo relativo porque las derivadas de 2° orden puras son iguales. Mínimo relativo:  

75. 2)             Sustituimos en la otra ecuación                 Para determinar los puntos críticos, reemplazamos ambos valores de “x” en la relación que los vincula

76.   Para:       Para:   Dos puntos críticos                 Punto silla en:       Extremo relativo Máximo relativo

77. 3)             Por 2               Punto crítico

78.               Extremo relativo:   Máximo relativo:

79. 4)                             Punto crítico           Extremo relativo en:   Máximo relativo

80.   5)               Punto crítico           Punto silla en:  

81. Ecuaciones diferenciales. Ejercicios de aplicación 1- Determinar la función Ingreso total en función de la cantidad: sabiendo que el ingreso marginal es igual a : Y cuando la cantidad es 1 el ingreso total es: 20 US   El ingreso marginal es la tasa de cambio de la función ingreso total respecto a la cantidad “q” Por lo tanto:            

82. 2- Determine la función costo total, sabiendo que el costo marginal es: y que el costo fijo es 3.          

83. 3- Determine la función de consumo , sabiendo que la propensión marginal al consumo es: y que cuando , .         La condición inicial es que si        

84. 4- Determine el valor de una “suma inicial de dinero invertida durante “t” años a la tasa de interés “i” acumulada continuamente   La tasa de cambio de la cantidad de dinero respecto al tiempo es:                 La condición inicial es que en el instante de tiempo 0 (cero) la cantidad inicial es        

85. La relación entre el precio y la cantidad demandada es tal que la “tasa de disminución en la demanda”, a medida que el precio aumenta, es proporcional a la cantidad demanda e inversamente proporcional a la suma del precio más una constante. Encontrar la función de demanda si cuando         Solución: sea La función demanda Entonces:             Solución general   Solución particular

86. Guía de Ecuaciones diferenciales Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 1° orden 1)     2)   3) .       4)

87.               5) 6) 7) 8) 9)

88.   1)   Cambiamos simbología y despejamos     Integramos ambos miembros     El 2° miembro debe integrarse por partes        

89.   Estas condiciones iniciales deben sustituirse en la solución general para Determinar la solución particular              

90.     Despejando             2)     Propiedades de los logaritmos

91. 3)     Despejando          

92. .   4)           Solución general         Solución particular

93.     5)         Por partes   Por partes        

94.       Sustituimos en la solución general      

95.   6)   .   Ec . Diferencial lineal:         Por partes     +c    

96.     7) .   Recordemos el modelo general, el término que corresponde a la derivada de la función no puede estar multiplicado por nada. Ni funciones ni constantes. Por lo tanto, debemos primero dividir a todos los términos por Y despejando según corresponda, la ecuación diferencial queda:            

98.   8)        

99.   9)     Dos veces consecutivas por partes     Por partes nuevamente    

101.                 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 2° orden 1) 2) 3) 4) 5)   6)    

102. 1)         Ecuación característica Buscamos los valores de α   Reales y distintos   Utilizando Las Condiciones iniciales según corresponda, se determinan las constantes, resolviendo el sistema de ecuaciones que queda formado.       Multiplicamos por 3 a la 1° ecuación, y luego restamos    

103. Reemplazando        

104.   2)   Ecuación característica      

105.   3)               Sustituyendo las condiciones iniciales Nos queda el sistema:

106.     Multiplicamos por 2 la 1° ecuación y restamos miembro a miembro       Reemplazando en alguna de las ecuaciones determinamos        

107.   4)                     Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes:                

108.   5)             Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes: 1     1     Multiplicamos por 10 la 1° ecuación. Restamos miembro a miembro.    

109.     y        

110. 6)         .     Sustituyendo las condiciones iniciales en las funciones correspondientes:     10     .