Ejercicios Resueltos de Calculo II

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About This Presentation

Contiene algunas integrales indefinidas, impropias y a la vez aplicaciones de las mismas.
También puedes visitar este link, en donde hay más aporte de integrales:
http://www.slideshare.net/Carlos_Aviles_Galeas/ejercicios-resueltos-de-integrales-indefinidas-63027082
Saludos!


Slide Content

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

⇒∫�
2??????
���(�) ��
I. Resuelva las siguientes integrales:

�)∫�
2??????
���(�) ��

⇒∫�
2??????
���(�) ��=
�
2??????
���(�)
2

1
2
∫�
2??????
���(�) ��




=
�
2??????
���(�)
2

1
2
[
�
2??????
���(�)
2
+
1
2
∫�
2??????
���(�) ��]
∫�
2??????
���(�) ��+
1
4
∫�
2??????
���(�) ��=
�
2??????
���(�)
2

�
2??????
���(�)
4

∫�
2??????
���(�) ��=
4
5
(
�
2??????
���(�)
2

�
2??????
���(�)
4
)+�
∫�
2??????
���(�) ��=
2
5
�
2??????
���(�)−
1
5
�
2??????
���(�)+�
∗∗∫�
2??????
���(�) ��=
�
��
�
(� ??????��(�)−??????��(�))+�


�)∫
���
√�
2
+4�+8



���
√�
2
+4�+8
=∫
���
√�
2
+4�+4−4+8
=∫
���
√(�+2)
2
+4







??????=∫
���
√(�+2)
2
+4
=∫
2(��??????−1)∗2 ���
2
?????? �??????
2���??????
=∫2(��??????−1) ���?????? �??????

??????=∫(2 ��??????−2) ���?????? �??????=∫2 ��?????? ���??????−2 ���?????? �??????
??????=2∫��?????? ���?????? �??????−2∫���?????? �??????
??????=2 sec??????−2 ??????� |sec??????+��??????|+�
??????=√(�+2)
2
+4−2 ??????�|
√(�+2)
2
+4
2
+
�+2
2
|+�
�=??????��(�)→��=��??????(�)��
��=�
��
��→�=
�
��
�




�=��??????(�)→��=−????????????�(�)��
��=�
��
��→�=
�
��
�

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

�)∫�
2
arctan(√�)��

??????=∫�
2
arctan(√�)��=∫(�
2
)
2
arctan(�)(2���)=∫2�
5
arctan(�)��

 Ahora por partes:

??????=��−∫� ��⇒
�
6
3
arctan(�)−∫
�
6
3

��
�
2
+1

??????=
�
6
3
arctan(�)−
1
3

�
6
�
2
+1
��
 Realizando la división de polinomio (puedes emplear cualquier método que gustes).

�
6
�
2
+1
=�
4
−�
2
+1−
1
�
2
+1

 La integral queda:

??????=
�
6
3
arctan(�)−
1
3
∫(�
4
−�
2
+1−
1
�
2
+1
)��
??????=
�
6
3
arctan(�)−
1
3
(∫�
4
��−∫�
2
��+∫��−∫
��
�
2
+1
)
??????=
�
6
3
arctan(�)−
1
3
(
�
5
5

�
3
3
+�−arctan(�)+??????
1)
??????=
�
6
3
arctan(�)−
�
5
15
+
�
3
9

�
3
+
1
3
arctan(�)−
1
3
??????
1

 Variable original: �=√�
 Además −
1
3
??????
1=??????⇒??????��������
∫�
2
arctan(√�)��=
�
3
3
arctan(√�)−
√�
5
15
+
√�
3
9

√�
3
+
1
3
arctan(√�)+??????


�)∫
�
4
��
(�−1)
3


??????=∫
�
4
��
(�−1)
3
=∫
(�+1)
4
��
�
3
=∫
�
4
+4�
3
+6�
2
+4�+1
�
3
��
??????=∫
�
4
�
3
+∫
4�
3
�
3
+∫
6�
2
�
3
+∫
4�
�
3
+∫
1
�
3
��
??????=∫�+∫4+∫
6
�
+∫4�
−2
+∫�
−3
��
??????=
�
2
2
+4�+6ln|�|−
4
�

1
2�
2
+??????
??????=
(�−1)
2
2
+4(�−1)+6 ln|�−1|−
4
�−1

1
2(�−1)
2
+??????

√�=� ⇒ �=�
2

��=2���

�=�−1⇒�=�+1
��=��
�
4
=(�+1)
4


�=arctan(�)⇒��=
��
�
2
+1

��=2�
5
��⇒�=
�
6
3

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

�)∫
��
4���(�)−3cos (�)


 Aplicamos sustitución universal, para ello recordemos que:
{




sen(�)=
2�
1+�
2
cos(�)=
1−�
2
1+�
2
��=
2
1+�
2
��


Entonces:
??????=∫
��
4���(�)−3cos (�)
??????���.??????�??????������
→ ∫
(
2�
1+�
2
)
4(
2�
1+�
2
)−3(
1−�
2
1+�
2
)
��=∫
(
2�
1+�
2
)
(
8�
1+�
2
)−(
3−3�
2
1+�
2
)
��=∫
(
2�
1+�
2
)
(
8�−3+3�
2
1+�
2
)
��
??????=∫
2
(3�
2
+8�−3)
��⇒�������� ��� ??????��������� ����??????����
??????=∫
2
(3�
2
+8�−3)
��=
3
5

��
3�−1

1
5

��
�+3
=
1
5
��|3�−1|−
1
5
��|�+3|+�
??????=∫
2
(3�
2
+8�−3)
��=
1
5
��|3tan(
�
2
)−1|−
1
5
��|tan(
�
2
)+3|+�

�)∫�
??????
√1−�
2??????
��
??????=∫�
??????
√1−�
2??????
��=∫�
??????
√1−(�
??????
)
2
��
??????=∫�
??????
√1−(�
??????
)
2
��
??????���??????� �� ���??????����
→ ∫√1−�
2

 Hacemos una sustitución trigonométrica:





 Tenemos que:

??????=∫√1−�
2

??????���. ��????????????�������??????��
→ ∫cos(�)cos(�)��= ∫���
2
(�) ��

 Aplicamos la identidad trigonométrica:
 Entonces:
??????=∫���
2
(�) ��=
1
2
∫[cos(2�)+1]��=
1
2
[
1
2
���(2�)+�]+??????=
���(2�)
4
+
�
2
+??????

 Ahora, recuerda que:

 Por lo tanto:
??????=∫���
2
(�) ��=
���(�)cos (�)
2
+
�
2
+??????

 Regresamos la sustitución trigonométrica:
??????=∫√1−�
2
��=
�√1−�
2
2
+
������(�)
2
+??????

 Finalmente, regresamos el cambio de variable:

∫�
??????
√1−�
2??????
��=
�
??????
√1−�
2??????
2
+
������(�
??????
)
2
+??????


�=�
??????
⇒ ��=�
??????
��


{
���(�)=�⇒�=������(�)
cos(�)��=��
cos(�)=√1−�
2

���
2
(�)=
1
2
[cos(2�)+1]


���(2�)=2���(�)cos (�)

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

II. Determine si las siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes:

�)∫
��
� ln (�)
+∞
�


??????=∫
��
� ln (�)
+∞
�
⇒lim
�→+∞

��
� ln (�)
�
�


⇒??????=lim
�→+∞

��
�
lnb
1
=lim
�→+∞
[ln�]
1
lnb


??????=lim
�→+∞
[ln(ln�)−1]
??????=+∞−1
??????=+∞⇒∴Diverge

�)∫
��
16+�
2
+∞
−∞


??????=∫
��
16+�
2
=∫
��
�
2
+4
2
=lim
�→0

��
�
2
+4
2
�
−�
+∞
−∞
+∞
−∞


 Recordar que:

 Entonces:
??????=lim
�→0

��
�
2
+4
2
�
−�
=
1
4
lim
�→0
[arctan(
�
4
)]
−�
�

??????=
1
4
[lim
�→0
arctan(
�
4
)−arctan(−
�
4
)]=
1
4
[lim
�→0
arctan(
�
4
)+arctan(−
�
4
)]

??????=
1
2
lim
�→0
arctan(
�
4
)
??????���??????� �� ���??????����
→ {
�=
�
4
�?????? �→∞⇒�→∞

 Entonces, nos queda lo siguiente:

??????=
�
�
�??????�
�→∞
??????�??????�??????�(�)=
�
�

??????
�
=
??????
�
⇒ ∴??????�������

�=ln(�)⇒��=
��
�

�?????? �=�⇒�=ln(�)=1
�?????? �=�⇒�=ln(�)


��
�
2
+�
2
=
1
�
arctan(
�
�
)+�

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

??????=
2��
2
=��
[2�]
2
=�
2
+�
2
⇒�
2
=4�
2
−�
2

⋯⇒�
2
=3�
2
⇒�=√3�
??????=�
√3
4
�⇒ ∴??????=
√3
4
�
2


III. La base de un sólido está acotada por las curvas �=�+1,�=�
2
−1.
Calcule el volumen del sólido, si las secciones transversales perpendiculares al eje
x son triángulos equiláteros con uno de sus lados sobre la base del sólido.

 Gráficamente:




















 Hallar los puntos de corte, igualando ambas funciones

�+1=�
2
−1
�
2
−1−�−1=0
�
2
−�−2=0⇒(�+1)(�−2)={
�+1=0⇒�=−1
�−2=0⇒�=2


 Luego, Encontrar el área de un triángulo equilátero:








 Luego, la función del área encerrada es:
�=[�(�)−�(�)]
�=�+1−�
2
+1⇒�=�−�
2
+2

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

 Entonces:

??????=∫??????(�)��⇒∫
√3
4
�
2
��=∫
√3
4
(�−�
2
+2)
2
��=∫
√3
4
[−(�−�
2
−2)]
2
��
�
�
�
�
�
�
�
�

??????=∫
√3
4
[−{(�−2)(�+1)}]
2
��=∫
√3
4
(�−2)
2
(�+1)
2
��=∫
√3
4
(�
2
−4�+4)(�
2
+2�+1)��
�
�
�
�
�
�

??????=∫
√3
4
(�
4
−4�
3
+4�
2
+2�
3
−8�
2
+8�+�
2
−4�+4)��
�
�

??????=∫
√3
4
(�
4
−2�
3
−3�
2
+4�+4)��
�
�

Pero, �=−1 ∧ �=2
??????=∫
√3
4
(�
4
−2�
3
−3�
2
+4�+4)��
2
−1

??????=
√3
4
[
�
5
5

�
4
2
−�
3
+2�
2
+4�]
−1
2


??????={
√3
4
[
(2)
5
5

(2)
4
2
−(2)
3
+2(2)
2
+4(2)]}−{
√3
4
[
(−1)
5
5

(−1)
4
2
−(−1)
3
+2(−1)
2
+4(−1)]}

??????={
√3
4
[
32
5

16
2
−8+2(4)+4(2)]}−{
√3
4
[−
1
5

1
2
+1+2(1)+4(−1)]}

??????={
√3
4
[
32
5
−8−8+8+8]}−{
√3
4
[−
1
5

1
2
+1+2−4]}
??????=
√3
4
[
32
5
]−{
√3
4
[−
1
5

1
2
+1+2−4]}

??????=
√3
4
[
32
5
]−{
√3
4
[−
1
5

1
2
−1]}

??????=
√3
4
[
32
5
]+
√3
4
[
17
10
]

??????=
��√�
��
≈�.�� �
�



IV. La región limitada por �=�
2
,�=0,�=0,�=4, se hace girar alrededor
del eje y, halle el valor de y en el intervalo [0,4] que divide el sólido de
revolución en dos partes de igual volumen.

 Suponemos que el valor de � divide el
volumen en dos partes: �=��=�.
Entonces los volúmenes serán:
∴??????
1=??????∫(√�)
2
��
�
0

∴??????
2=??????∫(√�)
2
��
4
�

 Observación: El método implementado
es el método de disco. Y, por lo tanto, se
integrada con respecto a �.

EJERCICIOS VARIOS
CALCULO II
Elaborado por: CARLOS AVILES GALEAS

 La ecuación �=�
�
la necesitamos en términos de �. Entonces al
despejar � queda: �=�
�
⇒�=√�

 Resolver las integrales planteadas:

∴??????
1=??????∫(√�)
2
��=??????∫���=??????
1
2
�
0
�
0
�
2
|
0
�
=??????
1
2
�
2

∴??????
2=??????∫(√�)
2
��=??????∫���=??????
1
2
4
�
4
�
�
2
|
4
�
=??????
1
2
4
2

1
2
�
2
⇒??????(8−
1
2
�
2
)

 Y como necesitamos que el volumen total sea dividido en dos partes
iguales esto es lo mismo que decir que necesitamos que ??????
1=??????
2
por ende tenemos la ecuación:
??????
1
2
�
2
=??????(8−
1
2
�
2
)
??????
1
2
�
2
??????
=
??????(8−
1
2
�
2
)
??????
=
1
2
�
2
=8−
1
2
�
2


⋯2(
1
2
�
2
)=2(8−
1
2
�
2
)⇒�
2
=16− �
2

⋯⇒�
2
+�
2
=16⇒2�
2
=16⋯
⋯�
2
=
16
2
⇒�
2
=8⇒√�=√8⇒�=�√�≈�.�� �
�



V. Halle el volumen del solido de revolución, obtenido al rotar sobre el eje x,
la región limitada por la parábola �=�
2
y las rectas �=
??????
2
,�=1,�=2.















??????=??????∫[(�
2
)
2
−(
�
2
)
2
]��
2
1

??????=??????∫[�
4

�
2
4
]��
2
1

??????=??????[
�
5
5

�
3
12
]
1
2

??????=??????[
32
5

2
3

1
5
+
1
12
]
??????=??????[
31
5

7
12
]⇒??????[
337
60
]
??????=
���
��
??????