Ejercicios Resueltos de Calculo Vectorial

Ejercicios resueltos sobre integrales de linea, de superficie, teorema fundamental de integrales de linea y teorema de Green.

1. Observación General: la mayoría de las integrales que no requieran ningún
análisis con respecto al Cálculo Vectorial se resolverán usando un sistema
algebraico por computadora o tablas de integrales y sólo aparecerá su resultado.
Ejercicio 13.2.12. Evalúe la integral de línea, donde C es la curva dada.
+ +


: =

, =

, =

, 0 ≤ ≤ 1
Solución.
Se expresa todo en términos de t
=

, =

, =

, = 2, = 3

, = 2
(

)(2 )+


(

)(3

)+(

)(2 )
= (2

+ 3

+ 2

) = (2

+ 5

) =
1
2


+




=
1
2
+ 1 =
3
2





Ejercicio 13.3.5. Determine si F es un campo vectorial conservativo. De ser así,
halle una función f tal que F = ∇.
!(, )= "
#
$! + "
%
&!
Solución.
Sean '(, )= "
#
y ((, )= "
%
. Si
)*
)+
=
),
)-
, entonces, F es conservativo.
.'
.
= "
#
≠ "
%
=
.(
.

Entonces F no es conservativo.
Ejercicio 13.3.19. Determine si la integral de línea es independiente de la
trayectoria y evalúe la integral.
tan

+ 3"4


C es cualquier trayectoria de (1, 0) a (2, 5/4).
Solución.

2. Sea !(, )= tan $! + 3"4

&!
Sean '(, )= tan y ((, )= 3"4

; entonces, como
.'
.
= 3"4

= 3"4

=
.(
.

Este campo es conservativo. Así que la integral es independiente de la trayectoria,
ya que, las integrales de línea para campos vectoriales conservativos son
independientes de la trayectoria.
Como F es un campo vectorial conservativo, existe una función f tal que = 8.
Se tiene que
(, )= ∇(, )=
.
.
$! +
.
.
&! = tan $! + 3"4

&!
Entonces
9:
9%
= tan y
9:
9#
= 3"4

; de modo que
tan = ;< + = 3"4


Así (, )= ;< ; entonces, por el Teorema Fundamental para Integrales de
Línea:
tan + 3"4

= =2,
5
4
> − (1,0)= 2 tan
5
4
− 1 tan 0 = 2 − 0 = 2


Ejercicio 13.4.5. Compruebe el teorema de Green utilizando un sistema algebraico
por computadora con el fin de evaluar la integral de línea y la integral doble.
'(, )=



, ((, )= −
@

A
, "3 B; 4CD4E<"D"<4C;

+

= 1
Solución.
C debe parametrizarse: = cos I, = 3"< I.
Entonces.

+

= 3"<

I + 4K3

I = 1, 0 ≤ I ≤ 25.
La integral de línea es:

3. ' + (

= 4K3

I3"<

I(−3"< I)I +
L

−4K3
@
I3"<
A
I(cos I)I
L

?
295
1024

La integral doble es:
N O
.(
.
?
.'
.
P Q (?7
A

A
? 5



) ?
295
1024
√T%
U
T√T%
U

T
V

Entonces
' ( ?
295
1024
N O
.(
.
?
.'
.
P Q
V

De manera que se ha verificado el teorema de Green.
Ejercicio 13.4.15. Aplique el teorema de Green con el objeto de evaluar WX ∙ Z

.
(Antes de aplicar el teorema verifique la orientación de la curva.)
X(, )〈"
%


, "
#
?

〉, "3 B; 4CD4E<"D"<4C;



25
orientada en el sentido de las manecillas del reloj.
Solución.
Sean '(, ) "
%


y ((, ) "
#
?



Figura 1. Circunferencia de radio 5.

4. La integral de línea es
d("
%


("
#
?

)

[Q]
? N g
.
.
("
#
?

)+
.
.
("
%


) Q
V
? N(?

?

) Q
V
N(



) Q
V
[h] D

DDI


L

I∙ D

D = 25g
1
4
D




=
5
2
(5

)=
6255
2


L


Nota: Se aplicaron los procedimientos [A]:=Aplicación del teorema de Green,
[B]:=Cambio a coordenadas polares.
13.5.18. ¿Existe un campo vectorial G sobre ℝ

tal que DK k
lll!= $! + &! + ml! ?
Explique su respuesta.
Solución.
Se sabe que si != '$! + (&! + nml! es un campo vectorial sobre ℝ

, y P, Q y R
tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces
Co DK != 0
Aplicando este resultado al DK k! del ejercicio se tiene
CopDK k!q=
.
.
()+
.
.
()+
.
.
()= 0 + + 0 = ≠ 0
Así que G no existe.
Ejercicio 13.5.21. Demuestre la identidad, suponiendo que existen las derivadas
parciales adecuadas y que estas son continuas.
Cop !+ k!q= Co !+ Co k!
Solución.

5. Sean ! '$! (&! nml! y k! r$! s&! tml!, entonces
! k!' r$! ( su! n tml!
Se tiene que:
Co p ! k!q
.' r
.

.( s
.

.n t
.

.'
.

.(
.

.n
.

.r
.

.s
.

.t
.
O
.'
.

.(
.

.n
.
P O
.r
.

.s
.

.t
.
P Co ! Co k!
Así queda demostrado.
Ejercicio 13.6.14. Evalúe la integral de superficie dada.
r
v

S es la frontera de la región delimitada por el cilindro



1 y los planos
0 y 2.
Solución.
A continuación, varias vistas de la región del problema.

6. Sean r
, r
, r
, la parte del cilindro que pertenece a la superficie S, el plano
2, y el plano 0, respectivamente.
r
: D!I, 3"< I $! &! cos I m
l!, 0 I 25, 0 2 ? 3"< I
wD!
xy D!
#w z
$! &! m
l!
cos I 0 ?3"< I
0 1 0
z w3"< I$! ? 0&! cos I ml!w{3"<

I 4K3

I
1
Entonces
N r 3"< I
T|}~ x

L

v

I

1
2
3"< I 2 ? 3"< I

I
1
2
L

4 3"< I ? 4 3"<

I
L

3"<

I I
25
r
: D!, $! 2 ? &! m
l!
‖D!
%y D!
?‖‖?$! ? &!‖ √2
,



1.
N r N 2 ? √2 Q
V
√22D3"< I ? D

3"<

II
?√2
4


L

5
vU

7. ';D; r
: N r N 0 r
v?v?
0
Entonces:
r
v
25 ?
√2
5
4
?
5
4
8 √2
Ejercicio 13.6.26. Evalúe la integral de superficie ∬ !∙ r!
v
para el vector de
campo F dado y la superficie orientada S. En otras palabras, calcule el flujo de F a
lo largo de S. Para superficies cerradas, utilice la orientación positiva (hacia
afuera).
!, , $! ? &! m
l!
S es la superficie del tetraedro con vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
Solución.

Figura 2. Región vista por un
observador en el primer octante.

Figura 3. Región vista por un
observador desde el origen.

Sean r
: B; 4;D; 3E?"DCKD "B ?B;<K 1,
r
: B; 4;D; ?E" "3á 3K?D" "B ?B;<K , r
: B; 4;D; ?E" "3á 3K?D" ?B;<K ,
r
: B; 4;D; ?E" "3á 3K?D" "B ?B;<K .

8. Como la superficie 1 está dada por = ?(, )= 1 − − , se puede considerar x
y y como parámetros y utilizar la siguiente ecuación:
N !∙ r!
v
= N O−'
.?
.
− (
.?
.
+ nP Q =
V

'(, , )= , ((, , )= − .
Pero: = 1 − − . Entonces: ((, , )= 1 − − 2.
n(, , )= .
.?
.
= −1
.?
.
= −1
';D; r
:
N !∙ r!
v
= N −(−1)+ 1 − − 2 + Q
V
= N( + 1 − − 2 + )Q = (1 − ) =
1
3
#T%



V

';D; r
: Está orientado a la izquierda por lo que <l
!= &!.
N !∙ r!
vU
= N !∙(−&!)r = N(− + )Q = (−)
T%

= −
1
6


Vv


Nota: en la integral doble y=0 porque la superficie está sobre el eje xz.
';D; r
: Está orientado hacia el eje x negativo por lo que <
l!= −$!.
N !∙ r!
v?
= N !∙(−$!)r = N(−)Q = (−)
T?

= −
1
6


Vv
?

';D; r
: Está orientado hacia abajo por lo que <l
!= −ml!.

9. N !∙ r!
v?
= N !∙p−ml!qr = N(−)Q = (−)
T#

= −
1
6


Vv
?

Entonces:
N !∙ r!=
v
N !∙ r!+
v
N !∙ r!+
vU
N !∙ r!+
v?
N !∙ r!=
1
3
−
1
6
−
1
6
−
1
6
= −
1
6
v?