Ejercicios resueltos de matrices - Matrices conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental y equivalente

1. BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL

EJERCICIOS resueltos

(Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)

MATRIZ CONMUTABLE
 Las matrices A y B son conmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A
conmutables con B si:

A= y, B=
Desarrollo:

A.B= Λ B.A=

Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:
=

a = a+c c = c V a+b = b+d c+d = d
c = 0 a = d c = 0

A es conmutable con B si a, b, d Є R Λ a = d Λ c = 0



MATRIZ IDEMPOTENTE

2. BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL

 Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A
2
Pruebe que la siguiente matriz:

B = es idempotente.
Desarrollo:

B
2
= * = = B

MATRIZ NILPOTENTE
 Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2

A =

Desarrollo:

A
2
= * =

A
2
= Se dice que es nilpotente de orden 2
MATRIZ INVOLUTIVA

3. BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL

 Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva

A = ; Por demostrar: A
2
= I

Desarrollo:
A
2
= * =

A
2
= I


MATRIZ ELEMENTAL
La matriz elemental es el resultado de aplicar una operación fundamental de fila a la
matriz identidad
 Hallar una matriz elemental de la siguiente matriz:

A =


Desarrollo:

A = ≈

F2 + F3

4. BY: HUGO FABRICIO ANAGUANO ANGARA ALGEBRA LINEAL

⇒ IA = ≈ Esta es una matriz elemental


MATRIZ EQUIVALENTE

 Sean A = y R =
a.- ¿A es inversible?
b.- Demostrar que A ≈ R. Es decir, determinar una matriz P inversible tal que R = P.A
Desarrollo:

(A I I) = ≈ ≈


 Conclusiones:

a.- A no es inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada
reducida por filas que no es la matriz identidad

b.- A ≈ R y P = donde P.A = * = = R

F2 + F3
F3 + F1
F3 -2 F2
(-1)F2
P R