Ejercicios resueltos edo exactas

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Diferenciales Exactas y convertibles a exactas

1. CAPÍTULO
2
Métodos desolución deED deprimer orden
2.6 Ecuaciones diferenciales exactas
Antes de abordar este tema sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre
algunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables. Ahí se define la diferencial
exacta o total de una función de dos variablesf .x; y/de la siguiente manera:
dfD
@f
@x
dxC
@f
@y
dy :
Comenzamos entonces con una definición básica.
Una expresiónM.x; y/ dxCN.x; y/ dyD0es una ecuación diferencialexactasi cumple alguna de las
siguientes condiciones equivalentes:
1.M.x; y/ dxCN.x; y/ dyes la diferencial exacta de una funciónf.
2.Existe una funciónf .x; y/tal quedfD
@f
@x
dxC
@f
@y
dyDM.x; y/ dxCN.x; y/ dy.
3.Existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM.x; y/&
@f
@y
DN.x; y/.
SiM.x; y/ dxCN.x; y/ dyD0es una ecuación diferencial exacta, entonces se puede expresar como
df .x; y/D0para alguna funciónf .x; y/, por lo que
df .x; y/D0,f .x; y/DC ;
dondeCes una constante arbitraria.
Diremos entonces quef .x; y/DC, conC2R, esla solución generaldel la ecuación diferencial
exactaM.x; y/ dxCN.x; y/ dyD0.
1
canek.azc.uam.mx: 14/ 1/ 2010
1

2. 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.6.1Mostrar que la ED.3x
2
y/ dxC.3y
2
x/ dyD0es exacta y que tiene por solución general
x
3
xyCy
3
DC.
HEn efecto,
f .x; y/Dx
3
xyCy
3
)
@f
@x
D3x
2
y&
@f
@y
D xC3y
2
:
Luego:
dfD
@f
@x
dxC
@f
@y
dyD.3x
2
y/ dxC.3y
2
x/ dy :
Por lo que:
.3x
2
y/ dxC.3y
2
x/ dyD0es una ecuación diferencial exacta.
Su solución general esf .x; y/DC. Esto es:
x
3
xyCy
3
DC :

Ejemplo 2.6.2Mostrar que la ED.senyCysenx/ dxC.xcosycosx/ dyD0es exacta y que tiene por solución
generalxsenyycosxDC.
HEn efecto,
f .x; y/Dxsenyycosx)
@f
@x
DsenyCysenx&
@f
@y
Dxcosycosx :
Luego:
dfD
@f
@x
dxC
@f
@y
dyD.senyCysenx/ dxC.xcosycosx/ dyD0es una ED exacta:
Y su solución general esf .x; y/DC. Esto es:
xsenyycosxDC :

En los dos ejemplos anteriores, la solución generalf .x; y/DC, cuya diferencial totaldfaparece en la
ecuación diferencial exactadf .x; y/D0, fue proporcionada. Sin embargo, usualmente no sucede así,pues
tenemos la ED y buscamos su solución. Esto plantea las interrogantes:
1.¿Qué hacer cuando no se conoce la funciónf .x; y/, solución de la ecuación diferencial?.
2.¿Cómo identificar si una ecuación en su forma diferencial es exacta?.
3.Y una vez identificada, ¿cómo calcular o determinar la funciónf .x; y/, solución de la ecuación
diferencial?.
Las respuestas a estas preguntas están dadas en el siguienteteorema.
Teorema.SiM.x; y/,N.x; y/,
@M
@y
, &
@N
@x
son funciones continuas en una región rectangular
RD

.x; y/2R
2




a < x < b&˛ < y < ˇ

;
entonces
M.x; y/ dxCN.x; y/ dyD0es exacta si y solo si
@M
@y
D
@N
@x

3. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 3
en cada punto.x; y/2R.
El teorema anterior es equivalente al siguiente teorema:
Teorema.SiM.x; y/,N.x; y/,
@M
@y
, &
@N
@x
son funciones continuas en una región rectangular
RD

.x; y/2R
2




a < x < b&c < y < d

;
entonces existef .x; y/tal que
@f
@x
DM.x; y/&
@f
@y
DN.x; y/si y solo si
@M
@y
D
@N
@x
en cada punto.x; y/2R.
Vamos a dar un esbozo de la demostración de este teorema.
))Si existef .x; y/tal que
@f
@x
DM.x; y/&
@f
@y
DN.x; y/entonces
@M
@y
D
@N
@x
.
HEn efecto
@f
@x
DM.x; y/)
@
@y
M.x; y/D
@
@y

@f
@x

D
@
@y
fxDfxy:
También
@f
@y
DN.x; y/)
@
@x
N.x; y/D
@
@x

@f
@y

D
@
@x
fyDfyx:
PerofxyDfyxpor las condiciones de continuidad de la hipótesis del teorema. Por lo tanto:
@M
@y
D
@N
@x
:
Esta igualdad es la que nos permite identificar a una ED exacta.

()Si
@M
@y
D
@N
@x
entonces existef .x; y/tal que
@f
@x
DM.x; y/&
@f
@y
DN.x; y/.
HPara demostrar la existencia de la funciónf .x; y/debemos construirla de tal manera que cumpla
con las condiciones
@f
@x
DM.x; y/&
@f
@y
DN.x; y/.
Partiendo de la primera condición
@f
@x
DM.x; y/e integrando con respecto axse tiene:
Z
x
@f
@x
dxD
Z
x
M.x; y/ dx)f .x; y/D
Z
x
M.x; y/ dxDP.x; y/Ch.y/; (2.1)
donde
@
@x
P.x; y/DM.x; y/&h.y/es laconstante de integración, que en este caso debe ser una función
únicamente dey.
Derivando respecto ayesta funciónf .x; y/
@f
@y
D
@
@y
ŒP.x; y/Ch.y/DPy.x; y/Ch
0
.y/:
Al utilizar la segunda condición
@f
@y
DN.x; y/se tiene:
@f
@y
DN.x; y/,Py.x; y/Ch
0
.y/DN.x; y/,h
0
.y/DN.x; y/Py.x; y/;

4. 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
de donde, integrando con respecto ay:
h.y/D
Z
y
fi
N.x; y/Py.x; y/

dy:
Finalmente sustituimosh.y/en (2.1) y se obtiene:
f .x; y/DP.x; y/C
Z
y
fi
N.x; y/Py.x; y/

dy:
que es la función buscada. El desarrollo anterior es precisamente el procedimiento que debemos
seguir para la obtención de la funciónf .x; y/.

Comentarios a la demostración:
1.Para la obtención deh.y/, integramos con respecto ayla expresión deh
0
.y/:
h
0
.y/DN.x; y/Py.x; y/
Al efectuar la integración supusimos queh
0
.y/sólo depende dey. Comprobemos que esto, en efecto,
es cierto. Vamos a verificar que no depende dexdemostrando que
@
@x
h
0
.y/D0.
h
0
.y/DN.x; y/Py.x; y/D
DN.x; y/
@
@y
Z
x
M.x; y/ dxD
DN.x; y/
Z
x
@
@y
M.x; y/ dxD
DN.x; y/
Z
x
My.x; y/ dx
Estamos considerando que:
@
@y
Z
x
.x; y/ dxD
Z
x
@
@y
.x; y/ dx
y que
@
@x
Z
x
.x; y/ dxD.x; y/
Derivamos con respecto ax:
@
@x
h
0
.y/D
@
@x

N.x; y/
Z
x
My.x; y/ dx

D
D
@
@x
N.x; y/
@
@x
Z
x
My.x; y/ dxDNx.x; y/My.x; y/D0:
Ya que, por hipótesis se tiene,
@M
@y
D
@N
@x
:
2.Para la obtención de la funciónf .x; y/pudimos haber partido de la segunda condición
@f
@y
DN.x; y/,
para luego llevar a cabo un desarrollo análogo al realizado:
a.IntegrarN.x; y/con respecto aypara tenerf .x; y/.
b.Derivar el resultado del paso anterior con respecto axpara tener
@f
@x
.
c.Utilizar la primera condición
@f
@x
DM.x; y/.
d.Despejarh
0
.x/de la ecuación anterior.
e.Integrar respecto axpara obtenerh.x/.

5. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 5
f.Sustituirh.x/enf .x; y/para así tener la función buscada.
Ejemplo 2.6.3Resolver la ED:.3x
2
y/ dxC.3y
2
x/ dyD0.
HPrimero verificamos que la ED es exacta:
.3x
2
y/ dxC.3y
2
x/ dyD0)MD3x
2
y&ND3y
2
x)
)MyD 1&NxD 1)
)MyDNx)la ecuación diferencial es exacta)
)Existe una funciónf .x; y/tal quedfDM dxCN dy)
)Existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
dxC
@f
@y
dyDM dxCN dy)
)Existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM&
@f
@y
DN:
Luego la resolvemos, es decir, debemos determinar la funciónf .x; y/. Partimos de
@f
@x
DM, e integramos
con respecto ax:
Z
x
@f
@x
dxD
Z
x
M dx)f .x; y/D
Z
x
M dxD
Z
x
.3x
2
y/ dxD3

x
3
3

yxCh.y/)
)f .x; y/Dx
3
xyCh.y/ (2.2)
Nuestro objetivo ahora es encontrarh.y/, para determinar totalmente af .x; y/. Derivamos la expresión
anterior con respecto ay:
@f
@y
D
@
@y
Œx
3
xyCh.y/D0x1Ch
0
.y/D xCh
0
.y/:
Utilizamos la condición
@f
@y
DN:
xCh
0
.y/D3y
2
x:
Despejamosh
0
.y/:
h
0
.y/D3y
2
:
Integrando con respecto ayse obtiene:
h.y/D
Z
3y
2
dyD3

y
3
3

CC1Dy
3
CC1:
Sustituimosh.y/en (2.2) para obtener:
f .x; y/Dx
3
xyCy
3
CC1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencialexacta es:
f .x; y/DC2)x
3
xyCy
3
CC1DC2)
)x
3
xyCy
3
DC:

Ejemplo 2.6.4Resolver la ED:.senyCysenx/ dxC.xcosycosx/ dyD0.

6. 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
HPrimero verificamos que la ED es exacta:
.senyCysenx/ dxC.xcosycosx/ dyD0)MDsenyCysenx&NDxcosycosx)
)
MyDcosyCsenx
NxDcosyCsenx

)MyDNx)la ED es exacta)
)Existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM&
@f
@y
DN:
Luego encontramosf .x; y/. Partimos de
@f
@y
DNe integramos con respecto ay:
Z
y
@f
@y
dyD
Z
y
N dy)f .x; y/D
Z
y
N dyD
Z
y
.xcosycosx/ dyDxseny.cosx/yCh.x/)
)f .x; y/DxsenyycosxCh.x/: (2.3)
Derivamos con respecto ax:
@f
@x
D
@
@x
ŒxsenyycosxCh.x/Dsenyy.senx/Ch
0
.x/:
Utilizamos la condición
@f
@x
DMpara despejarh
0
.x/:
senyy.senx/Ch
0
.x/DsenyCysenx)h
0
.x/D0:
Integrando se obtiene:
h.x/DC1:
Sustituimosh.x/en (2.3) para obtener:
f .x; y/DxsenyycosxCC1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencialexacta es:
f .x; y/DC2)xsenyycosxCC1DC2)
)xsenyycosxDC:

Ejemplo 2.6.5Resolver la ED:.2e
2x
sen3yC3e
2y
sen3x/ dxC.3e
2x
cos3y2e
2y
cos3x/ dyD0.
HEn este caso:
MD2e
2x
sen3yC3e
2y
sen3x&ND3e
2x
cos3y2e
2y
cos3x)
)
MyD2e
2x
.3cos3y/C.3sen3x/2e
2y
D6e
2x
cos3yC6e
2y
sen3x
NxD.3cos3y/2e
2x
2e
2y
.3sen3x/D6e
2x
cos3yC6e
2y
sen3x

)MyDNx:
De lo anterior, la ED es exacta. Entonces existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM&
@f
@y
DN:
Partimos de
@f
@x
DMe integramos con respecto ax:
Z
x
@f
@x
dxD
Z
x
M dx)f .x; y/D
Z
x
M dxD
Z
x
.2e
2x
sen3yC3e
2y
sen3x/ dxD
D.sen3y/
Z
e
2x
2 dxCe
2y
Z
.sen3x/ 3 dxD
D.sen3y/e
2x
Ce
2y
.cos3x/Ch.y/)
)f .x; y/De
2x
sen3ye
2y
cos3xCh.y/: (2.4)

7. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 7
Derivamos con respecto ay:
@f
@y
De
2x
.cos3y/3.cos3x/2e
2y
Ch
0
.y/:
Utilizamos la condición
@f
@y
DNpara despejarh
0
.y/:
3e
2x
cos3y2e
2y
cos3xCh
0
.y/D3e
2x
cos3y2e
2y
cos3x)h
0
.y/D0:
Integrando se obtiene:
h.y/DC1:
Sustituimosh.y/en (2.4) para obtener:
f .x; y/De
2x
sen3ye
2y
cos3xCC1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencialexacta es:
f .x; y/DC2)e
2x
sen3ye
2y
cos3xCC1DC2)
)e
2x
sen3ye
2y
cos3xDC:

Ejemplo 2.6.6Resolver la ED:.ye
xy
C2x1/ dxC.xe
xy
2yC1/ dyD0.
HVerificamos que la ED es exacta:
MDye
xy
C2x1)MyDy.e
xy
x/Ce
xy
.1/De
xy
.xyC1/
NDxe
xy
2yC1)NxDx.e
xy
y/Ce
xy
.1/De
xy
.xyC1/

)MyDNx)la ED es exacta.
Entonces existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM&
@f
@y
DN:
Partimos de
@f
@y
DNe integramos con respecto ay:
Z
y
@f
@y
dyD
Z
y
N dy)f .x; y/D
Z
y
N dyD
Z
y
.xe
xy
2yC1/ dyD
Z
y
.e
xy
x2yC1/ dy)
)f .x; y/De
xy
y
2
CyCh.x/: (2.5)
Derivamos con respecto ax:
@f
@x
D
@
@x
Œe
xy
y
2
CyCh.x/De
xy
yCh
0
.x/:
Utilizamos la condición
@f
@x
DMpara despejarh
0
.x/:
ye
xy
Ch
0
.x/Dye
xy
C2x1)h
0
.x/D2x1:
Integrando se obtiene:
h.x/D
Z
.2x1/ dxDx
2
xCC1:

8. 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Sustituimosh.x/en (2.5) para obtener:
f .x; y/De
xy
y
2
CyCx
2
xCC1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencialexacta es:
f .x; y/DC2)e
xy
y
2
CyCx
2
xCC1DC2)
)e
xy
y
2
CyCx
2
xDC:

Ejemplo 2.6.7Determinar el valor de la constantekde modo que resulte exacta la siguiente ecuación diferencial:
.kx
2
yCe
y
/ dxC.x
3
Cxe
y
y/ dyD0:
HPara esta ED se tiene:
MDkx
2
yCe
y
)MyDkx
2
Ce
y
:
NDx
3
Cxe
y
y)NxD3x
2
Ce
y
:
La ecuación diferencial es exacta si se cumple
MyDNx)kx
2
Ce
y
D3x
2
Ce
y
)kx
2
D3x
2
)kD3:
Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta cuandokD3.
Ejemplo 2.6.8Obtener alguna funciónM.x; y/de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:
M.x; y/ dxC.x
3
Cxe
y
y/ dyD0:
HPartimos del conocimiento de la funciónN.x; y/:
NDx
3
Cxe
y
y)NxD3x
2
Ce
y
:
La ecuación diferencial es exacta si cumple:
MyDNx)
@M
@y
D3x
2
Ce
y
:
Entonces, integrando esta última expresión se tiene:
Z
y
@M
@y
dyD
Z
y
.3x
2
Ce
y
/ dy)M.x; y/D
Z
y
.3x
2
Ce
y
/ dyD3x
2
yCe
y
Ch.x/:
Dondeh.x/es cualquier función dex, esto es, que no dependa dey.
M.x; y/podría ser, entre otras funciones:
M.x; y/D3x
2
yCe
y
CarctanxI dondeh.x/Darctanx:
M.x; y/D3x
2
yCe
y
CxlnxI dondeh.x/Dxlnx:
M.x; y/D3x
2
yCe
y
CCI dondeh.x/DC:

Ejemplo 2.6.9Determinar alguna funciónN.x; y/de modo que la siguiente ecuación diferencial sea exacta:
.y
2
cosx3x
2
y2x/ dxCN.x; y/ dyD0:

9. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 9
HPartimos del conocimiento de la funciónM.x; y/:
MDy
2
cosx3x
2
y2x)MyD2ycosx3x
2
:
La ecuación diferencial es exacta si cumple:
MyDNx)
@N
@x
D2ycosx3x
2
:
Entonces, integrando:
Z
x
@N
@x
dxD
Z
x
.2ycosx3x
2
/ dx)N.x; y/D
Z
x
.2ycosx3x
2
/ dxD2ysenxx
3
Ch.y/:
Dondeh.y/es cualquier función dey, esto es, depende dex.
N.x; y/podría ser, entre otras funciones, cualquiera de las siguientes:
N.x; y/D2ysenxx
3
ClnyI dondeh.y/Dlny:
N.x; y/D2ysenxx
3
ye
y
I dondeh.y/D ye
y
:
N.x; y/D2ysenxx
3
CCI dondeh.y/DC:

Ejemplo 2.6.10Resolver el siguiente PVI:
3y
2
C2ysen2xD

cos2x6xy
4
1Cy
2

y
0
Icony.0/D1:
HPrimero obtenemos la solución general de la ecuación diferencial y luego aplicamos la condición inicial:
3y
2
C2ysen2xD

cos2x6xy
4
1Cy
2

y
0
)
)3y
2
C2ysen2xD

cos2x6xy
4
1Cy
2

dy
dx
)
).3y
2
C2ysen2x/ dx

cos2x6xy
4
1Cy
2

dyD0)
).3y
2
C2ysen2x/ dxC

6xycos2xC
4
1Cy
2

dyD0:
Tenemos entonces:
MD3y
2
C2ysen2x) MyD6yC2sen2x
ND6xycos2xC
4
1Cy
2
) NxD6yC2sen2x

)MyDNx)la ED es exacta)
)Existe una funciónf .x; y/tal que
@f
@x
DM&
@f
@y
DN:
Partimos de
@f
@x
DMe integramos con respecto ax:
Z
x
@f
@x
dxD
Z
x
M dx)f .x; y/D
Z
x
M dxD
Z
x
.3y
2
C2ysen2x/ dxD3y
2
xCy.cos2x/Ch.y/)
)f .x; y/D3y
2
xCy.cos2x/Ch.y/: (2.6)
Derivamos con respecto ay:
@f
@y
D
@
@y
Œ3y
2
xCy.cos2x/Ch.y/D6xycos2xCh
0
.y/:

10. 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Utilizamos la condición
@f
@y
DNpara despejarh
0
.y/:
6xycos2xCh
0
.y/D6xycos2xC
4
1Cy
2
)h
0
.y/D
4
1Cy
2
:
Integrando se obtiene:
h.y/D
Z
4
1Cy
2
dyD4arctanyCC1:
Sustituimosh.y/en (2.6) para obtener:
f .x; y/D3xy
2
ycos2xC4arctanyCC1:
Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencialexacta es:
f .x; y/DC2)3xy
2
ycos2xC4arctanyCC1DC2)
)3xy
2
ycos2xC4arctanyDC:
Finalmente se aplica la condición inicial:y.0/D1)yD1&xD0:
3.0/1
2
1cos0C4arctan1DC)01C4


4

DC)CD1:
Por lo tanto la solución del PVI es:
3xy
2
ycos2xC4arctanyD1:

Ejemplo 2.6.11Resolver la ED:ycosxC2xe
y
C1C.senxCx
2
e
y
C2y3/y
0
D0.
HSe tiene que:
.ycosxC2xe
y
C1/ dxC.senxCx
2
e
y
C2y3/ dyD0: (2.7)
Entonces
MDycosxC2xe
y
C1) MyDcosxC2xe
y
NDsenxCx
2
e
y
C2y3) NxDcosxC2xe
y

ya queMyDNx;entonces (2.7) es una ED exacta.
Por lo tanto, existef .x; y/tal quefxDM&fyDN.
Partiendo de:
fxDMDycosxC2xe
y
C1:
Integrando con respecto ax:
Z
x
fxdxD
Z
x
M dx)
)f .x; y/D
Z
x
M dxD
Z
x
.ycosxC2xe
y
C1/ dxDy
Z
x
cosx dxC2e
y
Z
x dxC
Z
dx)
)f .x; y/DysenxCx
2
e
y
CxCh.y/: (2.8)
Derivando parcialmente con respecto ay:
fyDsenxCx
2
e
y
Ch
0
.y/:
Utilizando la condiciónfyDNpara despejarh
0
.y/:
fyDNDsenxCx
2
e
y
C2y3:

11. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 11
Se obtiene:
senxCx
2
e
y
Ch
0
.y/DsenxCx
2
e
y
C2y3)
)h
0
.y/D2y3:
Integrando:
h.y/Dy
2
3yCC1:
Sustituyendoh.y/en (2.8), obtenemos:
f .x; y/DysenxCx
2
e
y
CxCy
2
3yCC1:
Entonces la solución general de la ED dada, es:
f .x; y/DC2)
)ysenxCx
2
e
y
CxCy
2
3yCC1DC2)
)ysenxCx
2
e
y
CxCy
2
3yDC:

Ejemplo 2.6.12Resolver el PVI:.2xyC2y
2
e
2x
senx/ dxC.x
2
C2ye
2x
Clny/ dyD0Icony.0/D1.
HSe tiene:
MD2xyC2y
2
e
2x
senx)MyD2xC4ye
2x
NDx
2
C2ye
2x
Clny) NxD2xC4ye
2x

)MyDNxentonces la ED es exacta.
Por lo tanto existef .x; y/, tal quefxDM&fyDN.
Partiendo de
fyDNDx
2
C2ye
2x
Clny:
Integrando con respecto ay:
Z
y
fydyD
Z
y
N dy)
)f .x; y/D
Z
y
N dyD
Z
y
.x
2
C2ye
2x
Clny/ dyDx
2
Z
dyC2e
2x
Z
y dyC
Z
lny dy)
)f .x; y/Dx
2
yCy
2
e
2x
CylnyyCh.x/: (2.9)
Derivando parcialmente con respecto ax:
fxD2xyC2y
2
e
2x
Ch
0
.x/:
Utilizando la condiciónfxDM, para despejarh
0
.x/, se tiene que:
2xyC2y
2
e
2x
Ch
0
.x/D2xyC2y
2
e
2x
senx)
)h
0
.x/D senx)
)h.x/DcosxCC1:
Sustituyendoh.x/en (2.9) se obtiene:
f .x; y/Dx
2
yCy
2
e
2x
CylnyyCcosxCC1;
entonces la solución general de la ED, es:
f .x; y/DC2)
)x
2
yCy
2
e
2x
CylnyyCcosxCC1DC2)
)x
2
yCy
2
e
2x
CylnyyCcosxDC:

12. 12 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Considerando que la condición inicialy.0/D1)xD0&yD1, se obtiene:
0
2
1C1
2
e
0
C1ln.1/1Ccos.0/DC)0C1C01C1DC)CD1:
Por lo tanto, la solución del PVI es:
x
2
yCy
2
e
2x
CylnyyCcosxD1:

Ejemplo 2.6.13Resolver la ED:
dy
dx
D
axCby
bxCcy
Icona; b&cconstantes.
H
dy
dx
D
axCby
bxCcy
).bxCcy/ dyD .axCby/ dx)
).axCby/ dxC.bxCcy/ dyD0:
Se tiene entonces:
MDaxCby)MyDb
NDbxCcy)NxDb

)MyDNx)la ED es exacta.
Entonces existef .x; y/tal quefxDM&fyDN. DefxDMse obtiene al integrar:
f .x:y/D
Z
x
M dxD
Z
x
.axCby/ dxDa
x
2
2
CbyxCh.y/: (2.10)
Derivando parcialmente con respecto ay:
fyDbxCh
0
.y/:
Utilizando la condiciónfyDN, para despejarh
0
.y/, se tiene que:
bxCh
0
.y/DbxCcy)h
0
.y/Dcy)
)h.y/Dc
y
2
2
CK1:
Sustituyendoh.y/en (2.10), obtenemos:
f .x; y/D
1
2
ax
2
CbxyC
1
2
cy
2
CK1:
Entonces la solución general de la ecuación diferencial es:
1
2
ax
2
CbxyC
1
2
cy
2
CK1DK2)ax
2
C2bxyCcy
2
C2K1D2K2)
)ax
2
C2bxyCcy
2
DK:

Ejemplo 2.6.14Resolver la ED:.e
x
seny2ysenx/ dxC.e
x
cosyC2cosx/ dyD0.
HSe tiene:
MDe
x
seny2ysenx)MyDe
x
cosy2senx
NDe
x
cosyC2cosx) NxDe
x
cosy2senx

)MyDNx)la ED es exacta.

13. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 13
Entonces existef .x; y/tal quefxDM&fyDN. DefyDNse obtiene al integrar con respecto ay:
f .x; y/D
Z
y
N dyD
Z
y
.e
x
cosyC2cosx/ dyDe
x
senyC2ycosxCh.x/)
)f .x; y/De
x
senyC2ycosxCh.x/: (2.11)
Derivando parcialmente con respecto ax:
fxDe
x
seny2ysenxCh
0
.x/:
Utilizando quefxDMpara despejarh
0
.x/se tiene:
e
x
seny2ysenxCh
0
.x/De
x
seny2ysenx)h
0
.x/D0)
)h.x/DC1:
Sustituyendoh.x/en (2.11), se obtiene:
f .x; y/De
x
senyC2ycosxCC1:
Por lo tanto la solución general es:
f .x; y/DC2)e
x
senyC2ycosxCC1DC2)
)e
x
senyC2ycosxDC:

Ejemplo 2.6.15Resolver la ED:.ye
xy
cos2x2e
xy
sen2xC2x/ dxC.xe
xy
cos2x3/ dyD0.
HSe tiene:
MDye
xy
cos2x2e
xy
sen2xC2x)MyD.yxe
xy
Ce
xy
/cos2x2xe
xy
sen2x
NDxe
xy
cos2x3) NxD.xye
xy
Ce
xy
/cos2x2xe
xy
sen2x

)
)MyDNx)la ED es exacta.
Entonces existef .x; y/tal quefxDM&fyDN. Integrando con respecto ayla última igualdad:
f .x; y/D
Z
y
N dyD
Z
y
.xe
xy
cos2x3/ dyDcos2x
Z
y
e
xy
x dy3
Z
dy)
)f .x; y/De
xy
cos2x3yCh.x/: (2.12)
Derivando con respecto axe igualando aM:
fxD 2e
xy
sen2xCye
xy
cos2xCh
0
.x/I
MDye
xy
cos2x2e
xy
sen2xC2xI
2e
xy
sen2xCye
xy
cos2xCh
0
.x/Dye
xy
cos2x2e
xy
sen2xC2x:
Entonces, despejandoh
0
.x/e integrando:
h
0
.x/D2x)h.x/Dx
2
CC1:
Sustituyendoh.x/en (2.12), obtenemos:
f .x; y/De
xy
cos2x3yCx
2
CC1:
Por lo tanto, la solución general de la ED es:
f .x; y/DC2)e
xy
cos2x3yCx
2
DC:

14. 14 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejercicios 2.6.1Ecuaciones diferenciales exactas.Soluciones en la página 15
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas.
1..3x
2
C2xy
2
2x/ dxC.3y
2
C2x
2
y2y/ dyD0.
2..2xye
2y
/ dxC.x
2
Cxe
2y
y/ dyD0.
3.

ysenxCsenyC
1
x

dxC

xcosycosxC
1
y

dyD0.
4..4x
3
yCy
3
2x/ dxC.x
4
C3xy
2
3y
2
/ dyD0.
5..ycosxC2xe
y
x/ dxC.yCsenxCx
2
e
y
/ dyD0.
6..e
x
senyC2ysenx2x/ dxC.e
x
cosy2cosxC2y/ dyD0.
7..4x
3
C4xy1/ dxD.12x
2
2y/ dy.
8..ylnxCy/ dxC.xlnxe
y
/ dyD0.
9.Œysec
2
.xy/Csenx dxCŒxsec
2
.xy/Cseny dyD0.
10.

1
y
sen

x
y


y
x
2
cos

y
x

C1

dxC

1
x
cos

y
x


x
y
2
sen

x
y

C
1
y
2

dyD0.
11.

ye
y
C
x
x
2
Cy
2

y
0
D
y
x
2
Cy
2
xe
x
.
12..ysen.2x/2yC2y
2
e
xy
2
/ dx.2xsen
2
x4xye
xy
2
/ dyD0.
13..2xye
3y
/ dxC.x
2
kxe
3y
3y
2
/ dyD0.
Resolver los siguientes PVI.
14.

y
2
cosx3x
2
y2x

dxC

2ysenxx
3
Clny

dyD0cony.0/De
15..yCxe
x
C2/ dxC.xCe
y
/ dyD0cony.1/D0.
16..e
y
senxCtany/ dy

e
y
cosxxsec
2
y

dxD0cony.0/D0.
17.

xCy
1Cx
2

dxC.yCarctanx/ dyD0cony.0/D1.
18.Determinar los valores de las constantesAyBque hacen exacta a la ecuación diferencial:

y
3
y
2
senx2x

dxC

Axy
2
CBycosx3y
2

dyD0:
19.Obtener una funciónM.x; y/de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial:
M.x; y/ dxC.e
x
cosyC2cosy/ dyD0:
20.Obtener una funciónN.x; y/de modo tal que sea exacta la ecuación diferencial:
N.x; y/ dyC

x
2
y
2
x
2
y
2x

dxD0:

15. 2.6 Ecuaciones diferenciales exactas 15
Ejercicios 2.6.1Ecuaciones diferenciales exactas.Soluciones, página 14
1.x
3
Cx
2
y
2
x
2
y
2
Cy
3
DC
2.La ED no es exacta.
3.xsen.y/ycos.x/Clnjxyj DC.
4.x
4
yCxy
3
x
2
y
3
DC.
5.2ysen.x/C2x
2
e
y
x
2
y
2
DC.
6.e
x
sen.y/2ycos.x/Cy
2
x
2
Dc
7.x
4
C2x
2
yCy
2
xyDc
8.xyln.x/e
y
Dc
9.tan.xy/cos.x/cos.y/Dc
10.sen

y
x

cos

x
y

Cx
1
y
DC
11.e
x
xe
x
Ce
y
ye
y
Carctan

x
y

Dc
12.2e
xy
2
2xy
1
2
ycos.2x/C
y
2
Dc
13.La ED será exacta sikD3
14.y
2
sen.x/Cylnjyj Dx
3
yCx
2
Cy
15.xyCe
y
Cxe
x
e
x
C2xD3
16.e
y
cos.x/xtan.y/D1
17.y
2
C2yarctan.x/Cln.1Cx
2
/D1
18.La ED será exacta siAD3yBD2
19.M.x; y/De
x
sen.y/Ck.x/, dondek.x/es cualquier función dexcon derivada continua.
20.N.x; y/D
y
2
x
2
xy
2
Ck.y/Donde k(y) es cualquier función deycon derivada continua.

16. 2.2(a)
http://ed21d.webcindario.com/id74.htm[17/03/2014 06:12:18 p.m.]

17. Tema 6: Ecuaciones diferenciales exactas de primer orden
6.1 Definición
Una e.d.
(1) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Es exacta si existe una función g(x,y) tal que
(2) dg(x,y) = M(x,y) dx + N(x,y) dy

Prueba de exactitud: Si M(x,y) y N(x,y) son funciones continuas y tienen primeras derivadas parciales
continuas en algún rectángulo del plano xy, entonces (1) es exacto si, y solamente si,
(3)
() ()
x
y,xN
y
y,xM
∂
∂
=
∂
∂


Ejemplo 1. En la e.d. 2xy dx + (1 + x
2
) dy = 0, se tiene M(x,y) = 2xy y N(x,y) = 1 + x
2
. Como
x
x
N
y
M
2=
∂
∂
=
∂
∂
, la ecuación diferencial es exacta.

6.2 Método de solución
Para resolver (1), asumiendo que es exacta, primero se resuelven las ecuaciones

(4)
()
()y,xM
x
y,xg
=
∂
∂

(5)
()
()y,xN
y
y,xg
=
∂
∂


para g(x,y). La solución de (1) se da implícitamente por:
(6) g(x,y) = C
donde C representa una constante arbitraria.

La ecuación (6) es inmediata de (1) y (2). De hecho, si (2) se sustituye en (1), se obtiene dg(x,y(x)) = 0.
Integrando esta ecuación (nótese que puede escribirse 0 como dx), se tiene:

(7) ()()∫∫
=dxxy,xdg0
que a su vez implica (6).

Problemas resueltos
1. Resolver 2xy dx +(1 + x
2
)dy = 0
Solución:
Esta ecuación es exacta. Ahora determinamos una función g(x,y) que satisface a (4) y (5).
Sustituyendo M(x,y) = 2xy en (4), obtenemos xy
x
g2=
∂
∂
. Integrando ambos lados de la ecuación
con respecto de x encontramos:

18. () ( yhyxy,xg
xydxdx
x
g
+=
=
∂
∂
∫∫
2
2
)

Nota: al integrar con respecto de x, la constante (con respecto de x) de integración puede depender
de y.
Ahora determinamos h(y). Derivando (1) con respecto de y, obtenemos )y('hx
x
g
+=
∂
∂
2

Sustituyendo esta ecuación, junto con N(x,y) = 1 + x
2
en (5), tenemos x
2
+ h’(y) = 1 + x
2
h’(y) = 1
Integrando esta última ecuación con respecto de y, se obtiene h(y) = y + C1 (C1 = constante).
Sustituyendo esta expresión en (1) tenemos
()
1
2
Cyyxy,xg++=
La solución de esta ecuación diferencial, que está dada implícitamente por (6) como g(x,y) = C, es

12
2
2
CCC
Cyyx
−=
=+
Resolviendo explícitamente para y obtenemos la solución como
1
2
2
+
=
x
C
y

2. Resolver (x + sen y)dx + (x cos y – 2y) dy = 0
Solución:
En este caso M(x,y) = x + sen y, y N(x,y) = x cos y – 2y. Entonces ycos
x
N
y
M
=
∂
∂
=
∂
∂
, y la e.d. es
exacta. Ahora buscamos una función g(x,y) que satisfaga (4) y (5). Sustituyendo M(x,y) en (4),
obtenemos ysenx
x
g +=
∂
∂
. Integrando ambos lados de esta ecuación con respecto de x,
encontramos

()
() ()yhxsenyxy,xg
dxsenyxdx
x
g
++=
+=
∂
∂
∫∫
2
2
1

Para encontrar h(y), derivamos (1) con respecto a y, obteniendo ()y'hycosx
x
g
+=
∂
∂
, y después
sustituyendo este resultado junto con N(x,y) = x cos y – 2y en (5), encontramos:
x cos y + h’(y) = x cos y – 2y
h’(y) = – 2y
de lo cual se sigue que h(y) = –y
2
+ C1. Sustituyendo este h(y) en (1) se obtiene
()
1
22
2
1
Cyxsenyxy,xg+−++=

La solución de la ecuación diferencial está dada implícitamente por (6) como

2
22
2
1
Cyxsenyx=−+
(C2 = C – C1)
3. Resolver (xy + x
2
) dx + (– 1) dy = 0
Solución:

19. Aquí, M(x,y) = xy + x
2
y N(x,y) = – 1 ; entonces 1
2
−=
∂
∂
+=
∂
∂
x
N
,xxy
y
M
, entonces
0=
∂
∂
=
∂
∂
x
N
,x
y
M
. Como
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
, la ecuación NO es exacta y el método visto aquí no es
aplicable.

4. Resolver
xy
xy
xey
ye
'y
−
+
=2
2

Solución:
Escribiendo esta ecuación en forma diferencial:
(2 + ye
xy
) dx + (xe
xy
–2y) = 0
Aquí M(x,y) = 2 + ye
xy
y N(x,y) = xe
xy
–2y y, como
xyxy
xyee
x
N
y
M
+=
∂
∂
=
∂
∂
, la e.d. es exacta.
Sustituyendo M(x,y) en (4), encontramos
xy
ye
x
g
+=
∂
∂
2 ; luego, integrando con respecto a x,
obtenemos

( )
() ( yhexy,xg
dxyedx
x
g
xy
xy
++=
+=
∂
∂
∫∫
2
2
)

Para encontrar h(y) primero derivamos (1) con respecto a y, obteniendo ()y'hxe
y
g
xy
+=
∂
∂
;
después reemplazamos este resultado junto con N(x,y) en (5):
xe
xy
+ h’(y) = xe
xy
– 2y
h’(y) = – 2y
De donde h(y) = –y
2
+ C1. Sustituyendo esta h(y) en (1) obtenemos
G(x,y) = 2x + e
xy
– y
2
+ C1
La solución de la ecuación diferencial se da implícitamente por (6) como
2x + e
xy
– y
2
= C2
C 2 = C – C1

5. Resolver
2
1
2
x
xy
'y
+
−
= , y(2) = – 5
La solución de la e.d. (escrita en forma diferencial se da en el problema 1 como .
Usando la condición inicial, obtenemos (2)
2
2
Cyyx=+
2
(–5) + (–5) = C2, o bien C2 = –25. La solución del
problema de valor inicial es, por lo tanto
( )1
25
25
2
2
+
−
=−=+
x
y,yyx




Problemas suplementarios
Hallar la exactitud de las siguientes e.d. y resolver todas las que sean exactas.
6. (2xy +x) dx + (x
2
+ y) dy = 0
2
222
2
1
2
1
Cyxyx=++

20. 7. (y + 2xy
3
) dx + (1 + 3x
2
y
2
+ x) dy = 0 xy + x
2
y
3
+ y = C2
8. ye
xy
dx + xe
xy
dy = 0 e
xy
= C2
9. xe
xy
dx + ye
xy
dy = 0 no exacta
10. 3x
2
y
2
dx + (2x
3
y +4y
3
) dy = 0 x
3
y
2
+ y
4
= C2
11. y dx + x dy = 0 xy = C 2
12. (x – y) dx + (x + y) dy = 0 no exacta
13. (y senx + xy cosx) dx + (x senx + 1) dy= 0 xy senx + y = C2

21. Introducción: Si bien la ecuación simple de primer orden es
separable, se puede resolver la ecuación de una manera alternativa
reconociendo que la expresión del lado izquierdo de la igualdad es la diferencial
de la función ; es decir, . En esta sección se
examinarán ecuaciones de primer orden en la forma diferencial.
Al aplicar una prueba simple a M y N, se determina si es
una diferencial de una función . Si la respuesta es afirmativa, f se
construye mediante integración parcial.
0=+xdyydx
xyyxf =),( xdyydxxyd +=)(
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
dyyxNdxyxM ),(),( +
),(yxf
Sugerencias para el aprendizaje: El alumno deberá tener conocimiento y dominio
de la diferenciación e integración parcial. Así mismo deberá tener dominio
suficiente de cálculo de varias variables estudiadas en matemáticas III.

22. Diferencial de una función de dos variables
En el caso especial cuando , donde c es una constante, entonces la

ecuación anterior significa que
cyxf =),(
En otras palabras, dada una familia uniparamétrica de funciones ,
se puede generar una ecuación diferencial de primer orden calculando la
diferencial en ambos lados de la igualdad.
cyxf =),(
Por ejemplo: Si se tiene la siguiente función , entonces la
ecuación (1) debe proporcionarnos la ED de primer orden. Es decir,
cyxyx =+−
32
5
(1)
0)35()52(
2
=+−+− dyyxdxyx (2)
Por supuesto, no toda ED de primer orden escrita en forma diferencial
corresponde a una diferencial de . Así que
resulta más conveniente invertir el problema anterior, es decir, si se tiene una
ED de primer orden como la (2).¿Existe alguna forma de reconocer que la
expresión diferencial s la diferencial ?
En caso afirmativo, entonces una solución implícita de (2) es .
Esta pregunta se contestará después de la ver la siguiente definición.
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
cyxf =),(
dyyxdxyx )35()52(
2
+−+− )5(
32
yxyxd +−
cyxyx =+−
32
5

23. DEFINICIÓ DE ECUACIÓN EXACTA
Una ecuación diferencial es una diferencial exacta en una
región R del plano xy si corresponde a la diferencial de alguna función
definida en R. Por tanto, una ED de primer orden de la forma
Es una ecuación exacta si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.
dyyxNdxyxM ),(),( +
),(yxf
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
CRITERIO PARA UNA DIFERENCIAL EXACTA

24. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN EXACTA
PASO:
PASO:
PASO:

25. PASO:
EJEMPLO 1: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED

27. EJEMPLO 2: Hallar el valor de b para que sea exacta la siguiente ED y resolverla
por el método de exactas.
SOLUCIÓN:

28. EJEMPLO 3: Resolver por el método de las exactas la siguiente ED
0)1(2
2
=−+ dyxxydx
SOLUCIÓN: Con , se tiene que: 1),(2),(
2
−== xyxNyxyyxM
x
N
x
y
M
∂
∂
==
∂
∂
2
Que es una ecuación exacta y, por
consiguiente, existe una función tal que: ),(yxf
12
2
−=
∂
∂
=
∂
∂
x
y
f
yxy
x
f Integrando la primera de estas dos ecuaciones
se tiene:
∫∫∫∫
∂=∂==
∂
∂
xxyfxy
x
f
22 )(),(
2
ygyxyxf +=
Se saca la derivada parcial de la segunda expresión con respecto a y y luego se
iguala el resultado con , se obtiene , despejando
se obtiene:
),(yxN 1)(
22
−=′+=
∂
∂
xygx
y
f
)(yg′
yygyyg −=−=′ )(1)(
Por consiguiente la solución de la ED en forma implícita es: yyxyxf −=
2
),(
cyyx =−
2
O bien, la solución de la ED en forma explícita es:
11
1
2
<<−
−
= xpara
x
c
y
Nota:

29. Definición: Una ED de primer orden se dice que no es exacta si sus derivadas
parciales no cumplen con el criterio para una diferencial exacta. Es decir, su
diferenciales parciales son diferentes:
x
N
y
M
∂
∂
≠
∂
∂
Definición de factor integrante (F.I.): Es aquel factor que al multiplicar las
derivadas parciales de una ED no exacta la convierten en ED exacta, para luego
resolverla con el método de las exactas:
Factor integrante (F.I.): Sea la ED

30. Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas
Ejemplos de algunas formas diferenciales que no son exactas
Teorema del factor integrante (F.I.)

31. Dos consideraciones importantes para obtener las ED generales por F.I.
EJEMPLO 4: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente
resolverla por el método de las exactas.
SOLUCIÓN:
1º Paso: Checar si la ED es exacta o no exacta
No exacta

32. 2º Paso: Búsqueda del factor integrante (F. I.) para convertir la ED en exacta:
Para esto es necesario realizar las dos consideraciones para ver cuál de las
dos se puede factorizar y por ende produce un factor integrante:
Factorizando se tiene:
3º Paso: Conversión de la ED no exacta en exacta

33. 4º Paso: Aplicación de los 4 pasos (i a iv) del método de solución de las ED
exactas.
Paso i): Comprobar si la ED es exacta
Exacta
Paso ii): Integrar con respecto a x, dejando a y constante
Paso iii): Derivar con respecto a y la ecuación resultante en el paso ii
Despejando g´(y) de la igualdad anterior, se tiene:
Paso iv): Obtener la función g (y)
Paso v): Sustitución del valor de g (y) en el paso ii
Solución general: kccsiendocxyyx −==−
11
232
2

34. EJEMPLO 5: Obtener el F.I. de la siguiente ED no exacta y posteriormente
resolverla por el método de las exactas.
SOLUCIÓN:

35. Aplicando las propiedades de los logaritmos y exponenciales:
Se tiene lo siguiente:
xx
e
y
y
ce
xy
xy
c =
−
−
→=
−
−
))0(2(
))0(3(
)2(
)3(
xx
e
y
y
ce
y
y
c =→=
−
−
)(
)(
)0(
)0(
()
xx
ecec =→=1

36. EJERCICIOS PARA LA CARPETA
INSTRUCCIONES: Resolver por el método de las exactas las siguientes ED
0)2cos2()cos(
22
=+−+− dyyxyxxedxxyye
yy
3.
2.
1.
INSTRUCCIONES: Obtener el F.I. de las siguientes ED no exactas y
posteriormente resolverlas por el método de las exactas.
4.
5.