Ejercicios resueltos edo separables

Material con ejercicios resueltos de EDOs de variables separables

1. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]
| Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales  |  Análisis matemático |  D.G. Zill |
1.1   |   1.2   |   1.3   |   2.1(a)   |   2.1(b)   |   2.2(a)   |   2.2(b)   |   2.3   |   2.4   |   2.4 (6 ed.)   |   3.1(a)   |   4.1.1   |   4.1.2
Ejercicios 2.1(a)
Nota: la mayoría de las soluciones de las integrales (o similares) que aparecen en los siguientes ejercicios se
encuentran en la página Cálculo integral en el apartado "Técnicas de integración", bien en los ejercicios
resueltos de la sección correspondiente o bien en alguna de las misceláneas de ejercicios de ese apartado. En
este momento del proceso de aprendizaje de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales es
aconsejable que se dedique algún tiempo a repasar los métodos de integración.
 
En los problemas 1- 40, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables.

2. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

3. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

4. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

5. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

6. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

7. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

8. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

9. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]

10. 2.1(a)
http://ed21d.webcindario.com/id48.htm[11/03/2014 07:54:35 p.m.]
|  1- 40 |

11. 2.1(b)
http://ed21d.webcindario.com/id72.htm[11/03/2014 07:59:59 p.m.]
| Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales  |  Análisis matemático |  D.G. Zill |
1.1   |   1.2   |   1.3   |   2.1(a)   |   2.1(b)   |   2.2(a)   |   2.2(b)   |   2.3   |   2.4   |   2.4 (6 ed.)   |   3.1(a)   |   4.1.1   |   4.1.2
2.1(b)
 En los problemas 41- 48, resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se
indica.

12. 2.1(b)
http://ed21d.webcindario.com/id72.htm[11/03/2014 07:59:59 p.m.]
|  41 a 48 |

13. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]
| Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales  |  Análisis matemático | M.R.Spiegel
1.1,2 (P: 12)   |   2.1 (P: 37)   |   2.2 (P: 40)
2.1 (P: 37)
"El método de separación de variables"
 Ejercicios A
1. Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las condiciones iniciales, donde se den:

14. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

15. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

16. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

17. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]
 Ejercicios B
Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

18. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

19. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

20. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]
 Ejercicios C

21. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]

22. 2.1 (P: 37)
http://ed21d.webcindario.com/id81.htm[11/03/2014 08:04:47 p.m.]
|  Ejercicios A |  Ejercicios B |  Ejercicios C

23. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
| Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales  |  Análisis matemático |  Edwards y Penney |
1.1   |   1.2   |   1.3   |   1.4(a)   |   1.4(b)   |   1.5   |   1.6(a)   |   1.6(b)   |   2.1(a)
Problemas 1.4(a)
 Encuentre las soluciones generales (implícitas si es necesario, explícitas si es conveniente) de las
ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 18.

24. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]

25. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
 Encuentre las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial 19 a 26.

26. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
 

27. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
 

28. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]

29. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
 
 

30. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
 

31. 1.4(a)
http://ed21d.webcindario.com/id41.htm[11/03/2014 08:07:57 p.m.]
|  1 a 18 |  19 a 26 |  27, 28, 29, 30, 31, 33

32. 2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 3
HSeparando las variables se tiene:
d
y
dx
Dseny)
dy
seny
Ddx :
Integrando:
Z
dy
seny
D
Z
dx)
Z
cscy dyDxCC)
)lnjcscycotyj DxCC :
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

E
jemplo 2.2.6Resolver la ecuación diferencial:
d
y
dx
D
2xy
.x
2
2/.y
2
C3/
.
HSeparando las variables:
d
y
dx
D
2xy
.x
2
2/.y
2
C3/
)
y
2
C3
y
dyD
2x
x
2
2
dx :
Integrando:
Z
y
2
C3
y
dyCC1D
Z
2x
x
2
2
dxCC2)
)
Z
yC
3
y

dyDln

x
2
2

CC)
)
y
2
2
C3lnjyj Dln

x
2
2

CC :
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Observación:E
n este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral
Z
dy
y
Dlnjyj CC
es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las
páginas siguientes y el resto del libro, el lector podrá encontra varias veces
Z
du
u
DlnuCC:
Esto se hace por facilidad de escritura o bien por conveniencia, para hacer algunas manipulaciones y
conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED.
Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de cálculo, las convenciones usuales
en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir
senyDf .x/)yDarcsenŒf .x/
no hace falta insistir que para queysea una función bien definida se debe cumplirjf .x/j 1.
En lo sucesivo omitiremos mencionar explícitamente las restricciones de este tipo: como que los de-
nominadores deber ser¤0, los argumentos del logaritmo deben ser positivos etc, a menos que se
considere muy necesario.

33. 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias
También para el resto del libro haremos algunas convenciones sobre la constante de integración que
se añade en las integrales indefinidas, si:
F
0
.x/Df .x/yG
0
.y/Dg.y/
entonces escribimos equivalentemente:
Z
F.x/ dxDf .x/CCy
Z
G.y/ dxDg.y/CC;
dondeCrepresenta una constante arbitraria, sin embargo si tenemos por ejemplo
F.x/ dxDG.y/ dx;
queremos concluir que
Z
F.x/ dxD
Z
G.y/ dy;
o sea
f .x/CC1Dg.y/CC2:
No es necesario usar dos constantes arbitrarias ya que análogamente se puede escribir
f .x/Dg.y/CC;
dondeCsustituye aC1C2.
De forma similar y repeditamente en lo que sigue el lector podrá ver expresiones comoC1CC2DC,
C1C2DC,3C1DC,e
C1DC, cosC1DC, etc. en las que esencialmente se hace la convención de
que la suma, resta, producto, exponencial o cualquier otro valor funcional de una constante esotra
constante.
Así por ejemplo, una fórmula comoe
C
DCno es necesariamente incorrecta al interpretarse como un
ejemplo de estas convenciones.
Ejemplo 2.2.7Resolver la ecuación diferencial:y
0
D2x
p
y1.
HSeparando las variables e integrando:
dy
dx
D2x.y1/
1
2).y1/

1
2dyD2x dx)
)
Z
.y1/

1
2dyD2
Z
x dx)
)2.y1/
1
2CC1Dx
2
CC2)2.y1/
1
2Dx
2
CC:
Elevando al cuadrado:
4.y1/D.x
2
CC /
2
)yD1C
1
4
.x
2
CC /
2
:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

Ejemplo 2.2.8Resolver el PVI:y
0
DxyCx2y2Icon la condicióny.0/D2.
HPara separar las variables comenzamos factorizando y después integramos, se tiene:
dy
dx
Dx.yC1/2.yC1/D.yC1/.x2/)
)
dy
yC1
D.x2/ dx)
Z
dy
yC1
D
Z
.x2/ dx)
)ln.yC1/CC1D
1
2
.x2/
2
CC2)ln.yC1/D
1
2
.x2/
2
CC:

34. 2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 5
Para determinarC, consideramos la condición inicialy.0/D2:
ln3D
1
2
.2/
2
CC)CDln32)ln.yC1/D
1
2
.x2/
2
Cln32:
De donde
yC1De
1
2
.x2/
2
Cln32
De
1
2
.x2/
2
2
e
ln3
)
)yD3e
1
2
.x2/
2
2
1:
Representa la solución del PVI cony.0/D2.

Ejemplo 2.2.9Resolver la ecuación diferencial:.x
2
C1/y
0
tanyDx.
HSeparando las variables e integrando:
.x
2
C1/
dy
dx
tanyDx)tany dyD
x dx
x
2
C1
)
Z
seny
cosy
dyD
Z
x dx
x
2
C1
)
) ln.cosy/CC1D
1
2
ln.x
2
C1/CC2) ln.cosy/D
1
2
ln.x
2
C1/CC:
Podemos encontrar la forma explícita de la solución usando propiedades del logaritmo:
ln.cosy/
1
Dln.x
2
C1/
1
2CC).cosy/
1
De
ln.x
2
C1/
1
2CC
De
ln.x
2
C1/
1
2
e
C
:
Considerandoe
C
DCy observando quee
ln.x
2
C1/
1
2
D.x
2
C1/
1
2, se tiene:
1
cosy
DC.x
2
C1/
1
2)secyDC
p
x
2
C1)yDarcsec.c
p
x
2
C1/:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

Ejemplo 2.2.10Resolver la ED:
dy
dx
D
.y1/.x2/.yC3/
.x1/.y2/.xC3/
.
HAl separar las variables se obtiene:
y2
.y1/.yC3/
dyD
x2
.x1/.xC3/
dx)
Z
y2
.y1/.yC3/
dyD
Z
x2
.x1/.xC3/
dx :
Aplicando fracciones parciales, obtenemos:

1
4
Z
dy
y1
C
5
4
Z
dy
yC3
D
1
4
Z
dx
x1
C
5
4
Z
dx
xC3
:
Multiplicando por4, e integrando:
ln.y1/C5ln.yC3/CC1D ln.x1/C5ln.xC3/CC2)
)ln.yC3/
5
ln.y1/Dln.xC3/
5
ln.x1/ClnC)
ln
.yC3/
5
y1
Dln
C.xC3/
5
x1
)
.yC3/
5
y1
D
C.xC3/
5
x1
)
).yC3/
5
.x1/DC.xC3/
5
.y1/:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma explícita.

35. 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ejemplo 2.2.11Resolver el PVI:
dy
dx
D
senxCe
2y
senx
3e
y
Ce
y
cos2x
Icon la condicióny


2

D0.
HComenzamos separando las variables e integrando para obtener:
dy
dx
D
.senx/.1Ce
2y
/
e
y
.3Ccos2x/
)
e
y
1Ce
2y
dyD
senx
3Ccos2x
dx)
Z
e
y
dy
1Ce
2y
D
Z
senx
3Ccos2x
dx:
Pero cos
2
xD
1
2
.1Ccos2x/, entonces:
Z
e
y
dy
1C.e
y
/
2
D
Z
senx dx
3CŒ2cos
2
x1
D
Z
senx dx
2C2cos
2
x
D
1
2
Z
senx dx
1C.cosx/
2
:
Ahora, integrando por sustitución:
arctane
y
CC1D
1
2
arctan.cosx/CC2)arctane
y
D
1
2
arctan.cosx/CC:
Considerando la condición inicialy


2

D0:
arctane
0
D
1
2
arctan

cos

2

CC)arctan1D
1
2
arctan0CC)CD

4
:
Por lo tanto, la solución buscada es:
arctane
y
D
1
2
arctan.cosx/C

4
:
Es decir:
4arctane
y
C2arctan.cosx/D:
Cualquiera de las dos últimas expresiones representa la solución del PVI.

Ejemplo 2.2.12Resolver la ecuación diferencial:x
3
e
2x
2
C3y
2
dxy
3
e
x
2
2y
2
dyD0.
HPrimero separamos las variables y planteamos las integrales:
x
3
e
2x
2
e
3y
2
dxDy
3
e
x
2
e
2y
2
dy)x
3
e
2x
2
e
x
2
dxDy
3
e
2y
2
e
3y
2
dy)
Z
x
2
e
3x
2
xdxD
Z
y
2
e
5y
2
y dy:
Integrando por partes ambas integrales:
uDt
2
&dvDe
at
2
dt
duD2t dt& vD
1
2a
e
at
2
Se tiene:
1
6
x
2
e
3x
2

1
3
Z
e
3x
2
xdxD
1
10
y
2
e
5y
2
C
1
5
Z
e
5y
2
y dy
1
6
x
2
e
3x
2

1
18
e
3x
2
D
1
10
y
2
e
5y
2

1
50
e
5y
2
CC
Multiplicando por450(mínimo común múltiplo de6,18,10y50):
.75x
2
25/e
3x
2
C.45y
2
C9/e
5y
2
DC:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

36. 2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables 7
Ejemplo 2.2.13Resolver la ED:
dy
dx
D
yC1
p
xC
p
xy
.
HSeparamos variables factorizando primero y posteriormente integramos, resulta:
dy
dx
D
yC1
p
xC
p
x
p
y
D
yC1
p
x.1C
p
y/
)
1C
p
y
yC1
dyD
dx
p
x
)
Zp
yC1
yC1
dyD
Z
x

1
2dx :
Resolvemos la primera integral mediante el cambio de variable
p
yDtpara así obtener:
Z
tC1
t
2
C1
2t dtD
Z
2t
2
C2t
t
2
C1
dtD
Z
2t
2
t
2
C1
C
2t
t
2
C1

dtD
Z
2
2
t
2
C1
C
2t
t
2
C1

dtD
D2t2arctantCln.t
2
C1/CC:
Dado quetD
p
y, resulta:
2
p
yCln.yC1/2arctan
p
yCC1D2
p
xCC2)
)2.
p
y
p
x/Cln.yC1/2arctan
p
yDC:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.
Ejemplo 2.2.14Resolver la ecuación diferencial:
dy
dx
D
xy3yCx3
xyC2yx2
.
HSeparando variables, se tiene:
dy
dx
D
xy3yCx3
xyC2yx2
D
y.x3/C.x3/
y.xC2/.xC2/
D
.yC1/.x3/
.yC1/.xC2/
)
)
y1
yC1
dyD
x3
xC2
dx :
Efectuando las divisiones e integrando:
Z
1
2
yC1

dyD
Z
1
5
xC2

dx)y2ln.yC1/CC1Dx5ln.xC2/CC2)
)yln.yC1/
2
Dxln.xC2/
5
CC:
Esta última expresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejercicios 2.2.1Variables separables.Soluciones en la página 9
Resolver las siguiente ecuaciones diferenciales:
1.
dy
dx
DtanxCsecx.
2.
dy
dx
Dtany.
3.
dx
dy
D
x
2
y
.
4.
dx
dy
D
y
x
2
.

37. 8 Ecuaciones diferenciales ordinarias
5.
ds
dt
D
.2tC1/.2s1/
2.t
2
Ct/
.
6.
ds
dt
D
.s
3
s/.4t
3
6t/
.t
4
3t
2
/.3s
2
1/
.
7.
du
dt
D
.uC1/.tC1/
.uC2/.t1/
.
8.
dt
du
D
tuCuC3tC3
tuC2ut2
.
9.x
2
y
0
D1x
2
Cy
2
x
2
y
2
.
10.xy
0
yD2x
2
y.
11.4tx
dx
dt
Dx
2
C1.
12..ylnx/
1
dy
dx
D

x
yC1

2
.
13.
d
dt
D.cost/.cos2cos
2
/.
14.
dy
dt
De
2tC3y
.
15.
dy
dx
CyDyxe
xC2
.
16.e
x
y dy.e
y
Ce
2xy
/ dxD0.
17.2tx
2
C2tC.t
4
C1/x
0
D0conx.0/D1.
18.
2r1
t
drC
r2r
2
t
2
1
dtD0conr.2/D4.
19.
1
.y1/
2
dxC
1
p
x
2
C4
dyD0.
20.
dT
dt
Dk.TT1/;conT .0/DT0Ik,T0,T1constantes .