Ejercicios resueltos límites.docx

ejercicios resueltos de limites

1. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE


LIMITE DE FUNICIONES
POR MEDIO DE GRAFICAS, TABLAS Y SUSTITUCION DIRECTA

ACTIVIDADES
1. A continuación, se presentan varias gráficas de funciones definidas en los números reales.
Para cada una de ellas determinar el valor hacia donde se acercan los de “y=f(x)” cuando
“x” se aproxima al valor indicado, escribiendo el resultado con notación de límites:


lim
??????→−1
�(�)=2

lim
??????→−1
−
�(�)=2

lim
??????→−1
+
�(�)=2


lim
??????→−1
�(�)=−2

lim
??????→−1
−
�(�)=−2

lim
??????→−1
+
�(�)=−2

lim
??????→2
�(�)=4

lim
??????→2
−
�(�)=4

lim
??????→2
+
�(�)=4


lim
??????→−2
�(�)=2

lim
??????→−2
−
�(�)=2

lim
??????→−2
+
�(�)=2

lim
??????→2
�(�)=−2

lim
??????→2
−
�(�)=−2

lim
??????→2
+
�(�)=−2

2. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE


lim
??????→−1
�(�)=4

lim
??????→−1
−
�(�)=4

lim
??????→−1
+
�(�)=4

lim
??????→2
�(�)=6.8

lim
??????→2
−
�(�)=6.8

lim
??????→2
+
�(�)=6.8



ALBUM DE LIMITES
2. Aplicando directamente las propiedades de los limites; calcular los siguientes si es que
existen.
a. lim
??????→2
�
2


lim
??????→2
�
2
=[lim
??????→2
�]
2
=2
2
=4


b. lim
??????→0
(4�+5)


lim
??????→0
(4�+5)=lim
??????→0
4�+lim
??????→0
5=4(0)+5=5

c. lim
??????→−2
(5�−2)

lim
??????→−2
(5�−2)=lim
??????→−2
5�−lim
??????→−2
2=(5∗−2)−2=−10−2=−12


d. lim
??????→4
6

lim
??????→4
6=6

3. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE


e. lim
??????→
1
2
�
lim
??????→
1
2
�=
1
2


f. lim
??????→2
(
2??????
2
+??????−1
4??????−2
)



lim
??????→2
(
2�
2
+�−1
4�−2
)=
lim
??????→2
2�
2
+lim
??????→2
�−lim
??????→2
1
lim
??????→2
4�−lim
??????→2
2
=
2∗2
2
+2−1
4∗2−2
=
9
6
=
3
2



g. lim
??????→2
(�
2
−4)

lim
??????→2
(�
2
−4)=lim
??????→2
�
2
−lim
??????→2
4=(lim
??????→2
�)
2
−4=4−4=0


h. lim
??????→−1
5�=(lim
??????→−1
5)(lim
??????→−1
�)=5∗−1=−5


i. lim
??????→−2
3�
2

lim
??????→−2
3�
2
=(lim
??????→−2
3)(lim
??????→−2
�
2
)=3(lim
??????→−2
�)
2
=3∗(−2)
2
=3∗−4=−12


j. lim
??????→1
(4�
2
−8�+5)
lim
??????→1
4�
2
−lim
??????→1
8�+lim
??????→1
5=(lim
??????→1
4)(lim
??????→1
�
2
)−(lim
??????→1
8)(lim
??????→1
�)+5
=4(lim
??????→1
�)
2
−8∗1+5=4∗1−3=1

k. �??????�
??????→3
??????+1
2??????+3
=
�??????�
??????→3
(??????+1)
�??????�
??????→3
(2??????+3)
=
�??????�
??????→3
??????+�??????�
??????→3
1
�??????�
??????→3
2??????+�??????�
??????→3
3
=
3+1
�??????�
??????→3
2∗�??????�
??????→3
??????+3
=
4
2∗3+3
=
4
9

4. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE

l. lim
??????→2
√3�
2
+4=√lim
??????→2
(3�
2
+4)=√lim 3�
2
??????→2
+lim
??????→2
4=√3∗4+4=√16=4

HACER 3 ejercicios

a. lim
??????→2
√�
2
−1
3

√lim
??????→2
(�
2
−1)
3
=√lim
??????→2
�
2
−lim
??????→2
1
3
=√4−1
3
=√3
3


b. lim
??????→10
(log100�)=log(lim
??????→10
(100�))=log1000=3


c. lim
??????→2
(5+�
2
)
lim
??????→2
(5+�
2
)=lim
??????→2
5+lim
??????→2
�
2
=5+2
2
=5+4=9


3. Calcula los siguientes límites:

a. lim
??????→2
??????
2
+??????−6
??????−2


Se factoriza el numerador:
�
2
+�−6=(�+3)(�−2)
������������ � �??????���??????�??????�����:
lim
??????→2
(�+3)(�−2)
�−2

Se resuelve el límite:
lim
??????→2
(�+3)=2+3=5

b. lim
??????→−4
??????
2
+5??????+4
??????
2
+3??????−4


Se factoriza numerador y denominador:

�
2
+5�+4=(�+4)(�+1)
�
2
+3�−4=(�+4)(�−1)
������������ � �??????���??????�??????�����:

5. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE

lim
??????→−4
(�+4)(�+1)
(�+4)(�−1)

Se resuelve el límite:
lim
??????→−4
(�+1)
(�−1)
=
lim
??????→−4
(�+1)
lim
??????→−4
(�−1)
=
lim
??????→−4
�+lim
??????→−4
1
lim
??????→−4
�−lim
??????→−4
1
=
−4+1
−4−1
=
−3
−5
=
3
5



c. lim
??????→6
??????
2
−36
??????−6

Se factoriza el numerador (diferencia de cuadrados perfectos):
�
2
−36=(�+6)(�−6)
������������ � �??????���??????�??????�����:
lim
??????→6
(�+6)(�−6)
�−6

Se resuelve el límite:
lim
??????→6
(�+6)=6+6=12

d. lim
??????→5
??????
3
−25??????
??????
2
−5??????

Se factoriza el numerador:
�
3
−25�=�(�
2
−25)
Nuevamente factorizamos:
�(�−5)(�+5)
Para simplificar el denominador necesitamos resolver los dos
primeros factores:
(�
2
−5�)(�+5)
Reemplazamos y simplificamos:
lim
??????→5
(�
2
−5�) (�+5)
�
2
−5�

Se resuelve el límite:

lim
??????→5
(�+5)=5+5=10

e. lim
??????→−4
??????
2
+3??????−4
??????
2
+8??????+16

Se factoriza numerador y denominador:

6. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE


�
2
+3�−4=(�+4)(�−1)
�
2
+8�+16=(�+4)(�+4)
������������ � �??????���??????�??????�����:
lim
??????→−4
(�+4)(�−1)
(�+4)(�+4)


Se resuelve el límite:
lim
??????→−4
(�−1)
(�+4)
=
lim
??????→−4
(�−1)
lim
??????→−4
(�+4)
=
lim
??????→−4
�−lim
??????→−4
1
lim
??????→−4
�+lim
??????→−4
4


−4−1
−4+4
=
−5
0

�� ���� ??????��??????�??????��� �?????? ��??????��� �� �??????�??????�� � �?????? �????????????����:

7. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE

lim
??????→−4
−
(??????−1)
(??????+4)
=−∞
lim
??????→−4
+
(�−1)
(�+4)
=∞
Al ser los resultados de los limites diferentes, el limite diverge.

HACER 3 ejercicios

lim
??????→0
(�
2
−1)
(�+1)

Se factoriza el numerador:
(�
2
−1)=(�−1)(�+1)
Se reemplaza y simplifica:
lim
??????→0
(�−1)(�+1)
(�+1)

Se resuelve el límite:
lim
??????→0
(�−1)=lim
??????→0
�−lim
??????→0
1=0−1=−1


lim
??????→1
2�
(�+1)
=
lim
??????→1
2�
lim
??????→1
(�+1)
=
lim
??????→1
2∗lim
??????→1
�
lim
??????→1
�+lim
??????→1
1
=
2∗1
1+1
=
2
2
=1

lim
??????→−1
(�−2)
(�+1)
=
lim
??????→−1
(�−2)
lim
??????→−1
(�+1)
=
lim
??????→−1
�−lim
??????→−1
2
lim
??????→−1
�+lim
??????→−1
1
=
−1−2
1+1
=
−3
2



Límites que contienen infinito:
Ejercicios:
4. Calcular los siguientes límites:
lim
??????→∞
(�+15)
�−14

Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:

8. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE

lim
??????→∞
(
�
�
+
15
�
)
�
�
−
14
�
=lim
??????→∞
(1+
15
�
)
1−
14
�

Por propiedades de los límites:
lim
??????→∞
(1+
15
�
)
lim
??????→∞
1−
14
�
=
lim
??????→∞
1+lim
??????→∞
1(
15
�
)
lim
??????→∞
1−lim
??????→∞
1(
14
�
)
=
1+0
1−0
=
1
1
=1

lim
??????→∞
(�
2
+5�−36)
�
2
−16

Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:

lim
??????→∞
(
�
2
�
2+
5�
�
2−
36
�
2)
�
2
�
2
−
16
�
2
=lim
??????→∞
(1+
5
�
−
36
�
2)
1−
16
�
2

Se aplican propiedades y se resuelve los límites:

lim
??????→∞
(1+
5
�
−
36
�
2)
lim
??????→∞
1−
16
�
2
=
lim1
??????→∞
+lim
??????→∞
5
�
−lim
??????→∞
36
�
2
lim
??????→∞
1−lim
??????→∞
16
�
2

=
1+0−0
1−0
=1

lim
??????→∞
(�
3
+5�−44)
�
2
−72

Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:

lim
??????→∞
(
�
3
�
2+
5�
�
2−
44
�
2)
�
2
�
2
−
72
�
2
=lim
??????→∞
(�+
5
�
2−
44
�
2)
1−
72
�
2

Se aplican propiedades y se resuelve los límites:

9. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE


lim
??????→∞
(�+
5
�
2−
44
�
2)
lim
??????→∞
1−
72
�
2
=
lim �
??????→∞
+lim
??????→∞
5
�
2−lim
??????→∞
44
�
2
lim
??????→∞
1−lim
??????→∞
72
�
2

=
∞+0−0
1−0
=∞

lim
??????→∞
(7�
5
+4�
2
−8)
3−2�
5

Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:
lim
??????→∞
(
7�
5
�
5+
4�
2
�
5−
8
�
5)
3
�
5
−
2�
5
�
5
=lim
??????→∞
(7+
4
�
3−
8
�
5)
3
�
5−2

Se aplican propiedades y se resuelve los límites:

lim
??????→∞
(7+
4
�
3−
8
�
5)
lim
??????→∞
(
3
�
5−2)
=
lim
??????→∞
7+lim
??????→∞
4
�
3−lim
??????→∞
8
�
5)
lim
??????→∞
3
�
5−lim
??????→∞
2

7+0−0)
0−2
=−
7
2




lim
??????→∞
9�
4
+�
2
3�
4
+3�
3
−3�−3


Se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia
de x en el denominador:

lim
??????→∞
9�
4
�
4+
�
2
�
4
3�
4
�
4+
3�
3
�
4−
3�
�
4−
3
�
4
=lim
??????→∞
9+
1
�
2
3+
3
�
−
3
�
3−
3
�
4

10. POLITÉCNICO MAYOR
MATEMÁTICAS
Grado 11
Plan de Mejoramiento Periodo 3
NOVIEMBRE

Se aplican propiedades y se resuelve los límites:
lim
??????→∞
(9+
1
�
2)
lim
??????→∞
( 3+
3
�
−
3
�
3−
3
�
4)
=
lim
??????→∞
9+lim
??????→∞
1
�
2
lim
??????→∞
3+lim
??????→∞
3
�
−lim
??????→∞
3
�
3−lim
??????→∞
3
�
4

=
9+0
3+0−0−0
=
9
3
=3

Referencias:
 https://www.geogebra.org/classic?lang=es