EJERCICIOS RESUELTOS-LIBRO FÍSICA CONCEPTUAL 1

Ejercicios resueltos del libro Física Conceptual 1, les puede ayudar un poco en sus tareas.

1. EJERCICIO 1

7. EJERCICIO 2

18. EJERCICIO Nº 3
1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:

a)  mj20i15A



SOLUCIÓN:
 A = 15, -20 m


b)  B= 130N,125º

SOLUCIÓN:

x
x
x
B = B cos
B =130 Ncos125º
B = -74,56 N

y
y
y
B = B sen
B =130Nsen125º
B =106,49N
  
 
xy
B = B , B
B = -74,56;106,49 N

c)  C = 37cm, N37ºE


x
x
x
B = B sen
B = 37cmsen37º
B = 22,27cm

y
y
y
B = B cos
B = 37cmcos37º
B = 29,55cm
  
 
xy
B = B , B
B = 22,27; 29,55 cm

19. d)  D = 25kgf -0,6 i-0,8 j

SOLUCIÓN:
 
 
D = 25kgf -0,6 i-0,8 j
D = -15 i-20 j kgf
 D = -15, -20 kgf

2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:

a)  A = -14 i+8 j m

SOLUCIÓN:

 
22
A = 14 +8
A =16,12m
1
8
tan
14
8
tan
14
29,74º









 180º
180º 29,74
150,26º






 A = 16,12m;150,26º
b)  B= 87, 91 N

SOLUCIÓN:
 
22
B = 87 +91
B =125,90 N
1
91
tan
87
91
tan
87
46,29º









  B = 125,90N; 46,29º


c)  C = 45kgf 0,707 i-0,707 j

SOLUCIÓN:

20. 1
1
1
1
0,707
tan
0,707
0,707
tan
0,707
45º









 1
270º
270º 45º
315º







 C = 45kgf; 315º


d)  D = 22N,S28ºO

SOLUCIÓN:
270º
270º 28º
242º






 D = 22 N, 242º

3. Expresar en coordenadas geográficas los siguientes vectores:

a)  A = 52,-25 N

SOLUCIÓN:
22
A = 52 + 25
A = 57,7 N
1
52
tan
25
52
tan
25
64,32º









  A = 57,7 N; S64,32º E


b)  B = 47N, 245º
270º 245º
25º




 B = 47 N, S25ºO
SOLUCIÓN:

c) C = -32 im+ 21 jm

SOLUCIÓN:

21. 22
C = 32 + 21
C = 38,28m 1
32
tan
21
32
tan
21
56,73º









  C = 38,28m; N56,73O


d)  D = 35cm 0,866 i+0,5 j

SOLUCIÓN:
1
0,5
tan
0,866
0,5
tan
0,866
30º










 D = 35cm; N30º E


4. Exprese en función de sus módulos y vectores unitarios los siguientes vectores:

a)  A = 44m, 340º

SOLUCIÓN:
x
x
x
A = A cos
A = 44mcos340º
A = 41,35m

y
y
y
A = A sen
A = 44msen340º
A = 15,05m

  A = 41,35 i-15,05 j m
 
 
A
A
A
A
=
A
41,35 i-15,05 j m
=
44m
= 0,94 i 0,34 j


 
 A = 44m 0,94 i-0,34 j

b)  B = 25km,S14ºO

SOLUCIÓN:
270º 14º
284º





22. x
x
x
B = B cos
B = 25kmcos284º
B = 6,05km

y
y
y
B = A sen
B = 25kmsen 284º
B = 24,26km

  A = 6,05 i-24,26 j km
 
 
B
B
B
B
=
B
6,05 i-24,26 j km
=
25km
= 0,24 i 0,97 j


 
 B = 25km 0,242 i-0,97 j


c)  C = -21, 45 N

SOLUCIÓN:
22
C 21 45
C 49,66º N



 
 
C
C
C
C
C
-21i+ 45 j N
49,66 N
-0,42 i+ 0,90 j






 C 49,66N -0,42 i+0,90 j

d)  D = 17 i+9 j kgf

SOLUCIÓN:
22
D = 17 9
D = 19,24kgf


23.  
 
D
D
D
D
D
17 i+9 j kgf
19,24kgf
0,88 i+0,47 j





  D 19,24kgf 0,88 i+0,47 j

5. Expresar el vector  R = -13,-27 m en:

a) Coordenadas polares
b) Función de los vectores base
c) Coordenadas geográficas
d) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:  R = -13,-27 m


a)
22
R = 13 + 27
R = 29,97m
1
1
1
1
27
tan
13
27
tan
13
64,29º









 64,29º 180º
244,29º




 R = 29,97m; 244,29º

b)
 R = -13i-27 j m

c)
270º 244,29º
25,71º





 R = 29,97m; S25,71ºO
d)

24.  
 
R
R
R
R
R
-13 i- 27 j m
29,97m
-0,43 i-0,9 j





  R = 29,97m -0,43i-0,9 j

6. Expresar el vector  V = 200km,318º en :

a) Coordenadas geográficas
b) Coordenadas rectangulares
c) Función de los vectores base
d) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:  V = 200km,318º


a)
318º 270º
48º



  V = 200km, S48º E

b)
x
x
x
V = V cos318º
V = 200kmcos318º
V =148,63km y
y
y
V = V sen318º
V = 200kmsen318º
V = -133,83km

 V = 148,63; -133,83 km


c)
 V = 148,63i-133,83 j km
d)
 
 
V
V
V
V
V
148,63 i-133,83 j km
200km
0,743 i-0,669 j





  V = 200km 0,743i-0,669 j

25. 7. Expresar el vector  K = 20N,N47ºO en:

a) Coordenadas polares
b) Coordenadas rectangulares
c) Función de su modulo y unitario
d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:

a)
90º 47º
137º



  K = 20N;137º

b)
x
x
x
K = K cos
K = 20Ncos137º
K = -14,63N
 y
y
y
K = K sen
K = 20 Nsen137º
K =13,64 N
  K = -14,63;13,64 N

c)

 
 
K
K
K
K
K
-14,63 i 13,64 j N
20N
0,73 i 0,68 j






    K 20N 0,73i 0,68 j  

d)
 K = -14,63i 13,64 j N


8. Expresar el vector  L =147cm mi-nj ; Si m = 3n , en:

a) Coordenadas geográficas
b) Coordenadas polares
c) Coordenadas rectangulares
d) Función de los vectores base

SOLUCIÓN:

26.  
 
 
L
L
2
2
22
mi- nj m 3n
3ni- nj
1 3n n
9n n 1
10 n 1
1
n
10
n 0,316








  
 
 
 
L
L
L
L
mi-nj m 3n
3ni-nj
3 0,316 i-0,316 j
0,948 i-0,316 j










a)
1
0,948
tan
0,316
0,948
tan
0,316
71,57º









  L 147cm; S71,57ºO
b)
270º 71,57º
341,57º



  L 147cm; 341,57º
c)
 
 
L =147cm 0,948;-0,316
L = 139,36;-19,99 cm
d)  L = 139,36 i-19,99 j cm


9. Expresar el vector  H = -29 i+35 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares
b) Función de su modulo y unitario
c) Coordenadas polares
d) Coordenadas geográficas

SOLUCIÓN:
a)
 H = -29; 35 m s
b)

27. 22
H 29 35
H 45,45m/ s


 
 
H
H
H
H
H
-29 i+35 j m s
=
45,45m s
= 0,64 i+0,77 j





 H 45,45m/ s 0,64 i+0,77 j

c)
1
0,64
tan
0,77
0,64
tan
0,77
39,73º









 90º 39,73º
129,73





 H 45,45m/ s;129,73º
d)
 H 45,45m/ s; N39,73ºO

10. Expresar el vector  
2
E = 9 i+12 j m s en:

a) Coordenadas rectangulares
b) Coordenadas polares
c) Coordenadas geográficas
d) Función de su modulo y unitario

SOLUCIÓN:
a)

2
E = 9;12 m s

b)
22
2
E = 9 +12
E =15m/ s 1
12
tan
9
12
tan
9
53,13º









  
2
E = 15m/s ;53,13º
c)

28. 90º 53,13º
36,87º



  
2
E = 15m/s ; N36,87ºE
d)
 
 
E
2
E 2
E
E
E
9 i+12 j m s
15m s
0,6 i+ 0,8 j






 
2
E =15m/ s 0,6 i+0,8 j


11. Exprese en función de sus vectores base los siguientes vectores:

a)  A = 65km/ h,121º

SOLUCIÓN:
x
x
x
A = A cos
A = 65km/ hcos121º
A = 33,48km/ h


y
y
y
A = A sen
A = 65km/ hsen121º
A = 55,72km/ h

 A = -33,48i+55,72 j km/ h


b)  B= 70N, NE

SOLUCIÓN:
x
x
x
B = B cos
B = 70Ncos45º
B = 49,5N

 B = 49,5 i 49,5 j N

c)  C =120km 0,873i-0,488 j

SOLUCIÓN:
 C = 104,76 i-58,56 j km


d)  D = -13, 40 N

29. SOLUCIÓN:
 D = -13i 40 j N

EJERCICIO Nº 4
1. Si la magnitud de los vectores F y G son 40m y 30m respectivamente, determinar:

a) La magnitud máxima del vector resultante de la suma vectorial de F+ G
b) La magnitud mínima del vector resultante de la suma vectorial de F+ G
c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F y G sean
perpendiculares
d) La magnitud máxima del vector resultante de la resta vectorial de F-G

SOLUCIÓN:

a)
 
 
 
F = 40 i+ 0 j m
G = 30 i+ 0 j m
R = 70 i+ 0 j m 2
R = 70 = 70m
b)
 
 
 
F = 40 i+0 j m
G = -30 i+0 j m
R = 10 i+0 j m 2
R = 10 =10m
c)
 
 
 
F = 40 i+ 0 j m
G = 0 i+30 j m
R = 40 i+30 j m 22
R = 40 30 = 50m
d)
 
 
 
F = 40 i+0 j m
-G = 30 i+0 j m
R = 70 i+0 j m    
2
F = 40 i+0 j m G = -30 i+0 j m
R = 70 = 70m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar:

30. a) El ángulo formado por los vectores
b) El área del paralelogramo formado por los vectores F y G
c) El vector unitario en la dirección de  F-2G

SOLUCIÓN:

a)
1
1
F•G
cos
FG
4×-6 + 6×-1
cos
52 37
133,15º













 22
F = 4 + 6
F 7,21 2
G = 6 +1
G = 6,08
b)
 
2
46
Área = = -4+36 = 32u
-6 -1
c)
F = 4 i+ 6 j G = -6 i- j 2G = -12 i-2 j


   
  
F- 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 j
F- 2G = 16 i+8 j
 
F 2G
22
F 2G
16 i+8 j
16 8
0,89 i 0,45 j









3. Dado el vector Q = 3, -5 m , encontrar:

a) Un vector P perpendicular a Q , de modo que su módulo sea de 17m y la coordenada Y sea
positiva
b) El área del paralelogramo formado por Q y P
c) La proyección de Q sobre P

SOLUCIÓN:

a)
Q = 3, -5 m

31.  
 
xy
xy
xy
Q•P = 0
Q•P = 3×P -5×P
3×P -5×P = 0
3×P 5×P  
 
 
P
22
P
P = 5 i+3 j m
5 i+3 j m
53
0,86 i+0,51 j






 
 
P =17m 0,86 i+0,51 j
P = 14,62 i 8,67 j m

b)
 
2
3 -5
Área = = 26,01+73,1 = 99,11m
14,62 8,67

c)
Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyección es cero

4. Dados los vectores  P = 12 i-8 j m s  Q = 15m s,120º , encontrar:

a) P -Q
b) Q + P
c) 3/ 2P
d) Q•P
e) El ángulo formado entre Q y P

SOLUCIÓN:
 Q = 15m s,120º

x
x
x
Q = Q cos
Q =15m/ scos120º
Q = -7,5m/ s

y
y
y
Q = Q sen
Q =15m/ ssen120º
Q =12,99m/ s
  Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

a)  
 
 
P = 12 i -8 j m s
-Q = 7,5 i-12,99 j m/ s
P -Q 19,5 i-20,99 j m/ s

b)

32.  
 
 
Q = -7,5 i 12,99 j m/ s
P = 12 i -8 j m s
Q P 4,5 i 4,99 j m/ s


  
c)
 
 
33
P = 12 i-8 j m s
22
3
P = 18 i-12 j m s
2
d)
 Q•P = -7,5×12+12,99×-8 m/ s
Q•P = -193,92m/ s

e)
 
  
-1
22
-7,5×12 +12,99×-8
= cos
15m/ s 12 +8
= 93,56º







f)
 
12 -8
P×Q = = 155,88+60 k = 215,88k
-7,5 12,99

5. Dados los vectores  M = 37, 25 m  N = 41m, 213º , hallar:

a) M+ N
b) N -M
c) -2N
d) N•M
e) La proyección de N sobre M
f) El área del paralelogramo formado por los dos vectores

SOLUCIÓN:
a)


x
x
x
N = N cos
N = 41mcos213º
N = -34,39m
 y
y
y
N = N sen
N = 41msen 213º
N = -22,33m
  N = -34,39 i-22,33 j m

33.  
 
 
M = 37 i + 25 j m
N = -34,39 i-22,33 j m
M + N = 2,61i+ 2,67 j m
b)
 
 
 
N = -34,39 i-22,33 j m
-M = -37 i -25 j m
N -M = -71,39 i-47,33 j m
c)
 
 
-2N = -2 -34,39 i-22,33 j m
-2N = 68,78 i+ 44,66 j m
d)
 N•M = -34,39×37-22,33×25
N•M = -1830,68
e)   
 
MM
M
2 2 2 2
M
N•M
N = ×
M
37 i+ 25 j m-34,39×37-22,33×25
N = ×
37 + 25 37 + 25
N = -33,97 i-22,95 j m





22
M
M
N = 33,97 + 22,95
N = 40,99m
f)
 
2
37 25
Área = = -826,21+934,75 = 33,54m
-34,39 -22,33

6. Dados los vectores  E =15N mi+0,48 j ;  I = 21N,SE y  F = 12N,312º , hallar:

a) E+I+F
b) 2 / 3I-3E +5/ 2F
c) 2 / 5 F•E
d)  3I×2F
e) La proyección de E sobre el vector resultante de I +F
f) El ángulo comprendido entre los vectores F y E

SOLUCIÓN:

34.  E =15N mi+0,48 j
 I = 21N,SE
 
2
m = 1- 0,48
m = 0,88
270º 45º
315º




 
 
E =15N 0,88 i+ 0,48 j
E = 13,2 i+ 7,2 j
x
x
x
I = I cos
I = 21Ncos315º
I =14,85
 y
y
y
I = I sen
I = 21Nsen315º
I = -14,85


 I = 14,85 i-14,85 j N  F = 12N,312º

x
x
x
F = F cos
F =12Ncos312º
F = 8,03

y
y
y
F = F sen
F =12 Nsen312º
F = -15,60

 F = 8,03i-15,60 j N


a)
 
 
 
 
E = 13,2 i+7,2 j N
I = 14,85 i-14,85 j N
F = 8,03 i-15,60 j N
E + I + F 36,08 i-23,25 j N
b)
 
 
2
2 / 3I = 14,85 i-14,85 j N
3
2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N  
 
-3E = -3 13,2 i+ 7,2 j N
-3E = -39,6 i-21,6 j N

 
 
5
5 / 2F = 8,03 i-15,60 j N
2
5 / 2F = 20,08 i-39 j N

35.  
 
 
 
2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N
-3E = -39,6 i-21,6 j N
5 / 2F = 20,08 i-39 j N
2 / 3I-3E +5 / 2F = -9,62 i-70,5 j N
c)
 
2
2 / 5 F• E = 8,03×13,2-15,60×7,2
5
F• E = -2,53
d)
 
 
3I = 3 14,85 i-14,85 j N
3I = 44,55 i-44,45 j N  
 
2F = 2 8,03 i-15,60 j N
2F = 16,06 i-31,2 j N
 
44,55 -44,55
3I×2F = k = -1389,96+715,47 k = -674,49k
16,06 -31,2

e) La proyección de E sobre el vector resultante de I +F
 
 
 
I = 14,85 i-14,85 j N
F = 8,03 i-15,60 j N
I + F 22,88 i-30,45 j N

  
 
I+F I F
I+F
2 2 2 2
I+F
E•I F
E = ×
IF
22,88 i-30,45 j13,2×22,88 7,2× 30,45
E = ×
22,88 +30,45 22,88 +30,45
E = 1,30 i-1,73 j m









22
I+F
I+F
E = 1,30 1,73
E = 2,16


f)

36. 18,03 13,2 15,60 7,2
cos
15 12
92,01º


   




7. Dados los vectores  A = 31m s 0,2 i+mj ;  B= 43m s,172º y  C = 55, -12 m s , hallar:

a) A-B+C
b) 1 2A + B- 2C
c) El área del paralelogramo formado por 2A y 2
C
3
d) La proyección de  A + B sobre C
e)   A×C + A×B
f)  A• B×C

SOLUCIÓN:
 A = 31m s 0,2 i+mj
 B= 43m s,172º


2
m = 1- 0,2
m = 0,98
x
x
x
B = B cos
B = 43m/ scos172º
B = -41,59
 y
y
y
B = B sen
B = 43m/ ssen172º
B = 5,98

 
 
A = 31m s 0,2 i+0,98 j
A = 6,2 i+30,38 j m s
 B = -41,59 i+5,98 j m/ s

 C = 55 i-12 j m s


a)  
 
 
 
A = 6,2 i+30,38 j m s
-B = 41,59 i-5,98 j m/ s
C = 55 i -12 j m s
A -B+C 102,79 i 12,4 j m s


b) 1 2A + B- 2C

37.  
 
1
1/ 2A = 6,2 i+30,38 j m s
2
1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s  
 
-2C = -2 55 i-12 j m s
-2C = -110 i+ 24 j m s
 
 
 
 
1/ 2A = 3,1i+15,19 j m s
B = -41,59 i+5,98 j m/ s
-2C = -110 i+ 24 j m s
1 2A + B-2C -148,49 i+ 45,17 j m s
c)
 
 
2A = 2 6,2 i+30,38 j m s
2A = 12,4 i+60,76 j m s
 
 
2
2 / 3C = 55 i-12 j m s
3
2 / 3C = 36,66 i-8 j m s
12,4 60,76
Área = = -99,2-934,75 = 2326,66
36,66 -8


d) La proyección de  A + B sobre C  
 
 
A = 6,2 i+30,38 j m s
B = -41,59 i+5,98 j m/ s
A + B = -35,39 i+36,36 j m/ s
 C = 55 i-12 j m s

 
 
  
  
CC
C
2 2 2 2
C
A+ B•C
A+ B = ×
C
55 i-12 j-35,39×55+36,36×-12
A+ B = ×
55 +12 55 +12
A+ B = -41,35 i+9,02 j






 
 
22
C
C
A+ B = 41,35 9,02
A+ B = 42,32



e)

38.  
6,2 30,38
A×C = = -74,4-1670,9 k = -1745,3k
55 -12
 
6,2 30,38
A×B = = -37,08+1263,5 k =1226,42k
-41,59 5,98

  
  
A×C + A×B = -1745,3k+1226,42k
A×C + A×B = -518,88k


f) B×C
es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A entonces  A• B×C 0


8. Tomando en consideración los vectores  R = 20m, N25ºO ;  S = 15 i+9 j m ;  T = 30m, 260º y  U =17m 0,5 i-0,866 j
, hallar:

a) 3 4 S -2R + U
b) 5U -1 2T + R -2S
c) R •S + T•U
d)  T×U + R×S
e) 3R •2 T
f) La proyección de  R +S sobre  T - U
g) El área del paralelogramo formado por R -T y  S+ U

SOLUCIÓN:
 R = 20m, N25ºO
 T = 30m, 260º
90º 25º
115º



 x
x
x
R = R cos
R = 20mcos115º
R = -8,45m

y
y
y
R = R sen
R = 20msen115º
R =18,13m
 x
x
x
T = T cos
T = 30mcos260º
T = -5,21m
 y
y
y
T = T sen
T = 30msen 260º
T = -29,54m
  R = -8,45 i+18,13 j m
 T = -5,21i-29,54 j m

39.  
 
U =17m 0,5 i-0,866 j
U 8,5 i-14,72 j m
a)  
 
3
3/ 4S = 15 i+9 j m
4
3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m
 
 
-2R = -2 -8,45 i+18,13 j m
-2R = 16,9 i-36,26 j m
 
 
 
 
3/ 4S = 11,25 i+ 6,75 j m
-2R = 16,9 i-36,26 j m
U 8,5 i-14,72 j m
3 4S-2R + U 36,65 i-44,23 j m




b)  
 
5U 5 8,5 i-14,72 j m
5U 42,5 i-73,6 j m


 
 
1
-1/ 2T = - -5,21i- 29,54 j m
2
-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

 
 
-2S = -2 15 i+9 j m
-2S = -30 i-18 j m

 
 
 
 
 
5U = 42,5 i-73,6 j m
-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m
R = -8,45 i+18,13 j m
- 2S = -30 i -18 j m
5U -1 2T + R - 2S = 6,65 i-58,7 j m


c)  R •S = -8,45×15+18,13×9
R •S = 36,42

 T• U = -5,21×8,5-29,54×-14,72
T• U = 390,54

40.  
 
R •S + T • U = 36,42 +390,54
R •S + T • U = 426,96

d)

 
-8,45 18,13
R×S = = -76,05-271,95 k = -348k
15 9

  
  
T×U + R×S = 327,78k-348k
T×U + R×S = -20,22k


e)
 
 
3R = 3 -8,45 i+18,13 j m
3R = -25,35 i+54,39 j m
 
 
2T = 2 -5,21i-29,54 j m
2T = -10,42 i-59,08 j m
 

3R •2 T = -25,35×-10,42 +54,39×-59,08
3R •2 T = -2949,21


f)  
 
 
R = -8,45 i+18,13 j m
S = 15 i+9 j m
R +S 6,55 i+ 27,13 j m
 
 
 
T = -5,21i-29,54 j m
- U = -8,5 i+14,72 j m
T - U = -13,71i-14,82 j m


  
 
T-UT-U
T-U
2 2 2 2
T-U
R+S•T- U
R+S = ×
T- U
-13,71i-14,82 j6,55×-13,71+ 27,13×-14,82
R+S = ×
13,71 +14,82 13,71 +14,82
R+S = 16,54 i+17,88 j






 
-5,21 -29,54
T×U = = 76,69+251,09 k = 327,78k
8,5 -14,72

41. 

22
T-U
T-U
R+S = 16,54 17,88
R+S = 24,36


g)  
 
 
R = -8,45 i+18,13 j m
-T = 5,21i+ 29,54 j m
R -T = -3,24 i+ 47,67 j m
 
 
 
S = 15 i+9 j m
U 8,5 i-14,72 j m
S+ U 23,5 i-5,72 j m



3,24 47,67
Área = = 18,53-1120,24 =1101,71
23,5 -5,72



9. Considérese los vectores  A = 46cm mi-0,23 j ;  B= 81cm,155º ,  C = 57cm, N21ºE y  D = -32 i-29 j m
, determinar:

a) 1 2A + 2C - B
b) 2D -3A +1 3C- 2 5B
c)   3B+2 3A • -C-3 4D
d)   D-3C × 3 2B+4A
e) B•A + C•D
f)   2A×C + 5B×D
g) El ángulo formado por  D-A y  B+C

SOLUCIÓN:  A = 46cm mi-0,23 j
 B= 81cm,155º  
2
m = 1- 0,48
m = 0,88
x
x
x
B = B cos
B = 81cmcos155º
B = -73,41cm
 y
y
y
B = B sen
B = 81cmsen155º
B = 34,23cm
  
 
A = 46cm 0,88 i-0,23 j
A = 40,48 i-10,58 j
 B = -73,41i+34,23 j cm

42.  C = 57cm, N21ºE 90º 21º
69º





x
x
x
C = C cos
C = 57cmcos69º
C = 20,43cm
 y
y
y
C = C sen
C = 57cmsen 69º
C = 53,21cm

 C = 20,43i+53,21 j cm
a)  
 
1
1/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm
2
1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm
 
 
2C = 2 20,43 i+53,21 j cm
2C = 40,86 i+106,42 j cm
 B = -73,41i+34,23 j cm

 
 
 
 
1/ 2A = 20,24 i-5,29 j
2C = 40,86 i+106,42 j
-B = 73,41i-34,23 j
1 2A + 2C-B = 134,51i+66,89 j


b)
 
 
2D = 2 -32 i-29 j
2D = -64 i-58 j
 
 
-3A = -3 40,48 i-10,58 j
-3A = -121,44 i+31,74 j

 
 
1
1/ 3C = 20,43 i+53,21 j
3
1/ 3C = 6,81i+17,73 j
 
 
2
-2 / 5B = - -73,41i+34,23 j
5
-2 / 5B = 29,36 i-13,69 j

43.  
 
 
 
 
2D = -64 i-58 j
-3A = -121,44 i+31,74 j
1/ 3C = 6,81i+17,73 j
- 2 / 5B = 29,36 i-13,69 j
2D -3A +1 3C- 2 5B 149,27 i- 22,22 j

c)  
 
3B = 3 -73,41i+34,23 j
3B = -220,23 i+102,69 j
 
 
2
2 / 3A = 40,48 i-10,58 j
3
2 / 3A = 26,99 i-7,05 j  
 
4
-4 / 3D = - -32 i-29 j
3
-4 / 3D = 42,66 i+38,66 j
 
 
 
3B = -220,23 i+102,69 j
2 / 3A = 26,99 i-7,05 j
3B+ 2 3A = -193,24 i+95,64 j
 
 
 
-C = -20,43 i-53,21 j
-4 / 3D = 42,66 i+38,66 j
-C-4 3D = 22,23 i-14,55 j

   
  
3B+ 2 3A • -C- 4 3D = -193,24×22,23+95,64×-14,55
3B+ 2 3A • -C- 4 3D = -5687,28


d)
 
 
-3C = -3 20,43 i+53,21 j
-3C = -61,29 i-159,63 j  
 
3
3/ 2B = -73,41i+34,23 j
2
3/ 2B = -110,12 i+51,35 j

 
 
4A = 4 40,48 i-10,58 j
4A = 161,92 i-42,32 j

 
 
 
D = -32 i-29 j
-3C = -61,29 i-159,63 j
D-3C = -93,29 i-188,63 j
 
 
 
3/ 2B = -110,12 i+51,35 j
4A = 161,92 i-42,32 j
3 2B+ 4A 51,8 i 9,03 j

    
-93,29 -188,63
D-3C × 3 2B+4A = = -842,41+9771,03 k = 8928,62k
51,8 9,03

44. e)  B•A = -73,41×40,48+34,23×-10,58
B•A = -3333,79
 C•D = 20,43×-32+53,21×-29
C•D = -2196,85   
  
B•A + C•D = -3333,79- 2196,85
B•A + C•D = -5530,64



f)   2A×C + 5B×D
 
 
2A = 2 40,48 i-10,58 j
2A = 80,96 i-21,16 j
 
 
5B = 5 -73,41i+34,23 j
5B = -367,05 i+171,15 j

 
80,96 -21,16
2A×C = = 4307,88+432,30 k = 4740,18k
20,43 53,21


g) El ángulo formado por  D-A y  B+C
 
 
 
D = -32 i-29 j
-A = -40,48 i+10,58 j
D-A = -72,48 i-18,42 j
 
 
 
B = -73,41i+34,23 j
C = 20,43 i+53,21 j
B+C = -52,98 i+87,44 j
  
-1
2 2 2 2
-72,48×-52,98-18,42×87,44
= cos
72,48 +18,42 52,98 +87,44
= 73,05º









10. Dados los vectores  D = 5km, 63º , E = -7, -1 km y  F = 4km;S70ºE , calcular:

a) 2D + E +3F
b) E-D-2F
c) D•E
d) D- E×F
e) La proyección de E sobre D

45. f) El ángulo comprendido entre E y F
g) El área del paralelogramo formado por los vectores D y E

SOLUCIÓN:
a)
x
x
x
D = D cos
D = 5kmcos63º
D = 2,27km
 y
y
y
D = D sen
D = 5kmsen 63º
D = 4,46km
  D = 2,27 i+4,46 j km

 E = -7 i-1 j km


270º 70º
340º





x
x
x
F = F cos
F = 4kmcos340º
F = 3,76km
 y
y
y
F = F sen
F = 4kmsen340º
F = 1,37km


 F = 3,76 i-1,37 j km

 
 
2D = 2 2,27 i+ 4,46 j km
2D = 4,54 i+8,92 j km

 
 
3F = 3 3,76 i-1,37 j km
3F = 11,28 i-4,11 j km

 
 
 
 
2D = 4,54 i+8,92 j km
E = -7 i -1 j km
3F = 11,28 i-4,11 j km
2D E 3F 8,82 i 3,81 j km   
b)
E-D-2F

 
 
-2F = -2 3,76 i-1,37 j km
-2F = -7,52 i+ 2,74 j km

46.  
 
 
 
E = -7 i -1 j km
-D = -2,27 i-4,46 j km
-2F = -7,52 i+ 2,74 j km
E -D -2F = -16,79 i-2,72 j km
c)
 D•E = 2,27×-7 + 4,46×-1
D•E = -20,35
d)
 
-7 -1
E×F = k = 9,59+3,76 k =13,35k
3,76 -1,37

 
 
 
D = 2,27 i+ 4,46 j+0k
-E×F = 0 i + 0 j-13,35k
D- E×F 2,27 i+ 4,46 j-13,35k
e)

  
 
DE
D
D
E•D
E = ×
D
2,27 i+ 4,46 j-7×2,27 1 4,46
E = ×
55
E = -1,85 i-3,63 j





 22
D
D
E = 1,85 3,63
E = 4,07


f) E = -7, -1 km
y  F = 3,76 i-1,37 j km  
 
-1
2
-7×3,76-1×-1,37
= cos
4 7 +1
= 86,25º









g)
 
2
2,27 4,46
Área = = -2,27+31,22 = 28,95km
-7 -1

11. Si la suma de los vectores A y B es 2 i-4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar el ángulo formado
por los vectores A y B

47. SOLUCIÓN:
xx
xx
xx
xx
x
x
x
x
x
A + B = 2...........(1)
A -B = 6............(2)
De (2)
A = 6 + B .............(3)
(3) en (1)
6 + B + B = 2
2B = -4
B = -2
Reemplazando el valor de B en (1)
A -2 = 2
A = 4



yy
yy
yy
yy
y
y
y
y
y
A + B = -4.......................(1)
A -B = -10.....................(2)
De (2)
A = -10 + B .............(3)
(3) en (1)
-10 + B + B = -4
2B = 6
B = 3
Reemplazando el valor de B en (1)
A +3 = -4
A = -7


  A = 4 i-7 j
 B = -2 i+3 j   
1
1
2 2 2 2
cos
4 2 7 3
cos
4 7 2 3
176,05º
AB
AB











  







12. Determine las magnitudes de los vectores A y B , para A + B+C = 0

48.  C = 0 i-16 j N

Para que Y=0 y y y
A = -C A =16
Calculando x
A x
x
x
16
tan37º=
A
16
A=
tan37º
A = 21,24 como esta en X(-) -21,24

 A = -21,24 i+16 j N
22
A = 21,24 +16
A = 26,59N


Para que X=0 x x x
B = -A Þ B = 21,24  B = 21,24 i+0 j N
B = 21,24N




EJERCICIO Nº5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar la posición relativa
del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en las siguientes horas:

a) 10H10

49. b) 12H35
c) 5H40
d) 8H20
e) 9H10
f) 6H50
g) 2H40
h) 11H05
i) 4H00

SOLUCIÓN:
Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

Datos:
min
L =1,2m
hor
L = 0,8m

a)  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r =1,2mcos30º
r =1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen30º
r = 0,6m  min
r = 1,04 i+0,6 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m;150º
r = 0,8mcos150º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen150º
r = 0,4m
 hor
r = -0,69 i+0,4 j m

150º
180º 0º
90º
270º
30º
120º 60º
240º
210º
300º
330º 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4

50.   
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = -0,69 i+0,4 j m- 1,04 i+0,6 j m
r = -1,73 i-0,2 j m

b)
 
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r =1,2mcos240º
r = -0,6m
Ymin
Ymin
r =1,2msen240º
r = -1,04m  min
r = -0,6 i-1,04 j m



 hor
r = 0 i+0,8 j m
  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = 0 i+0,8 j m- -0,6 i-1,04 j m
r = 0,6 i 1,84 j m

c)
 
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 210º
r =1,2mcos210º
r = -1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen30º
r = -0,6m  min
r = -1,04 i-0,6 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 300º
r = 0,8mcos300º
r = -0,4m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen300º
r = 0,69m
 hor
r = -0,4 i-0,69 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = -1,04 i-0,6 j m- -0,4 i-0,69 j m
r = -0,64 i-0,09 j m


10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4

51. d)  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r =1,2mcos330º
r =1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen330º
r = -0,6m  
min
r = 1,04i-0,6 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 210º
r = 0,8mcos210º
r = -0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen210º
r = -0,4m
 hor
r = -0,69 i-0,4 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = -0,69 i-0,4 j m- 1,04 i-0,6 j m
r = -1,73 i+0,2 j m



e)  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 30º
r =1,2mcos30º
r =1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen30º
r = 0,6m  min
r = 1,04 i+0,6 j m



 hor
r = -0,8 i+0 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = -0,8 i+0 j m- 1,04 i+0,6 j m
r = -1,84 i-0,6 j m



f) 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4

52.  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m;150º
r =1,2mcos150º
r = -1,04m Ymin
Ymin
r =1,2msen30º
r = -0,6m  min
r = -1,04 i-0,6 j m



 hor
r = 0 i-0,8 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = 0 i-0,8 j m- -1,04 i-0,6 j m
r = 1,04 i-0,2 j m



g)  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 210º
r =1,2mcos210º
r = -1,04m
Ymin
Ymin
r =1,2msen210º
r = -0,6m  min
r = -1,04 i-0,6 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 30º
r = 0,8mcos30º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen30º
r = 0,4m
 hor
r = 0,69 i+0,4 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = 0,69 i+0,4 j m- -1,04 i-0,6 j m
r = 1,73 i+ j m

h) 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4

53.  
min
Xmin
Xmin
r = 1,2m; 60º
r =1,2mcos60º
r = 0,6m
Ymin
Ymin
r =1,2msen30º
r =1,04m  min
r = 0,6 i+1,04 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m;120º
r = 0,8mcos120º
r = -0,4m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen120º
r = 0,69m
 hor
r = -0,4 i+0,69 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = -0,4 i+0,69 j m- 0,6 i+1,04 j m
r = - i-0,35 j m



i)
 min
r = 0 i+1,2 j m

 
hor
Xhor
Xhor
r = 0,8m; 330º
r = 0,8mcos150º
r = 0,69m
Yhor
Yhor
r = 0,8msen330º
r = -0,4m
 hor
r = 0,69 i-0,4 j m

  
 
hor/ min hor min
hor/ min
hor/ min
r = r -r
r = 0,69 i-0,4 j m- 0 i+1,2 j m
r = 0,69 i-1,6 j m




2. Una persona vive a 2km en dirección NE del centro de la ciudad, si para ir a la tienda mas cercana
camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar:
10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4 10
9 3
12
6
2
11 1
7
8
5
4

54. a) La posición de la tienda respecto a la ciudad
b) La posición de la tienda respecto a la casa de la persona
c) La distancia en línea recta de la casa a la tienda

SOLUCIÓN:

Datos:
Ciudad=origen   casa
r = 2km; NE 1,41i+1,41 j km
   
tienda/casa tienda/casa
r = 200i-100 j m r = 0,2i-0,1j km

a)
  
 
tienda/casa tienda casa
tienda tienda/casa casa
tienda
tienda
r = r -r
r = r + r
r = 1,41i+1,41 j km+ 0,2i-0,1j km
r = 1,61i+1,31 j km
b)
   
tienda/casa tienda/casa
r = 200i-100 j m r = 0,2i-0,1j km

c)
22
tienda/casa
tienda/casa
r = 200 +100
r = 223,60m 0,223km

3. Los vértices de un triangulo son los puntos 
1
P 0,5 , 
2
P 2,-1 y 
3
P 3,6 , determinar:

a) El valor de los ángulos internos del triangulo
b) El tipo de triangulo en función de sus lados

SOLUCIÓN:

55. a)
 
 
12
12
PP = 2 i- j - 0 i+5 j
PP = 2 i-6 j
  
 
13
13
PP = 3 i 6 j - 0 i+5 j
PP = 3 i j


 
 
23
23
P P = 3 i+6 j - 2 i- j
P P = i+7 j
  
-11 2 1 3
1 2 1 3
-1
2 2 2
PP •PP
A = cos
PP PP
2 3 6 1
A = cos
2 6 3 1
A = 90º





  



  
-11 3 2 3
1 3 2 3
-1
22
PP •P P
B = cos
PP P P
3 1 1 7
B = cos
3 1 1 7
B = 63,43º





  




63,43º +90º +C =180º
C =180º-90º-63,43º
C = 26,57º

b)
Triangulo rectángulo

4. Los vértices de un triangulo son los puntos A 8,9 m , B -6,1 m ,  C 0,-5m , determinar:

56. a) El valor de los ángulos internos del triangulo
b) El área del triangulo ABC

SOLUCIÓN:


a)

  
 
AB = -6 i+ j m- 8 i+9 j m
AB = -14 i-8 j m   
 
AC = 0 i-5 j m- 8 i+9 j m
AC = -8 i-14 j m

  
 
BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j m
BC = 6 i-6 j m
  
-1
-1
2 2 2 2
•
A = cos
14 8 8 14
A = cos
14 8 8 14
A = 30,51º
AB AC
AB AC





   



  
-1
-1
2 2 2 2
AC• BC
C = cos
AC BC
-8×6-14×-6
C = cos
8 +14 6 + 6
C = 74,74º










57. B =180º-30,51º-74,74º
B = 74,75º
b)
2
1
Área = AB×AC
2
-14 -81
Área = = 196-64 =132m
-8 -142

5. Una ciudad está delimitada por las rectas que unen los vértices: P 4,5 km , Q 0,4 km , R 1,1 km , S 5,2 km
, determinar:
a) La forma geométrica de la ciudad
b) El área de la ciudad
c) La posición relativa del punto R respecto del punto P
d) La posición relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIÓN:


a)
Paralelogramo
b)
 
 
RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j km
RQ = - i+3 j km  
 
RS = 5 i+ 2 j km- i+ j km
RS = 4 i+ j km
2
Área = RQ×RS
-1 3
Área = = -1-12 =13km
41

c)

58.  
 
R/ P
R/ P
r = i+ j km- 4 i+5 j km
r = -3 i-4 j km

d)
 
 
S/ R
S/ R
r = 5 i+ 2 j km- i+ j km
r = 4 i+ j km

6. tiene las ciudades P, Q y R; determine la posición relativa de la ciudad P respecto a R para los
siguientes casos:

a)  
P/Q
r 50km;S60ºE y  
R/Q
r 70km; NO
b)  
P/Q
r 80km;SO y  
R/Q
r 25km; N70ºO
c)  
P/Q
r 65km; N15ºO y  
R/Q
r 90km;S30ºO
d)  
P/Q
r 40km; N75ºE y  
R/Q
r 100km;S25ºE

SOLUCIÓN:
P/Q P Q
Q P P/Q
r = r -r
r = r -r ...................(1)
R/Q R Q
Q R R/Q
r = r - r
r = r - r ...................(2)
P/R P R
r = r -r ..............(3)

P P/Q R R/Q
P R P/Q R/Q
Igualando (1) y (2)
r -r = r -r
r -r = r -r ...............(4)
P/R P/Q R/Q
(3) en (4)
r = r -r

a)  
P/Q
r 50km;S60ºE

270º 60º
330º





P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 50kmcos330º
r x = 43,30km

P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 50kmsen330º
r y = -25km
  P/Q
r 43,30 i-25 j km

59.  
R/Q
r 70km; NO
90º 45º
135º




R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 70kmcos135º
r x = -49,50km

R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 70kmsen135º
r y = 49,50km
  R/Q
r -49,50 i 49,50 j km

  
 
P/ R P/Q R/Q
P/ R
P/ R
r = r -r
r = 43,30 i-25 j km -49,50 i 49,50 j km
r = 92,50 i-74,50 j km


b)  
P/Q
r 80km;SO

270º 45º
225º





P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 80kmcos225º
r x = -57,57km

P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 80kmsen315º
r y = -56,57km
  P/Q
r = -56,57 i-56,57 j km

 
R/Q
r 25km; N70ºO

90º 70º
160º




R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 25kmcos160º
r x = -23,49km

R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 25kmsen160º
r y = 8,55km
  R/Q
r -23,49 i 8,55 j km

60.   
 
P/ R P/Q R/Q
P/ R
P/ R
r = r -r
r = -56,57 i-56,57 j km- -23,49 i+8,55 j km
r = -33,08 i-48,02 j km
c)  
P/Q
r 65km; N15ºO

90º 15º
105º





P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 65kmcos105º
r x = -16,82km

P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 65kmsen105º
r y = 62,79km
  P/Q
r = -16,82 i+62,79 j km

 
R/Q
r 90km;S30ºO

270º 30º
240º




R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x = 90kmcos240º
r x = -45km

R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y = 90kmsen 240º
r y = -77,94km
  R/Q
r = -45 i-77,94 j km

  
 
P/ R P/Q R/Q
P/ R
P/ R
r = r -r
r = -16,82 i+ 62,79 j km- -45 i-77,94 j km
r = 28,18 i+140,73 j km

d)
 
P/Q
r 40km; N75ºE


90º 75º
15º





61. P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r x = r cos
r x = 40kmcos15º
r x = 38,64km
 P/Q P/Q
P/Q
P/Q
r y = r sen
r y = 40kmsen15º
r y =16,82km
  P/Q
r = 38,64 i+16,82 j km

 
R/Q
r 100km;S25ºE

270º 25º
295º




R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r x = r cos
r x =100kmcos295º
r x = 42,26km

R/Q R/Q
R/Q
R/Q
r y = r sen
r y =100kmsen 295º
r y = -90,63km
  R/Q
r = -45 i-77,94 j km

  
 
P/ R P/Q R/Q
P/ R
P/ R
r = r -r
r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i-77,94 j km
r = 83,64 i+94,76 j km


7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en línea recta desde la
ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto que consume 1galon de
gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la ruta que une las ciudades P hacia Q y
Q hacia R en línea recta.

8. Dados los puntos L 8, -6 m y J -4, 3 m , determinar:

a) Los vectores posición de L y J respecto al origen
b) La posición relativa de L con respecto a J
c) La distancia entre los puntos L y J
SOLUCIÓN:
a)  L
r = 8 i-6 j m
 J
r = -4 i+3 j m

b)

62.   
 
L/ J L J
L/ J
L/ J
r = r -r
r = 8 i-6 j m- -4 i+3 j m
r = 12 i-9 j m
c) 22
L/ J
L/ J
r = 12 +9
r =15m

9. La cumbre de la montaña A está a 3km del suelo y la cumbre de la montaña B a 2km del suelo. Si las
montañas se unen como indica el siguiente grafico:



Determinar:

a) La posición relativa de la cumbre de la montaña B respecto a la cumbre de la montaña A
b) La longitud del cable para instalar un teleférico de la cumbre de la montaña A a la cumbre de la
montaña B

SOLUCIÓN:
A
A
A
A
A
A
rx
tan 60º =
ry
rx
r y =
tan 60º
3km
r y =
tan 60º
r y =1,73km
B
B
B
B
B
B
rx
tan 40º =
ry
rx
r y =
tan 40º
2km
r y =
tan 40º
r y = 2,38km
 
A
r = -1,73i+3j km
 B
r = 2,38 i+2 j km

a)
  
 
B/ A
B/ A
r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+3 j km
r = 4,11i- j km

63. b)
2
B/ A
B/ A
r = 4,11 +1
r = 4,23km


Considerando ida y vuelta por cables independientes
4,23km 2 8,46


10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E son 5, -2 m y -4, 7 m
respectivamente, determinar:

a) Las componentes rectangulares del vector E
b) La magnitud del vector E
c) El vector unitario del vector E

SOLUCIÓN:

a)


E -4, 7 m 5, - 2 m
E -9, 9 m




b)
22
E = 9 +9
E =12,73m


c)
 
 
E
E
E
E
E
-9 i+9 j m
12,73m
-0,706 i+ 0,706 j m







64. 11. Un avión de aeromodelismo está a  4km,SO de la torre de control. En ese momento, su dueño
desea impactar en un blanco que esta ubicado en el punto 6, -4 km , determinar:

a) La posición del avión respecto al blanco
b) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito
c) La distancia del avión al blanco

SOLUCIÓN:

a)
 4km,SO
x
x
x
A = A cos
A = 4kmcos225º
A = -2,83km

y
y
y
A = A sen
A = 4kmsen 225º
A = -2,83km
  A = -2,83i-2,83 j km
  
 
A/ B
A/ B
r = -2,83 i-2,83 j km- 6 i-4 j km
r = -8,83 i+1,17 j km


b)
8,83
tan
1,17
82,45º







S82,45ºE

c)
22
A/ B
A/ B
r = 8,83 +1,17
r = 8,91km


12. En un aeropuerto, un avión B se halla parqueado en la posición  200m, N28ºE respecto a la torre
de control. En ese instante otro avión A se encuentra en la posición  200m,SO respecto a la misma
torre de control, determinar:

a) La posición relativa de B respecto de A
b) La distancia que existe entre los dos aviones

SOLUCIÓN:

65. a)
 200m, N28ºE

x
x
x
B = B cos
B = 200mcos62º
B = 93,89m

y
y
y
B = B sen
B = 200msen 62º
B =176,59m
  B = 93,89 i+176,59 j m
 200m,SO

x
x
x
A = A cos
A = 200mcos225º
A = -141,42

y
y
y
A = A sen
A = 200msen 225º
A = -141,42
  A = -141,42 i-141,42 j m
  
 
B/ A
B/ A
r = 93,89 i+176,59 j m- -141,42 i-141,42 j m
r = 235,31i+318,01 j m


b)
22
B/ A
B/ A
r = 235,31 +318,01
r = 395,60m


13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en dirección NO con una
velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en dirección N25ºE con una velocidad de
15m/s, determinar:

a) La velocidad resultante del bote en magnitud y dirección
b) El vector unitario del vector velocidad resultante
c) Los ángulos directores del vector velocidad resultante

SOLUCIÓN:

a)
 A = 20m/s; NO

66. x
x
x
A = A cos
A = 20m/ scos135º
A = -14,14m/ s
 y
y
y
A = A sen
A = 20m/ ssen135º
A =14,14m/ s
  A = -14,14 i+14,14 j m/ s
 B = 15m/s; N25ºE

x
x
x
B = B cos
B =15m/ scos65º
B = 6,34m/ s

y
y
y
B = B sen
B =15m/ ssen 65º
B =13,59m/ s
  B = 6,34 i+13,59 j m/ s
   
 
V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ s
V = -7,8 i+ 27,73 j m/ s

22
V = 7,8 + 27,73
V = 28,81m/ s
17,8
tan
27,73
15,71º






  V = 28,81m/s; N15,71ºO
b)
 
 
V
V
V
V
V
-7,8 i+ 27,73 j m/ s
=
28,81m/ s
= -0,27 i+ 0,96 j m/ s






c)
90º 15,71º
105,71º




15,71º

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

67. a) La posición relativa de la buchaca F respecto a la buchaca A
b) La posición relativa de la buchaca C respecto a la buchaca E
c) El ángulo formado por los vectores EA y EC
d) La posición relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca D
e) La proyección del vector AE sobre AQ

SOLUCIÓN:

Considerando A como origen:

a)
 F/A
r = 2,8 i-1,5 j m


b)
 c
r = 2,8 i+0 j m
 E
r = 1,4 i-1,5 j m
  
 
C/ E C E
C/ E
C/ E
r = r -r
r = 2,8 i+0 j m- 1,4 i-1,5 j m
r = 1,4 i+1,5 j m


c)
 
EA = A-E
EA = -1,4 i+1,5 j m
 
EC = C-E
EC = 1,4 i 1,5 j m
  
1
2 2 2 2
1,4 1,4 1,5 1,5
cos
1,4 1,5 1,4 1,5
86,05º




   







d)
 Q = 2,1i-0,75 j m
 D = 0 i-1,5 j m   
 
Q/ D
Q/ D
r = 2,1i-0,75 j m- 0 i-1,5 j m
r = 2,1i 0,75 j m

68. e)
 AE = 1,4 i-1,5 j m
 AQ = 2,1i-0,75 j m
 
AQ AQ
AQ
2 2 2 2
AQ
AE •AQ
AE =
AQ
1,4 2,1 1,5 0,75 2,1i-0,75 j
AE =
2,1 0,75 2,1 0,75
AE = 1,72 i-0,61 j m


  


 

 AQ
AQ
AE = 1,72 i-0,61 j m
AE =1,82m

EJERCICIO Nº6

1. Un insecto se mueve rectilíneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cm al Sur;
determinar:

a) Los desplazamientos realizados
b) El desplazamiento total realizado
c) El modulo del desplazamiento total
d) La distancia total recorrida

SOLUCIÓN:

a)
2
2
r x =12cmcos45º
r x = 8,49cm


2
2
r y =12cmsen45º
r y = 8,49cm


 1
r 8 i+0 j cm
 2
r 8,49 i+8,49 j cm  3
r = 0 i-5 j cm

b)
   
 
1 2 3
r r r r
r 8 i+0 j cm 8,49 i+8,49 j cm 0 i-5 j cm
r 16,49 i+3,49 j cm
      
   


69. c)
22
r 16,49 3,49
r 16,85cm
  



d)
d = 8cm+12cm+5cm
d = 25cm


2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en el plano XY:
45mm en la dirección Y(-); 30mm en la dirección X(-) y 76mm a 200º, todos en línea recta;:
determinar:

a) Los desplazamientos realizados
b) Los vectores posición en cada punto
c) El desplazamiento total realizado
d) El módulo del desplazamiento
e) La distancia recorrida

SOLUCIÓN:

a)
3
3
r x = 76mmcos200º
r x = -71,41mm


3
3
r y = 76mmsen200º
r y = -25,99m


 1
r 0 i-45 j mm
 2
r -30 i+0 j mm  3
r = -71,41i-25,99 j mm


b)
 1
r 0 i-45 j mm
 2
r -30 i-45 j mm    
 
3 2 3
3
3
r r r
r -30 i-45 j mm -71,41i-25,99 j mm
r -100,41i-70,99 j mm
  




c)

70.      
 
1 2 3
r r r r
r 0 i-45 j mm -30 i+0 j mm -71,41i-25,99 j mm
r -100,41i-70,99 j mm
      
   


d)


22
r 100,41 70,99
r 122,97mm
  



e)
d = 45mm+30mm+76mm
d =152mm


3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad  A -85, 204 km y la lectura de su odómetro es 10235 km,
viaja rectilíneamente hacia  B 123,347 km y llega a las 11h10; determinar:

a) Los vectores posición de cada ciudad
b) El desplazamiento realizado
c) La lectura del odómetro cuando llega a B
d) La velocidad media
e) La velocidad media con la que debería regresar de inmediato por la misma ruta para llegar a las
14h15.

SOLUCIÓN:


a)
 A
r = -85 i+ 204 j km
 B
r = 123i+347 j km

b)
  
 
BA
r = r -r
r = 123 i+347 j km- -85 i+ 204 j km
r = 208 i+143 j km





c)

71. 22
r = 208 143
r = 252,41km


Lectura =10235km+ 252,41km
Lectura =10487,41km

d)
10min 1h
= 0,166h
60min
f0
t t - t
t 11,166h-7h
t 4,166h



 
 
m
m
m
r
V=
t
208 i+143 j km
V=
4,166h
V = 49,93 i+34,33 j km/ h


m
m
m
r
V=
t
252,41km
V=
4,166h
V = 60,58km/ h



e)
15min 1h
= 0,25h
60min
f0
t t - t
t 14,25h-11,166h
t 3,084h



m
m
m
r
V=
t
252,41km
V=
3,084h
V = 81,85km/ h




4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a  865km;15º hasta A y el otro vuela  -505 i+ 253 j km
hasta B en 2 horas en línea recta; determinar:

a) Los vectores posición de los puntos A y B
b) Los desplazamientos realizados por cada avión
c) La velocidad media de cada avión
d) La rapidez media de cada avión
e) La velocidad media a la que debería viajar un avión desde A hasta B

SOLUCIÓN:

72. a)
 865km;15º

A
A
r x = 865kmcos15º
r x = 835,53km
A
A
r y = 865kmcos15º
r y = 223,88km  A
r = 835,53i+223,88 j km
 B
r -505 i+253 j km


b)
 A
r = 835,53i+223,88 j km
 B
r -505 i+ 253 j km


c)
 
 
mA
mA
mA
r
V=
t
835,53 i+ 223,88 j km
V=
2h
V = 417,77 i+116,94 j km/ h


 
 
mB
mB
mB
r
V=
t
-505 i+ 253 j km
V=
2h
V = -252,5 i+126,5 j km/ h



d)
22
mA
mA
V = 417,77 116,94
V = 433,83km/ h

22
mB
mB
V = 252,5 126,5
V = 282,42km/ h


e)
  
 
BA
r r r
r -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j km
r -1340,53 i+ 476,88 j km
  
  


 
 
mA
mA
mA
r
V=
t
-1340,53 i+ 476,88 j km
V=
3h
V = -446,84 i+158,96 j km/ h


22
mA
mA
V = 446,84 +158,96
V = 474,27km/ h

73. 5. Una partícula cuya velocidad era de  12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una ruta rectilínea;
determinar:

a) El modulo de la velocidad inicial
b) El vector unitario de la velocidad inicial
c) El vector velocidad final
d) La aceleración media de la partícula

SOLUCIÓN:

a)
22
0
0
V = 12 +15
V =19,21m/ s
ç

b)
 
 
0
0
0
0
V
0
V
V
V
V
12 i+15 j m/ s
19,21m/ s
0,62 i+ 0,78 j








c)

Como la partícula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0

d)
 
 
f0
V -V
a=
t
-12 i-15 j m/ s
a=
20s
a = -0,6 i-0,75 j m/ s



6. Un móvil que viaja con una aceleración constante, cambia su velocidad de  -21i-18 j m/ s a  24m/s;S30ºE
; en 10s determinar:

74. a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y final
b) La aceleración media

SOLUCIÓN:

a)
 24m/s;S30ºE

ff
f
f
V x = V cos
V x = 24m/ scos300º
V x =12m/ s

ff
f
f
V y = V sen
V y = 24m/ ssen300º
V y = 20,78m/ s

  f
V = 12 i-20,78 j m/ s
 
 
0
0
0
0
V
0
V
22
V
V
=
V
-21i-18 j m/ s
=
21 +18
= -0,76 i-0,65 j m/ s



 
 
f
f
f
f
V
f
V
V
V
=
V
12 i-20,78 j m/ s
=
24m/ s
= 0,5 i-0,87 j m/ s





b)
   
 
 
f0
V - V
a=
t
12 i- 20,78 j m/ s- -21i-18 j m/ s
a=
10s
33 i- 2,78 j m/ s
a=
10s
a = 3,3 i-0,278 j m/ s


EJERCICIO Nº 7
1. Si un vehículo se mueve de la ciudad  A -35,50 km a la ciudad  B -25, 45 km en línea recta y con
rapidez constante en 2 horas; determinar:

a) El desplazamiento realizado
b) La velocidad media
c) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viaje

SOLUCIÓN:

75. a)
  
 
r -25 i-45 j km- -35 i+50 j km
r 10 i-95 j km



b)
 
 
r
V=
t
10 i-95 j km
V=
2h
V = 5 i-47,5 j km




c)
40min 1h
= 0,666h
60min
 
 
r V×t
r 5 i-47,5 j km/ h 0,666h
r 3,33 i-31,64 j km

  


2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantes de modo que
al instante t=0 sus posiciones son  -40 i+ 20 j y  15 i 30 j m y al instante t=10s sus posiciones son 20 i
y -10 j km respectivamente; determinar:

a) El desplazamiento de cada vehículo durante ese intervalo
b) La velocidad media de cada vehículo
c) La velocidad de A respecto a B

SOLUCIÓN:

a)
  
 
A fA 0 A
A
A
r = r -r
r = 20 i+0 j m- -40 i+ 20 j m
r = 60 i-20 j m



  
 
B fB 0 B
B
B
r = r -r
r = -10 i+0 j m- 15 i-30 j m
r = -25 i+30 j m




b)

76.  
 
A
A
A
r
V=
t
60 i-20 j m
V=
10s
V = 6 i-2 j m/ s


 
 
B
B
B
r
V=
t
-25 i+30 j m
V=
10s
V = -2,5 i+3 j m/ s



c)
   
 
A/ B
A/ B
V = 6 i-2 j m/ s- -2,5 i+3 j m/ s
V = 8,5 i-5 j m/ s


3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h , pasa por un túnel recto de 400 m de largo y desde que penetra
la maquina hasta que sale el ultimo vagón demora 30s; determinar:

a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s)
b) La longitud del tren

SOLUCIÓN:

a)
60 i km 1000m 1h
=16,67m/ s
h 1km 3600s

r = V× t
r =16,67m/ s 30s
r = 500m



r = V× t
r =16,67m/ s 60s
r =1000m


 r = V× t
r =16,67m/ s 90s
r =1500m




b)
x = r- 400m
x = 500m- 400m
x =100m



4. Una partícula parte del punto  25, 20 m y moviéndose rectilíneamente llega al punto  6, 30 m
con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar:

a) La velocidad empleada
b) El tiempo empleado

77. c) El punto al que llegaría si continúa moviéndose por 10s más.

SOLUCIÓN:

a) 40 km 1000m 1h
=11,11m/ s
h 1km 3600s

  
 
f0
r = r -r
r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j m
r = -31i-50 j m



 
r
22
V = V ×
-31i-50 j
V =11,11m/ s
31 50
V = -5,85 i-9,44 j m/ s




 22
r = 31 50
r = 58,83m




b)
A
r
t=
V
58,83m
t=
11,11m/ s
t = 5,30s






c)
 
 
r = V× t
r = -5,85 i-9,44 j m/ s 10s
r = -58,5 i-94,4 j m



  
 
12
r = r r
r = -31i-50 j m -58,5 i-94,4 j m
r = -89,5 i-144,4 j m
   



5. Un deportista se desplaza 1000 i km por una ruta rectilínea, parte en moto y parte en bicicleta,
sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h en moto y 40 i km/ h en bicicleta y que el tiempo
empleado ha sido 10 horas; determinar:

a) La velocidad media durante las 10 horas
b) El desplazamiento en moto
c) El tiempo que recorrió en bicicleta

SOLUCIÓN:

78. a)
r
V=
t
1000 i km
V=
10h
V =100 i km/ h




b)
moto bici
r r r ................(1)   
moto bici
bici moto
t = t t
t t t .................(2)
   
    
moto moto moto
r = V t ...............(3) 
bici bici bici
r = V t ...............(4) 
moto moto bici bici
(3) y (4) en (1)
r V t V t ..................(5)    
 
 
moto moto bici moto
moto moto bici bici moto
moto moto bici moto bici
moto moto bici
(2) en (5)
r = V t V t t
V t V t V t = r
V t V t = r V t
t V V = r
      
     
     
   
bici
bici
moto
moto bici
moto
moto
Vt
r V t
t=
VV
1000km-40km/ h×10h
t=
120km/ h-40km/ h
t = 7,5h

  




moto
moto
r =120km/ h×7,5h
r = 900km



c)
bici
bici
t 10h-7,5h
t 2,5h




6. Una partícula se mueve de acuerdo al grafico posición-tiempo:

79. Determinar:
a) La posición inicial
b) La rapidez en cada tramo del viaje
c) El tiempo que permaneció en reposo
d) La posición cuando t=35(s)
e) Cuándo la partícula está a 20m del origen y cuando esta en el origen

SOLUCIÓN:

a)
0
r =10m


b)

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3
f0
f0
r -r
V=
t - t
30m-10m
V=
10s
V = 2m/ s
Reposo f0
f0
r -r
V=
t - t
40m-30m
V=
30s-20s
V =10m/ s

Tramo 4
f0
f0
r -r
V=
t - t
0m-40m
V=
40s-30s
V = -4m/ s


c)

80. t 20s-10s
t 10s



d)
r = V t
r = 4m/ s 5s
r = 20m





e)

Está a 20m del origen a los 5s y a los 35s, y se encuentra en el origen a los 40s

7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m y camina
primero por detrás del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+), hacia el Este y continúa su
recorrido bordeando todo su perímetro a una rapidez constante igual a 2m/s ; determinar:

a) La velocidad en cada tramo
b) El tiempo que demora en recorrer cada lado
c) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta que partió
d) El tiempo mínimo que demoraría en llegar a la esquina opuesta caminando a esa misma rapidez

SOLUCIÓN:

a)

Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cada tramo será:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4
V = 2 i m/ s
V = 2 j m/ s V = -2 i m/ s V = -2 j m/ s

b)

Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4 r
t=
V
60m
t=
2m/ s
t = 30s




r
t=
V
100m
t=
2m/ s
t = 50s



 r
t=
V
60m
t=
2m/ s
t = 30s



 r
t=
V
100m
t=
2m/ s
t = 50s





c)

81. Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento será:
 r 60 i 100 j m  
22
r = 60 100
r =116,62m



d)
r
t=
V
116,62m
t=
2m/ s
t = 58,31s






8. Dos vehículos cuyas velocidades son 10 i km/ h y 12 j km/ h se cruzan y siguen su camino sin
cambiar sus respectivas direcciones; determinar:

a) El desplazamiento realizado por cada vehículo al cabo de 6 horas
b) La distancia que los separa al cabo de 6 horas
c) En qué tiempo desde que se cruzan estarán a 100 km de distancia

SOLUCIÓN:

a)
AA
A
A
r = V t
r =10 i km/ h 6h
r = 60 i km
 


BB
B
B
r = V t
r =12 j km/ h 6h
r = 72 j km
 



b)
 AB
r = 60 i 72 j km


22
AB
AB
r = 60 72
r = 93,72km





c)

82.   
22
2 2 2 2 2 2
2 2 2
10km/ h×t + 12km/ h×t =100km
100km / h ×t +144km / h ×t =100km
244km / h ×t =100km
t 244 km/ h =100km
100km
t=
244 km/ h
t = 6,40h

9. Dos puntos A y B están separados 80m. Desde A parte hacia B un móvil con una rapidez constante de 3 m/ s
. Cinco segundos después y desde B un móvil con la misma dirección y sentido que el primero
y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar:

a) Analíticamente y gráficamente cuando y donde se encuentran
b) En qué tiempo la distancia que los separa será nuevamente 80m

SOLUCIÓN:

a)
BA
t = t -5s...............(1)
BA
r r 80m...............(2)   
A A A
B B B
r
V=
t
r V t ...............(3)
r V t ...............(4)

   
   

B B A A
(3) y (4) en (2)
V t = V t 80m...........(5)  

 
 
B A A A
B A B A A
A A B A B
A A B B
B
A
AB
A
A
(1) en (5)
V t -5s = V ×t -80m
V ×t -V ×5s = V ×t -80m
V ×t -V ×t = 80m-V ×5s
t V -V = 80m-V ×5s
80m-V ×5s
t=
V -V
80m-2m/ s×5s
t=
3m/ s-3m/ s
t = 70s
A A A
A
A
r = V ×t
r = 3m/ s×70s
r = 210m




83. b)

Después de encontrarse
AB
r = r +80m...........(1)
AB
t = t ...................(2)



A A B B
(3) y (4) en (1)
V ×t = V ×t +80m...........(5)


0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
0510152025303540455055606570758085
Gráfico
Móvil A Móvil BA A A
B B B
r
V=
t
r V t ...............(3)
r V t ...............(4)

   
   

84. A A B A
A A B A
A
AB
A
A
(2) en (5)
V ×t = V ×t +80m
V ×t - V ×t = 80m
80m
t=
V - V
80m
t=
3m/ s- 2m/ s
t = 80s

Desde que el móvil partió desde A
t = 70s+80s
t =150s


10. Dos autos A y B parten simultáneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h y B con una velocidad
de 32 i km/ h , si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas; determinar:

a) La distancia que los separaba inicialmente
b) El tiempo en que A llega al punto donde partió B
c) El tiempo que demoraría B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el instante en que
encuentran B invierte el sentido

SOLUCIÓN:

a)
AB
x = r r ..................(1)  
A A A
B B B
r
V=
t
r V t ...............(2)
r V t ...............(3)

   
   
A A B B
(2) y (3) en (1)
x = V ×t -V ×t
x = 53km/ h×2,4h-32km/ h×2,4h
x = 50,4km


b)

85. r
t=
V
50,4km
t=
53km/ h
t = 0,95h


c)

Desde el punto de encuentro
A
B
r
t=
V
53km/ h×2,4h
t=
32km/ h
t = 3,98h



11. Dos automóviles viajan en la misma ruta rectilínea y están a 134km de distancia, si el mas rápido
viaja a 63 km/ h ; determinar:

a) La rapidez del mas lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al cabo de 3 horas
b) Dónde y cuándo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez dada para el
más rápido y la obtenida en el punto anterior para el otro

SOLUCIÓN:

a)

Desplazamiento del más rápido Desplazamiento del más lento
AA
A
A
r = V ×t
r = 63km/ h×3h
r =189km



BA
B
B
r = r -134km
r =189km-134km
r = 55km



B
B
B
B
r
V=
t
55km
V=
3h
V =18,33km/ h




b)
AB
r + r 134km...............(1)  
12
t = t ...............(2)

86. A A 1
B B 2
r = V ×t .............(3)
r = V ×t .............(4)


A 1 B 2
(3) y (4) en (1)
V ×t V ×t 134km........(5)
 
A 1 B 1
1 A B
1
AB
1
1
(2) en (5)
V ×t + V ×t =134km
t V + V =134km
134km
t=
V + V
134km
t=
63km/ h+18,33km/ h
t =1,65h

12. Dos puntos A y B están en la misma horizontal, desde A parte hacia B un móvil con una rapidez
constante de 2 m/ s y 5 minutos después parte desde B hacia A otro móvil a 10 km/ h , si A y B distan
3km; determinar:

a) Analíticamente, dónde y cuándo se encuentran
b) Gráficamente, dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN:

Datos:
A
V = 2 m/ s
B
V =10 km/ h
B-reposo
t = 5min
r 3km

10 km 1000m 1h
= 2,78m/ s
h 1km 3600s
5min 60s
= 300s
1min
3km 1000m
3000m
1km



a)
AB
r + r 3000m...............(1)  
12
t = t +300s...............(2)
A A 1
B B 2
r = V ×t .............(3)
r = V ×t .............(4)



87. A 1 B 2
(3) y (4) en (1)
V ×t V ×t 3000m........(5)  
 
A 2 B 1
A 2 A B 1
1 A B A
A
1
AB
1
1
(2) en (5)
V × t +300s + V ×t = 3000m
V ×t V ×300s+ V ×t = 3000m
t V + V = 3000m V ×300s
3000m V ×300s
t=
V + V
3000m-2m/ s×300s
t=
2m/ s+ 2,78m/ s
t = 502,1s


 1
1
t = 502,1s+300s
t = 802,1s

A
A
r = 2m/ s×802,1s
r =1604,2m


B
B
r = 3000m-1604,2m
r =1395,8m



b)


EJERCICIO Nº8
1. Una partícula se mueve con MRUV retardado y aceleración  
2
15m/ s ; N15ºE .Si a t=0, la partícula
se encuentra en la posición -2, 3 m y su rapidez es de 8 m/ s . Para un intervalo entre 0 y 8s;
determinar:

0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
01002003004005006007008009001000110012001300140015001600
Gráfico
Móvil A Móvil B

88. a) El desplazamiento realizado
b) La velocidad media

SOLUCIÓN:

a)
 
2
15m/ s ; N15ºE

2
x
2
x
a =15m/ s cos75º
a = 3,88m/ s
2
y
2
y
a =15m/ s sen 75º
a =14,49m/ s
 
2
a = 3,88 i 14,49 j m/ s

 0
r = -2 i+3 j m


Para que sea retardado
0
aV
=-

 
   
0
a
22
aV
3,88 i 14,49 j
=
3,88 14,49
= 0,26 i 0,97 j -0,26 i-0,97 j




  

 
 
0
0
V = 8m/ s -0,26 i-0,97 j
V = -2,08 i-7,76 j m/ s

    
 
2
0
2
2
1
r V t a t
2
1
r -2,08 i-7,76 j m/ s 8s 3,88 i 14,49 j m/ s 8s
2
r 107,52 i 401,6 j m
    
     
  


b)

89.  
 
m
m
m
r
V=
t
107,52 i 401,6 j m
V=
8s
V = 13,44 i 50,2 j m/ s





2. El grafico Vx-t , representa el movimiento de dos partículas A y B que parten de dos partículas A y B
que parten de una misma posición inicial y sobre la misma trayectoria rectilínea.


Determinar:
a) El tipo de movimiento de cada partícula en cada intervalo
b) La distancia que recorre cada partícula de 0(s) hasta 12(s)
c) La distancia que existe entre las dos partículas a los 4(s), 8(s) y 12 (s)
d) Dónde y cuándo se encontrarán gráfica y analíticamente
e) Los gráficos x
r - t y x
a - t de cada partícula

SOLUCIÓN:

a)

Partícula A

0-4s 4-8s 8-16
MRUVA MRU MRUVR

Partícula B

0-8S
MRUVA

90. b)

Partícula A:

Intervalo de 0 a 4s
V
a=
t
30m/ s
a=
4s
a = 7,5m/ s
0
r V t  
 
2
2
2
1
at
2
1
r 7,5m/ s × 4s
2
r 60m




Intervalo de 4 a 8s r = V× t
r = 30m/ s×4s
r = 120m




Intervalo de 8 a 12s V
a=
t
-30m/ s
a=
4s
a = -7,5m/ s
 
2
0
2
2
1
r = V t a t
2
1
r = 30m/ s×4s+ 7,5m/ s × 4s
2
r =180m
   


r = 60m+120m+180m
r = 360m




Partícula B

Intervalo de 0 a 12s
V
a=
t
30m/ s
a=
4s
a = 7,5m/ s


 
2
0
2
2
1
r V t a t
2
1
r -30m/ s×12 7,5m/ s × 12s
2
r 180m
    
  


c)

Desplazamiento de la partícula B de 0 a 4 s

91.  
2
0
2
2
1
r V t a t
2
1
r -30m/ s×4s 7,5m/ s × 4s
2
r -60m
    
  

 
A/ B
A/ B
r = 60m- -60m
r =120m




Desplazamiento de la partícula B de 0 a 8s
 
2
0
2
2
1
r V t a t
2
1
r -30m/ s×8s 7,5m/ s × 0s
2
r 0m
    
  



Desplazamiento de la partícula A de 0 a 8s
r = 60m+120m
r =180m



A/B
r =180m


Distancia de A a B a 12s
A/ B
A/ B
r = 240m-180m
r = 60m




d)

92. Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m
AB
0A
= r + r
60m = V ×t
r  
22
0B
22
22
2
12
11
+ at + V ×t+ at
22
60m = 7,5m/ s t + 60m/ s×t
7,5m/ s t + 60m/ s×t-60m = 0
-60 ± 60 + 4×7,5×60
t=
2×7,5
t = 0,898s t = -8,898

 
2
21
r = 240m- 7,5m/ s 0,898
2
r = 236,98m




e)


-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
01234567891011121314151617
Gráfico r(x)-t Partícula A y B

93. 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
01234567891011121314151617
Gráfico r(x)-t Partícula A
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415
Gráfico r(x)-t Partícula B

94. 3. Un móvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleración constante. Si su posición para t=0 es 30 i m
y se mueve en dirección X negativa con una rapidez de 15 m/ s que está disminuyendo a
razón de 1,5 m/ s cada s; determinar:

a) La aceleración
b) El gráfico velocidad contra tiempo
c) El gráfico posición contra tiempo
d) El tiempo que tarda la partícula en recorrer los primeros 75m
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Gráfico a-t Partícula A
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Gráfico a-t Partícula B

95. SOLUCIÓN:

a)
2
a =1,5 i m/ s


b)



c)

-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
0 2 4 6 8 10 12 14
Gráfico V(x)-t

96. d)
2
0
22
22
2
1
r = V ×t- a×t
2
1
75m =15m/ s×t- 1,5m/ s ×t
2
0,75m/ s ×t -15m/ s×t-75m = 0
15± 15 -4×0,75×75
t=
2×0,75
t =10s



4. El móvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a 2
3 m/ s en
línea recta; cinco segundos más tarde B parte hacia A desde el reposo y con una aceleración constante
de 2
5 m/ s también en línea recta. Si inicialmente A y B están separados una distancia horizontal de
1700m; determinar:

a) Dónde y cuándo se encuentran
b) En cuánto tiempo quedan a 500m de distancia mientras se acercan y también mientras se alejan

SOLUCIÓN:

a)

-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
012345678910111213141516171819
Gráfico r(x)-t
Series1

97. AB
22
0 A A A A B B
r = r + r
11
1700m = V ×t + a ×t + a ×t ...................(1)
22
  
AB
t = t +5s....................(2)

   
 
2
2
0 A B A B B B
2 2 2
0 A B 0 A A B B B B
2 2 2
0 A B 0 A A B A B A B B
2 2 2
BB
(2) en (1)
11
1700m = V × t +5s + a × t +5s + a ×t
22
11
1700m = V ×t + V ×5s+ a × t +10s×t + 25s + a ×t
22
1 1 1 1
1700m = V ×t + V ×5s+ a ×t + a ×10s×t + a ×25s + a ×t
2 2 2 2
11
1700m =10m/ s×t +10m/ s×5s+ 3m/ s ×t + 3m/ s ×10s×
22
2 2 2 2
BB
2
BB
22
BB
2
B
B1 B2
11
t + 3m/ s ×25s + 5m/ s ×t
22
1700m = 87,5m+ 25×t + 4m/ s ×t
4m/ s ×t + 25×t -1612,5m = 0
-25 ± 25 +4×4×1612,5
t=
8
t =17,19s t = 23,44s

A
A
t =17,19s+5s
t = 22,19s
 
2
2
A
A
1
r =10m/ s×22,19s+ 3m/ s × 22,19s
2
r = 960,5m

  
2
2
B
B
1
r = 5m/ s × 17,19s
2
r = 738,74m


b)


5. Dos vehículos A y B se desplazan con MRUV. A se acelera a razón de 2
3 m/ s y pasa por el punto P 3,5 m
con una velocidad  -3 i-4 j m/ s , en ese mismo momento B pasa por el punto Q 1,3 m
con una velocidad de -30 j m/ s y desacelera a razón de 2
2 m/ s ; determinar:

a) La aceleración de cada uno de los vehículos
b) La posición de A y de B después de 7s

SOLUCIÓN:

a)

98.  
 
A
A
A
A
V
A
V
22
V
V
=
V
-3 i-4 j
34
-0,6 i-0,8 j






 
 
AA
A
Va
A A V
2
A
2
A
a = a ×
a = 3m/ s -0,6 i-0,8 j
a = -1,8 i- 2,4 j m/ s





2
B
a = 2 j m/s


b)

     
 
A A A
A
A
2
f 0 0 A
2
2
f
f
1
r = r + V t+ a t
2
1
r = 3 i 5 j m -3 i- 4 j m/ s 7s -1,8 i- 2,4 j m/ s 7s
2
r = -62,1i-81,8 j m
    

    
 
B B B
B
B
2
f 0 0 B
2
2
f
f
1
r = r + V t+ a t
2
1
r = - i 3 j m -30 j m/ s 7s+ 2 j m/ s 7s
2
r = - i-158 j m
   

6. Una partícula se mueve de manera que su velocidad cambia con el tiempo como se indica en los
gráficos siguientes:



Determinar:

99. a) El vector velocidad para t=0s, t=2s, t=3s
b) El vector aceleración para t=0s, t=2s, t=3s
c) Si la partícula tiene movimiento rectilíneo

SOLUCIÓN:

a)

Para t=0s Para t=2s Para t=3s
 V = 20 i+10 j m/ s
 V = 20 i+30 j m/ s  V = 20 i+40 j m/ s

b)

Para t=0s Para t=2s Para t=3s
 
2
a = 0 i+10 j m/ s
 
2
a = 0 i+10 j m/ s  
2
a = 0 i+10 j m/ s
c)

No es movimiento rectilíneo

7. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, inicia su recorrido en el punto -8m desde el reposo y
acelera a razón de 2
5 m/ s hasta que alcanza el punto 12m y entonces mantiene la velocidad alcanzada
constante por 5s y luego desacelera hasta detenerse 5s mas tarde; determinar:

a) Cuánto tiempo tuvo movimiento acelerado
b) La distancia que recorrió con MRU
c) El desplazamiento total y la aceleración durante los últimos 5s

SOLUCIÓN:

a)
0
r = V t

2
22
1
+ at
2
1
12m- -8m = 5m/ s t
2
t = 8 = 2,83


Sumando el tiempo de los movimientos acelerado y retardado
t = 7,83

100. b)
22
f0
V = V
2
f
f
+ 2a r
V = 10m/ s ×20m
V =14,14m/ s

r = V×t
r =14,14m/ s 5s
r = 70,70m




c)

Durante los últimos 5s Desplazamiento Total 0
r = V t
 
2
2
2
1
+ at
2
1
r =14,14m/ s×5s+ -2,83m/ s 5s
2
r = 35,33


r = 20m+ 70,70m+35,33m
r =126,03m



d)
f
V
0
0
2
= V + a t
-V
a=
t
-14,14m/ s
a=
5s
a = -2,83m/ s




8. Desde la ventana de un edificio se lanzan dos piedras A y B. La piedra A se lanza verticalmente hacia
arriba con una rapidez inicial igual a la que B es lanzada verticalmente hacia abajo; determinar:

a) Cuál de las dos piedras tiene mayor rapidez al llegar al suelo

SOLUCIÓN:

“La mas rápida es la piedra B pues al ir en la misma dirección de la aceleración de la gravedad su
rapidez final será mayor que a la de A que debe subir hasta que su rapidez sea 0 y volver a bajar
nuevamente.”

9. Dos partículas A y B se mueven con MRUV acelerado con la misma aceleración cuyo modulo es 2
2 m/ s
.Si para t=0s la rapidez de A es 5m/s y la de B es 2,5m/s; determinar:

a) Cuándo A ha recorrido 100m y cuándo B ha recorrido 50m
b) Cuándo la relación entre la rapidez de A y la rapidez de B es 3/2

101. SOLUCIÓN:

a)
2
0
22
2
2
1
r = V t+ at
2
1
100m = 5m/ s×t+ 2m/ s ×t
2
t 5m/ s×t 100m 0
-5± 5 + 4×100
t=
2
t = 7,81s

  
2
0
22
2
2
1
r = V t+ at
2
1
50m = 2,5m/ s×t+ 2m/ s ×t
2
t 2,5m/ s×t 50m 0
-2,5± 2,5 + 4×50
t=
2
t = 5,93s

  

b)
  
  
0A
0B
0 B 0 A
22
22
2
2
V + at3
=
2 V + at
3 V + at = 2 V + at
3 2,5m/ s+ 2m/ s t = 2 5m/ s+ 2m/ s t
7,5m/ s+ 6m/ s t =10m/ s+ 4m/ s t
2m/ s t = 2,5m/ s
2,5m/ s
t=
2m/ s
t =1,25s


10. Un avión toma la pista con una aceleración de 2
20 i m/ s y recorre en línea recta 200 i m antes de
detenerse; determinar:

a) Con qué velocidad toca la pista
b) Qué tiempo demora en detenerse
c) Con qué velocidad constante un auto recorrería esa misma distancia en ese tiempo

SOLUCIÓN:

a)
2
f
V
2
0
0
2
0
0
= V -2a r
V = 2a r
V = 2×20m/ s ×200m
V = 89,44m/ s



102. b)
Vf
a=
0
0
2
-V
t
-V
t=
a
-89,44m/ s
t=
-20m/ s
t = 4,47s


c)
r
V=
t
200m
V=
4,47s
V = 44,74m/ s



11. Un observador ve pasar por su ventana ubicada a 50m de altura un objeto hacia arriba y 3s después lo
ve pasar hacia abajo; determinar:

a) La velocidad con la que fue lanzado el objeto desde la base del edificio
b) La altura que alcanzó respecto a la base del edificio

SOLUCIÓN:

a)

Análisis desde que es visto por la ventana:
Total ascenso descenso ascenso descenso
t = t + t como t = t
Total ascenso ascenso
ascenso Total
Total
ascenso
t = t + t
2t = t
t
t=
2


Análisis del ascenso:

103. f
V
 
0 ascenso
0 ascenso
Total
0
2
0
0
= V + gt
V = -gt
t
V = -g
2
3s
V = - -9,8m/ s
2
V =14,7m/ s







Análisis desde la base del edificio:

La 0
V =14,7m/ s desde la ventana pasa a ser f
V =14,7m/ s desde la base hasta la ventana, entonces:
  
22
f0
2
0f
2
0f
2
2
0
0
V = V + 2gDr
V = V - 2gDr
V = V - 2gDr
V = 14,7m/ s - 2 -9,8m/ s 50m
V = 34,58m/ s



b)
22
f0
2
f
V = V + 2g r
V
r=


 
 
2
0
2
2
-V
2g
- 34,58
r=
2 -9,8m/ s
r = 61,0m





12. Dos cuerpos A y B situados sobre la misma vertical distan 65m, si son lanzados uno contra otro con
rapidez de 16m/s y 12 m/s respectivamente; determinar:

a) Dónde y cuándo se chocan, si A sube y B baja
b) Dónde y cuándo se chocan, si A baja y B sube

SOLUCIÓN:

a)

104. AB
AB
65m = r r
r = 65m r ...................(1)
  
    AB
t = t ...............(2)
A
2
A 0 A A A
1
r = V t a t ................(3)
2


A
A
2
B 0 A A
2
B 0 A A
(1) en (3)
1
65m r = V t + gt
2
1
r = 65m V t gt ..........................(4)
2

  

B
B
2
B 0 B B A B
2
B 0 A B
1
r = V t + gt como t = t
2
1
r = V t + gt .............................(5)
2



A
2
0 A A
Igualando (4) y (5)
1
65m V t gt
2

B
2
0 A B
1
= V t + g t
2
AB
AB
0 A 0 A
A
00
A
A
65m V t = V t
65m
t=
V ` V
65m
t=
16m/ s`+12m/ s
t = 2,32m/ s



  
B
2
B 0 A B
2
2
B
B
1
r = V t + g t
2
1
r = 12m/ s× 2,32s+ 9,8m/ s 2,32s
2
r = 54,21m




A
A
r = 65m 54,21m
r =10,79m




b)

105.  
A
2
A 0 A A
2
2
A
A
1
r = V t + g t
2
1
r = 16m/ s× 2,32s+ 9,8m/ s 2,32
2
r = 63,49m



B
B
r = 65m 63,49m
r =1,51m




13. Desde un globo que se encuentra a 100m de altura, se deja caer un objeto; determinar:

a) Cuánto tiempo tarda el objeto en tocar el suelo si el globo está en reposo
b) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo ascendía a 1m/s
c) Cuánto tiempo tarda el objeto en llegar al suelo si el globo descendía a 1m/s

SOLUCIÓN:

a)
0
r = V t
 
2
2
1
+ gt
2
2r
t=
g
2 100m
t=
9,8m/ s
t = 4,52s



b)
  


2
0
22
1
r = V t+ gt
2
1
9,8m/ s t + -1m/ s t-100m = 0
2
1 1 4 4,9 100
t=
2 4,9
t = 4,62s




c)

106.   


2
0
22
1
r = V t+ gt
2
1
9,8m/ s t + 1m/ s t-100m = 0
2
1 1 4 4,9 100
t=
2 4,9
t = 4,42s

  

14. Se deja caer una piedra desde una gran altura; determinar:

a) El módulo del desplazamiento durante los primeros 5 segundos
b) El módulo del desplazamiento durante los 5 segundos siguientes
c) La rapidez alcanzada al final de cada uno de los intervalos anteriores

SOLUCIÓN:

a)
0B
r = V t
 
2
BB
2
1
+ g t
2
1
r = 9,8m/ s 5s
2
r =122,5m




b)
0B
r = V t
 
2
BB
2
1
+ g t
2
1
r = 9,8m/ s 10s
2
r = 490m




c)
f0
V = V
2
f
f
+ gt
V = 9,8m/ s ×5s
V =10m/ s
f0
V = V
2
f
f
+ gt
V = 9,8m/ s ×10s
V = 98m/ s

15. Los móviles A y B parten por una trayectoria rectilínea desde el mismo punto y desde el reposo con
una aceleración constante de 2
2 i m/ s cada uno y B parte 2s más tarde; determinar:

a) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 2s de haber partido A

107. b) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 4s de haber partido A
c) La distancia entre A y B cuándo han transcurrido 6s de haber partido A

SOLUCIÓN:

a) 0B
r = V t
 
2
BB
2
2
1
+ a t
2
1
r = 2m/ s 2s
2
r = 4m




b)
  
BA
22
B B A A
22
22
r = r r
11
r = a t a t
22
11
r = 2m/ s 4s 2m/ s 2s
22
r =12m
   





c)
  
BA
22
B B A A
22
22
r = r r
11
r = a t a t
22
11
r = 2m/ s 6s 2m/ s 4s
22
r = 20m
   





16. Una partícula con MRUV se mueve a lo largo del eje X. Cuando t=0s se encuentra a 1m a la
izquierda del origen, a t=3s se encuentra a 15m a la derecha del origen, y a t=5s se encuentra a 20m a
la derecha del origen; determinar:

a) La aceleración de la partícula
b) El instante en que retorna al origen

SOLUCIÓN:

a)

Como en el eje X parte desde -1m hasta 15m y luego hasta 20 m

108. r =15m- -1m
r =16m

 r = 20m- -1m
r = 21m



En los dos desplazamientos la velocidad inicial es la misma entonces:

Cuando t=3s Cuando t=5s
 
 
 
2
0
2
0
2
0
2
0
1
r = V t+ at
2
1
16m = V 3s + a 3s
2
16m = V 3s + a 4,5s
16m a 4,5s
V = ........................(1)
3s


 
 
 
2
0
2
0
2
0
2
0
1
r = V t+ at
2
1
21m = V 5s + a 5s
2
21m = V 5s + a 12,5s
21m a 12,5s
V = ...................(2)
5s



Igualando (1) y (2)
   
   
  
22
33
33
3
2
16m a 4,5s 21m a 12,5s
=
3s 5s
80ms- a 22,5s = 63ms- a 37,5s
a 22,5s - a 37,5s = 80ms- 63ms
17ms
a=
-15s
a = -1,133m/ s



b)

Como el movimiento es retardado determinamos el instante en que la velocidad final sea 0

Determinando la velocidad inicial:
 
22
0
0
17
16m m/ s 4,5s
15
V=
3s
V = 7,033m/ s




f
V
0
0
2
= V + at
-V
t=
a
-7,033m/ s
t=
-1,133m/ s
t = 6,21s

109.     
2
0
2
2
1
r = V t+ at
2
1
r = 7,033m/ s 6,21s + -1,133m/ s 6,21s
2
r = 21,83m




Determinando el instante que llega nuevamente al origen en este caso la aceleración tiene la
misma dirección que la velocidad por tanto es positiva:
0
r = V t
 
2
22
2
1
+ at
2
1
21,83m 1,133m/ s t
2
2× 21,83m
t=
1,133m/ s
t = 6,21s

t = 6,21s 6,21s
t = 12,42s


17. Una partícula inicialmente en reposo en el origen de coordenadas, se mueve con una aceleración de 2
5 i m/ s
hasta que su velocidad es de 10 i m/ s , en ese instante se le somete a una aceleración de 2
10 i m/ s
hasta que la distancia total recorrida desde que partió del reposo es 30m; determinar:

a) La velocidad media para todo el recorrido
b) El grafico Vx contra t

SOLUCIÓN:

a)

Desde que parte del origen:
f0
V = V
f
2
+ at
V
t=
a
10m/ s
t=
5m/ s
t = 2s
0
r = V t
 
2
2
2
1
+ at
2
1
r = 5m/ s 2s
2
r = 10m



Desde que se le somete la aceleración de 2
10 i m/ s (MRUVR):

110. 2
f
V
 
 
2
0
2
0
2
2
= V + 2a r
-V
r=
2a
10m/ s
r=
2 10m/ s
r = 5m



 r =10m 5m
r =15m



Como recorre 15 m hasta detenerse y la distancia recorrida es de 30m como la distancia recorrida
es independiente del desplazamiento entonces:
Total
Total
r =15m 15m
r = 0


m
m
m
r
V=
t
0
V=
t
V = 0


b)



18. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, su posición cambia con el tiempo como indica la
figura, siendo el nivel de referencia el suelo

-22
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Vx-t

111. Determinar:
a) Los valores de 1
t y 2
t
b) La velocidad con la que llega al suelo

SOLUCIÓN:

a)
 
22
f0
0
2
0
0
V = V - 2g r
V = 2a r
V = 2 9,8m/ s 15m
V = 294 =17,15m/ s


 
 

2
0 1 1
22
11
2
11
2
1
1
1
r = V t at
2
1
15m = 294 m/ st 9,8m/ s t
2
4,9t 294 m/ st 15m 0
294 294 4 4,9 15
t=
2 4,9
294
t = s 1,75s
9,8


  


01
r = V t


 
2
1
2
2 2
2
1
at
2
2r
t=
g
2 20m
t=
- -9,8m/ s
t = 2,02s





b)

112. 22
f0
V = V
 
f
2
f
f
2g r
V = 2g r
V = 2 9,8m/ s 20m
V =19,80m/ s



19. Dos autos A y B se desplazan por la misma trayectoria rectilínea. A se mueve con una velocidad
constante de 8 i m/ s y parte de la posición 7 i m . B inicia en el punto 5 i m con una velocidad
de 8 i m/ s y al tiempo t=4s su velocidad es 8 i m/ s . Si se mueve con aceleración constante;
determinar:

a) La aceleración de B
b) En qué instante coinciden las posiciones de A y B

SOLUCIÓN:



20. Una partícula se mueve con MRUVA de modo que la magnitud de su desplazamiento de 0 a 2s es
40m y de 2 a 4s es 65m; determinar:

a) La magnitud de la aceleración
b) El módulo del desplazamiento entre 0 y 10s

SOLUCIÓN:


21. Dos partículas A y B se mueven sobre carreteras rectas. A se mueve con aceleración constante de
modo que en 00
t = 0s, r = -300i m y 0
v = 30im/ s y en 11
t =10s, r =10i m , B se mueve con
velocidad constante de modo que en 00
t = 0s, r = 200 jm y en 11
t =10s, r =300i m ; determinar:

a) La velocidad de A en 1
t =10s
b) La velocidad de A respecto a B en 1
t =10s

SOLUCIÓN:


22. Se deja caer libremente un objeto desde una altura de 120m medida desde el suelo, en ese mismo
instante se arroja hacia abajo un segundo objeto desde una altura de 190m; determinar:

a) La velocidad inicial del segundo objeto para que los dos lleguen al piso al mismo tiempo

113. SOLUCIÓN:


23. Dos móviles A y B se mueven de acuerdo al siguiente grafico:



Si parten del origen; determinar:
a) La posición de cada móvil para t=10s
b) La posición y el tiempo en que los dos móviles se encuentran por primera vez luego de partir

SOLUCIÓN:


24. Un automóvil viaja a 18m/s y un bus a 12m/s sobre una carretera recta en direcciones contrarias. De
manera simultanea los choferes se ven y frenan de inmediato, el auto disminuye su rapidez a razón de 2
2m/s
y el bus a 2
3m/s ; determinar:

a) La distancia mínima entre los dos al momento que frenan para evitar que colisionen

SOLUCIÓN:


25. Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una cierta rapidez inicial desde el borde de un
precipicio y en 9s llega al fondo. Luego desde el mismo lugar se lanza otro objeto verticalmente hacia
abajo con la misma rapidez inicial y tarda 2s en llegar al fondo; determinar:

a) La rapidez inicial con la que fueron lanzados los objetos
b) La altura del precipicio

SOLUCIÓN:


26. Se dispara verticalmente hacia arriba un móvil y cuando ha ascendido 5m lleva una velocidad de 10 j m/ s
; determinar:

114. a) La velocidad con la que fue disparado
b) La altura que alcanza
c) El tiempo que demora en ascender esos 5m y el que demora en pasar nuevamente por dicha
posición

SOLUCIÓN:


27. Una partícula se mueve a lo largo del eje X, a t=2s, su velocidad es 16 i m/ s y su aceleración es
constante e igual a 2
2 i m/ s ; determinar:

a) La velocidad de la partícula a t=5s y t=15s
b) El desplazamiento de la partícula entre t=5s y t=15s

SOLUCIÓN:


28. En el interior de un tren que parte del reposo y acelera a razón de 2
4 i m/ s , un objeto desliza sin
rozamiento por el piso del vagón con una velocidad de 8 i m/ s respecto a tierra; determinar:

a) El tiempo que debe transcurrir para que el objeto alcance nuevamente su posición original
b) En ese mismo momento la velocidad instantánea del vagón respecto a tierra
c) En ese instante, la velocidad del objeto respecto a la velocidad del vagón

SOLUCIÓN:


29. Un cohete es lanzado verticalmente hacia arriba, desde el reposo, con una aceleración constante de 2
14,7 i m/ s
durante 8s, en ese momento se le acaba el combustible y el cohete continua moviéndose
de manera que únicamente queda sujeta a la gravedad de la tierra; determinar:

a) La altura máxima que alcanza el cohete
b) El tiempo que tarde en regresar a la tierra
c) El grafico velocidad-tiempo para este movimiento

SOLUCIÓN:


EJERCICIO Nº 9
1. Desde un puente se dispara un proyectil con una velocidad de 30 i m/ s , si impacta en la superficie del
río con un ángulo de 45º; determinar:

115. a) En cuánto tiempo impacta el proyectil
b) La altura del puente respecto a la superficie del río
c) La aceleración tangencial y centrípeta al momento del impacto

SOLUCIÓN:



2. Un bombardero que vuela horizontalmente con una velocidad de 480 i km/ h , a una altura de 5500m
dispara a un auto que se mueve a una velocidad constante de 125 i km/ h , en el mismo plano vertical.
Para que el proyectil impacte en el blanco; determinar:

a) El ángulo que forma la visual del avión al auto con la horizontal en el instante en que el avión
debe soltar la bomba
b) El tiempo que tarda la bomba en impactar el auto
c) La distancia que recorre el avión desde que suelta la bomba hasta que impacta en el blanco

SOLUCIÓN:



3. Se lanza una pelota desde una altura de 5m con una velocidad de12 i m/ s ; determinar:

a) La distancia a la que debe colocarse una persona que alzando los brazos alcanza 2,20m de altura,
para cogerla
b) El tiempo que la pelota permanece en el aire
c) Las aceleraciones tangencial y centrípeta en el momento que la persona recepta

SOLUCIÓN:


4. Desde lo alto de un edificio se lanza un objeto con una velocidad de 100 i m/ s ; determinar:

a) En qué tiempo el módulo de la aceleración tangencial es igual al módulo de la aceleración
centrípeta
b) La velocidad en ese instante
c) La posición en ese instante respecto al punto de lanzamiento

SOLUCIÓN:

116. 5. En una mesa de 0,75m de altura un objeto desliza y cae describiendo una trayectoria semiparabólica.
Sabiendo que cuando se encuentra a 0,15m de altura, la distancia hasta el borde de la mesa es 80cm;
determinar:

a) La velocidad con la que el objeto abandona la mesa
b) El tiempo en el que llega a la posición indicada y el tiempo en que impacta en el suelo
c) La velocidad en la posición indicada y la velocidad con que choca contra el suelo

SOLUCIÓN:


6. Una pelota de tenis se impulsa con una raqueta de tal modo que su velocidad inicial es 56 i km/ h
desde el borde de una cancha que mide 23,77m de largo y desde una altura de 2,5m; determinar:

a) La distancia a la que rebota por primera vez respecto a la red central cuya altura es de 0,92m
b) La velocidad mínima que se le debe comunicar a la pelota para que justamente logre pasar la red
c) La velocidad que se le debe comunicar a la pelota para que caiga justamente al borde opuesto de
la cancha

SOLUCIÓN:


7. Un proyectil es disparado con una rapidez de 45m/s y un ángulo de 40º sobre la horizontal;
determinar:

a) La velocidad del proyectil cuando forma un ángulo de 30º sobre la horizontal
b) El desplazamiento cuando alcanza dicho punto
c) La altura máxima que alcanza
d) El alcance horizontal

SOLUCIÓN:


8. Se impulsa una pelota desde el suelo con una rapidez de 50m/s y con un ángulo de 45º desde la
horizontal; determinar:

a) La velocidad de la pelota cuando su componente en el eje y es de -20 j m/ s
b) La posición de la pelota cuando dicha alcanza velocidad
c) La aceleración total, tangencial y centrípeta en dicho instante
d) La altura máxima

SOLUCIÓN:

117. 9. Un avión que lleva una velocidad de 50 i+ 60 j m/ s deja caer una bomba; determinar:

a) La altura máxima que alcanza la bomba desde el nivel de lanzamiento
b) El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
c) La altura por debajo del nivel de lanzamiento a la que la bomba tiene una velocidad de 50 i 100 j m/ s


SOLUCIÓN:


10. Un proyectil es lanzado desde una altura de 80m desde el suelo formando un ángulo de 40º sobre la
horizontal, si cae al suelo a una distancia horizontal de 300m desde el punto de lanzamiento;
determinar:

a) La velocidad inicial del proyectil
b) La posición del proyectil en el punto mas alto respecto al punto de lanzamiento
c) El tiempo que demora en llegar al suelo

SOLUCIÓN:


11. De un cañón se dispara un proyectil con una rapidez de 200m/s y un ángulo de 50º y luego se dispara
otro con la misma rapidez y un ángulo de 30º sobre la horizontal; determinar:

a) El intervalo de tiempo con que deben realizarse los disparos para que los proyectiles choquen
b) La altura máxima que alcanza cada proyectil respecto al cañón
c) El alcance horizontal de cada proyectil
d) Dónde chocan los proyectiles respecto al cañón

SOLUCIÓN:


12. Un proyectil con movimiento parabólico se encuentra en el punto A, donde su velocidad instantánea
es de 20m/s y forma un ángulo de 30º sobre la horizontal. Si el proyectil demoró 1,2s en llegar a A
desde su lanzamiento; determinar:

a) La velocidad inicial del lanzamiento
b) La altura máxima
c) Las aceleraciones: total, tangencial y centrípeta en el punto A
d) El ángulo de lanzamiento

SOLUCIÓN:

118. 13. Un proyectil es disparado con una rapidez de 100m/s y con un ángulo de 60º sobre la horizontal desde
un punto  A -10, -2 m ; determinar:

a) La velocidad en el instante en que X=0m
b) La aceleración tangencial en Y=0m por primera vez
c) Las coordenadas del punto donde la altura es máxima
d) La coordenada en Y cuando X=2m

SOLUCIÓN:


14. Desde lo alto de un edificio de 20m de altura se lanza una pelota con una velocidad de 5m/s y un
ángulo de 45º sobre la horizontal; determinar:

a) A que distancia horizontal de la base del edificio impacta la pelota
b) La altura máxima que alcanza
c) A que distancia horizontal de la base del edificio alcanza la altura máxima
d) La velocidad con la que llega al suelo

SOLUCIÓN:


15. Una persona con patines sube por una rampa de 20º, cuando abandona la rampa, salta hasta una grada
situada a 2m de distancia horizontal y 0,5m abajo del punto donde abandona la rampa; determinar:

a) La velocidad mínima con la que debe abandonar la rampa para llegar justamente a la grada sin
problema
b) La máxima altura que alcanza desde el punto donde abandona la rampa
c) Si con la misma rapidez calculada en el punto a) abandona una rampa de 15º, ¿Logra alcanzar la
grada sin problema?

SOLUCIÓN:


16. Una pelota es lanzada a 20m/s formando un ángulo de 60º con la horizontal; a 10m del punto de
lanzamiento se encuentra un obstáculo de 14m de altura; determinar:

a) Si la pelota supera el obstáculo; si no lo hace a que altura del mismo impacta
b) La máxima altura que alcanza
c) En qué puntos podrían colocarse dos vallas de 10m de altura, para que la pelota los pase
exactamente

SOLUCIÓN:

119. 17. Se lanza un balón de manera que pasa exactamente sobre dos barreras cada una de 2m de altura que
están separadas 10m. Si el tiempo que demora el balón en recorrer la distancia entre las barreras es 1s;
determinar:

a) La velocidad inicial con que fue lanzado el balón
b) La altura máxima
c) El alcance horizontal
d) El tiempo total desde que es lanzado hasta que llega nuevamente al nivel del lanzamiento

SOLUCIÓN:


18. Se dispara una flecha a 20m/s y 30º sobre la horizontal, para dar en un árbol que se encuentra a 25m
de distancia; determinar;

a) La altura a la que se elevará la flecha
b) En ángulo que formarán la flecha con el árbol
c) El tiempo que tarda la flecha hasta dar en el árbol

SOLUCIÓN:


19. Desde la base de una montaña cuya pendiente es 35º se lanza hacia la cima una piedra a 30m/s y 60º
sobre la horizontal; determinar:

a) La altura a la que impacta la piedra (desde la base de la montaña)
b) El tiempo que tarda en impactar
c) Si el impacto sucede antes o después de que la piedra a alcanzado su altura máxima
d) La velocidad con la que impacta la piedra

SOLUCIÓN:


20. Desde una cancha de futbol ubicada al pie de una colina de 30º de pendiente, se realiza un
lanzamiento desde un punto ubicado a 10m de la base de la colina y hacia ella; determinar:

a) La velocidad inicial con que se debe lanzar la pelota para que impacte en la colina a una altura de
3m justo cuando llega a su altura máxima
b) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 10m/s y 30º sobre la horizontal
c) Dónde y cuándo impacta la pelota si la velocidad inicial es 15m/s y 30º sobre la horizontal

SOLUCIÓN:

120. EJERCICIO Nº10
1. Una partícula animada de movimiento circular parte del punto 3,5 cm y gira anti horariamente, con
centro en el origen, 1000º en 12s. Determinar:

a) El desplazamiento angular
b) La velocidad angular media
c) La posición angular inicial
d) La posición final

SOLUCIÓN:

a) 1000º
17,45rad
180º



b)
=
t
17,45rad
=
12s
=1,45rad/ s








c) 15
tan
3
59,04º








59,04º
1,03rad
180º




d)
f0
f
f
17,45rad 1,03rad
18,48rad
  


  




2. Calcular la velocidad angular de cada una de las tres manecillas de un reloj

SOLUCIÓN:

121. Segundero Minutero Horero
=
t
2 rad
=
60s
= 0,105rad/ s







3
2 rad
=
3600s
=1,745 10 rad/ s




 4
2 rad
=
43200s
=1,454 10 rad/ s






3. El radio de una rueda de bicicleta gira con una velocidad angular de 0,7 rad/s durante 4 minutos.
Determinar:

a) En ángulo descrito en grados
b) Cuantas vueltas ha dado

SOLUCIÓN:

a)
t
0,7rad/ s 240s
168rad



  
  

168rad 180
9625,69º



b)
168rad
vueltas
2 rad
vueltas 26,74





4. Una partícula gira por una trayectoria circular con una velocidad angular constante de 8 rad/s.
Determinar:

a) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1000º
b) El tiempo necesario para dar una revolución
c) El ángulo girado en un minuto
d) El numero de revoluciones que da por minuto

SOLUCIÓN:

a)
1000º
17,45rad
180º



122. t=
17,45rad
t=
8rad/ s
t = 2,18s







b)
t=
2 rad
t=
8rad/ s
t = 0,79s









c)
=t
= 8rad/ s×60s
= 480rad



 




d)
8rad 1rev 60s
76,39RPM
s 2 rad 1min



5. Una partícula que gira por una trayectoria circular da 25 vueltas en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular media
b) El ángulo girado en 3s
c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 1600º

SOLUCIÓN:

a)
25vueltas 2 rad
50 rad
1vuelta



=
t
50 rad
=
6s
= 26,18rad/ s








123. b)
=t
= 26,18rad/ s 3s
= 78,54rad



 




c)
1600º rad
27,93rad
180º


t=
27,93rad
t=
26,18rad/ s
t =1,07s








6. Una partícula parte del punto  -5, -6 cm y gira en sentido antihorario con una velocidad angular
constante de 18 rad/s. Si el centro de la trayectoria es el origen, determinar:

a) La posición angular inicial
b) El desplazamiento angular en 4s
c) La posición angular final
d) La posición final

SOLUCIÓN:

a)
16
180º tan
5
129,80º







129,80º rad
2,27rad
180º



b)
=t
=18rad/ s 4s
= 72rad



 




c)

124. f0
f
f
72rad 2,27rad
74,27rad
  


  

 74,27rad 180º
4255,36º
rad


d)
22
56
7,81cm

0
0
r x = 7,81cmcos4255,36º
r x = 3,35cm 0
0
r = 7,81cmsen4255,36ºy
r y = 7,06cm
 0
r = 3,35 i-7,06 j cm


7. La velocidad angular de un motor cambia uniformemente de 1200 a 2100 RPM en 5s. Determinar:

a) La aceleración angular
b) La velocidad angular media
c) El desplazamiento angular

SOLUCIÓN:

a)
1200rev 2 rad 1min
=125,66rad/ s
min 1rev 60s

2100rev 2 rad 1min
= 219,91rad/ s
min 1rev 60s

f0
2
t
219,91rad/ s-125,66rad/ s
5s
18,85rad/ s











b)
f0
2
125,66rad/ s+ 219,91rad/ s
2
172,79rad/ s










c)

125. =t
=172,79rad/ s 5s
= 863,95rad



 



8. Un cuerpo parte del punto 4, 7 cm en sentido anti horario por una trayectoria circular y gira un
ángulo de 120 rads en 8 seg, alcanzando una velocidad angular de 25 rad/s. Si el centro de la
trayectoria es el origen, determinar:

a) La velocidad angular media
b) La velocidad angular inicial
c) La posición angular final
d) La aceleración angular

SOLUCIÓN:

a)
=
t
120rad
=
8s
=15rad/ s








b)
f0
0
0
0
0
2
25rad/ s+
15rad/ s
2
25rad/ s 30rad/ s
30rad/ s 25rad/ s
5rad/ s














c)
1
0
0
7
tan
4
60,26º







60,26º rad
1,05rad
180º

 f0
f
f
120rad 1,05rad
121,05rad
  


  



d)

126. f0
2
=
t
25rad/ s-5rad/ s
=
8s
= 2,5rad/ s







9. Un cuerpo parte del punto 3, -6 cm en sentido anti horario por una pista circular con centro en el
origen, con una velocidad angular de 6rad/s y se mueve durante 10s con una aceleración angular de 2
2rad/s
; Determinar:

a) La velocidad angular final
b) La velocidad angular media
c) El desplazamiento angular
d) La posición final

SOLUCIÓN:

a)
f0
f0
2
f
f
=
t
=t
= 2rad/ s ×10s+ 6rad/ s
= 26rad/ s


  






b)
f0
2
26rad/ s+ 6rad/ s
2
16rad/ s










c)
=t
=16rad/ s 10s
=160rad



 




d)

127. 160rad 180º
9167,32º
rad
 16
tan
3
63,43º






 f
f
9167,32º 63,43º
9103,89º




22
3 6 6,71m

f
f
r x = 6,71cos9103,89º
r x = 1,61m
f
f
r y = 6,71sen9103,89º
r y = 6,51m
 f
r = -1,61i+6,51 j m


10. Desde un mismo punto de la circunferencia parten dos móviles en sentido opuesto. El primero recorre
la circunferencia en 1h45min y el segundo recorre un ángulo de 10º30’ en un minuto
Determinar dónde y cuándo se encuentran

SOLUCIÓN:
1h:45min = 6300s
10º31' 10,52º
1min = 60s

10,52º rad
= 0,184rad
180º


1
1
1
1
4
1
=
t
2 rad
=
6300s
= 9,97 10 rad/ s









2
2
2
2
3
2
=
t
0,184rad
=
60s
= 3,07 10 rad/ s









Para determinar el encuentro:
12
2 rad................(1)     
= t............(2)  12
t t .........(3)  

128.  
12
12
12
43
(2) y (3) en (1)
t t 2 rad
t 2 rad
2 rad
t
2 rad
t
9,97 10 rad/ s 3,07 10 rad/ s
t 1544,92s
  
  




   
  



  

11
4
1
1
=t
= 9,97 10 rad/ s 1544,92s
=1,54rad




 
  

22
3
2
2
=t
= 3,07 10 rad/ s 1544,92s
= 4,74rad




 
  

EJERCICIO Nº11
1. Un volante cuyo diámetro es de 1,5m está girando a 200RPM, determinar:

a) La velocidad angular
b) El periodo
c) La frecuencia
d) La rapidez de un punto del borde
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

129. 2. Un cuerpo que gira con MCU está provisto de una velocidad angular de 2rad/s. Determinar:

a) El ángulo girado en 4s
b) El número de vueltas que da en 4s
c) El tiempo necesario para girar un ángulo de 500º
d) El periodo
e) La frecuencia

SOLUCIÓN:

3. Las manecillas de un reloj miden: el horero=4cm, minutero =7cm y segundero=10cm. Para cada una,
determinar:

a) El periodo
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
d) La rapidez del extrema
e) El módulo de la aceleración centrípeta del extremo

SOLUCIÓN:

131. 4. Un cuerpo gira en una trayectoria circular de 70 cm de radio y da 750 rev cada 2,5 minutos.
Determinar:

a) La velocidad angular
b) La distancia recorrida
c) La rapidez del cuerpo
d) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

5. Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2m de radio con una velocidad angular constante de 22
rad/s durante 6s. Determinar:

a) El desplazamiento angular
b) La distancia recorrida
c) El periodo
d) La rapidez del móvil
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

132. 6. Una rueda de bicicleta tiene 60cm de diámetro y recorre una distancia de 12m en 15s. Determinar:

a) El ángulo girado
b) El número de vueltas que dio
c) La velocidad angular
d) El periodo
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

133. 7. La tierra cuyo radio aproximado tiene 6375km, gira sobre su propio eje (rotación). Determinar:

a) El periodo de rotación
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
d) La rapidez de un punto del ecuador en km/h
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

8. El radio de la orbita seguida por la tierra en su movimiento alrededor del sol (traslación), mide 11
1,49x10 m
. Determinar:

a) El periodo de revolución
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
d) La rapidez en km/h
e) El módulo de la aceleración centrípeta

134. SOLUCIÓN:






9. La luna orbita alrededor de nuestro planeta; la distancia promedio que la separa de la tierra es de 8
3,84x10 m
. Determinar:

a) El periodo de revolución
b) La frecuencia
c) La velocidad angular
d) La rapidez en km/h
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

135. 10. El Sol efectúa un movimiento de traslación de la Vía Láctea; el radio de la órbita es 20
2,4x10 m y su
periodo de revolución es de 15
6,3x10 s . Determinar:

a) La frecuencia
b) La distancia recorrida en 50 años
c) La velocidad angular
d) La rapidez en km/h
e) El módulo de la aceleración centrípeta

SOLUCIÓN:

136. 11. Una partícula animada de MCU parte del punto 2, 7 m y gira alrededor del origen en sentido
antihorario describiendo un ángulo de 215º en 6s. Determinar:

a) La velocidad angular
b) La posición angular inicial
c) La posición angular final

137. d) La posición final
e) El periodo
f) La frecuencia
g) La velocidad en la posición final
h) La aceleración centrípeta en la posición inicial

SOLUCIÓN:

138. 12. Un cuerpo parte del punto 4, -3 m en sentido antihorario por una trayectoria circular con centro en
el origen y se mueve 12s con una velocidad angular constante de 3rad/s. Determinar:

a) El desplazamiento angular
b) La posición angular inicial
c) La posición angular final
d) La posición final
e) Cuántas vueltas da
f) El periodo
g) La velocidad en la posición inicial
h) La aceleración centrípeta en la posición final

SOLUCIÓN:

139. EJERCICIO Nº12
1. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400m de radio con MCUV hasta que alcanza
una rapidez de 72km/h en un tiempo de 50s. Determinar:

a) La velocidad angular final
b) La velocidad angular media
c) La aceleración angular
d) El desplazamiento angular
e) La distancia recorrida
f) El tiempo que tarda en dar 100 vueltas
g) El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

140. 2. Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20s. Si el radio de la turbina es 1,2m,
determinar:

a) La velocidad angular final
b) La velocidad angular media
c) La aceleración angular
d) La rapidez media
e) El desplazamiento angular
f) La distancia recorrida por el extremo de la turbina
g) El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

141. 3. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en
2 min. Si el radio de la trayectoria es 1,5 m, determinar:

a) La rapidez inicial
b) La velocidad angular final
c) La aceleración angular
d) El desplazamiento angular
e) Cuántas vueltas dio
f) La distancia recorrida
g) El módulo de la aceleración total inicial

142. SOLUCIÓN:
































4. Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1m de radio con una aceleración angular de 2
1,3rad/ s .
Cuando ha girado un ángulo de 7 /3rad alcanza una velocidad angular de 42 RPM. Determinar:

a) La velocidad angular inicial
b) La velocidad angular media
c) La rapidez inicial
d) El tiempo empleado

SOLUCIÓN:

143. 5. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le comunica una aceleración
angular de 2 2
2,8rad/ s durante 1 min. Si el radio de la trayectoria circular es de 0,6m, determinar:

a) La rapidez inicial
b) La velocidad angular final
c) La rapidez final
d) La velocidad angular media
e) El desplazamiento angular
f) Cuántas vueltas da
g) El módulo de la aceleración total inicial

SOLUCIÓN:

144. 6. La velocidad angular de un volante disminuye uniformemente de 1000 RPM en 7s. Si el radio de la
curvatura es de 25cm, determinar:

a) La rapidez inicial
b) La velocidad angular media
c) La aceleración angular
d) El desplazamiento angular
e) Cuántas vueltas da
f) Qué tiempo será necesario para que el volante se detenga
g) El módulo de la aceleración total final

SOLUCIÓN:

145. 7. Un volante de 10cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15s.
Determinar:

a) La velocidad angular inicial
b) La rapidez en el momento de aplicar el freno
c) La velocidad angular media
d) El desplazamiento angular
e) Cuántas vueltas da hasta detenerse
f) La distancia recorrida
g) El modulo de la aceleración total inicial

SOLUCIÓN: