Ejercicios resueltos sección 4.6

Ejercicios resueltos de la seccion 4-6

1. 4.6 BASES Y DIMENSIÓN
* Determine si el conjunto de vectores dado es una base para el espacio vectorial a que se
refiere.
EJERCICIO 1. xxPEn ,1:
2
2
I. Combinación Lineal  01
2
2
1  xcxc
0
2
2
11  xcxcc

Reacomodando Términos 0
0
0
1
2
2
1



c
xc
xc

R/: Como C1 = C2 = C3 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.

II. Genera a V 12
2
1
2
cxcxccbxax 


Uniendo los términos semejantes tenemos cc
bc
ac



1
2
1

R/: Como C1 tiene 2 valores distintos, el conjunto no genera a P2.

Por paso I y II, el conjunto dado no es una base para el espacio vectorial P2.


EJERCICIO 2. 2,
2
3,2:
2
 xxxxPEn

2. I. Combinación Lineal    0)2(32
3
2
21  xcxxcxc
0232
33
2
221  cxcxcxcxc

Reacomodando Términos Tenemos: 02
03
0)2(
3
2
2
321



c
xc
xccc
02
03
02
3
2
321



c
c
ccc 0
0
0
3
2
1



c
c
c

Los valores de C1, C2, C3, se obtuvieron despejando las ecuaciones segunda y tercera, luego
se sustituyo en la primera ecuación los valores de C2 , C3, para encontrar C1.
R/: Como C1 = C2 = C3 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.

II. Genera a V 3321
2
2
2
2)2(3 cxcccxccbxax 

Uniendo los términos semejantes tenemos cc
bccc
ac



3
321
2
2
)2(
3

Despejando las C2 y C3 para luego sustituirlas en la segunda ecuación y poder despejar C1 2
3
3
2
c
c
a
c






















3
2
23
2
1
1
cb
ac
b
ca
c
R/: Como podemos observar todas las C1, C2 y C3 tiene solución por lo tanto el conjunto genera
a P2.
Por paso I y II, el conjunto dado si es una base para el espacio vectorial P2.

3. EJERCICIO 3. 























dc
ba
MEn
0
00
,
0
00
,
00
0
,
00
0
:
22 donde a,b,c,d ≠ 0
I. Combinación Lineal















































00
00
00
00
0
00
0
00
00
0
00
0
43
21
4321
dccc
bcac
d
c
c
c
b
c
a
c

Reacomodando Términos Tenemos: 0
0
0
0
4
3
2
1




dc
cc
bc
ac
0
0
0
0
4
3
2
1




c
c
c
c
R/: Como C1 = C2 = C3 = C4 = 0, por lo tanto el conjunto es linealmente independiente.
II. Genera a V 














































hg
fe
dccc
bcac
hg
fe
d
c
c
c
b
c
a
c
43
21
4321
0
00
0
00
00
0
00
0

Reacomodando Términos Tenemos: hdc
gcc
fbc
eac




4
3
2
1
d
h
c
c
g
c
b
f
c
a
e
c




4
3
2
1
R/: Como podemos observar todas las C1, C2, C3 y C4 tienen soluciones, por lo tanto el conjunto
genera a 22M .
Por paso I y II, el conjunto dado si es una base para el espacio vectorial 22M .

4. EJERCICIO 4. Encuentre una base en 3
R para el conjunto de vectores en el
plano 3x-2y+z=0
Despejando para Z:
3x - 2y + z=0
Z = -3x + 2y













































y
y
x
x
yx
y
x
z
y
x
2
0
3
0
23
























2
1
0
3
0
1
yx
R/: La base es: 





























2
1
0
,
3
0
1
EJERCICIO 5. Encuentre una base en 3
R para el conjunto de vectores en la recta
x = 3t, y = -2t y z = 4t
Solución:
X= 3t , y = -2t y z = 4t
































4
2
3
4
2
3
t
t
t
t
z
y
x
R/: La base es: 




















4
2
3
* En el siguiente ejercicio encuentre una base para el espacio de solución del sistema
homogéneo dado.

5. 01082
0
0432



zyx
zyx
zyx
Solución: 













 
































22
133
122
2
1
5
12
2
0
0
0
12100
650
111
0
0
0
1082
432
111
0
0
0
1082
111
432
RR
RRR
RRR
R
R














 















0
0
0
000
5
6
10
5
1
01
0
0
0
12100
5
6
10
111
233
211
10RRR
RRR

Quedando las siguientes ecuaciones y al sustituir el valor de z en
las ecuaciones nuestras soluciones nos dan:
0
0
5
6
0
5
1



z
zy
zx 0
0)0(
5
6
0)0(
5
1



z
y
x 0
0
0



z
y
x
R/: El vector solución es igual a cero, es una solución trivial la base es: 



















0
0
0