Ejercicios resueltos trigonometricas

Ejercicios resueltos trigonometricas

1. INTEGRALES FORMULAS TRIGONOM ETRICAS
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejercicio1
Z
sec
p
x
p
x
dx
Analizaremos la aplicacion de la formula de integracion
R
secv dv. Primero reescribimos la
integral con los radicales como potencias fracccionarias
Z
sec
p
x
p
x
dx=
Z
secx
1=2
x
1=2
dx
Ahora, seleccionamos
v=x
1=2
; dv=
1
2
x
1=2
dx
completamos la diferencial con la constante 1/2 y aplicamos la formula de integracion
Z
secx
1=2
x
1=2
dx= 2
Z
secx
1=2

1
2
x
1=2

dx
= 2 ln(sec
p
x+ tan
p
x) +C
Ejercicio2
Z
(sen+ cos)
2
d
Al considerar la formula de integracion
R
v
n
dvcon
n= 2; v= sen+ cos; dv= (cossen)d
la diferencialdvno esta completa en la integral, ahora, probamos desarrollando el binomio
al cuadrado
Z
(sen+ cos)
2
d=
Z
(sen
2
+ 2 sencos+ cos
2
)d
El integrando se simplica con la propiedad sen
2
B+cos
2
B= 1 y se separa en dos integrales
MOOC "Entendiendo el Calculo Integral" 1 Tecnologico Nacional de Mexicoc2016"

2. Z
(sen+ cos)
2
d=
Z
(1 + 2 sencos)d
=
Z
d+ 2
Z
sencos d
la segunda integral se puede resolver con la formula de integracion
R
v
n
dv, con
n= 1; v= sen; dv= cosd
y obtenemos
Z
(sen+ cos)
2
d=+ 2

sen
2

2

+C
=+ sen
2
+C
Ejercicio3
Z
tan
4
3xsec
2
3x dx
Recordemos que las funciones estan relacionadas por la formula de derivacion
d
dx
tanv= sec
2
v
dv
dx
por esto, consideramos la aplicacion de la formula
R
v
n
dvpara resolver la integral, con
n= 4; v= tan 3x; dv= sec
2
3x(3)dx
y se hace necesario completar la diferencial con la constante 3
Z
(tan
4
3x) sec
2
3x dx=
1
3
Z
(tan 3x)
4
sec
2
3x(3dx)
=
1
3

1
5

(tan 3x)
5
+C
=
1
15
tan
5
3x+C
MOOC "Entendiendo el Calculo Integral" 2 Tecnologico Nacional de Mexicoc2016"

3. Ejercicio4
Z
(1 + tan 2x)
2
dx
Si se quiere considerar la formula de integracion
R
v
n
dvcon
n= 2; v= 1 + tan 2x; dv= sec
2
2x(2dx)
la diferencialdvno se puede completar, por eso se desarrolla el binomio al cuadrado, buscando
una expresion equivalente:
Z
(1 + tan 2x)
2
dx=
Z
(1 + 2 tan 2x+ tan
2
2x)dx
Para el tercer termino no se tiene una formula directa de integracion, pero al aplicar la
identidad sec
2
B= 1 + tan
2
B, la integral se simplica a
Z
(1 + tan 2x)
2
dx=
Z
(2 tan 2x+ sec
2
2x)dx
ahora, para los dos terminos se tiene una formula directa de integracion.
Separando en dos integrales, completando la diferencial en la segunda integral y aplicando
las formulas de integracion apropiadas se tiene
Z
(1 + tan 2x)
2
dx=
Z
tan 2x(2dx) +
1
2
Z
sec
2
2x(2dx)
= lnjsec 2xj+
1
2
tan 2x+C
Ejercicio5
Z
d
1 + cos
Si para resolver se quiere utilizar la formula
R
dv
v
, se considerara
v= 1cos; dv= sen d
MOOC "Entendiendo el Calculo Integral" 3 Tecnologico Nacional de Mexicoc2016"

4. la diferencial dedvno se tiene en el numerador, se debe buscar otra formula de integracion.
Una expresion equivalente al integrando se consigue al multiplicar por (1cos) el numerador
y el denominador con la nalidad de aplicar la identidad sen
2
B+ cos
2
B= 1 y reducir el
denominador a un solo termino.
Z
d
1 + cos
=
Z
d
1 + cos
(1cos)
(1cos)
=
Z
1cos
1cos
2

d
se sustituye (1cos
2
) por sen
2
y se separa en dos integrales
Z
d
1 + cos
=
Z
1cos
sen
2

d
=
Z
d
sen
2


Z
cos
sen
2

d
se reescriben los integrandos usando la identidad cscB=
1
senB
para la primera integral y
pasando sen
2
al numerador en la segunda (cambiando el signo del exponente)
Z
d
1 + cos
=
Z
csc
2
d
Z
(sen
2
)(cos)d
Y se utilizan las formulas de integracion
R
csc
2
v dvpara la primera integral y
R
v
n
dvpara
la segunda y se simplica
Z
d
1 + cos
=cot
(sen)
1
(1)
+C
=cot+
1
sen
+C
= csccot+C
MOOC "Entendiendo el Calculo Integral" 4 Tecnologico Nacional de Mexicoc2016"