El método de la secante y secante modificado

Método da secante

1. EL MÉTODO DE LA EL MÉTODO DE LA
SECANTE Y SECANTE SECANTE Y SECANTE
MODIFICADOMODIFICADO
Métodos abiertosMétodos abiertos

2. El Método de la SecanteEl Método de la Secante

Se deriva del Se deriva del
método de método de
Newton-RaphsonNewton-Raphson

Se aproxima la Se aproxima la
derivada derivada
mediante mediante
diferencia finita diferencia finita
dividida hacia dividida hacia
atrásatrás
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
¢
-=
+
ii
ii
i
xx
xfxf
xf
-
-
@¢
-
-
1
1 )()(
)(

3. Fórmula de la SecanteFórmula de la Secante

Se obtiene la fórmula de la secanteSe obtiene la fórmula de la secante::

Se observa que este método requiere Se observa que este método requiere
2 valores iniciales de x. 2 valores iniciales de x.

Sin embargo, no se necesita que f(x) Sin embargo, no se necesita que f(x)
cambie de signo, por lo que no es un cambie de signo, por lo que no es un
método cerrado.método cerrado.
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx
-
-
-=
-
-
+

4. Algoritmo para la SecanteAlgoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: X1) Se dan 2 valores: X
ii y X y X
i-1i-1
2) Se calcula f(x2) Se calcula f(x
ii) y f(x) y f(x
i-1i-1))
3) Se obtiene X3) Se obtiene X
i+1i+1 mediante la fórmula mediante la fórmula
de la secantede la secante
4) Se vuelve al paso 2 para encontrar 4) Se vuelve al paso 2 para encontrar
una nueva raízuna nueva raíz

5. Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y
Falsa PosiciónFalsa Posición

Si recordamos la Si recordamos la
fórmula de la falsa fórmula de la falsa
posición:posición:

Y vemos la fórmula Y vemos la fórmula
de la secante:de la secante:
)()(
))((
ul
ulu
ur
xfxf
xxxf
xx
-
-
-=
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx
-
-
-=
-
-
+

6. Diferencia entre Secante y Diferencia entre Secante y
Falsa PosiciónFalsa Posición

Se diferencian Se diferencian
por la forma por la forma
en que uno de en que uno de
los valores los valores
iniciales se iniciales se
reemplaza con reemplaza con
la la
aproximación.aproximación.

7. Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de
SecanteSecante

Problema 6.5 (Chapra, Canale):Problema 6.5 (Chapra, Canale):
Determine la menor raíz real de:Determine la menor raíz real de:
a) Gráficamentea) Gráficamente
b) Usando el método de la secante para un b) Usando el método de la secante para un
valor de Evalor de E
ss con tres cifras significativas con tres cifras significativas
32
5.2172211)( xxxxf -+--=

8. Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.5
32
5.2172211)( xxxxf -+--=
xx yy
-1-1 30.530.5
-0.5-0.54.564.56
00 -11-11
11 -18.5-18.5
22 -7-7
33 8.58.5
44 1313
55 -8.5-8.5
a) Gráficamentea) Gráficamente
4.0-»x

9. Resolución Problema 6.5Resolución Problema 6.5
32
5.2172211)( xxxxf -+--=
b) Por el método de la secante (Eb) Por el método de la secante (E
ss<0.05%)<0.05%)
IteraciónIteración xx
i-1i-1 xx
ii xx
i+1i+1 EE
ss(%)(%)
11 -1-1 00 -0.2651-0.2651 --
22 00 -0.2651-0.2651-0.4123-0.4123 35.735.7
33 -0.2651-0.2651-0.4123-0.4123-0.3793-0.3793 8.78.7
44 -0.4123-0.4123-0.3793-0.3793-0.3813-0.3813 0.520.52
55 -0.3793-0.3793-0.3813-0.3813-0.3813-0.38130.0040.004

10. Método de la Secante Método de la Secante
ModificadoModificado

Se aproxima la Se aproxima la
derivada de la derivada de la
función con un función con un
método de cambio método de cambio
fraccionario de la fraccionario de la
variable.variable.

Se reemplaza en la Se reemplaza en la
ecuación de ecuación de
Newton-RaphsonNewton-Raphson
i
iii
i
x
xfxxf
xf
d
d )()(
)(
-+
=¢
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx
¢
-=
+

11.  Con lo que se obtiene la fórmula de la Con lo que se obtiene la fórmula de la
secante modificada:secante modificada:
Nótese que ahora solo se requiere un valor Nótese que ahora solo se requiere un valor
de x inicial y el valor del cambio fraccionario.de x inicial y el valor del cambio fraccionario.
Fórmula de la Secante Fórmula de la Secante
ModificadaModificada
)()(
)(
1
iii
ii
ii
xfxxf
xfx
xx
-+
-=
+
d
d

12. Ejemplo del Método de Ejemplo del Método de
Secante ModificadoSecante Modificado

Problema 6.7 (Chapra, Canale):Problema 6.7 (Chapra, Canale):
Calcule la raíz real de xCalcule la raíz real de x
3.33.3
=79, con el =79, con el
método de la secante modificado que método de la secante modificado que
cumpla con Ecumpla con E
ss=0.1%. Intente diferentes =0.1%. Intente diferentes
valores de δ y analice los resultados. valores de δ y analice los resultados.

13. Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7
79
3.3
=x
 Para δ=0.01 x=3.758707344Para δ=0.01 x=3.758707344
IteraciónIteración xx
ii xx
ii+δx+δx
ii xx
i+1i+1 EE
ss(%)(%)
11 3.53.5 3.5353.5353.78033.7803 --
22 3.78033.78033.81813.81813.75893.7589 0.50.5
33 3.75893.75893.79643.79643.75873.7587 0.0050.005

14. Resolución Problema 6.7Resolución Problema 6.7
79
3.3
=x
 Para δ=0.1 x=3.758707344Para δ=0.1 x=3.758707344
IteraciónIteración xx
ii xx
ii+δx+δx
ii xx
i+1i+1 EE
ss(%)(%)
11 3.53.5 3.853.85 3.77233.7723 --
22 3.77233.77234.14954.14953.75923.7592 0.30.3
33 3.75923.75924.13514.13513.75873.7587 0.010.01

15. Ejemplo Programado en Ejemplo Programado en
MatLab …MatLab …