El Nombre E

didàctica matemàtica

1. El
Nombre
e

2. EL NOMBRE e
•Un nombre rar i misteriós
•Un nombre natural (escrit a la natura)
•Un nombre amb nom de lletra, per què?
•Un nombre present a la formula científica
més adient per ornar camisetes
(després de la molt famosa E=m·c
2
)
e
iπ
+1=0

3. El nombre e és misteriós
n
n n
e ÷
ø
ö
ç
è
æ
+=
¥®
1
1lim
És misteriós i rar. Ningú que no fos matemàtic, i matemàtic excepcional,
hauria pogut inventar o descobrir aquest nombre.
És misteriós com ho són tots els irracionals, nombres decimals infinits i no
periòdics, i un poc més.
DUES DEFINICIONS:
primera
segona
...
!5
1
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
1 ++++++=e

4. n (1+1/n) (1+1/n)
n
1 2 2
2 1’5 2’25
3 1’3333333... 2’37037037...
4 1’25 2’44140625
5 1’2 2’448832
..... ..... .....
10 1’1 2’59374246...
100 1’01 2’70481383...
1000 1’001 2’71692393...
1000000 1’000001 2’71828047...
1000000000 1’000000001 2’71828183...


Primera definició:
el nombre e com a límit de la successió (1+1/n)
n

5. Segona definició:
El nombre e com a suma de la sèrie 1+1/1!+1/2!+1/3!+…..+1/n!+…
2,71828182611
2,7182815269
2,7182787708
2,7182539687
2,7180555566
2,7166666675
2,7083333334
2,6666666673
2,5000000002
2,0000000001
1+1/1!+1/21+1/3!+…..+1/n!n

6. ee ≈ ≈ 2’71828182845904523532’7182818284590452353……
en sabem algunes coses:en sabem algunes coses:
és la base dels logaritmes naturals ,o neperians.és la base dels logaritmes naturals ,o neperians.
és un nombre és un nombre irracional , ,
decimal infinit i no periòdic.decimal infinit i no periòdic.
és un nombre és un nombre trascendenttrascendent , ,
no és solució de cap equació polinòmica no és solució de cap equació polinòmica
amb coeficients enters amb coeficients enters
PENSA UN POC: (tot irracional és trascendent?)
(tot trascendent és irracional?)

7. •Creixement exponencial
•Creixement logístic
•Interés continu
•Corba catenària
•Datació pel mètode del carboni14
•Determinació de l’instant de la mort en un
assassinat.
Aparicions
e-stel.lars

8. 1.Creixement exponencial (malthusià)
La derivada de la funció y = e
x
és y’ = e
x

la derivada de y = e
kx
és y’ = k·e
kx

Aquest fet expressa que la velocitat del canvi és proporcional a l’estat de la cosa
que canvia; explica perquè la funció y = e
kx
apareix en moltíssims fenòmens de
creixement natural.
La velocitat de creixement d’una població sol ser proporcional al tamany de la
població.Com més gran és un cultiu de bacteris (un bosc, una població animal en
una zona concreta) més ràpidament creix.
En aquest model de creixement, el nombre d’individus presents a l’instant t ve
donat per la fórmula P(t) = P
0
·e
kt
P
0
és el tamany inicial de la població (a l’instant en què començam l’observació), t
el temps transcorregut, i k una constant que depèn del cas concret
EXERCICI: Començam amb 500 bacteris en una placa de petri.Observam que
després d’una hora ja en tenim 800. Determinau la funció P(t) i representau-la

9. Creixement exponencial

10. 2.Creixement logístic

És fàcil pensar que el creixement exponencial pot servir com a model en els
primers estadis de creixement, quan les poblacions creixen de forma incontrolada.
Més endavant, per força han d’aparèixer restriccions de tota classe (d’espai,
d’aliments,de materials, etc.) que faran ralentitzar aquest creixement.
Per això ,els matemàtics han refinat el model i l’han canviat pel creixement logístic,
on curiosament també hi és present el nombre e
En aquest cas la funció és:

M és una constant anomenada nivell de saturació, que posa una frontera al
creixement; a i b són constants (b<0) que depenen del cas concret i s’han de
determinar experimentalment, t és el temps transcorregut
EXERCICI: Representau gràficament la funció
bt
ea
M
tP
·1
)(
+
=
t
e
tP
1'2
·9991
1000
)(
-
+
=

11. Creixement logístic
M

12. 3.Interés continu
Un depòsit inicial de 100 euros col.locat a l’interés anual del 8% es convertirà
passat un any en 100·1’08 euros . Si parlam de r com a “tant per ú” resumiríem el
cas general mitjançant la fórmula C =C
0
·(1+r)
Capitalitzant per anys, un capital inicial C
0
es convertirà passats t anys en
C=C
0
·(1+r)
t
, on r és l’interés produït per 1 € en 1 any.
Capitalitzant per semestres C=C
0
·(1+r/2)
2t

Capitalitzant per trimestres C=C
0
·(1+r/4)
4t
Capitalitzant per mesos C=C
0
·(1+r/12)
12t
Capitalitzant n vegades a l’any C=C
0
·(1+r/n)
nt
Quan el nombre d’actualitzacions (n) és molt gran, podem fins i tot pensar en una
actualització contínua (cada instant s’acumulen els interessos al capital),
obtendríem per pas al límit C = C
0
·e
rt
, (un cop més el nombre e !!)
EXERCICI:
a)Calculau
b)Un euro al 100% anual es convertirà en 2 euros passat un any.Quin és el valor
màxim que podem esperar obtenir canviant només el període de capitalització?
nt
n n
r
C ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
¥®
1·
0lim

13. 4.Corba catenària
És la corba que descriu una cadena suspesa pels seus extrems.
En un principi es creia que tal corba era una paràbola. Huygens, als 17
anys, va demostrar que no ho era.
Un exemple d’elles és la corba y = 0,5(e
x
+ e
-x
) . (totes tenen e )
La catenària invertida té una sèrie de propietats que la fan molt
interessant en arquitectura. Gaudí en va ser conscient.

14. La catenària invertida és present també en aquest projecte
mai realitzat de Gaudí. Un hotel certament original i estrany
que s’havia de construir a la ciutat de Chicago

15. 5.Datació pel mètode del C-14
Els teixits de plantes i animals vius contenen dues formes de l’element
carboni (C): El C-12 no radioactiu i el C-14 ,un isòtop radioactiu,
que estan en proporció gairebé invariable 10
12
:1. Quan un
organisme mor ,els seus teixits conserven tot el C-12 mentre que el
C-14 emet radiacions i es va desintegrant.
Mesurant la proporció de C-14 respecte al C-12 (sigui Q) que encara
conté la mostra que volem datar, podrem obtenir el temps
aproximat transcorregut d’ençà de la mort, mitjançant la relació:
On t és el temps expressat en anys
EXERCICI: En una cova es troba un crani humà vora les restes d’una foguera.S’ha
establit que només un 2% de la quantitat original de C-14 queda a la fusta cremada.
Calculau l’edat del crani ,suposant que aquell home va encendre la foguera.
Q=10
-12
·e
-0’000124t

16. 6.Determinació de l’instant de la mort
Determinació del moment de la mort en un
assassinat. Cal aplicar la llei de Newton
sobre el refredament obtinguda a partir de
la hipòtesi que la velocitat de refredament
és proporcional a la diferència entre la
seva temperatura i la del medi on es
troba.Una persona viva manté la
temperatura entorn dels 37º C (..........
o
F )
Quan mor deixa de produir calor, i per
tant, comença a refredar-se seguint la llei:
on T
0
és la temperatura normal dels
vius, i t són les hores transcorregudes ; M
és la temperatura del medi. Llàstima que
les temperatures estan en graus
Fahrenheit.
t
eMTMtT
5207'0
0
)·()(
-
-+=

17. EXERCICI:
Varen trobar el cos de nit i
estava a 29’45º C
( ........
o
F) ,
la temperatura ambient era
de 20º C
( .........
o
F)
i s’havia mantingut constant
les darreres hores .
Quantes hores havien
transcorregut d’ençà de la
mort?

18. The end
The end
EULER
The end
The end
The end
EULER
The end
EULER
The end
The end The end
The end
The end
The end
EULER