Elasticidad

Esta precentacion habla sobre la elasticidad de los tipos que hay.

1. Michel Velázquez Química viernes 1 de mayo del 2014

2. INTRODUCCION En el siguiente tema sabremos que es la elasticidad y como se compone la ya mencionada

3. La elasticidad

4. INTRODUCCION:

5. La elasticidad es estudiada por la  teoría de la elasticidad , que a su vez es parte de la  mecánica de sólidos deformables . La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones  en un punto  en un instante dado dependen sólo de las deformaciones  en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la  ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma:

6. donde  denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden del espacio euclídeo . Si el sólido es homogéneo el valor de la función anterior no dependerá del segundo argumento. La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir transformaciones termodinámicas reversibles  e independencia de la velocidad de deformación (los  sólidos viscoelásticos  y los  fluidos , por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la  velocidad de deformación ). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la  energía interna . El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

7. ¿Qué es la elasticidad? La  elasticidad  es una medida de la sensibilidad de la cantidad demandada o de la cantidad ofrecida ante el cambio en alguno de sus factores determinates. Los compradores normalmente compran una cantidad mayor de un bien cuando su precio se reduce, cuando su renta es mayor, cuando los precios de los bienes sustitutivos son más altos o cuando los precios de los bienes complementarios son más bajos. En función de la variable en la que basemos nuestro análisis tendremos distintos tipos de elasticidad.

8. Elasticidad-precio de la demanda. Mide el grado en que la cantidad demandada responde a una variación del precio del bien. Elasticidad renta de la demanda. Mide el grado en que la cantidad demandada de un bien responde a una variación de la renta de los consumidores: variación porcentual de la cantidad demandada entre la variación porcentual de la renta.

9. Elasticidad cruzada de la demanda. Variación porcentual de la cantidad demandada del bien  i  entre la variación porcentual del precio del bien  j . Elasticidad de la oferta. Variación porcentual experimentada por la cantidad ofrecida de un bien cuando varía su precio en 1 por 100, manteniéndose constantes los demás factores que afectan a la cantidad ofrecida .

10. La elasticidad es estudiada por la  teoría de la elasticidad , que a su vez es parte de la  mecánica de sólidos deformables . La teoría de la elasticidad (ETE) como la mecánica de sólidos (MS) deformables describe cómo un sólido (o fluido totalmente confinado) se mueve y deforma como respuesta a fuerzas exteriores. La diferencia entre la TE y la MS es que la primera sólo trata sólidos en que las deformaciones son termodinámicamente reversibles y en los que el estado tensiones  en un punto  en un instante dado dependen sólo de las deformaciones  en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la  ecuación constitutiva  funcionalmente es de la forma

11. donde  denota el conjunto de tensores simétricos de segundo orden del espacio euclídeo . Si el sólido es homogéneo el valor de la función anterior no penderá del segundo argumento. La propiedad elástica de los materiales está relacionada, como se ha mencionado, con la capacidad de un sólido de sufrir  transformaciones termodinámicas reversibles  e independencia de la velocidad de deformación (los  sólidos viscoelásticos  y los  fluidos , por ejemplo, presentan tensiones dependientes de la  velocidad de deformación ). Cuando sobre un sólido deformable actúan fuerzas exteriores y éste se deforma se produce un trabajo de estas fuerzas que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica y por tanto se producirá un aumento de la energía interna . El sólido se comportará elásticamente si este incremento de energía puede realizarse de forma reversible, en este caso se dice que el sólido es elástico.

12. Elasticidad lineal [ editar ] Un caso particular de sólido elástico se presenta cuando las tensiones y las deformaciones están relacionadas linealmente, mediante la siguiente  ecuación constitutiva : Cuando eso sucede se dice que el sólido es elástico lineal. La teoría de la elasticidad lineal es el estudio de sólidos elásticos lineales sometidos a pequeñas deformaciones de tal manera que además los desplazamientos y deformaciones sean "lineales", es decir, que las componentes del campo de desplazamientos  u  sean muy aproximadamente una combinación lineal de las componentes del  tensor deformación  del sólido. En general un sólido elástico lineal sometido a grandes desplazamientos no cumplirá esta condición. Por tanto la teoría de la elasticidad lineal sólo es aplicable a:

13. Sólidos elásticos lineales , en los que tensiones y deformaciones estén relacionadas linealmente (linealidad material). Deformaciones pequeñas , es el caso en que deformaciones y desplazamientos están relacionados linealmente. En este caso puede usarse el  tensor deformación lineal de Green- Lagrange  para representar el estado de deformación de un sólido (linealidad geométrica). Debido a los pequeños desplazamientos y deformaciones a los que son sometidos los cuerpos, se usan las siguientes simplificaciones y aproximaciones para sistemas estables:

14. Las tensiones se relacionan con las superficies no deformadas Las condiciones de equilibrio se presentan para el sistema no deformado Para determinar la estabilidad de un sistema hay presentar las condiciones de equilibrio para el sistema deformado.

15. Tensión  Componentes del  tensor tensión  en un punto P de un sólido deformable . La tensión en un punto se define como el límite de la fuerza aplicada sobre una pequeña región sobre un plano π que contenga al punto dividida del área de la región, es decir, la tensión es la fuerza aplicada por unidad de superficie y depende del punto elegido, del estado tensional de sólido y de la orientación del plano escogido para calcular el límite. Puede probarse que la normal al plano escogido  n π  y la tensión  t π  en un punto están relacionadas por:

16. Donde  T  es el llamado  tensor tensión , también llamado  tensor de tensiones , que fijada una base vectorial ortogonal viene representado p or una matriz simétrica 3x3: Donde la primera matriz es la forma común de escribir el tensor tensión en física y la segunda forma usa las convenciones comunes en ingeniería. Dada una región en forma de  ortoedro  con caras paralelas a los ejes coordenados situado en el interior un sólido elástico tensionado las componentes σ xx , σ yy  y σ zz  dan cuenta de cambios de longitud en las tres direcciones, pero que no distorsinan los ángulos del ortoedro, mientras que las componentes σ xy , σ yz  y σ zx  están relacionadas con la distorsión angular que convertiría el ortoedro en un paralelepípedo.

17. Deformación  [ editar ] En teoría lineal de la elasticidad dada la pequeñez de las deformaciones es una condición necesaria para poder asegurar que existe una relación lineal entre los desplazamientos y la deformación. Bajo esas condiciones la deformación puede representarse adecuadamente mediante el  tensor deformación infinitesimal  que viene dada por:

18. Los componentes de la diagonal principal contienen los alargamientos (dilataciones), mientras que el resto de los componentes del tensor son los medios desplazamientos. Las componentes están linealmente relacionadas con los desplazmientos mediante esta relación:

19. Ecuaciones constitutivas de Lamé-Hooke   Las  ecuaciones de Lamé-Hooke  son las  ecuaciones constitutivas  de un sólido elástico lineal, homogéneo e isótropo, tienen la forma: En el caso de un problema unidimensional, σ = σ 11 , ε = ε 11 ,  C 11  =  E  y la ecuación anterior se reduce a:

20. Donde  E  es el  módulo de elasticidad longitudinal  o módulo de Young y  G  el  módulo de elasticidad transversal . Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada  coeficiente de Poisson  (ν) y el  coeficiente de temperatura  (α). Por otro lado, las ecuaciones de  Lamé  para un sólido elástico lineal e  isótropo  pueden ser deducidas del  teorema de Rivlin-Ericksen , que pueden escribirse en la forma :

21. Ciertos materiales muestran un comportamiento sólo aproximadamente elástico, mostrando por ejemplo variación de la deformación con el tiempo o fluencia lenta. Estas deformaciones pueden ser permanentes o tras descargar el cuerpo pueden desaparecer (parcial o completamente) con el tiempo ( viscoplasticidad , viscoelasticidad ). Además algunos materiales pueden presentar plasticidad  es decir pueden llegar a exhibir pequeñas deformaciones permanentes, por lo que las ecuaciones anteriores en muchos casos tampoco constituyen una buena aproximación al comportamiento de estos materiales. Ecuaciones de equilibrio 

22. Equilibrio interno  [ editar ] Cuando las deformaciones no varían con el tiempo, el campo de tensiones dado por el tensor tensión representa un estado de equilibrio con las fuerzas de volumen  b  = ( b x ,b y ,b z ) en todo punto del sólido, lo cual implica que el campo de tensiones satisface estas condiciones de equilibrio:

23. Elasticidad no lineal En principio, el abandono del supuesto de pequeñas deformaciones obliga a usar un  tensor deformación no lineal y no infinitesimal , como en la teoría lineal de la elasticidad donde se usaba el  tensor deformación  lineal infinitesimal de Green- Lagrange . Eso complica mucho las  ecuaciones de compatibilidad

24. . Además matemáticamente el problema se complica, porque las ecuaciones resultantes de la anulación de ese supuesto incluyen fenómenos de  no linealidad geométrica ( pandeo ,  abolladura ,  snap-through ,...). Si además de eso el sólido bajo estudio no es un sólido elástico lineal nos vemos obligados a substituir la  ecuaciones de Lamé-Hooke  por otro tipo de  ecuaciones constitutivas  capaces de dar cuenta de la  no linealidad material . Además de las mencionadas existen otras no linealidades en una teoría de la elasticidad para grandes deformaciones. Resumiendo las fuentes de  no linealidad  serían: 1

25. El tensor deformación no se relaciona linealmente con el desplazamiento , concretamente es una aplicación cuadrática del  gradiente de deformación : . Para muchos materiales la ecuación constitutiva es no lineal. Las ecuaciones de equilibrio sobre el dominio ocupado por el sólido, escrito en términos del segundo tensor de Piola- Kirchhoff son nolineales :  y . Donde  es el  difeomorfismo  que da la relación entre los puntos antes y después de la deformación.

26. En algunos casos, como las cargas muertas las fuerzas que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones experesados en el dominio de referencia incluyen no linealidades, por ejemplo cuando en la configuración deformada aparece una presión normal a la superficie, eso comporta que  Las condiciones de incomprensibilidad, de positividad del jacobiano de la deformación, o de la inyectividad en el caso de contactos que evian la autopenetración del sólido deformado también imponen ecuaciones adicionales que se expresan en forma de ecuaciones no lineales.

27. Ejemplo de la :elasticidad física

28. conclusión A la conclusión que llegamos fue que la elasticidad es una medida de la sensibilidad la cantidad demandada o de la cantidad ofrecida ante el cambio en alguno de sus factores determinates. Los compradores normalmente compran una cantidad mayor de un bien cuando su precio se reduce, cuando su renta es mayor, cuando los precios de los bienes sustitutivos son más altos o cuando los precios de los bienes complementarios son más bajos. En función de la variable en la que basemos nuestro análisis tendremos distintos tipos de elasticidad .

29. Gracias por su atencion prestada al tema