Electromagnetismo Teoría y 310 problemas resueltos Joseph A. Edminister.pdf

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ELECTROMAGNETISMO
SERIE
SCHAUM
ELECTROMAGNETISMO
Teoría y
310 problemas
resueltos
Joseph A. Edminister

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8'BLlOT[C. .T. N'11
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SERIE DE COMPENDIOS SCHAUM
'TEORIA
yPROBLEMAS
ELECTROMAGNETISMOI
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JOSEPHA.EDMINISTER, M.S.E~ROHI810A
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TRADUCCION
PEDRO ALBARRACIN
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REVISION
SANTIAGO PINTO
EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA S.A.
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RESERVADOS TODOS LOS DERECHOS (D.R.)
Copyright©1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMERICANA S.A.
Bogotá, Colombia
Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido
de alguna forma o por algún med electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia o
grabación, o por cualquier otro stema de memoria o archivo, sin el permo
escrito del editor.
Traducido de la primera edición de
SCHAUM'S OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS
OF ELECTROMAGNETICS
Copyright©1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.
IS BN 968-451-004-7
0987654321 8765432901
Impreso en Colombia Printed in Colombia
Impresión: Italgraf S.A., Bogotá, Colombia
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I
Prefacio
El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductor de electromagne-
tmo para ingenieros. Se puede utilizar tamb n como texto independiente en un curso breve de iniciación.
Como en los demás compends de Schaum, se pone el mayor énfas en la solución de los problemas.
Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus solucnes detalladas y ofrece tamb n una
serie de problemas suplementars con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los
princips y razones que se requieren para entenderlos y solucnarlos. Aunque los problemas electromag-
néticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y
sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que
tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia.
Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la
abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en
m largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cui-
dadoso.
Dedico este libro a m alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los
diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su astencia editorial. Gracias
sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revión de los problemas y sus amables sugerencias.
Asimmo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi
familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera
escrito.
]OSEPHA.EDMINISTER
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Contenido
ANALISIS VECTORIAL 1Capitulo 1
1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Stemas de coordenadas
menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales
formacnes
1.4 Volú-
1.6 Trans-
FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ...
2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.3 Dtribucnes de carga
2.4 Configuracnes
estándarde carga
13Capitulo 2
FLUJO ELECTRICO yLEY DE GAUSS . 27Capitulo 3
3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo
3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico
sianas especiales
3.3 Ley de Gauss
3.5 Superficies gau-
DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA .
4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.3 Divergencia de D
4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia
39Capitulo 4
ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA. 50Capitulo 5
5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos
puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una dtribución de carga
5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos
CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES .
6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec-
ción
J6.4 Densidad de la corriente de conducciónJ6.5 Conductividad(J .6.6 Co-
rriente
16.7 Restencia 6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad
de la corriente 6.10 Condicnes límites en
conductor-dieléctrico
65
Capitulo 6
CAPACITANCIA Y MATERIALES DIELECTRICOS 81Capitulo 7
7.1 Polarización P y permitividad relativae,7.2 D Y E de voltaje constante 7.3 D Y
E de carga constante 7.4 Condicnes límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
CONTENIDO
cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varsdieléctricos7.7 Energía almace-
nada en un condensador.
Capitulo 8 96ECUACION DE LAPLACE .
8.1 Introducción 8.2 Ecuacnes de Poson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la
ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor med y del
valor máximo 8.6 Solucnes cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto
cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico
Capítulo 9 113LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO
9.1 Introducción 9.2 Ley de Bt-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacnal 9.5
Densidad de corriente
Jy V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial
vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes
Capítulo 10 128FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS .
10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combi-
nados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia
10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar
Capítulo 11 140INDUCTANCIA Y CIRCUITOS MAGNETICOS .
11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formasestándar
11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curvaB-H
11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacs de aire 11.9
Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos
Capitulo 12 160CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO Y FEM INDUCIDA .
12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entreleyID12.3 Ley de Faraday
12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Con-
ductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo
Capitulo 13ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES . 172
13.1 Introducción
laminar en el límite
13.2 Relacnes límites para campos magnéticos 13.3 Corriente
13.4 Resumen de las condicnes límites 13.? Ecuacnesde Maxwell
Capitulo 14 181ONDAS ELECTROMAGNETICAS .
14.1 Introducción 14.2 Ecuacnes de onda 14.3 Solucnes en coordenadas cartesia-
nas 14.4 Solucnes para meds parcialmente conductores 14.5 Solucnes para
dieléc-
trico perfectos 14.6 Solucnes para buenos conductores 14.7 Profundidad de
penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacnarias 14.10 Potencia yvector
de Poynting
APENDICE 197
INDICE 199
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
Capítulo1
Análisis vectorial
1.1NOT ACION VECTORIAL
Para dtinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tie-
nen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o
magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector
unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:
A ,A
a
A=IAIo
donde
IAI=A= ~ (ver sección 1.2).
Mediante los vectores unidad a ,;
ayy a , a lo largo de los ejes y de un stema de coordenadas
cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de
A=A"a"+ +
1.2 ALGEBRA VECTORIAL
l. Los vectores pueden sumarse y restarse:
A B =
a"+ + + + )
+ +
2. Las leyes asociativa, dtributiva y conmutativa se aplican
A + (B + C) = (A + B) +
e
A+B=B+A
3. El de dos vectores es, por definición,
A-B= cos 8 (léase "A punto B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación de componentes se puede demostrar que
A - B= + +
A-A=
" y z
En particular,
4. El de dos vectores es, por defi-
nición,
A x B= sen
8}a" (léase" A cruz B")
donde 8 es el ángulo menor entre A y B Yanes un vector unidad
normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de '
un punto común. Exten dos vectores normales a este plano,
así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El
vector normal que se seleccna es aquél que avanza en la
mma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es
Fig. 1-1
-
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
2 ANALISlS VECTORIAL [CAP. 1
rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requito de dirección.la ley conmutativa no se cumple para el pro-
ducto vectorial. En camb, se cumple que
AxB=-BxA
Desarrollando el producto vectorial en forma de componentes, tenemos
A x B=(Axax+ + Aza.)x(Bxax+ + B.a.)
=B, - +( - A~.+( - Bx}az
lo que se expresa convenientemente como un determinante:
a
xaya.
AxB=
s, s,
1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS
U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarseyresolverse en el stema familiar
de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innece-
sariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los stemas de coordenadas carte-
sianas, se usarán los stemas de coordenadas esféricasycircular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas
conjuntamente para ilustrar las similitudesylas diferencias.
z
z
rP(r,q¡,z)
I
Iz
k---+-----y
8J,P(r,8,4»
/ I
/I
/ I
.x-'--;,---•...y
I
4>'J
~ P(x,y,z)
I
i
z
I •
I /
I . /
1// X
_._-_._--
(a)Cartesianas (b)Cilíndricas (e)Esféricas
Fig.I-2
Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z),en circular cilíndrico
(r, cp, z)yen esférico(r,O,),tal como se muestra en la figura 1-2. El orden de especificación de las coordena-
das es importanteydebe seguirse cuidadosamente. El ángulo
ifJes el mmo en los stemas esféricoy
cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas,
ifJaparece en segundo lugar en el cilíndricotr, cP, z)yen tercer
lugar en esférico,
(r,O,cP).El mmo símbolo,r,se usa en los stemas cilíndricoyesférico para significar dos
z
z=const.
I----+-
z z
, =const.
8
=const.
/----+-
I----y
=const,
4>=consto
4>=const.
(a)Cartesiano (b)Cilíndrico (e)Esférico
Fig. 1-3
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
-
CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la dtancia desde el eje hasta el punto en
un plano normal al eje mientras que en el stema esférico, mide la dtancia del origen al punto. El con-
texto delproblema debe aclarar a cuál se hace referencia.
La intersección de 3 superficies ortogonales determina tamb n un punto, tal como se muestra en la
figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = cons-
tante. En coordenadas cilíndricas,z= constante, es el mmo plano infinito que en las coordenadas carte-
sianas, = constante es med plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto
circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto.En coordenadas
esféricas.ó= constante es el mmo med plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es
una esfera con centro en el origen y
Oes un cilindro circular recto cuyo eje es el ejezy cuyo vértice está en el
origen. Obsérvese que
Oestá limitado al rango O::;On.
zz z
-
3<1>
}-----+-y
}-----+-y
(b)Cilíndrico (e)Esférico(a)Cartesiano
Fig. 1-4
La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el puntoP.En el stema cartesiano los vectores unidad.
tienen direccnes fijas, independiente de la localización deP.Esto no sucede en los otros dos stemas
(excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección
de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los stemas son de mano derecha:
Las formas de componentes de un vector en los tres stemas son:
A= + + Azaz
A
=Arar+A",a",+Azaz
A
=Arar+oo+A",a",
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente constantes sino a menudo
funcnes de las coordenadas en el stema particular.
1.4VOLUMEN, SUPERFICIE Y ELEMENTOS DIFERENCIALES DE LINEA
Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en(x+
)ó , , ó
(r+dr,
O+de,+ se forma un volumen diferencial .En cantidades infinitesimales de primer orden el
volumen diferencial es, en los tres stemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de
den cada stema
aparece en la figura 1-5.
En la figura 1-5 pueden tamb n verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen
diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es
=
dO senO =
2
senO dO
3
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
4
z
~------------~ y
(a)Cartesiano
ANALISIS VECTORIAL [CAP. 1
.
= do =,2 sen O dñ
(b)Cilíndrico ( e)Esférico
Fig.1-5
El elemento diferencial de línea,di.es la diagonal a través deP,por lo que
dt
2=
2
+ +
2
dt
2
=
2
+r
2
+
2
dt
2
=
2
+r
2
+r
2
sen
2
()
1.5 CAMPOS VECTORIALES
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente loscoeficien-
tes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de
punto a punto, a través de la región de interés.
Considere por ejemplo, el vector
E=-xa
x+yay
Dando diferentes valores a y a se ob-
tiene E en varios puntos. Después que
varios puntos han sido examinados, el
patrón resulta evidente. La figura 1-6
muestra este campo.
Además, un campo vectorial puede
variar con el tiempo. De esta manera al
campo bidimensional examinado puede
agregársele una variación temporal me-
diante la expresión
E=(-xa
x+yay)senwt
ó
Los campos magnéticos y eléctricos de los
capítulos posteriores variarán todos con
el tiempo. Como es de esperarse, serán
diferenciados o integrados respecto del
tiempo. Sin embargo, ambas operaciones
tendrán un curso natural y muy raramen-
te causarán gran dificultad.
----------~==~------+_------~~-----------
Fig.l-6
\
AEP
AEP

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CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL 5
1.6 TRANSFORMACIONES
El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema
de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del
sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problemaya una expresión
final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un
campo vectorial, de un sistema a otro.
EJEMPLO 1: Considérese
A
=51"11p+2senq,a,+2oos8a.
en coordenadas esféricas. Las variables
,8.q,pueden expresarse en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a
la figura 1-2
yaplicando la trigonometría básica. De esta manera
cos
(J=-;::::;==;===;::
.+l-+Z2
y
tanq,=-
Ara las componentes esféricas del campo vectorial A pueden expresarse en términos de, yasí:
Los vectores unidad
a,.a ,ya-</>pueden expresarse también en un sistema de coordenadas cartesianas recurriendo a la
figura 1-4
yaplicando trigonometríabásica.En fecto,
Combinando éstas con las componentes transformadas resulta
Problemas resueltos
1.1.Demuestre que el vector dirigido de
M(x).y).z))
aN(X2. Y2' z2)en la figura 1-7 está dado por
-x¡)a"+( 2 - + -z1)a:
Lascoordenadas deMyNse utilizan para expre-
sar los dos vectores de posición A
yB de la figura 1-7_
A=xla.x+Ylay+zla.
B
=X2a.x+Y2ay+Z2a.
~------
Entonces
Fig.I-7
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
6
ANALlSIS VECTORIAL
[CAP. 1
1.2. Determine el vector A dirigido de (2,- 4,
1)a(0,-2, O) en coordenadas cartesianasydetermine el
vector unidad a lo largo de A.
A
=(O - 2)a"+ (-2 - ( - 4))ay+(O- 1)a. = -2a"+2a, - a.
IAI2
=(_2)2+(2)2+(_1)2 =9
A 221
a
A=1AT= -3
a
"+3
a
, -3
a
•
1.3. Determine la distancia entre (5, 3
1t/2,O) Y
(5,1t/2,10)en coordenadas cilíndricas.
Primero,obténgaselos vectores de posición
A
yB (ver figura 1-8).
z
(S,1t/2,tO)
A=-5a
y B=5ay+lOa.
\ Entonces B - A =lOa,+10a.y la distancia buscada
entre los puntos es.
lB-Al=
Las coordenadas cilíndricas de los puntos no
pueden utilizarse para obtener un vector entre los
puntos con el mismo método que se siguió en el pro-
blema 1.1 en coordenadas cartesianas.
<p=1t/2
Fig. 1-8
1.4. Muestre que B = + +
Exprese el producto escalar en forma de componentes:
B=(A"a"+ + + b,«,+.)
= a,,) •+(A"a,,)' ay)+ a,,) .
+ay) . a,,)+ay) • ay}+ay) • a.)
+a.) • a,,)+a.) . ay)+a.) . a.)
Sin embargo,al<' a" = ay=a•• a.=1 puesto que cos 8enel producto escalar es iguala la unidad cuando el
ángulo es cero. Cuando 8
=90°, cos 8 es cero. En consecuencia, todos los otros productos escalares de los
vectores unidad son iguales a cero. Así pues:
A • B= + +
1.5. Dados A=
2a"+4ay -3a",yB=a" - hallar B Y A x B.
A' B
=(2)(1)+(4)( -1)+(-3)(0) =-2
l
a" a, a.I
A x B=2 4 - 3= -3a" - 3ay - 6a.
, 1 -1 O
1.6. Demuestre que A=4a" - 2a)' - a.yB=a"+4a)' - 4a",son perpendiculares.
Como el producto escalar contiene cos 8, un producto escalar igual a cero, proveniente de dos vectores
cualesquiera diferentes de cero, implica que
(J=900.
A . B=(4)(1)+(-2)(4)+(-1)( -4) =O
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
1.7. Dados A
=2a"+4ayy B =6ay - 4az,encuentre el menor ángulo entre ellos usando (a)el
producto vectorial,(b)el producto escalar.
(a) A x B =~a,oI=-16a"+8ay+12a.
O 6 -4
IAI=(2)2+(4)2+(0)2 = 4.47
IBI= +(6)2+(_4)2 = 7.21
lAxBI=J(-16)2+(8)2+(12)2 = 21.54
(b)
Entonces, comolAxBI=IAIIBIsen 8,
21.54
sene
= ( )( )= 0.668
4.47 7.21
A' B= (2)(0)+(4)(6)+(0)( -4) = 24
=~= 24 =0745
cose
IAIIBI(4.47)(7.21) Ó
ó
1.8. Dado F
= -l)a"+ ,hallar el vector en (2,2,1)Y su proyección sobre B, donde
B
=5a" - ay+2a •.
F(2,2, 1)
=(2 - l)a"+(2)(2)ay
= a"+4ay
Como se indica en la figura 1-9, la proyección de un vector sobre un
segundo vector se obtiene expresando el vector unidad en la dirección del
segundo vector y utilizando el producto escalar.
\
A B
Proy.AsobreB= A' B=W
Entences, en (2, 2, 1),
B(1)(5)+ (4)(-1)+(0)(2) 1
Proy. F sobre B=lBT= =
Proy. A sobre B
Fig.1-9
1.9. Dados A=a"+ay,B=a"+2a
z
,y
e=2ay+ a,;halle(Ax B) x ey cornpárelo con
Ax(BxC).
l
a"
(A x B) xC= ~
aya"
- 2 - 1
= -2ay+4a.
2 1
Entonces
Un cálculo similar da A x (B x C) = 2a" - 2ay+3a•. Como se ve, los paréntesis que indican que el
producto vectorial debe efectuarse primero, son esenciales en el triple producto vectorial.
En el problema 1.9, B x
e= -4a" - ay+2a.. Entonces
1.10. Utilizando los vectores A, B Y
edel problema1.9,halle A • B x ey cornpárelo con A x C.
B x
e= (1)(-4)+(1)(-1)+(0)(2) = -5
7
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
8 ANALISIS VECTORIAL
. l.
También en el problema 1.9, A x B
=2a
x
-2ay-a, . Entonces
A x
e=(2)(0)+(-2)(2)+(-1)(1) =-5
Los paréntesis no son necesarios en el triple producto escalar ya que sólo tienen significado cuando el pro-
ducto vectorial ha de efectuarse primero. En general, puede demostrarse que:
Siempre y cuando los vectores aparezcan en el mismo orden cíclico, el resultado es el mismo. Los productos
escalares triples que se aparten de este orden cíclico sufren un cambio de signo.
I.lI.Exprese el vector unidad que apunta desde z=hen el
eje z hacia(r,
if>,O) en coordinadas cilíndricas. Ver
figura 1-10.
h
El vector R es la diferencia de dos vectores:
R=ra, -
R ra, -haz
a
R= - =---..,==~-=-
IRI
2
+h
2
El ángulo
<jJno aparece explícitamente en estas expresiones.
De todas maneras, tanto R como a varían con
<jJpor inter-
medio de a..
Fig. 1-10
1.12.Exprese el vector unidad dirigido hacia el origen desde
un punto arbitrario del planoz
= -5, tal como se
muestra en la figura 1-11.
Como el problema está planteado en coordenadas carte-
sianas, se puede aplicar la fórmula del problema1.1referente
a dos puntos.
x
R= -xax-yay+5az
-xax-yay+5az
a
R
=--;~=~~:::---=
Fig. 1-11
1.13.Use el sistema de coordenadas esféricas para hallar el área de la franja ~:=;;; () :=;;;sobre la concha
esférica de radio
a(figura 1-12). ¿Cuál es el resultado cuando ~=O Y=1t?
El elemento diferencial de superficie es [véase figura l-5(c)]
dS=r
2
sen8d8d<jJ
Entonces
P
A=J Ja
2
sen8d8d<jJ
o •
=
2
(cos -cosP)
Cuandoe=9yP=1t,A= 47t0
2
, área de toda la esfera.
Fig.I-12
1.14.Desarrolle la ecuación para el volumen de una esfera de radio a partir del diferencial de volumen.
En la figura l-5(c),
do=r
2
_sen 8dr dO d<jJ.Entonces
h " • 4
v=JfJ r
2
sen8drd8d<jJ=-3
3
o o o
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
CAP. 1] ANALISIS VECTORIAL
1.15. Utilice el sistema de coordenadas cilíndricas para hallar el área
de la superficie curva de un cilindro recto circular donder=2 m,
h
=5 m,y30
0
~ ljJ ~120
0(véase figura 1-13).
El elemento diferencial de superficie es
dS=d4J dz. Entonces
S 2Kf3
A=f f 2d4Jdz
o~f6
=571:m
2
1.16. Transforme
,/
de coordenadas cartesianas a cilíndricas,
Recurriendo a la figura1-2(b),
x=rcos4J = sen4J = +
En consecuencia,
En seguida, se obtienen las proyecciones de los vectores unitarios cartesiano s sobre a" a~ y a
z:
a" . a~ = -sen4J
ay . a~ = cos 4J
a.' a4>=
O
a,,' a.=O
ay'a.=O
a% • a
z
=1
a" . a
r
=cos 4J
a, .a,= sen4J
a
z
'a,=O
Así pues a" = cos 4J a, -sen4Ja4>
ay
=sen4Ja,+cos 4Ja4>
ll:=a
z
y
Sm
Fig. 1-13
1.17. Un vector de magnitud 10 apunta en coordenadas cilíndricas de (5,
51t/4,O) hacia el origen (figu-
ra 1-14), Exprese el vector en coordenadas cartesianas.
En coordenadas cilíndricas, el vector puede ser expresado como
lOa" donde 4J
=71:/4.En consecuencia
71:
10
= lOcos-=-.-
" 4
fi
71:10
= lOsen-=-
y 4fi
.=O
así que
Obsérvese que el valor de la coordenada radial, 5, es innecesario.
Problemassuplementarios
1.18.Dados A = 4ay+lOa. y B = 2a"+3ay, encuentre la proyección de A sobre B.
Fig. 1-14
esp.12/,ji3
1.19.Dados A
=(lO/fi)(a"+a.) y B =3(ay+a.), exprese la proyección de B sobre A como un vector en la
dirección de A, sp.
1.50(a"+a.)
-
9
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
10 [CAP. 1ANALlSIS VECTORIAL
1.20.Halle el ángulo entre A=lOay+2a. y8= -4ay+ 0.5 a.usando tanto el producto escalar como el producto
vectorial. sp. 161.5°
1.21.Halle el ángulo entre A=5.8ay+1.55a. y8= -6.93 ay+4.0 a.usando tanto el producto escalar como el
producto vectorial. sp. 135°
1.22.Dado el plano4x+ +2z =12,halle el vector unidad normal a la superficie dirigido hacia afuera del origen.
- . (4a"+3ay+ 2a.)/j2§
1.23.Demuestre que los campos vectoriales AyB son siempre perpendiculares si + + =O.
1.24.Halle la relación que deben satisfacer las componentes cartesianas de AyB si los campos vectoriales son siempre
paralelos.
esp.
1.25.Exprese el vector unidad dirigido hacia el or igen desde un punto arbitrario sobre la línea descrita por=O,
=3.
esp.
-3a - za
a
= %
J9+7
1.26.Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto(XI'YI'ZI)desde un punto arbitrario en el plano=-5.
esp.
1.27.Exprese el vector unidad dirigido hacia el punto(O, Oh)desde un punto arbitrario en el plano= -2. Ex-
plique el resultado cuando
hse aproxima a - 2.
esp.
a=
y
1.28.Dados A=5a"y8= 4a"+Byayhalle un tal que el ángulo entre A yB sea45°.Si B tiene también un tér-
mino
.a.,¿qué relación debe existir entrey
esp. =,
1.29.Demuestre que el valor absoluto de A' 8 xees el volumen del paralelepípedo con aristas A.ByC.(Suge-
enc Primero demuestre que
18xCIes el área de la base.)
1.30.Dados A=2a" - a.,8 =3a"+ay, y e=-2a"+6ay - 4a.,demuestre que C es perpendicular a B ya A.
1.31.DadosA=a" - ay,8 =2a%yC= -a"+3ay,halle A' 8 x C. Examine otras variantes del triple producto
escalar. esp. -4
1.32.Con los vectores del problema 1.31, halle (A xB)x C.
esp.-8a.
/
1.33.Encuentre el vector unidad dirigido desde(2, -5, -2)hacia(14, -5, 3).
sp.
12 5
a=-a +-a
13
x13z
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
-
[CAP. 1 ANALISIS VECTORIAL
1.34.Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos
('1'l' ZI)Y2 2 ) Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas.
1.35.Verifique que la distanciadentre los dos puntos del problema 1.34 está dada por:
1.36.Halle el vector dirigido desde (10, 3tt4, n ]6) hacia (5,n]4,n),donde los puntos están dados en coordenadas
esféricas. sp. - 9.66
a, -3.54 ay+10.61 a,
1.37.Halle la distancia entre (2,ni«,O) y(1,n,2). Los puntos están dados en coordenadas cilíndricas.
3.53
1.38.Halle la distancia entre (1,n/4,O) y(1,3n/4,n ). Los puntos están dados en coordenadas esféricas.
2.0
1.39.Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región O:<:;; :<:;; sobre la concha esférica de
radio ¿Cuál es el resultado cuandoI
= esp. 21
2
, =
2
1.40.Utilice coordenadas cilíndricas para hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radioy
radioh. sp. 2
1.41.
z
Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el
volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.
sp.
2
h
1.42.Utilice coordenadas esféricas para escribir las áreas
diferenciales de superficie
Iy
2yluego integre para
obtener las áreas de las superficies marcadas con 1
y2 en la
figura 1-15. sp. n/4, n/6
1.43.Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de
una concha hemisférica de radio interno 2.00 m
yradio
externo 2.02 m. .0.162 m
3
Fig. 1-15
1.44.
Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen
definido por 1
:<:;; :<:;;2 m, 0:<:;;O:<:;;n/2,y 0:<:;; :<:;;n/2. esp. 7 Irti
-m
6
1.45.Transforme el vector A=a,+ + a, a coordenadas cilíndricas.
A
=cosc+AysencJ»a,+ (-AxsencJ>+cos cJ»a4>+a,
1.46.Transforme el vector A=a,+a o+a4>a coordenadas cartesianas.
.
/
11
-
AEP
AEP

AEPAEPAEPAEP
AEPAEPAEPAEP
12 ANALISIS VECTORIAL CAP. 1]
1.47. Transforme el vector F = r-Ia, que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.
F= xax+ y+za.
2+ + Z2
1.48. En coordenadas cilíndricas r= constante define un cilindro circular rectoyF =Fa,describe una fuerza que es
normal en cualquier parte a la superficie. Exprese la superficie
yla fuerza en coordenadas cartesianas.
xax+
.
2+= const., F = y
+
1.49. Transforme el campo vectorial F = 2 cos8a,+sen 8a(¡ a coordenadas cartesianas.
3xzax+ +
2
-
2
-
.F= --"--"--:-''---'::---:;----''--'--''
2+ + Z2
1.50.Dibuje el campo vectorial F = ya,+. .Véase figura 1-16.
y
5'1r/8
'lr/8
3'1r/8
1E'------.lr-----Ir-----1>--'Ir12
Fig. 1-16
--40:::---f---+-:---r---- ~='lr/2
?'lr/8
I ~=plano constanteI
~ =3'1r/8
Z=plano constante
O ~ ~ ~'lr/2
~=O
Fig. 1-17 Fig. 1-18
1.51. Dibuje el campo de coordenadas cilíndricas F = 2r cos
q,a,+ral/>' .Véase figura 1-17.
1.52.Dibuje el campo vectorial del problema 1.49, usando coordenadas esféricas..Véase figura 1-18.
AEP
AEP

.----------------------------~------~~------------------------
Capítulo2
Fuerzas de Coulomb
e intensidad del campo eléctrico
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.1LEY DE COULOMB
Existe una fuerza entre dos cargas, directamente proporcional a las magnitudes de las cargas e inversa-
mente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta es lamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAle y d e C o u lo m b ,desarrollada
mediante pequeños cuerpos cargados y una delicada balanza de torsión. En forma vectorial, se establece así:
A lo largo de este libro serán utilizadas las unidades SI racionalizadas. La fuerza está dada en newtons (N), la
distancia en metros (m)\y la unidad (derivada) de carga es elcoulomb (C). El sistema se racionaliza con el
factor4 1 t,introducido en esta ley para que no aparezca más tarde en las ecuaciones de Maxwell.eesla p e r m i-
tivid a ddel medio, en unidades
C2/N . m2o, lo que es lo mismo, en faradios por metro (F / m). En el espacio
libre o vacío,
10-
9
e=(o=8.854ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAX10-
1 2
F/m ~3 6 1 tF/m
En un medio diferente al espacio libre,e
=iO ir 'dondeires lap e r m itivid a d r e la tivaoc o n sta n te d ie lé c tr ic a .
En todos los problemas y ejemplos se debe suponer un espacio libreyadoptarse el valor aproximado dado de
(o', a menos que se establezca lo contrario.
Los subíndices ayudarán a identificar la fuerza y a expresarsu dirección. De esta manera,
describe una fuerza ejercida sobre
Q ( ,donde el vectora 2 (está dirigido deQ 2aQ ( .
EJEMPLO 1: Hallar la fuerza ejercida sobre la cargaQ .,20 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ 1 , C ,debida a la cargaQ 2 ,_300 J 1 , C ,sabiendo queQ .se
sitúa en (O, 1, 2) my
Q2en (2, O, O) m.
Como ICes una unidad más bien grande, las cargas se expresan m ás a menudo en microcoulombs
( ¡ l C ) ,nanocou-
lombs (nC) o picocoulombs (pC). (Véase apéndice para los pre fijos del sistema SI.) Refiriéndonos a la figura 2-1,
R
21=-2a"+ay+2a.
1
a21=3 "(-2a"+ay+2a,)
z
Entonces
F,=(20 x10-
6
)(-300 x10-
6
)
(-2a"+ay+2a,)
47t(10 .9j367t)(3)2 3
=6e
a
" -i -2a,)N
Q 2
(2, O, O)
x
La magnitud de la fuerza es 6 N Y la dirección es tal queQ .es atraída
haciaQ 2 .
Fig.2-1
13
y

14 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CA~PO ELECTRICO [CAP. 2
En la región que rodea una carga puntual aislada, existe unmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc a m p o d e fu e r zade simetría esférica. Este se
pone en evidencia cuando la carga
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQse halla fija en el origen, como en la figura 2-2, y una segundacarga, QT '
se desplaza por los alrededores de la región. En cada punto actúa una fuerza a lo largo de la línea que une las
dos cargas, dirigida hacia fuera del origen, si las cargas son del mismo signo. Esto puede expresarse en coorde-
I
nadas esféricas así:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F
=Q Q T8
T 4 n E
o r 2 ,
•
Q
x
Fig.2-2 Fig.2-3
Debe observarse que, a menos queQT ~ Q ,el campo simétrico alrededor deQestá perturbado porQT .
En el punto1de la figura 2-3 la fuerza aparece como el vector suma
r.=F Q T+F Q
Esto no debe sorprender, ya que siQtiene un campo de fuerza, lo mismo sucede conQ T'Cuando las dos
cargas están en la misma región el campo resultante será, necesariamente, la suma vectorial punto por punto
de los dos campos. Este es elp r in c ip io d e su p e r p o sic ió npara fuerzas de Coulomb y se extiende a un número
cualquiera de cargas.
82.2 INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
Supóngase que, en el caso anterior, la carga de prueba
QTes suficientemente pequeña como para no
perturbar significativamente el campo de la carga puntual fijaQ .Entonces lain te n sid a d d e c a m p o e lé c tr ic o ,
E, debida a
Qse define como la fuerza por unidad de carga sobreQT :
1 Q
E=-Q FT= - 4 28,
T n E o r
Esta expresión de E está dada en coordenadas esféricas que tienen su origen en la posición de Q[figura2 - 4 ( 0 ) ] .
Puede ser transformada a otros sistemas coordenados con el método dado en la sección 1.6. En un sistema
arbitrario de coordenadas cartesianas,
donde el vector separación R se define en la figura2 - 4 ( b ) .
Las unidades de E son newtons por coulomb (N / C) o, en forma equivalente, voltios por metro (V / m).

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
z
/--I------I~mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAY
x
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( a )
Esférico
Fig.2-4
2.3 DISTRIBUCIONES DE CARGA
E
( b )Cartesiano
Carga volumétrica
Cuando una carga está distribuida a través de un volumen dado, cada elemento de carga contribuye al
campo eléctrico en un punto externo. Se requiere entonces unproceso sumatorio o de integración para
obtener el campo eléctrico total. Aun cuando se sabe que la carga eléctrica más pequeña es un electrón o un
protón, es muy útil considerar distribuciones continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una
d e n s id a d d e c a r g apor
Obsérvense las unidades entre paréntesis. Se pretende establecer que
pestá dado en C/ m
3siempre que las
variables estén expresadas en las unidades SI apropiadas (Cpara
Qy m
3para v ) .Esta convención será
utilizada a lo largo de todo el libro.
En relación al volumen v de la figura 2-5, cada carga diferencial
d Qproduce un campo eléctrico diferencial
d Q
dE
=4R2aR
1tE:o
en.el punto de observaciónP .Si se supone que la única carga de la
región está contenida dentro del volumen, el campo eléctrico total enP
se obtiene por integración sobre el volumen:
f
p a R
E=4 R 2d v
v1tE:o
Carga laminar (superficial)
La carga puede estar también distribuida sobre una superficie o
una lámina. Entonces cada carga diferencial
d Qque esté sobre la
lámina produce un campo eléctrico diferencial
en el puntoP(véase figura 2-6). Si lad e n s id a d s u p e r fic ia l d e c a r g aes
ps(C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la región,
entonces el campo eléctrico total enPes
E = f p , aR 2 d S
s 41tE:oR .
Fig.2-5
P /dE
•
s
Fig.2-6
Carga lineal
Si la carga está distribuida sobre una línea, cada elemento diferencial de carga a lo largo de la línea
produce un campo eléctrico diferencial
15

IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 6
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP(véase figura 2- 7). Y si lad e n sid a d lin e a l d e c a r g aes
P t(Cj m)yno existe ninguna otra carga en la región,
entonces el campo eléctrico total enPes z-,
dE .'R
p ~
~
L
E=fP ta
R
2
d I
L47tEoR
Debe hacerse hincapié en que en las tres distribuciones de
carga anteriormente citadasyen sus correspondientes
integrales para E, el vector unidad a
Res variable y
depende de las coordenadas del elemento de carga
d Q .
Así pues,8
Rno puede ser sacado del integrando.
Fig.2-7
2.4 CONFIGURACIONES ESTANDAR DE CARGA
Las integraciones de los tres casos especiales discutidos en la sección 2.3 son innecesarias o de fácil
cálculo. Respecto de estas configuraciones estándar
(yde otras que serán analizadas en este capítulo) debe
anotarse que la carga no está "sobre un conductor". Cuando unproblema establece que la carga está
distribuida en la forma de disco, por ejemplo, ello no significa que hay un conductor en forma de disco con
carga sobre su superficie. (En el capítulo 6, se examinan conductores con carga superficial). Aunque se
requiera un esfuerzo de la imaginación se debe mirar estas cargas como algo suspendido en el espacio en una
configuración especial.
Carga puntual
Como se determinó en la sección 2.3, el campo de
una sola carga puntual
Qestá dado por
+00
Q
E=
---2a,
47tEor
y
(coordenadas esféricas)
Véase figura2 - 4 ( 0 ) . .Este es un campo de simetría esférica
que cumple unale y d e l in ve r so d e l c u a d r a d o(como la
gravitación).
Carga de línea infinita
Si la carga está distribuida con densidadu n ifo r m e
P t(C Im) a lo largo de una línea rectain fin itaque
escogeremos como eje
z,entonces el campo está dado por
x
E
= ~ a (coordenadas cilíndricas)
27tE
o
r '
Véase figura 2-8. Este campo tiene simetría cilíndrica y
es inversamente proporcional a lap r im e r a p o te n c iade la
distancia desde la línea de carga. Para una derivación de
E, véase el problema 2-9.
-00
Fig.2-8
Cargas de plano infinito
Si la carga está distribuida con densidadu n ifo r m e
P . (C Im-) sobre un planoin fin ito ,entonces el campo está
dado por
E=~a
2 E o "
Véase figura 2-9. Este campo es de magnitud constantey
tiene simetría especular con relación al plano de carga.
Para una derivación de E, véase el problema 2.12.
Fig.2-9

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
I7
Problemas resueltos
2.1.
Dos cargas puntuales.Q¡
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 0 / - l eymlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ 2=10/ - l e ,
están localizadas en ( -1, 1, - 3) my(3, 1, O) m res-
pectivamente (figura 2-10). Halle la fuerza so-
breQ I'
z
R2l=-4a" - 3az
-4a" - 3a
z
a2l= 5
Q lQ 2
F1= 2 a 2 1
4 n E o R 2 1
=(50X10-
6
)(10-
5
)
(-4a" - 3az)
4n(1O9 j3 6 n ) ( 5 ) 2 5
=(0.18)( -0.8a" - 0.6az)N
Q ¡( - 1 , 1 , - 3 )
Fig.2-10
La fuerza tiene una magnitud de 0.18 N Yla dirección dada por el vector unitario - 0.8 a" - 0.6a
z
•En forma de
componentes
F¡=-O.l44a" - 0.108a
z
N
2.2. Respecto de la figura 2-11, halle la fuerza sobre una carga de 100/-le en (O, O, 3) m si cuatro cargas
iguales de 20
/ - l eestán localizadas en los ejesxyyen±4 m.
Considere la fuerza debida a la carga eny
=4
z
(10-
4
)(20x10-
6
)
(-4a,+3az)
4n(10
9 j3 6 n ) ( 5 ) 2 5
La componenteyse anula por la carga eny = -4. En
forma similar, las componentes
xdebidas a las otras dos
cargas se anulan. Por consiguiente,
x
Fig.2-11
2.3. Respecto de la figura 2-12, la carga puntual Ql =300/ - l e ,situada en [I, - 1, - 3) experimenta una
fuerza
F
1=Sa, - 8ay+4 8 %N
debida a la carga puntual
Q 2en(3, -3, -2)m.
Determine
Q 2
R2 1=-2a"+2a, - a z
Observe que, como
z
la fuerza dada está a lo largo de R
21(véase proble-
ma 1.24), como debe ser.
Fig.2-12
Resolviendo.Q 2= -40¡,te .
/

1 8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.4. Halle la fuerza sobre una carga puntual de
50'J,lCen (O, O,5)m debida a una carga de 50011:ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ ,l eque
está distribuida uniformemente sobre un disco circular r$; 5 m,
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ=O m (véase figura 2-13).
La densidad de carga es
_ 5 ? _ 5 0 0 n x10-
6
-02 0-4C12
P s - - ()2 -. xli m
A n5
(0, O, 5)
z
En coordenadas cilíndricas,
R
=-ra,+Sa,
Entonces, cada carga diferencial se resuelve en una fuerza
diferencial
d F=_ ( 5 - : 0 _ x~ 1 O - : -- r -6 - - , ) ( p : - : - s - c ; - r _ d r _ d _ < j J . . , . )(-ra,+5a.)
4n(1O
9 /3 6 n ) ( r
2
+25)
J r 2+25 ,
x
Fig.2-13
Antes de integrar, obsérvese que la componente radial se anulayque a,es constante. En consecuencia,
F
=f2 n f5(50x10-
6
)(0.2x1 O -
4
) 5 r d r d < j J
o o 4n(1O9 /3 6 n ) ( r
2 +25fl2 a.
,5 r d r [ -1 Js
=9 0 nJ(2 2 )312a:=9 0 nP+2sa:=16.56.%N
or+5 r
2+25
o
2.5. Repita el problema 2.4 para un disco de radio igual a 2 m.
Reducir el radio tiene dos efectos: la densidad de carga se aumenta por un factor
P 2=(5)2=625
p ¡(2)2 .
mientras la integral sobrerse convierte en
2 r d r
fo ( r2+25)312 =0.0143
en lugar de
s r d r f(2 2 )312=0.0586
o r+5
La fuerza resultante es
(
0.0143 )
F=(6,25) 0.0586 (16.56a: N)=25.27.: N
2.6. Halle la expresión del campo eléctrico en Pdebido a una carga puntual
Qen( X I 'Y I , Z I)'Repita el
ejercicio con la carga colocada en el origen.
Como se muestra en la figura 2-14,
z
Entonces
P ( x , y , z )
Q
E=---a
4 n ( 0 R
2
R
Q(x -x ¡ ) a
x+
( y - y ¡ ) a
y+(z - z¡)a
z
4 n ( 0t(x -X ¡ ) 2+( y - y ¡ ) 2+(z -Z ¡ ) 2 ] 3 1 2
..)-----~y
Cuando la carga está en el origen,
E=.J?..-x a
x+ y a
y+za:
4 n ( 0( X 2+y 2+Z2 )3
1
2
pero esta expresión no muestra la simetría del campo. En coor denadas esféricas conQen el origen,
x
Fig.2-14
yahora la simetría es evidente.
Q
E=∙ --.
4 n ( 0 r
2
,

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 9
2.7. Halle E en el origen debido a una carga puntual de 64.4nC localizada en(-4,3, 2) m, en coordena-
das cartesianas.
La intensidad del campo eléctrico debido a una cargamlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQsituada en el origen es en coordenadas esféricas:
En este problema la distancia es
y'Í9m y el vector de la carga al origen, donde E debe ser evaluado, es R =4 8
x
-
3 8ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
-28e '
64.4X10-
9
(4 8x -3ay - 2az) (2 )(4a x -3 8 y-2az)
E= = 00 - V/m
4 1 t( 1 0 9 /3 6 1 t) ( 2 9 )fo . yl29
2.8. Halle E en (O, 0,5) m debido a Q ,=0.35)J .Cen (O, 4, O) m y Q 2= -0 .5 5 )J .Cen (3, O, O) m (ver figu-
ra 2-15).
y
R
1
=-4 8
y+58z
R
2
=-3 8x+58z
0.35X10-
6
(-4 8y+saz)
El
=41t(1O9 /3 6 1 t) ( 4 1 )J4t
=-48.0ay+6O.0a. V/m
-0.55
x10-
6
(-3 8x+58z)
E
2
=41t(1O9 /3 6 1 t) ( 3 4 )fo
=7 4 .9 8
x
-124.98. V/m
E=El+E2=74.9ax-
4 8 .0 8yr :64.98zV/m
y
x
Fig.2-15
2.9. Una carga se distribuye uniformemente a lo largo de una l ínea recta infinita, con densidadp ¡ .
Desarrolle la expresión para E en un punto general
P .
Se usarán coordenadas cilíndricas, siendo la línea de cargael
ejez(ver figura 2-16). En
P ,
z
too
•
d E= ~ ( r 8r- Z 8i)
41ttoR2 ~
Como para cada
d QenZhay otra cargad Q e n -z,las componen-
tes
zse cancelan. Entonces
P tr [ z ] 00 P t
- 8 - a
- 41tto r2~
-00r -21ttorr +-00
Fig.2-16
2.10. Sobre la línea descrita porx=2 m, y= -4 m se distribuye uniformemente una carga de densidad
P t=20nC/m. Determine el campo eléctrico E en (-2, -1,4)m.
Con algunas modificaciones debidas a las coordenadas cartesianas la expresión que se obtuvo en el
problema 2.9 puede ser usada en esta carga lineal uniforme. Como la línea es paralela a z" el campo no tiene
componentez.Respecto de la figura 2-17,
20
X10-
9
(-4ax+3 8 y)
yE=21t(0(5) 5 = - 5 7 .6 8x+43.2ay V/m

20zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2.11.
2.12.
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
F U E R Z A S D E C O U L O M B E IN T E N S ID A D D E L C A M P O E L E C T R IC O [C A P. 2
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
(0,4,z)
/~
x
y
p'/E
p /ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( 0 ,- 4 , . z )
Fig.2-17 Fig.2-18
Como se muestra en la figura 2-18, dos cargas lineales uniformes de densidad P t=4n C Im caen en el
plano
x=O eny=±4 m. Hallar E en (4, O, 10) m.
Las líneas de carga son ambas paralelas a
8z;sus campos son radiales yparalelos al planoxy.Para
cualquier carga lineal la magnitud del campo en
Pes
P t 18
E=--=-V/m
2 1 U or.J2
El campo debido a ambas cargas lineales es, por superposición,
Desarrolle una expresión para E debido a cargas uniformemente distribuidas sobre un plano infinito
con densidad
P s '
Se usará el sistema de coordenadas cilíndricas, con
la carga en el plano z
=Ocomo se muestra en la figu-
ra 2-19.
z
d E\
P ( O ,
1/1,z)
y
La simetría respecto del ejezproduce la cancelación de
las componentes radiales.
P .
z [-1 ]co P .
- a -
8
- 2 < 0Jr2+ Z 2o % - 2 < 0 %
x
Fig.2-19
Este resultado se aplica a los puntos que están situados por encima del plano xy.Para puntos situados por
debajo del plano
xyel vector unidad cambia a - a, . La forma generalizada puede expresarse empleando a, ' o
vector unidad normal:
P.
E =-a.
2 (0
El campo eléctrico es en todo punto normal al plano de cargaysu magnitud es independiente de la distancia al
plano.

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
2.13. Como se muestra en la figura 2-20, en el planomlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=3 m se distribuye uniformemente una carga de
densidadP .
=(1O-s/61t)C/m2. Determine E en todos los puntos.
Para
y>3 m,
E
P .
=-a,.
2(0
»A,'ltIIIJ¡{ii~¡::::3,z )
lE
ypara y< 3m,
E
=-30a, V/m z
Fig.2-20
2.14. Dos cargas laminares uniformes e infinitas, cada
una con densidadZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP . ,se localizan en
x= =±1
(figura 2-21). Determine E en todas las regiones.
p . p .
x
O
E2 E2 E2
---
~
~
----
El El El
1 2
Fig.2-21
En la figura 2-21 sólo se muestra parte de las dos
láminas de carga. Ambas láminas producen campos
E
que se dirigen a lo largo dex,independiente de la
distancia. Entonces
x
<-1
-1<x<l
x>l
2.15. Repita el problema 2.14 con
P .sobrex=-1 y-P .enx=1.
x
<-1
-1<x<l
x>1
2.16. Una carga laminar uniforme con P .
=(1/31t)n C jm
2está localizada en z= 5 m y una carga lineal uni-.
forme conP t
=(-25/9)nCjm enz= -3m,y =3 m. Encuentre E en(x,--1, O) m.
Las dos configuraciones de carga son paralelas al
eje
x.En consecuencia, la figura 2-22 se trazó mirando
hacia plano
x ydesdexpositivo. Debido a la carga
laminar,
E
P •
•=-a,.
2(0
z
E.=-6a.V/m
5
Es
EnP ,a,.=-a.y
~::-+~4-----+- y
Debidoala carga lineal,
Fig.2-22
yenP
El campo eléctrico total es la suma
El
=8a, - 6a. V/m
E
=El+E. =8a, - 12a. V1 m .
2 1

22 FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.17.Determinar E en (2, O, 2) m debido a las tres distribuciones
están dar de carga siguientes: una carga laminar uniforme enZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x=
Om conP . l=(1I3 n ) n C IZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm -,una carga laminar uniforme
enx= 4 m con
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .2= (-11 3 n ) n C Im? y una carga lineal uni-
forme en
x= 6 m,y=0 m con P t= -2n C / m .
Como las 3 configuraciones de carga son paralelas a
8 I 'no
existen componentes
zdel campo. El punto (2,O,2) tendrá el mismo
campo (2,
O,z ) .En la figura 2-23,Pestá localizado entre las dos
láminas de carga, donde los campos se suman debido a la diferencia de
signo.
=218" V/m
2.18.Como se muestra en la figura 2- 24, a lo largo del ejezse dis-
tribuye una carga entrez=±5 m con una densidad uniforme
P t= 20 nC[ t n .Determine Een (2,O, O)m en coordenadas car-
tesianas. También exprese la respuesta en coordenadas cilín-
dricas.
d E 20x10-
9 d z(28" -Z 8z) ( )
=41[(10 9/361[)(4+Z 2 ))4+Z 2 V/m
La simetría con respecto al plano
z=Oelimina cualquier
componente
zen el resultado.
5 2 d z
E=180f ( 2)3/28"=1678" V/m
- s4+z
En coordenadas cilíndricasE=1678, V/m.
2.19. Alo largo del ejezse distribuye una carga desdez=5 m hasta
00y desdez= -5mhasta -00(ver figura 2-25) con la misma
densidad que en el problema 2.18, 20
nCj m. HalleEen(2,O, O)
m.
20X10-
9
d z (28" -Z 8z)
d E - (V/m)
- 41[(10 9/361[)(4+
z2 )J4+?
N uevamente se elimina la componente
z.
=138" V/m
En coordenadas cilíndricas, E
=138, V/m.
Cuando las configuraciones de carga de los problemas 2.18y2.19
se superponen, el resultado es una carga lineal uniforme.
E
= ~ 8,=1808, V/m
2 1 [ ( 0r
x = 4
x
P ,¡ P .2
~~~-
E E
OP ( 2 ,0,z )¿ "-
, P t'
x = o
Fig. 2-23
r
s
x
d Q=P
t
d z
(2, O, O)it----y
Z
-s
Fig. 2-24
-s
+-00
Fig. 2-25

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 23
2.20. Halle, en coordenadas cilíndricas, la intensidad de campo eléctrico E en (O, ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA< / >,1)debido al disco
uniformemente cargadoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr : : : ; ; a ,
Z=0 (ver figura 2-26).
Si la densidad de carga constante es
P . ,
z
dE \
( O , r p , h )
La componente radial se cancela. Por consiguiente,mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p .h2" G r d rd o
E=4 1 tlo fo fo ( r 2+h 2 ) 3 /2a.
. p .h(-1 1)
=21'0Ja
2+ h
2+ha.
Nótese que cuandoa-+00,E-+( P J 2 lo }a .,el campo
debido a una carga laminar uniforme.
y
a
x
Fig. 2-26
2.21. Hay una carga sobre el disco circular
r s ; a ,Z=O de densidadP .=P osen-< / > •Determine E en
(O,< / > 'h ) .
dE=p o ( s e n
2
tjJ ) r d r d tjJ ( - r ar+ha.)
4 1 tlo ( r 2+h
2
) J r2 +h2
La distribución de carga, aunque no uniforme, tiene una simetría tal que todas las componentes radiales se
cancelan.
2.22. Hay una carga sobre el disco circular r : : : ; ;4 m,
Z=O de densidad P . =(1O-
4
/r) (C/m2).
Determine E en
r=O,Z=3 m.
dE _(l0 -4 /
r
) r d r d tjJ ( - r a
r+3a.) (V/m)
- 4 1 tlo ( r 2+9)P+9
Como en los problemas 2.20y2.21 la componente radial desaparece por simetría.
2" 4 d r d tjJ
E=(2.7X10
6
)
ff(2 )31
2 a.=1.51 x 10
6
a. V/m o 1.51a. MV/m
o o r +9
2.23. Hay una carga en el plano z=
-3m en forma de una hoja cuadrada definida por - 2:::;; x :::;;2 m,
- 2 :::;;
Y ~ 2m con densidad de carga P .=2 (x
2
+y2+9 ) 3/2nc ¡m2•Halle E en el origen.
De la figura 2-27
R
=-xax- ya
y+3a. (m)
d Q=p .d xd y=2 ( x
2+y2+9)3/2 X10-
9
d xd y(C)
z
yasí
2 ( x
2+y2+9)3/2x1 O -
9
d xd y
dE=--'---..:..----:-+-----;;,----::-;---'-
4 1 tlo ( X2+y2+9)
x ( - xax-
ya
y+3a.) (V/m)
J X2+y2+9
dE
(~2,-2, -3)\.k-----y
(-2,2, -3)
x
Debido a la simetría, solamente existe la componente z de E.
(2 , -2 ,-3 )
f
2 f2
6x1 O -
9
d xd y'
E= a,=864a. V/m
-2 - 2 4 1 tlo
Fig. 2-27

24zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.24. Una carga de densidad uniforme
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP s=0.2 n Cj cm? cubre el plano2 x-3 y+ z=6 m. Halle E en el
lado del plano que contiene el origen.
Ya que la configuración de la carga es laminar uniforme,
E=p J 2 é oZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyE = (17,O)a
nV[ m .Los vectores
unidad normales a un plano
Ax+B y+Cz = Dson
Aax+B e ;+
Caz
a
=+ z
n -ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAjA2+B
2+ C2
Por lo tanto, los vectores unidad normales a este plano son
(O, O, 6)
- + - - - - + - y
De la figura 2-28 se desprende que el vector unidad sobre el lado del
plano que contiene el origen se produce por el signo negativo. El campo
eléctrico en el origen es
E=(17.0)(-2a
x+~ y - a,)V/m
v'14
x
Fig. 2-28
Problemas suplementarios
2.25. Dos cargas puntuales, Q ¡=250 ¡,tC
yQ 2 = -300 } J . C ,están localizadas en (5, O,O) my(O,O, -5) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobreQ 2 'R e s p .
F2= (13.5)( axfia, )N
2.26. Dos cargas puntuales, Q ¡= 30 ¡,tC yQ 2 =-100 ¡,tC, están localizadas en (2, O,5) my(-1, O,- 2) m, respecti-
vamente. Halle la fuerza sobreQ ¡ .R e s p .
F1= (0.465)( -3J is7.%) N
2.27. En el problema 2.26, halle la fuerza sobreQ 2 'R e s p . - F¡
2.28. Cuatro cargas puntuales, cada una de 20I l C ,están situadas en el ejex yen el ejeya±4 m. Halle la fuerza sobre
una carga puntual de 100
jJ.Csituada en (O, O, 3) m.R e s p .1.73 a ,N
2.29. Diez cargas idénticas, de 500 }J.Ccada una, están espaciadas igualmente alrededor de un círculo de radio 2 m
Encuentre la fuerza sobre una carga de - 20 ¡,tC localizada enel eje, a 2 m del plano del círculo.
R e s p .(79.5)(- a
n
)N
2.30. Determine la fuerza sobre una carga puntual de 50 ¡,tC situada en (O,O,5) debida
¡tuna carga puntual de 5007r
I l Cen el origen. Compare la respuesta con los problemas 2.4y2.5, donde esta misma carga total es distribuida
sobre un disco circular.R e s p .28.3 a, N
2.31. Encuentre la fuerza sobre una carga puntual de 30 ¡,tC situada en (O,O,5) m debida a un cuadrado de 4 m en el
plano z = O entre
x=±2 m yy=±2 m con una carga total de 500 } J . C ,distribuida uniformemente.
R e s p .4.66 a, N
2.32. Demuestre que la fuerza sobre una carga puntual localizada en un punto cualquiera de un anillo circular de
densidad de carga uniforme es cero, siempreycuando la carga puntual permanezca en el plano del anillo.
2.33. Dos cargas puntuales Idénticas deQ(C) cada una, están separadas por una distancia
d(m). Exprese el campo
eléctrico E para puntos a lo largo de la línea que une las dos cargas.
R e s p .Si las cargas están enx=0yx=d .entonces, para O
<x<d ,
º[1 1]
E=4 1 U ox2 - ( d _X) 2a,
(V/m)

CAP. 2] FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO 25
2.34. Cargas idénticas demlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ(C) están localizadas en las ocho esquinas de un cubo de lado 1(m). Demuestre que la
fuerza de Coulomb sobre cada carga tiene una magnitud (3.29
Q 2 /4ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 r E ot
2
)
N .
2.35. Demuestre que el campo eléctrico E fuera de una concha e sférica de densidad de carga uniforme P .es el mismo
que E debido a la carga total sobre la concha localizada en el centro.
2.36. Desarrolle la expresión en coordenadas cartesianas p ara E debido a una configuración de carga recta infinita-
mente larga con densidad uniforme p ~ . R e s p .E
= ~ xa",+ya y
2nio
x2+y2
2.37. Una distribución de carga uniforme, infinita en exten sión, se encuentra a lo largo del eje zconZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP ~=20 nC/m.
Halle el campo eléctrico E en (6,8,3) m, expresándolo tanto en sistema de coordenadas cartesianas como cilín-
dricas.R e s p .21.6a",+28.8a
y
V/m, 36a, V/m
2.38. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de
P t=4nC/m,sonparalelasalejezenx = O ,y=±4m. Deter-
mine el campo eléctrico E en (±4, O, z)m.'R e s p .± 18 a
x
V/m
2.39. Dos cargas lineales idénticas y uniformes, de
P ~= 5nCr m, son paralelas al ejex,una enz=O ,y= -2mYla
otra enz= O,Y
=4 m. Halle E en (4, 1,3) m. R e s p .30a
z
V/m
2.40. Determinar E en el origen debido a una carga lineal dist ribuida uniformemente, con
p (=3.30 n C/ m, locali-
zada enx
=3 m,y.=4 m. R e s p .-7.13a", - 9.50a
y
V/m
2.41. Refiriéndose al problema 2-40, ¿en qué otros puntos se rá igual el valor de E? R e s p .(O, O,z)
2.42.
Ados metros del ejez,se sabe que elEdebido a una carga lineal uniforme a lo largo del eje zes 1.80x104V/m.
Encuentre la densidad de carga uniforme P ~ . R e s p .2.0J l.C /m
2.43. El plano-
x+ 3 y-6 z=6 m contiene una distribución uniforme de carga P .=0.53 nC/m 2•Encuentre E enel
lado que contiene el origen. R e s p .30(a", - 3a
y+6a
z
)
V/m
J46
2.44. Dos láminas infinitas de densidad de carga uniforme
P .=(l0-9/6n) C/m
2
están localizadas enz= -5yy=
- 5 m. Determine la densidad de la carga lineal uniforme p ~ ,necesaria para producir el mismo valor de E en
(4,2,2) m, si la carga lineal esta localizada enz= O,Y
=O. R e s p .0.667 nC/m
2.45. Teniendo en cuenta las dos distribuciones de carga uni forme siguientes: una carga laminar uniforme, de densi-
dadP .
= -50nCjm?eny = 2 m y una carga lineal uniforme de p (= 0.2J l.C /menz =2m,y=-1 m. ¿En
qué puntos de la región será E igual a cero? R e s p .(x, - 2.273,2.0) m
2.46. Una carga laminar uniforme de P .
=(-1/3 n )nCjrn- estálocalizada enz=5myunacargalinealuniforme
de
P t= (- 25/9) nc ¡m está localizada enz= -3 m, y=3 m. Encuentre el campo eléctrico E en (O, - 1,0) m.
R e s p .8 ayV/m
2.47. Una carga lineal uniforme de
P t=( fix 10-
8
/6)C l tt:se encuentra a lo largo del eje xy una carga laminar
uniforme está localizada eny
=5 m. A lo largo de la líneay =3 m,z =3 m el campo eléctrico E tiene solo una
componente z.¿Cuál seráP .de la carga laminar? R e s p .125 p Cj
rn?
2.48. Una carga lineal uniforme de P t=3.30 n Cj m está localizadaenx=3m ,y= 4 m. Una carga puntual Qestá a
2 m del origen. Halle la cargaQy su localización, de tal manera que el campo eléctrico sea cero en el origen.
R e s p .5.28 n C en ( - 1.2, - 1.6,0) m.
2.49. U n anillo de carga circular con radio 2 m yace en el plano
z=O, con centro en el origen. Si la densidad de carga
uniforme es
P t=IOn C/ m, halle la carga puntualQ .en el origen, que produciría el mismo campo eléctrico E
en (O, O, 5) m.R e s p .100.5 nC
2.50. El disco circular
r ~2 m en el planoz=O tiene una densidad de carga P . =108/r(C / m-). Determine el
campo eléctrico E para el punto (O,
< p 'h ) . R e s p .1.13 x 10
3
a, (V/m)
h ..j4+h2

26zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO [CAP. 2
2.51. Examine el resultado del problema 2.50 cuando
mlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAhes mucho mayor que 2 m y compárelo con el campo enhque
resulta cuando la carga total del disco está concentrada en el origen.
2.52. Una carga laminar finita de densidadP s=2
x(x
2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+
y2+4)3 1 2ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( e lm"), yace en el planoz=O para OS xS
2 m y O
S Y S2 m. Determine E en (O, O, 2) m.
R e s p .
(1Sx 10
9
)( -
13
6
a" - 4ay+saz) V/m
=1S( - 1:a" - 4ay+saz) GV/m
2.53. Determine el campo eléctrico E en (S, O,O)m debido a unacarga de 10 ne distribuida uniformemente a lo largo
del eje
xentrex= -5 m yx=5 m. Repita el ejercicio para la misma carga total, distribuida entre x= -I m y
x
=Im.R e s p .2.31 a, V [ ti» ,1.43axV[ tt:
2.54. El disco circular
rSI m, z=O tiene una densidad de cargaP s =2 ( r
2+2 5 ) 3 / 2 e -10.( e lrnt).Encuentre E en
(O, O, 5) m.R e s p .5.66axGV
1 m
2.55. Demuestre que el campo eléctrico es cero en cualquier punto situado dentro de una concha esférica uniforme-
mente cargada.
2.56. Hay una carga distribuida con densidad constante
pa través de un volumen esférico de radioa .Usando los
resultados de los problemas 2.35 y 2.55, muestre que
l
~a
3/00 •
E= 3
a p
--a
31'0,2r
,sa
,¿a
donde, es la distancia desde el centro de la esfera.

Capítulo 3
Flujo eléctrico y ley de GausszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
3.1CARGA NETA EN UNA REGION
A partir de la densidad de carga, tal como se definió en la sección 2.3, es posible obtener, por integración,
la carga neta que está contenida en un volumen específico. Como
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d Q
LKJIHGFEDCBA=p d v( C )
. entonces
Q=
XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAfp d v(C)
v
Por supuesto,pno necesita ser constante en todo el volumen v.
3.2 FLUJO ELECTRICO
yDENSIDAD DE FLUJO
Por definición, elflu jo e lé c tr ic o .'P, se origina en cargas positivas y termina en cargas negativas. En
ausencia de cargas negativas, el flujo 'P termina en el infinito. También por definición, un coulomb de
carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo eléctrico. En consecuencia
En la figura 3-1( a )las líneas de flujo aban-
donan+Qy terminan en -
Q .Esto supo-
ne que las d os cargas son de igual magnitud.
El caso en que hay una carga positiva y
ninguna carga negativa en la región apare-
ce ilustrado en la figura 3-1( b )Aquí las
líneas de flujo están igualmente espaciadas
a través del ángulo sólido y se alejan hacia
el infinito.
Mientras que el flujo eléctrico 'P es una cantidad escalar, lad e n s id a d d e flu jo e lé c tr ic o .D, es un campo
vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo. Si en la vecindad del puntoPlas líneas de flujo tienen la
dirección del vectorunidad a (ver figura 3-2) y si una cantidad de flujo
d'P cruza el área diferenciald S ,que es
normal a a, entonces la densidad de flujo eléctrico enPes
'P=Q ( C )
~
+ Q . . . . . . . . - Q
~
( a )
27
( b )
Fig. 3-1
D

28zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJOELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS [CAP. 3
U na distribución volumétrica de carga de densidad
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( Cjm ') aparece rodeada por la superficie S en la
figura 3-3. Ya que cada coulomb de cargaQ ,tiene por definición, un coulomb de flujo q/, se deduce que el
flujo neto que cruza la superficie cerrada S es una medida exacta de la carga neta encerrada. Sin embargo, la
densidad D puede variar en magnitud y dirección en cada puntode S. En general D no estará a lo largo de la
normal a S. Si, en el elemento de superficie
d S,D hace un ángulo ()con la normal, entonces el flujo diferencial
que cruza
d Sestá dado por
d 'l'=Dd Scos ()
=D∙d s« ,
= D ∙d S
donde
d Ses el elemento vectorial de superficie, de magnitudd Sy dirección8n•El vector unidada,se toma
siempre apuntando hacia afuera de S, de tal manera que
d 'l'sea la cantidad de flujo que pasa desde el inte-
rior hasta el exterior de S a través de
d S.
3.3 LEY DE GAUSS
La integración de la expresión anterior para
d'1' sobre la superficie cerrada S da, puesto que q¡=Q ,
fD'd S=e.,
Esta es la ley de Gauss, que establece quee l flu jo to ta l q u e s a le d e u n a s u p e r fic ie c e r r a d a e s ig u a l a la
c a r g a n e ta c o n te n id a d e n tr o d e la s u p e r fic ie .Se verá que una gran cantidad de información valiosa puede ser
obtenida mediante la aplicación de la Ley de Gauss sin llevara cabo necesariamente la integración.
3.4 RELACION ENTRE LA DENSIDAD DE FLUJO
Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTRICO
z
Q=fD .d S= Dfd S=D ( 4 n r
2
)
de donde D=Q /4 n r
2
•Así pues
Q Q
D=--2a=4 ' " r2 a,
4 n rn , .
Considérese una carga puntualQ(positiva, para simplificar)
localizada en el origen (figura 3-4). Si está encerrada por una super-
ficie esférica de radior ,entonces, por simetría, D debida a
Qes de
magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal
a
ella. La ley de Gauss dice entonces que
Fig. 3-4
Pero, como se estableció en la sección 2-2, la intensidad delcampo eléctrico debido a Qes
Se concluye que D=
{ oE.
Más en general, para cualquier campo eléctrico en un medio isotrópico de permitividad e ,
D
={E
Así pues, los campos D y E tendrán exactamente la misma forma,ya que difieren solamente por un
factor que es una constante del medio. Mientras el campo eléctrico E debido a una configuración de carga es
una función de la permitividadE,la densidad de flujo eléctrico no lo es. En problemas que involucran múlti-
ples dieléctricos se encontrará una ventaja particular al obtener D primero y luego convertir a E dentro de
cada dieléctrico.
3.5 SUPERFICIES GAUSIANAS ESPECIALES
La superficie esférica utilizada en la derivación de la sección 3.4 es una superficie gausiana especial por-
que satisface las siguientes condiciones definitorias:

CAP.3] FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS 29
l. La superficie es cerrada.
2. En cada punto de la superficie D es o normal o tangencial a la superficie.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
3 .Dtiene el mismo valor en todos los puntos de la superficie dond e
Des normal.
EJEMPLO 1: Utilice una superficie gausiana especial para hallar D debida a una carga lineal uniform e, con XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp (( c ¡m ).
Tóm ese la línea de carga com o eje
zde las coordenadas cilíndricas (figura 3-5). Por sim etría cilíndrica, D solo puede
tener una com ponenter ,y esta com ponente depender puede solo de r. Así pues, la superficie gausiana especial para este
problem a es un cilindro circular recto cerrado cuyo eje es
z(figura 3-6). Aplicando la ley de Gauss,
Q=fD∙ dS+fD'dS+ fD∙ dS
1 2 3
D Yd Sson ortogonales respecto de las superficies 1y3 Yde esta m anera las integrales se anulan. Respecto de2, D Yd S
son paralelas (o antiparalelas, si
p (es negativa) yDes constante puesto que r es constante. Así pues
D = - ~
2 1 t r
and D=~a
2 1 t rr
Q=Dfd S=D ( 2 1 tr L )
• 2
donde
Les la longitud del cilindro. Pero la carga encerrada es Q =p (L .Por lo tanto,
Obsérvese la sim plicidad de la derivación anterior si se compara con el problem a 2.9.
00
D
D
D
-00
-00
Fig. 3-5 Fig. 3-6
La única limitación seria del método de superficies gausianas especiales es que solo puede ser utilizado
para configuraciones altamente simétricas. Sin embargo, p ara otras configuraciones, el método puede pro-
veer buenas aproximaciones al campo en lugares muy cercanos o muy lejanos de las cargas. Véase el proble-
ma 3.40.
)
-/

FLU JOELECTRICO yLEY D E G A U SS [CA P. 330
Problemas resueltos
3.1. Halle la carga en el volumen definido porO ~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ~l m, O ~Y ~l mLKJIHGFEDCBAyO ~ z ~ l m, siXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp =3 0 x2y
(p.C ]m '). ¿Qué cambio ocurre para los límites - I ~ Y ~O m?
Com od Q
=p d v, z
p ( x,y,z)
1 1 1
Q=J J f 3 0 x2 yd xd yd z
o o o
=5 J . 1 . C
Para el cam bio en los lím ites dey.
Io 1
Q=Jf J 3 0 x2 yd xd yd z
o- 1o
=- 5 J . 1 . C
x
Fig. 3-7
3.2. Halle la carga en el volumen definido por I ~ r ~2 m en coordenadas esféricas si
Por integración,
3.3. Tres cargas puntuales,Q ¡=30 nC,Q 2=150 nCy Q 3=-70 nC, están encerradas por una super-
ficie S.
¿Qué flujo neto cruza por S?
Com o el flujo eléctrico tiene, por definición, el origen en una carga positiva
ysu térm ino en una carga nega-
tiva, parte del flujo de las cargas positivas term ina en la carga negativa.
'I'neto= Qneto = 30+
J50 - 70 = J10 nC
3.4. ¿Qué flujo neto cruza la superficie cerrada S que se mues tra en la figura 3-8, que contiene una distri-
bución de carga en la forma de disco plano de radio 4 m, con una d ensidad
p ,=(sen?< p )/2 r
( C j m
2
) ?
2 n4 (sen2cjJ)
'1' = Q =
J f . _ - rd r d c j J=2 1 1 :C
o o 2r
s
Fig. 3-8 Fig. 3-9
3.5. Dos cargas de la misma magnitud pero de signos opuestos e stán encerrados por una superficie S.
¿Puede un flujo '1' cruzar la superficie?
M ientras el flujo puede cruzar la superficie, com o se m uestra en la figura 3-9, el flujon e to fu e r a d eS será
cero si las cargas son de la m ism a m agnitud.

CAP.3] FLUJO ELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS
3.6. Un disco circular de radio4 m con densidad de carga jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .=12 sen
1 >p.XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC Im?está encerrado por una
superficie S. ¿Qué flujo neto cruza por S?
2x 4
'P=Q= f f(12senq,)rdrdq,=OJlC
o o
Com o el disco contiene cantidades iguales de cargas positivas y negativas [sen (q,+7t )= - sen q,] no
hay un flujo neto que cruce por S.
3.7. Carga en la forma de una hoja plana con
densidad
P s=40p.Cjm
2está localizada
en
z= -0.5 m. U na carga lineal unifor-
me deP t= -6 p . Cj myace a lo largo del
eje
y .¿Qué flujo neto cruza la superficie
de un cubo de
2m de arista, centrado en el
origen, tal como se muestra en la figura
3-10?
z
- - . . . . . •~ ~ y
La carga encerrada en el plano esQ= (4 m - )
( 4 0 J l C / m
2
) =160 ¡,¡C y la carga linealQ =
(2 m )(-6 J l C j m )= -12 ¡,¡C
Entonces,Qenc
='P=160 - 12=148J 1 C
x
Fig. 3-10
3.8. U na carga puntual Qestá en el origen
de un sistema de coordenadas esféricas.
Encontrar el flujo que cruza la porción
de una concha esférica descrita por
()(~ ()S(3(figura3-II). ¿Cuál es el re-
sultado si
a=O Y P=1 t j 2 ?
z
El flujo total 'P =Qcruza una concha
esférica com pleta de área 4n r " .El área de la
franja está dada por
2. P
A=
f fr
2
sen8d8dq,
o •
=2 n r 2 ( -cosfJ+cos IX )
- - - - - - - - - ~ ~ y
Entonces el flujo a través de la franja es
A Q J
'f. - - Q= - ( -cosf 3+cos IX )
n eto -4 1 t r
2 2
Para IX=O ,fJ n/2 (un hem isfe-
rio) el flujo vieneaser 'Pneto
=Q f 2 .
Fig. 3-11
3.9. U na carga lineal uniforme, con p (=50J i . C jm ,yace a lo largo del ejex .¿Qué flujo por unidad de
longitud,
'l'IL ,cruza la porción del plano z = -3 m limitado por y=±2m?
El flujo está uniform em ente distribuido alrededor de la línea de carga. Así pues, la cantidad que cruza la
franja se obtiene a partir del ángulo subtendido com parado c on 27t.En la figura 3-12.
IX=2arctan (~) = 1.I76-rad
Entonces
!.=50(1.176)=9.36J 1 C f m
L 2 n
3 1

32zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFLUJOELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS [CAP. 3
zjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
e
"
Fig. 3-12 Fig. 3-13
3.10. Generalice el problema 3.9 para el caso de una franja pl ana cuyos bordes son paralelos a una carga
lineal pero que no está localizada simétricamente respecto de la línea de carga.
La figura 3-13 m uestra una franja de este tipo en el num eral 2 yotra franja en el num eral 1, que está locali-
zada en form a sim étrica com o en el problem a 3.9. Del problem a3.9 el flujo a través de la franja 1 está determ i-
nado por el ángulo ( 1 . .Pero, debido a la ausencia de carga en la región
a b c d ,la ley de Gauss perm ite ver que el
flujo que entra aXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1debe ser igual al flujo que abandona 2. De esta m anera, el flujo a través de 2 tam bién está
determ inado por el ángulo subtendido
( 1 .•
3.11. U na carga puntual Q=30 ne ,está localizada en el origen
de las coordenadas cartesianas. Halle la densidad de flujo
eléctrico D en (1, 3, - 4) m.
Refiriéndose a la figura 3~ 14
Q .
D=4 n R2 a
R
=30x10-
9
(a"+3a, - 4a.)
4 n ( 2 6 )p
=(9.18X10-
1 1
) (a"+3a, -4a.\e /m2
p J
x
( 1 , 3 , - 4 )
\D
Fig. 3-14
o, m ás convenientem ente,D =91.8 pC/m 2.
3.12. Dos cargas lineales uniformes e idénticas yacen a lo la rgo de los ejes
xyycon densidades de carga
P t=20J . lc ¡m. Obtenga D en (3, 3, 3) m.
La distancia desde el punto de observación hasta cualquiera de las cargas lineales es 3
j2m . Considerán-
dose prim ero la carga lineal sobre el eje
x,
D
_ . . ! ! ! . . . - _20/ - l e / m(a,+a.)
1 - a
1
- - - -
2 W l' 2 n {3 J 2m ).J i
y ahora la carga lineal sobre el ejey,
La densidad total de flujo es la sum a vectorial
D= 20 (a"+
a,+2a,)=(1.30)(a"+ay+2a,) / - l C / m
2
2 n {3 J 2 ).J i J 2

FLUJOELECTRICO yLEY DE GAUSS 33CAP. 3]
3.13. Dado que D
LKJIHGFEDCBA=lüxa, (e/m
2
),determine el flujo que cruza un área de 1 ms quees normal alejexen jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
x=3 m.
Como D es constante en toda el área y es perpendicular a ella,
3.14. Determine el flujo que cruza un área de
1mm? sobre la superficie de una concha cilíndrica enr=1 0
m,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZ=2m, t P=53.2
0
si
D
=2 xa
x+2(1 -y)a ,+4zaz(e/m2)
z
En el puntoP(ver figura 3-15),
x= 1Ocos53.2° = 6
Y= 1Osen53.2° = 8
Entonces, enP ,
D = 12a" - 14a, + 8a
zC/m
2
El área de 1 rnm? = 10 -6m>,que es muy pequeña compa-
rada con las unidades en D, puede aproximarse así:
x
Por lo tanto,
Fig. 3-15
d ' l'= D'd S= (12a" - 14ay + 8az)'1O-
6
(0.6a" + 0.8ay) = -4.0¡ ,tC
El signo negativo indica que el flujo cruza esta superficie diferencial dirigiéndose hacia el ejezantes que
hacia afuera en la dirección ded S .
3.15. Dada una densidad de flujo eléctrico D =Zxa;+3a, (Cj
m-),determine el flujo neto que cruza la
superficie de un cubo de 2 m de arista centrado en el origen. (Las aristas del cubo son paralelas a los
ejes coordenados.)
'I'=fD'dS=
f(2a,,+3ay)'(dSa,,)+J (~2a,,+3ay)∙ (-dSa,,)
x=l x=-l
+f[Zxa, + 3ay) .( d Say) + f (2xa" + 3ay) .( - d Say)
, = 1 y = -I
+f(2xa" + 3a~).'( d Sa z)+f' (2xa" + 3a,) .( - d Sa.)
e=1 :=-1
J
= 2f d S+ 2 f d S+ 3 f d S -3 f d S+ O+O
,,=1 ,,=-1 y = 1 , = - 1
= (2 + 2 + 3 - 3)(2
2
}
= 16C
3.16. Una carga lineal uniforme de p (=3 p.e/m yace a lo largo del ejez.y un cilindro circular concén-
trico de radio 2 m tiene
P s= (-1.5/47t)u C ]m
2
•Ambas distribuciones son infinitas en el sentido
dez.Use la ley de Gauss para encontrar D en todas las regiones.
Utilizando la superficie gausiana especialAque aparece en la figura 3-16 y procediendo como en el ejem-
plo 1, sección 3.5,
D -P t
- 27tr a,
0<r<2

34
3.18.
FLUJOELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS
Utilizando la superficie gausiana especialXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB .
e.,
=fD∙jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd S
( P t+4 7 tp .) L=D ( 2 T tr L )
de lo que se desprende que
D_ P t+4 7 tP .
- 2 7 tr
Sr
r > 2
[CAP. 3
z
t
Fig. 3-16
z
t
oo
Jt-
~ d Z
T
y
X
t-00
Fig. 3-17
Una configuración de carga en coordenadas cilíndricas está dada por P=S r e :2 r(C/m
3
).Utilice
la ley de Gauss para hall~r D. ".
Com o
Pno es una función de ( j Joz .el flujo'1'es com pletam ente radial. Tam bién es cierto que, parar
constante, la densidad de flujoDdebe ser de m agnitud constante. Entonces la superficie gaus iana especial
apropiada es un cilindro circular recto cerrado. La integral sobre los planos extrem os se elim ina, y la ley de
Gauss es .\
3.19. Un volumen que, en coordenadas cilíndricas, está entr er
=2 m yr =4 m contiene una densidad
uniforme de carga
p(C/m
3
).Utilice la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones.
Para los datos num éricos,
0.477
-- Sr
( ¡ .tC ¡ m
2
)
r
D=0.239
-- Sr
( ¡ .tC /m 2 )
r
0<r<2m
r>2m
3.17.Utilice la ley de Gauss para demostrar que D y E son igua-
les a cero en todos los puntos del plano de un anillo circu-
lar uniformemente cargado, que están dentro del anillo.
Considere, en lugar de un anillo, la configuración de carga
que aparece en la figura 3-17, donde el cilindro uniform em ente
cargado es infinito en extensión y está form ado por m uchos ani-
llos. Para la superficie gausiana
l.
Q enc=O=Dfd S
En consecuenciaD=Opara r <R .Puesto que'1'tiene direc-
ción radial, se puede tom ar una tajada
d zdel cilindro de carga y el
resultado que se encontró arriba se puede aplicar tam bién a este
anillo. Para todos los puntos que están dentro del anillo y en el
plano del anillo, D y E son cero.
e.,
=f D∙d S
su p erficie
lateral'
L 2ft ,
f f f 5 r e -2rr d rd ( j J d z=D ( 2 n r L )
O O O
5 n L [ e -
2 r
(
_ r
2
-
r-1 )+1 ]=D ( 2 n r L )
Por consiguiente D=2.5 [1-e -2r(r
2+r+1)]Sr (C/m 2)
r

CAP.3] FLUJO ELECTRICOLKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS 35
De la figura 3-18, para O<jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr<2 m ,XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
p
( C / m
3
)
Q.nc=D ( 2 n r L )
D=O
Para 2 ~.r ~4 m ,
n p L ( r 2 -4)=D ( 2 n r L )
D=.t( r
2
-4)a, (C/m2)
2r
-----
-~---
/- --. . . . . . . • . .,
r: ---)
- - - - - - - " "
Parar>4 m ,
1 2 n p L=D ( 2 n r L )
D=6 pa, (C/m2)
r
t-00
Fig. 3-18
3.20. Un volumen descrito, en coordenadas esféricas, por, :::; acontiene una densidad uniforme de car-
gap .Utilice la ley de Gauss para determinar D y compare sus resultados con los del campo E corres-
pondiente, encontrados en el problema 2.56. ¿Qué carga puntual en el origen dará por resultado el
mismo campo D para,
>a ?
Para una superficie gausiana com o ~ que aparece en la figura 3 -19,
z
y
p r
D=-a
3 '
r:5:a
+ -----l~Y
Para puntos fuera de la distribución de carga,
x
r = a
p a
3
de donde D=
-2a,
3,
Fig. 3-19
r > a
Si una carga puntual Q =( 4 /3 }1 ta3pse coloca en el origen, el cam po D parar >aserá el m ism o. Esta
carga puntual es igual a la carga total contenida en el volum en.
3.21. Un condensador de placas paralelas tiene una superficie de carga en el lado interior de la placa supe-
rior con+p
s( C Im-). La superficie superior de la placa inferior contiene -p , ( C Im"). Desprecie el
efecto de bordes y utilice la ley de Gauss para hallar D y E en laregión si~üada entre las placas.
Todo el flujo que abandona la carga positiva de la placa
superior term ina en la carga negativa igual de la placa inferior.
La frased e s p r e c ie e l e fe c to d e b o r d e sasegura que todo el flujo
es norm al a las placas. Para la superficie gausiana especial
m ostrada en la figura3-20,
Q.nc=fD∙d S+f D . dS+ fD . dS
arriba abajo lado
+ P ,
= 0 +
f D ∙d S+ O
abajo
~ - P '
ó
p ,A= D fd S = D A
Fig.3-20

36 FLUJOELECTRICO yLEY DE GAUSS [CAP. 3
dondejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAAes el área. Por consiguiente,
y ELKJIHGFEDCBA=XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI ! !.a.(V/m )
(o
Am bos están dirigidos de la placa positiva
ala negativa.
Problemas suplementarios
3.22. Halle la carga neta encerrada en cubo de 2 m de arista, pa ralelo a los ejes y centrado en el origen, si la densidad de
carga es
R e s p .8 4 .9 }J .C
3.23. Halle la carga encerrada en el volum en I :s;r:s;3 m , O:s;< p:s;n ]3, O :s;z:s;2 m dada la densidad de carga
P= 2 zsen-'< p(C/m ). R e s p .4.91 C
3.24. Dada una densidad de carga en coordenadas esféricas,
halle las cantidades de carga en los volúm enes esféricos encerrados por,=
'0'r=5'0Yr=co.
R e s p .3.97P o r ~ ,6.24P o r ~ ,6.28P or~
3.25. U na superficie S contiene una distribución uniform e f inita de carga, O :s;t:s;n m , con densidad de carga
¿Qué flujo neto cruza la superficie S?
R e s p . - 2 p o(C)
3.26. Hay una carga distribuida en, una región esférica,
:s;2 m con densidad
¿Qué flujo neto cruza las superficies,=I m ,r=4 m , yr=500 m ?
R e s p .-8001t}J .C ,-l600n}J .C ,-l600n}J.C
3.27. Una carga puntual Qse encuentra en el origen de las coordenadas esféricas y una distribución de concha esférica
en
r=atiene una carga total deQ'- Quniform em ente distribuida. ¿Qué flujo cruza la superficie, =kpara
k<ayk>a ? R e s p .Q , Q '
3.28. Una carga lineal uniform e con p ,=3}J .C /m yace a lo largo del ejex.¿Qué flujo cruza una superficie esférica
centrada en el origen con,
=3 m ? R e s p .18}J.C
, .
3.29. Una carga puntual Qse encuentra en el origen. Halle una expresión para el flujo que cruza la porción de una
esfera, centrada en el origen, descrita por
IX:s;< p:s;p . R e s p .
{ J - I X
-Q
2n

CAP. 3) FLUJOELECTRICO LKJIHGFEDCBAyLEY DE GAUSS 37
3.30. U na carga puntual de jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ(C) está en el centro de un sistem a coordenado esférico. Halle el flujo 'fIque cruza un
área de 41t m
2sobre una concha esférica concéntrica de radio 3 m . R e s p .XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ1 9(C)
3.31. Un área de 40.2 m
2
sobre la superficie de una concha esférica de radio 4 m está cruzada por 10J .lede flujo en
dirección interna. ¿Qué carga puntual está localizada en el origen? R e s p . -50J .le
3.32. Una carga lineal uniform e con
P tyace a lo largo del ejex.¿Qué porcentaje de flujo de la línea cruza la franja del
planoy
=6 que contiene -1 ::;z : : ;I? R e s p .5 .2 6 %
3.33. Una carga puntual, Q
=3 rrC, está localizada en el origen de un sistem a de coordenadas cartesianas. ¿Qué flujo
'JIcruza la porción del plazoz =2 m para el que -4 ::;x : : ;4 m y -4 ::; Y : : ;4 m ? R e s p .0.5 nC
3.34. Una carga lineal uniform e con
p ,=5/ J C f myace a lo largo del ejex .Halle D en (3, 2, 1) m .
R e s p .(O.356)(2afi a.) J .le /m
2
3.35. U na carga puntual de +Qse encuentra en el origen de un sistem a de coordenadas esféricas, rodeado por una
distribución concéntrica uniform e de carga sobre una concha esférica en
r=apara la cual la carga total es- Q .
Halle el flujo'fIque cruza las superficies esféricas enr <ayr >a .Obtenga Den todas las regiones.
R e s p .
'fI=4 1 t,2D= 10+Q r<a
1 ,>a
3.36. Dado que D =5 0 0 e -
O
'
1xax( J .le lm-),halle el flujo'fIque cruza una superficie de área l rn? norm al al ejexy
localizado en
x=l m ,x=5m , yx=10 m . R e s p . 4 5 2 J .tC , 3 0 3 J .le ,184J .le
3.37. Dado que D
=5 x
2
a
x+l Oza ,( e lm
2
) ,
halle el flujo neto saliente que cruza la superficie de un cubo de 2 m de
arista centrado en el origen. Las aristas del cubo son paralelas a los ejes. R e s p .80 e
3.38. Dado que
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo saliente que cruza el cilindro circular recto descrito por,= 2 b ,z= O ,y
z=5 b( m ) . R e s p . 1 2 9 b
2 ( C )
3.39. Dado que
sencjJ
D
=2,coscjJa.; -3 ra.
en coordenadas cilíndricas, halle el flujo que cruza la porción del plano
z=0 definido por, ::;a ,O ::;c j J : : ;1 t/2 .
Repita el ejercicio para 31t
I2 ::;c j J : : ;2/t. Suponga que el flujo positivo tiene la dirección de a
z
'
a a
Resp.
3.40. En coordenadas cilíndricas, el disco, ::;
a , z=O contiene carga con densidad no uniform e p , ( r , c j J ) .Utilice
superficies gausianas especiales apropiadas para encontrar valores aproxim ados de
Dsobre el ejez , ( a )m uy
cerca al disco (O
<z ~ a ) , ( b )m uy lejos del disco( z ~ a ) .
R e s p .
( a ) p , ( O , c j J ) ;(b ).J Ldonde Q=rfG p , ( r , c j J ) r d r d c j J
2 4 n z
2 o o
3.41. Una carga puntual Q =2000 pC, está en el origen de coordenadas esféricas. Una dist ribución esférica
concéntrica de carga en
r=l m tiene una densidad de cargaps=401t pe1 m
2
•
¿Qué densidad superficial de carga
sobre una concha concéntrica en
r=2 m produciría D=O para, >2 m ? R e s p .-71.2p e lm ?
3.42. Dada una distribución de carga con densidad
P= 5,( e lrn ') en coordenadas esféricas, utilice la ley de Gauss
para hallar D. R e s p .(5r
2
/4}a, (e/m 2)
----------------~--~-------------- --""-~

3' 8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
FLUJOELECTRICO
yLEY DE GAUSS
[CAP. 3
3.43. Hay una densidad uniform e de carga de 2
e /m ' en el volum en 2:$jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx:$4 m (coordenadas cartesianas). Utilice
la ley de Gauss para hallar D en todas las regiones. R e s p .-2a"e/m
2,2 ( x -3)a"(e/m 2),2a"e/m 2
3.44. Utilice la ley de Gauss para hallar D y E en la región que está com prendida entre los conductores concéntricos de
un condensador cilíndrico. El cilindro interior es de radio
a .Desprecie el efecto de bordes.
R e s p .
p s .( a lr ) ,p s .( a /( o r )
3.45. Un conductor de espesor determ inado tiene una densida d superficial de carga XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp s :Suponiendo que 'P=O dentro
del conductor. dem uestre que D
=x: o ,apenas fuera del conductor, construyendo una superficie ga usiana
especial.

Capítulo4
DivergenciaFEDCBAyteorema de divergenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
4.1DIVERGENCIA
La forma en que un campo vectorial cambia de un punto a otro a través del espacio se caracteriza de dos
maneras. La primera de ellas es lajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd ive r g e n c ia ,que será examinada enseguida. Es un escalar y es similar a la
derivada de una función. La segunda es elr o ta c io n a l,vector que se examinará cuando se discutan los campos
magnéticos en el capítulo 9.
Cuando la divergencia de un campo vectorial es diferente de cero, se dice que la regiónc o n tie n e fu e n te s o
s u m id e r o s ;fuentes cuando la divergencia es positiva y sumideros cuando es negativa. En los campos
eléctricos estáticos hay una correspondencia entre la divergencia positiva, las fuentes y la carga eléctrica
positivaaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ .El flujo eléctrico 'P se origina por definición en una carga positiva. Así pues, una región que
contiene cargas positivas contienefu e n te sde 'P . La divergencia de la densidad de flujo eléctrico D será
positiva en esta región. U na correspondencia similar existe entre la divergencia negativa, los sumideros y la
carga eléctrica negativa.
La divergencia del campo vectorial A en el puntoPestá definida por
TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
d i A l ' ~ ' _ A - , - - ∙d _ S
I V = =l m -
. & v " ' O L \ v
La divergencia puede ser expresada para cualquier campo
vectorial en cualquier sistema de coordenadas. Para su desarrollo
en un sistema de coordenadas cartesianas, se selecciona un cubo
con aristasL \ x , L \ y ,yL \ zparalelas a los ejes x,yyz ,como se
muestra en la figura 4-1. Entonces, el campo vectorial A se define
enP ,esquina del cubo correspondiente a los valores menores de
x,yyz.
illz
p 1
A I 1 x
l1 y
En este caso, la integración se hace sobre un volumen infinitesimal L \ vque se comprime hasta el puntoP .
4.2 DIVERGENCIA EN COORDENADAS
CARTESIANAS
z
y
A=Axa x+Aya y+Azaz
Para expresar ~ A . dS para el cubo, deben cubrirse todas las 6 x
caras. Sobre cada cara la dirección de
d Ses saliente. Como las
caras son normales a los ejes, sólo una componente de A cruzará
Fig.4-1
dos caras paralelas cualesquiera.
En la figura 4- 2 el cubo ha sido girado de tal manera que la cara1tiene vista total. Las componentes
xde
A sobre las caras a la derecha y a la izquierda de1aparecen indicadas. Como las caras son pequeñas,
f A .
d S ,: ; : ;- A A x ) L \ y L \ z
c a r a
izquierda
dS
1
f A ' d S : : : : :A A x+L \ x ) L \ y L \ z
c a r a
derecha
I 1 x
Fig.4-2
39

40 DIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA [CAP. 4
de manera que el total para estas dos caras es
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
a A
x
; ¡ -AxAyAz
vX
El mismo procedimiento se aplica a los restantes pares de caras y se combinan los resultados.
TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f
Ad S
(
a Ax o Ay O A
z) A • • A A ~
. ~-+ -+ - ilAuyu",
oxaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa y a z
Dividiendo por AxAy Az =Avy haciendo Av - +0, se obtiene
(cartesiano)
El mismo método puede aplicarse para coordenadas cilíndric as (problema 4.1) Y esféricas.
di A _ 1
a ( A) 1a A< /> a Az
IV --- r+ ---+ -
r a r ' r a e /> a z
. 1 a(2) 1a ( ) 1a A< />
dIVA='2:lr A ,+ - - ( ) ~ ( )A g s e n ( )+ - - ( ) ~,.¡.,
ro r rsenu rsen vv '
(cilíndrico)
(esférico)
4.3 DIVERGENCIA DE D
De la ley de Gauss (sección 3.3),
§D∙d SQenc
=
Av
En el límite,
lím ~ D •
d Sd' D u Qenc
=IV=1m --=p
I ! . V " ' OAv
I!.v ..•OAv
Este importante resultado es una de las ecuaciones de Maxwel l para campos estáticos:
div E
=e
f
siees constante en toda la región que se está considerando (si nolo es, div iE =p ) .Así pues, ambos campos
E y D tendrán divergencia igual a cero en cualquier región lib re de carga .
.
divD=p y
EJEMPLO 1: En coordenadas esférifas, la regiónr :$ocontiene una densidad uniforme de cargaP .Parar >ola
densidad de carga escero. Del problema 2.56, E
=E ,8"dondeE ,=( p r f 3(o)parar s ;o yE ,=( p o3/3l o r2)para r>o .
Entonces parar :$o ,
. 1 a ( 2p r )1 ( 2p ) P
div E= ~a rr 3 io= ~3r 3(0= ~
y,parar >o ,
. 1 a(2 p a
3
)
d l v E = - - r - - = 0
r
2
0 r 3 io r
2
4.4 EL OPERADOR NABLA
El análisis vectorial tiene su propia notación que debe ser examinada con cuidado por el lector. En este
punto se define un operador vectorial, simbolizado V, en
c o o r d e n a d a s c a r te s ia n a scorno

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA TSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 1
En el cálculo se utiliza algunas veces el operador diferencial para representaraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd i d x .Los símbolos
ryf
son también operadores. Solos, sin ninguna indicación de sobre qué operan, parecen extraños. Por eso, V,
solo sugiere simplemente la secuencia de ciertas derivadas parciales seguidas por un vector unitario. Sin
embargo, cuando V se asocia en un .producto punto con el vecto r
A ,el resultado es la divergencia deA .
. _(i. i. ~) .( A A A ) _ o A " o A y o A z - di
V A -jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa xa"+a yay+O Zsr "a" + . ,al'+ •az- O X+o y+O Z - IV A
De aquí en adelante, escribiremos la divergencia de un campo vectorial como V . A.
[ Ate n c iá n lEl operador nabla sólo está definido para coordenadas carte sianas. Si V . A se utiliza para
expresar la divergencia de A en otros sistemas de coordenadas, ello no implica que un operador
nabla pueda ser definido para esos sistemas. Por ejemplo, la divergencia en coordenadas ci-
líndricas se escribe como
1o 1 0 A . p o A .
V 'A = - - ( r A) + - - + -
ro r r ro q ,i J z
(véase sección 4.2). Eston o im p lic a q u e
1i J 1i J ( ) i J ( )
V== - -(rlar+ - - -a+ - -a
ra r ri J q ,.p O Z %
en coordenadas cilíndricas. En efecto, la expresión daría unr e s u lta d o fa ls osi se utilizara en VV
(el gradiente, capítulo 5) o en V x A (el rotacional, capítulo9) ..
4.5 TEOREMA DE DIVERGENCIA
La ley de Gauss establece que la integral de una superficie cerrada de D .
d Ses igual a la carga encerrada.
Si la función y la densidad de carga se conocen para todo el volumen, entonces la carga encerrada puede
obtenerse de la integración de
pen todo el volumen. Así pues,
Pero
p=V . D, entonces
fD' dS=J(V'D )d v
JI
Este es elte o r e m a d e d ive r g e n c ia ,también conocido como te o r e m a d e d ive r g e n c ia d e G a u s s .Es el análogo
tridimensional del teorema de Green para un plano. Aunque a él se llegó a partir de relaciones conocidas entre
D,
Qyp ,el teorema es aplicable a cualquier campo vectorial.
teorema de la divergencia fA' dS
=f(V'A)d v
s v
Por supuesto, el volumen ves aquél que está encerrado por la superficie S. FEDCBA
E J E M P L O
2: La regiónr:5:aen coordenadas esféricas tiene una intensidad de campo eléctrico
Examine ambos lados del teorema de la divergencia para este campo vectorial.

42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA [CAP. 4
Para S, escogemos la superficie esférica
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBArTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=b: s ;a .aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f
(V,E ) d v
2. •p b 3
=f f - senfd O d 4 >
o o 3 E
4 7 tp b
3
= - -
3 E
y
V . E= ~ ~ ( r 2 p r )=f ! . .
r
2
o r 3 E E
2. ~bP
f f f - r
2
s e n O d r d O d 4 >
o o o E
4 7 tp b
3
3 E
f f ( ~ :FEDCBAa , ) . ( b
2
s e n O d 8 d 4 >a,)
El teorema de divergencia se aplica tanto a campos estáticoscomo a campos variablescon el tiempo en
cualquier sistema de coordenadas. El teorema se usa más a menudo en derivaciones en que se hace necesario
cambiar de una integral de superficie cerrada a una integralde volumen. Pero por eso puede usarse también
para convertir la integral de volumen de una función, que pue de ser expresada como la divergencia de un
campo vectorial, en una integral de superficie cerrada.
P r o b l e m a s r e s u e l t o s
4 . 1 .Desarrollar la expresión para la divergencia en coordenadas cilíndricas.
U nvolumen delta aparece en la figura 4-3. Tiene por aristasSr , r ! l.4 > ,y! l.z.El campo vectorialAestá
definido enP ,esquina correspondiente al menor valor de las coordenadas
r ,4 > ,yz,como
A=A ,a,+A oIJa4>+A .a.
z
Por definición,
. , f A ' dS
d¡vA= hm ---
6 v~ O
! l.v
y
Para expresar
f A 'dS deben cubrirse todas las 6 caras del volumen.
Para la componente radial de A ver la figura 4-4.
En la cara izquierda,
fA'dS ~- A,r ! l.4 > ! l.z
F i g . 4 - 3
y en la cara derecha,
fA'dS ~A,( r+! l.r ) {r+! l.r ) ! l.4 > ! l.z
~ ( A,
+°o ~ '!l.r) ( r+! l.r ) ! l.4 > ! l.z
(
O A,)
~ A,r A4 > ! l.z+A,+"s! l.r ! l.4 > ! l.z
s-.
dS ~ ~ + Ar )
~
F i g . 4 - 4
donde el término en (!l. r)2ha sido despreciado. La contribución neta de
este par de caras es entonces
(
o A ) o
1a
A,+r - '!l.r! l.4 > ! l.z= -( r A,) ! l.r ! l.4 > ! l.z= -;-( r A,) ! l.v
o r o r ro r
(1)
ya que! l.v=r ! l.r ! l.4 > ! l.z.

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA 43
En forma similar, las caras normales a
TSRQPONMLKJIHGFEDCBAa q ,dan
y
para una contribución neta de
aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 A q ,
---L \v
r0 4 >
( 2 )
ylas caras normales a a, dan
yjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( A.+° o ~ zL \ Z )r L \ r. 1 4 >
para una contribución neta de
o Az
-L \v
o z
(3)
Cuando( l ) ,(2) Y (3) se combinan para dar
§A .d S ,la definición de divergencia es:
. 1
o ( r A,)1o A4 > o Az
d lv A = - - - + - - + -
ro r r0 4 > o z
4.2. Demuestre que V . E es cero para el campo de una carga lineal uniforme.
Para una carga lineal, en coordenadas cilíndricas,
E=~a
2 1 t E o
r '
Entonces
v .E= ~ ~(r ~)=O
ro r 2 1 t E or
La divergencia de E para esta configuración de carga es cero en todo punto, excepto en r=O, donde la expre-
sión es indeterminada.
4.3. Demuestre que el campo D debido a una carga puntual tiene una divergencia de cero.
Para una carga puntual, en coordenadas esféricas,
Q
D = - 4 2a,
1 t r
Entonces, parar
>0,
4.4. Dado A
=e - r ( c o s xa , - senxay), hallar V' A.
4.5. Dado A
=x
2.x+y z a ) '+x y a z ,hallar V' A.
o o o
V ' A= -( X2 )+ -( y z )+ -( x y )= 2 x+z
o x a y O Z

44 DIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA [CAP. 4
4.6. DadoA
TSRQPONMLKJIHGFEDCBA=aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 XjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
(sen~ x)a"" hallarV∙ Aenx =l.
a ( 1 t X )
V . A= - 5 x
2
sen-
a x 2
(
1 t X ) 1 t
1 t X5 1 t X 1 t X
=5 X 2cos - -+lOxsen- = - 1 t X
2cos -+10x sen-
2 2 2 2 2 2
yV∙
A l =10.
x=l
4.7. Dado A =( X2+ y
2
t1/2a"" hallar V . A en (2, 2, O).
y
V∙A l =-8.84x10-
2
(2.2.0)
4.8. Dado A=rsen 4>FEDCBAa ,+2 rcos 4>a",+2z
2
a%, hallar V∙ A.
1
a 1a a
V ' A= - -( r
2
s e n tj»+ - -( 2 r c o s tj»+ -( 2 z
2
)
r a r r a tj> a z
= 2sentj> - 2sentj>+4z = 4z
4.9. Dado A=rsentPa ,+ r
2
cos 4>a",+ 2 r e -5%a%,hallar V • A en (1/2,n /2 ,O).
1
a 1a a
V' A = -- ( r
2
s e n tj»+ - -( r
2
c o s tj»+ -( 2 r e -
S
% )= 2sentj> -r s e n tj> - 1 0 r e -
s %
r a r r a tj> a z
y
I
1 t1 1 t (1)o 7
V∙ A = 2sen- - -sen- - 10 - e= --
(1/2.,,/2.0) 2 2 2 2 2
4.10.Dado A=10 sen
24>a ,+ra",+ [ ( z2 /r ) c o s
2 4>]a%,hallar V . A en (2,4>,5).
V' A =
10sen2tj>+2zcos
2
tj>
r
y V . A I =5
( 2 . < 1 > . S )
4.11.Dado A= ( 5 /r 2 )sen Ba,+r cot éa,+rsen Bcos4>a"" hallar V∙ A.
la 1 a 1 a
V∙ A = - - (5senO)+ - - - ( r s e n O c o tO )+ - - - ( r s e n O c o s tj»= -1 - sentj>
r
2
a r r s e n O a o r s e n O a tj>
4.12.Dado A =(5/r2)a,+(10/senO)a/l - r24>senOa"" hallar V∙ A.
V . A= ~~( 5 )+_ 1 _ ~(10)+_ 1 _ ~ ( - r
2
tj> s e n O )=- r
,2a r r s e n O a o r s e n O a tj>
4.13.Dado A =5 senOa,+5 sen 4>a"" hallar V∙ A en (0.5, n /4 , n /4 ).
1a 1 a ' cosO costj>
V' A = --- (5sen
2
0)+ - - - (5sentj» =
10--+5--
rseno a o r senOa tj> r r senO
y
V ' A I =24.14
( 0 . S . , , / 4 . , , ¡ 4 )

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA 45FEDCBA
4 . 1 4 .Sea D =
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP oza,en la región - 1 ~ z ~1 en coordenadas cartesianas y D = ( P o z/TSRQPONMLKJIHGFEDCBAIzl)a:en las otras
partes. Halle la densidad de carga.
V∙D = p
Para - l ~.
z ~1.
yparaz < -l óz >1,
L adistribución de carga aparece en la figu-
ra 4-5.
F i g .4 ∙ 5
4 . 1 5 .Sea
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.
aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1 0 0
P= - -[ b ( r
2 +z
2
r 3 ! 2 r
2
] + -[ b ( r
2 +z2 r 3 J 2 z]
r o r o z
= ~f - ~( r
2
+
z2 r S /2 ( 2 r 3 )+( r
2+z2 r 3 /2 ( 2 r ) ]+bf - ~( r
2
+
z2 t S I 1 ( 2 z2 )+( r
2
+
z2 t3 /2 ]
=b ( r
2 +z2 r S /2 [ - 3 r
2 +( r
2
+
z2 ) ( 2 .) - 3 z
2 +( r
2
+
Z 2 ) ]=o
a menos quer=z=O. (El campo dado D corresponde a una carga puntual en el orige n.)
4 . 1 6 .SeaD=(lOr
3j4)ar
( C j m
2)enlaregiónO <r ~3mencoordenadascilíndricasyD=(810/4r)ar
( C jm
2)en cualquier otro sitio. Halle la densidad de carga.
Para O
<r ~3 m,
yparar>3 m,
1
o
p= - -(810/4)=O
r o r
4 . 1 7 .Sea
D =º2'(1-cos3r)ar
n r
en coordenadas esféricas, halle la densidad de carga.
p
=..!.. ~fr
2J L(1 -cos3 r ) - ]=3Qs e n 3 r
,2o r n r
2
,
n r
2
4 . 1 8 .Sea D =7 r
2a,+28 sen {}alJen coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga.
1
o 1 o 56 cosO ∙
p= - - ( 7 r
4
)
+ - - - (28sen
2 O )=2 8 r+ - -
r
2
o r rsen ()0 0 r

46 DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4
4.19. En la región O
TSRQPONMLKJIHGFEDCBA<aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr : S 1m, D=(-2 x 1 O -
4
/r)a,
( C ! mjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
)yparar>1m, D=(-4 x 1 O -
4
/r2)a;
(C/m2), en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga en ambas regiones.
Para O
<rs ;l m.
yparar
>I m,
4.20. En la región
r:S 2, D = (5r
2
/4)a,ypara r>2, D= (20/ r2)a" en coordenadas esféricas. Halle la
densidad de carga.
Para
r : : ; ;2,
yparar
>2,
1o
P= 2 - ( 2 0 ) =O
ro r
4.21. Sea D = (lOx
3/3)a x(C/m2). Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen de
un cubo, de 2 m de arista, centrado en el origenycon las aristas paralelas a los ejes.
fn-d S=f( V 'D )d v
vol
Como
Otiene sólo componentesx,D .d Ses cero en todas las
caras exceptox
=l myx = -I m (ver figura 4-6).
1 1 10(1)
fO'dS= f f -a x'd yd za " ,
- 1 - 13
+ f
l f l. 1 0 ( - I )
a",'d yd z(-a",)
- 1 - 1 3
40 40 80
= - + - = - c
333
y
Fig.4-6
Ahora, para el lado derecho del teorema de la divergencia, corno V> O=10x
2
,entonces
4.22. Sea A = 30e-'a, - 2za
zen coordenadas cilíndricas.
Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el
volumen encerrado por
r= 2,z= O Yz= 5 (figura 4- 7).
Cabe anotar queA
z=Opara z=Oy, por consiguiente, A∙d S
es cero sobre esa parte de la superficie.
5 2,. 2" 2
fA'd S=ff 30e-
2
a,' 2d tj> d za,+ff -2(5)a.∙r d r d tj> a .
o o o o
=6Oe-
2(2n:)(5)"':' 1O(2n:)(2)=129.4
A,
Fig.4-7

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 47
Para el lado derecho del teorema-de la divergencia:TSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1
jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo a 3 0 e - '
V ' A= --( 3 0 r e - ' )+ -( - 2 z)= -- - 3 0 e - ' - 2
ro r o z r
y
5 2n 2 ( 3 0 e - ' ) aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
f(V .A) d v=f f f - - - 3 0 e - ' -2r d rd od z=129.4
o o o r
4.23. Sea D=(lOr
3
/4)a,( C rm") en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de diver-
gencia para el volumen encerrado por,
=1 m,r =2 m,Z =O YZ =10 m (ver figura 4-8).
fD . dS=f(V .D ) d v
z
Como D no tiene componente z,D ' d Ses cero para la parte
superioryla inferior. En la superficie cilíndrica interna dS está en
dirección - .,.
102n1 0
+f f -4(2)3.,'( 2 ) d < jJd z e ,
o o
x
- 2 0 0 1 t 2 0 0 1 t
= - - +16--=7 5 0 1 tC
4 4
Fig.4-8
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
102n 2
f(V'D ) d v=f f f (lOr
2
)r d rd od z=7 5 0 1 tC
o o 1
4.24. Sea D=(5,2/4)ar( C jm-) en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia
para el volumen encerrado por,
=4 m.y f}=n j 4(ver figura 4-9).
fD 'dS=f( V 'D ) d v
Como D sólo tiene componente radial, D∙ d Stiene valor diferen-
te de cero sólo en la superficie r
=4 m.
z
1o
V∙ D= - -( 5 r
4
/4 )=5r
r
2
0 r
2ntt/45(4)2
fD 'dS=tfo- 4 - .r ∙ ( 4 ) 2 Se n 8 d 8 d < jJ .r=589.1 C
Fig.4-9
Para el lado derecho del teorema de la divergencia:
y
2n n / 44
f(V'D ) d v=f f f ( 5 r ) r
2
s e n 8 d r d 8 d < jJ=589.1 C
o o o

48zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA [CAP. 4FEDCBA
P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s
4.25. Desarrolle la divergencia en coordenadas esféricas. Utilice un volumen delta con aristas
aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~ r, r~ Oyr senO ~ < j J .
4.26. Muestre que V • E es cero para el campo producido por una c arga laminar uniforme.
4.27. El campo de un dipolo eléctrico con cargas en
±df2 sobre el ejejihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAzes
Q d
ETSRQPONMLKJIHGFEDCBA=--3 (2cosOa, +senOa
9
)
4 n ( 0r
Demuestre que la divergencia de este campo es cero.
4.28. Dado A
=e
5 x
a
x+ 2cosyay+ 2 senz a ,; halle V∙ A en el origen. R e s p . 7 .0
4.29. Dado A
=(3 x+y2 )a
x+ (x - y2)a)" halle V . A. R e s p .3 -2 y
4.30. Dado A
=2 xyax+ zay+yz
2
az,halle V∙ A en (2, - 1, 3). R e s p . -8.0
4.31. Dado A
=4 xyax -xy
2
ay+ 5 senzaz'halle V . A en (2, 2, O).R e s p . 5 .0
4.32. Dado A
=2r cos- <jJa, + 3r
2
senzaoj¡+4 zsen- <jJaz ,halle V 'A. R e s p . 4 .0
4.33. Dado
A=( 1 O / r
2
)a ,+ 5 e -
2 z
a
z
' halle
V ' Aen (2,4> 1). R e s p . -2 .6 0
4.34. Dado A
=5 cos ra, +(3 ze -2'/r)a" halleV 'A en(n ,4>,z). R e s p . -1.59
4.35. Dado A
=lOa, + 5 senOa
9
, halle V • A. R e s p .(2 + cos O)(lO/r)
4.36. Dado A
=ra, - r
2
cot 0 8 9 'halle V . A.R e s p .3 - r
Dado A
=[(10 sen-O ) f r ] a "halle V . A en( 2 , n / 4 , 4 » .4.37. R e s p . 1 .2 5
4.38. Dado A
=r
2
sen ea, + 134>a9 + 2raoj¡, halle V • A. R e s p .4r sen O+C ~ 4 »cote
4.39. Demuestre que la divergencia de E es cero si E =(lOO/r}a.¡, + 4Oa
z
•
4.40. En la región a ~r ~ b(coordenadas cilíndricas),
ypara r >b ,
Para r
<a ,D=O. Hallepen las tres regiones.R e s p .O, P o ,O
4.41. En la región O
<r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D =(4r-
1
+2 e -
O
.
5
,
+4 r -
1
e -0.5')ar,ypara r> 2. D=
(2.057/r)a,. Hallepen ambas regiones. R e s p . _ e -
O
.
5
"
O
4.42. En la región r ~ 2 (coordenadas cilíndricas), D
=(lOr + (r
2
/3)]a"ypara r > 2, D =[3/(128r)]a,. Hallepen
ambas regiones. R e s p .20 + r, O

CAP. 4] DIVERGENCIA Y TEOREM A DE DIVERGENCIA 49
4.43. Sea DTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=10 senaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAOFEDCBAa ,+2 cos Oas.Halle la densidad de carga.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
R e s p .
senO
- (18 +2cot
2
O )
r
4.44. Sea
3 r
D
= - 2 - - a ,
r+1
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. R e s p . 3 (r
2
+3)/(r
2
+1)2
en coordenadas esféricas. Halle la densidad de carga. R e s p . 4 O e -
l
,
4.45. Sea
4.46. En la región
r ~1 (coordenadas esféricas).
D=(4' _~)a
3 5 r
y
para,>l. D=[5/(63,l)]a,.Halle la densidad de carga en ambas regiones. R e s p .4 - ,2.O
4.47. La región
r ~2 m (coordenadas esféricas) tiene un campo E =( 5 rx 1O-
5
/E
o)a,(V1 m ) .Halle la carga neta
encerrada por la concha,
=2 m.R e s p .5.03x 10-
3e
4.48. Sea D =(5r
2
/4)a,en coordenadas esféricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por,
=l Yr =2.R e s p . 7 5 n
4.49. Sea D
=( 1 0 r
3
/ 4 ) a ,en coordenadas cilíndricas. Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volu-
men encerrado por,
=2.Z=O YZ=10.R e s p . 8 0 0 n -
4.50. Sea D
=10 senOa,+2 cos Oas'Evalúe ambos lados del teorema de divergencia para el volumen encerrado por
la concha,
=2.R e s p . 4 0 n
2

Capítulo 5
Energíaypotencial eléctrico
de los sistemas de carga
zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
5.1TRABAJO REALIZADO EN
CARGAS PUNTUALES EN MOVIMIENTO
En un campo eléctrico E una carga puntual
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQexperimenta una
fuerza que está dada por
F=vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA-QE
Si esta fuerza se des balancea, se produce una aceleración dela par-
tícula cargadaYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAysu movimiento se dirige hacia el campo siQes
positiva. (Ver figura5 -1.)
Para poner la carga en equilibrio se requiere unafuerza
a plica daigual en magnitudyopuesta en dirección a la fuerza del
campo:
Fig.S-l
El trabajo se define como una fuerza que actúa a distancia. Por consiguiente, la fuerza aplicada realiza una
cantidad diferencial de trabajo
dWcuando la partícula cargada se mueve (a velocidad constante) a lo largo de
una diferencial de distancia
d t.Ahora, el trabajo puede ser positivo o negativo, según la dirección de d i,
vector desplazamiento, con relación a la fuerza aplicada,F a .Cuandodi yFano están en la misma direc-
ción, la componente de la fuerza en la dirección de
d idebe usarse. Todo esto se expresa simplemente por:
∙dW=F "dtcos8=F a 'di
Así pues, en un campo eléctrico el diferencial de trabajo realizado por un agente externo es
dW= -QE ∙dl
Adoptándose esto como expresión definitiva para el trabajorealizado al mover una partícula cargada en un
campo eléctrico, un valor positivo significará que el trabajo ha sido hecho por el agente externo para ocasio-
nar un cambio de posiciónyun resultado negativo indicará que el trabajo ha sido realizado por el campo.
En los tres sistemas coordenados las expresiones paradison:
di
=dx e;+dyay+dze;
di=
dr a ,+r dcJ > a ~+dZ8:
di=dr a ,+rd8as +rsen8dcJ>a4>
(cartesiano)
(cilíndrico)
.
(esférico)
EJEMPLO 1: Halle el trabajo realizado al m over una carga de+2 edesde (2, O, O) m hasta (0,2, O) m a lo largo de la
línea recta que une los dos puntos, si el cam po eléctrico es
E=2X8x-4ya ,(V/m)
El trabajo diferencial es
dW
= -2(2x8x-4Y8,)' (dX8x+dY8
y+dZ8.)
=-4xdx+ 8ydy
La ecuación de la trayectoria esx+
y=2 y, por lo tanto,dy= -dia lo
largo de la trayectoria. Por consiguiente,
dW
=-4xdx+8(2 -x)(-dx) =(4x - 16)dx
o
W=f(4x - 16)dx= 2 4J
2
y
50
y
(0,2, O)
Trayec.2
O (2, O , O )
Fig.S-l
x

C A P. 5] EN ER G IA Y PO TEN C IA L ELEC TR IC O D E LO S SISTEM A S D E C A R G A YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA5 1
(Recuérdese que 1 V/m =1N /e=1J /e ∙m .)
El trabajo realizado en una carga puntual en movimientovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQdesde el puntoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBABhasta el puntoAen un
campo eléctrico estático es el mismo para cualquier trayectoria escogida. En forma equivalente, el trabajo
realizado para mover la carga alrededor de cualquier trayec toria cerrada es cero:
(campos estáticos)
Tal campo vectorial se denomina campo conser va tivo.
EJEMPLO 2: Halle el trabajo realizado en el cam po del ejem plo 1 si la carga de 2ees m ovida desde(2, O , O )m hasta
(O, O, O)a lo largo del ejex.Luego desde(O, O, O)m hasta(O, 2, O)m a lo largo del ejey.
La trayectoria se m uestra en la figura5-2.Sobre el prim er segm ento,y =dy=dz= O,así pues
dW
='-2(Oa" -4yay)'[Oa;+dYIl}.+ Oa.) =8ydy
dW
= -2(2xa" - Oay)' (dxa "+ OBy+Oa.]=-4.xdx
Sobre el segundo segm ento, x
=dx=dz=0, así que:
Por lo tanto,
o 2
W=-4fxdx+ 8fydy=24J
2 o
este es el m ism o valor encontrado para la trayectoria del ejem plo l.
5.2 POTENCIAL ELECTRICO ENTRE DOS PUNTOS
Elpotencia /del puntoAcon respecto al puntoBse define como el trabajo realizado al mover una carga
positiva unitaria,Q
u'desdeBhastaA .
W A
V
A B
= - = -fE' di (J/CóV)
Q u B
Debe observarse que el punto inicial, o de referencia, es el límite inferior de la integral lineal. Por lo tanto, el
signo menos no debe omitirse. Este signo apareció en esta expresión proveniente de la fuerza
F a= -Q E,que
fue' aplicada para poner la carga en equilibrio.
Puesto que E es un campo conservativo,
V
A B=V
A C
-V
B C
de aquí queV
A Bse considere como ladifer encia de potencia /entr elos puntosAyB.Cuando ~ Bes positivo,
debe realizarse trabajo para poder mover la carga unitaria positiva desdeBhastaAy se dice entonces que el
puntoAestá a un potencial más alto que el puntoB .En el ejemplo 1, si el puntoBse toma en (2, O, O) m yel
puntoAen (O, 2, O) m, entonces
24J
V
A B
=-= 12V
2C
El punto
Aestá a un potencial más alto que el puntoB,(lo está en12V). Además, el potencial Va Adebe ser
-12V, ya que VB Adifiere de~ Bsólo por la inversión de los límites superior e inferior en laintegral
definitoria, lo cual simplemente cambia el signo del resultado. """
Pt
EJEMPLO 3: Encuentre el potencial de A ,(1,< P ,z ), con respecto aB ,
(3,1> ',z"), en coordenadas cilíndricas, donde el cam po eléctrico es pro-
ducido por una carga lineal sobre el eje z,está dado por E
=(5O/r)8,
( V1 m ) .
Debe anotarse prim ero qued itiene com ponentes en las direcciones'
aroa~, ya; y que E tiene dirección radial. Entonces E . dI=Ei dr ,yasí
A 150 1
VA B
= -fE 'dI= -f -dr= -50 In -.=54.9 V
8 3 r 3
El puntoAestá a un potencial m ás alto que el punto B .
r=3m
Fig.5-3

52zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEN ER G IA Y PO TEN C IA L ELEC TR IC O D E LO S SISTEM A S D E C A R G A [C A P. 5
Com o no hay trabajo en m ovim iento a lo largo de
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA8 4 >o a
z
'
todos los puntos sobre el cilindrovutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr=constante deben
estar al m ism o potencial. En otras palabras, para una línea uniform e de carga, cilindros circulares rectos concéntricos son
super ficies equipotencia les.
Como el campo eléctrico producido por una carga puntual
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ tiene dirección radial,
5.3 POTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL
A rA Q 'Adr Q(1 1)
VA B= -fE' di= -f E, dr= - - f2= - - - -
B '8 4ltio'8r 4ltio rA rB
Para una carga positiva
Qel puntoAestá a un potencial más alto que el puntoBcuandor
Aes menor quer n-
Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas.
Si al punto de referenciaBse le permite ahora moverse hacia el infinito, entonces
o
En el material que sigue se hará uso considerable de la anterior ecuación. El mayor peligro de ésta reside en
olvidar dónde está la referencia e intentar aplicar la ecuación a distribuciones de carga que se extienden hasta
infinito.
5.4 POTENCIAL DE UNA D1STRIBUCION DE CARGA
Si hay carga distribuida en algún volumen finito con una dens idad de carga conocida
p(C Im '),
entonces puede determinarse el potencial en un punto externo. Para hacerlo, se identifica una diferencial de
carga dentro de algún punto en el volumen, como se muestra en l a figura 5-4. Entonces en
P .
dQ
dV= --
4ltioR
V= f ~
vol4ltioR
d V
~p
-- R
La integración sobre el volumen da el potencial total en
P :
Fig. 5-4
dondedQestá reemplazado por p du.Ahora, no debe confundirse Rcon rdel sistema de coordenadas esfé-
ricas.Rno es un vector sino la distancia desdedQhasta el puntoP .Finalmente,Rcasi siempre varía de lugar
a través del volumen y entonces no puede removerse del integr ando. •
Si la carga se distribuye sobre una superficie o una línea, laexpresión de arriba para Vse cumple, siempre
y cuando la integración sea sobre la superficie o la línea y
P soP testén usados en lugar dep .Debe hacerse
hincapié en que todas estas expresiones para el potencial enun punto externo están basadas en unar efer encia
cer o en el infinito.
5.5 GRADlENTE
Llegados a este punto, se introduce otra operación del análisis vectorial. La figura 5-5(a )muestra dos
puntos vecinos,
MyN .de la región en que está definida una función escalarV.El vector separación de los dos
puntos es
dr=dx e;+dye;+ dz s,

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA 53 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
M ( x ,y ,z )
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
N(xYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+dx ; y+
dy ;z+dz)
y
x x
(a )
Fig. S-S
Por el cálculo, el cambio enVdesdeMhastaNestá dado por
av av av
dV = -dx + -dy + -dz
ax ay az
Ahora, el operador nabla, introducido en la sección 4-4, sob reVda
De lo que se deduce que
dV=VV∙dr
z
~ V(x,y,,)",
V( x ,Y.z )=el
y
(b)
El campo vectorialVV(también escrito gradV)se llama elgr a dientede la función escalarV.Se ve que
para una
Id r lfija, el cambio en Ven una dirección dada dres proporcional a la proyección de VVen esa
dirección. Así pues
VVya ce en la dir ección de má ximo incr emento de la función V.
Otra visión del gradiente se obtiene haciendo que los puntos
MyNestén sobre la misma superficie
equipotencial (si Ves un potencial),V(x,
y,z)=C
l[ver figura 5-5(b)] .EntoncesdV =O lo que implica que
VVes perpendicular adr .Perodres tangente a la superficie equipotencial. En efecto, para una localización
adecuada de
N,éste representacua lquiertangente a través de M.En consecuencia,VVdebe estar a lo largo
de la superficie normal a
M .ComodVestáen la dirección de aumento deV,apunta desdeV(x, y,z)=C
I
haciaV (x, y ,z )=c2,dondeC 2>cl•El gr a diente de una función potencia l es un ca mpo vector ia l el cua l
es en todo punto nor ma l a la s super ficies equipote.ncia les.
El gradiente en los sistemas coordenados cilíndricos y esféricos se deriva directamente de su expresión en
el sistema cartesiano. Debe anotarse que cada término conti ene la derivada parcial deVcon respecto a la
distancia en dirección del vector unidad particular.
av av av
VV=a ,:a ,+ra oao+rsenO a c IJa 4 >
(cartesiano)
(cilíndrico)
(esférico)
Aunque V Vesválido para grad Ven cualquier sistema coordenado, debe rec ordarse que el operador
nabla se define sólo en coordenadas cartesianas.

54 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA [CAP. 5
5.6 RELACION ENTRE E Y ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV
A partir de la expresión integral para el potencial deArespecto deB .el diferencial deVpuede escribirse
como
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
dV= -E∙dl
Por otro lado,
dV=VV ∙dr
ComodiYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=dres un pequeño desplazamiento arbitrario, se deduce que
E=-VV
La intensidad del campo eléctrico E' puede obtenerse, cuand o la función potencial Ves conocida,
tomando simplemente el negativo del gradiente de V .Ya se halló que el gradiente es un vector normal a las
superficies equipotenciales dirigido hacia un cambio positivo enV .Con el signo negativo se encuentra que el
campo E se dirige de los niveles superiores a los inferiores del potencial
V .
5.7 ENERGIA EN CAM POS ELECTRICOS ESTATICOS
Considere el trabajo requerido para ensamblar, carga por ca rga, una distribución den
=3 cargas
puntuales. La región se supone inicialmente libre de carga
ycon E=O en todas partes.
Como se ve en la figura 5-6, el trabajo requerido para Q
colocar la primera cargaQ .,en la posición l es cero. Por 1
tanto, cuandoQ2,se mueve hacia la región, se requiere un
trabajo igual al producto de esta carga por el potencial de
Q •.El trabajo total realizado al colocar estas tres cargas es
WE= W1+ W2+ W3
=O+(Q 2V2.1)+(Q 3V3.1+Q3V3.2)
0 0
Fig. 5-6
El potencialV
2
•debe leerse "el potencial en el punto 2 debido a la cargaQ .en la posición 1". (Esta
notación, poco usual, no aparecerá de nuevo en este libro.) E l trabajoW
Ees la energía almacenada en el
campo eléctrico de la distribución de carga. (Ver problema 5 .20 para un comentario sobre esta identifica-
ción.)
Ahora, si las tres cargas se trajeran a su sitio en orden inverso, el trabajo total sería
W
E= W
3+ W
2+ W¡
,;, O+(Q 2V2•3)+(Qt V1•3+Qt V1.i)
Cuando las dos expresiones arriba se suman, ei resultado es d os veces la ~nergía almacenada:
El términoQ.(V
1.2+V 1.3)era el trabajo hecho contra los campos de Q2yQ3'únicas otras cargas en la
región. Así que,
Vi,
2+Vr ,
3=V .,potencial en la posición 1. Entonces
y
para una región que contienencargas puntuales. Para una región con densidad de carga
p(C Im ') el proceso
sumatorio se convierte en una integración,

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARG A 55
Otras expresiones (ver problema 5.15) para la energía almac enada sonYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2
~= -f-dv
2 (.
En un circuito eléctrico, la energía almacenada en un conden sador está dada por
1 1 2
W
E= -QV=-CV
2 2
donde C es la capacitancia (en faradios),Vesla diferencia de voltaje entre los dos conductores que constitu-
yen el condensador y
Qes la magnitud de la carga total sobre uno de los conductores.
EJEMPLO 4: Un condensador de placas paralelas, tal quee=lA/d.tiene un voltaje constante Vaplicadoentre las
placas (figura 5-7). Encuentre la energía almacenada en el campo eléctrico.
Despreciando el efecto de bordes, el campo es E
=(V/d)anentre las placas y E=O en cualquier otro lugar.
1f 2
WE=2a :d v
e(V)2
=2dfd v
+
v.= ..
Fig. 5-7
Siguiendo un método distinto, la carga total sobre un conductor puede encontrarse a partir de D en la superficie por
medio de la ley de Gauss (sección 3.3).
Entonces
Problemas resueltos
5.1. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual Q= -20 J 1 . Cdesde el origen hasta (4,O , O )m
en el campo
E
=(~ +2Y~"+2X8y(V/m)
y
y
dW=-Q E 'di
=(20x1O-6)(~+ 2Y)dX
W= (20x 1O-6)((~+ 2Y)dX
=80pJ
(4.2. O)
Para una trayectoria a lo largo del eje
x.di=dxa".
(0,0,0) (4.0,0)
I
x
Fig. 5-8

56 EN ER G IA Y PO TEN C IA L ELEC TR IC O D E LO S SISTEM A S D E C A R G A [C A P. 5
5.2. En el campo del problema 5.1, mueva la carga desde (4, O, O ) m hasta (4,2, O) mYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAydetermine el trabajo
realizado.
Ahora (sección figura 5-8)
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdi=dyay,y así
2 2 ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
W= (20 x 10-
6
)f2xdy= (20 x 10-
6
)(2)(4)fd y= 320 J Ú
o o
5.3. En el campo E del problema 5.1, halle el trabajo realizad o al mover la carga desde el origen hasta
(4, 2, O) m a lo largo de la línea recta que conecta los puntos.
La ecuación de la línea esx=2y.de lo cualdx= 2
dy,dz= O .Entonces
Para integrar respecto de
x ,yydyse cambian ax/2 ydx lL.
4 5
W= (20x1O -
6)I -xdx= 400J Ú
o2
que es la suma de 80
l1 JY320f . 1 J ,datos hallados en los problemas 5.1 y 5.2.
5.4. Halle el trabajo realizado al mover una carga puntual
Q=5 p 'edesde el origen hasta (2 m,n/4,
1t/2),coordenadas esféricas, en el campo
1 0
E=5e-
r /4
a+ ---a (V/m)
rr sen( Jq,
En coordenadas esféricas,
z
dI=drs,+r dea
s +rsenedq,a.
Escoja la trayectoria que se muestra en la figura 5-9, a lo largo del
segmento
de=dq,=O ,y
dW=-QE' dI=(-5x1O -6)(5e-'
1 4
dr )
A lo largo del segmento11.dr=de=o,y
dW= -QE' dl=(-5 x1O -
6
)(1O dq,)
A lo largo del segmento111.dr=de/>=O ,y
dW=-QE' dI=O
Fig. 5-9
Por consiguiente,
2 _ 1 2
W=(-25 x 10-
6
)fe-
r /4
dr+(-50 x 10- 6
)fdq,= -117.9J Ú
o o
En este caso, el campo realiza al mover la carga un trabajo de 117.9 J Ú .
5.5. Sea el campo E =(k/r )a"en coordenadas cilíndricas. Demuestre que el trabajo neces ario para
mover una carga puntual desde una distancia radial r hasta un punto situado a dos veces esa
distancia radial, es independiente de
r .
Como el campo tiene solamente componente radial,
-kQ
dW= -QE' dI = -Q E,dr= -- dr
- r
Para los límites de integración use rIy 2rl.
2 "dr
W
= -kQf- = -kQIn 2
" r
independiente der.

CAP. 5] ENERGlA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARG A 57
5.6. Dada una carga lineal deZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp ,=(10-YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
9/2) e /m sobre el ejevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz,halleV AB,dondeAes (2 m,n/2,O)yBes
(4
m ,n,5m ) .
A
VAS= -fE∙ dI
S
donde
Como el campo producido por la carga lineal tiene dirección radial, el producto escalar con di esE, dr .
5.7. En el campo del problema 5.6, hállese
VBC•donde r ,=4myr C=10 m. Luego, determíneseVAC Y
compárese éste con la suma deVAByVBC•
VB C=-9[lnr]::=-9(1n4 -In 10)=8.25 V
VA C=-9[lnrt=-9(ln2 -In 10)=14.49
V
VA B+VB C=6.24V+8.25V=14.49V=VA C
5.8. Dado el campo E
= (-16/r2 )a ,(V/m), en coordenadas esféricas. Halle el potencial del punto
(2 m, 7t, 7t/2) respecto del punto (4 m, O,z ).
Las superficies equipotenciales son conchas esféricas concéntricas. Dejemos que r
=2 m seaAy r =4 m,
seaB .Entonces
2(-16)
V
AB= -t7dr= -4 V
5.9. Una carga lineal dep ,=400 p Cj m yace a lo largo del
eje
xy la superficie de potencial cero pasa por el punto (O,
5, 12) m en coordenadas cartesianas (ver figura 5-10).
Halle el potencial en (2, 3, - 4) m.
z
Como la carga lineal yace a lo largo del ejex,las coordena-
das
xde los dos puntos pueden ignorarse.
r A= J 9+ 16= 5m r B=J 25+144=13 m
y
Línea de
carga
Entonces
V
f
r AP t d p ,rA
A B
= - -- r= ---In -=6.88 V
r.27tE:or 27tE:o r B
Fig. 5-10
5.10. Halle el potencial enr
A
=5 m respecto der » =15 m producido por una carga puntualQ=500
p C en el origen y referencia cero en el infinito.
Debido a la carga puntual,
Para encontrar la diferencia de potencial, no es necesaria la referencia cero.
500 x 10-
12
(1 1)
V
AB=47t(10 9/367t)5 " -15=0.60 V

58zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA [CAP. 5
la referencia cero en el infinito puede usarse para encontrar
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAsYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyV IS '
V
1 5
=-.JL (~)=0.30 V
47tt:o15
Entonces
5.11. Una carga total de (40/3) nC se distribuye uniformemen te alrededor de un anillo circular de 2 m de
radio. Halle el potencial en el punto situado sobre el eje, a 5m del plano del anillo. Compare el
resultado con el que se obtiene si toda la carga se concentra en el origen en forma de carga puntual.
Con la carga en una línea,
v -
fp,dt
- 4 1 U
o
R
z
Aquí
(40/3)
X10-
9 10-
8
p ,= 2x(2) = ~ e /m
y(ver figura 5-11)R =J29m,dt =(2m)dq,.
Si la carga está concentrada en el origen.
Fig. 5-11
v=(40/3)X10-
9
=24.0V
4X io(5)
5.12. Repita el problema 5.11 con la carga total distribuida uniformemente sobre un disco..circular de 2 m
de radio (figura 5-12).
Como la carga está sobre una superficie,
f
p.dS
V
=4XioR
z
R=J 25+r
2
(m)
(40/3)X10-
9
10-
8
2
con P .= X (2)2=~ Cim
10- 8/3x
2" 2rdr dq,
V
= f f =23.1 V
4x(10 9/36x) o o
J 25+r
2
Fig.5-12
5.13. Cinco cargas puntuales iguales, Q
=20 nC, están localizadas enx=2,3,4,5 y 6 m. Encuentre el
potencial en el origen.
5.14. Hay una carga distribuida uniformemente a lo largo de u na línea recta de longitud finita2L(figura
5-13). Demuestre que para dos puntos externos, cerca del pun to medio, tales que r¡ y'2 sean peque-
. ños comparados con la longitud, el potencialV
l 2es el mismo que para una línea infinita de carga.

CAP. 5]
5.15.
ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA 59
El potencial en el punto 1, con referencia cero en el infinito, esZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V I
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=2vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAfL p,dz
o
47U o(Z2+ri)I/2
=2p,[1n(z+Jz2+d)]L
47tlo o
=~ [In (L+J 13+d ) -In r¡)
27tfo
En forma similar, el potencial en el punto 2 es
Ahora si
L ~r
l
y
V I :::; ~(In2L - ln r.)
27tfo
Entonces
-L
lo que coincide con la expresión encontrada en el problema 5.9 para la línea infinita.
Fig. 5-13
Hay una carga distribuida en un volumen vcon densidadp ,que da lugar a un campo eléctrico con
energía almacenada
Demuestre que una expresión equivalente para la energía alm acenada es
La figura 5-14 muestra el volumen
vque contiene la Carga, encerrado dentro de una gran esfera deradioR .
Comopes nula fuera dev,
tf 1∙ 1f
WE= - pVdv= -J pVdv= - (V'O)Vdv
2 l o ' 2volumen 2volumen
esferoidal esferoidal
El vector identidad V'V A=A' VV+V(V' A), aplicado al
integrando, da:
W
E= ~f ( V ,VO)dv - ~f ( O 'VV)dv
2volumen volumen
esferoidal esferoidal
Esta expresión se cumple para un radio Rarbitrariamente
grande. Se debe hacer
R ....•co.
La primera integral sobre la derecha es igual, por el teorema
de divergencia, a
1
!
-j
VO∙dS
2superficie
esferoidal
E sfera
Fig. 5-14

60 ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA [CAP. vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAS
Ahora, si la esfera envolvente se hace muy grande, el volumenencerrado parece una carga puntual. De esta
manera, en la superficie,Daparece comok
tiR2YVcomok2/ R.Así que el integrando decrece con 1/R3.Como
el área de la superficie aumenta sólo conR2,se concluye que
límf
VD∙dS=O
~-co superficie
esferoidal
La otra integral da, en el limite,
y como
D=(E.la energía almacenada está también dada porYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
ó
5.16. Sea la función potencial
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV=2 x+4y(V) en el espacio libre. Halle la energía almacenada en un
volumen de
1m
3centrado en el origen. Examine otros volúmenes de 1m '.
(
O V oV O V)
E=-VV= --a +-a +-a = -2a -4a (V/m)
ox xa yyoz • '"
Este campo es constante en magnitud(E=.jWV/m) y con dirección sobre todo el espacio, de esta manera la
energía total almacenada es infinita. (El campo puede ser aquél que se produce dentro de un condensador de
placas paralelas infinitas. Se necesitaría una cantidad infinita de energía para cargar tal condensador.)
De todas maneras, es posible hablar de unadensida d de ener gíapara éste y otros campos.
Laexpresión
sugiere que cada volumen minúsculo
dvtendrá asignado un contenidowdv,donde
Para este campo, la densidad de energía es constante:
1 10-
8
W= -(0(20)= --J/m
3
2 36n
y así cada volumen de1m3contiene(10 8f361t)
Jde energía.
5.17. Dos semiplanos conductores delgados, en
4J=O Y4J=1 tJ 6 ,están aislados uno del otro a lo largo del
eje z. La función potencial para O ~
4J ~n J 6esV=(-604J/1t)V. Halle la energía almacenada entre
los semi planos para 0.1 ~ r ~0.6 myO ~ z ~ 1 m. Suponga espacio libre.
Para encontrar la energía almacenada,
W'E 'en una región limitada de espacio, se debe encontrar la densi-
dad de energía (ver problema5.16)a través de la región. Entre los semiplanos,
1
a(-601/» 60
E=-VV= --- --- a.=-a. (V/m)
ra l/ >n ' n r
yasí
e1 ,,/6 0.6(60)2 300(
W É= ~f f f - r d r d I/> d z= __ o ln6 =1.51nJ
2o o 0.1n r n

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA6 1
5.18. El campo eléctrico entre dos conductores cilíndricosconcéntricos en
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr=0.01my r=0.05m está
dado por E
=(10
5
/r)a ,(V / m), si se desprecian los efectos de los bordes. Halle la energía almacenada
en una longitud de0.5m. Suponga espacio libre.
1
e h+ O .S 2"O .O S(105)2
WÉ= 2f€O EZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2dv= if
h
fof
o
.
ol
-r - r dr d< jJ dz= 0.224J
5.19. Halle la energía almacenada en un sistema de cuatro cargas puntuales idénticas, Q=4 nC, en las
esquinas de un cuadrado de 1 m de lado. ¿Cuál es la energía almacenada en el sistema cuando s610
dos cargas están colocadas cada una en esquinas opuestas?
donde la última igualdad proviene de la simetría del sistema.
Entonces
Q Q Q 4x '10-9(1 1 1)
V I= 2+ 3+ 4= _ + _ + _ =97.5 V
41t(0R J 2 41t(0R 1 3 41tE oR I4 41tfo 1 1J2
WE=2QIV I=2(4x 10-
9
)(97.5)=780nJ
Para sólo dos cargas,
o
2WE=QIV I+Q2V2=2QIV I
-9(4x10-
9
)
WE=QIV I=(4x10) ¡ ;=102 nJ
41tE oV2
5.20. ¿Qué energía está almacenada en el sistema de dos cargas puntuales, ∙ Q I=3 nCy. Q 2= -3 nC, sepa-
radas por una distancia de
d=0.2m?
2WE=QIV I+Q2V2=QI(4 ~ :d )+Q 2 (4 ~ :d )
W
E
=Q IQ 2=_ (3X10-
9
)2
=-405nJ
41t/:0d 41t(109/361t)(0.2)
por esto
Puede parecer paradójico que la energía almacenada se tornenegativa aquí, mientras
!fE 2 ,y por con-
siguiente
1f 2W
E
=- fEdv
2to d o el esp acio
es necesariamente positivo. La razón para la discrepancia está en que al igualar el trabajo realizado para
ensamblar un sistema de cuatro cargas puntuales a la energíaalmacenada en el campo, uno desprecia la energía
infinita ya existente en el campo cuando las cargas estaban en el infinito. (Tomó una cantidad infinita de trabajo
separar las cargas en el infinito.) Así pues, el resultado anterior,
U i= -405 nJ, puede tomarse con el signi-
ficado de la energía con 405 nJ por debajo del nivel de referencia (infinito)' en el infinito. Como sólo las
d ife r e n c ia sde energía tienen significado físico, el nivel de referencia puede ser apropiadamente despreciado.
5.21. Una concha esférica conductora de radio
a ,centrada en el origen, tiene un campo potencial
v _
{Yo
Voa jr
r~a
r> a
con referencia cero en el infinito. Halle una expresión.para la energía almacenada que este campo
representa.
r < a
r> c.

62zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEN ER G IA Y PO TEN C IA L ELEC TR IC O D E LO S SISTEM A S D E C A R G A [C A P. 5
Obsérvese que la carga total sobre la concha es, según la ley d e Gauss,
(
E O
vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVoa )ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2
Q=D A= ~
(47ta )YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=47tEoVoa
m ientras que el potencial en la concha esV
=~. Así pues,W
E =!QV ,resultado fam iliar para la energía alm a--
cenada en un condensador (en este caso, un condensador esfér ico con la otra placa de radio infinito).
Problemas suplementarios
5.22. Halle el trabajo realizado al m over una carga Q
= -20J lCdesde
el origen hasta (4, 2,
O )m en el cam po
5.23.
5.24.
5.25.
∙ S.26.
5.27.
, 5.28.
5.29.
E
=2(x+4 Y ) 8x+ 8 X 8y(V/m)
Z
a lo largo de la trayectoria
x
2
=8y. Resp.1.60 m J
Repita el problem a 5.4 utilizando una trayectoria de direcc ión
radial. Resp. -117.9J ll
~ -----ll---Y
Repita el problem a 5.4 utilizando la trayectoria m ostrada en la
figura 5-15. Resp.-117.9J ll
x
Fig.5-15
Halle el trabajo realizado al m over una carga puntualQ
=3J lCdesde (4 m , 7t,O )hasta (2 m ,7t/2, 2m ), coorde-
nadas cilíndricas, en el cam po E
=(10
5
/r)a,+10
5
z8
z
(Y/m ). Resp. -0.392
J
Halle la diferencia entre las cantidades de trabajo requeridas para traer una carga puntual Q =2 nC desde el
infinito hastar
=2 m y desde el infinito hastar =4 m , en el cam po E ,,;,(105/r)ar(Y / m ).
Resp.1.39
x10-
4
J .
Una carga total de (40/3) nC está distribuida en form a de un di sco circular de radio 2 m . Halle el potencial
producido por esta carga en un punto situado sobre el eje, a 2 m del disco. Com pare este potencial con el que se
obtiene si toda la carga está en el centro del disco. Resp.49,7Y, 60 Y
U na carga lineal uniform e de densidad
p (=1 nC/ m está arreglada
en form a de un cuadrado de 6 m de lado, com o se m uestra en la
figura 5 -16. Halle el potencial en
(O , O ,5) m . Resp.35.6 Y
Z
(O , O , 5)
Desarrolle una expresión para el potencial en un punto situado ad
m etros m edidos radial m ente hacia afuera desde el punto m edio de
una carga lineal finita con
Lm etros de longitud y densidad
uniform ePr(C/m ). Aplique este resultado, com o prueba, al p ro-
blem a 5.28.
y
x
Resp.
~ InL/2+J d
2
+
1 3 /4 ( V )
27tfo d
Fig.5-16
5.30. Dem uestre que el potencial en el origen producido por u na densidad superficial uniform e de cargaP .sobre el
anilloZ
=O ,R ~ r ~ R +I es independiente deR.
5.31. Una carga total de 160 nC está inicialm ente separada en cuatro cargas puntuales iguales espaciadas a 90° de
intervalo alrededor de un círculo de 3 m de radio. Halle el potencial en un punto situado sobre el eje, a 5 m del

CAP. 5] ENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA 63
plano del círculo. Separe la carga total en 8 partes iguales yrepita el ejercicio con las cargas espaciadas a 45° de
intervalo. ¿Cuál sería la respuesta en el lím itevutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP r=(160/61t) nCfm? Resp. 247 Y
5.32. En coordenadas esféricas, el punto A está en un radio 2 m y el punto B está en 4 m . Dado el cam po E
YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
(- 1 6 1
r2 )a ,( Y1m ), halle el potencial del punto A, con referencia cero en el infinito. Repita el ejercicio para el
punto
B .Ahora exprese la diferencia de potencial V A -VBYcom pare el resultado con ~roblem a 5.8.
Resp.
VA=2 V D= -8 Y
5.33. Si el potencial de referencia cero está en
r=10 m y una carga puntual Q =0.5 nC está en el origen, halle los
potenciales enr = 5mY"=15 m . ¿A qué distancia radial el potencial es igual en m agnitud al potencial enr = 5m ,
pero opuesto en signo? Resp.0.45 Y, 0.15 Y,oo
5.34. U na carga puntual Q
=0.4 nC está localizada en (2, 3, 3) m en coordenadas cartesianas. Halle la diferencia de
potencialV
AB,donde el puntoAes (2, 2, 3) m yBes (-2, 3, 3) m . Resp.2.70 Y
5.35. Halle el potencial en coordenadas esféricas producid o por dos cargas puntuales iguales, pero opuestas sobre el
eje
y=± d I2 .Supongar ~d . Resp.(Q dsen8)/(41tt.or 2)
5.36. Repita el problem a 5.35 con las cargas sobre el ejez. Resp.(Q dcos
8)j(41tt.or
2
)
5.37. Halle las densidades de carga sobre los conductores de l problem a5J 7.
Resp.
5.38. Una carga lineal uniform e con P r= 2nCIm yace en el planoz=0 paralelo al eje xeny =3 m . Halle la diferencia
de potencialV
ABpara los puntosA(2 m , 0,4 m ) yB(O ,O, O). Resp.-18.4 Y
5.39. Una carga lam inar uniform e, con P .=
(I/61t)nCfm
2
,está en x=0 y una segunda carga lam inar, con P . =
(-1/61t) nCfm2,está enx=10 m . Halle VAB, VBC yVACparaA ( IOm , O, O) YC(O, O, O).
Resp. -36 Y, - 24 Y, - 60 Y
5.40. Dados los cam pos eléctricos en coordenadas cilíndric as E =
( 5 1r)a ,(Y 1m ) para O<r ~2 m y E =2.5 a, Y1m
parar
>2 m , halle la diferencia de potencialV ABpara A(I m , O, O)YB(4m , O, O). Resp.8.47 Y
5.41. U n condensador de placas paralelas de 0.5 m por 1.0 m , ti ene una distancia de separación de 2 cm y una dife-
rencia de voltaje de 10 Y. Halle la energía alm acenada, supon iendo que
t.=t.o. Resp.11.1 nJ
5.42. El condensador descrito en el problem a 5.41 tiene un voltaje
aplicado de 200 Y.
( a )Halle la energía alm acenada.
( b )M antenga di (figura 5-17) en 2 cm y la diferencia de voltaje en
200 Y, m ientras se aum entad
2a 2.2 cm . Halle la energía final
alm acenada.
(Suger encia : Mtí,=t(i\C)V2)
Resp. (a )4.4ul ; (b)4.2jJ l
1 -o.sm---j
Fig.5-17
5.43. Halle la energía alm acenada en un sistem a de tres carga s puntuales iguales,Q
=2 nC, dispuestas en línea con 0.5
m de separación entre ellas. Resp.180 nJ
5.44. Repita el problem a 5.43 si la carga en 'el centro es -2 nC. Resp.-180 nJ.

6 4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAENERGIA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEM AS DE CARGA [CAP. 5
5.45. Cuatro cargas puntuales iguales, vutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ =2 nC, deben ser colocadas en las esquinas de un cuadrado de (1/ 3) m de
lado, una por una. Halle la energía en el sistem a después que c ada carga ha sido colocada.
Resp.
O ,108 nJ, 292 nJ, 585 nJ
5.46. Dado el cam po eléctrico
E= -5e-ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
r llla
ren coordenadas cilíndricas. Halle la energía alm acenada en el volum en
descrito porr
S;2ay O S;zS;5a . Resp. 7.89x 10-10a3
5.47. Dado un potencial V=3 x
2+4y2(V). Halle la energía alm acenada en el volum en descrito por OS; xS; 1 m
O :S ;;YS; 1 my OS; z ~ 1 m . r esp.147 pJ

Capítulo6
Corriente, densidad de corrienteEDCBA
y
conductoreszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6.1INTRODUCCIONonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
C o r r ie n te e lé c tr ic aes la tasa de transporte de carga eléctrica que pasa por un punto específico o a través
de una superficie determinada. El símbolo
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1se usa generalmente para corrientes constantes y el símboloZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi
para corrientes que varían con el tiempo. La unidad de corriente es ela m p e r e(1 A =1C Is. En el sistema SI, el
ampere es la unidad básica y el coulomb la unidad derivada).
La ley de Ohm relaciona la corriente con el voltaje y la resistencia. Para circuitos de simples,
1=VI R .
Sin embargo, cuando las cargas están suspendidas en un líquido o un gas, o cuando los portadores de carga
negativa y positiva están presentes con diferentes características, la forma simple de la ley de Ohm es insufi-
ciente. Por consiguiente, en electromagnetismo, la densidad de corriente
J(Alm") recibe más atención que la
corriente
l.
6.2 CARGAS EN MOVIMIENTO
Considérese la fuerza sobre una partícula cargada positivamente en un campo eléctrico en el vacío, como
se muestra en la figura 6-1
(a ).Esta fuerza, F=+ Q E ,no es opuesta y produce una aceleración constante. De
esta manera, la carga se mueve en dirección de E con una velocidad U que aumenta siempre que la partícula
se halle en el campo E. Si la carga está en un líquido o en un gas,como se muestra en la figura 6-1
(b ),se
estrella repetidamente con las partículas presentes en el medio, con lo cual se producen cambios de dirección
al azar. Pero, si E es constante y el medio es homogéneo, las componentes aleatorias de velocidad se cancelan,
y se tiene una velocidad promedio constante, conocida como ve lo c id a d d e c o r r im ie n toU, a lo largo de la
dirección E. La conducción en los metales tiene lugar mediante el movimiento de los electrones de las capas
más exteriores de los átomos que conforman la estructura cristalina. De acuerdo con la teoríae le c tr ó n ic a d e
lo s g a s e s ,estos electrones alcanzan una velocidad de corrimiento promedio muy similar a la de una partícula
cargada que se mueve a través de un líquido o un gas. La velocidad de corrimiento es directamente propor-
cional a la intensidad del campo eléctrico,
u=
jlE
dondeu ,lam o vilid a d ,se mide en unidades m
2
IV∙s. Cada metro cúbico de un conductor contiene un número
de átomos del orden de 10
28
•Los buenos conductores tienen uno o dos de los electrones de cada átomo libres
para moverse cuando se aplica un campo. La movilidad uvaría con la temperatura y la estructura cristalina
del sólido. Las partículas presentes en el sólido tienen un movimiento vibratorio que aumenta con la tempe-
ratura. Esto dificulta aún más el movimiento de las cargas. Así pues, a altas temperaturas la movilidad
jlse
reduce, resultando en una menor velocidad (o corriente) de corrimiento para un E determinado. En análisis
de circuitos este fenómeno se toma en cuenta para determinarlar e s is tivid a dpara cada material y especificar
un aumento de esta resistividad con temperatura creciente.
u
-~+~Q~.====~--------~~E
--------------------~
(a )Vacío (b )Líquido o gas
Fig.6-1
65

66 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAYCONDUCTORES [CAP. 6
6.3 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONVECCION,
J
Un conjunto de partículas cargadas que dan lugar a una densidad de carga onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApen un volumenvaparece en
la figura 6-2 provisto de una velocidad U hacia la derecha. Sesupone que las partículas mantienen su posi-
ción relativa dentro del volumen. Cuando esta configuración de carga
pasa una superficie S ello origina unac o r r ie n te d e c o n ve c c ió n ,con
densidad
Si la sección transversal de
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAvvaría o si la densidadpno es constante a
través dev,entonces
Jno será constante con el tiempo. Más aún,Jserá
cero cuando la última porción del volumen cruza S. De todas maneras,
el concepto de una densidad de corriente causada por una nubede
partículas cargadas en movimiento es a veces útil en el estudio de la
teoría de campos electromagnéticos.
6.4 DENSIDAD DE LA CORRIENTE DE CONDUCCION,
J
U
~
J = p U
S
Fig.6-2
De más interés es lac o r r ie n te d e c o n d u c c ió nque aparece dentro de los conductores de sección transver-
sal fija en presencia de un campo eléctrico. La densidad de corriente está dada nuevamente por
donde
( 1=P J les lac o n d u c tivid a ddel material ens ie m e n s p o r m e tr o(S / m). En conductores metálicos los
portadores de carga son los electrones, que se desplazan en dirección opuesta al campo eléctrico (figura 6-3).
Por consiguiente, para los electrones, tanto
PcomoJ lson negativos, lo
que produce una conductividad
(1,positiva, tal como en el caso de
portadores de carga positivos. Se deduce que
Jy E tienen la misma
dirección sin importar el signo de los portadores de carga. Es conven-
cional tratar los electrones que se mueven a la izquierda como cargas
positivas que se mueven a la derecha, y siempre tener a
PyjJcomo
positivos.
La relación
J=( 1E se conoce comofo r m a p u n tu a l d e la le y d e
O h m .El factor
( 1tiene en cuenta la densidad de electrones libres que se
mueven
(P )y la facilidad relativa con que se mueven a través de la es-
tructura cristalina
(J l).Como podría esperarse, es una función de la
temperatura.
que, en vista de la relación
U=llE ,puede escribirse
J=(1E
6.5 CONDUCTIVIDAD ( 1
s
Fig.6-3
En un líquido o gas hay, generalmente iones, tanto negativoscomo positivos, algunos con carga sencilla
y otros con carga doble y además, posiblemente, con diferente masa. Una expresión de conductividad podría
incluir tales factores. Sin embargo, se supone que todos losiones negativos son iguales y lo mismo todos los
iones positivos. Entonces la conductividad contiene dos términos como se ve en la figura
6-4(a).En un con-
ductor metálico, sólo los electrones de valencia están paramoverse. En la figura
6-4(b)se muestran en movi-
miento hacia la izquierda. La conductividad contiene entonces sólo un término, el producto de la densidad de
carga de los electrones libres para moverse,
P e 'por su movilidad,J le '
Una conducción más compleja es la que se da en semiconductores como el germanio y el silicio. En la
estructura cristalina cada átomo tiene cuatro enlaces covalentes con átomos adyacentes. Sin embargo, a
temperatura ambiente, y bajo el influjo de alguna fuente de energía como luz, los electrones pueden moverse
fuera de la posición reservada para el enlace covalente. Esto crea unp a r e le c tr ó n -h u e c odisponible para

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 67
-e --e---e
--Bo---
--ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
< D - -e
J J -e --0-- ~~-e
J O-
E
E--~ -e:--G
E o----e
---e
-= -e
-GO-onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
o = » .» :
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ P + IJ + a =P e IJ e a =P e IJ e+P h IJ "
(o )Liquido o gas (b )Conductor (e )SemiconductorEDCBA
F i g . 6 - 4
conducción. Tales materiales se denominan semiconductores
in tr ín s e c o s .Los pares electrón-hueco tienen un
tiempo de vida breve y desaparecen por recombinación. Sin embargo, otros se van formando por lo que todo
el tiempo hay algunos disponibles para conducción. Como se muestra en la figura6-4(c),la conductividad
consiste de dos términos, uno para electrones y otro para huecos. En la práctica, hay impurezas, elementos de
valencia tres o de valencia cinco, que se agregan para crear materiales semiconductores
tip o potip o n .El
comportamiento intrínseco antes descrito continúa, pero está cubierto por la presencia de electrones extra en
los materiales del tipo
no de huecos extra en los del tipop.Así, en la conductividadu ,una de las densidades,
P e o P h 'excederá a la otra.
La corriente total
1(en A) que atraviesa una superficie S está dada por
1=fJ∙dS
s
6 . 6 C O R R I E N T E 1
(ver figura 6-5). Debe escogerse un vector normal para el diferencial de
superficie
d S.Así pues, un resultado positivo en1indica que la corriente a
través de S en la misma dirección del vector normal. Por supuesto,
Jno tiene
necesariamente que ser uniforme en S, ni tampoco S tiene que s er una
superficie plana.
dS
F i g . 6 - 5
EJEMPLO 1: Halle la corriente presente en el alambre circular que se muestra en
la figura 6-6 si la densidad de corriente es
J=15(1 - e-1000')az(A /m
2
) .
El radio del
alambre es 2 mm.
Se escoge una sección transversal para S. Entonces
d I=
J.d S
=15(1 - e-1000')az'r d r d r / a z
z
y
2x0.002
I=f f 15(1-e-
1000
')rdrdcp
o o
=1.33X10-
4
A=0.133 mA
dS
Cualquier superficie S que tenga un perímetro que se ajuste ala superficie externa
del conductor en todo su alrededor tendrá la misma corriente total,
1=0.133 mA,
cruzándola,
6 . 7 R E S I S T E N C I A R
J
F i g . 6 - 6
Si un conductor de sección transversal uniforme
Aylongitudl,como el que se muestra en la figura 6-7.
tiene una diferencia de voltaje
Ventre sus extremos, entonces
V
E=-
t
y
J=uV
t

68zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6 onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
R = ~
o A
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
( O )
suponiendo que la corriente está uniformemente distri-
buida sobre el área
A,La corriente total es, entonces,
I = J A= o AV
t
Como la ley de Ohm establece queV=I R ,la resistencia
es
(Observe que 1
S-l=10; el siemens era anteriormente
conocido como elm h o .)Esta expresión para la resisten-
cia se aplica generalmente a todos los conductores en los
que la sección transversal permanece constante sobre
toda la longitud
t.Sin embargo, si la densidad de corriente es mayor a lo largo del área superficial del
conductor que en el centro, entonces la expresión no es válida. Para tal distribución de corriente no unifor-
me la resistencia está dada por
~ --+ -llll----~
V
Fig.6-7fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
v
V
R= SJ .d S= - = - S( T - E - ' - d = - = - S
Si se conoce E en lugar de la diferencia de voltaje entre las dos caras, la resistencia está dada por
R
=. , S , - - - E _ . _ d . , . . , . . 1
S
(TE∙d S
El numerador da la caída de voltaje a través de la muestra, mientras el denominador da la corriente total/o
EJEMPLO 2: Encuentre la resistencia presente entre las superficies curvas internayexterna del bloque que aparece
en la figura 6-8. El material es plata para, la cuala
=6.17 x 10
7
S jm .
Si la misma corriente
1cruza la superficie internayla externa, entonces,
k
J=- Sr
r
y
k E=-sr
a r
Entonces (5°=0.0873 rad),
In 15 =1.01 x 10-
5n=10.1n
a (0 .0 5 )(0 .0 8 7 3 ) _ J l
5-,
0.05
m
3 . 0k
f
-a'd r e .
r r
0 . 2a r
R=,0.05 .0.0873k
J J
-
a, . rd 4 >d za,
° ° r
---r
r
b=3.0m
Fig.6-8
6.8 DENSIDAD DE LA CORRIENTE LAMINAR, K
Algunas veces la corriente está confinada a una superficie de un conductor, tal como las paredes internas
de una guía de onda. Para talc o r r ie n te la m in a res útil definir el vector densidad K (en
Alm), que da la rata de
transporte de carga por unidad de longitud. (Algunos librosusan la notación
Js , )La figura 6-9 muestra una
corriente total/, en forma de hoja cilíndrica, .de radior ,que fluye en direcciónzpositiva. En este caso,
1
K = -a
2 n rz
en cada punto de la hoja. Para otras hojas, K puede variar de unpunto a otro (ver problema 6.19). En general,
la corriente que fluye a través de una curva
edentro de una corriente laminar se obtiene integrando la

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 69
Fig.6-'EDCBA F i g . 6 - 1 0
componente'onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn o r m a lde K a lo largo de la curva (ver figura 6-10). Así pues
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1
=fK"dt
c
6.9C O N T I N U I D A D D E L A C O R R I E N T E
La corriente
1que cruza una superficie general S ha sido examinada para loscasos en que ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJen la super-
ficie era conocida. Ahora, si la superficie esc e r r a d a ,para que salga una corriente neta debe haber una dismi-
nución de carga positiva adentro:
lJ .d S=1= -d Q= - ~fp d v
j d t a t
donde la unidad normal end Sestadirección normal hacia afuera. Dividiendo por
.1 v,
Cuando.1 v- +0, el lado izquierdo por definición tiende a V •J,divergencia de la densidad de corriente,
mientras el lado derecho se aproxima a- a p jo t.Así pues
a p
V 'J = --
a t
Esta es la ecuación dec o n tin u id a d d e c o r r ie n te .En ellaprepresenta la densidadn e ta d e c a r g ay no
sólo-la
densidad de carga móvil. Como se verá luego,a p ja tpuede ser diferente de cero sólo transitoriamente dentro
de un conductor. Entonces la ecuación de continuidad, V •
J=0, viene a ser el campo equivalente de la ley de
la corriente de Kirchoff, que establece que la corriente neta que abandona una unión de varios conductores es
cero.
En el proceso de conducción, los electrones de valencia están libres para moverse bajo la aplicación de un
campo eléctrico. Así que, mientras estos electrones estén en movimiento, no existirán condiciones estáticas.
Sin embargo, estos electrones no deben confundirse con lac a r g a n e ta ,porque cada electrón de conducción
está balanceado por un protón en el núcleo de tal manera que lasarga neta es cero en cada
.1 vdel material.
Supóngase, sin embargo, que en un desbalanceo temporal, unaregión situada dentro de un conductor sólido
presenta una densidadn e tade carga
P oen el tiempot =O. Entonces, comoJ=< T E=(<T/E:)D,

70 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
La operación de divergencia consiste en las derivadas parciales respecto de las coordenadas espaciales. Si
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(JYonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
eson constantes, como deben ser en una muestra homogénea, entonces deben ser removidas de las derivadas
parciales.
o
La solución a estaecuaciónes
~ (V. D)
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= ñ o
e o t
(J op
-P = --
e o t
op (J
a ¡ + € ,P = O
Se ve que
o .y con ella
P=P oe -(a /E )'
op
o t
(J
--p
e
decae exponencialmente con una constante de tiempo ( / ( J ,también conocida como tie m p o d e r e la ja c ió n
para el material particular. Para la plata, con
(J=6.17X10
7S/ m y(~(o,el tiempo de relajación es
1.44 x 10
-19s. De esta manera, si una densidad de cargaP opudiera de alguna manera lograrse en el interior
de un bloque de plata, las cargas se separarían debido a las fuerzas de Coulomb, y después de 1.44 x 10
-19 S
la densidad restante sería el 36.8% deP o .Después de cinco constantes de tiempo, o 7.20 x 10-
19
s, sóloO.67%
de
P opermanecería. Así pues, puede deducirse,' para campos estáticos, quela c a r g a n e ta d e n tr o d e u n c o n -
d u c to r e s c e r o .Si no hay carga neta presente, debe estar en la superficie externa.
6.10 CONDICIONES LIMITES EN CONDUCTOR-DIELECTRICO
Bajo condiciones estáticas toda la carga neta estará en las superficies externas de un conductor yambos
E y D serán por lo tanto cero dentro del conductor. Como el campo eléctrico es un campo conservativo, la
integral lineal cerrada de E.d les cero para cualquier trayectoria. Una trayectoria rectangular con esquinas
J"2, 3, 4 se muestra en la figura 6-11.
2 3 4 1
fE∙dl+fE ∙d l+fE ∙d l+fE ∙d l= O
1 2 3 4 1 2
~ ~
Dieléctrico
~~'-..~~"
, Conductor
4 3
Fig.6-11
Si la trayectoria de las longitudes 2 a 3 y 4 a1se hacen tender a cero, con-
servando la interfase entre ellas, entonces la segunda y la cuarta integral
son cero. La trayectoria 3 a 4 está dentro del conductor dondeE debe ser
cero. Esto deja
2 2
fE .di=f E , d t=O
1 1
dondeE les la componente tangencial de E en la superficie del dieléctrico. Como el intervalo de1a 2 puede
escogerse arbitrariamente,
E ,= D t= O
en cada punto de la superficie.
Para encontrar las condiciones sobre las componentes normales, un cilindro circular recto, pequeño y
cerrado se coloca a través de la interfase como se muestra en la figura 6-12. La ley de Gauss aplicada a esta
superficie da
o
fD∙d S= Qcnc
fD ∙d S+f D ∙d S+fD ∙d S=fP s d S
arriba abajo lado A

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 71
La tercera integral es cero ya que, como se acaba de determinar,
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
D ,=O en cualquier lado de la entrecara. La segunda integral
también es cero, ya que la parte de abajo del cilindro está dentro
del conductor, donde D y E son cero. Entonces,
fonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD ∙d S= fD nd S= fP s d SEDCBA
a r r i b a a r r i b a A
lo que sólo se cumple si
y EZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=P .
n f
Para abreviar, bajo condiciones estáticas, el campo situado justo afuera de un conductor es cero
(componentes tangencial y normal) a menos que exista una distribución superficial de carga. Sin embargo,
una carga superficial no implica una cargan e taen el conductor. Para ilustrar esto, considere una carga posi-
tiva en el origen de coordenadas esféricas. Si esta carga puntual está encerrada por una concha esférica
conductorad e s c a r g a d ade espesor infinito, como aparece en la figura6 - 1 3 ( a ) ,entonces el campo aún está
dado por
+Q
E=4 - - - - - - Za ,
T ta
excepto dentro del conductor mismo, donde E debe ser cero. La s fuerzas de Coulomb causadas por+Q
atraen los electrones de conducción hacia la superficie interna, donde crean una
psIde signo negativo.
Entonces la deficiencia de electrones en la superficie externa constituye una densidad superficial de carga
Ps 2
positiva. Las líneas de flujo eléctrico 'P, que abandonan lacarga puntual+Q ,terminan en los electrones de la
superficie interna del conductor, como se muestra en la figura 6-13(b).Entonces, unas líneas de flujo eléctri-
co 'P se generan una vez más en las cargas positivas de la superficie externa del conductor. Debe anotarse que
el flujo no pasa a través del conductor y la cargan e taen dicho conductor permanece cero.
I \}t
P
s
2 -----< ••.•••.∙ /
/
(a ) (b )
Fig.6-13
P r o b l e m a s r e s u e l t o s
6.1.Un conductor de cobre A WG# 12 tiene un diámetro de 80.8 mil. Una longitud de 50 pies conduce una
corriente de 20 A. Halle la intensidad del campo eléctrico
E ,la velocidad de corrimientoU ,la caída
de voltaje y la resistencia para la sección de 50 pies.
Como un mil es 1/ 1000 de pulgada, el área de la sección transversal es
[(
O.0808PUl)(2.54
X10-
2
m)]2 -6 2
A=1 t 1 =3.31x10m
2 pul

72 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
EntoncesfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 2 0
JZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= - = = 6.04X10
6
A/m2
A 3.31X10-
6 o
Para el cobre,
onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAu=5.8X10
7
S/m. Entonces
J6.04X10
6
E= - = 7=1.04 x 10 -1V/m
u 5.8 x 10
v=E l=(1.04 x 10-
1
)(50)(12)(0.0254)=1.59 V
V 1 .5 9
R
=T=20=7.95x10- 2n
La movilidad de los electrones en el cobre esJ l ,;,0.0032 m 2/V . s,ycomo ( J= P J l,la densidad de carga es
u5.8 x 10
7
P= - = = 1.81X10
1 0
CjmJ
J l 0 .0 0 3 2
A partir de
J=P Use encuentra la velocidad de corrimiento
U
= ~ =6.05X10
6
=3.34X10-4mis
p1.81 x 10
1 0
Con esta velocidad de corrimiento un electrón tarda aproximadamente 30 segundos para recorrer una distancia
de un centímetro en el conductor de cobre # 12.
6.2. ¿Qué densidad de corriente e intensidad del campo eléctrico corresponden a una velocidad de corri-
miento de 5.3 x
10-
4
m isen el aluminio?
Para el aluminio, la conductividad esu=3.82X10
7
S/rilyla movilidad J l=0.0014 m2/V.s
.
( J 3.82 x 10
7
( 4) ,
2
J=p U= -U= 5.3 x 10-=1.45 x 10' A/m
J l 0 .0 0 1 4
JU
E= - = - =3.79X10-
1
V/m
( J
J l
6.3. Un conductor largo de cobre tiene una sección transversal circular de diámetro 3.0 mm yconduce
una corriente de 10 A. ¿Qué porcentaje de electrones de conducción deben dejar cada segundo (para
ser reemplazados por otros) una sección de 100 mm de longitud?
El número de Avogadro esN =6.02X10
26
átomos/ kmol. La gravedad específica del cobre es 8.96yel peso
atómico es 63.54. Suponiendo un electrón de conducción por á tomo, el número de electrones por unidad de
volumen es
N .=(6,02X10
2 6átomOS)( 1 kmol )(8.96 x 103 kg)(1 electrÓn)
. kmol 63.54 kg rn ' o átomo
=8.49 x 10
2 8
electrones/ m
3
El número de electrones en 100 mm de longitud es
N = 7 tex;0-3f(0.IOO)(8.49 x 10
28
)=6.00 x 10
22
Una corriente de 10Arequiere que
(
C) ( 1 electrÓn) -
10 -
19 =6.25X'10
19
electrones/s
s 1.6 x 10 C
pasen un punto fijo. Entonces el porcentaje por segundo que deja los 100 mm de longitud es
625
X10
1 9
6:00 x 1022 (100)=0.104% poros

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 73
6.4. ¿Qué corriente se produce si todos los electrones de conducción presentes en un centímetro cúbico de
aluminio pasaran un punto determinado en2.0
S?Supóngase un electrón de conducción por átomo.
La densidad del aluminio es 2.70 x 10
3
kg/m ' y el peso atómico es 26.98 kg/kmol. Entonces
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
N .= (6.02 x 10
26
)(_1_)(2.70 x 10
3
) = 6.02 X10
28
electrones/m!
26.98ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
L \ Q
(6.02x1Q28electrones/11Í3)(10-2m)3(1.6x10-
19C¡electrón)
1= - = = 4.82 kA
~ t 2s
6.5. ¿Cuál es la densidad de electrones libres en un metal para una movilidad de0.0046m2jV∙syuna
conductividad de29.1M S jm ?
Como
a=J 1 P ,
y
P= ~ = 29.1X10
6
= 6.33 X10
9C/m3
J 1 0 .0 0 4 6
6.33x10
9
N .= 19= 3.96X10
28
electrones/m!
1.6
x10
6.6. Determine la conductividad de germanio intrínseco a temperatura ambiente.
A300
0Khay 2.5x 10
19pares electrón-hueco por metro cúbico. La movilidad de los electrones es Il.=
0.38 m2/V∙s y la movilidad de los huecos es Ilh= 0.18 m
2¡ v .s. Como el material no está contaminado, el
número de electrones y huecos es igual.
6.7. Halle la conductividad del germanio tipona temperatura ambiente suponiendo un átomo en cada
10
8átomos. La densidad del germanio es5.32x 10
3
kg/m
3
yel peso atómico es72.6kgj kmol.
Existen
N= (6.02x10
26
)(_1_)(5.32x10
3
) = 4.41X10
28
átomos/m!
72.6
y esto nos da
N .=10-
8
(4.41 x10
28
)=4.41 x10
2
°electrones/m
3
La concentración intrínsecan ¡para el germanio a 300 0Kes 2.5x10
19porm '.Lale y d e a c c ió n d e m a s a ,
N , Nh .=n
2
t >da entonces la densidad de huecos así
(2.5
X10
19
)2
N
h= 2 0= 1.42X10
1 8
lhuecos/ m
3
4.41x10
Entonces, utilizando las movilidades "del problema 6.6,
o=N .e ll.+N h e llh
= (4.41 x 10
2 0)(1.6 x 10-
1 9
)(0.38)+(1.42 x 1'6
18
)(1.6x 10-
19
)(0.18)
= 26.8+0.041 = 26.8 S/m
En el germanio tipo
nel número de electrones en un metro cúbico es 4.41 x 1020,aliado de 1.42 x 1018
huecos. La conductividad es entonces controlada por los electrones suministrados por el agente contaminante
de valencia cinco.

74zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
[CAP. 6
6.8. U n conductor de sección transversal uniforme
y150 m de largo tiene una caída de voltaje de 1.3 V Y
una densidad de corriente de 4.65
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx10
5onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Al m '.¿Cuál es la conductividad del material en el
conductor?
Como
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA'E=V /tyJ=u E ,
4.65 x lOs=u (.!2 )
150
ó u=5.37X10
7
S/m
6.9. Una tabla de resistividades da 10.4 ohms mil circular por piede cobre templado. ¿Cuál es la con-
ductividad correspondiente en siemens por metro?
Unm il c ir c u la res el área de un círculo con un diámetro de l mil (10-
3pul).
[(
1O-
3P
UI)( m)]2
Imil cir = 1t --2- 0.0254p~1 =5.07x10-10m
2
. La conductividad es el recíproco de la resistividad.
_ (_1 pie )(12 ~)( m)(
Imil cir ) _ 7
U -lOAn .mil cir pul 0.0254
pUI
5.07 x 10 10m2 -5.78 x 10 S/m
6.10. Un alambre de aluminio A WG #20 tiene una resistencia de 16.7 ohms por 1000 pies. ¿Qué conduc-
tividad implica esto?
De las tablas de alambres, el #20 tiene un diámetro de 32 mils.
[
32
X10-3 ]2
A=1t 2 (0.0254) =5.19x10-
7
m
2
t=(1000 pie)(12 puljpie)(0.0254 mjpul)= 3.05x10
2m
Entonces paraR=t/u A,
3.05
X10
2
u= (16.7)(5.19x10-7) = 35.2 MS/m
6.11. En un conductor cilíndrico de radio 2 mm, la densidad decorriente varía con la distancia desde el eje
de acuerdo a
Halle la corriente total
l.
2~ 0.002
1=fJ.d S=fJd S=f f 1 0 3 e - 4 o o ' r d r d r j >
o o
[
e -
400, ] 0.002
=21t(10
3
) ( 2
(-4OOr - 1) =7.51 mA
-400)
o
6.12. Halle la corriente que cruza la porción del plano y =O definido por - 0.1 ~ x ~0.1 my _
0.002 ~
z ~0.002m,si
0.002 0.1
I = fJ ' d S = f f 1 Q 2 I XI B y∙d xd zB y= 4 m J \
-0.002 -0.1

CAP. 6]
CORRIENTE, DENSl'DAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES
75
6.13.Halle la corriente que cruza la porción del planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=Odefinido por-n /4 ~ y ~n /4my -0.01
~ z ~O.Olm, si
0.01 1 < / 4fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
1=
rJ.dS=f f lOOcos2yax'dyd z e ¿=2.0 A
• -0.01 -,,/4 .
6.14.DadoJ=)03sen ()a- Alm?en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la concha esféri-
car
=0.02 m.
ComoJY
son radiales,
2" "
I=f f10
3
(0.02)2 sen'O d O d I/J=3.95 A
o o
6.15.Demuestre que la resistencia de cualquier conductor de sección transversal con áreaA ylongitud (
está dada por
R=(/(lA,suponiendo una distribución uniforme de corriente.
Una sección transversal constante a lo largo detproduce unEconstante,yla caída de voltaje es
v=fE'dl=Et.
Si la corriente está uniformemente distribuida en el áreaA ,
I=fJ .dS=JA=u E A
dondeues la conductividad. Entonces, como R=V/ I ,
R = ~
u A
6.16.Determine la resistencia de aislamiento en una longitudtde cable coaxial, como se muestra en la
figura 6-14.
Suponga una corriente totall desde el conductor interno al
externo. Entonces, a una distancia radial r, 1k-4--t---~¡
I
E=--
2 1 tu r t
•)
yasí
I I
J=-=-
A 2 1 tr t
Fig.6-14
La diferencia de voltaje entre los conductores es entonces
• I I b
V.= -f -- d r=--In -
.b b 2 1 tu r t 2 1 tu t a - ,
yla resistencia
V 1 b
R = -= --In -
I 2 1 tu t a

76 CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
6.17. U na hoja de corriente de 4 m de anchura yace en el planofedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=O Ycontiene una corriente total de lOA
que se dirige desde el origen hasta (1, 3, O) m. Encuentre una expresión para K.
En cada punto de la hoja, la dirección de K es el vector unidad
yla magnitud de K es(1 0 /4 ) A /m .De esta manera,
Ir
K = -aonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Z n rr
y
6.18. Tal como se muestra en la figura 6-15, una corriente 1T
sigue un filamento que baja por el eje
zy entra en una hoja
conductora delgada en z
=O. ExpreseKpara esta hoja.
Considérese un círculo en el planoz
=O. La corriente1T
sobre la hoja se abre uniformemente sobre la circunferenciaL n r .
la dirección de K esaroEntonces
x
Fig.6-15
6.19. Para la hoja de corriente del problema 6.18 encuentre la corriente en una sección del plano de 30
0
(figura 6-16).
_ / 61 1
1 =fK .d t= f--.I..rd < jJ=.I..
o2 r r .r 1 2
Sin embargo, la integración no es necesaria, puesto que parauna
corriente uniformemente distribuida, un segmento de 300
contendrá
3 0 ° / 3 6 0 °o1 112 del total.
Fig.6-16
6.20.Una corriente I(A )entra a un cilindro circular recto delgado por la parte superior como se muestra
en la figura 6-17. Exprese K si el radio del cilindro es 2 cm.
r
En la parte superior, la corriente está uniformemente
distribuida sobre cualquier circunferencia
2 r r .r ,de tal manera que
1
I
K=- 2a,( A /m )
rr.r
Hacia abajo, la corriente está uniformemente distribuida sobre la
circunferencia 2rr.(0.02 m), de tal manera que
I
K=0.04rr. (-a%)( A /m )
6.21. En un punto situado sobre la superficie de un conductor , E
=0.70a
x
- 0.35 a, - 1.00a: V/m.
¿Cuál es la densidad superficial de 't:arga en ese punto?
Fig.6-17
En la superficie de un conductor bajo condiciones estáticasla componente tangencialEles cero. En conse-
cuencia, el vector dado debe ser normal al conductor. Suponiendo espacio libre en la superficie,
10-
9
P «=D .=(oE .=±fOIE I=±3 6 r r . J ( 0 .7 0 ) 2+(0.35)2+(1.00f= ±11.2pC/m
2
El signo+(más) debería ser escogido si se supiera que E apunta fuera dela superficie.

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 77
6.22. Un conductor cilíndrico de radio 0.05 m con su eje a lo largo del eje ztiene una densidad superficial de
carga
onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP .ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=( P o /z)(Crrn"). Escriba una expresión para E en la superficie.
Ya que
D n=P .. E n=p J € o .En (0.05,c p ,z),
E=E na, =~a,
€ oz
6.23. Un conductor que ocupa la región x ~5 tiene una densidad superficial de carga
p _ P o
s -J y2+Z 2
Escriba expresiones para EyD justo afuera del conductor.
La normal externa es -a
x :Entonces, justo afuera del conductor,
y
E= P o (-a,.,)
€ o J y2+Z2
6.24. Dos conductores cilíndricos concéntricos,
ra=0.01 my rb=0.08 m, tienen densidades de carga
P s a=40pC/ m
2
yP s b ,tales que DyE existen entre los dos cilindros, pero son cero en cualquierotra
parte. Ver figura 6-18. Halle
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAPs b ,yescriba las expresiones para DyE entre los cilindros.
Por simetría, el campo entre los cilindros debe ser radialy
solamente función de
r.Entonces, pararo<r<rb ,
1d
V • D= - -( r D ,)=O
rd r
ó r D ,=e
Para evaluar la constante e, utilice el hecho de que
D ;=D ,=P ! S O
enr=ro+O.
e
=(0.01)(40 x 10-
12
) =4X10-
13
C/m
Fig. 6-18
yasí
4xlO-
13
D
= a, (C/m2)
r
y
D 4.52 X10-
2
E= - = a,(V/m]
€ o r
La densidad P .bse encuentra ahora a partir de
l l
4xlO-13
P & b=D n = -D , = - = - 5 p C /m
2
=,.-0 =,.-0 0.08EDCBA
P r o b l e m a s s u p l e m e n t a r i o s
6.25. Halle la movilidad de los electrones de conducción en e l aluminio, dada una conductividad 38.2 MS/m
yuna
densidad de electrones de conducción de 1.70 x 10 29m - 3. R e s p .1.40 x 10 - 3 m2/V • s
6.26. Repita el problema 6.25
( a )para el cobre, donde( J =58.0 MS/m y N ,=1.13X10
29
m-3; (b)para la plata,
donde ( J
=61.7 MS/m y N ,=7.44X10
28
m-
3
.
R e s p . ( a )3.21 x 10-
3
m
2/V • s; (b)5.18 x 1O-3m
2/V • s.

78zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
6.27. Halle la concentración de huecos,
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBANonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
h
,en germanio tipop,dondeti=10. S / m y la movilidad de los huecos es
J lh=0.18 m2/Y. s.R e s p .3.47 x 1023m-
3
•
6.28. Utilizando los datos del problema 6.27, halle la concentración de electrones N .,si la concentración intrínseca es
n i
=2.5ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx1019m -3.R e s p .1.80xIOISm-3
6.29. Halle la concentración de electrones y huecos en silicio tipo
npara el queti=10.0 S/m,J l.= 0.13 m2/Y∙ s y
n i= 1.5 x 1016m-J.R e s p .4.81 x 1020m-J, 4.68 x 1011m-J
6.30. Determine el número de electrones de conducción en un metro cúbico de tungsteno, cuya densidad es 18.8
xIOJ
k g /m !y cuyo peso atómico es 184.0. Suponga dos electrones de conducción por átomo.
R e s p .1.23x1029
6.31. Halle el número de electrones de conducción en un metrocúbico de cobre si
t i=58 MS/m y J.I=3.2X10-3
m2/Y • s. En promedio, ¿cuántos electrones por átomo hay? El peso atómico es 63.54 y la densidad es 8.96x103
kg/ mJ.R e s p .1.13x1029, 1.33
6.32. Una barra de cobre de sección transversal rectangular0.02 xO.08 m y longitud 2.0 m tiene una caída de voltaje
de 50 m Y. Encuentre la resistencia, corriente, densidad de corriente, intensidad de campo eléctrico y velocidad
de corrimiento de los electrones de conducción.
R e s p .21.6 JÁl,2.32 kA, 1.45 MA/m2, 25 mY/m, 0.08 mm/s.
6.33. Una barra de aluminio de 0.01 x 0.07 m de sección transversal y 3 m de longitud conduce una corriente de 300 A.
Halle la intensidad del campo eléctrico, densidad de corriente y velocidad de corrimiento de los electrones de
conducción. R e s p .1.12x10-2Y/m, 4.28 x lOs A/m2, 1.57xlO-sm ] » .
6.34. Una reja de alambres da una resistencia de 33.31 O/ km. para el alambre de cobre AWG # 20 a 20°C. ¿Qué con-
ductividad (en S/m) implica esto para el cobre? El diámetro de AWG #
z oes 32 mils.
R e s p .5.8
x10
7
Sl t» .
6.35. Una reja de alambres da una resistencia de 1.21 x 10-
3
O/cm para el alambre AWG # 18 de platino. ¿Qué
conductividad (en S/ m) implica esto para el platino? El diámetro del AWG # 18 es 40 mils.
R e s p .1.00 x 10
7Sl m .
6.36. ¿Cuál es la conductividad del alambre de tungsteno AWG# 32 con una resistencia deO.OI72 n/cm? El diámetro
del AWG # 32 es 8.0 mils.R e s p ,17.9 MS/m.
6.37. Determine la resistencia por metro de un conductor cilíndrico hueco de aluminio con un diámetro externo de
32 mm y paredes de 6 mm de espesor.R e s p .53.4JtO/m.
6.38. Halle la resistencia de una lámina cuadrada de aluminio de 1.0 mil de espesor y 5.0 cm de lado
(a )entre bordes
opuestos en la misma cara
(b )entre las dos caras del cuadrado.
R e s p . ( a )1.03 m
n ;( b )2.66pn
6.39. Halle la resistencia de 100 pies de conductor AWG # 4/0 tanto en cobre como en aluminio. Un alambre AWG#
4/0 tiene un diámetro de 460 mils.R e s p .4.91 mn, 7.46 mO
6.40. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 2 mde largo'con una sección transversal circular y un radio
de 1 mm en un extremo que crece linealmente hasta un radio de 5 mrn en el otro extremo.R e s p .2.20 mn
6.41. Determine la resistencia de un conductor de cobre de 1 mde largo con una sección transversal cuadrada de 1 mm
de lado en un extremo y que aumenta linealmente hasta 3 mm en elotro extremo.R e s p .5.75 mn

CAP. 6] CORRIENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES 79
6.42. Desarrolle una expresión para la resistencia de un conductor de longitud (si la sección transversal retiene la
misma forma y el área aumenta linealmente desdeonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAAhastakAsobre (. R e s p . ~ (Ink )
o A k-l
6.43. Halle la densidad de corriente de un conductor AWG#12 cuando conduce corriente de 30 A. Un alambre#12
tiene un diámetro de 81 mils.R e s p .9.09 x 10
6
A/m
2
.
6.44. Halle la corriente total en un conductor circular de 2 mm de radio si la densidad de corriente varía con rde
acuerdo a
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=1 0
31r ( Alm
2
). R e s p .4 1tA.
6.45. En coordenadas cilíndricas,
J=lOe-100'a~( A/m 2)para la región 0.01 ~r ~0.02m,0< z ~1 m. Halle
la corriente total que cruza la intersección de esta región con el plano
q ,=constante.
R e s p .2.33 x 10-
2A
6.46. Dada la densidad de corriente
en coordenadas esféricas. Halle la corriente que cruza la franja cónica
e=1 t,/4 ,0.001 ~r ~0.080 m.
R e s p .1.38 x 10
4A
6.48.Como se muestra en la figura 6-19, una corriente de 50 A baja
por el eje
z,entra a una concha esférica delgada de radio 0.03 m,
yen
e=1 t/2entra a una hoja plana. Escriba las expresiones
para las densidades laminares de corriente K en la concha esfé-
rica y en el plano.
R e s p .265
Ilg( A/m ) ,7.96 a.( A/m )
sen
é r
6.47. Halle la corriente total saliente desde un cubo de un metro con una esquina en el origen y aristas paralelos a los
ejes coordenados si
J=2x
2
a
lO+2 xy3a y+2 xya .( A/m
2
) .
R e s p .3.0 A
Fig.6-19
6.49. Una corriente de filamento de
I(A )baja por el eje zhastaz=5 x 10- 2m donde entra a la porción O ~q , ~1 t/4
de una concha esférica de radio 5x .10-
2
m. Halle K para esta corriente laminar.
8 0 1
R e s p .--Ilg ( A/m )
1tsene
6.52. Un conductor sólido tiene una superficie descrita por
x+y=3 m y se extiende hasta el origen. En la superficie
la intensidad del campo eléctrico es 0.35 V[m .Exprese ES D en la superficie y halleP .'
R e s p .± 0.247 (a
lO+ay)V/m ,±2.19 x 1O-
12
(a
lO+ay)C fm . 2,± 3.10 x 1O-12Cfm 2•
6.50. Una corriente laminar de densidad K=20 a,Alm yace en el plano x=OYhay una densidad de corrienteJ=
lüa ,Alm? en el espacio.(o )Halle la corriente que cruza el área encerrada por un círculode radio 0.5 m centrado
en el origen en el plano
z=O.(b )Halle la corriente que cruza el cuadradoIx l~ 0.25 m,Iy l ~0.25 m,z=O.
R e s p .(o )27.9 A;(b )12.5 A
6.51. Un conductor rectangular, hueco, de paredes delgadas, con dimensiones 0.0 I x 0.02 m conduce una corriente de
10 A en la direcciónxpositiva. Exprese K.R e s p .l67a
xA/m
6.53. Un conductor que se extiende dentro de la región
z< O tiene una cara en el planot=O en el que hay una
densidad superficial de carga

80zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
6.54.
6.55.
CORRIENTE. DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES [CAP. 6
en coordenadas cilíndricas. Halle la intensidad del campo eléctrico en (0.15 m,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn / 3 ,0 ) .
R e s p .9.45
a,V/m.
Un conductor esférico centrado en el origenZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyde radio 3 mm tiene una densidad superficial de carga P .
fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=
P ocos 2O .Halle Een la superficie. R e s p . P ocos?OSr
(o
La intensidad del campo eléctrico sobre un punto de un conductor está dada por E= 0.2a, -0.3ay-0.2a.
V/m. ¿Cuál es la densidad superficial de carga en el punto? R e s p .
±3.65 pC¡ m
2
Un conductor esférico centrado en el origen tiene una intensidad de campo eléctrico en su superficie E =0.53
(sen?
4 > )a, V/m, en coordenadas esféricas. ¿Cuál es la densidad de carga donde la esfera se encuentre con el
ejey? R e s p .4.69 pC/
m - ,

Capítulo7
Capacitanciaymateriales dieléctricoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
Los materiales dieléctricos segfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp o l a r i za nen un campo eléctrico, produciéndose una densidad de flujo
eléctrico D mayor de la que se tendría bajo condiciones de espacio libre, con la misma intensidad de campo.
U na teoría simplificada, pero satisfactoria, de la polarización, puede obtenerse considerando un átomo del
material dieléctrico como dos regiones de carga positiva y negativa superpuestas, como se muestra en la
figura 7 -1
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( a ) .Cuando se aplica un campo E, la región de carga positiva se mueve en la dirección del campo
aplicado, mientras que la región de carga negativa lo hace enla dirección opuesta. Este desplazamiento puede
ser representado por unm o m e n t o e l é c t r i c o d i p o l a r ,p ""' Qd, como se muestra en la figura 7 -1( c ) .
En la mayoría de los materiales, las
regiones de carga regresan a sus posiciones
originales superpuestas cuando el campo
aplicado es removido. Al igual que en un
resorte, que cumple la ley de Hooke, el
trabajo ejecutado durante la distorsión es
recuperable cuando se permite al
sistema
regresar a su posición original. Durante
esta distorsión se lleva a cabo un almacena-
miento de energía en la misma forma que
con el resorte.
Una región
6..vde un dieléctrico polarizado contiene Nmomentos dipolares p. La polarización P se
define como el momento dipolar por unidad de volumen:
/--0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
/
\
: - ~ +
\ /
,
'--
• E
d
G----G Q
7.1 POLARIZACION P yPERMITIVIDAD RELATIVA 1:,
• E
(o) (b) ( e )
Fig. 7-1
N p
P=lím - (e/m2)
t i v ~ O6 . . v
Esto hace suponer una distribución continua y uniforme de mo mentos eléctricos dipolares en todo el
volumen, lo que, por supuesto, no se produce. Sin embargo, en una visión macroscópica, la polarización P
puede dar cuenta del aumento de la densidad del flujo eléctrico, según la ecuación
D=l:oE+P
P=Xel:oE (material isotrópico)
Esta ecuación permite a E y P tener direcciones diferentes, como sucede en ciertos dieléctricos cristali-
nos. En un material isotrópico y lineal, E y P son paralelos encada punto, lo que se expresa por
donde las u s c e p t i b i l i d a d e l é c t r i c a
X ees una constante adimensional. Entonces,
(material isotrópico)
donde
1:,==1+Xe es también un número puro. Dado que D 1:E (sección 3.4),
por lo quee ,se denomina
p e r m it i v i d a d r e l a t i v a(compárese con la sección 2.1).
81

82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
7.2 D Y EDE VOLTAJE CONSTANTE
Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas y voltaje
gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAVconstante, como el que
se muestra en la figura 7-2, tiene una intensidad de campo eléctrico E constante. Despreciando el efecto de
bordes,WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V
E=-a
d "
EOV
D=EoE=--a
d "
Ahora, cuando un dieléctrico con permitividadE,llena el espacio entre las dos placas, entonces
D = EoE+P= EoE+EoleE
y las ecuaciones son:
V
E=-;¡a"
D= EoE,E
(como en el espacio libre)
Como
D ;=P .=Q /A ,la carga y la densidad de carga aumentan por el factorErrespecto de sus
valores en el espacio vacío. Este aumento de carga es suministrado por la fuente de voltaje
V .
I
Fig. 7-2
7.3 D Y E
DE CARGA CONSTANTE
El condensador de placas paralelas de la figura 7-3 tiene unacarga+
Q~n la placa superior y -Qen la
placa inferior. Esta carga puede haber resultado de la conexión de una fuente de voltajeVque fue posterior-
mente removida. Con espacio vacío entre las placas y despreciando efecto de bordes, se tiene:
D "=P s= ~
E=ti=P sa
Eo EO"
En este arreglo no hay forma de que la carga aumente o dis-
minuya, puesto que no hay una trayectoria conductora
hacia las placas. Ahora, cuando se supone que un material
dieléctrico llena el espacio entre las placas, las ecuaciones
son:
-Q
Fig. 7-3
D "=P s = ~
E=~
EoEr
(como en el espacio vacío)
Siendo
QyP .constantes, D debe ser igual que bajo condiciones de espaciovacío, mientras que la magni-
tud de E disminuye por el factor
l/Er 'La disminución enEoE es compensada por la polarización P en la
relación D
=EoE+P. Mas generalmente, en un medio homogéneo de permitividad relativa Er'la fuerza
de Coulomb entre cargas se reduce a 1/e ,respecto de su valor en el espacio vacío:

C A P .7 ] C A P A C I T A N C I A yM AT E R I AL E S O I E L E C T R I C O S zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA83
7.4CONDICIONES LIMITES EN LA ENTRECARA
DE DOS CAPACITANCIAS DIELECTRICAS
Si el conductor de las figuras 6-11
y6-12 se reemplaza por un ,segundo dieléctrico diferente entonces el
mismo argumento que se desarrolló en la sección 6.10 establece las siguientes dos condiciones límites:
(1)gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAL ac o m p o n e n t e t a n g e n c i a l d eE es continua a través de una entrecara de dieléctricos. En símbolos,
y
f
rl
Enl -
f
r
2
E
n 2
= __
P .
fo
Generalmente, la entrecara no posee cargas libres ( P s=O), por lo que:
y
( 2 ) L a c o m p o n e n t e n o r m a l d e D t i e n e u n a d i s c o n t i n u i d a d d e m a gn i t u d
I p . 1a t r a v é s d e u n a e n t r e c a r a d e
d i e l é c t r i c o s .Si se escoge el vector unidad normal apuntando hacia el dieléctrico 2, entonces esta
condición puede ser escrita de la siguiente manera:
y
EJEMPLO 1: Dado El =2a
x
-
3ay +Saz V/m en la entrecara de los
dieléctricos libre de carga de la figura 7-4. Halle
D2ylos ángulos 01yWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO
2
,
La entrecara es un planoz =constante. Las componentes x yyson tangen-
cialesylas componentes
zson normales. Por continuidad de la componente
tangencial de Eyla componente normal de
D :
E¡= 2ax- 3a y+ Sa,
E
2
= 2ax- 3ay+ E% 2a%
DI=(o(.¡E¡=4(oax-6100ay+lOtoa.
D
2
= D
x 2a,+Dy 2ay+ 10100a.
Las componentes desconocidas se hallan a partir de la relación
D2=10
0
('2 E
2
. Fig. 7-4
de lo que se deduce
Los ángulos que se forman con el plano de la entrecara se hallan fácilmente a partir de
E¡ •
a,=IE¡I cos (90° -O ¡ )
5=fosenO¡
0
1=54.2°
E
2
'
a,=IE2 1cos(90°,- 92)
2
=fosen02
O
2
=29.0°
Una relación útil puede obtenerse de
E % ¡ DzdéolO.!
tan
é¡=----0= =-,=
J E ~ I+ E ; ¡ J E ~ ¡+E ; !
En vista de las relaciones de continuidad, la división de estas dos ecuaciones da
tan
O ¡ ( . 2
tanO
2
( . 1

84 CAPACITANCIA yMATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
Dos cuerpos conductores cualesquiera, separados por el espacio
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAv a c í oo por un material dieléctrico
tienengfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc a p a c i t a n c i aentre ellos. Si se aplica una diferencia de voltaje se produce una carga+Qsobre un
conductor
y -WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ sobre el otro. La relación entre el valor absoluto de la carg~. yel valor absoluto de la
diferencia de voltaje se define como la capacitancia del sistema:
7.5 CAPACITANCIA
e= ~( F )
donde 1 faradio (F)=l
c ¡V.
La capacitancia depende sólo de la geometría del
sistemayde las propiedades del o de los dieléctricos
involucrados. En la figura 7-5, la carga+
Qcolocada
sobre el conductor ly -Qsobre el conductor 2 crea un
campo de flujo como el que se muestra en la figura. Por
consiguiente se establecen los campos DyE. Si se
doblaran las cargas se doblarían simplemente DyE, Y
por consiguiente, se doblaría la diferencia de voltaje.
Entonces, la relación
Q /Vpermanecería fija. Fig. 7-S
EJEMPLO 2: .Halle la capacitancia de las placas paralelas de la figura 7-6, despreciando el efecto de bordes.
Con+Qen la placa superior
y -Qen la inferior,
Cuando.dos dieléctricos se presentan con la entrecara paralela a Ey
D,como en la figura 7-7 (a),la capa-
citancia puede encontrarse tratando el arreglo como dos condensadores paralelos:
D .=o ,= ~
Como
Des uniforme entre las placas,
El voltaje de la placa en z
=dcon respecto a la placa inferior
es
dQ Q d
V=-f- - ( - a % ) 'd z n , = --
o (oe ,A fOe ,A
así
Obsérvese que el resultado no depende de la forma de la placa.
(
7.6 CONDENSADORl<:S DE VARIOS DIELECTRICOS
d
- = - v
( a )
Fig. 7-7
z
t
d
y
T
x
Fig. 7-6
( b )

CAP. 7] CAPACITANCIA yMATERIALES DIELECTRICOS 85
[ver problemaWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA7 . 8 ( a ) ] .Por supuesto, el resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos
colocados uno al lado del otro:gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAl ac a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e e s l a s u m a d e l a s c a p a c i t a n c i a s i nd i v i d u a l e s .
Cuando la entrecara dieléctrica es normal a DZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyE, como en la figura 7
- 7 ( b ) ,la capacitancia puede
hallarse tratando el arreglo como dos condensadores en serie:
1 1 1
-=-+-
<,e l e 2
[ver problema 7.8 ( b)].El resultado puede extenderse a cualquier número de dieléctricos alineados:e l r e c í p r o -
c o d e l a c a p a c i t a n c i a e q u i v a l e n t e e s l a s u m a d e l o s r e c í p r o c os d e l a s c a p a c i t a n c i a s i n d i v i d u a l e s .
Del resultado del problema 5.15 se puede obtener la energía almacenada en un condensador así:
W
E= ~fD 'Ed v
7.7 ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR
donde la integración puede tomarse sobre él espacio entre los conductores, despreciando el efecto de bordes.
Si este espacio está ocupado por un dieléctrico de permitividad relativae , ,entonces
D=(oE+P=(oe ,E
yasí
Estas dos expresiones muestran cómo la presencia de un dieléctrico produce un aumento de energía
almacenada respecto del valor en el espacio vacío (P
=0,e ,=1),bien sea a través del término P • E o a
través del factor
f
r>I
En términos de capacitancia,
yaquí, el efecto del dieléctrico se refleja ene ,que es directamente proporcional afr∙
Problemas resueltos
7.1. Halle la polarización P en un material dieléctrico con
f
r=2.8 si D=3.0 x 10-7a C/m
2
.
Suponiendo que el material es homogéneo e isotrópico,
P=x.leE
Como D={o i rE Y X e=i r -1,
(
i -
1)
P= ~ D=1.93 X1O-
7
a C/m
2
7.2. Determine el valor de E en un material para el que la susceptibilidad eléctrica es 3.5yP=
2.3x1O-
7
aC f m
2•
Si suponemos que PyE tienen la misma dirección,

x
86zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAy MATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
7.3. Dos cargas puntuales en un medio dieléctrico donde e ,=5.2 interactúan con una fuerza de 8.6
x
1 0 -3N .¿Qué fuerza podría esperarse si las cargas estuvieran en el espacio vacío?
La ley de Coulomb,
F=Q ¡ Q 2 /( 4 1 t ( oe,d
2
) ,
establece que la fuerza es inversamente proporcional ~f,.En el
espacio libre la fuerza tendrá su máximo valor.
F=(,(8.6x10-3)=4.47 x10-2N
7.4. La región1,definida porx<O,es espacio vacío, mientras la
región
2,x>O,es un material dieléctrico para el cuale ,2=
2.4. Ver figura 7-8. Dado
D I=3a
x
-4a
y+óa,
halle E
2
ylos ángulos (),y ( )2 '
Las componentes
xson normales a la entrecara;WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD ; YE ,son
continuos.
óa,
Fig. 7-8
De lo que se deduce que
Para encontrar los ángulos:
D¡'a
x
= ID¡lcos(900-8¡)
3
=j6isen8¡
8¡
=22.6°
Similarrnente, 8
2 =9.83°.
7.5. En la región de espacio libre
x<O, la intensidad de campo eléctrico esE, =3a
x+5ay-3a.V/m.
La regiónx
>O es un dieléctrico para el quef.,23.6. Halle el ángulo(}2que forma el campo del
dieléctrico con el plano
x=O
El ángulo formado por El se halla a partir de
E¡'a
x
= IE¡lcos(900-8¡)'
3
=j43sen8¡
8¡
=27.2°
Entonces, por la fórmula desarrollada en el ejemplo 1, sección7.4,
I
tan 8
2=-tan8¡= 0.1428
(rl "
7.6. Una entrecara dieléctrico-espacio vacío sigue la ecuación 3 x+2 y+Z =12 m. El lado queda al
origen de la entrecaratiene ("
=3.0 Y E,=Za ,+5a,V/m. Halle E2

CAP. 7] .CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES DIELECTRICOS 87
La entrecara se indica en la figura
7-9por su intersección con los ejes. El vector unidad normal sobre el lado
del espacio libre es:
a=3ax+2ay+a%
∙fo
z
La proyección de
Elsobrea.es la componente normal de Ken
la entrecara.
gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
y
Entonces
11
Ent
=l 1 Aa.=2.36 a
x+1.57 ay+0.79a,
y "14
E
'1
=El - E.
1=-0.36ax - 1.57 ay+4.21a%=E'2
D.1=fOf'lE.l=fo(7∙ 08a
x+4.71 ay+2.37a%)=D.2
1
E.2= -D.2=7.08a,+4.71 ay+2.378%
fo
x
Fil.7-9
y finalmente
7.7.La figura 7-10 muestra un bloque dieléctrico plano con
espacio vacío a cada lado. Suponiendo un campo cons-
tante E
2dentro del bloque, demuestre que E3=El.
Por continuidad de E, a través de las dos entrecaras,
j.1
Por continuidad deWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAD .a través de las dos entrecaras (no
hay cargas superficiales),
Fil.7-10
y también
Por lo tanto,
E )=E l
7 . 8 . ( a )Demuestre que el condensador de la figura7 - 7 ( 0 )tiene una capacitancia
e -fOfrtAt f o f , 2
A
2 -e
eq - d+ d - 1+e2
( b )Demuestre que el condensador de la figura7 - 7 ( b )tiene una capacitancia
1 1 1 1 1
-= + =-+-
c.,f O f r t A j d
t
f
o
f
r 2
A j d
2 e
te,
( o )Debido a que la diferencia de voltaje es común a los dos dieléctricos,
y
D
1
D
2
V
--= --= -8
{o(,1fO f,2d '
Donde8.es la normal que baja hacia la placa superior. ComoD .=P s 'las densidades de carga sobre las
dos secciones de la placa superior son:

88zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
y la carga total es
De esta manera, la capacitancia del sistema,
Ceq=WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ IgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV ,tiene la forma propuesta.
( b )Sea+Qla carga sobre la placa superior. Entonces
Q
D = -a
A •
en cualquier punto situado entre las placas. Por lo tanto,
Las diferencias de voltaje a través de los dos dieléctricos son, entonces:
y
Dea q u íse ve que1/ Ceq=V IQtiene la forma propuesta.
7.9. Halle la capacitancia de un condensador coaxial de longitud L .donde el conductor interno tiene un
radio
ayel externo tiene un radiob .Ver figura 7-11.
Despreciando el efecto de bordes, la ley de Gauss establece que Do ;l l rentre los conductores (ver
problema 6.24). En
r= .a .D=P s•dondeP s(supuesto positivo) es la densidad superficial de carga sobre el
conductor interno. Por consiguiente,
a
D=P s -a,
r
y la diferencia de voltaje entre los conductores es
f
a ( P s a ) e , «b
V
= ---a < d r« =-In -
~ r,
b(oE,r (o E,a
La carga total enel conductor interno esQ=p s ( 2 n a L ) ,y
así
Q 2 n E oE,L
C = - = ,
VIn( b l a )
Fig. 7-11
7.10. En el condensador que aparece en la figura 7-12, la región entre las placas se llena con un dieléctrico
que tienee ,
=4.5. Halle la capacitancia.
Despreciando el efecto de bordes, el campoDentre las placas, en coordenadas cilíndricas, debe ser de la,
forma
D=D4>a 4 >' dondeD4 >depende sólo der .Entonces, si el voltaje de la placat P=( Xcon respecto a la placa
cjJ=OesV
o
,
De esta manera,D4 >= . -Eo E ," ó í r e x ,y la densidad de carga sobre la placacjJ=a es

CAP. 7] CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMA"¡;ERIALES DIELECTRICOS
La carga total sobre la placa está dada
entonces porgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
. h
r zi iWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV .
Q=fP s d S=f f ~ d r d z
or lr a
i O i rVoh r ,
-=--:........::-ln-
a
rl
Por lo tanto
Cuando se substituyen valores nu-
méricos (con
aconvertido a radianes), se
obtiene C
=7.76 pF.
7.11.En relación al problema 7.10, halle la
separacióndque se produce con la
misma capacitancia cuando las pla-
cas se arreglan en forma paralela con
el mismo dieléctrico en medio.
Con las placas paralelas
así que
z
x
a=5° /
/
/
/
/
Fig. 7-12
i O i r A
C = - -
d
a ( r 2 -
r¡)
lnh/r¡)
Nótese que el numerador de la derecha es la diferencia de longitudes de arco en los dos extremos, del condensa-
dor, mientras que el denominador es ellogaritmo de la relación de estas longitudes de arco. Para los datos del
problema 7.\0, ar
l
=0.087 mm, a r
2=2.62 mm yd=0.74 mm.
7.12. Halle la capacitancia de una concha esférica aislada de radio
a .
El potencial de un conductor de este tipo con referencia ceroen el infinito .es (ver. problema 2.35):
Entonces
7.13. Halle la capacitancia entre dos
conchas esféricas de radio
asepara-
das por una distanciad ~
a .
El resultado del problema 7.12
para la capacitancia de una concha
esférica sencilla,
41tf oa ,puede usarse
como aproximación. En la figura 7-13
los dos condensadores idénticos pare-
cen estar en serie.
1 1 I
-=-+-
Ce,C
2
ClC2
C= = 21tioa
e,+C
2
V = ~
4 1 [ ( 0 a
Q
C= -=4 1 t ( o a
V
Fig. 7-13
89
y

90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA yMATERIALES DIELECTRICOS [CAP. 7
7.14. Halle la capacitancia de un condensador de placas paralelas que contiene dos dieléotricos e,
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 1.5
Y
('2=3.5, cada uno de los cuales abarca la mitad del volumen, tal como se muestra en la figura
7.14. Aquí
gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA=2 m?yd=10-3m.
C = fo frlA
I= (8.854 x 10-
12
)(1.5)1 = 13.3 nF
1WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd 1 0 - 3
De manera similar,e,= 31.0 nF. Entonces,
A
d
C=C
I+C2=44.3nF
T
Fig. 7-14
7.1S. Repita el problema 7.14 suponiendo que los dos dieléctricos ocupan cada uno la mitad del volumen∙
pero tienen la entrecara paralela a las placas.
fo
e ,Afo e ;A(8.854 x10-
12
)(1.5)2
C
I=T=--;¡¡¡-= 10 3/2 = 53.1 nF
De manera similar, C
2= 124 nF. Entonces
C = C
I
C
2
= 37.2 nF
CI+C2
7.16.En el condensador cilíndrico que aparece en la figura
7-15 cada dieléctrico ocupa la mitad del volumen.
Halle la capacitancia.
n i o
f r l Lnfo fr2L
C = C
I+ C2= In ( b / a )+ In( b / a )
2nfo fravaL
In
( b / a )
r
L
L
La entrecara dieléctrica es paralela a DyE, así que la
configuración puede tratarse como dos condensadores en
paralelo. Como cada condensador contiene la mitad de la
carga que contendría un cilindro completo, el resultado del
problema 7.9 da
donde
e ,ava=t(irl
+ ( r 2 ) 'Los dos dieléctricos se comportan
como un sólo dieléctrico con una permitividad relativa
promedio.
Fig. 7-15
y
t;rnrn
=TIrnrn
7.17.Halle el voltaje a través de cada dieléctrico en el condensador que aparece en la figura 7-16 cuando el
voltaje es 200 V.
i O5(1)
C
I=-1O-3=5000(0
C 2 = 1000(0/3
Fig. 7-16
El campo
Ddentro del condensador se halla ahora a partir de
D=p=
g=C V= (2.77 x10-
9
)(200) = 5.54x10-7C/m2
n s A A 1
Entonces
D
4
El = -- = 1.25 x 10 V/m
(oirl
D
E2= - =6.25 X10
4
V/m
(o
de lo que se deduce
VI=E l dl= 12.5 V

CAP. 7] CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES DIELECTRICOS 9 1
7.18. Halle la caída de voltaje a través de cada uno de los dieléctri-
cos de la figura 7-17, dondefrl
=2.0 Y f
r2 =5.0. El
conductor interno está en r¡=2 cm
yel externo en r;=2.5
cm, con la entrecara dieléctrica en la mitad.
La división de voltaje es la misma que la que ocurriría en un
cilindro circular recto completo. El segmento mostrado, con ángulo
I X ,tendrá una capacitancia1 X / 2 1 T .veces la del condensador coaxial
completo. Del problema 7.9,
( F )
100 V-=-gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
V ¡+V
2
=V ,se deduce que
Fig. 7-17
V ¡
= C
2
V = 4.2 (100)=74 V
C ¡ + C
2
1 . 5 + 4 . 2
C¡ 1.5
V2= V= (100)=26 V
C¡+C2 1.5+4.2
7.19. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre las placas se conecta a una fuente de
voltaje constante. Determine cómo cambianW
E
,D . E .C.
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ .P sYVcuando se inserta un dieléctrico
de
er=2 entre las placas.
Relación
V
2
=V ¡
E
2=E ¡
W
2=2 W ¡
C2=2 C ¡
D
2
=2 D ¡
Ps2= 2 p s ¡
Q2=2 Q ¡
Explicación
La fuenteVpermanece conectada
como
E=V j d
W=1S(oe ,E
2
d v
C
( o c r A / d
D
(oc r E
P . D .
Q p.A
En un problema de este tipo es aconsejable identificar primero aquellas cantidades que permanecen cons-
tantes.
7.20. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío entre ellas se conecta momentáneamente a
una fuente de voltajeV .que es luego removida. Determine cómo cambianW
E
,
D . E .C. Q .P . 'yV
cuando las placas se apartan a una distancia de separaciónd
2
=2 d
lsin perturbar la carga.
Relación
Q2=Q¡
P . 2=P . ¡
D
2 =D ¡
E
2
=E ¡
W
2=2 W ¡
C2=tC¡
V
2=2 V ¡
Explicación
La carga total no cambia
P. Q/A
D . P .
E D j f .
o
W tS(oE
2
d v ,Y el volumen dobla
C
= f . oA / d
V Q / C
7.21. Un condensador de placas paralelas con una separaciónd=1.0 cm tiene 29 000 V cuando el espacio
vacío es el único dieléctrico. Suponga que el aire tiene una resistencia dieléctrica de 30 000 V/cm.
M uestre por qué el aire sucumbe cuando una delgada pieza de vidrio
( l .r=6.5) con una resistencia
dieléctrica de 29000 V/cmyespesor
d2=0.20 cm se inserta entre las placas como se muestra en la
figura 7-18.

9 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBACAPACITANCIA yMATERIALES DIELECTRICOS
El problema resulta ser el de dos condensadores en serie
Entonces, como en el poblema 7.18,
3250 .
Vi
=125+3250 (29000)=27926 V
y así
27933V
El
= = 34907 V/cm
0.80cm
lo cual excede la resistencia dieléctrica del aire.
o
1.0 cm
d
[CAP. 7
7.22.Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un conductor cilíndrico de radioWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa
=2.5 cmyun
plano de tierra paralelo al eje del conductor a una distancia
gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh=6.0 de él.
El potencial debido a -
P tn oes constante sobrer =a ,la superficie del conductor real. Pero lo es muy aproxi-
madamente sia ~ h .Con esta aproximación, entonces, el potencial total del conductor real es .
U na técnica útil en problemas de esta clase es elm é t o d o
d e i m á g e n e s .Tome "la imagen espejo del conductor en el
plano de tierra y deje que este conductor imagen transporte
el negativo de la distribución de carga del conductor real.
Ahora, suponga que el plano de tierra es removido. Está
claro que el campo eléctrico de los dos conductores obedece
la condición de fronteras correcta en el conductor real, y, por
simetría tiene una superficie equipotencial (sección
5.2)
donde existía el plano de tierra. Por consiguiente, este
campo es el campo que queda en la región comprendida
entre el conductor real y el plano de tierra.
Aproximando las distribuciones de carga real e imagen
a cargas lineales+
PtY -Ptrespectivamente, en el centro de
los conductores, se obtiene (ver figura 7-19):
potencial en el radioadebido a
+P t= -(+P t )Ina
27tEo
potencial en el puntoPdebido a -P t= - (-P t )In( 2 h - a )
27tEo
Aire.E O
Vidrio.e ,
Fil. 7-18
a
Fig. 7-19
v= -~lna + ~In(2h - a ) ~ - ~ l n a +~ l n 2 h=~ln 2 h
a 27tEo 27tEo / 27tEo 27tEo 27tEo a
Similarmente, el potencial del conductor imagen es - V a .Así pues, la diferencia de potencial entre los dos
conductores es 2V a ,de tal manera que la diferencia de potencial entre el conductor real y el plano de tierra es
t( 2 V .)
=v..La capacitancia deseada por unidad de longitud es,entonces,
e
L
Q / L P t
V a V .
27tEo
In( 2 h / a )
Para los valores deayh , C / L =9.0 p Fjm ,

CAP. 7] CAPACITANCIA ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES DIELECTRICOS 93
La anterior expresión paragfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAC ] Lno es exacta, pero da una buena aproximación cuando a ~ h(el caso
práctico). Una solución exacta da
Obsérvese queC ] Lpara el sistema imagen-fuente (más generalmente, para cualquier par de conductores
cilíndricos paralelos con separación entre los centros de 2
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh )es la mitad del valor encontrado arriba (la misma
. carga, dos veces el voltaje). Esto es, con
d=2 h .
e
L
7tio 7tio
In( d+J ~ :- 4 a
2
) ~
In( d j a )
Problemas suplementarios
7.23. Halle la magnitud de D en un material die\éctrico para e l cual
l e=1.6 YP=3.05X10-
7
C j m
2
•
R e s p .4.96X10-7
c ¡m2
7.24. Halle las magnitudes de D, P Y
i rpara un material dieléctrico en el cualE=0.15 MV/m y l e=4.25.
R e s p .6.97p
c ¡m-, 5.64J l c ¡m-, 5.25
7.25. En un material dieléctrico con
i r=3.6,D=285 nC/m
2
•
Halle las magnitudes de E, P Y X • .
R e s p .8.94 kV/m, 206 nC/m
2
,
2.6
7.26. Dado
E= -3ax+4a, - 2a, V/m en la región z<O,dondee,=2.0. HalleEen la regiónz>O,para el cual
4
i r=6.5. R e s p .-3a x+4a, - -a. V j m
6.5
7.27. Dado que
D=2ax-4a,+1.5 a.C j m
2
en la regiónx >O,que es espacio vacío. HallePen la regiónx <O,
que es un dieléctrico coni r=5.0.R e s p .1.6ax-16a,+6a.C j m
2
7.28. La región 1,
z<Om, es espacio vacío dondeD=5.,+7a.C fm
2
•La región 2, O<z ~1 m, tienei r=2.5.
Yla región 3,
z>1 m, tienei r=3.0. HalleE2'P2 Y( J ) .
1( 7)) 2 o
R e s p . -5ay+ -a. (Vj m ,7.5 ay+4.2 a.C j m , 2 5 . 0 2
i O 2 . 5
7.29.' El plano entrecara entre dos dieléctricos está dado p or3x+z
=5.En el lado que incluye el origen,D I
(4.5a,+3.2 a.) 10-7yi r !=4.3, mientras en el otro lado,4 2=1.80. HalleE l ' E 2•D2Y( J 2 '
R e s p .1.45 X10
4
,3.37X10\ 5.37x10-
7
,83.06
0
7.30. Una entrecara dieléctrica está descrita por 4 y +3z=12 m. El lado que incluye el origen es espacio vacío con
D I=a,+3a,+2a,J J C / m 2 .En el otro lado, ir2=3.6. HalleD 2y ( J 2 'R e s p . 5 . l 4 1 l C / m
2
, 4 4 . 4 °
7.31. Halle la capacitancia de un condensador de placas para lelas con un dleléctrico de
i r=3.0, área 0.92 m? y sepa-
ración 4.5 mm. R e s p .5.43 n F
7.32. Un condensador de placas paralelas de 8.0 nF tiene un ár ea de 1.51 m? y una separación de 10 mm. ¿Qué
separación se requeriría para obtener la misma capacitancia con espacio vacío entre las placas?
R e s p .1.67 mm

--
94 CAPACITANCIAZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAyMATERIALES D1ELECTRICOS [CAP. 7
7.33. Halle la capacitancia entre las superficies curvas in terna y
externa del conductor que aparece en la figura 7-20. Desprecie
el efecto de bordes.gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAR e s p .6.86 p F
7.34. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre un c on-
ductor cilíndrico de 2.75 pulgadas de diámetro y un plano
paralelo a 28 pies del eje del conductor.
R e s p .8.99 p F / m (fíjese en las unidades)
7.35. Duplique el diámetro del conductor del problema 7-34 y halle
la capacitancia por unidad de longitud.
R e s p .10.1
pFjm
Fig. 7-20
7.36. Halle la capacitancia por unidad de longitud entre dos conductores cilíndricos paralelos en el aire, de radio 1.5
cm y una separación entre sus centros de 85 cm. R e s p .6.92WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp F j m
7.37. Un condensador de placas paralelas con área 0.30 m
2y separación 5.5 mm contiene 3 dieléctricos con entrecaras
normales a E y D, como sigue:
frl=3.0, d ,=1.0 mm; fr2=4.0,d
2=2.0 mm;43=6.0,d )=2.5 mm.
Encuentre la capacitancia. R e s p .2.12 nF
7.38. Con un potencial de 1000 V aplicado al condensador del p roblema 7.37, halle la diferencia de potencial y el
gradiente de potencial (intensidad del campo eléctrico) encada dieléctrico.
R e s p .267 V, 267 kVjm; 400 V, 200 kVjm; 333 V, \33 kVjm
7.39. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cond uctor coaxial con radio externo de4 mm y radio interno
de 0.5 mm si el dieléctrico tienee ,
=5.2.R e s p .\39p F j m
7.40. Halle la capacitancia por unidad de longitud de un cable con un conductor interno de radio 0.75 cm y un blinda-
je cilíndrico de 2.25 cm de radio si el dieléctrico tienee ,
=2.70.R e s p .\37p F j m
€r=5.5
¡o
7.41. El cable coaxial de la figura 7-21 tiene un conductor internode
radio 0.5 mm y un conductor externo de radio 5 mm. Halle la
capacitancia por unidad de longitud con los espaciadores que
aparecen. R e s p .45.9 p Fj m
Fig. 7-21
7.42. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío e ntre las placas se carga conectándolo momentánea-
mente a una fuente constante de 200 V. Después de removerlo de la fuente se inserta un dieléctrico de
e ,=2.0
llenando totalmente el espacio. Compare los valores de W
pD , E , P . ,Q .Vy Cantes y después de la inserción del
dieléctrico. R e s p . p a r c i a l V
2
=tV
I
7.43. A un condensador de placas paralelas se le cambia el die léctrico de frl=2.0 aCr
2=6.0. Se nota que la ener-
gía almacenada permanece fija:
W
2=W ¡ .Examine los cambios. en V ,C,D , E ,Qy P . ,si hay alguno.
R e s p . p a r c i a l .
P . 2=.j3P.I
7.44. Un condensador de placas paralelas con espacio vacío e ntre las placas permanece conectado a una fuente de
voltaje constante mientras las placas son acercadas la una ala otra, desde una separación
dhasta! d .Examine
los cambios que se producen en Q , P . 'C.D ,EYW
E
• R e s p . p a r c i a l .D
2=2 D ¡
7.45. U n condensador de placas paralelas con espacio libre e ntre las 'placas permanece conectado a una fuente de
voltaje constante mientras las placas son apartadas desde dhasta
2 d .Exprese los cambios que se producen enD .
E , Q , P . 'CyW
c
R e s p . p a r c i a l .D
2=tD ¡
7.46. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío como dieléctrico y separación
d .Sin perturbar la carga
Q ,las placas se acercan, hasta
d l/,con un dieléctrico dee , =3, que llena completamente el espacio entre las
placas. Exprese los cambios qu, ~e producen en
D , E , V ,C yW E ' R e s p . p a r c i a l . V
2= =iV I

CAP. 7] CAPACITANCIA yMATERIALES DIELECTRICOS 95
7.47. U n condensador de placas paralelas tiene espacio vacío entre las placas. Compare el gradiente de voltaje en este
espacio vacío con el de espacio vacío cuando una hoja de mica,
gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi r=5.4 llena 20% de la distancia entre las pla-
cas. Suponga el mismo voltaje aplicado en cada caso. R e s p . 0 . 8 4
7.48. Un cable blindado opera a un voltaje de 12.5 kV sobre el c onductor interno con respecto al blindaje cilíndrico.
Hay dos aislantes; el primero tiene
i r !=6.0 Yestá de r=0.8 cm a r=1.0 cm del conductor interno, mientras
que el segundo tiene
i r 2=3.0ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAYestá desder=1.0 cm hasta r=3.0 cm, dentro de la superficie interna del
blindaje. Encuentre el máximo gradiente de voltaje en cada aislante. R e s p .0.645 MV
WVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 m ,1.03 MV1 m
7.49. Un cable blindado tiene un aislante de polietileno para el cual i r=2.26 Y la rigidez dieléctrica es 18.1 MV1 m .
¿Cuál es el límite superior del voltaje en el conductor interno con respecto al blindaje cuando el conductor
interno tiene un radio de 1 cm y el lado interno del blindaje concéntrico está a un radio de 8 cm?
R e s p .0.376 MV
7.50. Para el condensador coaxial de la figura 7-15, a=3 cm,
b=12 cm, i r !=2.50, ir2=4.0. Halle E l' E
2
•D IY
D
2
si la diferencia de voltaje es 50 V. R e s p . p a r c i a l .E2
=±(36.1/r)sr (V/m)
7.51. En la figura 7-22, el conductor central, r
l=1 mm, está a 100 V respecto
del conductor externo en
r s=100 mm. La región l<r<50 mm es
espacio vacío, mientras 50
<r<100 mm es un dieléctrico cone ,=2.0.
Halle el voltaje a través de cada región. R e s p .91.8 V, 8.2 V
Halle la energía almacenada por unidad de longitud en las dosregiones del
problema 7.51. R e s p .59.9n J / m ,5.30n J / m
7.52.
e ,=2.0
Fig. 7-22

Electromagnetismo Teoría y 310 problemas resueltos Joseph A. Edminister.pdf

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