Elementos Geometricos

1. geo


Elementos
Geométricos

2. A
B
C
D
E
F
convexo
Polígonos convexos
Todos os seus ângulos internos
medem menos de 180º
O prolongamento de qualquer lado
não intercepta outro lado
D
A
B
C
E
CÔNCAVO
n = 3
n = 4
n = 5
polígono
triângulo
quadrilátero
pentágono
n
número de
lados
n = 6 hexágono
n = 7
n = 8
n = 9
polígonon
n = 11
n = 12
n = 15
polígono
undecágono
dodecágono
pentadecágono
n
n = 20 icoságono
eneágono
octógono
heptágono
n =10

decágono
O prolongamento do lado
intercepta outro lado
Ângulo interno com medida
superior a 180º

3. n = 3
n = 4
n = 5
triângulo
quadrilátero
pentágono
n = 6hexágono
n = 7
n = 8
n = 9
n = 11
n = 12
n = 15
undecágono
dodecágono
pentadecágono
n = 20icoságono
eneágono
octógono
heptágono
n =10

decágono

4. vértices do polígono
Diagonal
são os extremos dos lados do polígono
segmento que liga
dois vértices não consecutivos
Lado
segmento que liga
dois vértices consecutivos
vértices consecutivos
são os extremos de um mesmo lado

5. Número de diagonais que partem de um vértice

De um dos n vértices partem
uma para cada um dos “n”vértice
dele para ele mesmo e
dele para os dois vértices adjacentes a ele
menos
dv = n - 3
dv = 4 - 3
dv = 1
dv = n - 3
dv = 5 - 3
dv = 2
dv = n - 3
dv = 6 - 3
dv = 3
dv = n - 3
dv = 3 - 3
dv = 0
dv = n - 3
dv = 7 - 3
dv = 4
zero
n - 3 diagonais
d
v = (n-3)

6. A
E
B
C
D
F
Número de diagonais do polígono
De 1 vértice partem (n-3)
De 2 vértice partem 2 ( n-3)
Aparentemente o polígono tem n(n-3) diagonaisMas elas foram contadas em dobro. Veja
Ex.: AC e CA são a mesma diagonal
Logo o número total de diagonais é a metade de n(n-3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
(n – 3)
De 3 vértice partem 3 ( n-3)
De n vértice partem n ( n-3)
De ... vértice partem ..............
(n – 3)
(n – 3)
Do vértice A partem as diagonais AC, AD, AE
Do vértice B partem as diagonais BD, BE, BF
Do vértice C partem as diagonais CA, CE, CF
Do vértice D partem as diagonais DA, DB, DF
Do vértice E partem as diagonais EA, EB, EC
Do vértice F partem as diagonais FB, FC, FD
Duas diagonais de mesma cor são apenas uma.
polígono
de “n”
vértices
(n – 3
2
n (n - 3)
d =

7. B
C
DE
F
G
A partir de um dos vértices, dividimos o polígono em triângulos.
A soma dos seus ângulos internos
é igual à soma dos ângulos de todos os triângulos
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo S
in
S
in
= 180º “vezes” o número de Δs
A

8. O polígono de “n” lados ficou dividido em n – 2 triângulos.
Δs 6Δs 5Δs 4Δs 3Δs 2
n= 8n= 7n= 6n= 5n= 4
S
in = 180º( n -2 )
Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180º.
A soma dos ângulos de todos os triângulos é 180º ( n -2 )
1
2
3 41
2
3 4
1
2
3
5
1
3
4
1
2
5
2
6
Δs n - 2
n = n
Soma dos ângulos internos de qualquer polígono convexo

9. Soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo S
ex
a’
a
b’
b
c
c’
d’
d
e’
e
(c+c’) = 180º
(d+d’) = 180º
(e+e’) = 180º
(a+a’)+ (b+b’)+ (c+c’) + (d+d’)+ (e+e’) + ... = 180º n
a+b+c+d+e... + a’+b’+c’+d’+e’... = 180º n
somando
(b+b’) = 180º
(a+a’) = 180º
S
ex
180º( n - 2 )
+
S
ex= 180º n
180º n - 360º
+
S
ex= 180º n
S
ex= 360º
Polígono de
“n” lados
S
ex
= 360º
A soma dos ângulos
externos de qualquer
polígono é de 360º
S
in
Â
ex
= 360/n

10. Polígono circunscrito
In = dentro
corda
Ponto de
tangência
Polígono inscrito
Polígono inscrito
Polígono circunscrito
Contém uma circunferência que tangencia todos os seus lados
Seus lados são cordas da circunferência

11. circunscrita
Todo triângulo é inscritível numa circunferência
Todo triângulo é circunscritível a uma circunferência
Circunferência
Triângulo inscrito
Triângulo circunscrito
Circunferência
inscrita

12. Elementos Notáveis do Triângulo

13. Elementos Notáveis do Trapézio

14. Apótema