Elettrostatica elettrodinamica

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ELETTROLOGIA

ELETTROSTATICA
ELETTRODINAMICA

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ELETTROSTATICA

INDICE:

Carica elettrica
Durata delle proprietà di elettrizzazione
Tipi di elettrizzazione
Protoni ed elettroni
Corpi carichi o neutri – Squilibrio della carica elettrica
Isolanti e conduttori
Elettrizzazione per contatto – conservazione della carica
Elettrizzazione per induzione
Induzione elettrostatica e separazione permanente della carica – Messa a terra
Strumenti di indagine qualitativa – Elettroscopio a foglie
Uso dell’elettroscopio

LA FORZA ELETTRICA
x LA LEGGE DI COULOMB
x Definizione operativa della grandezza fisica “carica elettrica”
x Unità di misura della carica elettrica
x Numero di cariche elementari nell’unità di misura della carica
x Analisi dimensionale della legge di Coulomb e della costante elettrica K
x La legge di Coulomb e la costante dielettrica e
x Alcuni valori della costante dielettrica relativa
x ESERCIZI – LA LEGGE DI COULOMB
x Le forze di induzione elettrostatica
x Elettroforo di Volta

IL CAMPO ELETTRICO
x Introduzione
x Analisi della legge di Coulomb
x La legge di Coulomb dal punto di vista tridimensionale
x L’attrazione o repulsione Coulombiana – Curvatura dello spazio
x L’azione a distanza e il movimento delle cariche
x IL CAMPO ELETTRICO
x La definizione di campo elettrico
x Analisi dimensionale della grandezza “campo elettrico”
x Campo elettrico e gravitazionale – analogia
x Linee di flusso – linee o superfici di livello o equipotenziali
Linea di flusso – linea di forza
Linee di flusso passanti per un segmento del piano
Tubi di flusso
Linee e tubi di flusso – analogia con il campo gravitazionale
Linee o superfici di livello (equipotenziali)
x Principali tipologie di campo elettrico
Campo radiale
Campo bipolare
Campo uniforme – condensatore
x Rappresentazione grafica dell’intensità di campo – principio di Faraday
x Analogia con un tubo di flusso di una corrente d’acqua
x Campo elettrico generato da un dipolo

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x Campo elettrico generato da una carica distribuita su un filamento rettilineo di
Lunghezza infinita
x Campo elettrico generato da una carica distribuita su anello di raggio R
x Campo elettrico generato da una carica distribuita su un disco circolare
o lastra piana.
x ESERCIZI – CAMPO ELETTRICO

Derivata di una grandezza scalare rispetto ad una direzione – Gradiente di uno scalare
Derivata direzionale della funzione U rispetto alla normale

FLUSSO DL CAMPO ELETTRICO
x Flusso di un campo elettrico variabile su superficie estesa – Integrale di superficie
x LEGGE DI GAUSS
Campo radiale e sfera Gaussiana con centri coincidenti
Campo radiale e sfera Gaussiana con centri non coincidenti
Legge di Gauss – Caso di simmetria cilindrica – Densità lineare di carica
Legge di Gauss – Caso di simmetria piana – densità superficiale
x Una sola lamina piana, sottile ed isolante
x Due lastre piane, sottili e conduttrici
Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Strato sferico di carica
Legge di Gauss – Caso di simmetria sferica – Volume sferico di carica
x Teorema di Coulomb – Densità superficiale e campo elettrico
x Teorema di Coulomb

x Flusso uscente da una superficie chiusa – Divergenza del campo elettrico
Legge di Gauss in forma differenziale
ESERCIZI – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO E LEGGE DI GAUSS

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA – POTENZIALE ELETTRICO
x L’energia potenziale di un campo radiale
x Differenza di energia potenziale elettrostatica del campo radiale
x L’energia potenziale infinitesima e le regole d’integrazione
x Campo di forze conservativo
x Energia potenziale elettrostatica per uno spostamento qualsiasi
x Energia potenziale per un percorso chiuso
x Energia potenziale in un campo generato da più cariche
x IL POTENZIALE ELETTROSTATICO
x IL POTENZIALE
x DIFFERENZA DI POTENZIALE
x Il movimento delle cariche elettriche per effetto del potenziale
x Unità di misura del potenziale – il Volt
x Potenziale in un punto di un campo, prodotto da più cariche
x Linee e superfici equipotenziali
x Caso generale
x Superfici equipotenziali del campo radiale
x Superfici equipotenziali in un campo uniforme
x RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIALE
x ESERCIZI – ENERGIA POTENZIALE E POTENZIALE ELETTROSTATICO

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CAPACITA’ ELETTRICA
x Introduzione – Analogia con il potenziale del campo gravitazionale
x Capacità elettrica di una sfera conduttrice
x Capacità elettrica
x Unità di misura della capacità
x Determinazione del raggio di una sfera avente capacità di 1 Farad
x Determinazione della capacità di un sfera di raggio 1 metro
x Sottomultipli del Farad
x Condensatore – Conduttore isolato dall’ambiente esterno
x Condensatore – Conduttore non isolato dall’ambiente esterno
x Condensatore – Principio di funzionamento – Condensatore piano
x Definizione di nuove unità di misura per la costante dielettrica
x Condensatore cilindrico
x Condensatore sferico
x L’energia elettrostatica del condensatore
x ESERCIZI – CAPACITA’ ELETTRICA – CONDENSATORI
x Condensatori impiegati nella tecnica
x Simbologia adottata per la rappresentazione dei condensatori
x Leggi di collegamento dei condensatori
x Condensatori in parallelo
x Condensatori in serie
x ESERCIZI – LEGGI DI COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO
x Condensatore in presenza di un dielettrico
x Tensione massima nel dielettrico – Potenziale disruptivo
x L’aspetto atomico dei dielettrici
x Momento torcente su un dipolo e polarizzazione dei dielettrici

ELETTRODINAMICA

La corrente elettrica
Generatore di tensione
Simbologia grafica per i generatori
L’equilibrio elettrostatico del generatore di tensione
DIFFERENZA DI POTENZIALE – FORZA ELETTROMOTRICE
x Definizione e unità di misura della corrente reale
x Unità di misura dell’intensità di corrente elettrica
x Nuova definizione delle unità di misura dell’elettrostatica
x Verso convenzionale della corrente
x Corrente elettrica convenzionale
x Densità di corrente
x La velocità delle cariche elettriche – velocità di deriva
ESERCIZI – CORRENTE ELETTRICA

RESISTENZA ELETTRICA – LEGGE DI OHM PER I CONDUTTORI
x Unità di misura della resistenza
x Simbologia per la rappresentazione delle resistenze ohmiche
x La legge di Ohm estesa ai vari tratti di circuito

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x Esempio
ESERCIZI – PRIMA LEGGE DI OHM

LA SECONDA LEGGE DI OHM – CONDUTTIVITA’ E RESISTIVITA’
x Resistenza totale – resistenza specifica o resistività
x TABELLE RESISTIVITA’ – CONDUCIBILITA’ – COEFFICIENTE TEMPERATURA
ESERCIZI – RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI

Influenza della temperatura sulla resistenza e resistività
Conduttori metallici
Conduttori non metallici
Soluzioni conduttrici o elettroliti
ESERCIZI – RESISTENZA E TEMPERATURA
Estensione della legge di Ohm all’intero circuito – Resistenza interna generatori
ESERCIZI – ESTENSIONE DELLA LEGGE DI OHM ALL’INTERO CIRCUITO

ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE ELETTRICA – LEGGE DI JOULE
x Energia e legge di Ohm – Circuito esterno
x Energia e legge di Ohm – Estensione all’intero circuito
x Potenza della corrente
ESERCIZI – ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE

EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE – LEGGE O EFFETTO JOULE
x Analogia con l’esperimento di Joule – Equivalente meccanico della caloria
x Legge di Joule –Effetto termico della corrente
x Fattori di conversione
ESERCIZI – LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO

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ELETTROSTATICA

CARICA ELETTRICA:
La definizione della grandezza fisica “carica elettrica” parte dalla scoperta, già in essere sin dai
tempi antecedenti l’impero romano, che alcuni materiali, opportunamente trattati, acquistano la
proprietà di attrarre a sé oggetti di massa estremamente piccola.
Pezzi minuscoli di carta, crine, piume ecc. ecc, sono attirati sia da materiali resinosi quanto da
materiali vetrosi nel caso in cui questi, siano stati, in precedenza, opportunamente strofinati con
panni di lana o materiali similari.
Il vetro e la resina fossile (ambra) costituiscono i principali rappresentanti rispettivamente della
famiglia di materiali vetrosi e di quella dei resinosi.
Il fenomeno di attrazione dei corpuscoli da parte di detti materiali prende il nome di “attrazione
elettrostatica”; i corpi vetrosi o resinosi, responsabili di tale attrazione, si dicono “elettrizzati” o
dotati di “carica elettrica; il trattamento che tali materiali devono subire per assumere le
caratteristiche descritte è definito “elettrizzazione per strofinio” proprio in virtù dell’azione
necessaria per generare una carica elettrica, cioè lo sfregamento con un panno di lana o materiali
similari.
Oltre al vetro e alla resina fossile, le proprietà di elettrizzazione per strofinio sono comuni anche a
materiali tipici del nostro uso quotidiano come la plastica ed in generale i polimeri (polistirolo,
materiali sintetici ecc. ecc.).

Figura 1 – FENOMENO D’ATTRAZIONE ELETTROSTATICA

DURATA DELLE PROPRIETA’ DI ELETRIZZAZIONE:
Le proprietà di elettrizzazione dei materiali vetrosi o resinosi non sono permanenti, essi hanno,
infatti, una spiccata tendenza a perdere tale caratteristica dopo intervalli di tempo piuttosto brevi.
E’ quindi consuetudine affermare che stato di elettrizzazione rappresenta un fenomeno transitorio,
mentre, il fenomeno di perdita d’elettrizzazione rappresenta il cammino inverso che conduce ad una
completa “scarica” o, in altre parole, allo stato naturale o elettricamente neutro.

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La durata del periodo di elettrizzazione per strofinio, generalmente breve, dipende soprattutto dai
materiali posti a contatto con il corpo elettrizzato ed, in particolare da alcune loro caratteristiche
elettriche.In ogni caso l’elettrizzazione per sfregamento, come si vedrà più avanti, non comporta
generalmente una diminuzione o un aumento delle particelle interne ai corpi ma, piuttosto, una
modificazione geometrica della forma molecolare ed una conseguente diversa distribuzione delle
proprietà elettrostatiche dei materiali.
Si dirà più avanti che materiali amorfi come il vetro e la resina fossile subiscono il fenomeno
d’elettrizzazione per effetto di “polarizzazione molecolare”.
Un corpo che non presenta fenomeni dovuti all’elettrizzazione è definito “elettricamente neutro” o
più semplicemente “neutro”.

TIPI DI ELETTRIZZAZIONE:
La scoperta del fenomeno d’attrazione elettrostatica e di carica per strofinio, tipica dei materiali
anzidetti, è stata subito seguita dalla constatazione che i materiali vetrosi e resinosi si comportano
elettricamente in modo opposto. Sia il vetro che l’ambra hanno la capacità di esercitare forze
attrattive a distanza su piccoli corpuscoli ma, mentre tra due oggetti elettrizzati di tipo diverso
(vetro-ambra) continua a manifestarsi una forza attrattiva, tra due oggetti elettrizzati dello stesso
tipo si manifesta una forza repulsiva.
Risulta così evidente che le caratteristiche elettriche dei due materiali sono uguali ma
sostanzialmente di tipo opposto.
Due bacchette di vetro, elettricamente cariche per strofinio, hanno una tendenza a respingersi che è
tanto più evidente quanto più esse sono ravvicinate.
Lo stesso succede, quando sono due bacchette d’ambra ad essere vicine.
Al contrario, avvicinando una bacchetta di vetro ad una d’ambra, si osserva un fenomeno
d’attrazione reciproca.
Per contraddistinguere i due tipi d’azione, tra loro opposti, si utilizzano comunemente i segni
algebrici “positivo” e “negativo”.
La carica elettrostatica caratteristica del vetro e di tutti i materiali vetrosi è definita,
convenzionalmente, di tipo “positivo” mentre quella caratteristica dell’ambra e dei materiali
resinosi di tipo “negativo”.
Sarà carico negativamente quel materiale che si comporta da materiale resinoso, positivo quando si
comporta da materiale vetroso.

+ +

+

Figura 2 – CARICHE POSITIVE E NEGATIVE – FORZE D’ATTRAZIONE E REPULSIONE

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PROTONI ED ELETTRONI:
Una volta definita la convenzione di segno che si utilizzerà normalmente per contraddistinguere la
tipologia di carica elettrica, risulta relativamente agevole riconoscere in due componenti atomici di
base, le caratteristiche elettriche simili ora ai materiali vetrosi, ora ai materiali resinosi.
L’elettrone possiede una carica elettrica permanente del tutto simile a quella posseduta per
definizione dai materiali resinosi.
La carica elettrica dell’elettrone è dunque negativa in quanto esso si comporta elettricamente in
modo analogo alla resina fossile.
Il protone possiede al contrario una carica positiva e si comporta quindi come un materiale vetroso.
Il neutrone, come indicato dallo stesso nome, è elettricamente neutro e, di conseguenza, non
soggetto a forze attrattive o repulsive di tipo elettrico.
Malgrado la grandezza dell’elettrone e del protone e le quantità di massa che li contraddistinguono
siano completamente diverse (la massa del protone è riconosciuta circa duemila volte maggiore di
quella dell’elettrone), essi posseggono lo stesso valore di carica elettrica cioè di elettrizzazione.
Il valore numerico che contraddistingue la carica elettrica dell’elettrone e del protone, a parte la
diversità di segno, è convenzionalmente riconosciuto come la più piccola carica elettrica esistente.
Convenzionalmente si indica:

e Carica negativa elementare dell’elettrone
+
p Carica positiva elementare del protone

Il valore numerico delle due cariche è uguale ma di segno opposto.
Considerato che, comunque, il segno algebrico della carica complessiva resta stabilita dal numero di
elettroni in eccesso o in difetto, è opportuno fare sempre riferimento alla carica elettrica
dell’elettrone.

CORPI CARICHI O NEUTRI - SQUILIBRIO DI CARICHE ELEMENTARI
Considerato che ogni corpo, di qualsiasi tipo e specie, è essenzialmente composto da particelle
atomiche dotate di carica elettrica elementare permanente, e che ognuna di esse, a seconda che sia
un elettrone o un protone, possiede una uguale carica elettrica di segno positivo o negativo, si può
ragionevolmente definire come un corpo “NEUTRO” quello che possiede in ugual misura i due tipi
di carica o, più semplicemente, quello che possiede lo stesso numero di protoni e di elettroni.
In questo caso la “neutralità elettrica” si manifestata dall’assenza di forze elettrostatiche generate
dal corpo stesso.
In generale ed in condizioni normali ogni atomo possiede un ugual numero di protoni ed elettroni ed
è quindi evidente che la normalità estesa a tutti gli atomi ci permette di associare l’idea della
neutralità.
Se, per qualche motivo, si genera uno squilibrio tra il numero di protoni ed elettroni è, di
conseguenza, alterato lo stato di neutralità.
Il corpo presenta una deviazione dalla normalità elettrica ed è quindi “carico”.
Le molecole composite nelle quali si manifesta la mancanza o l’eccesso di elettroni rispetto alle
condizioni normali, sono comunemente definite “ioni”.
Se lo squilibrio è a favore del numero d’elettroni, la carica elettrica sarà negativa, viceversa, se lo
squilibrio è a favore del numero di protoni, sarà positiva.

Alcune osservazioni importanti:

Le nostre conoscenze attuali ed il livello della sperimentazione ci permettono di stabilire che
le particelle atomiche contenute nel nucleo non possono essere rimosse dallo stesso se non
in condizioni molto particolari (reazione di fissione nucleare generata dal bombardamento
del nucleo con neutroni provenienti dall’esterno).

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Da questa constatazione si può trarre la conclusione che un eventuale squilibrio di cariche
elettriche non può essere ottenuto mediante la riduzione dei protoni positivi ma solo
variando il numero di elettroni.
Se il numero di elettroni aumenta saremo in presenza di un corpo complessivamente
negativo, se diminuisce, di un corpo complessivamente positivo.

Dopo aver stabilito che il valore numerico della carica elettrica posseduta dall’elettrone è
quello più piccolo in assoluto e che la carica elettrica è generata dallo squilibrio di elettroni
rispetto al numero costante dei protoni, è evidente che il valore numerico della carica
elettrica complessiva posseduta dal corpo dipende unicamente dal numero d’elettroni
mancanti o in eccesso rispetto alle condizioni di neutralità per quel corpo.
Anticipando la simbologia che si adotterà in seguito:

? enQ

Con:
Q Valore numerico del grado d’elettrizzazione o CARICA ELETTRICA
n Numero d’elettroni in eccesso o in difetto

e Valore elementare della carica elettrica dell’elettrone

La grandezza del valore numerico della carica elettrica posseduta da un corpo è quindi
indipendente dalle dimensioni dello stesso.
Corpi di piccole dimensioni posseggono una grande carica elettrica se lo squilibrio di
elettroni rispetto ai protoni è grande.
Naturalmente deve valere anche il contrario.

Ogni condizione di squilibrio rappresenta una deviazione dallo stato naturale ed è quindi
ovvio, già come avviene per i fenomeni meccanici e termici, che anche la carica elettrica
abbia la tendenza ad annullarsi riportando il corpo alla stato neutro.

++ +

Figura 3 – CORPO NEUTRO – CORPI POSITIVI E NEGATIVI

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MATERIALI ISOLANTI E CONDUTTORI:
Stabilire che la carica elettrica dipende dal numero di elettroni in difetto o in eccesso significa
ammettere la possibilità di poter variare a piacere il loro numero all’interno della struttura atomica
della materia che costituisce i corpi.
La possibilità di poter estrarre o inserire elettroni dipende essenzialmente dal tipo di legame
molecolare e dalla posizione occupata dalle particelle negative all’interno dell’atomo.
Sostanzialmente è possibile interagire con gli elettroni dotati di elevata energia cinetica e costretti,
per questo motivo, a rimanere distanti dal proprio nucleo risentendo, di conseguenza, di una scarsa
attrazione.
Questi elettroni sono debolmente legati e posseggono una relativa libertà di spostamento all’interno
della struttura molecolare.
Essi sono definiti “elettroni di conduzione”.
Solitamente gli elettroni di conduzione sono numerosissimi nel caso in cui il corpo sia costituito da
elementi chimici ad elevato numero atomico.
Tutti i metalli posseggono un elevato numero atomico e una grande quantità di elettroni liberi, cioè
elettroni di conduzione, per i quali è relativamente semplice l’estrazione o l’inserimento.
Al contrario, nelle sostanze vetrose e resinose, anche in virtù del tipo di legame molecolare che le
caratterizza, tutti gli elettroni sono fortemente legati alla struttura atomica.
Per questo motivo in tali sostanze non compaiono elettroni di conduzione e non è quindi possibile
modificare lo stato di neutralità elettrica modificando il numero di elettroni.

L’elevato numero di elettroni di conduzioni rende agevole sia la possibilità di generare una carica
elettrica statica sia il passaggio dinamico di cariche elementari da un punto ad un altro.
Le sostanze dotate di elevato numero di elettroni di conduzione sono definite “CONDUTTORI”.
Rappresentanti fondamentali della famiglia dei conduttori sono tutti i metalli.

Le sostanze amorfe, vetrose, resinose e tutte quelle scarsamente dotate di elettroni liberi, sono
definite “ISOLANTI ” o “dielettrici”.
Il vetro, la resina, i materiali sintetici sono quindi ottimi “isolanti elettrici”
Per quanto riguarda il fenomeno d’elettrizzazione per strofinio, tipico delle sostanze vetrose e
resinose, quindi fortemente isolanti, si può dire che esso non può essere causato dalla modifica del
numero d’elettroni – in quanto fortemente legati ai loro atomi o molecole – ma ad un fenomeno
definito di “POLARIZZAZIONE MOLECOLARE”.
Sostanzialmente lo strofinio provoca la modifica dell’orientamento molecolare sino alla
deformazione “dell’edificio atomico” – inizialmente caotico – per ricondurlo in un'unica direzione.
Ciò provoca la formazione di due poli elettrici di segno contrario e una conseguente “carica elettrica
apparente” di spostamento, senza squilibrio del numero di cariche.

La famiglia dei “CONDUTTORI” elettrici è poi classificata in funzione del grado di efficienza, nel
modo seguente:

Conduttori metallici o di prima classe.
Sono i metalli e molte leghe metalliche. Danno luogo a conduzione metallica; il flusso di
carica elettrica (corrente elettrica) è dovuto al moto degli elettroni di conduzione, capaci di
passare dall’uno all’altro atomo metallico. Gli atomi privi di uno o più di questi elettroni
costituiscono degli ioni positivi, che restano fermi o quasi durante la conduzione elettrica
metallica.

Conduttori elettrolitici o di seconda classe.
Sono particolarmente le soluzioni e i Sali fusi. Danno luogo a conduzione elettrolitica; il
flusso di cariche elettriche (elettricità) è dovuto al moto di porzioni di molecole cariche
positivamente (ioni positivi o cationi) e cariche negativamente (ioni negativi o anioni).

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Il movimento degli ioni elettrolitici è assoluto in quanto entrambi i tipi si muovono nella
stessa direzione ed in verso apposto attirati da poli elettrici contrari.

Conduttori gassosi.
Negli aeriformi sa ha conduzione gassosa. Il flusso di cariche elettriche è dovuto, di regola,
al moto di ioni gassosi, talvolta anche al moto di elettroni liberi. Uno ione gassoso è
costituito da una molecola che ha perso o acquistato uno o più elettroni.

Semiconduttori.
Sono sostanze solide, cristalline, nelle quali è presente una lieve conduzione elettrica, il cui
carattere, in definitiva, è ancora elettronico ma accompagnato da alcune proprietà specifiche
tra cui, di particolare importanza, l’asimmetria direzionale del flusso elettronico.
In pratica, nei semiconduttori, il flusso elettronico direzionale è permesso in un solo verso.
Nel verso opposto i semiconduttori si comportano come un perfetto isolante.

ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTO – PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA
E’ un fenomeno molto evidente specialmente nel caso di conduttori metallici ed è riconducibile ed
assimilabile al principio di conservazione dell’energia e al secondo principio della termodinamica
ove è affermato che il calore si propaga e si trasmette da un corpo più caldo ad un corpo freddo.
Il fenomeno di elettrizzazione per contatto è meglio interpretabile se paragonato a tutti i fenomeni
fisici durante i quali è ricercato l’equilibrio.
L’elettrizzazione per contatto è il risultato della ricerca, da parte dei corpi interessati ed interagenti,
dell’equilibrio elettrostatico.
In altre parole:

x Quando un corpo elettricamente squilibrato (carico) è posto a contatto con un corpo neutro,
avviene spontaneamente un passaggio di cariche tale da permettere il raggiungimento di una
nuova situazione in cui è diminuito lo squilibrio nel corpo carico ed è aumentato nel corpo
neutro.
Il risultato finale è una nuova situazione in cui la differenza di carica elettrica tra i due corpi
si è ridotta.
Il fenomeno avviene spontaneamente ed è valido il principio di conservazione della carica
elettrica.
La quantità di carica posseduta complessivamente dai due corpi si mantiene costante e pari
alla carica posseduta prima del contatto.

Così, ad esempio, se un corpo dotato di una quantità di carica positiva (difetto di elettroni) è posto a
contatto con uno o più corpi elettricamente neutri, si verifica un trasferimento di elettroni che tende
a riportare allo stato neutro il corpo positivo.
Gli elettroni sono estratti dal corpo neutro dall’azione elettrostatica attrattiva esercitata dal corpo
carico.
L’estrazione ed il passaggio di elettroni determina la riduzione della carica elettrica positiva
originale (diminuisce lo squilibrio), ma, nel contempo, genera un nuovo squilibrio nel corpo che in
origine era neutro.
Alla fine, dopo il contatto, entrambi i corpi posseggono una carica elettrica positiva ed il fenomeno
è quindi assimilato ad un trasferimento di carica con mantenimento del valore originale.
Al contrario, ponendo a contatto un corpo negativo (eccesso di elettroni) con uno o più corpi neutri,
si ha una passaggio di elettroni dal corpo carico ai corpi neutri.
I corpi, in origine neutri, assumono una carica negativa tanto più grande quanto più elevato è il
numero di elettroni trasferito, mentre, il corpo in origine negativo, riduce il valore della carica
originale.
Si ha in questo caso un trasferimento permanente di cariche negative.

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La quantità di carica trasferita da un corpo carico ad uno neutro o diversamente carico dipende
essenzialmente dalla forma dei corpi.
Teoricamente, nel caso di corpi dimensionalmente uguali, le carica è dimezzata.
++
++
++
++e

e
+
++
+
1
2
3
3
2
1

e

e

e

Figura 4 – ELETTRIZZAZIONE PER CONTATTO

ELETTRIZZAZIONE PER INDUZIONE
Un altro modo per elettrizzare un corpo conduttore è quello di provocare la separazione delle
cariche positive e negative già possedute inizialmente.
Si tratta di una separazione transitoria determinata essenzialmente dallo spostamento delle cariche
negative mobili (gli elettroni di conduzione) solitamente attratte o respinte rispettivamente da
polarità positiva o negativa esterna.
Il risultato di tale attrazione o repulsione è la concentrazione delle cariche negative ad un’estremità
del conduttore e la conseguente concentrazione – per difetto d’elettroni – delle cariche positive dalla
parte opposta.
Il corpo è quindi “polarizzato” dalla presenza di un “polo positivo” e di un “polo negativo” ma, il
numero di cariche elettriche originali non è modificato.
L’induzione è quindi una forzatura transitoria che modifica lo stato delle cariche ed è provocata
dall’attrazione elettrica dovuta alla presenza ravvicinata di un altro corpo elettricamente squilibrato.
Il responsabile dell’induzione è definito “induttore o inducente” mentre il corpo che la subisce è
definito “indotto”.
L’induzione o polarizzazione della materia scompare – ritorno allo stato neutro - se cessa l’azione
dell’induttore oppure, in generale, se l’indotto e l’induttore sono allontanati l’uno dall’altro.
L’effetto d’induzione su di un conduttore neutro (ad esempio un metallo) si manifesta ogni
qualvolta gli è avvicinato un corpo (conduttore o isolante polarizzato) carico.

x Corpo induttore positivo:
Avvicinando ad un’estremità del corpo neutro un induttore positivo (corpo conduttore
caricato positivamente, estremità positiva di un isolante polarizzato oppure estremità
positiva di un conduttore polarizzato), gli elettroni di conduzione contenuti nel corpo neutro
si spostano, per attrazione elettrica, verso la parte positiva dell’induttore.
Il corpo inizialmente neutro è quindi polarizzato con il polo negativo verso l’induttore.
La polarizzazione indotta scompare se i due corpi sono allontanati, ovvero se cessa l’azione
elettrostatica dell’induttore.

17
+
e

e

e

+
+
+
+
+
+
IN D U TTO R E PO SITIV O
IN D O TTO IN IZIA LM . N EU TR O
POLO NEGAT.
POLO POSIT.
SOSTEGNO ISOLANTE
IN D O TTO IN IZIA LM . N EU TR O
+
+
+ e

POLO POSIT.

+
+
+
e
e

SOSTEGNO ISOLANTE
POLO NEGAT.

+
+
+
+
+
+

POLARIZZATO
IN D U TTO R E PO SITIV O

Figura 5 – INDUTTORE POSITIVO (PERMANENTE O POLARIZZATO TRANSITORIO)

x Corpo induttore negativo:
Il fenomeno è analogo al precedente con la differenza che gli elettroni si allontanano
dall’induttore trasferendosi all’estremità più distante dell’indotto.

e

e

e

IN D U TTO R E N EG A TIV O
IN D O TTO IN IZIA LM . N EU TR O
POLO NEGAT. POLO POSIT.
SOSTEGNO ISOLANTE
IN D O TTO IN IZIA LM . N EU TR O
SOSTEGNO ISOLANTE
IN D U TTO R E N EG A TIV O

+
++
+
+
+
POLARIZZATO
+
+
+
+
+
+

e

e

e
e

e
e

e
+
+
+
+
+
+
POLO POSIT.POLO NEGAT.

Figura 6 - INDUTTORE POSITIVO (PERMANE NTE O POLARIZZATO TRANSITORIO)
La formazione di poli d’induzione contrapposti sul corpo inizialmente neutro è chiaramente visibile
dal movimento del pendolino elettrico (piccola sferetta caricata positivamente o negativamente e
appesa ad un filo leggero) posto nelle vicinanze delle estremità del corpo.

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e

e

e

IN D U T T O R E N E G A T IV O
IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O
POLO NEGAT. POLO POSIT.
SOSTEGNO ISOLANTE
+
+
+
+
+
+

e

e
+
+
+
+
IN D O T T O IN IZ IA L M . N E U T R O
POLO NEGAT.
IN D U T T O R E PO SIT IV O
+
SOSTEGNO ISOLANTE
POLO POSIT. +
+
+
e

e

+
+
+
+
e
e

e

+
+

Figura 7 – AZIONI ELETTROSTATICHE SU UN PENDOLINO POSITIVO

INDUZIONE ELETTROSTATICA E SEPARAZIONE PERMANENTE DELLE CARICHE .
MESSA A TERRA
Sfruttando il solo fenomeno d’induzione risulta impossibile, secondo quanto visto prima, caricare in
modo permanente un corpo conduttore (indotto).
Per far ciò occorre associare l’induzione elettrostatica all’artificio della messa a terra.
Si tratta, in pratica, di collegare il corpo indotto al terreno per mezzo di un filo conduttore (messa a
terra) e procedere poi secondo il seguente procedimento:

x Il collegamento del corpo neutro (da caricare) al terreno ci permette di considerare come
indotto l’insieme terra-filo-corpo
x Avvicinando l’induttore all’indotto si ottiene, per induzione, il trasferimento delle cariche
negative e la polarizzazione elettrica dell’insieme terreno-filo-corpo.
x Le cariche elettriche utilizzano il filo come ponte tra il corpo ed il terreno.
x Il corpo è quindi sede di una polarità positiva o negativa in funzione della carica
dell’induttore.
Se l’induttore è negativo il corpo posto all’estremità dell’insieme si carica positivamente, se
l’induttore è positivo si carica negativamente
x Il filo è poi eliminato separando così il terreno dal corpo ed impedendo alle cariche negative
la possibilità di riequilibrare l’insieme
x L’induttore è poi allontanato dall’indotto
x L’eccesso o il difetto di cariche negative nel corpo risulta in questo modo permanente.

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SOSTEGNO ISOLANTE
+
+
+
+
+
+

IN D U T T O R E N E G A T IV O
+
+
+
+
+
+

e

e

e

e
e

e

e

TERRENO
CORPO INIZIALM. NEUTRO
FILO COND.
CORPO POSITIVO
+
+
TERRENO
++++
+
++
+
+
+
++
FILO COND.

SOSTEGNO ISOLANTE
+++
+
+
+++
+
+
+
+

Figura 8 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRA

SOSTEGNO ISOLANTE
TERRENO
FILO COND.
+
IN D U T T O R E PO SITIV O
e

e

e

e
e

e

e

++++++++
+++++++
+ ++ TERRENO

+++
++ ++ + ++

+
FILO COND.
SOSTEGNO ISOLANTE
++

++ ++ +

CORPO NEGATIVOCORPO INIZIALM. NEUTRO

Figura 9 – CARICA PERMANENTE PER INDUZIONE E MESSA A TERRA

L’induzione elettrostatica unita alla messa a terra permette teoricamente di generare, utilizzando la
carica elettrica di un solo induttore, una quantità di carica elettrica infinitamente grande
prelevandola direttamente dalla terra che si comporta, in questo caso, come una sorgente di
elettricità infinitamente grande.
Se ci si limita a considerare la sola carica elettrica generata sui conduttori in esame, non ha più
validità il principio di conservazione così come illustrato per il caso di elettrizzazione per contatto.
Il principio di conservazione della carica è però in realtà soddisfatto se prendiamo in esame l’intero
sistema terra-filo-corpo.

20

STRUMENTI DI INDAGINE QUALITATIVA

ELETTROSCOPIO A FOGLIE – ELETTROMETRO AD AGO
Considerando che la carica elettrica è una grandezza fisica definita dalla somma delle cariche
elettriche elementari possedute dagli elettroni in eccesso o in difetto e che risulterebbe, per ovvi
motivi, assurda ed impossibile una misurazione diretta mediante conteggio di tali particelle, risulta
necessario stabilire:
x Le modalità per la valutazione delle condizioni elettrostatiche che caratterizzano il
conduttore
x Il sistema di misura e la relativa unità di misura della carica elettrica
x Le modalità per la valutazione numerica dell’intensità di carica

Per quanto riguarda il sistema di misura e le modalità di valutazione numerica, occorre riprendere
l’argomento, in prima battuta, durante la trattazione delle forze elettriche e successivamente durante
lo studio dei flussi di carica nei conduttori (corrente elettrica).

Per il primo punto - la valutazione qualitativa delle condizioni elettrostatiche - è sufficiente
ricollegarsi alla condizione iniziale che ha permesso la scoperta dell’elettricità cioè l’esistenza delle
azioni elettrostatiche repulsive e attrattive a distanza.
Il primo strumento d’indagine qualitativa è “l’elettroscopio a foglie”.
Esso ci permette sostanzialmente di determinare, sfruttando il fenomeno di attrazione elettrostatica,
se un corpo è carico o neutro, se l’eventuale carica è positiva o negativa e, se opportunamente
tarato, una prima valutazione dell’intensità o grandezza numerica della carica.
Può essere utilizzato sia tramite contatto che induzione ed è sostanzialmente costituito da un’asta
metallica inserita in un recipiente di vetro per mezzo di un tappo di materiale isolante.
L’estremità interna al recipiente è dotata di due sottili lamine metalliche incollate all’asta con una
sostanza conduttrice, l’altra estremità, esterna, è dotata di un terminale sferico metallico.
Esistono poi diverse altre modalità costruttive come, ad esempio, l’elettroscopio ad ago mobile
comunemente definito “elettrometro” nel quale l’azione delle lamine metalliche è sostituita dal
movimento rotatorio di una sbarretta metallica sottile (ago) rispetto ad un’asta metallica fissa.

SFERA METALLICA
ASTA MET.
TAPPO ISOLANTE
LAMINE
REC. VETRO
SFERA METALLICA
REC. VETRO
TAPPO ISOLANTE
ASTA MET.
FISSA
AGO
SCALA

Figura 10 – ELETTROSCOPIO A LAMINE METALLICHE – ELETTROMETRO AD AGO

21

USO DELL’ELETTROSCOPIO:

Per determinare se un corpo è neutro o carico:
L’elettroscopio è utilizzato sia per contatto che per induzione.
Ponendo a contatto la sfera esterna dell’elettroscopio con il corpo in esame (si desidera
determinare se il corpo è carico o no), parte dell’eventuale carica elettrica si trasferisce dal
corpo alla sfera e, attraverso l’asta metallica, si distribuisce anche sulle lamine.
L’apertura delle lamine metalliche è indice della presenza della forza elettrostatica repulsiva
agente sulle due lamine per effetto di cariche elettriche dello stesso segno.
Naturalmente nulla accade se il corpo in esame è neutro.
Nel caso di apertura delle lamine non ci è permesso di determinare il segno algebrico della
carica.

+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
--
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---
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-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
--
-
-

Figura 11 – PER CONTATTO

Avvicinando il corpo alla sfera dell’elettroscopio il corpo, si ottiene, per effetto
dell’induzione elettrostatica, la separazione delle cariche sull’asta, le lamine e la sfera stessa.
L’elettroscopio si polarizza assumendo sulla sfera esterna la polarità opposta al segno della
carica del corpo e, sulle lamine, la stessa polarità.
Le lamine, ancora per effetto di forze elettrostatiche repulsive, si allontanano confermando
così che il corpo induttore è carico.
Nulla succede nel caso di corpo neutro.
Allontanando il corpo dalla sfera cessa la polarizzazione dell’elettroscopio e le lamine
assumono la posiziona naturale di verticalità, chiudendosi.
Anche in questo caso, pur riuscendo a determinare se il corpo è carico o neutro, non ci è
permesso di conoscere il segno algebrico della carica.
Dalla maggiore o minore apertura delle lamine ci è invece consentito di paragonare
l’intensità di carica di due diversi corpi posti a contatto in tempi diversi.

22
+
+
+
+
+
+
+
+
--
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
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-
-
-
-
--
-
+
+
+
+
+
+
+
-
--
-
-
-
-

Figura 12 – PER INDUZIONE

Per determinare il segno algebrico della carica:
Qualora l’utilizzo dell’elettroscopio abbia segnalato la presenza di una carica elettrica e si
desideri determinarne il segno algebrico, la procedura che si descrive è solo un più
complicata.
Inizialmente si procede a caricare per contatto l’asta e le lamine dell’elettroscopio
scegliendo a priori il segno della carica elettrica.
x Se si decide di precaricare positivamente l’elettroscopio:
Utilizzando una bacchetta di plastica strofinata e un conduttore metallico collegato a
terra, per mezzo dell’induzione, si procede a caricare in modo positivo il conduttore
stesso, come illustrato nello schema seguente:
e

e

e

SOSTANZA RESINOSA
CORPO INIZIALM. NEUTRO
SOSTEGNO ISOLANTE

e

e

e

e

TERRENO
FILO COND.
+ +

+
+
+ +
++
++
+
+
+
+
+
+
CONDUTTORE CONDUTTORE
CORPO SICURAMENTE POSITIVO
+
+
TERRENO
+
+
+
+
+
+
+

+
+
FILO COND.

SOSTEGNO ISOLANTE

+
+

+
+
+
A A

Figura 13 – COME SI GENERA UN CORPO CONDUTTORE POSITIVO

23
Usando il corpo conduttore positivo generato e un manico isolante per evitare che si
scarichi a terra, si carica per contatto l’asta, le sfera e le lamine dell’elettroscopio.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
++
A

Figura 14 – CARICARE POSITIVAMENTE L’ELET TROSCOPIO

Si avvicina ora alla sfera dell’elettroscopio precaricato positivamente il corpo per il
quale si desidera determinare il segno algebrico della carica.
Si potranno verificare due diversi casi in funzione dei quali sarà determinato il segno
della carica del corpo induttore:
x Le lamine tendono ad allontanarsi anor più
x Le lamine tendono a richiudersi

Caso 1:
Il corpo possiede un’ipotetica carica positiva, l’elettroscopio è già positivo.
Avvicinando il corpo, che si ipotizza positivo, alla sfera sicuramente positiva e
tenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue:
La presenza della carica positiva costringe elettroni di conduzione dell’elettroscopio
ad allontanarsi dalle lamine e trasferirsi all’estremità superiore ove è presente la sfera
già caricata positivamente.
L’afflusso sulla sfera di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difetto
d’elettroni in prossimità del corpo carico positivamente.
Nel contempo gli elettroni trasferiti dalle lamine aumentano ancor di più la carica
positiva sulle lamine.
Di conseguenza, avendo precaricato positivamente l’elettroscopio e constatando
l’ulteriore allargamento delle lamine, si conclude che la carica del corpo induttore
deve essere sicuramente positiva come ipotizzata.

Caso 2:
Il corpo possiede un’ipotetica carica negativa, l’elettroscopio è già positivo.
Avvicinando il corpo, che si ipotizza negativo, alla sfera sicuramente positiva e
tenendo conto del fenomeno d’induzione elettrostatica, si conclude quanto segue:
La presenza della carica negativa ipotetica costringe elettroni di conduzione sulla
sfera dell’elettroscopio ad allontanarsi dalla stessa e trasferirsi all’altra estremità ove
sono presenti le lamine già caricate positivamente.

24
L’afflusso di nuovi elettroni di conduzione, negativi, riduce il difetto d’elettroni sulle
lamine e, di conseguenza, le forze elettriche repulsive diminuiscono permettendo
così alle lamine di richiudersi.
Di conseguenza, avendo precaricato positivamente l’elettroscopio e constatando la
chiusura delle lamine, si conclude che la carica del corpo induttore deve essere
sicuramente negativa come ipotizzato.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
++
+++
+
+
-
e
e
-
+

Figura 15 – CASO 1

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+++
++
e
-
-
e

Figura 16 – CASO 2

25

LA FORZA ELETTRICA

L’interazione elettrica o forza elettrica è una forza fondamentale causata da una caratteristica,
intrinseca delle particelle atomiche costituenti la materia, che si materializza esternamente sotto
forma di carica elettrica complessiva.
Le forze elettriche o elettrostatiche, molto più intense delle forze gravitazionali e di tipo sia
attrattivo che repulsivo, sono azioni “a distanza” per le quali non occorre, come d’altra parte anche
per le forze gravitazionali, l’effettivo contatto tra i corpi.
Il termine “forza elettrostatica” è tipico dei casi in cui le particelle che si attraggono o respingono
non modificano, nel tempo la loro posizione, mentre il termine “forza elettrica” è più generico ed
include quindi anche il caso di corpi o particelle in movimento le une rispetto alle altre.
Com’è risaputo, la materia è costituita da un insieme di particelle di dimensioni ridottissime, che
definiamo comunemente “atomi”, quasi sempre riunite in agglomerati definiti a loro volta
“molecole”.
In base alla loro massa ed ad altre caratteristiche morfologiche, quali ad esempio la densità o lo
stato, gli atomi sono riuniti e classificati nella “Tavola Periodica degli elementi” o “Tavola
periodica di Mendeleev” basata sul Carbonio 12 e aggiornata con gli elementi di sintesi.
La classificazione prevede un numero di elementi atomici elementari suddivisi in metalli, non
metalli, liquidi e gas nobili e elementi atomici di sintesi.
Indipendentemente dal tipo di elemento, ogni atomo è poi costituito da particelle - protoni e
neutroni – contenute nel nucleo – e da altre particelle, gli elettroni, in rotazione attorno al nucleo
stesso.
Le caratteristiche intrinseche di cui si accennava all’inizio, sono proprie dei protoni e degli elettroni
che, pur avendo masse completamente diverse (la massa del protone equivale a quella di circa 2.000
elettroni), ne posseggono un’uguale quantità.
La quantità di cui si parla è comunemente definita “carica elettrica”.
L’elettrone e il protone posseggono lo stesso valore di “carica elettrica” anche se di segno opposto;
l’elettrone di segno negativo, il protone di segno positivo.
La definizione di “carica elettrica di segno positivo” e “carica elettrica di segno negativo” è basata
sul presupposto che, in natura, esistono due tipi di materiale – l’ambra, o resina fossile, e il vetro –
che per sfregamento con un panno di lana assumono la proprietà di attirarsi vicendevolmente.
Per definizione, i materiali che hanno caratteristiche elettriche uguali a quelle del vetro sono definiti
“POSITIVI”, mentre i materiali elettricamente uguali all’ambra sono definiti “NEGATIVI”.
Due corpi, elettricamente carichi entrambi o di segno positivo o di segno negativo, si respingono
vicendevolmente; due corpi, carichi di segno contrario, si attirano vicendevolmente.
La forza con la quale si respingono o si attraggono è la “FORZA ELETTRICA O
ELETTROSTATICA”.

L’intensità delle “FORZE ELETTRICHE” è direttamente proporzionale al prodotto dei valori
numerici delle cariche elettriche possedute dai due corpi, inversamente proporzionale al quadrato
della loro distanza e dipendono, inoltre, dal materiale nel quale sono immersi i corpi.
Inoltre, essendo reciprocamente applicate ai corpi carichi, le forze elettriche sono dirette secondo la
retta direttrice che congiunge i due baricentri ed hanno sempre verso opposto.
La legge sperimentale che permette di determinare il valore della FORZA ELETTRICA è stata
scoperta dallo scienziato francese COULOMB ed è quindi conosciuta come “LEGGE DI
COULOMB”:

26
2E
r
qQ
kF
?
? LEGGE DI COULOMB

Con il seguente significato della simbologia:

E
F ? FORZA ELETTRICA O ELETTROSTATICA DI ATTRAZIONE O REPULSIONE
k ? COSTANTE ELETTRICA DEL MATERIALE IN CUI SONO IMMERSE LE
CARICHE ELETTRICHE Q E q.
Q ? CARICA ELETTRICA MAGGIORE
q ? CARICA ELETTRICA MINORE
r ? DISTANZA TRA I BARICENTRI DELLE CARICHE

Figura 17 - FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE TRA DUE CARICHE DI SEGNO CONTRARIO

27

Figura 18 – FORZE ELETTRICHE REPULSIVE TRA DUE CORPI DI UGUAL SEGNO.

1. DEFINIZIONE OPERATIVA DELLA GRANDEZZA FISICA “CARICA ELETTRICA”:
Come già anticipato la carica elettrica è una proprietà specifica dei protoni e degli elettroni
contenuti nell’atomo.
Il protone si comporta, elettricamente, allo stesso modo del vetro ed è quindi positivo mentre
l’elettrone si comporta come l’ambra ed è quindi negativo.
La carica elettrica dell’elettrone e del protone, pur essendo di segno contrario, hanno però lo stesso
valore numerico.
Il segno positivo e negativo non indicano, come in matematica, un numero rispettivamente
maggiore o minore di zero ma, come si vedrà più avanti, sono indicatori simbolici del senso della
corrente elettrica i o, meglio, del senso del potenziale elettrico V.
Nel caso di applicazione della LEGGE DI COULOMB per il calcolo della forza elettrica il segno
positivo o negativo ci indicherà il verso delle forze.
Ogni atomo, qualsiasi sia il suo numero atomico, possiede un ugual numero di protoni ed elettroni
cosicché la quantità di carica elettrica, pensata sia positiva che negativa, per un osservatore posto
all’esterno, è nulla.
In queste condizioni l’atomo è elettricamente neutro e non si manifestano interazioni elettriche con
l’ambiente circostante.
C’è però da considerare il fatto che, in determinate circostanze, è possibile generare uno squilibrio
elettrico all’interno dell’atomo aggiungendo o togliendo elettroni negativi senza alterazione del
numero di protoni, che all’interno del nucleo, sono inamovibili.
Lo squilibrio elettrico è tanto più elevato quanto è maggiore il numero di elettroni aggiunti o tolti;
se sono aggiunti elettroni la carica elettrica complessiva sarà negativa per eccesso di elettroni
mentre, se si estraggono elettroni, la carica elettrica complessiva sarà positiva per eccesso di
protoni.
Il valore complessivo della carica potrà essere determinato, per l’atomo singolo, dal numero di
elettroni in più o in meno.

28
Supponendo di definire con

e la carica elettrica del singolo elettrone, con
E
nil numero di
elettroni estratti o aggiunti e con
A
N il numero di atomi contenuti in un corpo, sarà possibile
determinare lo squilibrio di cariche elettriche, ovvero la carica elettrica complessiva, ricorrendo alla
semplice relazione:

( )
AE
Nenq ì?

La carica complessiva qsarà positiva se gli elettroni sono estratti, negativa se aggiunti:

()+q Numero di elettroni minore del numero di elettroni.
()q Numero di elettroni maggiore del numero di protoni.

E’ quindi chiaro che l’intensità di carica elettrica dipende unicamente dal numero complessivo di
elettroni mancanti o in eccesso.

La carica elettrica dell’elettrone
La carica elettrica

eposseduta dall’elettrone è quindi la più piccola che si conosca e il suo valore
numerico è stato determinato in base alla definizione dell’unità di misura della grandezza fisica
“carica elettrica”:
( )Coulomb10602,1e
19
?
Naturalmente essa è uguale, a parte il segno, alla carica elettrica del protone:
( )Coulomb10602,1p
19+
?+

2. UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA ELETTRICA:

L’unità di misura da utilizzarsi per la grandezza fisica “carica elettrica” è il COULOMB la cui
abbreviazione simbolica è ()C.
La quantità di carica elettrica il cui valore è di ()C1 è definita nel modo seguente:
Date due sfere metalliche di dimensioni puntiformi, poste alla distanza di ()m1 una
dall’altra, nel vuoto, e collegate ognuna ad una molla dinamometrica in grado di contrastare
i loro spostamenti e, nello stesso tempo, di misurare le forze applicate:

29

Figura 19 – SFERE METALLICHE NEL VUOTO E MOLLE DINAMOMETRICHE

Data una macchina, di tipo qualsiasi, collegata ad entrambe le sfere e in grado di trasferire
elettroni da una sfera all’altra:

Figura 20 – MACCHINA DI TRASFERIMENTO ELETTRONI

Considerando che, a causa del trasferimento di elettroni, le due sfere si caricano
elettricamente di segno opposto, che la quantità di carica aumenta durante il funzionamento
della macchina in funzione del tempo e della portata elettrica della macchina, cioè del
numero di elettroni al secondo trasferiti, che le sfere – caricandosi elettricamente di segno
opposto – si attirano vicendevolmente con due forze elettriche uguali e contrarie e che dette
forze aumentano gradatamente in funzione dell’aumento della carica elettrica:

30

Figura 21 – CARICA ELETTRICA E FORZE ELETTRICHE ATTRATTIVE

Si definisce Carica elettrica di 1 (Coulomb) - ()C1Q - la carica elettrica assunta
singolarmente da ogni sfera nel momento in cui le forze elettriche
E
F raggiungono il valore
di ( )Newton109
9
?

Figura 22 – CARICA ELETTRICA DI 1 (Coulomb)

3. NUMERO DI CARICHE ELEMENTARI NELL’UNITA’ DI MISURA DELLA CARICA:
Considerando che la carica elementare è quella dell’elettrone

eq e il suo valore numerico,
espresso in Coulomb ()C10602,1e
19
? , si può determinare il numero di cariche elementari
occorrenti per formare una carica di valore pari all’unità di misura, con la semplice relazione:

()C1Qen
e
?

31
Da cui:
()
()
?
?
?
?
?
?
?#?
?

++

C
elettroni
1024,61062422,0
C10602,1
C1
e
Q
n
1819
19
e

4. ANALISI DIMENSIONALE DELLA LEGGE DI COULOMB E DELLA COSTANTE K:
Dall’analisi dimensionale della legge e tenendo conto che la Forza non è una grandezza
fondamentale ma derivata ed è definita dal 2° Principio della Dinamica o “Legge del moto” come il
prodotto della massa per l’accelerazione:

amF ?
si possono determinare le dimensioni fisiche della COSTANTE ELETTRICA k:

2E
r
qQ
kF
?
? FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI
qQ
rF
k
2
E
?
?
??
( )
>@qQ
L
t
L
M
qQ
ram
k
2
22
?
?
?
?
?
…
?
?
?
o
?
??
o

?
?
?
…
?
?
??
?
o??
qQt
LM
k
2
3

Nell’analisi dimensionale compare la grandezza “carica elettrica” come definita ai punti precedenti
ma, più avanti, con la definizione di un’ulteriore grandezza fondamentale quale l’intensità di
corrente elettrica i- la cui unità di misura sarà l’AMPERE ()A - anche la carica elettrica dovrà
essere riferita al valore dell’intensità di corrente secondo la relazione:

tiQ ? ( )sA?

Cosicché le dimensioni della costante elettrica saranno:

?
?
?
…
?
?
???
o??
qQtM
L
k
2
3
?
?
?
?
…
?
?
??
?
222
3
sAt
LM

La stessa Costante elettrica espressa invece in termini di unità di misura, tenendo conto del fatto che
è stato definito il NEWTON (N) come unità di misura della forza, si ottiene:
qQ
rF
k
2
E
?
?

Da cui:
2
22
C
mN
CC
mN
k
?

?
?
0ppure
22
22
sA
mN
sAsA
mN
k
?
?

???
?

Il valore numerico della Costante Elettrica k dipende dal materiale in cui sono immerse le cariche.
Se le cariche sono nel vuoto la Costante è definita “Costante elettrica del vuoto” e il suo valore si
ricava tenendo conto della definizione dell’unità di misura della carica elettrica.
La legge di COULOMB assume la forma:

2
E
r
qQ
kF
?
?
F FORZA ELETTRICA TRA CARICHE NEL VUOTO

32
In cui
F
k è la “Costante elettrica del vuoto”.
()()
()()
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??

?
?

F 2
2
9
2292
E
C
mN
109
C1C1
m1N109
qQ
rF
k
Il valore numerico della costante elettrica del vuoto è quello massimo tra tutti i valori possibili
ovvero, in altre parole, le forze elettriche che si sviluppano se le cariche sono nel vuoto sono sempre
le più intense.

5. LA LEGGE DI COULOMB E LA COSTANTE DIELETTRICA ASSOLUTA e:
Oltre alla formulazione classica della LEGGE DI COULOMB nella quale compare la costante
elettrica k relativa al materiale -
F
kper il vuoto – si utilizza praticamente una seconda
formulazione, tipica per le distribuzioni di carica di forma sferica, in cui compare una seconda
costante, con dimensioni invertite rispetto alla classica k, che è definita “COSTANTE
DIELETTRICA ASSOLUTA” e il cui simbolo è e.
La Legge di Coulomb, riscritta con l’utilizzo della costante dielettrica assoluta, è la seguente:

2
E
r
qQ
4
1
F
?
?
e?p?
FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI
2
E
r
qQ
4
1
F
?
?
e?p?

F
FORZA ELETTRICA NEL VUOTO

E il legame tra la “costante elettrica” e la “costante dielettrica assoluta” è ottenuto paragonando le
due espressioni della legge:
e?p?

4
1
k
Da cui:
k4
1
?p?
e
Relativamente al caso in cui le cariche siano disposte nel vuoto, si utilizzerà la “costante dielettrica
del vuoto”
F
e il cui valore numerico si ottiene:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??p?

?p?
e

F
F
2
2
12
2
2
9
2
2
9
mN
C
108464,8
mN
C
100088464,0
C
mN
1094
1
k4
1

6. LA COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA
R
e:
Come si è detto, per il calcolo delle forze elettriche, oltre all’intensità delle cariche Q e q e alla
loro distanza r, occorre essere a conoscenza anche della costante dielettrica assoluta e
caratteristica del materiale in cui sono immerse le cariche.
E’, a questo scopo, definita un ulteriore costante, i cui valori sono reperibili su apposite tabelle, che
è la “Costante Dielettrica relativa”
R
edipendente dalla costante dielettrica assoluta del materiale e
dalla costante dielettrica del vuoto, secondo la seguente relazione:
F
e
e
e
R

E’ così possibile determinare il valore numerico della costante dielettrica assoluta:

33
F
e?e e
R

E la formulazione finale della Legge di COULOMB:

2
R
E
r
qQ
4
1
F
?
?
e?e?p?

F
FORZA ELETTRICA IN UN MATERIALE QUALSIASI

I valori della “COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA” per i materiali in cui, più sovente sono
immerse le cariche elettriche, sono i seguenti:
Per materiali liquidi:
Acqua distillata 07,81
R
e
Alcool etilico 28
R
e
Nitrobenzene 36
R
e
Olio minerale 5,2
R
e
Olio di paraffina 3
R
e
Olio per trasformatori 5,22
R
e
Petrolio 1,2
R
e
Silicone 8,2
R
e
Vaselina 5,2
R
e
Per materiali aeriformi:
Anidride carbonica 000946,1
R
e
Aria secca 000590,1
R
e
Elio 000074,1
R
e
Idrogeno 000264,1
R
e
Vapore acqueo 007,1
R
e
Per materiali solidi:
Ambra 8,2
R
e
Bakelite 7,6
R
e
Carta compressa 3,27,1
R
e
Celluloide 0,3
R
e
Ceralacca 3,4
R
e
Cloruro polivinile 3,3
R
e
Ebanite 5,2
R
e
Gomma 0,4
R
e
Marmo 86
R
e
Mica 65
R
e
Paraffina 1,2
R
e
Plexiglass 0,3
R
e
Polistirolo 5,2
R
e
Porcellana 3,5
R
e
Vetro 0,5
R
e
Per il vuoto: 0,1
R
e

34

ESERCIZI

ESERCIZIO 1:
Due sfere elettricamente cariche di elettricità di segno contrario, poste alla distanza di 50 cm l’una
dall’altra, si attraggono con una forza di 5 N. Se sono portate alla distanza di 15 cm, con quale forza
si attrarranno?

Soluzione:
x La forza elettrica d’attrazione tra le due sfere, per le quali non si conosce né il valore
numerico delle cariche elettriche né il tipo di materiale che le contiene, è data dalla Legge di
Coulomb in una qualsiasi delle sue formulazioni:
Ad esempio:
2
R
E
r
qQ
4
1
F
?
?
e?e?p?

F

Dai dati del problema e considerando che alcuni dei valori non cambiano, anche se le sfere
si avvicinano, possiamo calcolare il valore dei termini incogniti:
() () ( )
2222
E
R
mN25,1m5,0N5rF
4
qQ
? ? ?
e?e?p?
?
F

Con il risultato ottenuto e applicando la Legge di Coulomb, determiniamo ora il valore della
forza elettrica, quando le sfere si avvicinano a 15 cm:
( )
()
()N55,55
m15,0
1
mN25,1
r
1
4
qQ
F
22
2
2
R
E
?? ?
e?e?p?
?

F

ESERCIZIO 2:
Due cariche elettriche, supposte puntiformi, una di ()C105
2
?+ e l’altra di ()C108
4
? , si trovano
nel vuoto ad una distanza di 50 cm.
Determinare la forza con la quale si attraggono.
Quale sarebbe la forza d’attrazione se le cariche fossero immerse in vaselina?

Soluzione:
x Per cariche nel vuoto:
Vale la Legge di Coulomb per cariche immerse nel vuoto:
()
()
() ()
()
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???p?

?
?
e?e?p?

FF
F
22
42
2
2
12
2
R
E
m5,0
C108C105
mN
C
1085,814
1
r
qQ
4
1
F
()
( )
()N1044,1
mC
mNC
1044,11044,1
10
1010
25,085,814
85
F
6
22
22
61242
12
42
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
???p?
?

+

F
x Per cariche nella vaselina
( )
5,2
VA SR
e :
( )
( )
() ()
()
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???p?

?
?
e?e?p?

F
22
42
2
2
12
2
VA SR
VA SE L IN AE
m5,0
C108C105
mN
C
1085,85.24
1
r
qQ
4
1
F
( )
( )
()N107,5
mC
mNC
1057,01057,0
10
1010
25,085,85,24
85
F
5
22
22
61242
12
42
VA SE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ?
?
?
???p?
?

+

35

ESERCIZIO 3:
Determinare a quale distanza si devono mettere, in acqua, due corpi puntiformi con cariche uguali
di ()C102
4
? , affinché la forza
( )ACQUAE
F con cui si respingono sia di ()N105,2
3
? .

Soluzione:
x E’ ancora applicabile la Legge di Coulomb:
( )
( )
2
ACQUAR
ACQUAE
r
qQ
4
1
F
?
?
e?e?p?

F

Dalla quale, invertendo la formula, si ricava il valore incognito della distanza r:
( ) ( )
??
?????p?
???

?e?e?p?
?

F
312
44
ACQUAEACQUAR
105,21085,807,814
102102
F4
qQ
r
( )
()m042,010777,110777,1
101025,2
104
10528.22
104
r
3948
94
8
9
8
? ?
??
?
#
?
?

+

() ()cm2,4m042,0r

ESERCIZIO 4:
Determinare la carica che, posta nel vuoto alla distanza di 1 metro da una seconda carica di ()C3 ,
l’attrae con la forza ()
FE
kg10F

Soluzione:
x Dalla Legge di Coulomb:
()
()
2
R
E
r
qQ
4
1
F
?
?
e?e?p?

FF
F
Invertendo la formula e considerando che una forza d’attrazione è negativa, si ottiene:
() ()
() ()
()
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?e?e?p??

FFF
C3
m1
mN
C
1085,8114.34
kg
N
81,9kg10
q
r4F
Q
22
2
2
12
f
f2
RE

() ()
()
() ()C1063,3C108,634.3
C3
m1
mN
C
1085,8114.34
kg
N
81,9kg10
Q
912
22
2
2
12
f
f

?+#?+

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?

ESERCIZIO 5:
Tre cariche () () ()C103q;C105q;C105q
4
3
4
2
3
1

? ? ? sono poste nel vuoto ai vertici di un
triangolo rettangolo i cui cateti misurano rispettivamente ()cm10 e ()cm15 . Calcolare l’intensità
della forza elettrica agente su
2
q.
Soluzione:
x Su ogni carica si manifestano due forze elettriche dovute alla presenza delle altre due
cariche.
Essendo posizionate ai vertici di un triangolo rettangolo su una delle tre cariche devono
agire delle forze perpendicolari tra loro.
La carica sulla quale agiscono forze perpendicolari è proprio la
2
q in base al seguente
schema:

36

Figura 23

La forza risultante, sulla carica
2
q, è data, per il Teorema di Pitagora, da:
2.3
2
2.1
2
2
FFF +
In cui:
()
()
( )
()N1049,221049,22
1,01085,814
105105
r
qq
4
1
F
51243
212
43
2.1
2
21
R
2.1
? ?
????p?
???

?
?
e?e?p?

+

FF
F
()
()
( )
()N1099,51049,22
1,01085,814
105103
r
qq
4
1
F
41244
212
44
2.1
2
23
R
2.3
? ?
????p?
???

?
?
e?e?p?

+

FF
F
Si ottiene quindi:
( )( ) ()N10249,21099,51049,22F
6
2
4
2
5
2
?#?+?

ESERCIZIO 6:
Due sfere uguali, una con carica ()C105q
3
1

ì e l’altra ()C104q
4
2

ì+ , sono poste a
contatto e poi allontanate di 50 cm.
Determinare la forza che esercita su di esse, supponendo che l’esperienza si svolga in olio minerale.

Soluzione:
La carica
1
q è negativa in quanto presenta un eccesso di elettroni rispetto alla neutralità.
Il numero di elettroni in eccesso è determinato dalla seguente relazione:

? enq
11
Da cui si può determinare il numero con:
()el1012,3
10602,1
105
e
q
n
16
19
3
1
1
ì
ì
ì

Per l’altra carica c’è un difetto d’elettroni (o meglio un eccesso di protoni) pari a:

37
()el1049,2
10602,1
104
e
q
n
15
19
4
2
2
ì
ì
ì

Dato che le due sfere hanno uguale geometria e avviene il contatto, dovendo inoltre valere il
principio di conservazione della carica, e supponendo inalterato il numero di cariche
complessivamente presenti dopo il contato, pari alla somma dei protoni in eccesso e degli elettroni
in difetto, alla fine la somma d:
16
1516
21
1068,1
2
1049,21012,3
2
nn
ì
ì+ì

+

161616
M1
*
1
1044,11068,11012,3nnn ì ìì

161615
M2
*
2
1044,11068,11049,2nnn ì ì+ì

L’eccesso di elettroni nella prima sfera si è ridotto, mentre nella seconda sfera l’eccesso protoni è
stato annullato ed è comparso un eccesso di elettroni pari a quello finale sulla prima.
Le due sfere sono ora negative e posseggono un uguale carica elettrica negativa di valore pari a:

() ()C103,2
el
C
)10602,1(el1044,1qq
31916*
2
*
1

ì ?
?
?
?
?
?
??ì

ESERCIZIO 7:
Una carica ()C102q
3
1

ì è posta, nel vuoto, sulla retta congiungente due cariche
()C104q
4
2

ì e ()C103q
5
3

ì che distano tra loro 2 (m). Determinare la forza a cui è
assoggettata la carica
1
q, sapendo che essa è distante 80 cm dalla carica
3
q.

Soluzione:

La forza che la carica 2 esercita sulla carica 1 è attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivolta verso
sinistra e negativa nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da:

38
() ()
()
()N105
m2,1
C104C102
C
mN
109
r
qqk
F
3
22
43
2
2
9
2
12
21
12
ì
ì?ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì

??

F

La forza che la carica 3 esercita sulla carica 1 è ancora attrattiva, quindi, secondo il disegno, rivolta
verso destra e positiva nel sistema normale d’assi cartesiani. Il suo valore è dato da:
() ()
()
()N1044,8
m8,0
C103C102
C
mN
109
r
qqk
F
2
22
53
2
2
9
2
13
31
13
ì+
ì?ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì

??

F

Complessivamente la carica 2 è dunque sottoposta ad una forza rivolta verso sinistra, dalla parte
negativa dell’asse orizzontale del sistema cartesiano, il cui valore è pari alla differenza:

() () ()N156.4N844N000.5F
T
+

ESERCIZIO 8:
Due sferette aventi ciascuna una massa di 10 grammi sono sospese per mezzo di due fili lunghi 1,3
m. Dopo che sono state elettrizzate si distanziano di 10 cm una dall’altra. Determinare la carica
elettrica di ogni sferetta.

Soluzione:
La repulsione elettrica produce un allontanamento delle sferette che sono costrette a muoversi su di
un arco di circonferenza la cui corda è pari alla distanza finale tra le sferette, cioè 10 cm.
La rotazione angolare dei fili è dunque data da:
()
()
()
03856,0
cm130
cm5
sen a
? ()èr#a 2,2

Complessivamente, l’angolo formato, nella posizione di equilibrio elettrostatico e meccanico,
risulta di circa 4,4 °.
La componente parallela al filo, della forza peso di ciascuna sferetta, nella posizione di equilibrio, è
data da:
() () ( ) ()g9926,92,2cosg10cospp
N
è? a?

La componente perpendicolare al filo, quindi tangente alla circonferenza, è invece data da:

() () ( ) ()g38,02,2seng10senpp
T
#è? a?

Considerato che la rotazione angolare è sufficientemente piccola, è possibile confondere l’arco di
circonferenza con la corda.
Ritenendo valida tale approssimazione, risulta che la forza elettrica equilibrante deve essere uguale
e di segno opposto alla forza tangenziale.
Per cui si ricava il valore delle cariche:

2
2
TE
r
qk
pF
?

F

39
() ()
()C1044,6
C
mN
109
m1,0
kg
N
81,9kg108,3
k
rp
q
8
2
2
9
224
2
T

F
ì
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ì

?

ESERCIZIO 9:
Determinare il rapporto esistente tra la forza elettrica e la forza gravitazionale che si esercita tra due
elettroni, sapendo che la massa dell’elettrone è pari a ()kg1011,9
31
ì .

Soluzione:
Dalle relazioni che esprimono la forza gravitazionale ed elettrica si ottiene:
2
E
r
ee
kF
?

F
2
ee
G
r
mm
GF
?
?
?
( )
( )
42
2
3111
2
199
2
e
2
G
E
10172,4
1011,91067,6
10602,1109
mG
ek
F
F
ì
ì??
ì?ì

?
?

F

ESERCIZIO 10:
Un corpo elettrizzato è sospeso con un filo isolante ad un piattello di una bilancia. Si pone, al di
sotto di questo, alla distanza di 10 cm, un corpo con una carica di ()C105
3
ì e, per equilibrare la
bilancia occorre aggiungere sull’altro piattello un peso di 10 grammi. Calcolare la carica posseduta
dal corpo sospeso al piattello con l’ipotesi che il peso del corpo elettrizzato sia trascurabile.

Soluzione:
La forza elettrica tra il corpo elettrizzato e quello sottostante, deve essere pari al peso necessario per
riequilibrare la bilancia e diretta verso il basso.
Quindi il segno della carica elettrica del corpo elettrizzato deve essere sicuramente positivo.
Il valore della carica sarà data da:
2
X
E
r
Qq
kpF
?
?
F
?
() ()
()
()C1018,2
C105
C
mN
109
m1,0
kg
N
81,9kg101
Qk
rp
q
11
3
2
2
9
222
2
X

F
ì+
ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ì

?
?

ESERCIZIO 11:
Calcolare la velocità di rotazione di un elettrone attorno ad un protone (atomo di idrogeno) sapendo
che l’orbita è circolare con raggio ()m105r
11
ì e la massa dell’elettrone è
()kg1011,9m
31
e

ì .

Soluzione:
Potendo trascurare la forza d’attrazione gravitazionale tra il protone e l’elettrone in quanto
notevolmente più piccola rispetto all’attrazione elettrica, si può impostare la relazione seguente:

40
E
2
T
eC
F
r
v
mF ?
Cioè: la forza centripeta, responsabile della rotazione dell’elettrone sulla circonferenza con centro il
protone, deve essere uguale alla forza d’attrazione elettrostatica che il protone e l’elettrone si
scambiano vicendevolmente.
Si ricava quindi:
( )()
() ()
?
?
?
?
?
?
ì
ì??
ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì

??

?

F
s
m
1025,2
m105kg1011,9
C10602,1
C
mN
109
m
r
r
e
k
m
rF
v
6
1131
2
2
19
2
2
9
e
2
2
e
E
T

41
LE FORZE DI INDUZIONE ELETTROSTATICA
Dalla legge sperimentale di Coulomb si può desumere che le forze elettriche sono esercitate tra due
corpi ravvicinati solo se questi sono entrambi dotati di carica elettrica.
Si può quindi concludere che l’attrazione o repulsione elettrostatica risulterebbe nulla se uno dei
due corpi fosse neutro.
In effetti la realtà pratica sperimentale sembra in contrasto con quanto afferma la legge di Coulomb;
si può infatti dimostrare che, avvicinando un corpo elettrizzato (per strofinio o per contatto) ad un
corpo conduttore neutro, si nota l’immediata comparsa di un’azione attrattiva a distanza dovuta,
evidentemente, all’esistenza di una forza elettrica.
Tale fenomeno, che come si vedrà non è affatto in contrasto con quanto affermato dalla legge di
Coulomb permettendo anzi di ampliarne i concetti anche a livello delle particelle subatomiche, è
definito “Induzione Elettrostatica”.
Le forze elettriche d’attrazione dovute all’induzione elettrostatica sono da interpretare nel modo
seguente:

x La carica elettrica, presente sul corpo non neutro, esercita forze di segno contrario sulle
cariche elementari positive e negative contenute in uguale numero nel corpo neutro.
x Agli elettroni di conduzione sono quindi applicate forze elettriche che ne provocano lo
spostamento nel verso concorde con il verso delle forze.
x Se il corpo carico è positivo, gli elettroni di conduzione nel corpo neutro sono attirati e si
spostano, all’interno del materiale, sino alla superficie più prossima alla superficie del corpo
carico.
x Sulla superficie opposta, più distante dal corpo carico, è dislocata la zona con la maggior
concentrazione di atomi privi dei relativi elettroni di conduzione.
x Il conduttore, inizialmente neutro, si è quindi polarizzato per effetto d’induzione.
x Sulle cariche di segno contrario dislocate ai poli del conduttore sono ora esercitate, dal
corpo carico induttore, due forze elettriche di segno contrario: una forza attrattiva è
esercitata sul polo negativo più prossimo, una forza repulsiva sul polo positivo più distante.
x Essendo le due forze elettriche inversamente proporzionali alla distanza al quadrato si può
concludere che la forza attrattiva è maggiore della forza repulsiva e, di conseguenza, il corpo
neutro, ora polarizzato, si avvicina macroscopicamente al corpo carico positivamente.

+ +
+
+
+
+
+
+-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-

Figura 24 – RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICA

42
Neutro Polarizzato
- - -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+

Figura 25 - RISULTANTE ATTRATTIVA DI INDUZIONE ELETTROSTATICA

Se il corpo carico che è avvicinato è negativo la forza d’induzione elettrostatica è comunque
attrattiva in quanto la polarizzazione è opposta alla precedente (gli elettroni sono sospinti sulla
superficie più distante).

Un’altra dimostrazione della comparsa di forze di induzione elettrostatiche attrattive, del fenomeno
di polarizzazione e di carica per induzione, è quella che si ottiene con un’esperienza simile alla
precedente, ma ove si utilizzano due sfere, inizialmente neutre, collegate tra loro con un filo
conduttore (oppure semplicemente in intimo contatto) e un corpo conduttore carico con funzioni
d’induttore.
Il corpo conduttore carico è avvicinato ad una delle due sfere neutre ed esercita forze elettrostatiche
sulle cariche elementari negative (elettroni) che si spostano così liberamente nei materiali
approfittando del punto o punti contatto tra i due corpi conduttori.
In questo modo la sfera più vicina all’induttore si polarizza con segno contrario all’induttore stesso,
mentre, quella più distante di segno uguale all’induttore.
Nel contempo la risultante delle forze elettrostatiche indotte, come nell’esempio precedente,
provoca l’avvicinamento dell’insieme “sfere a contatto” all’induttore.
Se le due sfere sono separate oppure è eliminato il filo di collegamento, mentre l’induttore è ancora
presente, la polarizzazione risulta irreversibile ed ognuna mantiene quindi permanentemente la
polarità acquisita durante l’induzione.
Eliminando l’induttore, le due sfere scollegate si attraggono vicendevolmente.

L’esperienza descritta è utilizzata come principio di funzionamento di un’apparecchiatura che è
utilizzata per generare, separare, movimentare ed accumulare quantità discrezionali di carica
elettrica sia di tipo positivo che negativo.

Si tratta di un’apparecchiatura definita “Elettroforo di Volta”.

43
ATTRAZ. PERMANENTEATTRAZ. INDOTTASFERE NEUTRE
321
-+
-
-
-
-
--
+
+
+
+
+

L’ELETTROFORO DI VOLTA:
L’elettroforo di Volta è costituito essenzialmente da un piatto conduttore metallico collegato
rigidamente ad un supporto di materiale isolante che permette all’operatore di utilizzare
l’apparecchiatura senza contatto elettrico.
Il piatto metallico è appoggiato su di una superficie resinosa o vetrosa preventivamente elettrizzata
per strofinio con un panno di lana o similari.
Si prestano solitamente a tale uso molti materiali sintetici come, ad esempio, il polistirolo espanso
che, strofinato, si elettrizza negativamente.
Il materiale sintetico assume quindi il ruolo di corpo induttore, mentre il piatto metallico
dell’elettroforo svolge il ruolo dell’indotto similmente alla sfera vicina al corpo carico delle
esperienze precedenti.
Il piatto metallico, così appoggiato all’induttore elettrizzato, isolato dall’esterno dal manico
isolante, risentendo dell’azione elettrostatica dell’induttore, polarizza le cariche interne sulle due
superfici rispettivamente più prossime e più distanti dall’induttore.
Così la superficie appoggiata all’induttore si elettrizza di carica contraria alla carica inducente,
mentre, la superficie opposta, più distante, si carica dello stesso segno.
La polarizzazione permane ma modificata se l’operatore tocca con un dito, mantenendo appoggiato
il piatto sull’induttore, la superficie superiore del piatto.
In questo caso la polarizzazione riguarda l’insieme “piatto-corpo dell’operatore-terreno” ove il
corpo dell’operatore svolge il ruolo di filo conduttore.
Il risultato è la separazione delle cariche alle estremità dell’insieme.
Sul piatto si concentrata una carica contraria a quella dell’induttore sintetico strofinato, mentre il
terreno si carica dello stesso segno dell’induttore.
Eliminando il contatto diretto tra l’operatore e il piatto, la polarizzazione risulta irreversibile ed il
piatto stesso è elettrizzato in modo permanente.

44

IL CAMPO ELETTRICO

INTRODUZIONE:
Come è dimostrato dalla legge di Coulomb, le interazioni tra due cariche elettriche
1
q e
2
q
collocate ad una distanza r una dall’altra, sono direttamente proporzionali al prodotto dei valori
numerici delle due cariche, direttamente proporzionali ad un coefficiente K ed inversamente
proporzionali alla distanza al quadrato.
Proprio dallo studio della legge di Coulomb relativa alle caratteristiche elettriche della materia, si
possono dedurre alcune importanti osservazioni e deduzioni che, unitamente a quelle tratte dallo
studio delle leggi analoghe per la gravitazione universale e il magnetismo, contribuiscono alla
formulazione del nuovo concetto unificatore di CAMPO VETTORIALE.
La legge di Coulomb relativa alle interazioni elettriche, la legge di Newton relativa alle interazioni
gravitazionali e, come si vedrà, la seconda legge di Coulomb relativa alle interazioni magnetiche,
pur prendendo in esame grandezze fisiche completamente dissimili quali la massa, la carica elettrica
e la carica magnetica, sono espresse da relazioni formalmente analoghe nella sostanza e derivate da
analoghi principi di base.
Da ciò nasce l’idea che tali proprietà della materia e non, così dissimili tra loro, siano, in qualche
modo, tanto confondibili l’una con le altre, da poter pensare ad un’unica provenienza originale
come, effettivamente confermato, dagli studi sull’elettromagnetismo e dalla teoria della relatività.
Il generico concetto di CAMPO DI FORZA VETTORIALE rappresenta un primo piccolo
passaggio per la costruzione di una teoria generale unificatrice il cui scopo dovrebbe essere quello
di raffigurare l’ipotetica origine comune delle interazioni fondamentali e di tutte le altre leggi della
fisica.
Le conoscenze scientifiche attuali ci permettono di formulare l’ipotesi che tutte le sostanze esistenti,
da noi conosciute o no, pur così diverse per caratteristiche e proprietà, siano il risultato finale di
processi di aggregazione nei quali è intervenuto un unico componente originale.
Risulta più complessa la formulazione e la verifica di ipotesi relative alle motivazioni che hanno
provocato i diversi processi di aggregazione; ancora più complessa l’ipotesi del componente
originale a sua volta costituito da ulteriori elementi semplici, ma, occorre sicuramente una mentalità
completamente diversa per poter affrontare l’ipotesi che, alla fine, supponendo di aver finalmente
scoperto la vera ed unica essenza della materia, questa possa presentarsi in forme completamente
diverse secondo le condizioni in cui si trova.

45
D’altra parte è ormai confermato dall’esperienza, il fatto che una certa quantità di materia, in
particolari condizioni, perde le caratteristiche tipiche, per assumerne altre, esclusive dei fenomeni
ondulatori quali la frequenza, la lunghezza d’onda e l’energia trasportata.
Il dualismo materia-onda elettromagnetica e il relativo fenomeno di trasformazione è confermato
dalle numerose esperienze, mentre, rimane da stabilire se, come avviene sovente nei processi
naturali, sia necessario pensare ad in processo irreversibile o ad uno reversibile.
Cioè, risulta forse possibile che l’energia posseduta da un fenomeno ondulatorio in assenza di
propagazione di materia subisca un’inversione riconvertendo tutta l’energia o una parte in nuova
materia?
E se la risposta fosse affermativa, quale tipo di materia prenderebbe origine dalla riconversione
parziale o totale dell’energia?
Forse la materia essenziale o una sua forma di aggregazione successiva?
D’altra parte, come avviene per molti processi naturali quali il trasferimento di calore, la semplice
caduta di un grave, l’espansione improvvisa di un gas, è pur vero che essi avvengono
spontaneamente in un solo verso, ma, nessuno nega la possibilità inversa se si ammette una
forzatura con intervento di azioni artificiali esterne.
Nel contempo, se si dovesse ammettere irreversibile anche con l’intervento di azioni esterne il
processo di trasformazione massa-energia, sorgerebbe spontaneo domandarsi da dove provenga la
materia e quale sarà il termine della trasformazione.

Se, alla fine, si ammette l’originalità della materia e il dualismo materia-onda elettromagnetica si
perviene dunque all’ipotesi di partenza, per altro confermata dall’analogia delle leggi fisiche, che
tutti i fenomeni - ed in particolare quelli riguardanti le interazioni fondamentali gravitazionali,
elettriche e magnetiche – pur rappresentati da relazioni diverse siano, in realtà, governati da
un’unica legge fisica generale.

ANALISI DELLA LEGGE DI COULOMB:
Occorre innanzi tutto far presente che tutte le considerazioni svolte nei passaggi successivi e
riguardanti l’analisi della legge di Coulomb per l’elettrostatica e volte all’introduzione del concetto
di Campo Elettrico, sono valide anche nei confronti della legge di Coulomb per il magnetismo (ove
sarà introdotto il concetto di Campo Magnetico) e della legge di Newton per la gravitazione
universale (ove è stato introdotto il concetto di Campo Gravitazionale).
L’unica sostanziale differenza e fragile barriera di separazione tra le due leggi di Coulomb da una
parte, e la legge di gravitazione universale dall’altra, è rappresentata dalla constatazione che, mentre
la teoria fisica sviluppata dalla legge di gravitazione prevede la presenza di sole forze attrattive tra
quantità di materia, quella che segue le leggi di Coulomb per l’elettrostatica e il magnetismo
ammette forze sia di tipo attrattivo che repulsivo.
Il problema è facilmente superato sia dal punto di vista matematico (relazioni fondamentali delle
forze e del campo) che da quello geometrico (raffigurazione delle forze e del campo).
Le relazioni matematiche utilizzano segni positivi e negativi per definire versi concordi e discordi
delle forze, mentre, le grandezze vettoriali sono utilizzate per le rappresentazioni geometriche.
E’ naturale ed evidente che la simbologia vettoriale e matematica sono compenetrate una nell’altra
secondo una metodologia affinata che permette, secondo le necessità ed in ogni momento, le
conversioni e/o l’utilizzo contemporaneo.

LA LEGGE DI COULOMB DAL PUNTO DI VISTA TRIDIMENS IONALE
Quanto visto sino ad ora relativamente alla forza elettrica coulombiana generata dalla
presenza contemporanea di due o più cariche elettriche, ci permette di stabilirne il valore
numerico (modulo o intensità del vettore associato), la direzione (retta direttrice) e il segno
algebrico (verso del vettore associato).
I due vettori rappresentativi delle forze di attrazione o repulsione reciproche non sono però
determinati in senso stretto sino a quando non si provvede a definire la posizione spaziale
delle cariche elettriche.

46
Il più delle volte la posizione è stabilita con l’utilizzo di un sistema di riferimento cartesiano
tridimensionale (oppure un sistema polare, cilindrico, ecc. ecc) ove il punto origine è
solitamente rappresentato dall’operatore stesso.
La determinazione della posizione iniziale delle due o più cariche elettriche generatrici, pur
essendo esaustiva per il calcolo delle forze elettrostatiche istantanee, non è, però sufficiente,
qualora si debba prendere in considerazione gli accadimenti successivi all’istante per il quale
è stato eseguito il calcolo.
Occorre tenere presente che la definizione di “forza elettrostatica” si riferisce
esclusivamente al caso in cui non è previsto il movimento reciproco delle cariche sottoposte
alle azioni delle rispettive forze elettriche né il caso in cui almeno una delle due cariche sia
dotata di movimento indipendentemente dall’azione esercita dall’altra.
Lo studio delle azioni elettrostatiche è quindi semplicemente riferito ad un ben determinato
istante, mentre, se è imposto il calcolo relativo ad un’estensione temporale, le azioni saranno
definite “elettrodinamiche”.
Nel primo caso le posizioni assunte dalle cariche nel sistema tridimensionale di riferimento
risultano indipendenti dal tempo assumendo la funzionalità di “parametri di stato fisico”
bastevoli alla determinazione di grandezze elettrostatiche associate.
Nel secondo occorrerà l’introduzione di funzioni temporali di posizione.

Nel caso più semplice, fissando la posizione di una delle due cariche nell’origine del sistema
di riferimento cartesiano e congiungendo con un segmento il centro delle due cariche
(supposte sferiche e puntiformi) si ottiene il “VETTORE POSIZIONE”, di modulo
evidentemente uguale ad r (distanza tra le cariche) ed indicatore della direzione delle forze
elettrostatiche.
E’ importante sottolineare, a riguardo della futura definizione della grandezza “Campo
Elettrico”, che la decisione di porre una delle due cariche nell’origine del sistema di
riferimento, equivale, in pratica, a porre in evidenza tale carica facendo assume all’altra un
ruolo di secondaria importanza.
Ciò è sicuramente ammissibile specialmente nel caso in cui la differenza quantitativa tra i
valori numerici delle due cariche è talmente elevata da far ritenere che le forze elettriche
reciproche possano significativamente influenzare il solo movimento della carica minore.
L’analogia con il campo gravitazionale terrestre è evidente: la massa del pianeta è
estremamente più rilevante rispetto alle masse che comunemente gravitano libere attorno al
pianeta stesso.
Le forze gravitazionali che sono scambiate reciprocamente influenzano in modo notevole, in
virtù del secondo principio della dinamica, le masse infinitamente più piccole ed in modo
del tutto trascurabile il movimento del pianeta.

Tornando alla rappresentazione spaziale si decide quindi di porre la carica Q nel centro del
sistema e la carica q in un punto qualsiasi.
Potendo scegliere a piacimento il segno delle cariche si decide di assegnare ad entrambe la
polarità positiva.
Le cariche Q e q si comporteranno quindi entrambe come sostanze vetrose.
La simbologia adottata non ha, per il momento, nessuna connessione con il valore numerico
delle cariche, ma, successivamente sarà da intendersi proprio con questo scopo.
Il vettore Qp indicato in figura è definito “vettore posizione” per l’evidente motivo che è
da solo bastevole a definire in modo completo la “posizione spaziale” ove è collocata la
carica q.
Sono, infatti, infiniti i punti dello spazio caratterizzati dalla uguale distanza r (tutti
evidentemente collocati sulla stessa sfera di raggio r), ma uno solo di essi, congiunto al
centro Q, forma un segmento parallelo a Qp.

47
Il modulo del vettore posizione Qp è quindi rappresentativo della distanza r tra le due
cariche e da esso dipende in modo inversamente proporzionale anche il modulo della forza
elettrostatica come definita dalla legge di Coulomb.

q
r
Q
+
+
X
Y
Z
a
b
z
x
y
xy

Figura 26 – VETTORE POSIZIONE

Il vettore posizione rQp è il risultato della somma vettoriale dei suoi componenti
z,y,x diretti rispettivamente secondo gli assi principali Z,Y,X .
Utilizzando la goniometria:
()a? cosrxy
()b? cosxyx
()b? senxyy
()a? senrz

22222
zyxzxyr ++ +

Determinata in questo modo la posizione della carica q ed applicando la legge di Coulomb
alle due cariche, il modulo della forza elettrica risultante è dato da:

222
R
2222
E
zyx
qQ
4
1
zyx
qQ
k
r
qQ
kF
++
?
?
e?e?p?

++
?
?
?
?
F

Con:
k costante elettrica del materiale in cui some immerse le cariche
F
e Costante dielettrica del vuoto
R
e Costante dielettrica del vuoto

Naturalmente il vettore forza sarà orientato secondo la direzione del vettore posizione Qp e,
nel caso di cariche entrambe positive, avrà verso concorde al vettore posizione stesso,
opposto nel caso in cui una delle due, supponiamo q, sia negativa.

48
Le componenti del vettore forza elettrica sono ricavate dunque tenendo conto delle stesse
inclinazioni del vettore posizione rispetto agli assi principali:

()a? cosFF
xy

()b? cosFF
XYX

()b? senFF
XYY

()a? senFF
Z

q
r
Q
+
+
X
Y
Z
x
y
z
xy
a
b
F
F
z
Fx
Fy
xyF

Figura 27 – VETTORE FORZA ELETTRICA E SUOI COMPONENTI – CARICHE POSITIVE

q
r
Q
+
-
X
Y
Z
x
y
z
xy
a
b
F
F
z
Fx Fy
xyF

Figura 28 – VETTORE FORZA ELETTRICA E COMPONENTI – CARICA NEGATIVA

49

L’ATTRAZIONE O REPULSIONE COULOMBIANA – CURVATURA DELLO SPAZIO
Utilizzando gli schemi tridimensionali raffigurati, unitamente all’ipotesi di poter ritenere
immobile la carica Q posta nell’origine – ipotesi plausibile se la massa di Q è tale da
risentire in modo trascurabile della forza elettrica che la carica q gli applica –, supponendo
che un osservatore sia in grado di visualizzare gli accadimenti da un punto di vista
particolare, che la carica q non sia ostacolata nei movimenti provocati dalla forza elettrica e
in assenza di forze gravitazionali, proviamo ad immaginare cosa potrebbe vedere e pensare
un osservatore sdraiato su un piano parallelo a xy, dalla parte positiva dell’asse z, con lo
sguardo rivolto verso il basso.
A tale scopo immaginiamo che possa vedere contemporaneamente l’accadimento anche un
osservatore con lo sguardo rivolto perpendicolarmente al piano verticale nel quale è
contenuta la forza elettrica.

r
+
Q
y
a
xy
x
b
-
Y
z
F
xF
F
F
z
xy
q
Z
yF
X

Figura 29 – OSSERVATORE DALL’ALTO

50
q
-
F
+
Q
Fx
z
F
Z
X

Figura 30 – OSSERVATORE LATERALE

L’osservatore laterale, avendo la possibilità di rendersi conto del movimento verticale e
potendo osservare istantaneamente ed in modo reale le variazioni del vettore forza elettrica,
vedrà il movimento della carica lungo la traiettoria rettilinea costituita dalla retta che
congiunge i baricentri della carica.
Disponendo di un cronometro e verificando gli spazi percorsi, esso si renderà sicuramente
conto che il moto della carica lungo tale traiettoria è sicuramente accelerato, che
l’accelerazione è sovrapposta alla traiettoria e che aumenta sempre di più mano a mano che
la carica negativa si avvicina alla carica positiva.
Esso dovrebbe sicuramente concludere che l’aumento di accelerazione, mentre la massa
sulla quale è disposta la carica q non varia, non può essere spiegata in altro modo se non
quello che la forza traente aumenta mano a mano che il corpo si avvicina al centro ove è
collocata la carica Q.
Tale conclusione è adeguata alla realtà del fenomeno in quanto questo osservatore conosce
perfettamente la legge di Coulomb.
La conclusione sarebbe comunque corretta, anche se l’osservatore intendesse studiare il
moto della carica scomponendolo secondo le due direzioni principali del moto.
In questo caso egli vedrebbe il moto lungo la traiettoria reale come se fosse composto da un
moto rettilineo orizzontale (carica in movimento verso sinistra) ed un moto rettilineo
verticale (carica in movimento verso il basso).
Anche in questo caso i due movimenti risulterebbero di tipo accelerato con accelerazioni
crescenti sia sull’orizzontale che sulla verticale mano a mano che la carica si avvicina
rispettivamente all’asse Z e all’asse X.
L’osservatore non tarderebbe sicuramente a concludere che la forza orizzontale e quella
verticale, responsabili dei rispettivi moti accelerati, altro non sono che le componenti del
vettore forza elettrica e che aumentano mano a mano la carica si avvicina al centro del
sistema.

Diverso è il discorso per l’osservatore con lo sguardo parallelo all’asse Z.

51
Esso non si rende conto, infatti, che il movimento della carica avviene in realtà anche in
verticale.
A tale osservatore il fenomeno appare come se si verificasse su un piano XY parallelo al
piano sul quale è sdraiato.
Esso, di conseguenza, vedrebbe la carica q muoversi verso il centro di una circonferenza
virtuale su un’unica direttrice parallela all’asse X.
Misurando tempi e distanze sarebbe anch’esso in condizioni tali da concludere che il moto è
accelerato e che l’accelerazione aumenta mano a mano che la carica si avvicina al centro del
piano che sta osservando.
Considerando la possibilità che tale osservatore, non potendo osservare il movimento
verticale e non essendo a conoscenza dalla presenza della carica Q posta al centro di un
piano molto distante da quello che sta osservando, potremo così dare un’interpretazione
della sua possibile conclusione:

x Il corpo q si muove di moto accelerato su una retta passante per il punto centrale di
una circonferenza. L’accelerazione non è costante, ma aumenta mano a mano che il
corpo si avvicina al punto centrale. E’ quindi necessario che tale moto sia prodotto
da una forza di intensità crescente. Dal punto di vista dell’osservatore tale forza
sarebbe rappresentata dal vettore che il primo osservatore ha individuato e definito
come
X
F.
x Considerando che egli probabilmente non si rende conto della presenza della forza
elettrica, potrebbe essere tentato di spiegare il fenomeno come se il moto del corpo
fosse provocato dal rotolamento su un piano inclinato sotto l’azione di una forza
gravitazionale attrattiva esercitata da una massa ancora sottostante.
Chiaramente l’osservatore deve essere a conoscenza del moto di un corpo su un
piano inclinato se l’azione è di tipo gravitazionale.
Questa prima conclusione, pur spiegando il moto verso il punto centrale, non è però
coerente con la reale variazione dell’accelerazione.
L’osservatore è perfettamente a conoscenza del fatto che il moto di un corpo lungo
un piano inclinato a pendenza costante è sì accelerato, ma l’accelerazione non
subisce variazioni.
Quindi la presenza del piano inclinato non è sufficientemente esaustiva per lo scopo.

x Alla fine, unendo la prima idea di piano inclinato e la realtà dell’accelerazione
crescente, l’osservatore sarebbe costretto a concludere affermando che il moto del
corpo avviene su un piano inclinato la cui inclinazione, rispetto ad una retta
orizzontale di riferimento, deve aumentare mano a mano il corpo si avvicina al
centro.
Questo piano inclinato dovrà essere sagomato come una linea continua a curvatura
variabile i cui centri di curvatura sono situati nella parte di spazio sottostante la linea
stessa e i raggi di curvatura sono decrescenti mano a mano che ci si avvicina al punto
centrale.

x L’osservatore sarebbe quindi indotto a trarre la seguente conclusione finale:
La presenza di un corpo posto al centro dello spazio che egli vede causerebbe una
modificazione geometrica dei piani, simile a quella provocata dalla presenza di una
massa disposta sulla superficie perfettamente orizzontale di un telo elastico.
La modificazione geometrica deve essere permanente, provocata dalla presenza di un
corpo al centro dello spazio e tanto più rilevante quanto più potente è l’azione del
corpo centrale.
Tale spiegazione, tratta essenzialmente dallo studio delle forze gravitazionali per
spiegare il moto ellittico dei pianeti attorno al Sole, è perfettamente adattabile anche

52
al caso della forza elettrica e costituisce un altro passo verso la definizione di
CAMPO ELETTRICO.

X
Y
Z
X
Y

Figura 31 – DEFORMAZIONE SPAZIALE PROVOCATA DALLA CARICA Q

L’AZIONE A DISTANZA E IL MOVIMENTO DELLE CARICHE
Sempre dall’analisi della legge sperimentale di Coulomb risulta sufficientemente chiaro che
il valore numerico delle forze elettriche tra due cariche dipende anche dal materiale in cui
sono inserite.
Tenendo presente che l’azione elettrostatica ha il massimo valore nel vuoto si conclude
immediatamente che si deve trattare di un’azione a distanza, senza intervento di alcun
materiale di collegamento.
Propria tale constatazione, considerata inaccettabile per gli studiosi dell’epoca, ha
contribuito non poco a sviluppare la teoria del CAMPO ELETTRICO VETTORIALE.
Si è pensato di sostituire all’azione diretta a distanza, esercitata reciprocamente dalle due
cariche, un’azione indiretta cui sarebbe sottoposta una delle due cariche per effetto di una
modificazione dello spazio circostante generato dall’altra.
Lo spazio modificato assume così il ruolo di mediatore tra una delle due cariche, considerata
preponderante, e l’altra o le altre.
Le azioni elettrostatiche dipendono quindi dallo spazio circostante modificato ed attivo e il
tipo e la potenza della modifica è una diretta conseguenza dalla grandezza e dalla
disposizione della carica preponderante.
Lo spazio così modificato è definito CAMPO ELETTROSTATICO O CAMPO
ELETTRICO.
La definizione e l’utilizzo del concetto di campo elettrico permette di rendere meno evidente
la difficoltà di pensare all’azione diretta a distanza.
Si immagini, per esempio, che in due punti ben distinti dello spazio, magari anche a distanza
notevole uno dall’altro, compaiano improvvisamente e contemporaneamente (il concetto di
contemporaneità rappresenta un altro grosso problema) due cariche elettriche.

53
La legge di Coulomb ci permette di calcolare, conosciuta la distanza e il tipo di materiale in
cui sono immerse le cariche, le due forze reciproche che esse si scambiano.
La stessa legge non dà alcuna informazione circa il tempo intercorrente tra la comparsa delle
cariche e il manifestarsi delle forze.
E’ un gravissimo problema.
Potremmo ipotizzare, in modo generico e incappando comunque in un errore, che
l’intervallo di tempo sia funzione della distanza, ma ciò significherebbe aver in qualche
modo quantificato una velocità di propagazione dell’azione a distanza.
Dunque l’azione a distanza è una specie di onda che si propaga nel vuoto ad una velocità
forse uguale a quella della luce?
O forse superiore?
E’ forse lecito assimilare l’azione a distanza ad un onda elettromagnetica?
Ribaltando il problema ed utilizzando l’analogia con le forze gravitazionali e la velocità
della luce potremmo porci la seguente domanda:
Se, ad un certo istante, scomparisse improvvisamente la massa solare, noi, dalla Terra, ci
accorgeremmo prima della mancanza della luce o della forza gravitazionale?
Sappiamo che la luce impiega circa otto minuti a percorrere la distanza Sole-Terra e siamo
in grado di immaginare i fronti d’onda; si pensa di riuscire ad immaginare allo stesso modo
la velocità di spostamento di qualcosa d’immateriale come l’azione a distanza?
Tra le altre cose, che cos’è l’azione a distanza?
Se, allo stesso modo, scomparisse una delle cariche, l’altra risentirebbe subito della
mancanza della forza elettrica oppure no?

Per non parlare poi della possibilità di movimento di una o entrambe le cariche.
Ad esempio, se una delle due cariche, prima ferma, inizia ad oscillare con una frequenza
elevatissima attorno al punto ove era collocata inizialmente, l’altra risente immediatamente
dell’oscillazione oppure no?
E se le oscillazioni della prima sono forzate lo saranno allo stesso modo anche quelle della
seconda?

Tanto vale, per uscire da questo corto circuito mentale, sostituire la propagazione
immateriale dell’azione a distanza con un’altra propagazione, questa volta di tipo
geometrico, ma pur sempre immateriale, di un elemento per il quale abbiamo una
raffigurazione almeno dal punto vista della geometria: lo spazio.

Ora, finalmente, potremmo almeno ragionare sul fatto che, per trasmettersi da un punto
all’altro, la modifica dello spazio deve necessariamente iniziare nel punto ove compare la
causa e coinvolgere, uno dopo l’atro, tutti i punti successivi.
Certamente si tratta di nuovo di un ragionamento analogo a quello che facciamo, quando
discutiamo delle dimensioni fisiche del punto geometrico, ma, almeno possiamo esprime
opinioni.

IL CAMPO ELETTRICO:
La presenza di una o più cariche elettriche è quindi in grado di generare, in una regione di spazio
teoricamente infinita, ma praticamente limitata ai punti di solo nostro interesse, la modificazione di
cui si è parlato.
Tale modificazione è rappresentata da una nuova grandezza fisica, di tipo vettoriale, che prende il
nome di CAMPO ELETTRICO.
Per la definizione operativa di “campo elettrico” è necessario far riferimento allo schema
tridimensionale utilizzato per illustrare le proprietà dei vettori posizione e forza elettrica.

54
Rinunciando a visualizzare una delle tre dimensioni, per esempio la profondità, indicata nello
schema dall’asse Y, la rappresentazione grafica si semplifica notevolmente rendendo più agevole la
comprensione del concetto specifico.
Supponiamo quindi di poterci immedesimare con un osservatore il cui interesse è limitato a quello
che succede nel solo piano XZ.
Lo sguardo di tale osservatore deve quindi essere diretto verso superfici piane orientate
perpendicolarmente all’asse Y.
Potendo scegliere una qualsiasi di tali superfici, decidiamo di prendere in esame il piano di
riferimento formato dall’intersezione dei due assi principali X e Z.
Tale piano ha anche il vantaggio, tra tutti i piani perpendicolari a Y, di essere l’unico che contiene
l’origine del sistema di riferimento cartesiano.

Proprio nell’origine si era deciso di collocare una carica elettrica positiva Q, affermando, nello
stesso tempo, che la scelta della simbologia non era da considerarsi determinate relativamente al
valore numerico della carica.
Ora però, contrariamente a quanto si era detto, occorre immaginare che l’ordine di grandezza di tale
carica positiva sia notevolmente maggiore a quello di tutte le altre possibili cariche presenti nel
piano XZ del sistema e che saranno indicate con il simbolo q.
Questo concetto è espresso dalla seguente relazione matematica:

n21
q,........,q,qQ????

Limitiamoci, per ora, a considerare la presenza di una sola carica Q notevolmente più grande di
tutte le altre.
In un punto qualsiasi del piano XZ immaginiamo ora di collocare una carica positiva q il cui
valore, per l’ipotesi precedente, è trascurabile rispetto a quello della carica centrale, anch’essa
positiva.
Detta carica non ha alcuna possibilità di influire, se non in modo del tutto trascurabile, sulla
modificazione dello spazio generata dalla carica centrale e, per questo motivo, è definita “Carica
Esploratrice”, mentre, all’opposto, è definita “Generatrice di campo elettrico” la carica Q.

55
Z
X
Q
+
+
q
Fe
Fx
zF
r
zq
xq
Fe
Fz
Fx
r
*
*
*
*
Fe
Fe
eF
*
Fe
*
Fe
Carica generatrice
Carica esploratrice
Sfera equipotenziale 1
Sfera equipotenziale 2
Forza elettrica
Linee di flusso
Linea di flusso

Figura 32 – FORZE ELETTRICHE NEL PIANO XZ – CERCHI (SFERE) EQUIPOTENZIALI.

Le coordinate z,x del punto ove è situata la carica ci permettono di determinare tutte le
caratteristiche (modulo, direzione e verso) del vettore posizione rQq dal quale poi, applicando
la legge di Coulomb, è possibile ottenere le proprietà del vettore “forza elettrica”
e
F e delle due
componenti
x
F e
z
F.
Si presuppone la conoscenza della costante dielettrica relativa del materiale in cui sono immerse le
cariche.
22
zxr +
()
x
z
tg a
2
R
e
r
qQ
4
1
F
?
?
e?e?p?

F

()a? cosFF
ex

()a? senFF
ey

56
Modificare la posizione della carica esploratrice significa determinare, per ogni punto del piano o
dello spazio, nuovi vettori “forza elettrica” sicuramente diversi uno dall’altro (si tenga conto che per
essere definiti uguali due o più vettori debbono possedere le stesse quattro proprietà).
Perciò ad ogni singolarità dello spazio sarà associato un solo ed unico vettore forza elettrica.
Ciò significa, nel comune linguaggio matematico, che, fissata una coppia qualsiasi di coordinate
piane z,x (oppure una terna di coordinate spaziali convergenti), esiste un solo vettore
e
F le cui
caratteristiche soddisfano le relazioni sopra indicate.
Naturalmente ciò è valido se per tutti i punti non sono modificate le altre grandezze che
intervengono nel calcolo, cioè, le costanti dielettriche, la grandezza della carica generatrice e quella
della carica esploratrice.
Dallo schema raffigurante il piano di riferimento e le forze elettriche è possibile trarre almeno due
immediate ed importanti constatazioni:
Sui cerchi (nel piano) o sulle sfere (spazio) concentriche con centro nell’origine e raggio
pari al modulo del vettore posizione, i vettori “forza elettrica”, pur diversi tra loro, sono però
caratterizzati dallo stesso modulo o valore numerico.
Ciò è subito evidenziato dalla stessa legge di Coulomb.
I cerchi o le sfere concentriche saranno definiti rispettivamente, linee o superfici
equipotenziali.
Su ogni punto di un cerchio o sfera equipotenziale insisterà una forza elettrica di modulo
costante, definito esclusivamente dal valore del raggio del cerchio o della sfera.
I cerchi o le sfere con raggio minore saranno caratterizzate da forze elettriche più intense.
Per i tratti infinitesimi di circonferenza o i tratti infinitesimi di superficie sferica le rispettive
tangenti saranno sempre perpendicolari al vettore forza elettrica nel punto di tangenza.

Le cariche elettriche esploratrici, potendo essere pensate puntiformi anche per quanto
riguarda la massa, risentiranno in modo molto evidente l’azione delle forze elettriche
subendo accelerazioni proporzionali alle forze stesse ed inversamente proporzionali alla
massa.
In ogni caso, per il solo schema considerato, gli spostamenti saranno sempre diretti secondo
la congiungente del punto considerato con il centro del sistema ove è collocata la carica
generatrice.
Non è quindi difficile concludere che ogni punto del piano o dello spazio sarà caratterizzato
da una sola traiettoria possibile e che tutte le traiettorie avranno un solo punto in comune,
cioè il centro del sistema.
Ognuna delle traiettorie possibili è definita “LINEA DI FLUSSO” ed è costituita dalla
semiretta che inizia nell’origine e termina all’infinito, in quanto solo all’infinito si annulla il
valore della forza responsabile dello spostamento.
Le linee di flusso saranno quindi percorse dalle cariche esploratrici in un verso o nell’altro in
funzione del segno algebrico della carica generatrice ed esploratrice.
Nel caso particolare sono da intendersi percorse dall’interno verso l’esterno.

LA DEFINIZIONE DI CAMPO ELETTRICO
Per quanto riguarda il concetto e la definizione di CAMPO ELETTRICO è necessario utilizzare il
seguente semplice ragionamento:

x Come stabilito precedentemente, ad ogni punto dello spazio, è associato un solo ed unico
vettore forza elettrica
x Tale vettore dipende dalla posizione, dalla carica generatrice, dalla carica esploratrice e dalle
proprietà elettriche dei materiali.
x Dato per assodato che il nostro vero interesse è costituito dalla modifica dello spazio causata
dalla carica generatrice, possiamo pensare di mantenerne costante il valore e la posizione e

57
verificarne gli effetti su una carica di valore variabile da mantenere in posizione fissa
rispetto alla prima.
x A questo scopo si potrebbe determinare la forza elettrica agente su una carica estremamente
piccola (per non perturbare lo spazio circostante) e confrontarne il valore che risulterebbe
nel caso in cui si decidesse di raddoppiare, triplicare ecc. ecc. il valore numerico della
piccola carica.
x Usiamo quindi, come carica esploratrice, una piccola massa di materiale conduttore caricata
elettricamente dalla mancanza di un solo elettrone. Il valore numerico della carica è quindi
pari alla carica elementare di un elettrone pensato positivo:
()C10602,1q
19
1

ì+
x Di conseguenza, il modulo della forza elettrica in quel punto, sarà dato da:
()
2
1
1e
r
qQ
kF
?
?
x Mantenendo inalterata la posizione decidiamo ora di raddoppiare la carica esploratrice:
()
1
19
2
q2C)10602,1(2q ì ì+ì

Il nuovo valore della forza elettrica in quel punto e per effetto della stessa carica generatrice
sarà:

() ()1e
2
1
2
2
2e
F2
r
q2Q
k
r
qQ
kF ?
ì?

?
?
Se la carica è triplicata:

() ()1e
2
1
2
3
3e
F3
r
q3Q
k
r
qQ
kF ?
ì?

?
?
x Verifichiamo ora i rapporti tra le forze elettriche e i rispettivi valori delle cariche esploratici
usando la stessa legge di Coulomb:
()
2
1
1e
r
Qk
q
F ?

() () ()
2
1
1e
1
1e
2
2e
r
Q
k
q
F
q2
F2
q
F
?
ì
ì

() () ()
2
1
1e
1
1e
3
3e
r
Q
k
q
F
q3
F3
q
F
?
ì
ì

Cioè: K
r
Q
k
q
F
2
e
?

x In conclusione:
Le variazioni del valore della carica esploratrice, in un punto fisso dello spazio, causano la
variazione della forza elettrica, ma, il rapporto tra la forza elettrica risultante e la relativa
carica esploratrice si mantiene costante ed indipendente dal valore di quest’ultima.
Il valore del rapporto, caratteristico di ogni punto dello spazio, da ritenersi dipendente
soltanto dalla grandezza della carica generatrice, è definito “CAMPO ELETTRICO”
generato da quella particolare carica generatrice Q in quel particolare punto dello spazio ed è
sinteticamente rappresentato dalle seguenti relazioni:
q
F
E
e
CAMPO ELETTRICO

2
r
Q
kE ? CAMPO ELETTRICO

58
Si tratta naturalmente di una grandezza fisica vettoriale che ha la stessa direzione, verso e
punto d’applicazione della forza elettrica e il cui modulo è uguale al rapporto tra la forza e la
carica esploratrice.
Il Campo Elettrico è quindi anche un “CAMPO DI FORZA VETTORIALE”.

Ora dovrebbe essere più chiaro il concetto di modifica dello spazio:
Un campo elettrico, presente in una data regione dello spazio, presuppone sicuramente
l’intervento di una o più cariche generatrici.
La conoscenza dei valori numerici del campo elettrico in ogni punto ci permette di
determinare le forze elettriche anche senza alcun dato relativo alla carica che l’ha generato.
Resta così superato il grave problema dell’azione a distanza in quanto sostituito da
un’azione locale.

Il valore della forza elettrica agente su una carica q, in un punto qualsiasi dello spazio ove è
presente un campo elettrostatico di valore E, indipendentemente da come è stato generato, è
dato da:

qEF
e
?

Z
X
Q
+
+
q
E
Ex
zE
r
zq
xq
r
*
*
Carica generatrice
Carica esploratrice
Sfera equipotenziale 1
Sfera equipotenziale 2
CAMPO ELETTRICO
Linee di flusso
E
E E
Ez
Ex
*
*
E
*
E
E
*
Linea di flusso

Figura 33 – VETTORI CAMPO ELETTRICO

59
ANALISI DIMENSIONALE DELLA GRANDEZZA “CAMPO ELETTRICO”

Il valore numerico del campo elettrico Eè espresso dimensionalmente dalle unità di misura
caratteristiche del rapporto tra la forza e la carica elettrica.
Sarà introdotta in seguito la nuova unità di misura del Sistema Internazione, l’Ampere, poi
utilizzata, in modo definitivo, per esprimere univocamente le grandezze tipiche dell’elettrostatica,
quindi anche la carica elettrica, dell’elettrodinamica e dell’elettromagnetismo.
Dall’espressione del campo elettrico, rinunciando alla notazione vettoriale, si ottiene:

q
F
E
e
??
()
()C
N
E
qEF
e
? ??
()
()
()C
C
N
F
e
?
Quindi il campo elettrico E rappresenta numericamente l’intensità della forza elettrica, espressa in
Newton, agente su una carica di valore q, espresso in Coulomb, in un determinato punto dello
spazio.

Se è utilizzato il Sistema Internazionale in cui si prevede l’Ampere quale unità di misura della
corrente elettrica, allora il campo elettrico sarà misurato in:

ti
F
q
F
E
ee
?
??
()
()()sA
N
E
?

Con:
i Intensità di corrente elettrica ()A
t Tempo ()s
tiq ? Relazione tra carica elettrica, tempo ed intensità di corrente

CAMPO ELETTRICO E CAMPO GRAVITAZIONALE – ANALOGIA
L’interazione elettrica tra due o più cariche, operata localmente tramite la funzione Campo
Elettrico, è fondamentalmente analoga a quella di gravità applicata dal Campo Gravitazionale a due
o più quantità di materia.
L’analogia è ancora più evidente nel caso in cui sono confrontati campi elettrici e gravitazionali di
tipo “radiale”, generati cioè da una sola carica elettrica o da una sola massa.
Il campo gravitazionale terrestre rappresenta quindi un termine di paragone fondamentale, anche se,
contrariamente a quanto succede con il campo elettrico, esso esercita solo azioni attrattive.
La forza gravitazionale esercitata dal pianeta su una massa m posta ad una distanza r dal
baricentro del pianeta stesso, è determinata dalla legge di Newton o legge di gravitazione
universale:
2
T
g
r
mM
GF
?
?
La distanza r è da considerarsi come un “vettore posizione” in grado di individuare, per mezzo del
modulo e della direzione, il punto esatto ove è collocata la massa m, rispetto ad un sistema di
riferimento tridimensionale con il centro di gravità del pianeta nell’origine.
La latitudine e longitudine sono appunto gli angoli formati del vettore posizione con il piano
equatoriale ed un piano longitudinale di riferimento.
Nel caso della forza gravitazionale occorre poi ricordare che, in base al secondo principio della
dinamica o legge del moto, è possibile stabilire la seguente relazione:

60
amF
g
?
Ove con a s’intende l’accelerazione provocata dall’azione della forza gravitazionale terrestre sulla
massa m posta alla distanza r.
Tale accelerazione è ancora da considerarsi un vettore con direzione stabilita dalla congiungente i
centri di gravità e modulo variabile proprio in funzione della distanza r.
Nei casi più interessanti ove la massa m è posizionata non troppo distante dalla superficie terrestre,
il modulo del vettore a ha un valore pressoché costante pari a ?
?
?
?
?
?
2
s
m
81,9 ed è comunemente
indicato con il simbolo g (accelerazione di gravità terrestre).
Quindi la forza gravitazionale – detta comunemente “peso” – applicata ad un corpo non troppo
distante dalla superficie terrestre, è data da:
2
T
T
g
r
mM
GgmF
?
? ?
T
r raggio terrestre
Se ora, alla forza (azione a distanza), si sostituisce l’azione locale del Campo gravitazionale,
ottenuta ancora con il ragionamento fatto per introdurre il concetto di Campo elettrico, si ottiene:
m
F
H
g
Campo gravitazionale
2
T
r
M
Gg
m
gm
H ?
?

Quindi il campo gravitazionale in prossimità della superficie terrestre è un vettore di modulo
costante, pari all’accelerazione g, e direzione perpendicolare alla superficie stessa considerata
sferica.
Come il campo elettrico dipende unicamente dalla grandezza della carica generatrice, allo stesso
modo il campo gravitazionale terrestre dipende unicamente dalla grandezza del nostro pianeta.

LINEE DI FLUSSO – LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO O EQUIPOTENZIALI
LINEA DI FLUSSO:
Si consideri ora di disporre una piccola carica esploratrice, ad esempio positiva, in un punto A
qualsiasi di una regione di spazio in cui è presente un campo elettrico generico (diverso dal tipo
“radiale” o dal tipo “uniforme” che saranno presi in considerazione successivamente).
Per semplicità supponiamo che il punto sia contenuto in un piano X-Z e che la retta direttrice del
vettore campo elettrico in ogni punto sia sempre contenuta in tale piano pur potendo cambiare
inclinazione rispetto, ad esempio, all’asse X.
Ciò significa che il modulo del vettore campo elettrico è definito in modo univoco dalle coordinate
( )
AA
z;x del punto d’applicazione e da quelle del punto terminale ( )
1B1A
z;x ove è da intendersi
collocato il verso.
Supponiamo inoltre che il campo sia stato generato dalla presenza, in qualche parte dello spazio
circostante, da cariche elettriche positive la cui posizione e numero non è precisata in quanto non è
per noi interessante considerato che conosciamo il campo.

La carica q, posta nel punto A del campo in modo tale da ritenere nulla la velocità iniziale, risente
immediatamente della forza elettrica il cui valore è dato da:

()
qEF
AAe
?
Con:
A
E Vettore campo elettrico nel punto A ?
?
?
?
?
?
C
N

61
q Carica elettrica ()C

La forza elettrica
()Ae
F, necessariamente diretta secondo la direzione del campo ()AE in quel
punto e applicata alla massa m caratteristica della carica q, provoca la comparsa dell’accelerazione
a e un conseguente spostamento S della carica sempre in direzione del campo elettrico.

() ()
qEF
AAe
?
m
qE
a
?

22
t
m
qE
2
1
ta
2
1
S ?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ??

La carica elettrica raggiunge quindi una posizione B ove è generalmente presente un vettore campo
elettrico diverso
()B
E sia in modulo che in direzione da quello esistente nel punto A.
La direzione e il modulo della forza, dell’accelerazione e dello spostamento, costringeranno la
carica verso una nuova posizione C.
E’ chiaro quindi che, ragionando in termini finiti anche piccolissimi, le continue variazioni del
campo provocano il movimento della carica su una successione di traiettorie rettilinee costituenti,
nell’insieme, una linea spezzata.
Ora, se si immagina continua la variazione del campo, sarà continua anche la variazione della
traiettoria che, alla fine, sarà sicuramente rappresentata da una linea continua curva.
Tale traiettoria, caratterizzata dal fatto che in ogni suo punto il vettore campo elettrico è sempre
tangente, è definita “linea di flusso”.
Per come è stata definita, esiste una e una sola linea di flusso per ogni punto del campo, con
esclusione dei soli punti che rappresentano una singolarità come, ad esempio, i punti sorgente ove
sono collocate le cariche generatrici.
In detti punti passano infinite linee di flusso.
L’infittirsi delle linee di flusso in determinate regioni dello spazio è indicativo della presenza
ravvicinata di un punto singolare.

Z
X
A
B
C
D
E
B
A
E
C
E
E
A
A
E
B
Z
X
E
B
CC
D
LINEA DI FLUSSO
A
*
*
D
LINEA DI FLUSSO

Figura 34 – COSTRUZIONE DI UNA LINEA DI FLUSSO

62

LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER UN SEGMENTO DEL PIANO :
Con i medesimi criteri seguiti precedentemente è possibile determinare, per ogni punto di un
segmento qualsiasi contenuto nel piano, la relativa linea di flusso.
Risulterà una successione di linee la cui distanza dipende unicamente dalla distanza dei punti scelti
sul segmento.

E
A
A
E
B
Z
X
E
B
CC
D
LINEE DI FLUSSO
D
*
A
SEGMENTO
*
*
D
*
D

Figura 35 – LINEE DI FLUSSO PASSANTI PER IL SEGMENTO DD*

TUBO DI FLUSSO:
Estendendo il concetto allo spazio tridimensionale, il segmento di cui prima, è sostituito da una
linea chiusa che racchiude una superficie SD. Tracciando una linea di flusso per ogni punto
appartenente alla linea e alla superficie SD, si ottiene un condotto virtuale, solitamente a sezione
variabile definito “tubo di flusso” il cui asse principale contiene i baricentri della sezione iniziale e
terminale.

A
Z
X
D
TUBO DI FLUSSO
D*
*
A
Y
E
E
E
S

Figura 36 – TUBO DI FLUSSO

63

LINEE E TUBI DI FLUSSO – ANALOGIA CON IL CAMPO GRAVITAZIONALE :
Anche in questo caso si sfrutta l’analogia tra il campo gravitazionale terrestre ed il campo elettrico
generato da una sola carica centrale, ad esempio positiva, nello spazio circostante laddove sono
presenti solo cariche negative.
In questo caso si tratta di campi vettoriali radiali entrambi di tipo attrattivo.
Le linee di flusso caratteristiche del campo gravitazionale rappresentano la traiettoria seguita da una
massa libera di muoversi per effetto della presenza del campo.
La linea di flusso caratteristica di un punto sulla superficie terrestre è quindi indicata dalla direzione
del filo a piombo e, per punti non troppo distanti tra loro, le relative linee di flusso risultano
praticamente parallele per l’impossibilità di misurarne la reale convergenza.

Figura 37 – LINEE E TUBO DI FLUSSO DEL CAMPO GRAVITAZIONALE TERRESTRE

Dal punto di vista di un comune osservatore e per una porzione limitata di superficie terrestre
racchiusa entro una linea circolare, il tubo di flusso deve apparire come un cilindro, mentre, chi
gode di un punto d’osservazione abbastanza distante dalla terra, si rende conto che esso ha, in realtà
una forma conica.
Il punto singolare del campo gravitazionale terrestre è unico, in esso convergono tutte le linee di
flusso ed è evidentemente rappresentato dal centro di gravità terrestre.

LINEE O SUPERFICI DI LIVELLO (SUPERFICI EQUIPOTENZIALI):
Anche in questo caso conviene rifarsi all’analogia con il campo gravitazione la cui azione e
proprietà sono forse più famigliari.
Supponiamo quindi di esaminare lo spostamento di una massa collocata inizialmente in un punto A
del campo gravitazionale ove, come detto prima, passa una sola linea di flusso
A
L diretta verso il
centro gravitazionale terrestre.
Sia B un altro punto del campo e
B
L la relativa linea di flusso.
Per quanto detto precedentemente, un osservatore non privilegiato potrà visualizzare tutte le linee di
flusso che, virtualmente, caratterizzano i punti appartenenti al segmento AB.
Esse risulteranno fondamentalmente parallele.
Sfruttando la definizione di linea di flusso e supponendo che i due punti non siano troppo distanti
tra loro, si giungerà facilmente alla conclusione che tutti i vettori “campo elettrico” E in ogni punto

64
del segmento AB, pur diversi tra loro, sono caratterizzati dallo stesso modulo e dalla stessa
direzione parallela alle linee di flusso.
Quindi anche le forze gravitazionali gmF
g
? godranno delle stesse caratteristiche.
Durante il possibile movimento dal punto A al punto B, sul corpo sarà quindi applicata una forza
g
F di intensità e direzione costanti.
La posizione del punto B sulla linea di flusso
B
L si permette di determinare l’angolo a formato
dal segmento AB con la direzione delle linee.
()a? cosABh
()
AB
h
cos a
?
?
?
?
?
?
a
AB
h
cosar

A
B
a
a
m
F =mgg
gF =mg
m
m
m
m
LA LB
a
h

Dato che la forza è costante nell’intorno del punto A, si potrà calcolarne il lavoro compiuto per lo
spostamento AB, con la formula:

() hFcosABFL
gg
? a??

D’altra parte lo spostamento verso il basso (nel caso della figura), risultando a carico del campo
gravitazionale, riduce l’energia potenziale
P
Einiziale di un valore pari a hgmE
P
?? D .
Se lo spostamento è perpendicolare alla direzione della forza, o, in altri termini, del campo, l’angolo
a vale 90°, il coseno è nullo ed automaticamente è nullo il lavoro eseguito dalla forza
gravitazionale.
Di conseguenza ha valore nullo anche la variazione di energia potenziale per cui, alla fine, il punto
B è caratterizzato dalla stessa energia potenziale del punto A.
Il segmento che congiunge i due punti è perpendicolare alle linee di flusso.
Si conclude quindi che, in un campo gravitazionale, fissata la posizione di un punto A sulla relativa
linea di flusso esiste una e una sola linea i cui punti godono della caratteristica di restituire
un’uguale energia potenziale.
Tale linea deve necessariamente essere perpendicolare alla linea di flusso nel punto A e, di
conseguenza, a tutte le altre linee di flusso.

65
Un osservatore privilegiato si accorgerebbe che tale linea è in realtà una circonferenza nel piano e
una sfera nello spazio e affermerebbe che, su tale linea o superficie, tutti i punti hanno la stessa
energia potenziale. Si tratta appunto di linee o superfici “Equipotenziali” o curve di “livello”.
Per il campo elettrico generato da una sola carica puntiforme le osservazioni sono formalmente
identiche a quelle valide per il campo gravitazionale:

x Le linee di flusso sono radiali a partire dalla posizione della carica elettrica. Sono
percorse dall’interno verso l’esterno nel caso di campo generato da una carica positiva e
cariche esploratrici positive, dall’esterno verso l’interno nel caso o casi opposti
x Le linee equipotenziali o linee di livello sono circonferenze concentriche con centro
comune nel punto centrale. Le tangenti alla circonferenza nei punti in cui essa interseca
le varie linee di flusso sono perpendicolari alle linee di flusso (proprietà del raggio e
della circonferenza)
x Le superfici equipotenziali sono superfici sferiche per le quali valgono le stesse proprietà
descritte.

Anche nel caso di campo elettrico diverso da quello radiale, sono valide queste osservazioni:
In un punto qualsiasi di una qualsiasi linea di flusso passa una sola linea equipotenziale. La linea di
flusso e la linea equipotenziale sono perpendicolari.
Nei casi diversi dal campo radiale le linee e superfici equipotenziali non sono circonferenze o sfere
e la loro forma dipende esclusivamente dalla conformazione del campo elettrico.

PRINCIPALI TIPOLOGIE DI CAMPO ELETTR ICO

CAMPO RADIALE:
Il campo elettrico radiale è generato da una sola carica Q positiva o negativa.
Per convenzione la carica esploratrice è sempre considerata positiva.
Le linee di flusso o linee di forza del campo sono da considerarsi uscenti od entranti rispettivamente
nella carica generatrice positiva o negativa.
Il verso di percorrenza delle linee di flusso è stabilito dalla punta di un vettore.
Le linee equipotenziali sono circonferenze concentriche, mentre, le superfici equipotenziali sono
sfere concentriche.
Si tratta di un campo caratterizzato da vettori di modulo variabile in funzione della distanza dal
centro.
Il campo radiale è quindi un campo variabile ed è rappresentato da:

66
+ -
LINEE DI FLUSSO
SUPERFICI EQUIPOTENZIALI

Figura 38 – CAMPO RADIALE PRODOTTO DA CARICA POSITIVA E NEGATIVA

CAMPO BIPOLARE PRODOTTO DA DUE CARICHE UGUALI E OPPOSTE:

Il campo elettrico bipolare è il risultato della somma vettoriale, eseguita punto per punto, di due
campi elettrici radiali prodotti da cariche aventi lo stesso valore ma segno opposto.
I criteri da utilizzare per il calcolo e la rappresentazione sono dettati dalla legge di Coulomb e dalle
classiche regole di somma vettoriale.
Si pensa di posizionare una carica esploratrice positiva in un punto qualsiasi del campo.
Sono quindi determinati il modulo, la direzione e il verso, dei due vettori campo elettrico relativi
alle rispettive cariche.
Poi, con il metodo del parallelogramma, è determinato la direzione, il verso ed il modulo del campo
elettrico risultante.
Quindi procedendo per incrementi finiti di spostamento si determina la linea di flusso e i relativi
vettori campo per ogni punto di essa.
Infine la linea spezzata risultante è approssimata con una line curva.

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
E
E
E
+ -
LINEE DI FLUSSO
E

Figura 39 – CAMPO ELETTRICO DI UN “DIPOLO ELETTRICO”

67
Le linee e superfici equipotenziali godono sempre di essere perpendicolari alle linee di flusso e del
fatto che per un punto di una linea di flusso passa una e una sola superficie equipotenziale.
Le superfici equipotenziali sono dunque, in questo caso, molto più complesse che nel caso di campo
radiale.

CAMPO ELETTRICO UNIFORME:
Due lastre metalliche piane, parallele, poste ad una certa distanza una dall’altra, elettrizzate con
cariche di segno opposto, producono un campo elettrico uniforme contenuto esclusivamente nella
regione di spazio compreso tra le lastre stesse.
Si intende che nei vari punti di detto spazio, il vettore campo elettrico è costante in modulo,
direzione e verso.
La direzione è quella perpendicolare ai piani delle lastre, il modulo dipende dalla quantità di carica
o meglio, dalla densità superficiale di carica, dalla distanza tra le lastre e dal materiale interposto
alle lastre stesse.
Il campo elettrico uniforme è tipico di apparecchiature definite “condensatori”.
Il procedimento da seguire per determinare il valore del campo è simile a quello adottato per il
campo elettrico bipolare.
Le azioni elettrostatiche repulsive generate sulla carica esploratrice positiva devono essere sommate
alle azioni attrattive applicate dalla lastra negativa.
Considerato che, mano a mano, la carica si allontana dalla lastra positiva perché respinta da essa ed
attratta dall’altra, diminuisce l’effetto repulsivo ma, nel contempo aumenta l’effetto attrattivo.
Risulta quindi una forza elettrica e un campo elettrico di valore costante.
Inoltre l’effetto repulsivo generato verso le superfici laterali dalla piastra positiva – che
tenderebbero ad espellere le cariche positive lungo il perimetro – sono compensate dall’effetto
attrattivo della lastra negativa che, invece tende ad attirare eventuali cariche esterne al perimetro.
Risulta perciò un campo elettrico delimitato dalla regione di spazio compreso tra le lastre e
perimetro esterno.
Questa regione di spazio è dunque assimilata ad un parallelepipedo avente come base la superficie
delle lastre e come altezza la loro distanza.

+ -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
+
+
+
E
+
E
+
+
E
+
E
+
+
E
+
+
+
+
+
E
+
E
+
+
LINEE DI FLUSSO
-

Figura 40 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME – CONDENSATORE PIANO

68
RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DELL’INTENSITA’ DEL CAMPO ELETTRICO
Ad ogni punto di un campo elettrico, dovuto ad una o più cariche puntiformi o distribuite, si può
associare, come visto, un vettore E campo elettrico, il quale rappresenta la risultante delle forze del
campo sulla carica esploratrice
+
q, diviso la carica stessa (o, ed è la stessa cosa, la risultante delle
forze del campo su di una carica positiva unitaria, posta nel punto considerato).
La direzione del vettore E, in ogni punto del campo, risulta tangente a quelle linee ideali definite
linee di flusso o linee di forza del campo elettrico.
Per ogni punto del campo passa una ed una sola linea di forza la quale individua sostanzialmente la
traiettoria che verrebbe descritta dalla carica esploratrice posta in quel punto con velocità iniziale
nulla ed abbandonata a se stessa, cioè lasciata libera di muoversi sotto l’azione del campo.
Le linee di forza sono linee orientate, cioè su di esse è fissato un verso di percorrenza che
convenzionalmente, ed in accordo con la definizione di campo elettrico, è assunto come quello
descritto da una carica positiva.
In tal modo, relativamente ad ogni punto del campo, la linea di forza che passa per quel punto
stabilisce non solo la direzione, ma anche il verso del vettore E.
La costruzione delle linee di flusso o linee di forza è eseguita secondo i criteri e le modalità
descritte.
La rappresentazione grafica di un campo elettrico è eseguita secondo il criterio proposto da
Faraday.
Si è convenuto di rappresentare graficamente un campo elettrico tracciando, per ogni piccola area di
superficie perpendicolare alla direzione delle linee di forza, un numero di linee di flusso N uguale al
prodotto tra l’intensità del campo al centro della superficie e l’estensione della superficie stessa SD:

SEN D?

Una rappresentazione del campo elettrico effettuata con la suddetta convenzione ha il vantaggio di
visualizzare graficamente l’intensità del campo in ogni punto: infatti l’intensità sarà tanto più
grande quanto più fitte saranno le linee di forza nell’intorno del punto considerato e viceversa sarà
tanto più piccola quanto più rade saranno tali linee di forza.

S
E
N=E S

Figura 41 – CRITERIO DI FARADAY PER LA RAPPRESENTAZIONE DEL CAMPO

69
ANALOGIA CON UN TUBO DI FLUSSO DI UNA COR RENTE D’ACQUA:
Il tubo di flusso relativo ad una superficie di area SD contenuta all’interno di un campo elettrico E
può sicuramente essere paragonato in modo analogico alla corrente d’acqua uscente da un foro
praticato, ad esempio, su una parete laterale del recipiente che la contiene.
Il movimento del liquido è infatti relativo a tutte le molecole contenute nel recipiente che sono
convogliate dalla forza gravitazionale verso la superficie del foro d’uscita.
Ne risulta una corrente d’acqua che scorre in condotto virtuale le cui sezioni iniziale e finale
corrispondono rispettivamente alla superficie libera del recipiente e alla superficie libera del foro
d’uscita.
Se il movimento è sufficientemente lento, i filetti fluidi scorrono su linee curve senza modificare la
direzione.
Tali linee sono l’analogo alle linee di flusso del campo e il condotto virtuale che le contiene
rappresenta il tubo di flusso.
Mano a mano che il liquido, partendo dalla superficie libera, si avvicina alla superficie d’uscita,
evidentemente molto più piccola della superficie libera, i filetti fluidi tendono ad avvicinarsi e ad
infittirsi.
Nel contempo potremmo porre in evidenza il fatto che in detto tubo si manifesta un campo
vettoriale delle velocità costituito da vettori velocità sempre tangenti alle linee di flusso e il cui
modulo aumenta mano a mano che le sezioni virtuali del tubo diminuiscono.
Evidentemente il massimo valore del campo di velocità è localizzato nel baricentro del foro
d’uscita.

v
v
v
TUBO DI FLUSSO LIQUIDO
CAMPO DELLE VELOCITA'
v
LINEE DI FLUSSO

Figura 42 – FLUSSO VIRTUALE DI UNA CORRENTE D’ACQUA

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DIPOLO ELETTRICO
La presenza di due cariche elettriche
1
Qe
2
Q della stessa intensità ma di segno contrario, separate
da una distanza d, costituisce una configurazione di “dipolo elettrico”.
La distanza d tra i baricentri delle due cariche è da considerare come modulo di un vettore d la cui
direzione è definita “asse del dipolo” ed il verso è orientato dalla carica negativa alla carica
positiva.
Il punto mediano del vettore d è il “centro del dipolo”, è posizionato sull’asse del dipolo e dista
2
d

da entrambe le cariche.

70
Il campo elettrico AE, provocato dal dipolo in un punto A ad una distanza z dal centro e collocato
sulla direzione individuata dall’asse del dipolo stesso, risulta la sommatoria algebrica dei moduli dei
campi elettrici
1
E ed
2
E prodotti rispettivamente dalla carica positiva e dalla carica negativa su
una carica esploratrice.
I due campi elettrici hanno la stessa direzione, verso contrario e moduli inversamente proporzionali
al quadrato della distanza del punto considerato dalle cariche del dipolo.
2
1
1
1
r
Q
4
1
q
F
E ?
e?p?

2
2
2
2
r
Q
4
1
q
F
E ?
e?p?

Con:
2
d
zr
1

2
d
zr
2
+
Per cui:
?
?
?
?
?
?
…
…
…
…
?
?
?
?
?
?
?
?
+

?
?
?
?
?
?

?
e?p?

22
21
A
2
d
z
1
2
d
z
1
4
Q
EEE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
…
?
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?
?
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?
+?

?
?
?
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?

22
21
A
z2
d
1z
1
z2
d
1z
1
4
Q
EEE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+

?
?
?
?
?
?
?

?
e?p?

222
21
A
z2
d
1
1
z2
d
1
1
z
1
4
Q
EEE
?
?
?
?
…
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?
?
?
?
?
?
??
e?p?

22
2
21
A
z2
d
1
z2
d
1
z
1
4
Q
EEE

71
Q
+
-
Q
q
+
d
d/2
d/2
z
r
1
1r
ASSE DEL DIPOLO
DIPOLO ELETTRICO
CARICA ESPLOR.
-
Q
DIPOLO ELETTRICO
+
Q
ASSE DEL DIPOLO
+
q
E1
E2
MOMENTO DEL DIPOLO
p = Q d
A A

Figura 43 – MOMENTO DEL DIPOLO ELETTRICO

Considerando che, solitamente, la distanza z del punto considerato è notevolmente più grande delle
dimensioni geometriche del dipolo, il rapporto
z2
d
?
ha un valore molto minore dell’unità:
Per ipotesi:
dz??
Di conseguenza:
1
z2
d
??
?

I binomi con esponente negativo possono essere quindi approssimati con le seguenti serie:
( )
( ) ( )( )
...........x
!3
2n1nn
x
!2
1nn
xn1x1
32n
+?
+?+?
?
+?
+? +

( )
( ) ( )( )
...........x
!3
2n1nn
x
!2
1nn
xn1x1
32n
+?
+?+?
+?
+?
+?+

Per cui, ponendo:
x
z2
d

?

2n

Si ottiene:
?
?
?
…
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
??
?
?
?
?
?
+
?
?+??
e?p?
....
z2
d
21.......
z2
d
21
z
1
4
Q
EEE
2
21
A
Dove i termini mancanti sono trascurabili per effetto dell’elevazione a potenza superiore a
uno di un rapporto già piccolo in partenza.
Si ottiene quindi:

72
?
?
?
?
?
?
+??
e?p?

z
d
z
d
z
1
4
Q
EEE
2
21
A
?
?
?
?
?
??
??
e?p?

z
d2
z
1
4
Q
EEE
2
21
A
33
21
A
z
p
2
1
z
dQ
2
1
EEE ?
e?p?

?
?
e?p?

Il prodotto dQ?, contenente le grandezze caratteristiche intrinseche del dipolo – valore numerico
delle cariche elettriche e distanza tra le cariche, è definito “MOMENTO DI DIPOLO
ELETTRICO” e deve essere considerato come un vettore con direzione sovrapposta all’asse del
dipolo e orientato dalla carica negativa a quella positiva.
Il campo elettrico prodotto da un dipolo di momento dQp ? in un punto , anche non posizionato
sull’asse, distante r da centro del dipolo, è variabile in funzione di
3
r
1
.

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARI CA DISTRIBUITA SU UN FILAMENTO
RETTILINEO DI LUNGHEZZA L (SUPPOSTA INFINITA).
Si suppone ora di disporre di un filamento rettilineo lungo e sottile sul quale è distribuita,
complessivamente, una certa quantità di carica elettrica Q, ad esempio positiva.
Conoscendo la lunghezza L del filo e il valore complessivo della carica, è possibile determinare la
carica lineare specifica o “densità di carica lineare”, cioè la quantità di carica distribuita su ogni
metro di lunghezza:
()
()mL
CQ
l ?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
l
m
sA
m
C
Densità lineare di carica
Se, al contrario, è determinata la densità di carica lineare l, risulta possibile immaginare un
filamento di lunghezza infinitamente grande.

Il campo elettrico generato dal filamento rettilineo, in un punto A posto ad una distanza r, misurata
perpendicolarmente all’asse del filamento, può essere considerato come la sommatoria vettoriale di
tutti i campi elettrici generati, nello stesso punto, dai tratti infinitesimi in cui può pensarsi suddiviso
il filamento.
Se la lunghezza del filamento è sufficientemente grande, per ogni tratto di filo posto ad una distanza
s sopra al punto A, ne corrisponde un altro posto alla medesima distanza sotto A.
Pertanto, quando si sommano vettorialmente i campi elettrici prodotti da tutti gli elementi, le
componenti parallele alla direzione del filamento si annullano reciprocamente.
Sono quindi da considerare le sole componenti perpendicolari all’asse del filamento.
Il campo elettrico complessivo sarà quindi orientato secondo la direzione perpendicolare al filo e
con verso da stabilirsi in funzione del segno della carica distribuita e da quello della carica
esploratrice da collocare nel punto A.

73
r
R
a
a
r
q
A
s
s
Ds
Ds
E1x
E
E1y
DQ
DQ
+
+
+
1
E2y
FILO CARICO

Figura 44 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN FILAMENTO CARICO

Pensando di suddividere il filamento, supposto di lunghezza infinita, in tratti di lunghezza sD, la
componente orizzontale
x
Edel campo elettrico prodotto nel punto A da ogni tratto recante la carica
sQ D?l D risulta determinata da:

() ()
1
2
1
11x1
cos
r
1
4
s
cosEE a??
e?p?
D?l
a?
() () () ()
1
2
1
1
2
1
1
1
11x1
cos
r
1
4
s
cos
r4q
qQ
cos
q
F
cosEE a??
e?p?
D?l
a?
?e?p??
?D
a? a?
Con:
()Rcosr
11
a?
()
1
1
r
R
cos a
Per cui:
()
1
2
1
11x1
r
R
r
1
4
s
cosEE ??
e?p?
D?l
a?
D’altra parte la distanza
1
rdi ogni tratto sD dal punto A è variabile in funzione della
distanza s del tratto considerato dall’intersezione tra il filamento e la perpendicolare al
filamento condotta dal punto A.
Applicando il teorema di Pitagora:

2
1
2
1
sRr +

Per cui, sostituendo, si ottiene:

74
()
( )
2
1
2
2
1
2
11x1
sR
R
sR
1
4
s
cosEE
+
?
+
?
e?p?
D?l
a?

( )
2
3
2
1
2
x1
sR
R
4
s
E
+
?
e?p?
D?l

( )
2
3
2
1
2
x1
sR
4
Rs
E

+?
e?p?
?D?l

Il campo elettrico complessivamente prodotto da tutti i tratti di filamento, nel punto A, posto
alla distanza R dal baricentro del filo, risulta quindi determinato dal doppio dalla
sommatoria di tutti i contributi (tratti posti sopra e sotto l’orizzontale condotta dal punto):

( ) ( )
2
3
2
i
2
ni
1i
nxx2x1X
sR
4
Rs
2E.............EE2E

+??
e?p?
?D?l
? ++?
Passando agli incrementi infinitesimi, la sommatoria è sostituita dall’integrale:

( )
2
3
0
22
X
sR
4
Rds
2E

f
“ +?
e?p?
??l
?
( )dssR
4
R
2E
2
3
0
22
X
?“ +?
e?p?
?l
?

f

L’integrale è risolto ponendo:
( )
2
1
22
sRT +

Da cui:
( )
ds
sR
1
4
R
2E
0
2
3
22
X
?“
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+
?
e?p?
?l
?
f+

ds
T
1
4
R
2E
0
3
X
?“
?
?
?
…
?
?
?
e?p?
?l
?
f

Integrando (utilizzando le tavole di DWIGHT) si ottiene

f
?
?
?
…
?
?
+
??
e?p?
?l

0
22
2
X
sR
s
R
1
2
R
E

f
?
?
?
…
?
?
+
?
?e?p?
l

0
22
X
sR
s
R2
E

Tra i limiti d’integrazione:
()
f
?
?
?
?
…
…
?
?
+

f+
f+
?
?e?p?
l

0
2222
X
0R
0
R
R2
E

75
>@
R2
01
R2
E
X
?e?p?
l
?
?e?p?
l

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA CARICA DISTRIBU ITA UNIFORMEMENTE SU
UN ANELLO DI RAGGIO R IN PUNTI APPARTENENTI ALL’ASSE DI SIMMETRIA.

Si considera ora una carica elettrica Q, ad esempio positiva, distribuita uniformemente su un anello
circolare di raggio R.
La densità lineare di carica risulta uguale a:
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?p?
l
m
sA
m
C
R2
Q

R
R
C
r
z
r
E
1
E
1r
E
2r
QD
+
+
DQ
Ds
sD
E
2
2zE=E
1z
FILO CARICO

Figura 45 – CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UNA DISTRIBUZIONE AD ANELLO

Anche in questo caso, trattandosi di carica distribuita, è possibile suddividere la circonferenza in
tratti di lunghezza piccola a piacere sD recanti, ognuno, una quantità di carica data da:

sQ D?l D
Il campo elettrico complessivamente prodotto dalle cariche, in un punto A appartenente all’asse di
simmetria passante nel centro della circonferenza e alla distanza z dal piano della circonferenza
stessa, sarà pari alla somma di tutte le componenti parallele all’asse di simmetria
iz
E e prodotte,
ognuna, dal singolo tratto sD.
La somma delle componenti perpendicolari
iR
Eall’asse di simmetria, quindi parallele al piano della
circonferenza, sarà evidentemente nulla per il fatto che coppie di carica diametralmente opposte
produce componenti orizzontali (
R2R1
EE ) uguali e contrarie.
Occorre quindi considerare le sole componenti parallele all’asse di simmetria i cui valori sono
espressi dalla seguente relazione:

()a? cosEE
1Z1

76
Con:
22
1
1
r4
s
q
1
r4
qQ
q
F
E
?e?p?
D?l
?
?e?p?
?

Quindi:

()a?
?e?p?
D?l
cos
r4
s
E
2
Z1

D’altra parte la simmetria del problema ci consente di affermare che, per tutti i tratti carichi
appartenenti alla circonferenza, è costante sia la distanza r del punto A sia il valore
dell’angolo e del relativo coseno:

22
zRr +
()
( )
2
1
22
zR
z
r
z
cos
+
a

Si ottiene quindi:

( )( )
2
1
22
1
1
22
Z1
zR
z
zR4
s
E
+
?
+?e?p?
D?l

In cui i termini z e R sono costanti rispettivamente per aver fissato la distanza del punto A
sull’asse e per aver fissato il raggio della circonferenza.

Il campo elettrico complessivo è quindi la sommatoria delle singole componenti:

nZZ3Z2Z1Z
E...............EEEE +++

( )
( )
n321
2
3
22
Z
s.........sss
zR4
z
E D++D+D+D?
+?e?p?
?l

Ma la somma di tutti i tratti sD altro non è che la lunghezza totale della circonferenza:

( ) R2s.........sss
n321
?p? D++D+D+D

Quindi:
( )
( )R2
zR4
z
E
2
3
22
Z
?p??
+?e?p?
?l

Da notare poi che il prodotto della densità lineare di carica l per la lunghezza complessiva
della circonferenza R2?p? è la carica Q complessivamente presente.
Quindi, in conclusione:

77
( )
2
3
22
Z
zR4
zQ
E
+?e?p?
?

Inoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando il
punto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero:

0E
0Z

? 0F
e

Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti:
Per:
f#z ? 1
z
z
Rz
z
22
??
f{
f
?
#
?
+

f#z ? 0
R
1
Rz
1
222
??
+f
?
+

Quindi:
( )
0
Rz
z
Rz
1
4
q
E
22
22
Z
??
+
?
+
?
e?p?

Il valore massimo del campo elettrico si ottiene imponendo l’annullamento della derivata prima
della funzione:
( )
( ) 0Rzz
dz
d
Rz
z
dz
d
2
3
22
2
3
22

?
?
?
…
?
?
+?
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+

Ottenendo:
()( ) () ( )
2
3
22
2
3
22
Rz
dz
d
zz
dz
d
Rzz'f

+?+?+
()( ) ( ) z2Rz
2
3
z1Rzz'f
1
2
3
22
2
3
22
??+??
?
?
?
?
?
?+?+

()( ) ( )
2
1
2
3
22
2
3
22
z2Rz
2
3
Rzz'f ??+?+

()( ) ( )
2
2
5
22
2
3
22
zRz3Rzz'f ?+?+

Per cui:
()( ) ( ) 0zRz3Rzz'f
2
2
5
22
2
3
22
?+?+

?? ( ) ( )
2
5
222
2
3
22
Rzz3Rz

+?? +
??
( ) ( )
2
5
22
2
2
3
22
Rz
z3
Rz
1
+
?

+

78
??
( ) ( )
22
2
22
2
2222
RzRz
z3
RzRz
1
+?+
?

+?+

??
( )
( )
2
2222
22
2
22
z3
RzRz
RzRz
?
+?+
+?+

??
222
z3Rz ? +
?? 0Rz3z
222
+?
?? 0Rz2
22
?

Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato:
2
R
z
Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R
sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante
2
R
z dal centro della
circonferenza. Il suo valore è:
2
3
2
32
2
)MAX(Z
R
2
3
42
Rq
2
R
R24
Rq
E
?
?
?
?
?
?
??e?p??
?

?
?
?
?
?
?
?
?
+??e?p?
?

2
1
)MAX(Z
2
R3
26
q
R
2
3
R
2
3
42
Rq
E

?
?
?
?
?
??
?
e?p??

????e?p??
?

CAMPO ELETTRICO GENERATO DA UN DISCO CARICO
In questo caso la carica complessiva Q, ad esempio positiva, è distribuita uniformemente su di una
superficie circolare (disco) e si vuole determinare il campo elettrico prodotto in un punto A
posizionato ad una distanza z dalla superficie del disco e sull’asse di simmetria passante per il
centro del disco.
Si tratta ora di determinare la densità superficiale di carica tenendo conto del raggio R del disco.
La densità superficiale di carica è data da:
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?p
l
222
m
sA
m
C
R
Q
A
Q

Il problema non è molto dissimile da quello precedente se si immagina di suddividere la superficie
complessiva del disco in un numero sufficientemente elevato di anelli concentrici di larghezza rD
costante e di diametro variabile da un valore massimo pari al diametro del disco al valore nullo.
Su ogni anello, definito propriamente dal raggio e dalla larghezza, sarà distribuita una carica
elettrica determinabile in base alla seguente relazione:

rr2Q
ii
D??p??l

79
R
C
z
r
R
r
E
1
1zE
E
1r
2rE
QD
+
D
+
Q
sD
sD
2E
=E
2z
DISCO CARICO
A

Figura 46 – CAMPO ELETTRICO PRODOTTO DA UN DISCO CARICO

Tenendo quindi presente il risultato ottenuto precedentemente per la distribuzione ad anello, ogni
singolo anello produce, nel punto A considerato, un campo elettrico parallelo all’asse di simmetria
del disco il cui valore è stabilito dalla relazione:

( )
2
3
22
1
1
Z1
zr4
zQ
E
+?e?p?
?

( )
2
3
22
1
1
Z1
zr4
zrr2
E
+?e?p?
?D??p??l

Il campo elettrico complessivo nel punto A è quindi la somma di tutti i contributi relativi ai
singoli anelli che, nell’insieme, costituiscono il disco.
Da notare che la densità superficiale di carica l e la distanza z del punto A dal piano del
disco hanno valore costante per tutti gli anelli che si considerano.
Per cui si ottiene:
( ) ( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
D??
++
+
D??
+
+
D??
?
e?
?l

2
3
22
n
n
2
3
22
2
2
2
3
22
1
1
Z
zr
rr2
............
zr
rr2
zr
rr2
4
z
E
Passando alla forma integrale si ottiene:

( )
dr
zr
r
4
z2
E
R
0
2
3
22
Z
?“
+
?
e?
?l?

L’integrale si risolve ponendo:
( )
2
1
22
zrT +

Ottenendo quindi:

80
dr
T
r
4
z2
E
R
0
3
Z
???
H?
?O?

Integrando (sono utilizzate le tavole di DWIGHT) si ottiene:
R
0
Z
T
1
4
z2
E
?
?
?
?
?
?
?
H?
?O?

R
0
2
1
22
Z
zr
1
4
z2
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
H?
?O?

R
0
2
1
22
Z
zr
1
4
z2
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
H?
?O?

R
0
2
1
22
Z
z
1
zR
1
4
z2
E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
H?
?O?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
H?
?O?

2
1
22
Z
zR
z
1
z
1
4
z2
E
Infine:

?
?
?
?
?
?

H?
O

22
Z
zR
z
1
2
E
Da notare che, per un disco con raggio infinitamente grande, il secondo termine nella
parentesi tende ad annullarsi ed il campo elettrico è quello prodotto da una superficie piana
carica di dimensioni infinite.
H?
O

2
E
Z

81
ESERCIZI – CAMPO ELETTRICO

Esercizio 1:
Su una carica ()C103q
5
ì , posta in un punto di un campo elettrico, agisce una forza
()N103F
2
ì .
Determinare l’intensità del campo in quel punto.

Soluzione:
Dalla relazione che definisce il campo elettrico si ottiene:
q
F
E
Sostituendo i valori numerici noti:
()
()
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

ì
ì

m
Volt
mC
J
C
m
J
C
N
10
C103
N103
q
F
E
3
5
2

Con:
()( )mNJ ? ?? ()
()
()m
J
N
()
()
()C
J
V Definizione di potenziale espresso in Volt ()V
Si è qui anticipata, con le unità di misura, la definizione di potenziale elettrico – da misurarsi
in Volt – ed espresso dal rapporto tra l’energia potenziale elettrostatica (Joule) e la carica
elettrica (Coulomb).

Esercizio 2:
Determinare la forza elettrostatica a cui è soggetto un protone quanto, nel vuoto, si trova in un
campo elettrico la cui intensità è pari a ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

m
Vo lt
15
C
N
15E .
La carica elettrica del protone è positiva ed ha un valore numerico pari a quella dell’elettrone, cioè
()C10602,1p
19+
ì .

Soluzione:
Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa:
q
F
E ?? qEF ?
Tenendo presente il valore dell’intensità del campo elettrico a cui è sottoposta la carica
elettrica del protone, si ricava, sostituendo:
() ()N
m
C
C
mN
m
C
C
J
m
CV
104,2C10602,1
m
V
15pEF
1819
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
??
ì ì??
?
?
?
?
?
?
+

82

Esercizio 3:
Una massa puntiforme, elettricamente carica, si trova in un punto di un campo elettrico la cui
l’intensità è pari a ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

m
V
50
C
N
50E ed è soggetta ad una forza ()
p
kg15F .
Determinare il valore della carica elettrica.

Soluzione:
Dall’espressione del campo elettrico si ricava la relazione inversa:
q
F
E
??
E
F
q

Sostituendo i valori numerici e tenendo presente che le forze devono essere espresse in
Newton, si ottiene:
()
()C15,147
V
J
V
mN
15,147
m
V
50
kg
N
81,9kg15
q
p
p
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

()
()C15,147
N
CN
15,147
C
N
50
kg
N
81,9kg15
q
p
p
??
?
?
?
?
??

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 4:
Una carica elettrica ()C102,1Q
5
ì è immersa in un dielettrico con costante dielettrica relativa
pari a 5,2
R
e .
Determinare l’intensità del campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m.

Soluzione:
Si utilizza l’espressione del campo elettrico unitamente alla legge di Coulomb:
q
F
E
e

2
R
2
e
r4
qQ
r4
qQ
F
?e?e?p?
?

?e?p?
?

F

Da cui si ottiene:
2
R
2
R
r4
Q
q
1
r4
qQ
E
?e?e?p?
?
?e?e?p?
?

FF

Con:
e Costante dielettrica assoluta del materiale
R
e Costante dielettrica relativa del materiale
F
e Costante dielettrica del vuoto
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì#

2
2
12
mN
C
1085,8

83
Il valore e le unità di misura della costante dielettrica del vuoto sono ricavate dalla legge di
Coulomb tenendo presente la definizione di carica unitaria:
2
21
2
21
e
r
QQ
4
1
r
QQ
kF
?
?
e?p?

?
?
F
F
()()
()()
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?ì

?
?

F
F
2
2
9
229
21
2
e
C
mN
109
C1C1
m1N109
QQ
rF
k
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
??
ì?p?

?p?
e

F
F
2
2
12
2
2
9
mN
C
10846,8
C
mN
1094
1
k4
1

Sostituendo i valori nell’espressione del campo, si ottiene:
()
()
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
ì

?e?e?p?

F
C
N
5,199.1
m6
mN
C
1085,85,24
C102,1
r4
Q
E
22
2
2
12
5
2
R

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

m
V
5,199.1
mC
J
5,199.1
C
N
5,199.1E

Esercizio 5:
Determinare la forza che agisce su una carica ()C103q
5
2

ì posta alla distanza di 30 cm, nel
vuoto, da una carica ()C105q
4
1

ì .

Soluzione:
Si possono utilizzare, indifferentemente, sia direttamente la legge di Coulomb sia la relazione del
campo elettrico.
Nel primo caso si ottiene:
() ()
()
()N500.1
m3,0
mN
C
1085,84
C103C105
r4
qq
F
22
2
2
12
54
2
21
e
#
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì?ì

?e?p?
?

F

Nel secondo caso occorre determinare il campo elettrico generato dalla carica
1
qnel punto in cui è
collocata la carica
2
q, poi, con il valore del campo determinare la forza sulla seconda carica:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

?e?p?

F
m
V
105
C
N
105
m3,0
mN
C
1085,84
C105
r4
q
E
77
22
2
2
12
4
2
1

?? () ()N500.1C103
C
N
105qEF
57
2e
ì??
?
?
?
?
?
ì ?

I due risultati sono naturalmente uguali.

Esercizio 6:
Determinare l’intensità del campo elettrico risultante nel punto di mezzo tra due cariche di ugual
segno ()C103q
6
1

ì e ()C104q
8
2

ì che distano tra loro 20 cm.
Determinare inoltre la forza che agisce su una carica ()C105q
6
ì situata nel suddetto punto.
Si consideri che il mezzo nel quale sono immerse le cariche ha una costante dielettrica relativa pari
a 7,2
R
e .

Soluzione:

84
Le due cariche di ugual segno producono, nel punto mediano, due campi elettrici di segno contrario.
Il campo elettrico risultante sarà quindi dato dalla sottrazione algebrica dei due vettori.
Il verso del campo elettrico risultante sarà orientato dalla carica più grande a quella più piccola.
Quindi da
1
qa
2
q.
()
()
?
?
?
?
?
?
#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
ì

?e?e?p?

F
C
N
10
m1,0
mN
C
1085,87,24
C103
r4
q
E
6
22
2
2
12
6
2
R
1
1
()
()
?
?
?
?
?
?
#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
ì

?e?e?p?

F
C
N
300.13
m1,0
mN
C
1085,87,24
C104
r4
q
E
22
2
2
12
8
2
R
2
2
I segni algebrici dei due campi elettrici sono stabiliti pensando di posizionare la carica
1
q a sinistra.
Di conseguenza il campo elettrico da essa prodotto nel punto ove si immagina di collocare una
carica esploratrice positiva, è orientato verso la parte destra, quindi positiva.
Il campo elettrico risultante ha quindi un’intensità pari a:
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ì
m
V
700.986
C
N
700.9861033,110EEE
46
21
Di conseguenza la forza elettrica esercitata sulla carica q di valore noto sarà:
() ()N93,4C105
C
N
700.986qEF
6
e
ì??
?
?
?
?
?
?

Esercizio 7:
Un corpo pesante ()
p
g1, avente una carica ()C105q
5
ì , parte da fermo da un punto A di un
campo elettrico uniforme di intensità pari a ?
?
?
?
?
?

C
N
000.1E .
Tale corpo raggiunge un punto B dopo un tempo di 1 s.
Determinare la distanza tra i due punti.

Soluzione:
La forza esercitata sulla massa del corpo carico dall’azione del campo elettrostatico uniforme è
determinata da:
() ()N105C105
C
N
000.1qEF
25
e

ì ì??
?
?
?
?
?
?
Tale forza si mantiene costante durante il movimento in quanto il valore del campo non
varia da punto a punto ed è causa di un’accelerazione di valore pari a:
()
( )
?
?
?
?
?
?

ì

2
m
3
2
e
s
m
50
kg10
N105
m
F
a

Lo spazio percorso dalla carica in un tempo di 1 s, per effetto dell’accelerazione costante, è
dato da:
() ()m25s1
s
m
50
2
1
ta
2
1
S
22
2
2
??
?
?
?
?
?
? ??

ANTICIPAZIONE DEI CONCETTI DI ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA E
DIFFERENZA DI POTENZIALE

85
Si sfrutta l’esercizio per anticipare la definizione ed il calcolo dell’energia potenziale elettrostatica e
della differenza di potenziale elettrostatico tra il punto A ed il punto B nel campo elettrico
uniforme.
L’energia potenziale elettrostatica tra il punto A e B nel campo elettrico uniforme è pari al lavoro
prodotto dal campo stesso sulla carica per consentirne lo spostamento:
()a?? cosSFLW
eABAB
Con:
è a0 ? ()1cos a

Quindi:
() ()() ()J25,1m25N105SFcosSFLW
2
eeABAB
?? ? a??

La differenza di potenziale tra i due punti è definita dal rapporto tra l’energia potenziale W e la
carica q caratteristica del corpo in movimento:

()
()
( )Vo lt000.25
C105
J25,1
q
W
V
5
AB
AB

ì

Esercizio 8:
Determinare il tempo necessario affinché una pallina, pesante 3 g e con una carica ()C103q
3
ì
percorra uno spazio di 1 m, se si trova all’interno di un campo elettrico uniforme di intensità pari a
?
?
?
?
?
?

m
V
10E .
Si suppone nulla la velocità iniziale.

Soluzione:
La forza esercitata dal campo elettrico sulla pallina carica è data da:
() ()N103C103
C
N
10qEF
23
e

ì ì??
?
?
?
?
?
?
L’accelerazione subita dalla pallina per effetto della forza:

()
()
?
?
?
?
?
?

ì
ì

23
2
e
s
m
10
kg103
N103
m
F
a
Il tempo impiegato per percorrere uno spazio di 1 m con l’accelerazione calcolata:

2
ta
2
1
S ??
?
()
()s447,0
s
m
10
m12
a
S2
t
2

?
?
?
?
?
?
?

?

Lo stesso esercizio svolto con i teoremi relativi all’energia potenziale elettrostatica e alla
definizione di differenza di potenziale:
qVW
ABAB
?
2
feAB
vm
2
1
SqESFW ?? ?? ?
fe
vmtF ? ?

86
22
f
e
f
qE
mSqE2
SqE2
qE
1
qE
mSqE2
qE
m
SqE2
m
qE
vm
F
vm
t
?
????
????
?

?
????

?
???
?

?
?

?

() ()
()
()s447,0
N
kgm
2,0
C103
C
N
10
kg103m12
qE
mS2
qE
mSqE2
t
3
3
22
?
?
?
?
?
??

ì??
?
?
?
?
?
ì??

?
??

?
????

Esercizio 9:
Un elettrone è proiettato orizzontalmente con velocità ?
?
?
?
?
?

s
m
600v
X entro un campo elettrico
uniforme con direzione verticale ed intensità pari a ?
?
?
?
?
?

C
N
5E
Y .
Determinare le componenti orizzontali e verticali dell’accelerazione, la traiettoria percorsa in
orizzontale e verticale dall’elettrone in un tempo ()s10t
6

Si consideri la massa dell’elettrone pari a ()kg1011,9m
31
e

ì

Soluzione:
La direzione verticale del campo elettrostatico permette di affermare che deve essere nulla la
componente orizzontale dell’accelerazione cui è sottoposto l’elettrone.
La componente verticale dell’accelerazione ha un’intensità di:
()
()
?
?
?
?
?
?
?#
ì
ì??
?
?
?
?
?

?

2
11
31
19
e
eYeY
Y
s
m
1079,8
kg1011,9
C10602,1
C
N
5
m
qE
m
F
a
Lo spazio percorso in verticale dall’elettrone, in moto uniformemente accelerato, risulta
dunque:
() ()m44,0s10
s
m
1079,8
2
1
t0ta
2
1
tvS
212
2
112
iYY
??
?
?
?
?
?
ì?+? ??+?

Lo spazio percorso in orizzontale, in moto uniforme, è invece dato da:
() ()m106s10
s
m
600tvS
46
iXX

ì ??
?
?
?
?
?
?
La traiettoria è rappresentata dalla funzione ottenuta risolvendo rispetto al tempo il seguente
sistema di equazioni:
?
?
?
?
?
??
?
2
iX
ta
2
1
y
tvx

?
?
?
?
?
?
?
??

2
iX
ta
2
1
y
v
x
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??

2
iX
2
iX
v
x
a
2
1
y
v
x
t
?
2
2
iXe
eY
x
vm
qE
2
1
y ?
?
?
?

Esercizio 10:
Tre cariche uguali ()C103qqq
8
321

? sono poste nei vertici di un triangolo equilatero di lato
10 cm. Determinare il campo elettrico nel baricentro del triangolo e nel punto mediano di uno dei
lati.

87
Le cariche sono immerse nel vuoto.

Soluzione:
Il baricentro del triangolo è collocato nel punto d’incontro delle tre bisettrici che, per il triangolo
equilatero, corrispondono anche alle perpendicolari ai rispettivi lati condotte nel punto mediano di
ciascun lato.
Le distanze tra i vertici, ove sono collocate le cariche, e il baricentro è dunque ricavato tenendo
conto della seguente relazione:
()
2
L
30cosr è?
Da cui si ottiene:
()
()
()m058,0
866,02
m1,0
30cos2
L
r
?

è?

I campi elettrici prodotti dalle tre cariche nel baricentro hanno modulo uguale di intensità
pari a:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
ì

?e?p?

F
C
N
108
m058,0
mN
C
1085,84
C103
r4
q
EEE
4
22
2
2
12
8
2
1
321
Se si considera che i tre vettori hanno lo stesso modulo e sono inclinati tra loro di 120° si
riconosce che la loro somma vettoriale deve essere nulla per simmetria.
Il campo elettrico nel baricentro è dunque nullo.

Nel punto mediano di uno dei lati si annullano i campi elettrici prodotti dalle due cariche disposte
sui vertici appartenenti al lato, mentre il campo elettrico complessivo risulta perpendicolare al lato
considerato ed è prodotto dalla carica disposta sul vertice opposto al lato.
L’intensità del campo è data da:
2
r4
q
E
?e?p?

F

Con:
() () ()m0866,0866,0m1,030cosLr ? è?

()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
ì

?e?p?

F
C
N
106,3
m0866,0
mN
C
1085,84
C103
r4
q
E
4
22
2
2
12
8
2
1
M

Esercizio 11:
Determinare a quale distanza da una carica ()C108q
5
ì si ha un campo elettrico
?
?
?
?
?
?
ì
m
V
105E
5
.

Soluzione:
Dall’espressione del campo elettrico si ricava la formula inversa che permette di determinare la
distanza:
2
r4
q
E
?e?p

F

??
E4
q
r
?e?p?

F

88

Sostituendo nella relazione i valori noti, si ottiene la distanza:

()
() ()m2,1m44,1
C
N
105
mN
C
1085,84
C108
r
2
5
2
2
12
5

?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

Esercizio 12:
Una carica puntiforme produce, nel vuoto e in un punto distante 40 cm, un campo elettrico pari a
?
?
?
?
?
?
ì
C
N
102E
4
. Determinare il valore della carica.

Soluzione:
2
r4
Q
E
?e?p?

F

Da cui si ottiene:
() ()C1056,3
C
N
102m4,0
mN
C
1085,84Er4Q
7422
2
2
122
ì ?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p? ??e?p?

F

Esercizio 13:
Determinare il campo elettrico complessivo nel punto di mezzo di un segmento lungo 30 cm, agli
estremi del quale sono collocate due cariche elettriche ()C101Q
6
1

ì e ()C103Q
6
2

ì+ .

Soluzione:
Supponendo di disporre orizzontalmente il segmento con la carica positiva posizionata
sull’estremità sinistra e una carica esploratrice positiva nel punto mediano del segmento, il campo
elettrico totale sarà la somma di un campo elettrico positivo (rivolto verso destra e causato dalla
carica positiva) e di uno ancora positivo (rivolto verso destra causato dalla carica negativa).
I valori dei campi saranno:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

?e?p?

F
C
N
102,1
m15,0
mN
C
1085,84
C103
r4
Q
E
6
22
2
2
12
6
2
1
1
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

?e?p?

F
C
N
104
m15,0
mN
C
1085,84
C101
r4
Q
E
5
22
2
2
12
6
2
2
1
Il campo elettrico risultante:
?
?
?
?
?
?
ì ì+ì
C
N
106,1104102,1E
656

Diretto dalla carica positiva a quella negativa.

Esercizio 14:
Quattro cariche puntiformi sono disposte, nel vuoto ai vertici di un quadrato di lato 50 cm, come
mostrato nella figura. Determinare il campo elettrico nel baricentro del quadrato.

89
Soluzione:
I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici B e D si annullano in quanto uguali e contrari per
effetto dell’uguaglianza delle cariche e delle distanze.
I campi elettrici prodotti dalle cariche nei vertici A e C si sommano in quanto sulla stessa direzione
(la diagonale del quadrato) e con eguale verso (dalla carica positiva a quella negativa).
Per cui:
() ()
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
è
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
ì

?e?p?
ì

F

C
N
1016,2
m
45cos
2
5,0
mN
C
1085,84
C103
r4
C103
E
5
2
2
2
2
12
6
2
6
C
() ()
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
è
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
ì

?e?p?
ì

F

C
N
1044,1
m
45cos
2
5,0
mN
C
1085,84
C102
r4
C102
E
5
2
2
2
2
12
6
2
6
A
Il campo elettrico risultante è quindi:
?
?
?
?
?
?
ì ì+ì
C
N
106,31044,11016,2E
555

-2 x 10 (C)
-6
+5 x 10 (C)
-6
+5 x 10 (C)
-6
+3 x 10 (C)
-6
A
B
CD
r
L/2
E

Esercizio 15:
Due cariche puntiformi ()C105,1q
7
1

ì e ()C105,3q
7
2

ì . Sono poste agli estremi di un
segmento lungo 70 cm. Determinare in quale punto del segmento si annulla il campo elettrico.

Soluzione:

90
A
B
-7
2
q =+3,5 x 10 (C)
-7
q =+1,5 x 10 (C)
1
x L-x
C

Occorre imporre che i campi elettrici prodotti dalle singole cariche siano di uguale intensità.
Per cui:

B
2
2
2
1
A
E
xL4
q
x4
q
E
?H?S?

?H?S?

Da cui si ottiene, semplificando i termini uguali:

2
2
2
1
xL
q
x
q

2
2
2
1
xqxLq ? ?
0xqxxL2Lq
2
2
22
1
????
0LqqL2xqqx
2
1121
2
?????

Equazione di secondo grado risolvendo la quale si ottiene la distanza richiesta:

21
2
121
2
1
2
1
qq2
Lqqq4qL4qL2
x
?
?????r??

7
277
2
727
104
7.0105,11024105,17,04105,17,02
x

u
?u?u?u??ru??

m33,1;m278,0
104
1021,3101,2
x
7
77

u
uru

Tra le due soluzioni è accettabile solo la prima, perciò il punto in cui il campo elettrico è
nullo è posizionato a circa 28 cm dalla carica
1
q di sinistra.

Esercizio 16:
Una carica è distribuita uniformemente lungo un filamento rettilineo di lunghezza infinita. La
densità lineare di carica è pari a ?
?
?
?
?
?
u O

m
C
103
4
.
Determinare il campo elettrico generato dal filamento in un punto situato ad una distanza di 5 metri
misurata perpendicolarmente al filamento.

91
Il filamento è immerso nel vuoto.

Soluzione:
Occorre utilizzare la relazione determinata con le regole d’integrazione:
R2
E
X
?e?p?
l

F

Con:
X
E Vettore campo elettrico diretto perpendicolarmente al filamento
R Distanza tra il punto ed il filamento misurata sulla perpendicolare al
filo passante per il punto

Per cui:
()
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
?
?
?
?
?
?
ì

C
N
1008,1
m5
mN
C
1085,82
m
C
103
E
6
2
2
12
4
X

E’ anche possibile, anticipando la relazione contenuta nel Teorema di Gauss, determinare il valore
del campo elettrico per mezzo del calcolo del flusso attraverso una superficie chiusa qualsiasi
all’interno della quale sono contenute una o più cariche.
Si tratta di un caso di simmetria nel quale si considera una superficie chiusa cilindrica con il raggio
delle basi circolari pari alla distanza dal centro al punto che si è considerato, quindi ()m5R , e
una carica Q, distribuita sull’asse del cilindro, di valore pari al prodotto della densità lineare di
carica per l’altezza H del cilindro.
Il caso di simmetria consente di affermare che il campo elettrico generato dal filamento è sempre
perpendicolare all’asse del cilindro ed è quindi nullo il flusso attraverso le due superfici circolari del
cilindro.
Il flusso uscente dal cilindro è quindi dato da:

HR2ESE
XX
??p?? D? F

Mentre, con il teorema di Gauss si ha:

FF
e
?l

e
?
F
HQ
i

Uguagliando le due relazioni:

HR2E
H
X
??p??
e
?l

Da cui si ottiene il valore del campo nel punto considerato:

R2
E
X
?e?p?
l

F

Pervenendo allo stesso risultato ottenuto applicando le regole d’integrazione al filamento.

92
r
R
a
a
r
q
A
s
s
Ds
Ds
E1x
E
E1y
DQ
DQ
+
+
+
1
E2y
FILO CARICO

q
A
Ex
Q
+
+FILO CARICO
R
H
R
R
xE
Y
SUPERFICIE CILINDRICA DI GAUSS
R
xE
R
OH

Esercizio 17:
Una carica positiva è distribuita uniformemente nel volume di una regione cilindrica di raggio
()cm15R e lunghezza infinita. La densità di carica volumica è pari a
?
?
?
?
?
?
ì s

3
cm
C
103
.
Determinare il campo elettrico ad una distanza ()m3r dall’asse del cilindro.

Soluzione:
Anche in questo caso si tratta di simmetria rispetto all’asse del cilindro. Ancora il campo elettrico è
contenuto è radiale e contenuto nei piani perpendicolari all’asse e il flusso del campo è nullo dalle
superfici circolari del cilindro Gaussiano di raggio pari alla distanza del punto ed altezza H
qualsiasi.
Il flusso è uscente solo dalla superficie laterale del cilindro.

93
Quindi, utilizzando il teorema di Gauss e la definizione di flusso del campo, si ottiene:
)
H
?
)
Q
Flusso uscente in base al teorema di Gauss
SE
X
? )

Combinando le due relazioni:

)
H
?
? )
Q
SE
X
Da cui si ottiene il valore del campo:

S
Q
E
X
?H
?

)

Con:
HRVQ
2
??S?V ?V ?
Hr2S ??S?

Per cui:
))
H??
?V

H???S?
??S?V

r2
R
Hr2
HR
E
22
X
Sostituendo i valori noti:

?
?
?
?
?
?
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?u

H??
?V

?
)
C
N
1027,1
mN
C
1085,8m32
m15,0
m
cm
10
cm
C
103
r2
R
E
5
2
2
12
22
3
3
6
3
10
2
X

Q
+
r=3 m
H
Y
SUPERFICIE CILINDRICA DI GAUSS

94
Esercizio 18:
Una carica è distribuita uniformemente nel volume di un cilindro di raggio ()cm30R . La densità
volumica di carica è pari a ?
?
?
?
?
?
ì s

3
10
cm
C
103 . Determinare il campo elettrico ad una distanza di
15 cm dall’asse del cilindro.

Soluzione:
Il cilindro Gaussiano è interno alla distribuzione volumica cilindrica di raggio R.
Occorre tenere conto della sola carica contenuta all’interno della superficie di Gauss.
F
e
?
F
Q
Flusso uscente in base al teorema di Gauss
SE
X
? F

Combinando le due relazioni:

F
e
?
? F
Q
SE
X
Da cui si ottiene il valore del campo:

S
Q
E
X
?e
?

F

Con:
HrVQ
2
??p?s ?s ?
Hr2S ??p?
Per cui:
FF
e?
?s

e???p?
??p?s

2
r
Hr2
Hr
E
2
X

H
Y
SUPERFICIE CILINDRICA DI GAUSS
R=30 cm
+
Q

95
Esercizio 19:
Una sferetta di massa ()g0,5m è sospesa con un filo di massa trascurabile lungo 50 cm, di fronte
ad un piano verticale su cui è distribuita una carica con densità superficiale ?
?
?
?
?
?
ì s

2
8
m
C
105,7 .
Se, in posizione di equilibrio, la sferetta risulta spostata di 4,2 cm dalla verticale, verso il piano,
determinare in modulo e segno la carica presente sulla sferetta.

Soluzione:
Il campo elettrico prodotto dal piano carico è paragonabile a quello generato da un disco di raggio
infinito. Dato che sferetta è attratta dal piano risulta immediata l’affermazione che la carica
posseduta dalla sferetta è di segno contrario alla carica distribuita sul piano.
Il campo elettrico prodotto dalla distribuzione superficiale di carica è ricavato tenendo conto della
relazione relativa al campo prodotto da un disco di raggio R:

?
?
?
…
?
?
+

e?
s

22
zR
z
1
2
E

Se si pensa ad un disco di raggio infinitamente grande f#R , il secondo termine contenuto in
parentesi tende ad annullarsi:
Per:
f#R ?? 0
zR
z
22
#
+

Di conseguenza:
>@
e?
s

e?
s

2
01
2
E
La sferetta, nella posizione d’equilibrio indicata dal problema, è quindi sottoposta all’azione di tre
forze:
x La forza peso gmP ? diretta verticalmente verso il basso
x La forza elettrica attrattiva esercitata sulla carica incognita dal campo elettrico orizzontale E
prodotto dalla distribuzione piana verticale
x La reazione del filo R inclinata rispetto alla verticale.

96
h
a
a
R
x
R
R
y
Fe
P = m g
CARICA SUPERFICIALE
Q
+
-
-
q

La reazione del filo è la somma di una componente orizzontale, uguale e contraria alla forza
elettrica esercitata dal piano, e di una componente verticale orientata verso l’alto uguale e contraria
alla forza peso.
La configurazione d’equilibrio permette di determinare le componenti:

() gmcosRR
Y
? a?
()
eX
FasenRR ?

Con:
()a? senLa
()
L
a
sen a
()a
?

cos
gm
R
()
()
()L
a
cos
gm
sen
cos
gm
R
X
?
a
?
a?
a
?

()
L
aL
L
h
cos
22

a

22
X
aL
agm
R

??

Da cui si ottiene, sostituendo i valori:

() ()
()
()N104
m042,05,0
m042,0
kg
N
81,9kg005,0
aL
agm
R
3
2222
X

ì

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

??

La carica elettrica della sferetta è quindi determinata dalla conoscenza della forza attrattiva e
del campo elettrico generato dalla distribuzione superficiale di carica:

qEFR
eX
?

97
s
e??

F
2R
E
R
q
XX

Quindi:
()
()C1044,9
m
C
105,7
mN
C
1085,82N104
2R
E
R
q
7
2
8
2
2
123
XX

F
ì
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì???

s
e??

Il segno della carica q è negativo per il motivo sopra esposto.

Esercizio 20:
Due anelli di raggio R sono tra loro paralleli e normali ad un asse sul quale sono centrati. L’anello 1
ha una carica uniforme
1
q e l’anello 2 ha una carica uniforme
2
q. La distanza tra gli anelli è
R3d ? .
Sapendo che il campo elettrico è nullo in un punto dell’asse posto a distanza R dall’anello 1,
determinare il rapporto
2
1
q
q
tra le cariche.

Soluzione:
Il campo elettrico prodotto da un anello circolare di raggio R sul quale è distribuita uniformemente
un carica q, in un punto a distanza z sull’asse di simmetria passante per il centro dell’anello, è dato
dalla relazione:

( )
2
3
22
Z
zR4
zq
E
+?e?p?
?

L’annullamento del campo elettrico nel punto indicato dall’esercizio, presuppone che le
cariche distribuite sui due anelli abbiano ugual segno.
Il campo prodotto dall’anello 1 ha quindi modulo uguale al campo prodotto dall’anello 2.
La relazione è così espressa:
( )
2
1
2
11
1
zR4
zq
E
+?e?p?
?

( )
2
2
2
22
2
zR4
zq
E
+?e?p?
?

??
( )

+?e?p?
?
2
1
2
11
zR4
zq
( )
2
2
2
22
zR4
zq
+?e?p?
?

??
22
2
22
1
R4R
R2q
RR
Rq
?+
??

+
?

??
22
2
22
1
R4R
2q
RR
q
?+
?

+

??
5
4
R5
R4
q
q
2
2
2
1

?
?

98
R3
R
2RR
P
q
2
q
1

Esercizio 21:
In un punto, distante z dal centro, sull’asse centrale di un anello carico recante una carica distribuita
positiva q, è posizionato un elettrone

e.
La velocità iniziale dell’elettrone è nulla.
L’elettrone è quindi abbandonato nel campo elettrico prodotto dall’anello.
Dimostrare che le forze elettrostatiche prodotte dal campo provocano un’oscillazione dell’elettrone
attorno al centro dell’anello, caratterizzata da una frequenza angolare:
3
Rm4
qe
??e?p?
?
Z
F

Soluzione:
L’anello carico positivamente produce un campo elettrico attrattivo nei confronti dell’elettrone
negativo.
Tale forza è il risultato del prodotto dell’intensità del campo per la carica elettrica dell’elettrone,
ove il campo elettrico, relativamente all’asse dell’anello, è comunque sempre sovrapposto alla
direzione dell’asse.
D’altra parte, sia analizzando l’espressione del campo elettrico sia prendendo in esame le basi di
partenza per la determinazione dell’espressione stessa, ci si rende conto che la forza elettrica è
variabile in funzione della distanza del punto dal centro dell’anello secondo il valore del coseno
dell’angolo.

( )
( ) ( )
()a?
+?e?p?

+
?
+
?
e?p?

+?e?p?
?
cos
zR4
q
zR
z
zR
1
4
q
zR4
zq
E
22
22
22
2
3
22
Z
()a? cosFF
eX

Inoltre il valore del campo è nullo, per simmetria rispetto alla distribuzione circolare, quando il
punto è collocato nel centro dell’anello, cioè per z uguale a zero:

0E
0Z

? 0F
e

99

Il campo elettrico è ancora nullo ad una distanza infinitamente grande dal centro, infatti:
Per:
f#z ? 1
z
z
Rz
z
22
??
f{
f
?
#
?
+

f#z ? 0
R
1
Rz
1
222
??
+f
?
+

Quindi:
( )
0
Rz
z
Rz
1
4
q
E
22
22
Z
??
+
?
+
?
e?p?

Il valore massimo del campo elettrico si ottiene imponendo l’annullamento della derivata prima
della funzione:
( )
( ) 0Rzz
dx
d
Rz
z
dx
d
2
3
22
2
3
22

?
?
?
…
?
?
+?
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+

Ottenendo:
()( ) () ( )
2
3
22
2
3
22
Rz
dz
d
zz
dz
d
Rzz'f

+?+?+
()( ) ( ) z2Rz
2
3
z1Rzz'f
1
2
3
22
2
3
22
??+??
?
?
?
?
?
?+?+

()( ) ( )
2
1
2
3
22
2
3
22
z2Rz
2
3
Rzz'f ??+?+

()( ) ( )
2
2
5
22
2
3
22
zRz3Rzz'f ?+?+

Per cui:
()( ) ( ) 0zRz3Rzz'f
2
2
5
22
2
3
22
?+?+

?? ( ) ( )
2
5
222
2
3
22
Rzz3Rz

+?? +
??
( ) ( )
2
5
22
2
2
3
22
Rz
z3
Rz
1
+
?

+

??
( ) ( )
22
2
22
2
2222
RzRz
z3
RzRz
1
+?+
?

+?+

??
( )
( )
2
2222
22
2
22
z3
RzRz
RzRz
?
+?+
+?+

??
222
z3Rz ? +
?? 0Rz3z
222
+?
?? 0Rz2
22
?

Equazione di secondo grado che ammette il seguente risultato:

100
2
R
z
Il campo elettrico prodotto da una distribuzione di carica q su un anello di raggio R
sull’asse dell’anello, è dunque massimo in un punto distante
2
R
z dal centro della
circonferenza. Il suo valore è:
2
3
2
2
32
2
)MAX(Z
R
2
3
42
Rq
2
R
R24
Rq
E
?
?
?
?
?
?
??e?p??
?

?
?
?
?
?
?
?
?
+??e?p?
?

2
1
2
22
)MAX(Z
2
R3
R26
q
R
2
3
R
2
3
42
Rq
E

?
?
?
?
?
?
?
??
?
?e?p??

????e?p??
?

3
22
)MAX(Z
R36
q
R3R
2
3
42
2Rq
E
??e?p?

????e?p??
??

Il campo elettrico e, di conseguenza la forza elettrica attrattiva agente sull’elettrone, è quindi
variabile da un valore massimo nel punto
2
R
z ad un valore nullo nel punto centrale in funzione
del coseno dell’angolo (oppure della distanza dal centro).
Immaginiamo dunque di porre l’elettrone nel punto in cui il campo è massimo ed è massima anche
la forza d’attrazione verso il centro.

Naturalmente si ha un’inversione dei segni algebrici, quando l’elettrone, per effetto dell’energia
cinetica acquistata nella prima parte del movimento – ad esempio da destra verso sinistra –
oltrepassa il centro.
Esistono quindi i presupposti per affermare che il movimento dell’elettrone sottoposto al campo
generato dall’anello non può che essere un moto armonico lungo la direzione dell’asse z.
L’accelerazione del moto armonico sarà massima nei punti estremi della traiettoria e potrà essere
paragonata all’accelerazione costante di un moto circolare virtuale:
( )
2
R
f2z
z
z
z
v
a
22
222
t
MAX
??p ?Z
?Z

Con:
Z velocità angolare
2
R
z raggio della circonferenza virtuale e ampiezza massima del moto armonico
f Frequenza oscillazione ()
1
s

D’altra parte l’accelerazione variabile del moto armonico, la massa dell’elettrone e la forza
elettrica, sono legati dal secondo principio della dinamica:

( ) eMAXX
2
e)MAX(Xe)MAX(e
qE
2
R
mamF ? ?Z? ?

Per cui si ottiene:

101
z
R
e
z
r
z =R/ 2
D q
MAXEFMAXFMAXE
MAX
q
+

102

DERIVATA DI UNA GRANDEZZA SCALARE RISPETTO AD UNA DIREZIONE
GRADIENTE DI UNO SCALARE

Si consideri ora la presenza di un campo scalare costituito da una funzione f delle coordinate
z,y,x del punto che sia in grado di restituire, per ogni terna di coordinate, un particolare valore
del campo.
Individuando con il simbolo Uil valore numerico del campo in quel determinato punto, si potrebbe
adottare la seguente simbologia:

( )z,y,xfU

Nel caso in cui, per terne diverse di coordinate, la funzione f restituisse valori uguali del campo U,
potremmo affermare che, l’insieme dei punti dello spazio individuati ognuno da una terna diversa
potrebbe costituire una superficie di livello o equipotenziale.
D’altra parte, come visto precedentemente, una superficie di livello di un campo è proprio
caratterizzata dal fatto che in tutti i punti ad essa appartenenti il valore del campo è costante.
Ad esempio la superficie di una sfera di raggio r è una superficie di livello di un campo elettrico
radiale caratterizzato da una funzione f:
?
?
?
?
?
?
?
?
++
?? ??
2222
e
zyx
1
Qk
r
1
Qk
q
F
EU

Supponiamo che, per una terna di coordinate )z,y,x(
111 relative ad un punto 1, la funzione sia
in grado di restituire il valore
1
U del campo:

( )
1111
z;y;xfU

E, tanto per fare un esempio, supponiamo che la funzione f sia definita dalla seguente relazione:
( )
222
z
3
4
y7x4z;y;xf ?+?+?

E’ un tipo di funzione a tre variabili che restituisce sempre valori positivi.
Per cui:
222
z
3
4
y7x4U ?+?+?
Ora, avendo anticipato che le tre variabili contenute nella funzione rappresentano le coordinate di
un punto nello spazio, occorrerà supporre l’esistenza di un legame tra le coordinate in grado di
indicare in modo univoco la posizione del punto.
Ad esempio, per una sfera con centro nell’origine degli assi, ogni sezione con un piano parallelo al
piano X-Y individuato in altezza dalla coordinata Z, è un cerchio di raggio decrescente mano a
mano il valore della coordinata Z si avvicina al valore del raggio r.
Tutti i punti appartenenti al piano di una qualsiasi delle sezioni circolari così ottenute sono quindi
caratterizzati dallo stesso valore z, ma, solo quelli situati sul perimetro del cerchio appartengono
contemporaneamente al piano e alla sfera.
Potremo dire quindi che per un determinato valore di z cui corrisponde una sezione circolare di
raggio R le altre coordinate X e Y dovranno soddisfare alla seguente relazione:

222
Ryx +

103
Per cui le terne di coordinate che individuano punti sulla sfera saranno sicuramente del tipo:
?
?
?
?
?
?
z;xRy;x
22

Figura 47

Tornando alla funzione supponiamo ora spostare di un breve tratto la posizione del punto 1
individuando così una nuova posizione 2.
Per detta nuova posizione il valore della funzione sarà
2
Unon troppo dissimile da
1
U.
Il piccolo spostamento potrebbe essere indicato da incrementi piccolissimi delle coordinate che,
proprio in virtù del fatto di essere unidirezionali, possono esser considerati vettori paralleli agli assi
principali.

Per cui si avrà:
xixx
12
D?+
yjyy
12
D?+
zkzz
12
D?+

Con:
i Vettore unitario diretto secondo l’asse principale X
j Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Y
z Vettore unitario diretto secondo l’asse principale Z
z,y,x DDD Incrementi numerici

Il nuovo valore restituito dalla funzione f secondo le nuove variabili, sarà indicato con:

( )( )( )> @zz;yy;xxfU
1112
D+D+D+

Utilizzando la funzione presa a titolo di puro esempio:
( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
12
zz
3
4
yy7xx4U D+?+D+?+D+?

104
( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
zzz2z
3
4
yyy2y7xxx2x4U D+D??+?+D+D??+?+D+D??+?

La differenza tra il nuovo valore
2
U ed il precedente valore
1
U è quindi data da:
( ) ( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?+?+?
D+D??+?+D+D??+?+D+D??+?
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
112
z
3
4
y7x4
zzz2z
3
4
yyy2y7xxx2x4UU

Da cui si ottiene:
2
1
2
1
2
1
z
3
4
zz
3
8
y7yy14x4xx8U D?+D??+D?+D??+D?+D?? D
Se si considera poi che, per ipotesi, gli incrementi sono piccoli, allora è possibile pensare
trascurabili i rispettivi quadrati (infinitesimi di ordine superiore) e riscrivere dunque la variazione
UDnel modo seguente:

zz
3
8
yy14xx8U
111
D??+D??+D?? D
D’altra parte i termini
111
z
3
8
,y14,x8 ??? altro non sono che le derivate prime parziali della
funzione ( )z;y;xfU rispetto alle relative variabili, cioè:
1
12
222
x8x42
x
z
3
4
y7x4
x
f
? ??
w
?
?
?
?
?
?
?+?+?w

w
w

nel punto
1
x
1
12
222
y14y72
y
z
3
4
y7x4
y
f
? ??
w
?
?
?
?
?
?
?+?+?w

w
w

nel punto
1
y

1
12
222
y
3
8
z
3
4
2
z
z
3
4
y7x4
z
f
? ??
w
?
?
?
?
?
?
?+?+?w

w
w

nel punto
1
z
Mentre gli incrementi z,y,x DDD possono essere intesi come le componenti di un vettore
spostamento indicato dalla distanza orientata la posizione del punto 1 e del punto 2:
kzjyixr ?D+?D+?D D
La variazione della funzione U potrà essere riscritta nel modo seguente:
z
z
U
y
y
U
x
x
U
U D??
?
?
?
?
?
w
w
+D?
?
?
?
?
?
?
?
?
w
w
+D??
?
?
?
?
?
w
w
D
r
z
U
y
U
x
U
U ??
?
?
?
?
?
w
w
+
?
?
?
?
?
?
?
?
w
w
+?
?
?
?
?
?
w
w
D

Le derivate parziali della funzione sono le componenti secondo gli assi principali di un vettore
definito “GRADIENTE DI U” che indichiamo con “grad U”.
Quindi la variazione UD di una grandezza scalare U può pensarsi ottenuto come risultato di un
prodotto scalare tra due vettori.

Come è risaputo la caratteristica essenziale di un prodotto scalare tra vettori comunque diretti è che
il risultato non è più un vettore ma uno scalare.
Quindi:

105

rUgradU ? D

IL GRADIENTE DELLA FUNZIONE E LA SUPERFICIE EQUIPOTENZIALE
Ora vediamo il significato del nuovo vettore “grad U”.
Supponendo che il punto 1 e il punto 2 siano posizionati su una superficie del livello sarà
ovviamente nulla la variazione della funzione U.
Si avrà dunque:

0U D

A titolo d’esempio possiamo utilizzare la definizione di superficie di livello per un campo radiale e
quella di campo elettrico radiale:
x La superficie di livello di un campo elettrico radiale è una sfera. Su tutti i punti della sfera il
campo elettrico è un vettore di modulo costante e direzione secondo la congiungente del
punto al centro ove è situata la carica generatrice.
La superficie della sfera e il vettore campo elettrico sono sempre perpendicolari.
Considerando un piccolo spostamento sulla superficie della sfera, l’inclinazione del vettore
campo elettrico subisce una variazione trascurabile per cui la differenza vettoriale tra il
campo elettrico dei due punti è anch’essa trascurabile cioè circa zero:

Ma il prodotto scalare tra due vettori qualsiasi di modulo diverso da zero, è nullo solo nel caso in
cui l’angolo formato tra i vettori sia di 90°.
Ricordiamo a questo proposito la definizione di lavoro meccanico:

()a?? ? cosSFSFL Prodotto scalare

Il lavoro meccanico è nullo se la forza e lo spostamento sono perpendicolari cioè se l’angolo
formato dalle direzioni dei vettori F e S vale 90° ?
?
?
?
?
?p
rad
2
.
Ma, d’altra parte, se lo spostamento infinitesimo è stato tale da mantenere il nuovo punto sulla
superficie di livello, allora sicuramente il vettore r deve essere parallelo alla superficie stessa.
Si giunge così alla conclusione che, relativamente alla superficie di livello o equipotenziale, il
vettore definito “gradiente di U” è sicuramente perpendicolare alla superficie di livello o, il che è lo
stesso, che le linee di flusso del vettore “grad U” devono essere ortogonali alla superficie di livello
del campo scalare U.

106
P
1
P
2
grad U
r
U
1
U
1
U
1
U
1
U
1U
1 U
1
Superficie di livello

Figura 48 – GRADIENTE PERPENDICOLARE ALLA SUPERFI CIE DI LIVELLO

DERIVATA DIREZIONALE DELLA FUNZIONE U RISPETTO ALLA NORMALE:
Consideriamo ora il caso in cui lo spostamento tra il punto 1 e il punto 2 avviene in direzione
perpendicolare alla superficie di livello, ovvero, parallelamente alle linee di flusso del campo.
In questo caso il vettore spostamento infinitesimo è perpendicolare alla superficie e può essere
indicato con:
nr

La conseguente variazione della funzione U è quindi data da:

nUgradU ? D

Avendo stabilito precedentemente che, nel caso di una superficie di livello, il vettore grad U è
parallelo alla normale alla superficie, è ora evidente che i due vettori sono paralleli, l’angolo
formato è nullo e, di conseguenza, valore del coseno è pari all’unità.
In questo caso il prodotto scalare è uguale alla semplice moltiplicazione algebrica dell’intensità dei
vettori, quindi:

nUgradU ? D
Da cui si ottiene:
Ugrad
n
U

D

Cioè il modulo del vettore Ugradrappresenta fisicamente la variazione della funzione U per uno
spostamento unitario nella direzione perpendicolare alla superficie di livello, ovvero, per uno
spostamento unitario in direzione della linea di flusso passante in quel punto.

107
P
1
P
2
grad U
n
U
1
U
1
U
1
U
1
U
1U
1 U
1
Superficie di livello
LINEA DI FLUSSO

Figura 49 – SPOSTAMENTO PARALLELO ALLA LINE DI FLUSSO

IL FLUSSO DEL VETTORE CAMPO ELETTRICO
Supponiamo ora di inserire nel campo elettrico, presente nella regione di spazio che ci interessa,
una superficie SDqualsiasi, di area infinitamente piccola AD racchiusa all’interno di una linea
chiusa.
Potendo scegliere sia il tipo di campo elettrico che la forma della superficie decidiamo di disporre
una superficie piana racchiusa all’interno di un quadrato di lato lD, all’interno di un campo
elettrico Euniforme generato da due lastre cariche di segno contrario (condensatore elettrostatico).
Nello spazio compreso tra le due lastre il vettore campo elettrico E, indipendentemente dal punto
preso in esame, è costante sia in modulo che in direzione.
La direzione è quella perpendicolare al piano delle lastre ed il verso del vettore E è orientato dalla
lastra positiva a quella negativa.
Pur non essendo indispensabile, possiamo immaginare che i lati della linea chiusa di forma quadrata
siano costituiti da un filo sottile e rigido convenientemente piegato.
Sulla mezzeria di due lati contrapposti si potrebbe immaginare la presenza di due perni sporgenti,
anch’essi di filo rigido, da utilizzare dall’esterno per provocare la rotazione della superficie attorno
all’asse dei perni.
Considerando che la superficie quadrata di cui si parla può essere intesa solo virtualmente presente,
la sua raffigurazione materiale rappresenta solo un artificio da utilizzarsi per visualizzare
concretamente le procedure che seguiranno.
Supponiamo inoltre che tale superficie quadrata sia caratterizzata da uno spessore infinitesimo in
modo da poter individuare materialmente la presenza di due facce diametralmente opposte.
Per esempio si potrebbe pensare, come spessore, lo stesso diametro del filo.
Inoltre, su una delle due facce quadrate, dobbiamo pensare alla presenza di un vettore n, solidale
con la superficie stessa, applicato nel baricentro e ad essa perpendicolare.
Il modulo del vettore n sarà rappresentato numericamente dall’area AD della superficie e si
intenderà, come verso positivo, quello rivolto all’esterno.
Dopo aver scelto il verso positivo del vettore n è da intendersi fissato in modo univoco anche il
verso di rotazione positivo lungo il perimetro della superficie (si intende, con il termine rotazione, il
modo di percorrere i lati del quadrato).

108
A questo scopo è da ritenersi applicata seguente la regola “dell’uomo di AMPERE”:
x Con la superficie disposta su un piano orizzontale ed il vettore n rivolto in verticale verso
l’alto, un osservatore si colloca con i piedi nel baricentro in modo da farsi idealmente
attraversare, dai piedi verso la testa, dal vettore n.
Per tale osservatore il verso positivo di percorrenza del perimetro della superficie è da
intendersi quello antiorario.
-
+
E
E
E
E
E
E
E
+ -
E
E
E
E
E
E
E
E
E

Figura 50 – CAMPO ELETTRICO UNIFORME TRA LE LASTRE

+
-
n= A
E
E
Perno
Perno
A
Senso pos. antior.
S
Campo elettrico
Linee di flusso
Asse di rotazione
E
E
E
E
E
Faccia positiva
Faccia negativa

Figura 51 – ELEMENTO SD DI SUPERFICIE AD CON NORMALE n

109
La rotazione attorno all’asse del perno dispone l’elemento di superficie SD e il vettore normale n
ad esso collegato rigidamente in modo da formare un angolo M con la direzione costante del campo
elettrico E.
Il valore dell’angolo M è evidentemente una funzione della velocità angolare Z con la quale
l’elemento ruota e del tempo t.
tf2t
T
2
t ??p? ?
p?
?Z M ( )rad
Con:
T Periodo ()s
f Frequenza () ()Hzs
1
??

Da notare che il valore dell’angolo M è quindi da intendersi espresso in radianti.
Partendo da una posizione iniziale di riferimento alla quale corrisponde un valore nullo dell’angolo
M con la normale n e la direzione del campo E tra loro paralleli e concordi (e l’area AD
attraversata perpendicolarmente dal massimo numero di linee di flusso del campo) e supponendo
che l’elemento inizi a ruotare attorno all’asse del perno con velocità angolare costante, risulta
evidente che la proiezione dell’area nella direzione perpendicolare al campo subisce variazioni
rispetto alla situazione iniziale.
Da notare che, agli effetti pratici, la rotazione dell’elemento di superficie può benissimo essere
sostituito con una corrispondente rotazione del dispositivo (condensatore) che genera il campo
elettrico.
In questo caso è il campo elettrico che ruota, mentre l’elemento di superficie è immobile.
Oppure si potrebbe pensare a mantenere fermi sia l’elemento di superficie sia il condensatore,
variando, nel contempo, la quantità di carica sulle lastre e la polarizzazione.
Si tratterebbe, in questo caso, di un campo elettrico a direzione costante ma, di modulo e verso
variabili nel tempo.

In particolar modo sono evidenti e notevoli le seguenti condizioni:

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è nullo:
()rad0 M
La superficie è perpendicolare al campo elettrico che, quindi, l’attraversa nel verso concorde
alla normale (entra cioè nella faccia negativa ed esce dalla faccia positiva)

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 90° (rad
2
p
):
()rad
2
p
M
Il vettore campo elettrico è perpendicolare al vettore normale, la superficie è quindi parallela
o tangente alle line di flusso.
La proiezione dell’area AD nel piano perpendicolare al campo è nulla.
Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nullo.
La superficie laterale di un tubo di flusso ne è l’esempio tipico, il vettore campo è sempre
tangente.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 180° (radp):
()radp M
Ora la superficie è nuovamente perpendicolare alla direzione del campo, ma, la normale n
ha verso discorde con il vettore campo.

110
Il numero di linee di flusso passanti attraverso la superficie è nuovamente massimo, ma le
linee entrano attraverso la superficie positiva ed escono dalla superficie negativa.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 270° (radp):
()rad
2
3p?
M
E’ una situazione corrispondente a quella con angolo è M90.
La proiezione dell’area nel piano perpendicolare al campo è nulla. Il campo non attraversa la
superficie.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è pari a 360° (2radp):
E’ la situazione che ripete quella di partenza.

L’angolo formato dal vettore Normale e dal vettore campo elettrico è un angolo qualsiasi di
valore compreso tra 0° e 360°, funzione della velocità angolare e del tempo:
t?Z M
La proiezione dell’area sul piano perpendicolare al campo dipende dall’angolo ed è definita
dalla seguente relazione:
()
() () ()M? ?Z?D M?D D
A
cosntcosAcosAA
E

Il numero di linee che attraversano la proiezione della superficie diminuisce od aumenta in
funzione dell’angolo.
Inoltre dal valore dell’angolo dipende anche il tipo di faccia attraverso cui il campo entra ed
esce.
+
-
n= A
E
E
E
E
E
E
E
E E
+
-
E
E
E
E
E
E E
90°
M qq M q
Flusso massimo positivo Flusso nullo
A
n= A
A

Figura 52 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE

111
+
-
n= A
E
E
E
E
E
E
E E
+
-
E
E
n= A
E
E
E E
90°
M q M q
Flusso massimo positivo
Flusso nullo
180°
n= A
A
A

Figura 53 – VARIAZIONE DELL’ANGOLO PER ROTAZIONE DELLA SUPERFICIE

+
-
M Zt
Flusso variabile
Acos ( )M
M Zt
M
M
a
E
a
A
n= A
E
M
sen( )
M
E
E =
n
co s ( )
M
E =
n
E

Figura 54 – ANGOLO QUALSIASI PER ROTAZIONE DI SD

In base alle considerazioni fatte, è definita una nuova grandezza fisica, di tipo scalare, ottenuta dalla
moltiplicazione scalare (prodotto scalare) del vettore campo elettrico E e del vettore normale n
rappresentativo sia del valore dell’area AD sia della sua inclinazione M rispetto al campo.

() ( )tcosAEcosAEnE ?Z?D? M?D? ? DF

112
Tale grandezza è definita “FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO” attraverso la superficie
elementare SD.

Si noti come la relazione che permette di determinare il flusso del campo elettrico, potendo essere
scritta in modi diversi, si presta a interpretazioni diverse:

()> @M?D? DF cosAE
Con:
()M?D cosA Area apparente della superficie SD proiettata sul piano della lastra

()> @AcosE D?M? MD
Con:
()M?cosE Componente del vettore campo perpendicolare alla superficie
SD oppure parallela al vettore n

Le unità di misura della grandezza Flusso del campo elettrico si ricavano dalla relazione:

() ()M?D??
?
?
?
?
?
DF cosmA
C
N
E
2

C
mN
2
?
?
Oppure, anticipando la definizione dell’unità di misura della corrente elettrica (Sistema
Internazionale):
() ()M?D??
?
?
?
?
?
?
DF cosmA
sA
N
E
2

sA
mJ
sA
mN
2
?
?

?
?
?

Mentre, con la definizione di Potenziale elettrostatico (vedere oltre), il flusso è misurato con:
()
()
( )()VVo lt
Cq
JW
V ???? Potenziale elettrostatico
() ()M?D??
?
?
?
?
?
DF cosmA
C
N
E
2
mV
C
mJ
C
mN
2
????
?
?
?
?
Stabilito che sia il valore della velocità angolare Z e quello del campo elettrico (supposto
uniforme), allora la variazione del flusso del campo deve seguire una legge sinusoidale in funzione
della variazione del coseno dell’angolo tenendo comunque conto del fatto che, in corrispondenza
dei valori dell’angolo pari a 0° e 180°, si ha il massimo flusso positivo ed il massimo flusso
negativo.

113
FD
M
F
Max
F
Max

+
0 p/2
p
3/2p
2p

F
Max
T/2T/40
+
F
Max
FD
T3/2T
C
N m
2
C
N m
2
t (s)
(rad)

Figura 55 – RAPPRESENTAZIONE SINUSOIDALE D EL FLUSSO DF

FLUSSO DI UN CAMPO ELETTRICO VARIABILE SU SUPERFICIE ESTESA
INTEGRALE DI SUPERFICIE

Se il campo elettrico è variabile, sia in modulo che direzione, nella regione di spazio ove è collocata
una superficie S, non infinitesima, allora il flusso del campo è complessivamente dato dalla somma,
estesa a tutta la superficie, dei valori assunti dal vettore campo elettrico nei baricentri delle aree
infinitesime in cui è possibile suddividere la superficie totale, moltiplicati scalarmene per i relativi
vettori normali alla superficie infinitesima di competenza.
n
1
1E
2
n
2E
3
n
E
3
4
n
4
1
M
2
3M
4M
E
S
M
1
DS
DS
2
SD
4
DS
3

Figura 56 – CAMPO E VETTORE n VARIABILI – INTEGRALE DI SUPERFICIE

Cioè in altri termini:

n321TOT
.............DF++DF+DF+DF F

114

Con:
()
111111
cosSEnE M?D? ? DF

Per cui il flusso totale attraverso la superficie S sarà dato dalla sommatoria ovvero
dall’integrale del prodotto scalare esteso a tutta la superficie S:

“? ?? F

S
ni
ni
1i
iTOT
dAEnE

D’altra parte, supponendo di essere a conoscenza delle componenti rispetto agli assi principali di un
sistema cartesiano, sia dei vari vettori campo elettrico sia dei vettori normali alle superfici
infinitesime, si potrà anche adottare la seguente forma di relazione:

( ) ( ) ( )yxEzxEzyE
zyx
D?D?+D?D?+D?D? DF
zzyyxx
nEnEnE ?+?+? DF

Con il seguente significato dei termini:
zyx
E;E;E Componenti del vettore E nel punto considerato rispetto a X,Y,Z
x
nzy D?D Componente
x
n del vettore normale, corrispondente alla
proiezione della superficie elementare interessata sul piano YZ
y
nzx D?D Componente
y
n del vettore normale, corrispondente alla proiezione
della superficie elementare interessata sul piano XZ
z
nyx D?D Componente
z
n del vettore normale, corrispondente alla proiezione
della superficie elementare interessata sul piano XY

Per cui il flusso totale:
( ) ( ) ( )> @ ...........yxEzxEzyE
1z11y11x1TOT
+D?D?+D?D?+D?D? F

Oppure con l’integrale:

“?+“?+“? F
xyyz
S
xyz
Sx z
xzy
S
yzxTOT
dSEdSEdSE

115
LEGGE DI GAUSS

E’ una legge di carattere generale con cui è possibile determinare il flusso del vettore campo
elettrico attraverso ad una superficie chiusa di forma qualsiasi contente una carica elettrica di valore
noto.
La carica elettrica può essere costituita da una o più cariche puntiformi oppure da una distribuzione
lineare, superficiale o volumica, uniforme o non uniforme.
La superficie che si prende in esame è detta “Superficie GAUSSIANA” ed è, praticamente
costituita dall’area delle pareti laterali del solido virtuale contenuto al suo interno.
Il solido avrà una forma qualsiasi, anche se, solitamente, si preferisce utilizzare volumi semplici
quali la sfera, il cubo, il cilindro, caratterizzati dalla possibilità di determinare facilmente l’area
delle pareti laterali che li racchiudono e dalla presenza di assi di simmetria.
Se, ad esempio, si prendesse in esame il volume di una patata, allora la “superficie Gaussiana”
sarebbe rappresentata dal sottile strato esterno che la riveste.
Allo scopo di semplificare al massimo le argomentazioni che conducono alla Legge di Gauss,
occorre prendere inizialmente in esame il caso più semplice di campo elettrico e superficie
Gaussiana e cioè il campo elettrico radiale generato da un’unica carica puntiforme, ad esempio
positiva, unitamente ad una superficie sferica di raggio R il cui centro è collocato esattamente nel
baricentro della carica puntiforme.

CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI COINCIDENTI
In ogni punto appartenente alla superficie sferica, il modulo del vettore campo elettrico generato
dalla carica puntiforme ha lo stesso valore.
Esso è determinato dal rapporto tra la forza elettrica
e
F generata dal campo radiale su una carica
esploratrice q posizionata in un punto della superficie sferica ed il valore dalla stessa carica
esploratrice:

q
R4
qQ
q
F
E
2
e ?e?p?
?

??
2
R
1
4
Q
E ?
e?p?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
m
V
C
N

Supponendo di suddividere la superficie sferica in un numero elevatissimo di elementi superficiali
di area SD, nel baricentro di ognuno dei quali passa la retta direttrice del campo elettrico, risulta
abbastanza evidente (per definizione di campo radiale e superficie sferica) affermare che il vettore
campo elettrico E e la perpendicolare n alla superficie dell’elemento SD, sono paralleli, anzi
sovrapposti.
Inoltre, dato che il campo è generato da una carica puntiforme positiva, i vettori E ed n hanno lo
stesso verso.

116
y
z
E
DS
Q
E
n
DS
x

Figura 57 – FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO RADIALE ATTRAVERSO UNA SFERA

Con questi presupposti, il flusso del campo elettrico E attraverso la superficie sferica di riferimento
di raggio R è quindi un integrale di superficie esteso a tutti gli elementi infinitesimi costituenti
superficie della sfera.
Ragionando in termini di sommatoria di elementi piccolissimi ma finiti si ottiene, per il flusso totale
uscente dalla superficie sferica, la seguente relazione:

n321
...............DF+DF+DF+DF F
Con:
()
iiiin1
SEcosSEnE........ D? a?D? ì DF fD

Con:
E Modulo costante del vettore campo elettrico per tutti gli elementi ?
?
?
?
?
?
C
N

n Normale ad ogni elemento sempre parallela al vettore E in quel punto
SnD Modulo del vettore n pari al valore della superficie dell’elemento ()
2
m
è a0 Per vettori paralleli e concordi
()1cos a

Per cui:

( )
n21n21
S.......SSESE.......SESE D++D+D? D?++D?+D? F
?? ( )
n21
2
S.......SS
R4
Q
D++D+D??
?
?
?
?
?
?e?p?
F

117
D’altra parte, la sommatoria di tutti gli elementi finiti di superficie deve essere
necessariamente uguale alla superficie complessiva della sfera, che, come risaputo, dipende
dal raggio R in base alla relazione:

( )
2
n21
R4S.......SS ?p? D++D+D Superficie totale sfera di raggio R

Quindi, alla fine, indipendentemente dalla grandezza della sfera considerata, il flusso
uscente del campo elettrico è uguale a:

( )
e
?p???
?
?
?
?
?
?e?p?
F
Q
R4
R4
Q
2
2

e
F
Q
LEGGE DI GAUSS

Con:
Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussiana

La relazione tra il flusso uscente, il valore della carica interna e la costante dielettrica
assoluta del materiale in cui si manifesta il campo rappresenta la “LEGGE DI GAUSS”.

()
( )mVm
C
J
m
C
m
J
m
C
N
mN
C
C
22
2
2
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
…
…
…
…
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?F

Da notare che:
x Il valore numerico del flusso uscente è quindi indipendente dalle dimensioni della
superficie sferica presa come riferimento in quanto per superfici di raggio maggiore
corrisponde un decremento del campo (e viceversa).
x Come si vedrà di seguito, il valore del flusso uscente è anche indipendente dalla
forma della superficie gaussiana che si considera e dalla posizione della carica
generatrice del campo.

Se si pensa alla proprietà additiva del flusso elettrico in quanto grandezza scalare e se le
cariche contenute nella superficie sono più d’una, si ottiene la generalizzazione della
LEGGE DI GAUSS:

e
?

e
++
e
+
e
F++F+F F
QQ
.....
QQ
...
N21
N21T

CAMPO RADIALE E SFERA GAUSSIANA CON CENTRI NON COINCIDENTI
Si intende ora dimostrare che, anche nel caso di un campo radiale generato da una sola carica e di
una superficie gaussiana sferica con centro non coincidente con la posizione della carica, continua
ad essere valida la LEGGE DI GAUSS come prima esposta.

118
DS
y
x
E
n
1
1
n
2E
a
1a
S
1
D cos ( )a
1
1
2
S
2
D
1
aD
2
cos ( )S 1
R2
1R
r
r
Q
a
1
1
a
r

Figura 58 – SUPERFICIE GAUSSIANA SFERICA SCENTRATA

La carica Q generatrice è interna alla superficie gaussiana di raggio r ma spostata rispetto al centro
della sfera.
Allo scopo di semplificare la dimostrazione si riduce la sfera ad una circonferenza nel piano x-y.
I tratti di circonferenza contrassegnati con
1
SD e
2
SD sono in realtà delle superfici inclinate
rispetto alle direzioni dei tre assi principali.
I vettori
1
ned
2
n, perpendicolari alle rispettive superfici, sono ovviamente paralleli al raggio della
circonferenza passante per i baricentri delle superfici stesse.
Anche in questo caso si immagina si suddividere la sfera in un numero elevatissimo di elementi
superficiali di area SDattraverso i cui baricentri passano sia la retta direttrice del vettore campo
elettrico sia la direzione della semiretta condotta dal centro della circonferenza.
Considerando il fatto che la carica non è posta nel centro, si conclude immediatamente che, per ogni
elemento superficiale di sfera, il vettore E ed il relativo vettore n sono ora inclinati, l’uno rispetto
all’altro, di angoli sempre diversi dall’angolo nullo.

119
DS
E
n
1
1
a
1a
1
1
r
a
1
D
1
S acos ( )
1

Figura 59 – PARTICOLARE DEL VETTORE CAMPO E DEL VETTORE NORMALE

Il flusso complessivamente uscente dalla superficie sferica gaussiana è ancora dato dalla
sommatoria, estesa a tutti gli elementi superficiali di area SD, dei flussi relativi ad ogni singolo
elemento.
Occorre però, diversamente dal caso precedente, tenere conto delle diverse inclinazioni.
Per cui:

n321
...............DF+DF+DF+DF F
Con:
()
()
1
R1111111
SEcosSEnE
A
D? a?D? ì DF

Con:
1
E Modulo (sempre variabile) del vettore campo elettrico
per tutti gli elementi
1
n Normale ad ogni elemento. Sempre parallela alla
direzione del raggio della sfera e orientata verso l’eterno.
1
SD Area dell’elemento superficiale di sfera
1
a Angolo formato dal vettore campo col vettore normale n
()
()
11R
cosSS
1
a?D D
A Area della superficie proiettata sul piano perpendicolare alla
direzione della distanza r

Per cui:

() () ()
nnn222111
cosSE........cosSEcosSE a?D?++a?D?+a?D? F

120
?? () ()
nn
2
n
11
2
1
cosS
r4
Q
........cosS
r4
Q
a?D?
?e?p?
++a?D?
?e?p?
F
??
() () ()
?
?
?
?
?
?
?
? a?D
++
a?D
+
a?D
?
e?p?
F
2
n
n2
2
2
22
2
1
11
r
cosS
..........
r
cosS
r
cosS
4
Q

Occorre adesso definire il concetto di angolo solido Z.
Si intende, per “angolo solido”, la parte di spazio contenuta in un cono che, con vertice nel centro di
una sfera di raggio r, intercetta sulla sfera stessa una calotta di superficie S.
L’unità di misura dell’angolo solido è definita “STERADIANTE” ed è così definita:

DEFINIZIONE DELLO STERADIANTE – UNITA’ DI MISURA DELL’ANGOLO SOLIDO
x L’angolo solido contenuto in un cono che intercetta su una sfera di raggio R una calotta
avente una superficie S uguale a
2
R, ha un valore di 1 Steradiante.

R
RS =
2
1 strd

Figura 60 – ANGOLO SOLIDO – STERADIANTE

Tenendo conto della definizione dell’unità di misura dell’angolo solido e del fatto che la
superficie di una sfera è data da:

2
R4S ?p?

Il numero di steradianti contenuti complessivamente nello spazio è dato da:
()strd4
R
R4
R
S
2
2
2
p?
?p?

Inoltre, supponendo di conoscere la superficie intercettata da un certo angolo solido Z
contenuto in un cono di raggio r, è possibile determinare il valore dell’angolo Z dal
rapporto:

121
2
r
S
Z

A titolo d’esempio si determina il valore dell’angolo solido contenuto in un cono di raggio
()m3r se la superficie intercettata è pari ( )
2
cm30S .
( )
()
()strd1033,3
m3
cm
m
10cm30
4
22
2
2
42

ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Z

Tornado ora sul calcolo del flusso, è possibile notare che esso è formato da un fattore comune
costante e da una sommatoria di rapporti tra aree e relativi quadrati delle distanze dalla carica
generatrice:
() () ()
?
?
?
?
?
?
?
? a?D
++
a?D
+
a?D
?
e?p?
F
2
n
n2
2
2
22
2
1
11
r
cosS
..........
r
cosS
r
cosS
4
Q

Con:
e?p?4
Q
Fattore costante
()
2
i
ìi
r
cosS a?D
Fattori variabili
D’altra parte i fattori variabili rappresentano proprio l’angolo solido sotto il quale le varie
superfici SDsono viste dalla carica generatrice Q:

() ()
ZD
D

a?D A
2
n
r
2
i
ìi
r
S
r
cosS
()strd

Per cui, se la superficie gaussiana è chiusa, la somma estesa a tutti gli angoli solidi relativi ad ogni
elemento superficiale, non può che essere pari all’angolo solido che sottende la superficie completa
della sfera, cioè:
() () ()
( ) ()strd4.....
r
cosS
..........
r
cosS
r
cosS
n21
2
n
n2
2
2
22
2
1
11
p? ZD++ZD+ZD
?
?
?
?
?
?
?
? a?D
++
a?D
+
a?D

Si conclude quindi che il flusso complessivamente uscente dalla superficie è pari a:

() () ()
?
?
?
?
?
?
?
? a?D
++
a?D
+
a?D
?
e?p?
F
2
n
n2
2
2
22
2
1
11
r
cosS
..........
r
cosS
r
cosS
4
Q

( )
e
p??
e?p?
ZD++ZD+ZD?
e?p?
F
Q
4
4
Q
..........
4
Q
n21 LEGGE DI GAUSS

Con:
Q Valore della sola carica interna alla superficie gaussiana

Tale risultato è perfettamente coincidente con il caso precedente ed è quindi dimostrato che, anche
nel caso in cui la carica generatrice sia posizionata in un luogo diverso dal centro della sfera la
LEGGE DI GAUSS continua ad essere valida.

E’ inoltre possibile concludere con alcune importanti osservazioni:

122
x La dimostrazione precedente procede e si conclude in modo perfettamente analogo anche
nel caso in cui la superficie gaussiana abbia una forma regolare qualsiasi (ad esempio un
cilindro, un cubo, un ellissoide o quant’altro) o un forma irregolare (ad esempio la forma di
una patata).
Una qualsiasi superficie chiusa è vista da un punto qualsiasi situato all’interno sotto un
angolo solido pari a ()strd4p? W
x Anche nel caso di una superficie gaussiana regolare o irregolare diversa dalla sfera e di
cariche interne comunque posizionate, vale il principio additivo del flusso del campo
elettrico:
e
?
F
Q

Con:
?Q Somma dei valori delle sole cariche (ognuna con il proprio segno)
interne alla superficie gaussiana
x Se le cariche generatrici del campo sono esterne alla superficie gaussiana il flusso uscente
dalla superficie è uguale al flusso entrante e, di conseguenza, è nullo il loro bilancio.
x La legge di Gauss è valida anche nel caso in cui le cariche interne siano di tipo distribuito
(lineari, superficiali o volumiche)

e
?l

e
?
F
LQ

e
?s
?
S

e
?r
?
V

Con:
l Distribuzione lineare ?
?
?
?
?
?
m
C

s Distribuzione superficiale ?
?
?
?
?
?
2
m
C

r Distribuzione volumica ?
?
?
?
?
?
3
m
C

Q
Q
Q
Q
1
2
3 4
F
1
Q
2
Q
3
Q
4
Q+++
e
2
Q
1
Q
Q
4
Q
3
SFERA CILINDRO
4
Q
21
+Q+Q Q
F
+
3
e
2
Q
1
Q
F
QQ+
1 2
e
ELLISSOIDE
1
Q
Q
3
Q
4
2
Q
4
Q
1
+QQ
F
+
3
e
SUP. QUALSIASI

Figura 61 – LEGGE DI GAUSS APPLICATA A SUPERFICI GAUSSIANE QUALSIASI

123

LEGGE DI GAUSS – CASO DI SIMMETRIA CILINDRICA – DENSITA’ LINEARE
Si tratta di determinare il valore del campo elettrico prodotto da una distribuzione lineare di carica
su un filamento rettilineo in un punto ad una determinata distanza z, misurata perpendicolarmente
all’asse del filamento stesso.
Il filamento è considerato infinitamente esteso.
La distribuzione lineare di carica è indicata con il simbolo l ed è misurata in ?
?
?
?
?
?
m
C
.
In virtù della simmetria verticale delle cariche sul filamento, come già visto con il metodo di
integrazione, in un punto qualsiasi dello spazio circostante si annullano le componenti del campo
parallele al filo ed il campo elettrico risultante non può che essere diretto radicalmente ed avere
intensità costante sulle circonferenze concentriche centrate sull’asse.
E1x
E2
1y
r
Ds
DQ
+
E
s
a
A
r3
r1 r2
E
1
E3
1E
FILO
+
2y
+
r
FILO CARICO
E
R
a
q
s
Ds
DQ
2E
E1
3E

Figura 62 – DISTRIBUZIONE LINEARE DI CARICA

Se si utilizza la Legge di Gauss e la definizione di flusso del campo elettrico considerando come
superficie chiusa un cilindro di raggio r ed altezza H con l’asse coincidente con l’asse del filo, si
ottengono i seguenti risultati:
e
?l

e
?
F
HQ
Legge di Gauss
( )Hr2ESE
rrr
??p?? ? F Definizione di flusso del campo

Il campo elettrico fluisce perpendicolarmente alla superficie laterale del cilindro ed il flusso
attraverso le due basi del cilindro è nullo in quanto il campo è parallelo d esse.
Combinando le due relazioni:
( )
e
?l
??p??
H
Hr2E
r
Si ottiene il valore del modulo del campo alla distanza r dall’asse:
r2Hr2
H
E
r
?e?p?
l

??e?p?
?l

Dimensionalmente:

124
()
( )mVm
C
J
C
m
J
C
N
mr
mN
C
2
m
C
E
2
2
r
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?
?
?
?
?
l

r
R
a
a
r
q
A
s
s
Ds
Ds
E1x
E
E1y
DQ
DQ
+
+
+
1
E2y
FILO CARICO
r1 r2
r3
3E
E2
3E
2E
1E
1E
FILO
H

Figura 63 – SUPERFICIE GAUSSIANA CILINDRICA

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA PIANA – DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI CARICA
Per la determinazione del campo elettrico generato da una distribuzione di carica posta sulla
superficie di una lamina piana infinitamente estesa (si tratta anche del caso limite di un disco
circolare di raggio infinitamente grande già trattato con il metodo d’integrazione) è possibile ancora
utilizzare la legge di Gauss e la definizione di flusso del campo.
Si ottiene in questo modo una notevole semplificazione dei calcoli rispetto al metodo
d’integrazione.
Si prendono in esame i due casi più rilevanti:
1. Carica distribuita su una sola lamina piana
2. Carica distribuita su due lamine piane, parallele e molto ravvicinate

UNA SOLA LAMINA PIANA SOTTILE ED ISOLANTE:
La carica Q è distribuita su una lamina piana infinita e si suppone di conoscere il valore della
densità di carica superficiale s.
Anche in questo caso, per ragioni di simmetria, sono nulle le componenti del campo elettrico
parallele al piano della lamina.
Il campo elettrico è quindi formato da linee di flusso perpendicolari al piano carico considerato
ed è quindi conveniente utilizzare, come superficie gaussiana, un cilindro che interseca il piano
stesso e il cui asse di simmetria è parallelo alle linee di forza.
In questo modo il flusso del campo attraverso le pareti laterali del cilindro risulta nullo, mentre,
è massimo attraverso le due basi di area
2
rA ?p :

2
r2ESE ?p?? ? F

125
Utilizzando la legge di Gauss e tenendo presente che la carica interna al cilindro gaussiano è
collocata sulla sezione di piano intersecata dal cilindro di raggio r, si ottiene:
( )
e
?p?s

e
?
F
2
rQ

Combinando le due relazioni si ricava il valore del campo in un punto prossimo al piano:
( )
2
2
r2E
r
?p??
e
?p?s

??
e?
s

2
E

r
+
+
+
+
E
+
Carica interna
+
+ E
Asse simm.
+r
+
+
+
+
+
Cilindro gaussiano
+
+
+
s+
+
+
+

Figura 64 – LAMINA PIANA INFINITA

DUE LASTRE PIANE - SOTTILI E CONDUTTRICI:
Si supponga ora di caricare elettricamente una lastra sottile di materiale conduttore con la stessa
carica fornita nel caso precedente alla lamina di materiale isolante.
Si può pensare che tale carica si distribuisca immediatamente ed in modo uniforme sulle due
facce della lastra dando luogo ad una densità di carica su ogni faccia pari alla metà della densità
di carica precedente:
2
1
s
s Densità di carica relativa ad una faccia della lastra
Il campo elettrico contenuto nello spessore della lastra deve essere necessariamente nullo in
quanto risultante della somma dei due campi prodotti dalle cariche sulle superfici esterne.
Inoltre è possibile pensare al fatto che, se non fosse nullo, eserciterebbe forze elettrostatiche
sugli elettroni di conduzione interni costringendoli a muoversi all’interno del conduttore
modificando le densità di carica originali.
Si potrebbe ancora utilizzare la legge di Gauss e una superficie di riferimento cilindrica con
l’asse perpendicolare al piano della lastra, una base esterna alla lastra e l’altra interna contenuta
nello spessore della lastra.
Ovviamente tale ipotesi è applicabile in modo simmetrico per le due facce della lastra.
Ancora ragioni di simmetria ci permettono di ipotizzare la presenza di vettori campo elettrico
costituiti dalla sola componente perpendicolare ai piani.

126
Applicando la legge di Gauss ai due cilindri, simmetrici rispetto allo spessore della lastra e
tenendo conto dell’assenza di cariche interne al materiale, si otterrà, per entrambe le facce, il
valore del campo elettrico:
( )
( )
2
2
1
rE
rQ
?p?
e
?p?s

e
?
F
??
e?
s

e
s

2
E
1

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+ +
+
s
1 s/2
s s/2
1
EE
Cilindro gaussianoCilindro gaussiano
Carica interna
Carica interna
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
s/2 s
+
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Cilindro gaussiano
+
+
+
+
+
+
+
+
++
Carica interna
E
+
+
+
+
+
+
+
+
s/2
1s
E
Carica interna

Figura 65 – LASTRA PIANA DI MATERIALE CONDUTTORE

Nulla cambierebbe nel caso si decidesse di adottare un unico cilindro gaussiano contenente
entrambe le cariche superficiali, infatti:
( ) ( )
( )
2
2
1
2
1
r2E
rrQ
?p??
e
?p?s+?p?s

e
?
F
??
e?
s

e
s

2
E
1

Se ora, di fronte alla lastra caricata positivamente si suppone di porne un’altra uguale ma
caricata negativamente e con la stessa densità, risulta evidente che, per effetto dell’attrazione
coulombiana tra le cariche opposte, si manifesta un’azione in grado di provocarne la migrazione
sulle facce più ravvicinate.
In altre parole, le cariche situate sulle facce esterne si trasferiscono sulle rispettive facce interne
raddoppiando la densità di carica.
Le due lastre ravvicinate hanno quindi la capacità di “condensare” le cariche presenti in origine
su quattro facce solo su due.
Le due lastre parallele e ravvicinate sono dunque dei “condensatori” di carica.
Tornando al problema della determinazione del campo elettrico, si ha dunque una situazione
diversa dalla precedente.
Collocando un cilindro gaussiano tra le due lastre senza che esso le intersechi, risulta nulla la
carica interna ed è, di conseguenza, nullo anche il flusso del campo.
Ciò significa che il flusso entrante ed il flusso uscente dalle basi del cilindro sono uguali ed è
quindi il campo Etra le lastre deve essere uniforme.

127
Il campo prodotto dalla lastra positiva in un punto tra le lastre e quello prodotto dalla lastra
negativa nello stesso punto devono essere uguali.
Se infatti si utilizzano due cilindri gaussiani contenente ognuno le sole cariche della relativa
lastra, si ottiene:
( )
( )
2
2
r2E
rQ
?p??
e
?p?s

e
?
F
+
e?
s
+
2
E
1
( )
( )
2
2
r2E
rQ
?p??
e
?p?s

e
?
F

e?
s
+
2
E
1
e
s
+
21
EEE

Per il campo elettrico risultate tra le lastre, oltre ad essere uniforme per il motivo prima esposto,
ha un valore pari al doppio di quello generato da una sola lastra:

e
s
E Campo elettrico tra le lastre

+
+
+
+
s
E
Cilindro gaussiano
Carica interna
Carica interna
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
s
E
s
Q=0

Figura 66 – FLUSSO ENTRANTE UGUALE FLUSSO USCENTE - CAMPO UNIFORME

128
+
+
+
+
s
E
Cilindro gaussiano
Carica interna
Carica interna
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
s
s
Cilindro gaussiano
1
E
E
E
21E+
+E
1 2E

Figura 67 – CAMPO TRA LE LASTRE PARI AL DOPPIO DELLA LAST RA SINGOLA

Infine, per quanto riguarda lo spazio esterno alle lastre, applicando ancora la legge di Gauss alla
superficie di un cilindro gaussiana che taglia le due lastre e contiene sia la carica positiva che
negativa, si possono trarre le seguenti conclusioni:
x il flusso del campo attraverso il cilindro è nullo in quanto la somma delle cariche positive e
negative contenute in esso è pari a zero.
x Il campo generato dalle cariche all’interno delle lastre non attraversa alcuna superficie del
cilindro in quanto parallelo alle superfici laterali e per il fatto di essere limitato alle facce
interne del sistema.
x Il campo elettrico generato dalla carica positiva nelle regioni di spazio a destra e sinistra
delle facce esterne del sistema è uguale e contrario a quello generato, nelle stesse regioni di
spazio, dalla carica negativa.
x Il flusso attraverso il cilindro è quindi nullo non perché somma di uguali flussi positive e
negativi (entranti ed uscenti) ma per annullamento del campo elettrico.
x Le regioni di spazio esterne alle lastre sono quindi prive di campo elettrico

129
-
-
+
+
+
+
E
+
+
+
+
Cilindro gaussiano
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Cilindro gaussiano
s
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Carica interna
+s
Carica interna
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
s
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
EE
+
E
-
+
E
-
E
E
-
E
+
E
-
E
+

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – STRATO SFERICO DI CARICA
Una distribuzione di cariche, uniforme su uno strato sferico, genera un campo elettrico che ha le
seguenti proprietà:

Le particelle caricate elettricamente e poste esternamente allo strato sferico sono attratte o
respinte come se tutta la carica contenuta nello strato fosse concentrata nel centro dello
stesso.
Uno strato sferico si comporta dunque, nei confronti di altre cariche esterne, come se fosse
una carica puntiforme.

Lo strato sferico carico uniformemente non esercita alcuna forza elettrostatica su particelle
cariche poste al suo interno.
Il campo elettrico interno allo strato è dunque nullo.

Si suppone quindi di prendere in esame uno strato sferico, di raggio R e di spessore s trascurabile, in
cui è distribuita uniformemente la carica Q.
La densità di carica superficiale è data dal rapporto tra la carica totale e la superficie della sfera:
2
R4
Q
S
Q
?p?
s

Si utilizza ora la legge di Gauss applicata alle due superfici sferiche virtuali e concentriche aventi
raggio rispettivamente maggiore o minore di R.

130
R
r
r
Q
1S
1S

Figura 68 – STRATO SFERICO E SUPERFICI GAUSSIANE SFERICHE CONCENTRICHE

Per quanto riguarda la superficie gaussiana sferica di raggio minore del raggio dello strato,
l’applicazione della legge di Gauss ci consente di stabilire immediatamente che il campo elettrico
nei punti appartenenti alla superficie
1
Sdeve essere nullo.
Infatti sono nulle le cariche contenute all’interno, di conseguenza è nullo il flusso e se, per ipotesi,
si considerasse non nullo il campo, allora, vista la simmetria del problema, risulterebbe non nullo il
flusso.
Essendo falsa l’ipotesi si dovrà concludere che per avere flusso nullo dovrà sicuramente essere
nullo il campo.

Caso 1:
Rr?
?? 0Q
INTERNA

?? 0
Q
INTERNA
1

e
F
Ipotesi:
0Eò

Tesi:
0
1
òF In contrasto con la legge di Gauss

Conclusione: 0
1
F solo per 0E
Per quanto riguarda la superficie gaussiana avente raggio maggiore dello strato, applicando
nuovamente la legge di Gauss, otteniamo il seguente risultato:
Caso 1:
Rr?
?? QQ
INTERNA

??
e

e
F
QQ
INTERNA
1
E, di conseguenza, il campo elettrico sarà:

131

e
F ?
Q
SE
2
??
2
r4
Q
E
?e?p?

Cioè, in conclusione, il campo elettrico generato alla distanza r da uno strato di raggio R
( )Rr? è pari a quello generato, alla stessa distanza, da una carica puntiforme di valore
uguale a quella contenuta nello strato.

LEGGE DI GAUSS – SIMMETRIA SFERICA – VOLUME SFERICO DI CARICA
La carica elettrica potrebbe anche essere distribuita con densità volumica all’interno di una sfera di
raggio R.
Si potrebbe pensare di suddividere la sfera in un numero elevatissimo di strati sferici (come gli strati
di una cipolla) ad ognuno dei quali non sarebbe sbagliato applicare i risultati visti precedentemente.
La quantità di carica presente su ogni strato sarà considerata di tipo superficiale uniformemente
distribuita (come nel caso precedente), mentre, non è indispensabile che ogni strato sia
caratterizzato dalla stessa densità s.
Vale a dire che, per una distribuzione di carica continua entro un volume sferico, la densità s può
variare può essere variabile ma solo in funzione della distanza dello strato dal centro.
Ciò vuol anche dire che la densità volumica rrelativa alla distribuzione sferica complessiva non è
costante

Q
2S
1
2
Q
3
Q
4
Q
5
Q
1S
r
r
s
1
2S
S1

Figura 69 – CARICA VOLUMICA SFERICA
Per punti esterni alla distribuzione, applicando la legge di Gauss, vale quanto detto a proposito dello
strato sferico:

Il campo elettrico esterno è uguale a quello generato, alla stessa distanza, da una carica
puntiforme di valore pari alla somma di tutte le cariche presenti nella distribuzione sferica.

Per Rr?:

132
2
2
r4ESE
q
?p?? ?
e
?
F
Da cui:
2
r4
Q
E
?e?p?
?

Con:
nn2211n21
s.......ssQ.....QQQ ?s++?s+?s +++?

Per punti interni alla distribuzione sferica, quindi interni alla superficie
1
S, si può fare il seguente
ragionamento:

? Le cariche esterne a tale superficie non generano alcun campo elettrico sulla superficie
stessa
? Le cariche interne generano un campo elettrico uguale a quello che produrrebbe, nello stesso
punto, una carica puntiforme di valore uguale alla loro somma.

Quindi, per un punto interno alla distribuzione volumica, si avrà un campo di valore pari a:

2
INT
r4
Q
E
?e?p?
?

Ove la sommatoria deve essere estesa alle sole cariche contenute nella superficie interna.

TEOREMA DI COULOMB – DENSITA’ SUPERFICIALE E CAMPO ELETTRICO
Il teorema di Coulomb è derivato dall’applicazione della legge di Gauss e permette di determinare il
valore del campo elettrico prodotto sulla superficie di un conduttore elettricamente carico.
Occorre innanzi tutto definire le modalità con cui la carica elettrica si dispone in un conduttore di
forma qualsiasi.
A questo proposito è logico supporre che, durante il processo di trasferimento delle cariche
elettriche – ad esempio negative – al conduttore inizialmente neutro, queste ultime, causa la
repulsione reciproca, siano obbligate a posizionarsi nei punti estremi del conduttore stesso cioè, in
altre parole, sul sottilissimo strato che costituisce la superficie esterna.
Il trasferimento ed il riposizionamento degli elettroni avviene in tempi rapidissimi e, al termine del
processo di carica, possiamo facilmente immaginare una situazione elettrostatica consolidata senza
ulteriori movimenti delle cariche superficiali.
Questa semplice ipotesi ci permette di escludere, nella fase stazionaria successiva al processo di
carica, anche il movimento traslatorio degli elettroni sulla superficie e di giungere alla seguente
conclusione:

Le cariche elettriche si dispongono sulla superficie del conduttore e sono assoggettate ad
una forza elettrica necessariamente perpendicolare alla superficie nel punto considerato. Di
conseguenza saranno sottoposte all’azione di un campo elettrico di superficie orientato
anch’esso secondo la perpendicolare.

D’altra parte questa prima conclusione ci permette di affermare, in base a quanto già illustrato a
proposito dei campi elettrici, che:

Se in ogni punto della superficie il campo elettrico è perpendicolare, il contorno della
superficie stessa – considerata bidimensionale o tridimensionale – deve necessariamente
essere una superficie equipotenziale.

133

La legge di Gauss applicata allo strato superficiale carico ci permette inoltre di concludere che:

All’interno del conduttore il campo elettrico è nullo. Se così non fosse esso eserciterebbe
forze elettrostatiche sulle cariche libere costringendole a muoversi e variando così la fase
stazionaria ipotizzata.

Stabilito che la carica si distribuisce solo sulla superficie esterna del conduttore e che, all’interno, il
campo elettrico è nullo, occorre valutare se la densità superficiale conseguente sia o meno uniforme
sulla superficie stessa.
Nel caso di conduttori sferici, ragioni di simmetria ci conducono ad affermare che non esiste alcun
motivo che comporti l’esistenza di parti di superficie con densità diversa.
In altre parole, su una superficie sferica le cariche si distribuiscono in modo regolare ed uniforme
dando luogo ad una densità di carica pari al rapporto tra la carica complessiva e la superficie della
sfera.
Per cui – solo per una sfera – si ha:
2
r4
Q
?p?
s

Per superfici qualsiasi – solitamente caratterizzate da contorni curvi senza discontinuità e con
raggio di curvatura variabile – stabilita che sia la quantità di carica complessivamente presente, la
densità superficiale di carica è inversamente proporzionale al raggio di curvatura.
Sulle superfici a curvatura minore si ha una concentrazione e una densità maggiore e viceversa.
Nei punti ove la curvatura presenta discontinuità – cuspidi o zone appuntite – si nota un aumento
così elevato della densità tale da provocare fenomeni di espulsione e/o polarizzazione delle
molecole d’aria circostanti la zona.
Nelle stesse zone il campo elettrico tende a valori elevatissimi.
-
-
--
--
- -
--
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
C
E
E
E
Costantes
E Costante
s
- -
4
- -
E
3E- -
-
-
--
-
2
2E
---
--- -
--
= Variabile s
= Variabile E
- -
1E
-
----
-- -
--
(M AX.)
1
s
s
5
-
-
--
-
-
-
-
--
-
s
-
-
s
-
-4
3-
Punta

Figura 70 – DENSITA’ COSTANTE E VARIABILE – SUPERFICI APPUNTITE

134
TEOREMA DI COULOMB

Dopo aver stabilito qualitativamente la variazione della densità superficiale di carica in base al
raggio di curvatura di una superficie qualsiasi, ci si propone di determinare quantitativamente il
valore del campo elettrico in una qualsiasi zona della superficie del conduttore ove è conosciuta la
densità superficiale.
A tale scopo è impiegata la legge di Gauss ad una superficie cilindrica con asse perpendicolare alla
superficie nel punto considerato.
Il cilindro, di raggio piccolissimo, interseca e taglia la superficie in modo tale da rimanerne in parte
all’esterno ed in parte all’interno.
Le cariche contenute nel cilindro sono collocate sulla superficie circolare intersecata in quel punto.
Il valore della carica interna dipende ovviamente dalla densità superficiale in quel punto cosicché
per le zone ad ampio raggio di curvatura si avranno meno cariche rispetto a zone più curvate.

s
2
3
s
4
s
5
s
E
1
1
s
2E
3E
4E
(M AX.)
Punta
Cilindri gaussiani
+++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
++
++++
+
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E
3
2r
PARTICOLARE
S
s3

Figura 71 – CILINDRO GAUSSIANO INFINITESIMO SUPERFICIALE

Applicando quindi la legge di Gauss al cilindro - tenendo conto che il campo elettrico interno è
nullo e quello superficiale è parallelo alle pareti laterali del cilindro - si ottiene:
e
?p?s
?p? F
2
2 r
rE
Con:
r Raggio del cilindro infinitesimo e della superficie circolare intersecata

Da cui si ricava il valore del campo elettrico superficiale nel punto considerato:

e
s
E TEOREMA DI COULOMB

135

FLUSSO USCENTE DA UNA SUPERFICIE CHIUSA
DIVERGENZA DEL CAMPO ELETTRICO
LEGGE DI GAUSS IN FORMA DIFFERENZIALE
Se la superficie è chiusa e racchiude al suo interno una parte del volume dello spazio ove è presente
il campo elettrico, l’area attraversata dal vettore campo è costituita dalle pareti laterali della figura
geometrica tridimensionale.
Si può trattare di una sfera, un cilindro, un cono oppure una figura qualsiasi.
Anche in questo caso si inizia a trattare il caso in cui la superficie sia di tipo elementare,
caratterizzata cioè, da dimensioni spaziali infinitesime.
Si può trattare, ad esempio, di un parallelepipedo o, ancor meglio, di un cubo le cui pareti laterali
sono uguali, parallele a due a due e disposte secondo direzioni perpendicolari che possono quindi
coincidere con gli assi principali del sistema di riferimento tridimensionale.
Si consideri, per l’appunto, un cubo inserito nel sistema di riferimento cartesiano in modo tale da
avere i lati z,y,x DDD paralleli agli assi cartesiani X,Y,Z.
La superficie esterna del cubo sarà quindi costituita da sei superfici quadrate, a due a due parallele,
rispettivamente di area zy;zx;yx D?DD?DD?D le cui normali (perpendicolari) coincidono
rispettivamente con le direzioni dell’asse Z, dell’asse Y e dell’asse X.
Anche in questo caso occorre immaginare che, ad ognuna di esse, sia possibile associare un vettore
perpendicolare n di modulo uguale all’area e con verso orientato dall’interno all’esterno del
volume.
Nel complesso le superfici laterali quadrate saranno quindi caratterizzate da sei vettori n diretti, a
due a due, parallelamente agli assi principali e di verso discorde.
Il senso positivo di percorrenza del perimetro di ogni superficie è stabilito dalla regola “dell’uomo
di Ampere”: guardando le facce della superficie dall’esterno del volume in modo che ogni vettore
n sia rivolto verso lo sguardo dell’osservatore, è stabilito positivo il verso di percorrenza del
perimetro osservato quello con senso antiorario.
Il campo elettrico E può essere uniforme o variabile e diretto secondo una direzione qualsiasi
individuabile dagli angoli formati dalle sue componenti principali
ZYX
E;E;E con i rispettivi piani
di riferimento YZ, XZ e XY.
Tali inclinazioni sono definiti “coseni direttori”.

136
n
n
*n
Y
DX
D
Y
Y
Z
X
*
DZ
X
n
X
XD
*n
Z
n
D
Y
Y
DZ
Z

Figura 72 – SUPERFICIE CUBICA INFINITESIMA

X
Y
Z
E
E
XZ
E
YZ
E
XY
E
X
Z
E
Z
E
X
E
E
Y
Y
E
Z
E
X
E
Y
E
DIRETTRICE DEL CAM PO
DIRETTRICE DEL CAM PO

Figura 73 – VETTORE E E SUOI COMPONENTI NELLO SPAZIO

Dopo aver definito la posizione e le caratteristiche geometriche e vettoriali della superficie cubica e
quelle del vettore campo elettrico, occorre ancora generalizzare, supponendo che la retta direttrice,

137
il modulo ed il verso del vettore campo E possano subire variazioni passando da un punto ad un
altro dello spazio.
Ciò significa che vettore campo elettrico nel baricentro di una faccia del cubo, potrebbe essere
diverso da quello presente sulla faccia diametralmente opposta.
Questo fatto non costituisce un reale problema se siamo in grado di determinare le componenti
ZYX
E;E;E del vettore in un punto qualsiasi della regione che ci interessa, per esempio, nei due
baricentri delle superfici zyDD caratterizzate dalle coordinate X e
I
X.
Ciò vale naturalmente anche per le altre quattro facce.
Se si considera, per l’appunto, le componenti parallele a X del campo elettrico, si può semplificare
la spiegazione limitando l’osservazione degli accadimenti, guardando dall’alto, cioè parallelamente
all’asse Z, quello che succede nel piano orizzontale XY.
X
Y
x x
E
x
I
E
x
I
I
E
x
E
x
Dx
Dy
DxyD
xn
n
x
I

Figura 74 – COMPONENTE VARIABILE
X
E DEL CAMPO ELETTRICO

Con queste considerazioni iniziali si tratta di determinare il flusso della componente
X
E del campo
elettrico uscente dalla superficie S, ove si considera per superficie S, l’insieme delle due facce del
cubo caratterizzate dai vettori normali Xn e
I
X
n.
Il modulo di n, uguale a quello di
I
n, ha un valore pari all’area delle rispettive superfici verticali
zyD?D , le direzioni sono, per entrambi, parallele a X, mentre, i versi sono opposti ed entrambi
uscenti quindi, per Xn si considera un verso negativo, positivo invece per
I
X
n.
Allora il flusso uscente del campo sarà la somma algebrica (si tratta di grandezze scalari) del flusso
entrante nell’area ( )zyD?D - da considerarsi negativo in quanto il vettore campo
X
E ed il vettore
normale
X
n sono discordi – e del flusso uscente dall’area ( )
I
zyD?D da considerarsi positivo in
quanto
I
X
E e
I
X
n sono concordi.

Per cui:

138

I
XXX.U
DF+DF DF

Con:
( )zyEnE
XXXX
D?D? ? DF
( )zyEnE
I
X
I
X
I
X
I
X
D?D?+ ? DF

Quindi:

( ) zyEE
X
I
XX.U
D?D? DF Flusso uscente del campo elettrico variabile

D’altra parte se si suppone che il vettore campo sia rappresentato da una funzione continua delle
coordinate dei punti dello spazio x, y, z , allora la variazione della componente parallela a X
risulterà uguale alla derivata parziale della funzione rispetto a tale direzione moltiplicata per la
variazione della coordinata X, cioè, in termini matematici:

( )
x
x
y,y,xE
EE
X
I
X
D?
w
w
+
??
( )
x
x
y,y,xE
EE
X
I
X
D?
w
w

La variazione può essere positiva, allora si tratterà effettivamente di flusso uscente, o
negativa, nel qual caso il flusso sarà da considerarsi entrante.
Supponiamo che sia positiva.

Allora, sostituendo, si ottiene:

( ) zyEE
X
I
XX.U
D?D? DF
??
( )
( )zyx
x
z,y,xE
X.U
D?D?D?
w
w
DF
??
( )
V
x
z,y,xE
X.U
D?
w
w
DF

Con:
Vzyx D D?D?D Volume infinitesimo contenuto nel cubo

Ragionando in modo analogo anche per le altre componenti del vettore campo, si ottengono,
naturalmente, le seguenti relazioni:

( )
V
y
z,y,xE
Y.U
D?
w
w
DF
( )
V
z
z,y,xE
Z.U
D?
w
w
DF

Quindi il flusso uscente totale dall’elemento di volume infinitesimo VD, sarà la somma algebrica
dei componenti:

( ) ( ) ( )
V
z
z,y,xE
y
z,y,xE
x
z,y,xE
T.U
D?
?
?
?
?
?
?
?
?
w
w
+
w
w
+
w
w
DF

139
Se, al limite, il volume racchiuso entro la superficie chiusa tende a ridursi sino ad un valore nullo, il
rapporto tra il flusso totale uscente e il volume tendente a zero è definito “DIVERGENZA DEL
CAMPO ELETTRICO” ed è indicato utilizzando la seguente simbologia:
Ediv
V
lim
U
0V
?
?
?
?
?
?
D
fD
?D

Occorre passare dagli incrementi finiti D a quelli infinitesimi d.

Quindi la divergenza del campo elettrico:

( ) ( ) ( )
z
z,y,xE
y
z,y,xE
x
z,y,xE
Ediv
w
w
+
w
w
+
w
w

Da cui si ottiene:

dVEdivd ? F

La divergenza, essendo in pratica costituita da incrementi direzionali delle componenti può scriversi
in forma vettoriale:

( ) ( ) ( )
z
z,y,xE
k
y
z,y,xE
j
x
z,y,xE
iEdiv
w
w
?+
w
w
?+
w
w
?

Mentre, in termini dimensionali, la divergenza è misurata con le seguenti unità di misura:

( )( )( ) ()( )
222
3211
m
V
mC
J
mC
mN
mC
N
mm
C
N
VSEVEdiv
?

?
?

?
???
?
?
?
?
?
?? ?F

Si giungerebbe alla stessa conclusione, anche se la superficie infinitesima considerata non avesse la
forma cubica ma forma qualsiasi con lati tendenti uniformemente al valore nullo.

Se ora si applica la legge di Gauss alla superficie chiusa laterale del cubo infinitesimo, supponendo
che in esso sia racchiusa una quantità di carica volumica di densità r, si ottiene la relazione:
e
D?r

e
?D
DF
VQ
T
Che, paragonata ed abbinata a quella precedente:
( ) ( ) ( )
V
z
z,y,xE
y
z,y,xE
x
z,y,xEV
D?
?
?
?
?
?
?
?
?
w
w
+
w
w
+
w
w

e
D?r

??
( ) ( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?
?
w
w
+
w
w
+
w
w

e
r
z
z,y,xE
y
z,y,xE
x
z,y,xE

??
e
r
Ediv Legge di Gauss in forma differenziale

140
RELAZIONE DI GAUSS – TEOREMA DELLA DIVERGENZA E FLUSSO DEL CAMPO

La relazione di Gauss permette di collegare il flusso totale del vettore campo elettrico attraverso
una superficie chiusa qualsiasi (quindi una sommatoria di flussi infinitesimi o integrale di
superficie) alla sommatoria di tutti i flussi uscenti da ciascun elemento di superficie chiusa
racchiudenti una porzione infinitesima del volume contento globalmente nella superficie chiusa.
Per la dimostrazione si suppone di inserire in una regione di spazio in cui è presente un campo
elettrico, una qualsiasi superficie chiusa contenente un volume confinato all’interno della superficie.
Supponiamo inoltre che il volume interno non contenga cavità non appartenenti al campo.
La superficie è posizionata nel solito sistema cartesiano di riferimento.
Y
Z
X

141

ESERCIZI
FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO – LEGGE DI GAUSS

Esercizio 1:
Una carica elettrica puntiforme ()C102,1Q
5
ì è immersa in un dielettrico di costante relativa
5,2
R
e . Determinare il campo elettrico da essa generato ad una distanza di 6 m.

Soluzione:
Applicando la legge di Gauss alla carica puntiforme e ad una superficie gaussiana sferica di raggio
pari alla distanza r, si ottiene (tenendo conto che il vettore campo e i vettori normali alla superficie
sferica sono sempre paralleli):

1SE?? F
R
QQ
e?e

e
F
F

Da cui:
R
2
R
r4
Q
S
Q
E
e?e??p?

?e?e

FF

Si noti come, dalla legge di Gauss, si è ottenuta la legge di Coulomb.
Sostituendo i valori noti si ricava evidentemente lo stesso risultato ottenuto in precedenza
(vedi esercizio già risolto):
()
()
?
?
?
?
?
?
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
ì

?e?e

F
C
N
102,1
5,2
mN
C
1085,8m64
C102,1
S
Q
E
3
2
2
122
5
R

Esercizio 2:
Determinare il flusso che attraversa una superficie ( )
2
cm25S immersa in un campo elettrico
uniforme di intensità ?
?
?
?
?
?

C
N
500E . Si supponga che la superficie sia:
x perpendicolare al campo
x parallela la campo
x inclinata di 45°
x inclinata di 225°

Soluzione:
Dalla relazione che esprime il flusso del campo elettrico:
()a?? ì F cosSEnE
Con:
ì Prodotto scalare
E Vettore campo elettrico
n Vettore normale alla superficie e orientato secondo la regola di Ampere
E Modulo del campo
S Superficie (pari al modulo del vettore n)
a Angolo formato dai due vettori (misura in senso antiorario a partire da vettori
paralleli e concordi)

142

Si ottiene:

Caso 1 – Superficie perpendicolare al campo:
è a0
è a180
() ( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
r a?? F

C
mN
m
C
mN
m
C
J
mV25,11
cm
m
10cm25
m
V
500cosSE
2
2
2
42
1

Caso 2 – Superficie parallela al campo:
è a90
è a270
() ( ) 00
cm
m
10cm25
m
V
500cosSE
2
2
42
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
a?? F

Il flusso è nullo in quanto il campo non attraversa la superfcie.

Caso 3 – Superficie e campo inclinati di 45°:
è a45
() ( ) ( )mV1083,8707,0
cm
m
10cm25
m
V
500cosSE
1
2
2
42
3
?ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
a?? F

Il flusso è positivo in quanto uscente dalla superficie.

Caso 4 – Superficie e campo inclinati di 225°:
è a225
() ( ) ( ) ( )mV1083,8707,0
cm
m
10cm25
m
V
500cosSE
1
2
2
42
4
?ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
a?? F

Il flusso è negativo in quanto entrante nella superficie.

143
D q
E E E
D q
n n
D q
E
D q
E
n
n
n n
E
D q
D q

Esercizio 3:
Determinare il flusso del campo elettrico generato da una carica puntiforme ()C103Q
4
ì
attraverso una superficie sferica di raggio r avente centro sulla carica stessa.

Soluzione:
Il flusso del campo elettrico attraverso ad una superficie gaussiana sferica contenente una carica
puntiforme Q è indipendente dalla forma e dalla posizione della carica in essa contenuta. Il flusso
attraverso alla sfera di raggio r è quindi uguale a quello che si otterrebbe utilizzando una sfera più
grande o più piccola o qualsiasi altra superficie chiusa diversa dalla sfera.
Anche se la carica fosse posizionata in un qualsiasi punto interno alla sfera o ad un’altra qualsiasi
superficie chiusa, non si avrebbe variazione del flusso.
Quindi, usando la legge di Gauss:
()
( )mVm
m
V
m
C
N
1039,3
mN
C
1085,8
C103Q
227
2
2
12
4
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì

e
F

F

Esercizio 4:
Un cubo di lato ()m4,1L è orientato con gli spigoli paralleli agli assi cartesiani di riferimento in
una regione in cui il campo elettrico è uniforme.
Si considerano i tre casi in cui il vettore campo elettrico è determinato dalle sue componenti:
? i6E
1

? j2E
2

? k4i3E
3
+
Si determini il flusso del campo attraverso la faccia più a destra nel caso dei tre campi elettrici
agenti singolarmente.

Soluzione:

144
E
1=6 x i X
Y
Z Z
E=-2 x j
2
X
Y
Z
E
3=-3 x i
X
Y
=4 x kE
3

Il flusso dei tre campi elettrici attraverso la faccia del cubo più a destra nel sistema di riferimento
indicato, è dato da:
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?? )
222
X11
m
C
N
76,11m4,1
C
N
61SE Uscente
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?? )
222
X22
m
C
N
0m4,1
C
N
01SE Nullo
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?? )
222
X33
m
C
N
88,5m4,1
C
N
31SE Entrante

Esercizio 5:
In un certo conduttore isolato, complessivamente scarico, è provocata una separazione di cariche,
per induzione con una bacchetta caricata positivamente posta nelle vicinanze.
Si determini il flusso attraverso le cinque superfici gaussiane mostrate in figura. Si supponga che le
cariche racchiuse in
1
S,
2
S ed
3
S siano uguali in intensità.

Soluzione:

145
S2S1
S3
S4
5S
+
+
+
+
-
-
-
+
+
+

Dalla legge di Gauss:
H
)
q
1 Uscente
H
)
q
2 Entrante
H
)
q
3 Uscente
0
4
)
H
)
q
5 Uscente

Esercizio 6:
Una carica puntiforme C108,1Q
6
u si trova al centro di una superficie gaussiana cubica di lato
pari a 55 cm. Determinare il flusso elettrico attraverso la superficie.

Soluzione:
Ancora con la legge di Gauss senza preoccuparci della dimensione della superficie cubica:

mV1003,2
mN
C
1085,8
C108,1Q
5
2
2
12
6
?u#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
u

H
)

)

146
Esercizio 7:
Il flusso elettrico netto attraverso ciascuna faccia di un cubo ha intensità pari a
N
C
mN
10
2
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
F in cui N è il numero progressivo che compare su ogni faccia del cubo. Per N
dispari il flusso è entrante, uscente per N pari.
Determinare la carica netta contenuta all’interno del cubo.

Soluzione:
Il flusso complessivo attraverso le sei facce del cubo, numerate da 1 a 6 è dato da:
( ) ?
?
?
?
?
?
?? ? ????+?+? F
233333333
m
C
N
10312910610410210510310110

La carica netta complessivamente presente (ottenuta eventualmente da una somma di cariche
opposte), è la seguente:
()C1066,2
mN
C
1085,8
C
mN
103Q
6
2
2
12
2
5
F
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
? e?F

Dato che la somma dei flussi è negativa si tratta di flusso entrante, quindi la carica netta interna
deve essere negativa.

Esercizio 8:
Una carica puntiforme +Q si trova ad una distanza
2
d
da una superficie quadrata di lato d ed è
proprio sopra al centro del quadrato. Si determini il flusso elettrico attraverso il quadrato.

Soluzione:
Dai dati elencati nel testo del problema si comprende che la carica è posta nel baricentro del cubo
che ha per facce proprio dei quadrati di lato d. Considerata la simmetria del problema e la legge di
Gauss, il flusso da determinare sarà uguale ad una sesta parte del flusso complessivamente uscente
dal cubo equivalente.
Per cui:
F
e
+
F
F
6
Q
6
)CUBO(T
Il flusso è uscente

Esercizio 9:
Il campo elettrico posto sulla superficie di un cilindro ha intensità pari a ?
?
?
?
?
?
ì
C
N
103,2E
5
.
Determinare la densità superficiale di carica sul cilindro supponendolo di materiale conduttore.
Soluzione:
E’ ancora utilizzata la legge di Gauss tenendo conto del fatto che la carica, uniformemente
distribuita sulla superficie del cilindro, sia in regime stazionario.
Se si pensa di intersecare una piccola superficie circolare posta sul cilindro conduttore con una
superficie gaussiana cilindrica con asse perpendicolare all’asse del cilindro reale e, tenendo conto
che il campo elettrico prodotto dalle cariche all’interno del cilindro conduttore deve essere nullo per

147
mantenere la situazione stazionaria, è possibile, utilizzando la legge di Gauss determinare il flusso
attraverso la superficie gaussiana.
Il campo elettrico fluisce esclusivamente attraverso la base del cilindro posta all’esterno, mentre è
nullo attraverso le pareti laterali e la base interna in quanto rispettivamente parallelo alle pareti e
nullo all’interno.
Perciò:
e
D? F
Q
SE
Con:
2
rS ?p D
2
rQ ?p?s
Si ottiene quindi:
2
2
rE
r
?p?
e
?p?s

??
e
s
E Teorema di Coulomb

?? e? sE

Sostituendo:
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
ì s

2
6
2
2
125
m
C
1004,2
mN
C
1085,8
C
N
103,2

r
E
E=0
Q = Ss
S E
E=0
sQ = S
r

Esercizio 10:
Una sfera conduttrice uniformemente carica ed avente raggio ()m2,1R , ha una densità di carica
superficiale ?
?
?
?
?
?
ì s

2
6
m
C
101,8 . Determinare la carica totale sulla sfera ed il flusso uscente dalla
superficie sferica gaussiana di raggio pari al raggio della sfera conduttrice.

Soluzione:
La carica complessivamente presente sulla superficie sferica è data da:

148
() ()C1046,1m2,14
m
C
101,8r4Q
422
2
6
ì ?p???
?
?
?
?
?
ì ?p??s

Il campo elettrico sulla superficie sferica:
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì

e
s

C
N
1029,1
mN
C
1085,8
m
C
1046,1
E
5
2
2
12
2
6

Il flusso uscente dalla superficie gaussiana sferica:
()
?
?
?
?
?
?
?ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì

e
F

27
2
2
12
4
m
C
N
1065,1
mN
C
1085,8
C1046,1Q

Esercizio 11:
Una distribuzione rettilinea di carica, infinitamente estesa, genera un campo elettrico
?
?
?
?
?
?
ì
m
V
105,4E
4
ad una distanza di 2 metri dall’asse. Si determini la densità lineare di carica.

Soluzione:
Il campo elettrico generato da una distribuzione di carica si può ottenere applicando la legge di
Gauss alla superficie di un cilindro gaussiano contenente la distribuzione di carica e di raggio pari
alla distanza ove è generato il campo elettrico noto.
Si ottiene, tenendo conto della simmetria:

HrE
H
2
??p?
e
?l
F

Da cui si ricava il valore della densità lineare:
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p??
?
?
?
?
?
ì ?e?p? l

mm
CV
105m2
mN
C
1085,8
m
V
105,4rE
2
622
2
2
1242

?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì l

m
C
m
C
C
N
mm
CV
105
22
6

Esercizio 12:
Il cilindro dell’esercizio 9 ha una lunghezza di 42 cm e un diametro di 12 cm. Tenendo conto che il
campo elettrico generato sulla superficie ha un valore ?
?
?
?
?
?
ì
C
N
103,2E
5
determinare la carica
complessivamente presente sul cilindro.
Se il cilindro fosse lungo 28 cm ed avesse un diametro di 8 cm e si intendesse mantenere il campo
elettrico prodotto pari al precedente, quale sarebbe la carica totale necessaria?

149
Soluzione:
Con il teorema di Coulomb si determina la densità superficiale:
F
e
s
E
?
?
?
?
?
?
ì#?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì e? s

F
2
65
2
2
12
m
C
102
C
N
103,2
mN
C
1085,8E

La carica complessivamente presente sul cilindro è:
( ) () () ()C102,3m42,0m06,02
m
C
102Hr2SQ
7
2
6
ì ??p???
?
?
?
?
?
? ??p??s ?s

Se si intende utilizzare un cilindro più piccolo mantenendo inalterato, non cambia la densità
superficiale, mentre la carica complessiva sarà:
( ) () () ()C104,1m28,0m04,02
m
C
102Hr2SQ
7
2
6
ì ??p???
?
?
?
?
?
? ??p??s ?s

Esercizio 13:
Un lungo tubo metallico avente parete sottile e raggio R ha una carica superficiale l espressa per
unità di lunghezza del tubo.
Si determini l’espressione del campo elettrico E nei seguenti casi:
In un punto esterno al tubo ad una distanza dall’asse pari a Rr?
In un punto interno al tubo ad una distanza dall’asse pari a Rr?
Si traccino i risultati da 0r a ()cm5r tenendo conto di ?
?
?
?
?
?
ì l

m
C
102
8
ed ()cm3R .

Soluzione.
Utilizzando una superficie gaussiana cilindrica coassiale con l’asse del tubo carico ed avente raggio
minore di quello del tubo stesso, unitamente alla legge di Gauss, si conclude immediatamente che il
campo elettrico nei punti interni al tubo (quindi per cm3r0 ?? ) è nullo.
Per punti situati sulla superficie del tubo (quindi per cm3r ) si può, ad esempio, utilizzare il
teorema di Coulomb tenendo conto della densità superficiale effettiva:
F
e
s
E
Con:
()
?
?
?
?
?
?
ì
?p?
?
?
?
?
?
?
ì

??p?
?l
s

2
7
8
m
C
101,1
m03,02
m
C
102
LR2
L
S
Q

Quindi:
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì
?
?
?
?
?
?
ì

C
N
102,1
mN
C
1085,8
m
C
101,1
E
4
2
2
12
2
7

Per punti situati all’esterno si utilizza ancora un cilindro gaussiana cor raggio maggiore del raggio
del tubo e la simmetria del problema:

150
FF
e
?l

e
??p?? ? F
LQ
Lr2ESE
Da cui si ottiene il valore del campo in funzione della distanza:
r
359
r
1
mN
C
1085,82
m
C
102
r2
E
2
2
12
8
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
?
?
?
?
?
?
ì

?e?p?
l

F

Si ottengono quindi i valori del campo per punti distanti da 3 cm a 5 cm dall’asse:
?
?
?
?
?
?
ì
C
N
102,1
03,0
359
E
4
CM3 Analogo a quello già calcolato
?
?
?
?
?
?
ì
C
N
101,7
05,0
359
E
3
CM5

R
L
r

Esercizio 14:
Una gocciolina d’olio che porta una carica ()C106,1q
19
ì e sospesa nell’aria, in equilibrio tra
due larghi piatti metallici orizzontali distanti tra loro 2 cm. Su tali piatti esistono due cariche
opposte distribuite, con densità uniforme s+ e s rispettivamente, con ?
?
?
?
?
?
s

2
7
m
C
10 .
Determinare la massa della gocciolina e l’accelerazione iniziale della gocciolina quando su di essa
la carica raddoppia, ferme restando le altre condizioni.

Soluzione:

151
+
-
EEE E EE E E
-
+
mg
2F
2q-
e
q
mg
eF
-

Dato che la gocciolina è caricata negativamente ed è attirata verso il basso dalla forza di gravità, è
necessario, per garantirne l’equilibrio, che la lastra caricata positivamente sia posizionata in alto
rispetto alla lastra negativa.
Stabilita la configurazione delle lastre occorre imporre le condizioni necessarie a mantenere sospesa
la gocciolina tra le due lastre.
Ciò accade, quando la forza elettrostatica generata sulla carica recata dalla goccia dalla presenza del
campo elettrico tra le due lastre è uguale e contraria alla forza gravitazionale:

qEFgm
e
? ?
Con:
m Massa della goccia ()kg
g Accelerazione gravitazionale ?
?
?
?
?
?
2
s
m
81,9
E campo elettrico tra le lastre
Q carica elettrica sulla goccia ()C

Il campo elettrico generato tra le lastre è la risultante del campo elettrico, rivolto verso il basso,
prodotto dalla lastra positiva e del campo elettrico, sempre rivolto verso il basso prodotto dalla
lastra negativa (il loro verso è stabilito dalla presenza di una carica esploratrice positiva).

Con il teorema di Coulomb è possibile determinare il campo prodotto da ogni lastra:
F
e?
s+

2
E
Y1
F
e?
s

2
E
Y2
??
F
e
s

Y
E
Quindi la condizione d’equilibrio:
qgm ?
e
s
?
F

152

Da cui si ricava il valore della massa della goccia:
()
()kg
m
s
s
m
kg
m
sN
1084,1
mN
C
1085,8
s
m
81,9
C106,1
m
C
10
g
q
m
2
2
2
16
2
2
12
2
19
2
7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?

e?
?s

F

Se raddoppia la carica sulla goccia, le condizioni d’equilibrio non sono più rispettate e, di
conseguenza si avrà un movimento accelerato verso l’alto caratterizzato da un’accelerazione
pari a:
am
q
qEF ?
e
?s
?
F

Da cui:
()
()
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?ì
ì??
?
?
?
?
?

e?
?s

F
2
2
2
1216
19
2
7
s
m
8,9
mN
C
1085,8kg1084,1
C106,1
m
C
10
m
q
a
L’accelerazione risultate sarà da considerare negativa in quanto diretta in verso
opposto all’accelerazione gravitazionale

Esercizio 15:
Una sfera di massa m, appesa ad un filo di lunghezza L, si trova tra due lastre piane aventi densità
di carica
1
s e
2
s , disposte una orizzontale l’altra verticale.
Determinare lo spostamento orizzontale e verticale della massa sapendo che la stessa possiede una
carica Q positiva. Trovare la relazione che deve sussistere tra le varie grandezze in modo che il filo
si disponga in posizione orizzontale.

Soluzione:

+
++
+
E
x
y
E
q
+
x
y
s
1
s
2
x
F
y
F
mg
mg
x
F
F
y
-
R
V
R
a
L
q
a

153

Le lastre piane cariche positivamente – supposte infinitamente estese ed isolanti - generano, nello
spazio circostante, due campi elettrici diretti perpendicolarmente alla rispettiva lastra.
I valori dei campi dipendono dalla densità superficiale di carica secondo la relazione:
F
e?
s

2
E
Per cui:
F
e?
s

2
E
1
X
F
e?
s

2
E
2
Y
I due campi esercitano, sulla sfera carica positivamente, le rispettive forze elettrostatiche dirette
orizzontalmente e verticalmente e di verso concorde ad essi:
F
e
?s
?
2
q
qEF
1
X
F
e
?s
?
2
q
qEF
2
Y

La sfera è quindi sottoposta all’azione di tre forze esterne, di cui, due verticali di verso discorde
(forza elettrostatica Fy e forza peso mg) ed una orizzontale (forza elettrostatica Fx). La risultante
complessiva è poi equilibrata dalla reazione vincolare esercita dal filo secondo la direzione della
risultante delle forze esterne e diretta in verso opposto.

La risultante delle forze esterne ha dunque un modulo pari a:

()( )
2
Y
2
X
2
FmgFF +

L’inclinazione della risultante e della reazione vincolare – rispetto l’asse y – è data da:

()
X
FsenF a?

E, per similitudine, la stessa inclinazione del filo:
()
L
x
sen a

?? ()
( )
2
Y
2
X
XX
FmgF
F
L
x
F
F
sen
+
a
??
( )
2
Y
2
X
X
FmgF
LF
x
+
?

Sostituendo all’espressione di
X
Fe
Y
F, si ottiene lo spostamento orizzontale x:

??
( )
2
Y
2
X
1
FmgF2
Lq
x
+?e?
??s

F

154
??
()
FFF
F
e?
?s
??
e?
?s
++
e?
?s
?e?
??s

2
q
mg2
4
q
mg
4
q
2
Lq
x
2
2
22
22
2
22
1
1

??
() q2mgqmg4q
Lq
x
2
22
2
2222
1
1
?s?e???s+?e?+?s
??s

FF

??
( )( )
2
1
2
2
1
qqmg2
Lq
x
?s+?s?e?
??s

F

Lo spostamento in verticale è ottenuto dallo spostamento orizzontale x con la relazione:

() ()> @a? a? cos1LcosLLy
?
?
?
?
?
?
a

L
x
sen
1

Inoltre il filo si disporrà orizzontalmente, quando la forza elettrica verticale sarà uguale e
contraria al peso della sfera:
mg
2
q
2

e?
?s
F
0qmg2
2
?s?e?
F
Cioè per:
q
mg2
2
?e?
s
F

In tali condizioni estreme lo spostamento x sarà ovviamente pari a L:
( )( )
2
1
2
2
1
qqmg2
Lq
x
?s+?s?e?
??s

F

??
( )
L
q
Lq
x
2
1
1

?s
??s

Esercizio 16:
Due cilindri metallici concentrici di raggio a e b, con ba?, sono caricati con la stessa densità
lineare per unità di lunghezza ma di segno opposto. Utilizzando la legge di Gauss si dimostri che il
campo elettrico è nullo all’interno del cilindro più piccolo e che vale
r2
1
E
l
?
e?p?

F
nella zona
compresa tra i due cilindri.

Soluzione:
Per un punto compreso nella zona interna al cilindro di raggio minore, passa una superficie
cilindrica gaussiana che non contiene cariche. Data la simmetria del problema si può affermare che
il flusso è nullo in quanto nullo il campo elettrico.
In un cilindro gaussiano di raggio r, compreso tra a e b, contiene la quantità di carica del cilindro
metallico più piccolo:

? ?l LQ

Per cui il flusso vale:
e
?l
??p?? ? F
L
Lr2ESE

155
Da cui si ottiene E:
r2
1
E
l
?
e?p?

Esercizio 17:
Su un lungo cilindro conduttore di lunghezza L, è presente una carica totale q positiva. Esso è
circondato da un guscio cilindrico conduttore (anch’esso di lunghezza L) su cui è presente una
carica totale 2q negativa. Si utilizzi la legge di Gauss per determinare:
x Il campo elettrico nei punti esterni al guscio conduttore
x Il campo elettrico nella regione compresa tra il cilindro e il guscio.

Soluzione:
q
2q
+
-

Nello spazio esterno al conduttore il campo elettrico è ottenuto applicando la legge di Gauss al
cilindro gaussiano di raggio maggiore che contiene entrambe le cariche:
FFF
e

e

e
?
??p?? ?
qq2qq
Lr2ESE
??
Lr2
q
E
?e??p?

F

Convenzionalmente il campo elettrico è radiale e diretto verso l’interno.

Il campo elettrico tra il cilindro interno e il guscio esterno è ottenuto applicando la legge di Gauss al
cilindro gaussiano di raggio minore, che contiene la sola carica +q:

FFF
e

e

e
?
??p?? ?
qqq
Lr2ESE
??
Lr2
q
E
?e??p?

F

156

Esercizio 18:
Due lunghi cilindri coassiali carichi hanno raggi di 3,00 cm e 6,00 cm. La carica per unità di
lunghezza è ?
?
?
?
?
?
ì l

m
C
105
6
1 sul cilindro interno e ?
?
?
?
?
?
ì l

m
C
107
6
2 sul cilindro esterno.
Determinare il campo elettrico ad una distanza ()cm4r e ad una distanza ()cm8r dall’asse
radiale.

Soluzione:
l
1
2r
+
1
4
8
r
E
E
l
-
2

Il campo elettrico alla distanza di 8 cm dall’asse radiale, vale:
( )
F

F
e
??
?
?
?
?
?
ìì

e
?
??p?? ?
L
m
C
107105
q
Ld2ESE
66
2
??
()
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
?
?
?
?
?
?
ì

e??p?
?
?
?
?
?
?
ì

F

C
N
1050,4
mN
C
1085,8m08,02
m
C
102
d2
m
C
102
E
5
2
2
12
6
2
6

Alla distanza di 4 cm dall’asse radiale:
( )
F

F
e
??
?
?
?
?
?
ì

e
?
??p?? ?
L
m
C
105
q
Ld2ESE
6
1
??
()
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
?
?
?
?
?
?
ì

e??p?
?
?
?
?
?
?
ì

F

C
N
1025,2
mN
C
1085,8m04,02
m
C
105
d2
m
C
105
E
6
2
2
12
6
1
6

157
Esercizio 19:
Un positrone di carica ()C106,1q
19
ì percorre un’orbita circolare di raggio R concentrica ed
interna ai cilindri dell’esercizio n. 16. Determinare la sua energia cinetica se il raggio del cilindro
interno è 2 cm, il raggio del cilindro esterno è 3 cm e la carica ?
?
?
?
?
?
ì l

m
C
1030
9
.

Soluzione:

l
+
l
-
cF
v
E
R

Considerando che il positrone – di massa e carica uguale all’elettrone ma positiva – ruota su una
circonferenza di raggio compreso tra il cilindro interno e quello esterno, risulta sottoposto al campo
elettrico radiale diretto verso il centro dei cilindri di valore variabile pari a:
F

FF
e
??
?
?
?
?
?
ì

e
?l

e
??p??
L
m
C
1030
Lq
LR2E
9
.INT

F
e??p?
l

R2
E

La carica positiva del positrone è dunque attratta verso il centro dal campo elettrico che si
manifesta con una relativa forza elettrostatica
E
F:
F
e??p?
?l
?
R2
q
qEF
E

La rotazione del positrone lungo l’orbita circolare è quindi provocata dalla forza
elettrostatica che, in questo caso, ha le caratteristiche di forza centripeta (s’intende che la
velocità iniziale del positrone sull’orbita sia pari alla velocità di rotazione tipica della forza
centripeta agente).
Tra la forza centripeta e la velocità tangenziale del positrone deve quindi valere la relazione:

158
R2
q
R
v
mamF
2
t
CE
?e?p?
?l
? ?
F

Da cui si ottiene la velocità di rotazione:
m2
q
v
2
t
?e?p?
?l

F

E la conseguente energia cinetica:
F
e?p?
?l
??
4
q
vm
2
1
E
2
tC
Sostituendo i valori noti:
()
( ) ()JmN1032,4
mN
C
1085,84
C106,1
m
C
1030
4
q
E
17
2
2
12
199
C
???ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì??
?
?
?
?
?
ì

e?p?
?l

F

Esercizio 20:
Una carica è distribuita uniformemente in un cilindro infinitamente lungo di raggio R. Si mostri che
il campo elettrico E ad una distanza r dall’asse del cilindro (quando r è minore di R) è dato da:
F
e?
?r

2
r
E
Dove con r s’intende la densità volumica di carica.
Si scriva l’equazione del campo E nel caso in cui r sia maggiore di R.

Soluzione:
Con la legge di Gauss applicata ad una superficie cilindrica contenuta all’interno del cilindro carico
uniformemente:
FF
e
??p?r

e
?
??p?? ?
Lrq
Lr2ESE
2

??
f
e?
?r

2
r
E

Per una superficie gaussiana di raggio maggiore a quello del cilindro:
FF
e
??p?r

e
?
??p?? ?
LRq
Lr2ESE
2

??
r2
R
E
2
?e?
?r

f

Esercizio 21:
Un piatto metallico di forma quadrata, ha il lato lungo 8,00 cm e lo spessore trascurabile, con una
carica totale ()C106q
6
ì . Si determini l’intensità del campo elettrico al centro e appena al di
fuori del piatto (ad esempio, ad una distanza di 0,5 mm), supponendo che la carica sia
uniformemente distribuita sulle due facce del piatto.
Si determini inoltre il campo elettrico ad una distanza di 30 metri dal piatto.

Soluzione:

159
Il valore del campo elettrico, ricavato mediante regole d’integrazione applicate ad un disco carico di
raggio R, è dato dalla relazione:
?
?
?
…
?
?
+

e?
s

22
Z
zR
z
1
2
E
Con:
z Distanza del punto dal piano del disco
R Raggio del disco
s Densità superficiale

Supponendo di utilizzare un disco carico al posto del piatto metallico, considerando un
punto vicinissimo al piano del disco e utilizzando il lato del quadrato come raggio del disco,
si otterrebbe un campo elettrico pari a:
()
( )
( )
e?
s
#?
e?
s

?
?
?
?
…
…
?
?
ì+
ì
?
e?
s

2
0062,01
2
10504,0
m105
1
2
E
2
42
4

Per un punto collocato proprio sul piano del disco si avrà evidentemente:
0z
e?
s

2
E
A tale risultato si perviene anche applicando la legge di Gauss ad un cilindro perpendicolare
al piano del disco – che interseca il piano e lo oltrepassa - e tenendo conto della densità
superficiale globale (il campo elettrico è presente su tutte e due le facce) oppure applicando
sempre la legge di Gauss ad un cilindro non passante e tenendo conto della densità
superficiale su una sola faccia del disco.
e?
s

e
s

2
E
1

Per un punto situato ad una distanza di 30 metri dal piano si ottiene il seguente valore del
campo elettrico:
0
3004,0
30
1
2
E
22
Z
#
?
?
?
?
…
…
?
?
+

e?
s

Il campo elettrico è quindi praticamente nullo a tale distanza.

Per determinare i valori numerici basta sostituire nelle formule trovate il valore della densità
superficiale:
()
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
s

2
4
2
6
m
C
104,9
2
m08,0
C106
A
q

Quindi si ottiene, per un punto sul piano e al centro del quadrato:
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
ì

e?
s

m
V
C
N
103,5
mN
C
1085,82
m
C
104,9
2
E
7
2
2
12
2
4

Per un punto situato a 30 m:
?
?
?
?
?
?
#
C
N
50E

160
Esercizio 22:
Su una superficie piana isolante e molto estesa è distribuita uniformemente una carica con densità
superficiale s. Un piccolo foro circolare di raggio R è ricavato nel punto centrale della superficie.
Ignorando la distorsione del campo lungo i bordi, determinare il campo elettrico nel punto P ad una
distanza z dal centro del foro lungo il suo asse.
(suggerimento: si veda l’equazione del campo elettrico prodotto da un disco circolare e si utilizzi il
principio di sovrapposizione degli effetti.

Soluzione:

R
z

Il campo elettrico prodotto da una distribuzione superficiale disposta su un disco infinitamente
grande in un punto ad una distanza z, sull’asse centrale del disco, ha un valore pari a:

Per f#R
FF
e?
s

?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?
s

2
zR
z
1
2
E
22

Mentre il campo che produrrebbe, nel medesimo punto, una carica distribuita sul disco di raggio R
(che in effetti manca):
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?
s

F
22
zR
z
1
2
E

Il campo elettrico risultante è quindi da immaginarsi come la differenza tra il campo
prodotto dalla superficie piana senza il foro ed il campo prodotto dalla carica sul foro:
222222
zR2
z
zR
z
11
2
zR
z
1
22
E
?e?
?s

?
?
?
?
?
?
?
?
+
+?
e?
s

?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?
s

e?
s

F
FFF

161
Se, per ipotesi, il raggio del disco di carica mancante è molto piccolo, la radice al
denominatore è circa uguale a z quindi il campo elettrico risultante è approssimativamente
uguale a quello generato dalla lastra senza foro circolare.
Ciò risulta abbastanza evidente in quanto la carica mancante è piccola.

Esercizio 23:
In figura è rappresentata una piccola sfera avente massa di 1 mg e carica ()C102q
8
ì , appesa ad
un filo isolante e formante un angolo di 30° con la superficie verticale di un grande piatto carico
uniformemente. Considerando il peso della sfera si determini la densità di carica sul piatto.

Soluzione:
Utilizzando il campo elettrico prodotto da una lastra infinitamente estesa (ricavato con la legge di
Gauss), si può determinare la forza orizzontale sulla sferetta carica:
F
f
s

2
E
F
e?
?s
?
2
q
qEF
Sulla sferetta agisco quindi la forza peso, diretta in basso, la forza elettrostatica F
orizzontale e diretta verso destra e la reazione del filo inclinata di 30° rispetto la verticale,
per cui:
()
gm2
q
gm
F
30tan
??e?
?s

?
è
F

Da cui si ricava il valore di s:
()
()
()

ì
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??

??e??è
s

F
C102
kg
N
81,9kg10
mN
C
1085,82577,0
q
gm230tan
8
6
2
2
12

()
()
?
?
?
?
?
?
ì
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
s

2
9
8
6
2
2
12
m
C
105
C102
kg
N
81,9kg10
mN
C
1085,82577,0

Esercizio 24:
Un elettrone è proiettato verso il centro di un grande piatto metallico, carico positivamente con
densità superficiale uguale a ?
?
?
?
?
?
ì s

2
6
m
C
102 . Se l’energia cinetica iniziale dell’elettrone fosse di
100 eV e se dovesse fermarsi (a causa della repulsione elettrostatica) proprio prima di raggiungere il
piatto, da quale distanza dovrebbe essere proiettato?

Soluzione:
L’energia cinetica posseduta dall’elettrone è di 100 eV (elettronvolt). Considerando che l’energia di
1 eV corrisponde a ()J106,1
19
ì , l’energia cinetica dell’elettrone è dunque pari a:
()J106,1E
17
C

ì
La forza repulsiva elettrostatica deve quindi compiere un lavoro resistente uguale all’energia
cinetica persa dall’elettrone per fermarsi.
In questo caso la velocità finale dell’elettrone si annulla.

162
Considerando che il piatto metallico carico ha dimensioni infinite rispetto alle distanze z in
gioco, il valore del campo elettrico non dipende dalla distanza, ma è da ritenersi costante e
pari a:
FF
e?
s

?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?
s

2
zR
z
1
2
E
22

Infatti, con l’ipotesi:
f R
?? 0
zR
z
22
#
+

Quindi, dato che il campo elettrico è costante, lo è pure la forza elettrostatica repulsiva il cui
Valore è dato da:
()
()
()N1081,1
mN
C
1085,82
C106,1
m
C
102
C106,1
2
eEF
14
2
2
12
19
2
6
19
e

F

ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
ì??
?
?
?
?
?
ì
ì?
e?
s
?

Allora, dall’espressione del lavoro resistente fatto dal campo elettrico e considerando che
deve essere uguale alla quantità di energia cinetica persa per annullare la velocità
dell’elettrone, si ricava la distanza percorsa z:

()()mzN1081,1zFEW
14
C
ìì ?

??
( )
()
() ()mm884,0m1084,8
N1081,1
mN106,1
F
E
z
4
14
17
e
C
ì
ì
?ì

Esercizio 25:
Due grandi piatti metallici di area uguale ()
2
m1A si affacciano l’un l’altro. Si trovano ad una
distanza di 5 cm e hanno cariche uguali ma di segno opposto sulle superfici interne. Se il campo
elettrico tra i piatti è ?
?
?
?
?
?

C
N
55E quale sarà il valore della carica su ogni piatto?

Soluzione:
Usando la legge di Gauss applicata ad un cilindro con una base interna allo spessore del piatto
metallico positivo, l’altra base posta in prossimità del piatto negativo e con asse perpendicolare ai
due piatti, si ottiene il valore del campo elettrico tra i piatti anche tenendo conto che, all’esterno, il
campo elettrico è nullo:
F
f
s
E
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
e? s

F
2
10
2
2
12
m
C
1087,4
mN
C
1085,8
C
N
55E
Si ottiene quindi la carica su ogni piatto:
() ()C1087,4m1
m
C
1087,4AQ
102
1
10
ì ??
?
?
?
?
?
ì ?s

163
Esercizio 26:
Il peso di un elettrone è esattamente bilanciato dalla forza esercitata dall’elettrone da un campo
elettrico. Se il campo elettrico è generato da due piatti paralleli, conduttori e caricati con segno
opposto posti alla distanza di 2,3 cm, quale sarà la densità di carica superficiale uniforme sui piatti?

Soluzione:
Il campo elettrico generato da due piatti conduttori e caricati di segno opposto è dato da:
F
e
s
E
Considerando che l’elettrone ha una carica negativa di ()C106,1
19
ì ed una massa di
()kg1011,9
31
ì , risulta in equilibrio tra i piatti quando la forza elettrica è pari al valore
della forza gravitazionale, cioè:

GE
FF
gm
e
e
?
e
?s
F

Da cui si ricava il valore della densità superficiale di carica:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ì

e??
s

F
2
22
19
2
2
1231
e
m
C
1094,4
C106,1
mN
C
1085,8
kg
N
81,9kg1011,9
e
gm

Esercizio 27:
Una lastra piana di spessore d, ha una densità di carica volumica r uniforme. Determinare
l’intensità del campo elettrico in tutti i punti dello spazio interni alla lastra ed esterni, in funzione
della distanza z misurata dal piano medio della lastra.

Soluzione:
Per qualsiasi punto, compreso nelle regioni di spazio esterne alla lastra, il campo elettrico non
dipende dalla distanza dal piano mediano della lastra.
Infatti, la legge di Gauss applicata ad un cilindro perpendicolare alla lastra e passante attraverso
essa ci porta a concludere:
( )
e
??p?r

e
?r

e
?
F
dRVQ
2

2
R2E ?p?? F
Da cui si ottiene:
()
e?
?r

2
d
E
z Indipendente dalla distanza z
A tale risultato si perviene anche considerando la simmetria (campi elettrici uguali uscenti da
entrambe le facce parallele) e la perpendicolarità del vettore campo rispetto ai piani della lastra.

Per i punti contenuti nello spessore della lastra si può ragionare nel modo seguente:

x La legge di Gauss applicata a due cilindri gaussiani, aventi lo stesso raggio R e
perpendicolari alla lastra, il primo con la base sinistra posizionata esattamente sulla faccia
sinistra della lastra e la base destra posizionata in un punto P ad una distanza z dal piano
mediano della lastra, ed il secondo, con la base sinistra posizionata nel punto P e la base
destra posizionata esattamente sulla faccia destra della lastra:

164
d
z
R
1
2
E
2
E
1
1
E
E
2
P
r

Il campo elettrico prodotto nel punto P, dalla carica contenuta nel cilindro 2 - supponendo la
carica positiva - è diretto verso destra e vale:

( )
e
?
?
?
?
?
?
??p?r

e
?r
?p??
z
2
d
R
V
R2E
2
22
2
?
?
?
?
?
?
?
e?
r
z
2
d
2
E
2

Il campo elettrico prodotto nel punto P, dalla carica contenuta nel cilindro q – con carica
positiva – è diretto verso sinistra e vale:
( )
e
?
?
?
?
?
?
+??p?r

e
?r
?p??
z
2
d
R
V
R2E
2
12
1
?
?
?
?
?
?
+?
e?
r
z
2
d
2
E
1
La somma algebrica dei vettori campo discordi è quindi il campo risultante in quel punto:

()
e
?r
?
?
?
?
?
?
++?
e?
r

z
z
2
d
z
2
d
2
EEzE
21

Nel punto centrale il campo è ovviamente nullo.

165
Esercizio 28:
Un conduttore sferico di raggio 10 cm ha una carica sconosciuta. Se il campo elettrico che si trova a
15 cm dal centro della sfera è ?
?
?
?
?
?
ì
C
N
103E
3
e si dirige radicalmente verso l’interno, quale sarà la
carica netta sulla sfera?

Soluzione:
Il campo elettrico generato in un punto ad una distanza maggiore del raggio della sfera è
determinato dalla legge di Gauss e dalla simmetria sferica:
e

e
?
F
Qq

( )
2
.SFRr
r4ESE ?p?? ? F
?

Da cui si ottiene la carica totale:
2
r4E
Q
?p??
e

??
2
r4EQ ?e?p??
F
?? () ()C105,7
mN
C
1085,8m15,04
C
N
103Q
9
2
2
12223
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p???
?
?
?
?
?
ì

Esercizio 29:
Una carica puntiforme forma un flusso ?
?
?
?
?
?
? F
2
m
C
N
750 attraverso ad una superficie gaussiana
sferica di 10 cm di raggio centrata sulla carica.
Se il raggio della sfera fosse doppio, quanto flusso passerebbe attraversa la superficie?
Determinare inoltre il valore della carica puntiforme.

Soluzione:
Dato che il flusso attraverso una superficie qualsiasi non dipende dalla grandezza della superficie
ma solo dalla quantità di carica in essa contenuta, se il raggio della sfera fosse doppio il flusso
sarebbe lo stesso.
Il valore della carica puntiforme è dato da:
F
e
?
F
Q

()C1063,6
mN
C
1085,8
C
mN
750Q
9
2
2
12
2

F
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
?
?
??
e?F
La carica è negativa in quanto il flusso è negativo, cioè entrante.

Esercizio 30:
Un sottile guscio sferico metallico ha un raggio di 25 cm ed una carica di ()C102
7
ì . Determinare
il campo elettrico E per un punto P all’interno del guscio, appena al di fuori di esso e a 3 metri dal
centro.

Soluzione:
Applicando la legge di Gauss ad una sfera di raggio minore di quello del guscio e tenendo conto
della simmetria, si deduce che, il flusso attraverso la sfera deve essere nullo, ma può essere nullo
solo se il campo elettrico è anch’esso nullo.

166
Per un punto P appena oltre la superficie del guscio si ottiene:
)
H
)
Q

2
r4E ?S?? )

Da cui:

?
?
?
?
?
?
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??S?
?

?H?S?

)
C
N
108,28
m25,0
mN
C
1085,84
C102
r4
Q
E
4
22
2
2
12
7
2

Per un punto P a 3 metri dal centro:

Esercizio 31:
Un sottile guscio metallico sferico di raggio a ha una carica
a
q. Un secondo guscio sferico
concentrico con il primo e di raggio b (con ab?) ha una carica
b
q. Determinare il campo
elettrico in un punto distante r dal centro per:
1. ar?
2. r compreso tra i due gusci
3. br?

Soluzione:
Per un punto interno al guscio di raggio minore il campo elettrico è nullo in virtù della simmetria e
per il fatto che attraverso una sfera gaussiana di raggio ar? il flusso è nullo (non contiene
cariche).
1. Per:
ar? ?? 0E

2. Per:
br?
Il flusso attraverso una sfera gaussiana di raggio r è dato da:
2BA
r4E
qq
?S??
H

)
)

Da cui si ricava il valore del campo:
2
BA
r4
qq
E
?H?S?

)

Diretto radicalmente con verso dato dal segno algebrico risultante dalla somma delle cariche
sui gusci.

3. Per:
Raggio compreso tra le due sfere:
2
A
r4
q
E
?H?S?

)
Il verso del vettore è stabilito dal segno di
A
q

?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??S?
?

?H?S?

)
C
N
200
m3
mN
C
1085,84
C102
r4
Q
E
22
2
2
12
7
2

167
Esercizio 32:
Il campo elettrico nei punti vicini ad una superficie conduttrice carica è determinato anche per
mezzo del teorema di Coulomb e vale
e
s
E . Si applichi questa equazione ad un conduttore sferico
di raggio r e carica q e si mostri che il campo elettrico al di fuori della sfera è identico al campo
generato da una stessa carica puntiforme posta al centro della sfera.

Soluzione:
La legge di Gauss applicata ad una superficie sferica di pari raggio:
2
r4E
q
?p??
e
F
2
r4
q
E
?e?p?

Ma il rapporto:
s
?p?
2
r4
q
è la densità di carica

Per cui:

e
s
E
La relazione vale anche per dimostrare che il campo elettrico esterno alla sfera è pari a quello
generato da una carica puntiforme.
Basta tenere in considerazione la definizione di campo elettrico prodotto ad una distanza r.

Esercizio 33.
Su una sfera isolante (si può immaginare la sfera costituita da tanti gusci sferici isolati uno dall’altro
da sottili fogli isolanti) di raggio R, c’è una distribuzione non uniforme pari a ()
R
r
r
0
?r r , dove
0
r è una costante e r è la distanza dal centro della sfera. In pratica la densità di carica aumenta con
la distanza del guscio dal centro sino ad un massimo pari a
0
r.
Si dimostri che la carica totale sulla sfera è
3
0
RQ ?r?p e che il campo elettrico all’interno della
sfera è dato da
2
4
r
R
Q
4
1
E ??
e?p?
.

Soluzione:

168

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA

L’azione di una forza elettrostatica, generata cioè dalla presenza di un campo elettrico applicato ad
una particella o ad un corpo anch’esso carico elettricamente, non è dissimile da quella di una forza
qualsiasi applicata alla massa di un oggetto.
Se non sono presenti altre forze dissipative, quali l’attrito o la resistenza del mezzo, e se la forza
elettrostatica è l’unica ad agire sul corpo, allora essa provoca sicuramente un moto accelerato.
Il modulo, la direzione ed il verso dell’accelerazione dipendono dalle caratteristiche della forza (ad
esempio, se la forza elettrostatica è di tipo centrale, il moto potrebbe essere circolare o ellittico).
Se, al contrario, sono presenti forze dissipative o resistenti o altre forze di diversa origine, resta
comunque sempre valido il secondo principio della dinamica:

amRRFFF
VADE
? ?+?+?+?

Con:
E
F Forze elettrostatiche
V
R Reazioni vincolari
D
F Forze diverse
A
F Forze d’attrito o resistenza del mezzo
R Risultante

Le varie sommatorie coinvolgono grandezze vettoriali ed occorre quindi tenere conto dei
moduli e della direzione dei vettori.

In tutti i casi l’applicazione di una forza esterna provoca, quasi sempre o solitamente, un
movimento, più o meno complesso, che dipende dal tipo d’azione (moto rettilineo uniforme nel
caso in cui la risultante è nulla, moto uniformemente accelerato quando la risultante ha un valore
costante nel tempo, moto armonico quando la risultate è variabile con legge sinusoidale, ecc. ecc.).

D’altra parte, per un qualsiasi tipo di movimento, risulta più o meno facilmente individuabile lo
spostamento del corpo cui le forze sono applicate.

Ora, anche per la forza elettrostatica, come per tutti gli altri tipi di forza, allo spostamento subito dal
corpo e all’intensità e direzione della forza stessa, sono immediatamente associabili le grandezze
omogenee LAVORO ed ENERGIA.

In altre parole:

Una qualsiasi forza elettrostatica applicata ad un corpo carico che, per effetto di essa,
subisce uno spostamento, effettua un lavoro meccanico trasferendo energia dal campo
elettrostatico al corpo.

L’energia che il campo elettrico potrebbe trasferire al corpo carico provocandone lo
spostamento, dalla posizione in cui trova inizialmente all’interno del campo, sino ai limiti
del campo stesso (punto ove il campo è nullo) è definita “ENERGIA POTENZIALE
ELETTROSTATICA”.

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA, come tutte le altre forme d’energia, è
misurata in Joule.

169
L’ENERGIA POTENZIALE DI UN CAMPO ELETTRICO RADIALE
Si prende ora in esame il campo elettrico radiale generato da una sola carica puntiforme Q positiva
supponendo di disporla nell’origine di un sistema cartesiano tridimensionale.
Per ogni punto P dello spazio circostante, caratterizzato da una terna di coordinate cartesiane
( )
PPP
z;y;x , è definito un solo vettore campo elettrico E avente modulo uguale al rapporto tra la
forza elettrica
E
Fesercitata dalla carica generatrice Q su una carica elettrica esploratrice q (supposta
anch’essa positiva) e la stessa carica esploratrice q:
q
F
E
E

2
2
r4
Q
q
r
1
4
qQ
E
?e?p?

?
e?p?
?

La retta direttrice del vettore campo è la congiungente i baricentri delle due cariche (ovvero la retta
passante dal punto P e dall’origine degli assi), mentre, il verso è orientato dall’interno all’esterno
del sistema di riferimento.
La retta direttrice del vettore campo elettrico rappresenta la linea di flusso del campo nel punto P ed
è fisicamente la traiettoria che seguirebbe la carica q se potesse muoversi liberamente per l’azione
della forza elettrostatica F o del campo E.

Stabilita la posizione iniziale del punto P all’interno del sistema, tramite le sue coordinate, risulta
individuato in modo univoco il “vettore posizione” cioè quel vettore caratterizzato da un modulo
pari alla distanza r dal punto all’origine:

2
P
2
P
2
P
zyxr ++

E da un’inclinazione stabilita dalla conoscenza dei coseni direttori, cioè dagli angoli formati dal
vettore con gli assi principali X, Y e Z:
()
2
P
2
P
2
P
PP
zyx
x
r
x
cos
++
a
()
2
P
2
P
2
P
PP
zyx
y
r
y
cos
++
b
()
2
P
2
P
2
P
PP
zyx
z
r
z
cos
++
g

Di conseguenza anche il vettore campo elettrico E, giacendo sulla direzione del vettore posizione,
risulta inclinato degli stessi angoli.

Facciamo un esempio, supponendo che il punto P sia caratterizzato dalle seguenti coordinate:
()m1x
()m1y
()m1z

La distanza tra il punto e l’origine del sistema, è data da:

()m732,13111r
222
++

170

I coseni direttori del vettore posizione saranno:
()
() ()
()
577,0
m732,1
m1
zyx
m1
r
x
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
a è a 77,54
()
() ()
()
577,0
m732,1
m1
zyx
m1
r
y
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
b è a 77,54
()
() ()
()
577,0
m732,1
m1
zyx
m1
r
z
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
g è a 77,54

Cosicché il vettore posizione si può indicare anche in forma vettoriale come somma dei tre
vettori componenti:

() () ()kcosrjcosricosrr ?g?+?b?+?a?
zyx
rrrr ++
Ove con k;j;i sono indicati vettori unitari (versori) paralleli rispettivamente all’asse X,
all’asse Y e all’asse Z.

Il campo elettrico provocato da una carica positiva Q nel punto considerato avrà un modulo
pari a:
()
?
?
?
?
?
?
e?p?
? ?
?
?
?
?
?
e?p?
? ?
e?p?

4
Q
33,0
4
Q
3
1
r
1
4
Q
E
22

E potrà essere considerato come risultante dalla somma vettoriale delle tre componenti
parallele ai rispettivi assi:

() () ()kcosEjcosEicosEEEEE
ZYX
?g?+?b?+?a? ++

Un altro esempio, supponendo che il punto P sia caratterizzato da coordinate:
()m2x
()m3y
()m1z

La distanza tra il punto e l’origine del sistema, è data da:

()m74,314132r
222
++

I coseni direttori del vettore posizione saranno:
()
() ()
()
53,0
m74,3
m2
zyx
m2
r
x
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
a è a 99,57
()
() ()
()
80,0
m732,1
m3
zyx
m3
r
y
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
b è b 97,36
()
() ()
()
577,0
m732,1
m1
zyx
m1
r
z
cos
2
P
2
P
2
P
P

++
g è g 76,54

171
Cosicché il vettore posizione si può indicare anche in forma vettoriale come somma dei tre
vettori componenti:

() () ()kcosrjcosricosrr ?g?+?b?+?a?

Il campo elettrico provocato da una carica positiva Q nel punto considerato avrà un modulo
pari a:
( )
?
?
?
?
?
?
e?p?
? ?
?
?
?
?
?
e?p?
? ?
e?p?

4
Q
071,0
4
Q
14
1
r
1
4
Q
E
22

E potrà essere considerato come risultante dalla somma vettoriale delle tre componenti
parallele ai rispettivi assi:

() () ()kcosEjcosEicosEEEEE
ZYX
?g?+?b?+?a? ++

q
r
Q
+
+
X
Y
Z
x
y
z
xy
a
b
g
P

Figura 75 – VETTORE POSIZIONE ED ANGOLI DI DIREZIONE

Se il punto è collocato su uno degli assi di riferimento, ad esempio l’asse X, le coordinate y e z del
punto sono automaticamente nulle.

Ciò significa che è stata scelta la linea di flusso coincidente con l’asse principale X e che la
traiettoria di una particella q, carica positivamente e libera di muoversi per l’azione del campo, non
potrà discostarsi dall’asse X.
La posizione iniziale della carica è stabilita dalla coordinata
A
x che coincide dunque – in quanto
nulle le altre due – con la distanza r.

172
Il valore iniziale della forza e del campo elettrostatico sono rispettivamente:
2
A
F
2
A
A
x
K
r
1
4
qQ
F ?
e?p?
?

2
A
E
2
A
F
2
A
A
x
K
xq
K
r
1
4
Q
E
?
?
e?p?

D’altra parte, sia la forza elettrostatica che il campo elettrico, se si tiene conto dello spostamento
lungo l’asse X per effetto dell’applicazione della forza stessa, sono inversamente proporzionali al
quadrato della distanza dal centro, quindi, mano a mano che la particella carica positivamente si
sposta verso destra, l’intensità della forza e del campo diminuiscono:
()
2
F
x
K
xF
()
2
E
x
K
xE
Sia la forza che il campo risultano infinitamente grandi per un punto collocato nel centro ed
infinitamente piccoli per un punto collocato ad una distanza infinita dal centro.
La variazione delle due grandezze, relativamente alla distanza dal centro, è quindi di tipo
iperbolico.
Da notare che l’area compresa tra l’asse verticale a destra, l’asse orizzontale in basso e la linea
curva rappresentativa della funzione
2
x
1
in alto, è maggiormente concentrata nella zona compresa
tra l’asse verticale (valore di r oppure x uguale a zero) e una retta verticale indicante un’ascissa di 1-
1,4.
Inoltre, dal grafico affiancato, si intende che l’area sottostante la curva rappresenta il lavoro
eseguito da una forza elettrostatica di un campo radiale, espresso in Joule.

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,62,42,2 3,43,23,02,8
25,00
6,25
2,78
1,56
r
1/r
2
1,56
2,78
6,25
1,40,60,40,2 1,21,00,8 2,22,01,81,6 2,8 3,02,4 2,6 r
3,2 3,4
F(r)
25,00
0,3-1,6
W

Figura 76 – FUNZIONE 1/X
2
E GRAFICO DI FORZA ELETTROSTATICA RADIALE

173

Tenendo conto che la forza e il conseguente spostamento della carica sono paralleli, si ricava il
lavoro applicato con la relazione generale:

() SFcosSFW
EE
? a??

Che deve essere in questo caso modificata per tenere conto del fatto che la forza è variabile con la
distanza:

() ()SxFcosSFW
EE
? a??

Per il calcolo del lavoro eseguito dalla forza elettrostatica che sposta la carica da un punto A ad un
punto B del campo – spostamento AB – è necessario suddividere il segmento AB in un numero
elevato N di segmenti piccolissimi per ognuno dei quali si può calcolare il lavoro tenendo conto
della forza elettrostatica media agente.

1 2 3 4 N
A B
xA
xB
S
Q
+ +
q
q
+

Figura 77 – DIFFERENZA D’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA (SOMMATORIA)

Per uno degli N segmenti, di lunghezza:
N
AB
S D
Il lavoro è determinato dalla seguente relazione:

iii
SFW D? D

Con:
() ()1n1ni
FFF
+
? Media geometrica tra la forza agente nel punto
(n-1) e la forza agente nel punto (n+1)

174

i Tratto di segmento considerato. Il numero
complessivo di tratti è N, per cui l’indice i è
variabile partendo dal numero 1 sino al numero
N

()
()
2
1n
1n
x
1
4
qQ
F

??
?
?
?
?
?
e?p?
?

( )
()
2
1n
11n
x
1
4
qQ
F
+
+
??
?
?
?
?
?
e?p?
?

Per cui si ottiene:

()()
() () ()
i
1n1n
i
2
1n
2
1n
1n1ni
S
xx
1
4
qQ
S
xx
1
4
qQ
SFFW D?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
D?
?
?
e?p?
?
D?? D
++
+
D’altra parte ogni tratto di segmento
i
SD è determinato dalla differenza tra la distanza dal centro
del suo punto terminale e la distanza sempre dal centro del suo punto iniziale.
Genericamente dunque:

( ) ( )1n1ni
xxS
+
D

Quindi:

( ) ( ) ( )
( )( )
1n1n
1n1n
i
1n1n
i
xx
xx
1
4
qQ
S
xx
1
4
qQ
W
+
++
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
D?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
D
Da cui:

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
e?p?
?
D
++
+
1n1n1n1n
1n1n
i
x
1
x
1
4
qQ
xx
xx
4
qQ
W

La stessa formula vale per tutti gli N tratti in cui è stato suddiviso il segmento AB cioè lo
spostamento complessivo.

Il lavoro che la forza applica alla carica in movimento sulla linea di forza (coincidente con
l’asse principale X) e per lo spostamento dal punto A al punto B, è dunque la sommatoria,
estesa agli N tratti, dei lavori elementari
i
WD, cioè:

?D

o
Ni
1i
iBA
WW
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
++
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

o
B1N1N2N322A
BA
x
1
x
1
4
qQ
............
x
1
x
1
4
qQ
x
1
x
1
4
qQ
x
1
x
1
4
qQ
W

?
?
?
?
?
?
?
?
++++?
e?p?
?

o
B1N1N43322A
BA
x
1
x
1
x
1
....
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
4
qQ
W
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

o
BA
BA
x
1
x
1
4
qQ
W

175
Se il punto B si trova infinitamente distante dal centro del sistema (ciò equivale ad immaginare che
il campo elettrico continui ad esercitare la sua azione sulla carica sino a spingerla infinitamente
distante), il secondo termine nella parentesi si annulla ed il lavoro è quindi dato da:

AA
A
x
1
4
qQ1
x
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
f
?
e?p?
?

fo

In termini dimensionali:
A
AA
x
1
4
qQ
WW ?
e?p?
?

fo JmN
m
1
C
mNC
m
1
mN
C
CC
2
22
2
2
?????
??
???
?
?

L’espressione del lavoro (o energia) applicato dal campo elettrico alla carica positiva per
trasportarla dal punto A iniziale sino ai limiti del campo, cioè all’infinito, è l’ENERGIA
POTENZIALE ELETTROSTATICA del campo radiale nel punto A.

Essa è indicata brevemente con
A
W.

Un’espressione analoga a quella relativa al punto A deve necessariamente valere anche per
un punto qualsiasi del campo, ad esempio un punto B.

Per tale punto l’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA vale:

BB
BB
x
1
4
qQ1
x
1
4
qQ
WW ?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
f
?
e?p?
?

fo

DIFFERENZA DI ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA DEL CAMPO RADIALE
Se ora si immagina di permettere al campo elettrico di spostare la carica positiva dal punto B sino ai
limiti del campo, di fornire cioè alla carica, una quantità d’energia pari all’energia potenziale
elettrostatica
B
W, si perviene ad una situazione non più modificabile dalla sola azione del campo.

In altre parole:

x Quando la carica, partendo dal punto B, giunge ai limiti del campo, la forza elettrica
s’annulla e non risulta possibile l’inversione dello spostamento se non con l’intervento di
una o più forze agenti dall’esterno in senso contrario all’azione della forza elettrica.

Per riportare la carica dai limiti del campo nuovamente al punto B di partenza, occorrerà una
quantità d’energia esterna pari naturalmente alla quantità d’energia
B
W fornita dal campo.
Tale quantità d’energia è naturalmente di segno opposto all’energia potenziale elettrostatica.

Supponiamo ora di collocare la carica nel punto A e di permettere al campo di spostare la carica
all’infinito fornendo ad essa l’energia potenziale elettrostatica
A
W.
Spostiamo poi la carica dall’infinito sino ad un punto B fornendo dall’esterno una quantità
d’energia pari all’energia potenziale elettrostatica che fornirebbe il campo per lo spostamento
contrario.
Ora la carica è nel punto B.
La quantità netta d’energia scambiata tra la particella, il campo elettrico e l’ambiente esterno risulta
evidentemente pari alla somma algebrica del lavoro positivo del campo ed il lavoro negativo
dell’ambiente esterno, cioè:

176

BABABA
WWWWWW +
fofooffo

Tale differenza d’energia potenziale elettrostatica quantifica il lavoro applicato dal campo
per spostare la particella dal punto A al punto B:

BABA
WWW
o

L’ENERGIA POTENZIALE INFINITESIMA E LE REGOLE D’INTEGRAZIONE

Se si ripete il procedimento con il quale si è determinata l’energia potenziale elettrostatica di un
campo radiale supponendo di suddividere lo spostamento AB in un numero infinito di segmenti,
ognuno di lunghezza infinitamente piccola dS, non ha più significato tenere conto della forza
elettrostatica media relativa ad ogni segmento.

La forza elettrostatica media coincide, infatti, con la forza elettrostatica relativa al punto che si
considera e occorrerà quindi passare dalla teoria degli incrementi finiti SD a quella degli incrementi
infinitesimi dS.

In altre parole occorrerà sostituire, per il calcolo dell’energia potenziale, la sommatoria di termini
finiti con una sommatoria di termini infinitesimi cioè con un integrale, esteso allo spostamento AB,
dei prodotti:

()dSsFdW ?

Cioè:
()dSsFW
B
A
XS
XS
BA
?“

o

Il risultato dell’integrazione rappresenta, in termini esatti, l’area sottostante la curva
iperbolica della variazione della forza elettrostatica in funzione della distanza dalla carica
generatrice e compresa tra l’ascissa del punto A – a destra – e quella del punto B – a sinistra.
Tale area rappresenta a sua volta il lavoro applicato dal campo per spostare la carica dal
punto A al punto B cioè, la differenza di energia potenziale elettrostatica.

Sostituendo nell’integrale la funzione ()sF o ()xF si ottiene:

() “?
pe?
?
?“ ?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?“

o
B
A
B
A
B
A
X
X
2
X
X
2
XS
XS
BA
x
dx
4
qQ
dx
x
1
4
qQ
dSsFW

Il risultato dell’integrale, tra i limiti desiderati
A
x e
B
x, è il seguente:

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
…
?
?
“
BAAB
X
X
X
X
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
x
dx
B
A
B
A

E il lavoro quindi risulta uguale a quello già determinato con gli incrementi finiti e la
sommatoria:

177
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
“?
e?p?
?

o
BA
X
X
2
BA
x
1
x
1
4
qQ
x
dx
4
qQ
W
B
A

L’energia potenziale elettrostatica del punto A e del punto B è quindi espressa dalle stesse
relazioni precedenti.

ALCUNE OSSERVAZIONI CIRCA IL CAMPO ELETTRICO RADIALE:

Tenendo conto che ogni punto, appartenente ad una sfera di raggio R, è situato alla stessa
distanza dal centro e che ogni linea di flusso deve essere trattata come nel caso precedente è
stata trattata una linea di flusso coincidente con l’asse X, si può concludere che l’energia
potenziale elettrostatica W è uguale per tutti i punti della sfera.

Nel caso in cui la carica Q - che genera il campo - e le cariche q esploratrici – che lo
subiscono - sono positive, i punti appartenenti a sfere di raggio minore sono caratterizzati da
una maggiore energia potenziale elettrostatica rispetto a quelli su sfere di raggio maggiore.

In un campo elettrico radiale generato da una carica positiva, le cariche esploratrici positive
sono costrette a spostarsi da punti più vicini al centro verso punti più distanti. Le cariche
negative, come ad esempio gli elettroni, si muovono da punti più distanti – a minore energia
potenziale – verso punti più vicini, a maggiore energia.

L’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA NON DIPENDE DAL PERCORSO MA SOLO
DALLA POSIZIONE DEL PUNTO INIZIALE E FINALE DELLO SPOSTAMENTO.

CAMPO DI FORZE CONSERVATIVO

Si intende ora dimostrare che il lavoro applicato dalle forze elettrostatiche ad una particella carica
che si sposta da un punto A ad un punto B del campo, non dipende dal tipo di percorso ma solo
dalla posizione iniziale e finale dello spostamento.
Deve quindi esistere una particolare funzione attraverso la quale si perviene alla determinazione
dell’energia potenziale elettrostatica mediante la sola conoscenza delle coordinate del punto iniziale
e finale.
Tale funzione non è quindi una funzione di linea ma di punto.

Nota:
In meccanica il lavoro svolto dalla forza gravitazionale su un corpo in caduta verticale o lungo un
piano inclinato privo d’attrito, ha il medesimo valore se le altezze di caduta sono le stesse.

Si considera quindi un campo elettrico radiale generato da una carica positiva Q posizionata
nell’origine di un sistema cartesiano tridimensionale e si suppone di prendere in esame i soli punti
collocati nel piano X-Y per i quali è nulla la coordinata Z.

Il problema si semplifica in quanto è possibile rappresentarlo su un piano utilizzando circonferenze
piuttosto che sfere.

Una carica positiva q è inizialmente posizionata in un punto A appartenente all’asse X per il quale è
nulla la coordinata Y.
Tale punto è quindi caratterizzato dalle coordinate:

178
?
?
?

oo
0y
xx
A
A

Si suppone ora che la carica possa spostarsi obliquamente lungo una linea retta sino a raggiungere
una nuova posizione B caratterizzata dalle coordinate:
?
?
?

oo
B
B
yy
xx
B
Durante lo spostamento agisce, sulla particella carica q, la forza elettrostatica generata da Q che si
trova nell’origine degli assi.

A
1 2 3 4
1
2
3
4
B
5
C
a
b
J D E
g
r
A
Br
X
Y
F(x)
F(B)
x
Bry
Q
+

Figura 78 – LAVORO DI UNA FORZA ELETTROSTATICA PER LO SPOSTAMENTO AB

Occorre innanzi tutto trovare una relazione tra le coordinate dei punti della traiettoria cioè del
segmento AB.
Per far ciò è necessario determinare l’equazione della retta passante per i suddetti punti utilizzando,
ad esempio, la regola di similitudine tra triangoli:
A
A
AB
AB
xx
yy
xx
yy

?
AAB
AB
xx
y
xx
yy
m

? ( )
A
xxmy ?

Con:
()a

tan
xx
yy
m
AB
AB
Coefficiente angolare della retta

179
Per dare concretezza al problema teniamo conto delle seguenti coordinate:

()
?
?
?

oo
0y
m2x
A
A
A

()
()
?
?
?

oo
m2y
m4x
B
B
B

Il coefficiente angolare vale dunque:
1
24
02
m

Mentre l’angolo formato dal segmento con l’asse X ha un valore di:
() è a

45mtan
1

L’equazione della retta cui il segmento appartiene è quindi numericamente espressa da:

( )
A
xx1y ?
A
xxy
?? 2xy

Con i limiti imposti dal segmento che interessa:
2xt
4xd

Nel contempo per ogni punto appartenente al segmento è possibile individuare il vettore forza
elettrica generata da Q sulla carica q.

1. Per quanto riguarda l’intensità della forza:

()
2
xE
r
1
4
qQ
F ?
e?p?
?

() ?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?p?
?

22
xE
yx
1
4
qQ
F

()
( )
?
?
?
…
?
?
+
?
e?p?
?

22
xE
2xx
1
4
qQ
F

()
?
?
?
…
?
?
+?+
?
e?p?
?

4x4xx
1
4
qQ
F
22
xE

()
?
?
?
…
?
?
+??
?
e?p?
?

4x4x2
1
4
qQ
F
2
xE

??
()
?
?
?
…
?
?
+?
?
e?p?
?

2x2x
1
8
qQ
F
2
xE

Con:

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

?
?
?
…
?
?
?
e?p?
?

2
A
A
x
1
4
qQ
2
1
8
qQ
F per 2x

180

?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

2
B
2
B
B
yx
1
4
qQ
20
1
4
qQ
10
1
8
qQ
F

2. Per quanto riguarda l’inclinazione della forza rispetto all’asse orizzontale:
()xcosr b?
()
( ) 4x4x2
x
4x4xx
x
2xx
x
yx
x
r
x
cos
2222222
+??

+?+

+

+
b

Con:
Per 2x :
()1cos b è b0

Per 4x
() 894,0
20
4
444162
4
cos
+??
b è b 56,26

L’inclinazione della forza elettrostatica, in ogni punto della traiettoria rappresentata dal
segmento AB, rispetto alla direzione orizzontale dell’asse X, è compresa tra il valore nullo
ed il valore massimo di 26,56°.

L’angolo formato dalla direzione della forza elettrostatica con il segmento AB è quindi la differenza
tra l’angolo costante formato dal segmento con l’asse X e l’angolo variabile formato dalla forza con
l’asse X:
()
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
g
è
4x4x2
x
cos45x
2
1

Con un massimo per il punto A ed un minimo per il punto B:
1. Per 2xx
A

() () è èè è
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
g
è
450451cos45
42422
2
cos452
1
2
1

2. Per 4xx
B

() ( ) è èè è
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
g
è
44,1856,2645894,0cos45
44442
4
cos454
1
2
1

Il lavoro applicato dalla forza elettrostatica alla carica è dunque determinato dall’integrale, per x
variabile da + 2 a + 4, del prodotto:
() () ()
()
()g?
a
?“ g??“
o
cos
cos
dx
xFcosdSxFW
BA
() () ()
()
()g?
a
?“ g??“
o
cos
cos
dx
xFcosdSxFW
BA
()è
?
?
?
?
?
…
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
è?“ ?
?
?
?
?
?
+??
?
e?p?
?

o
45cos
dx
4x4x2
x
cos45cos
4x4x2
1
4
qQ
W
2
1
4
2
2
BA

181
()45cos
dx
4x4x2
x
cos45cos
4x4x2
1
4
qQ
W
2
1
4
2
2
BA
?
?
?
?
?
…
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
è?“ ?
?
?
?
?
?
+??
?
?e?p?
?

o

Risolvendo si ottiene:

e?p?
?
?
o
4
qQ
276,0W
BA

D’altra parte, per quanto detto precedentemente, la differenza d’energia potenziale elettrostatica tra
due punti situati sulla stessa linea di forza, il primo ad una distanza di 2 m dal centro ed il secondo
ad una distanza pari al raggio della circonferenza passate per B, vale:

e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

4
qQ
276,0
24
1
2
1
4
qQ
r
1
x
1
4
qQ
W
22
BA
AB

Per cui, alla fine, la quantità di lavoro
BA
W
o applicata dal campo radiale per spostare la carica
lungo il segmento AB è uguale a quella che dovrebbe fornire per provocarne lo spostamento su una
linea di flusso sino ad un punto situato sulla stessa circonferenza (sfera) passante per B.
In questo senso l’azione della forza elettrostatica è del tutto simile all’azione di un campo
gravitazionale agente in verticale o lungo un piano inclinato.

E’ pur vero che il punto B, terminale del segmento, non coincide con il punto C, terminale della
linea di flusso passante per A, ma occorre tenere conto del fatto che il lavoro della forza
elettrostatica su una traiettoria circolare dal punto C al punto B è necessariamente nullo in quanto
forza e spostamento sono perpendicolari.

ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA PER UNO SPOSTAMENTO QUALSIASI
Quanto dimostrato per uno spostamento della carica su un segmento che interseca le linee di forza
radiali, deve necessariamente essere valido anche nel caso si tratti di un percorso qualsiasi,
curvilineo o rettilineo, tra gli stessi due punti.
Infatti, anche una linea curva può essere immaginata come successione continua di segmenti di
lunghezza infinitesima per ognuno dei quali vale la dimostrazione precedente.
Si può quindi immaginare che la carica possa percorrere, in modo indifferente nei riguardi
dell’energia prelevata dal campo (o ceduta), o un tratto di segmento inclinato oppure prima un tratto
un tratto della linea di flusso caratteristica della posizione iniziale e poi un tratto di circonferenza
(sfera) sino a raggiungere il successivo punto della curva.
L’energia prelevata o ceduta per muoversi lungo un tratto di segmento è uguale a quella prelevata o
ceduta lungo per muoversi sul tratto di linea di flusso.
L’energia per il movimento sui tratti di circonferenza è invece nulla per quanto detto
precedentemente.

In altre parole:
x L’energia fornita dal campo per il movimento dal punto A al punto B lungo la linea curva è
uguale a quella che il campo fornirebbe se il movimento da A a B fosse una successione
continua di tratti di linea di flusso ed archi di circonferenza oppure un tratto di linea di
flusso sino al punto C e l’arco di circonferenza da C ad B.
x La quantità d’energia sarà dunque, in ogni caso, pari alla differenza d’energia potenziale:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

ooo
BA
ZA GZIGBCABA
r
1
r
1
4
qQ
WWW

182

+
X
CA
B
F
E
Y

Figura 79 – ENERGIA POTENZIALE PER PERCORSO QUALSIASI

ENERGIA POTENZIALE PER UN PERCORS O CHIUSO

Se una particella carica, ad esempio positivamente, è inserita in un campo elettrico E ed è costretta a
percorrere un qualsiasi percorso chiuso che inizia e termina nello stesso punto A anche passando
per un punto B, lo scambio netto di energia tra la particella, il campo elettrostatico e l’ambiente
esterno è NULLO.

In sintesi:

()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?“
o
o
o
BACA
CA1
1BA
BA
r
1
r
1
4
qQ
r
1
r
1
4
qQ
WdssFW
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?“
o
o
o
BACA
CA2
2BA
BA
r
1
r
1
4
qQ
r
1
r
1
4
qQ
WdssFW
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?
?“
o
o
o
BACA
CA3
3BA
BA
r
1
r
1
4
qQ
r
1
r
1
4
qQ
WdssFW

() 0WWWWdssFW
BABAA2BBA
A2B1A
A2B1A
+ ?“
ooooooooo
() 0WWWWdssFW
BABAA3BBA
A3B1A
A3B1A
+ ?“
ooooooooo

183
+
X
CA
B
F
E
Y
1
2
3
rA
Cr B= r

Figura 80 – PERCORSO CHIUSO

ENERGIA POTENZIALE IN UN CAMPO GENERATO DA PIU’ CARICHE PUNTIFORMI

In un punto P di un campo elettrico generato dall’azione contemporanea di cariche puntiformi
1
Q,
2
Q, ,Q
3 ………,
N
Q, l’energia potenziale elettrostatica è pari alla somma delle energie
potenziali
()1P
W,
()2P
W,
()3P
W, ……. ,
()NP
W generate singolarmente, nello stesso punto, da ogni
carica Q.
Anche in questo caso, per la dimostrazione, si ricorre alla considerazione che il lavoro effettuato
dalla forza elettrica non dipende dal tipo di percorso ma solo dalla posizione iniziale e finale dello
spostamento ed è nullo per qualsiasi spostamento perpendicolare alla forza.

Supponiamo che il campo elettrico sia generato da tre cariche puntiformi
1
Q,
2
Q, ,Q
3 ad esempio
positive e consideriamo una carica esploratrice q, anch’essa positiva, posta in un punto qualsiasi
del campo.
Supponiamo inoltre che le cariche generatrici mantengano, in qualche modo, la posizione iniziale,
cioè che le azioni elettrostatiche reciprocamente scambiate siano annullate da altrettanti vincoli
fissi.
La forza elettrostatica sulla carica esploratrice nel punto P sarà la somma vettoriale delle tre forze
che le cariche Q esercitano singolarmente.

321E
FFFF ++

Per effetto della risultante delle forze, la carica esploratrice si sposterà dal punto P verso un altro
punto A secondo una traiettoria PA avente la direzione della risultante.
Ma lo spostamento modifica la posizione del punto e, di conseguenza, il modulo e la direzione delle
tre forze componenti e della nuova risultante costringendo così la carica esploratrice a spostarsi
nuovamente in direzione diversa dalla precedente.

184
Sostanzialmente l’azione contemporanea delle tre cariche generatrici avrà l’effetto di spostare la
carica esploratrice sino all’infinito – limiti del campo – su una traiettoria curva dipendente dalla
posizione iniziale del punto, dalla posizione e grandezza delle tre cariche.
Se si considera quanto detto precedentemente a proposito di un unico campo radiale - il lavoro
effettuato dal campo per spostare la carica dal punto iniziale ad un punto infinitamente distante è
indipendente dal percorso e dal valore della forza durante lo spostamento ed il suo valore è l’energia
potenziale elettrostatica
P
W tipica del punto P – allora il lavoro effettuato dalle cariche generatrici
non può che essere la somma algebrica (si tenga presente che il lavoro o energia è una grandezza
scalare) del lavoro effettuato da ogni campo per spostare la particella dal punto P iniziale sino
all’infinito lungo il percorso provocato dall’azione contemporanea delle tre cariche.

Quindi:
() () ()3P2P1PP
WWWW ++

Con:
()
1
1
1P
r
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

()
2
2
2P
r
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

()
3
3
3P
r
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

Ove con r sono intese le distanze iniziali tra il punto e le relative cariche
generatrici.

Se, al contrario, anche le tre cariche generatrici sono sensibili alle azioni elettrostatiche reciproche,
cioè, se anche ad esse sono consentiti liberi spostamenti, allora si può definire energia potenziale
del sistema la somma delle quantità di lavoro eseguite dal sistema per spostare tutte le cariche dalla
posizione iniziale sino ai limiti del campo, cioè, all’infinito.
Al lavoro fatto dalle tre cariche per spostare la carica esploratrice sono dunque da aggiungere:
x Il lavoro fatto da due cariche, ad esempio
2
Q e
3
Q per spostare all’infinito
1
Q:
( )
31
13
21
12
132
r
1
4
QQ
r
1
4
QQ
W ?
p?e?
?
+?
e?p?
?

?
x Il lavoro fatto per spostare l’ultima carica, ad esempio Q
2 all’infinito:
()
23
23
23
r
1
4
QQ
W ?
e?p?
?

?
L’ultima carica
3
Q, alla fine, essendo le altre già all’infinito, può essere considerata fissa in quanto
non risente più di alcun campo elettrico.
L’energia potenziale complessiva del sistema di cariche considerato è dunque dato da:

( ) ()23132P
WWWW
??
++
?
?
?
?
?
?
?
? ?
+
?
+
?
+
?
+
?
+
?
?
e?p?

23
23
31
13
21
21
3
3
2
2
1
1
r
QQ
r
QQ
r
QQ
r
Qq
r
Qq
r
Qq
4
1
W

185

IL POTENZIALE ELETTROSTATICO

Occorre innanzi tutto far presente alcuni concetti che sono stati, sino ad ora, volutamente tralasciati
per dar spazio alle relazioni fondamentali dell’elettrostatica, alle dimostrazioni e alla parte
applicativa, numerica e simbolica.
La trattazione delle argomentazioni sino ad ora espresse ha avuto origine dalla constatazione che
una qualsiasi distribuzione di carica elettrica Q – puntiforme, distribuita linearmente o su una
superficie oppure entro un volume – è causa della comparsa di un’intensa forza, di tipo
elettrostatico, che è stata definita “Forza elettrica”.

La forza elettrica si manifesta solo nel caso in cui la distribuzione principale di cariche (carica
generatrice) interagisce con una o più particelle anch’esse dotate delle stesse caratteristiche, cioè,
caricate elettricamente con lo stesso segno o segno diverso.
In questo senso, la forza elettrica non dipende quindi dalla sola carica generatrice, ma è variabile
anche in funzione della grandezza della stessa carica che la subisce: la carica esploratrice.

Allo scopo di rendere meno laboriosi i calcoli e, nello stesso tempo, svincolare e rendere
indipendente il concetto di forza dalla presenza e dalla grandezza della carica che la subisce, è poi
stata definita una nuova grandezza vettoriale in grado di descrivere le caratteristiche e le
modificazioni della regione di spazio che contiene la distribuzione di cariche generatrici.

Tale grandezza, denominata “Campo elettrico o elettrostatico”, ha quindi caratteristiche più generali
rispetto alla grandezza “Forza elettrica” in quanto prende in esame le modificazioni dello spazio per
il solo effetto delle cariche generatrici senza coinvolgimento delle cariche esploratrici.

Il vantaggio di trattare una grandezza più generale, come il campo elettrico, è parzialmente ridotto
dalle notevoli complicazioni che insorgono per i calcoli, quando sono coinvolte grandezze vettoriali
piuttosto che scalari ed è anche per questo motivo che, ove possibile, risulta più vantaggioso
utilizzare la definizione di una nuova grandezza, questa volta di tipo scalare, denominata “Flusso
del campo”.

Si può quindi concludere affermando che le modificazioni della regione di spazio circostante una
distribuzione qualsiasi di cariche elettriche sono identificate, quando si è a conoscenza di una
funzione di coordinate spaziali in grado di restituire, elaborando i valori delle coordinate stesse, una
quantità scalare denominata “Flusso del campo” ed indicata con il simbolo F.

D’altra parte, un ragionamento analogo può essere preso d’esempio anche nei riguardi
dell’ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA associata ad un punto P qualsiasi
appartenente alla regione di spazio contenente le cariche generatrici.
Essa, pur presentando tutti i vantaggi tipici delle grandezze scalari, è pur sempre determinata solo se
si conoscono i parametri che ne consentono il calcolo, cioè: la forza elettrica, lo spostamento e la
loro inclinazione reciproca.

Il problema sembra quindi ritornare al punto di partenza ove una grandezza scalare è definita solo
dalla conoscenza delle grandezze vettoriali che la compongono con tutte le complicazioni annesse e
connesse.

D’altra parte occorre dire che l’energia potenziale elettrostatica, oltre ad essere una grandezza
scalare, ha il vantaggio di essere il risultato dell’azione di un campo di forze conservativo per il
quale, come si è visto, deve esistere una funzione indipendente sia dallo spostamento che

186
dall’inclinazione reciproca tra lo spostamento e la forza applicata e i cui argomenti sono individuati
nelle sole coordinate spaziali delle estremità dello spostamento stesso.
Se la conoscenza della funzione “flusso del campo” ci permette di risalire al calcolo della forza e se,
per mezzo della definizione di campo conservativo, siamo in grado di elaborare la funzione
ENERGIA POTENZIALE ELETTROSTATICA, allora rimane, come unica variabile, la grandezza
della carica esploratrice.

Cioè, in altre parole:

L’energia potenziale elettrostatica dipende oltre che dalle cariche generatrici e dalla
posizione del punto all’interno del campo, anche dalla grandezza della carica che subisce il
campo stesso.
Per un campo radiale si è, infatti, dimostrato che l’energia potenziale è definita da:
P
P
r
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

Se ora si ricorda la definizione di campo elettrico E, procedendo poi alla sostituzione nella
formula, si ottiene:
2
P
E
P
r
1
4
Q
q
F
E ?
e?p?

??
P
2
P
P
2
P
2
P
2
P
P
P
rq
r4
Q
r
r4
qQ
r
r
r
1
4
qQ
W ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

??
PPP
2
P
P
rqErq
r4
Q
W ?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?

Se poi si tiene presente la definizione di flusso del vettore campo e la legge di Gauss ad esso
associata:
e
? F
Q
SE
PPP
??
2
P
P
r4
Q
S
E
?p??e

F

Allora l’energia potenziale elettrostatica assume la forma:

pPPP
2
P
P
rq
S
rqErq
r4
Q
W ??
F
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?

Come si dovrebbe notare esaminando l’espressione dell’energia potenziale relativa ad un punto P
interno ad un campo radiale, la funzione contiene variabili esclusivamente dipendenti dalla
posizione del punto come la distanza ed il flusso ed è dipendente dal valore della carica q.

Tale difficoltà può quindi essere risolta utilizzando un ragionamento perfettamente simile a quello
utilizzato per derivare il campo elettrico dalla forza elettrica annullando la dipendenza dalla carica
esploratrice.

Si giunge in questo modo alla definizione di una nuova grandezza di FONDAMENTALE
IMPORTANZA per l’elettrostatica, l’elettrodinamica e per tutti gli argomenti correlati.

187
Tale nuova grandezza - il POTENZIALE ELETTRICO O ELETTROSTATICO – è di tipo scalare
ed è una funzione che dipende unicamente dalle posizioni dei punti e dal tipo e grandezza delle
cariche generatrici.
IL POTENZIALE ELETTRICO

Si consideri la presenza di un campo elettrico radiale generato da una carica puntiforme Q positiva
ed un sistema di riferimento cartesiano con la carica nel punto d’origine O.
Una delle infinite linee di forza del campo – tutte uscenti dalla sorgente in O – è proprio l’asse X sul
quale si immagina di collocare, in un punto A distante
P
xdall’origine, la solita carica esploratrice
q, ad esempio positiva.
Per effetto della forza
A
Fo del conseguente campo elettrico repulsivo
A
Eed in assenza di altre
forze di diversa origine, la carica esploratrice sarà spostata, in moto accelerato non uniforme, lungo
l’asse X, dalla posizione iniziale
A
x sino alla posizione finale corrispondente ai limiti del campo e
caratterizzata da una distanza dal centro infinitamente grande ( )f x .

Ci si potrebbe domandare che cosa succede alla carica, quando, alla fine, giunge in una posizione
infinitamente distante cui corrisponde evidentemente una forza repulsiva nulla ed una velocità
infinitamente elevata per effetto di un’accelerazione sempre decrescente ma sempre positiva.
Ma questo è un altro problema e non si desidera per nulla entrare in particolari prendendo in
considerazione l’infinito.
Si tenga presente però che le forze elettrostatiche, al pari delle gravitazionali, sono rapidamente
decrescenti con la distanza al quadrato.

Per quanto visto precedentemente, per lo spostamento della carica q all’infinito è necessaria
l’erogazione di una quantità di lavoro, da parte del campo elettrico, pari all’energia potenziale
elettrostatica caratteristica del punto A.
Tale quantità d’energia è stata determinata integrando tra i limiti indicati la funzione ottenuta dal
prodotto della forza per lo spostamento ed il suo valore (in Joule) è:

()
A
qA
x
1
4
qQ
W ?
e?p?
?

Come si nota l’energia potenziale elettrostatica di un campo radiale è funzione della carica Q, della
carica q e della distanza iniziale del punto dalla carica Q.
Potendo naturalmente non tener conto delle costanti al denominatore.

Ora supponiamo di raddoppiare la carica esploratrice e ripetiamo tutto il ragionamento precedente.
L’energia potenziale elettrostatica sarà evidentemente doppia rispetto alla precedente:
Infatti:
()
( )
()qA
A
q2A
W2
x
1
4
q2Q
W ? ?
e?p?
??

Potremmo ora triplicare la carica ottenendo ovviamente:
()
()
()qA
A
q3A
W3
x
1
4
q3Q
W ? ?
e?p?
??

Ovviamente l’energia potenziale elettrostatica aumenta in proporzione all’aumento della carica -
diminuisce nello stesso modo se si diminuisce la carica - , mentre, è costante il rapporto tra
l’energia e la relativa carica:

188

()
K
x
1
4
Q
q
W
A
qA
?
e?p?

()
K
x
1
4
Q
q2
W
A
q2A
?
e?p?

?

()
K
x
1
4
Q
q3
W
A
q3A
?
e?p?

?

Il rapporto tra l’energia potenziale caratteristica del punto A del campo e la grandezza della carica
esploratrice cui l’energia si riferisce, è la nuova grandezza fisica definita “POTENZIALE
ELETTROSTATICO”.

Il POTENZIALE è uno scalare e la funzione che lo determina è una funzione di punto e non di linea
come d’altra parte richiede il campo conservativo.

La simbologia da utilizzarsi, relativamente al punto A e al campo considerato, è la seguente:

q
W
V
A
A
?
?
?
?
?
?
??
C
J
V
A

A
A
r
1
4
Q
V ?
e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
m
1
mN
C
C
V
2
2A ?
?
?
?
?
??
??
C
mN
V
A

Il potenziale elettrico relativo al punto A è misurato numericamente dalla quantità di lavoro,
espressa in JOULE, (positivo o negativo) effettuato dalle forze elettrostatiche del campo per
trasportare l’unità positiva di carica, espressa in COULOMB, sino ai limiti del campo.
Per quanto attiene la definizione dell’unità di misura risultante è meglio far riferimento alla
differenza di potenziale come più avanti descritto.

Allo stesso modo si deduce che per un punto B, appartenente alla stessa linea di forza e collocato ad
una distanza
B
x dal centro oppure su una sfera di raggio
B
x, il POTENZIALE deve valere:

q
W
V
B
B

B
B
r
1
4
Q
V ?
e?p?

189

DIFFERENZA DI POTENZIALE

Una volta stabilito che il potenziale
A
Vdi un punto A, appartenente ad un campo elettrico E, è dato
dal rapporto tra l’energia potenziale
A
Wdel campo in quel punto e la grandezza della carica
esploratrice q e che il valore del potenziale è indipendente dalla grandezza della carica q, è
necessario ribadire quanto dimostrato precedentemente a proposito dell’energia potenziale relativa
ad un percorso qualsiasi seguito dalla carica per passare dal punto A ad un punto B.
Come si è visto, il lavoro eseguito dal campo durante il percorso AB è dato dalla differenza tra il
lavoro necessario per spostare la carica dal punto A all’infinito ed il lavoro necessario per riportare
la carica dall’infinito al punto B.
Le due quantità di lavoro sono, rispettivamente, l’energia potenziale elettrostatica del punto A e
l’energia potenziale elettrostatica del punto B cambiata di segno.
Se il campo è generato da una carica positiva e se la carica esploratrice è anch’essa positiva, allora:

( )
BABABAABAB
WWWWWWWL +
fofooffo

Come si è verificato, la differenza d’energia potenziale elettrostatica non dipende dal particolare
percorso AB ma solo dalla posizione del punto iniziale e finale.

Ad ulteriore conferma, supponiamo che le forze del campo elettrostatico applicate ad una carica q
siano in grado di provocare uno spostamento AB su due percorsi diversi.

A
B
2
1

Figura 81 –

Se, per ipotesi, il lavoro compiuto dal campo per spostare la carica da A a B sul percorso 1 è
maggiore di quello relativo al percorso 2 e se si suppone che la carica segua il ciclo chiuso
composto dai due percorsi partendo e ritornando nel punto A, allora si dovrebbe concludere:

() ()2AB1AB
WW ?
() () () ()
0WWWW
2AB1AB2BA1AB
? +

190

L’ipotesi è evidentemente assurda in quanto ammette come risultato la creazione di energia che
consentirebbe il moto perpetuo.

Proviamo a pensare ad un esempio concreto come il movimento di un corpo all’interno del campo
gravitazionale in assenza di forze dissipative quali l’attrito.
Sia A la posizione iniziale del corpo individuata dall’altezza h da terra, B la posizione finale
collocata al termine del segmento che individua l’ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC.

A
B
1
2

Figura 82

Se ammettiamo di poter recuperare il lavoro eseguito dal campo gravitazione durante il percorso di
caduta lungo l’ipotenusa AB (indicato con 1) e di poterlo poi nuovamente applicare al corpo
facendogli percorrere il percorso 2 (base + altezza del triangolo) e se, per ipotesi assurda, il lavoro
recuperato fosse maggiore di quello occorrente per riportare il corpo nella posizione A col percorso
2, allora l’applicazione integrale dell’energia recuperata sarebbe in grado di sollevarlo ad una
altezza maggiore di quella da cui era partito (si tenga conto che, in assenza di forze dissipative, il
tragitto orizzontale non richiede lavoro).
Ciò è chiaramente in contrasto con la realtà in quanto, proseguendo con tale metodo, si otterrebbe la
fuoriuscita dal campo gravitazionale solo a spese del campo e si violerebbe il principio di
conservazione dell’energia meccanica.
Se, invece, fosse minore ciò sarebbe ancora in contrasto con il principio di conservazione
dell’energia in quanto occorrerebbe ammettere che la diminuzione di energia potenziale nel
passaggio da A a B lungo il tragitto 1 non è compensata da un ugual aumento di energia cinetica ed
il corpo non è più in grado, con il lavoro recuperato, di risalire nel punto A.

Tornando quindi al problema iniziale e tenendo presente la definizione di potenziale elettrostatico si
avrà:
BAAB
WWW

Con:
q
W
V
A
A
?? qVW
AA
?

191
q
W
V
B
B
?? qVW
BB
?
Da cui si ottiene:

qVqVW
BAAB
??

( )
BAAB
VVqW ?
q
W
V
AB
AB
D

q
W
V
AB
AB
DIFFERENZA DI POTENZIALE

Al pari dell’energia potenziale elettrostatica anche la differenza di potenziale
AB
V è un grandezza
scalare che dipende solo dalla posizione dei punti all’interno campo e dalla carica che lo genera.

IL MOVIMENTO DELLE CARICHE ELETTRIC HE PER EFFETTO DEL POTENZIALE

Il movimento di una o più particelle elettricamente cariche all’interno di un campo elettrico E per
effetto della differenza di potenziale
AB
V, dipende dal segno della carica:

Le cariche esploratrici positive, all’interno di un campo generato da cariche positive, sono
respinte dai punti interni del campo verso punti esterni. Tale movimento richiede cessione di
lavoro da parte del campo perciò la differenza di energia potenziale elettrostatica
AB
W deve
essere considerata positiva ( )
BA
WW?. Di conseguenza anche la differenza di potenziale è
positiva ed il potenziale del punto A risulta maggiore di quello del punto B.
Le cariche positive si muovono da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale
minore.

Le cariche esploratrici negative, all’interno di un campo generato da cariche positive, sono
attratte da punti esterni verso punti interni.
Si muovono quindi da punti a potenziale minore verso punti a potenziale maggiore.

N.B.
Considerando che gli elettroni di conduzione sono negativi e che sono liberi di muoversi più
o meno liberamente all’interno del materiale conduttore che li contiene, essi si sposteranno
verso i punti del conduttore ove esiste un potenziale maggiore abbandonando i punti a
potenziale minore.
Allo stesso modo si dovranno muovere gli ioni negativi (anioni) presenti nelle soluzioni,
mentre, all’opposto gli ioni positivi (cationi).

192
Q
+
q
+
VBAV
VA>VB
Q
+
VA
q
-
BV
>AV BV

Figura 83 – MOTO DI CARICHE POSITIVE E NEGATIVE

UNITA’ DI MISURA DELLA DIFFERENZA DI POTENZIALE – IL VOLT
L’unità di misura del potenziale V e, in particolar modo, della differenza di potenziale VD, cui è
dato il nome di “ VOLT ” ()V rappresenta la differenza di potenziale esistente tra due punti di un
campo elettrostatico tale da produrre, su una carica di 1 Coulomb, un lavoro di 1 Joule.
Per cui:
q
W
VVV
AB
BA
D
( )
( )
( )
( )
()C1
mN1
Coulomb1
Joule1
volt1V
?
D

La differenza di potenziale VD è anche denominata “TENSIONE ELETTRICA” o “d.d.p.”
– diff. di potenziale.

Sono inoltre da riconsiderare le unità di misura delle grandezze elettriche “CAMPO
ELETTRICO” e “FLUSSO DEL CAMPO ELETTRICO”, prendendo come base l’unità di
misura del potenziale:

Per quanto riguarda il campo elettrico (vettoriale):
()
()Cq
NF
E
E
?? qEF
E
? ? SFW
E
?
? SE
q
SqE
q
SF
q
W
V
E
?
??

?

? SEV ?
?
S
V
E ?
?
?
?
?
?
m
Volt
E
Per quanto riguarda il flusso del campo elettrico (scalare):

193
() ( )mVoltm
m
volt
SE
2
?????
?
?
?
?
?
??? F

POTENZIALE IN UN PUNTO DI UN CAMPO PRODOTTO DA PIU’ CARICHE PU NTIFORMI

Se il campo elettrico è generato dalla presenza contemporanea di più cariche puntiformi
1
Q,
2
Q,
…….,
N
Q, allora il potenziale elettrico in un punto P del campo è dato dalla somma algebrica dei
potenziali prodotti singolarmente da ogni carica considerata con il proprio segno.

() () () ()PNP3P2P1P
V.......VVVV ++++
Con:
()
()
1
1
1
1
P1
P1
r
Q
4
1
q
1
r
1
4
qQ
q
W
V ?
e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

Quindi:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?

Ni
1i
1
i
P
r
Q
4
1
V

Si perviene a tale risultato considerando che il lavoro prodotto dalle cariche puntiformi generatrici
su una carica esploratrice posizionata inizialmente nel punto P, per il fatto di non dipendere dal
percorso e dalla variazione del campo durante lo stesso, è la somma delle energie potenziali
elettrostatiche delle singole cariche nel punto P.

LINEE E SUPERFICI ALLO STESSO POTENZIALE - EQUIPOTENZIALI
Si tratta di dimostrare che, in un campo elettrico generato da una certa distribuzione di carica,
esistono punti particolari caratterizzati dallo stesso valore di potenziale.
Tali punti sono collocati su linee o superfici chiuse (a seconda che si consideri il campo nel suo
sviluppo bi o tridimensionale) denominate “linee o superfici equipotenziali”.
Ogni superficie equipotenziale è distinta da quella che la precede e da quella che la segue.

CASO GENERALE:
Si prende in esame un campo elettrico qualsiasi rappresentato graficamente dalle linee di forza
caratteristiche.
Si ricorda che, in un punto del campo – con esclusione dei punti sorgente – passa una sola linea di
forza e che essa è costituita dall’insieme, rettilineo o curvilineo, dei punti occupati dalla carica
esploratrice, posizionata inizialmente nel punto considerato, durante il moto provocato dalle forze
del campo.
Fissato un punto P su una linea di flusso ed altri due punti A e B appartenenti ad un segmento
passante per P e posti ad una distanza tale dal primo da poter ritenere costante in modulo e direzione
il campo elettrico, è possibile determinare simbolicamente la differenza di potenziale tra i due punti
in funzione della posizione relativa del segmento AB rispetto alla direzione della linea di forza:

()
()a??
a??
cosABE
q
cosABF
q
W
VVV
EAB
BAAB

Se, per ipotesi, i due punti A e B devono avere lo stesso potenziale, allora la differenza di
potenziale deve essere automaticamente nulla:

BA
VV Stesso potenziale

194
?? 0VV
BA

Di conseguenza, per essere confermata l’ipotesi, occorre che il prodotto scalare tra campo
elettrico e spostamento sia nullo:

()0cosABE a??

Ma tale ipotesi è vera alla sola condizione che sia nulla la proiezione del segmento AB sulla
direzione del vettore campo e tale condizione si realizza solo nel caso in cui il segmento AB
sia perpendicolare al vettore campo.
Quindi, in conclusione:
Dato un campo elettrico qualsiasi e le linee di flusso che lo caratterizzano e preso a piacere
un punto P interno al campo, esiste una sola linea passante per P i cui punti sono allo stesso
potenziale del punto P.
Tale linea deve essere necessariamente perpendicolare alla linea di flusso e a tutte le linee di
flusso passanti nei punti appartenenti alla linea equipotenziale

A
B
A
B
*
*
E
90°
Linea di forza
Linea di forza
Linea di forza
90°
90°
LINEA EQUIPOTENZIALE
P
90°
90°
90°
90°
90°
90°
V
R
X
P
RV
V
X
V
X
V
R
PV

Figura 84 – LINEE O SUPERFICI EQUIPOTENZIALI.

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN UN CAMPO RADIALE

Considerata la simmetria del campo rispetto al centro risulta chiaro che le linee equipotenziali (caso
bidimensionale) sono circonferenze concentriche mentre le superfici equipotenziali (caso
tridimensionale o campo spaziale) sono sfere concentriche.
Nel caso di carica puntiforme positiva, i punti appartenenti a circonferenze o sfere di raggio minore
presentano potenziale maggiore e viceversa.
Al contrario se la carica è negativa.

195
PV
RV
V
X

Figura 85 – SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN CAMPO RADIALE

SUPERFICI EQUIPOTENZIALI IN UN CAMPO UNIFORME
Nel campo uniforme prodotto da due distribuzioni superficiali piane parallele, distanti d tra loro e
caricate di segno diverso, considerando che le linee di flusso sono tutte parallele tra loro e
perpendicolari ai piani carichi, le superfici equipotenziali sono necessariamente costituite dai punti
appartenenti a piani paralleli alle lastre.

E
V
RV
P V
XV
Q YV
+ -

Figura 86 – SUPERFICI EQUIPOTENZIALI NEL CAMPO UNIFORME

196
RELAZIONE TRA CAMPO ELETTRICO E POTENZIAL E

Utilizziamo ancora la linea di flusso coincidente con l’asse X di un campo elettrico radiale generato
da una carica Q positiva posta nell’origine degli assi.
Una carica esploratrice q, positiva, è posizionata ad una distanza
A
x dall’origine ed è quindi
costretta dal campo E ad allontanarsi procedendo all’infinito da punti a potenziale maggiore
A
V
verso punti a potenziale minore
B
V.
Da quanto visto in precedenza, già sappiamo che il valore del potenziale dipende dalla distanza e
che, in un campo radiale, tale valore è espresso da:
A
A
x
1
4
Q
V ??
?
?
?
?
?
e?p?
?
?
?
?
?
?
C
J
??( )volt
B
B
x
1
4
Q
V ??
?
?
?
?
?
e?p?
()V
Ed in generale, per un punto ad una distanza x dal centro:
()
x
1
4
Q
xV ??
?
?
?
?
?
e?p?
()V
Naturalmente per il punto collocato ad una distanza infinitamente grande, il potenziale è nullo:
( ) 0
1
4
Q
xV #
f
??
?
?
?
?
?
e?p?
f
Per due punti A e B, distanti
A
x e
B
x dal centro, la variazione del potenziale è dunque ottenuta
dalla sottrazione algebrica dei due rispettivi valori:
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
e?p?
D
BA
ABBA
x
1
x
1
4
Q
VVV
La variazione del potenziale è di entità più elevata se i due punti presi in esame si
avvicinano al centro del campo.

0,6
V (volt)
2,4
f (x) =
POTENZIALE
V (x)
1,4
0,8
1,2
1,0
0,6
0,4
0,8
0,2
0,20,40,6 1,61,01,21,4 1,82,02,2
3,2
1,6
2,6
3,0
2,8
2,4
1,8
2,0
2,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4.4
4,6
4,8
5,0
f (x) =
VD
2
0,40,2
Q
+
0,2
0,8
0,4
0,6
3,22,6 3,02,8 3,4x (m)
1/x
Dx
DV
1
1,8
1,0
1,2
1,6
1,4
2,2
2,0
2,4
2,6
1
a
3,6
2,8
3,0
3,2
3,4
4.4
4,2
4,0
3,8
V (volt) 4,8
4,6
5,0
POTENZIALE
2,21,40,8 1,21,0
xD
1,6 2,01,8 3,02,4 2,82,6 3,23,4
f (x) =
V (x)f (x) =
1/x
x (m)
a
2
1
a
2
a

Figura 87 – VARIAZIONE DEL POTENZIALE ELETTRICO – CAMPO RADIALE

197
Ciò significa che il valore della tangente alla curva in un punto ad una distanza x dal centro
passa da un valore negativo infinitamente grande (per un angolo appena superiore a 90° il
coseno è piccolissimo e negativo) ad un valore prossimo a zero (per un angolo prossimo a
180° il seno è positivo e piccolissimo mentre il coseno è prossimo a - 1).

La tangente è dunque sempre negativa ma con valori elevati, per punti prossimi al centro, e
valori piccoli per punti molto distanti.

D’altra parte il valore della tangente alla curva è ottenuto dividendo l’incremento di
potenziale (che si misura in volt) per l’incremento di spazio (che si misura in metri)
ottenendo quindi un risultato che, dimensionalmente, è espresso in (volt/m).
Si deve quindi concludere che, fisicamente, la tangente alla curva ha le stesse dimensioni del
campo elettrico E.

Ma il valore della tangente in un punto della curva altro non è che la derivata prima della
funzione potenziale e, a parte il segno negativo, rappresenta il valore del campo elettrico in
quel punto.
Il valore del campo elettrico nel punto considerato è dunque pari al valore assunto dalla
derivata prima del potenziale calcolata nel punto considerato e cambiato di segno:

() ()
X
xV
dx
d
xE
?
?
?
…
?
?

Proviamo quindi a determinare la funzione derivata del potenziale V(x) tenendo presente
che, a parte il termine costante tipico del campo radiale
e?p?4
Q
, il potenziale è variabile in
funzione di
x
1
:
()
x
1
K
x
1
4
Q
xV ? ??
?
?
?
?
?
e?p?

Occorre quindi derivare la funzione
x
1
, determinare il valore della derivata nel punto
che ci interessa, moltiplicare per il termine costante K e, infine, per determinare il
campo elettrico, cambiare di segno.

Quindi:
() ?
?
?
?
?
?
?
x
1
dx
d
KxV
dx
d

x
VV
lim
x
1
dx
d
XXX
0X
D

?
?
?
?
?
?
D+
oD
Tale operazione equivale a porre infinitamente vicini due punti successivi della curva
ottenendo quindi, come risultato, il valore della tangente nel punto considerato.
Utilizzando la funzione potenziale e sostituendo i valori, si ottiene:
x
x
1
xx
1
x
x
1
x
1
x
VV
lim
XXXXXX
0X
D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D+

D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D

D+D+
oD
( )
( )
( ) ( )xxxx
x
xxxx
xxx
x
xxx
xx.x
x
x
1
xx
1
lim
0X
D+??D
D

D+??D
D

D
?D+
D+

D
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D+
oD

198
( )xxxx
x
lim
0X
D+??D
D

oD
( )xxx
1
lim
0X
D+?

oD
22
0X
x
1
xxx
1
lim
D?+

oD
Quindi la derivata prima del potenziale, cioè il campo elettrico cambiato di segno, è
una funzione dipendente da
2
x
1
.
()
22
x
1
4
Q
x
1
KxV
dx
d
??
?
?
?
?
?
e?p?
?
?
?
?
?
?
?
Si riconosce immediatamente che il valore della derivata del potenziale altro non è
che il campo elettrico nel punto x cambiato di segno e si può quindi concludere che:
() ()
2
x
1
4
Q
xV
dx
d
xE ??
?
?
?
?
?
e?p?

Cioè:
() ()xV
dx
d
xE

POTENZIALE
f (x) =
2,40,8
0,2
0,8
0,4
0,6
1,0
1,2
0,60,40,2
2,2
2,0
1,8
2,4
2,8
3,0
2,6
1,6
1,4
1,61,41,21,0 2,22,01,8 3,22,83,02,6 3,4
1/x
x (m)
V (x)
V (volt)
4,8
4,6
4.4
4,2
4,0
3,8
3,6
3,2
3,4
5,0
f (x) =
Q
+
DV
1
xD
2VD
a
1
a
1
a
2
1
a
2
a

Figura 88 – INCLINAZIONI NEGATIVE DELLA TANGENTE

199
0,80,2 0,4 0,6 1,61,0 1,2 1,4
2,41,8 2,0 2,2 3,22,6 3,02,8 3,4
V (volt)
x
1,4
1,2
1,0
0,6
0,4
0,8
1,6
0,2
3,4
3,2
2,6
3,0
2,8
2,4
1,8
2,0
2,2
3,6
3,8
4,0
4,2
4.4
4,6
4,8
5,0
1/xf (x) =
POTENZIALE
f (x) =V (x)
g (x) = V(x)
d
dx
f '(1/x) =
2
1
-
x
=
DERIVATA DEL POTENZIALE
2,40,8
0,2
0,4
0,20,40,6 1,61,01,21,4 1,82,02,2
x
3,22,62,83,0 3,4
2,2
4,0
5,0
4,8
4,6
4.4
4,2
3,6
3,8
3,2
3,4
2,6
3,0
2,8
2,4
0,4
1,8
2,0
1,4
1,6
1,2
1,0
0,6
0,8
0,2
tan ( )
x=0,60
a
x=0,60
g (x) = f '(1/x) =V(x)
dx
d
= -
x
1
2
DERIVATA DEL POTENZIALE
x=1,20
a
tan ( )

Figura 89 – ANDAMENTO DELLA DERIVATA DEL POTENZIALE

4,2
0,2
0,6
0,4
2,4
1,6
1,2
1,4
0,8
1,0
2,0
2,2
1,8
3,0
3,2
2,6
2,8
3,8
4,0
3,6
3,4
5,0
4,8
4.4
4,6
1,20,80,6 1,00,40,2 1,61,4 1,82,02,22,42,62,83,03,23,4
E (volt/m)
g' (x) = =
dx
d
V(x)- f '(1/x) =-
2
x
1
x (m)
CAMPO ELETTRICO
a
tan ( )
x=1,20
-
x=0,60
-
a
tan ( )
E (x=1,20)
E (x=0,6)

Figura 90 – DERIVATA DEL POTENZIALE CAMBIATA DI SEGNO – CAMPO ELETTRICO

Si perviene allo stesso risultato ottenuto derivando la funzione POTENZIALE, cioè alla relazione
tra campo e potenziale, anche con il ragionamento inverso, supponendo cioè di conoscere la
funzione CAMPO ELETTRICO e da essa ricavare la funzione POTENZIALE.

200
Supponiamo allora di concentrare l’attenzione allo spostamento orizzontale, dal punto iniziale
distante
A
x, ad un punto qualsiasi distante
B
x dal centro.
Ora la differenza di potenziale
BA
V
o (misurata in volt) tra il punto A ed il punto B è data dal
rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrostatica dei due punti
BAAB
WWW (o
anche il lavoro necessario per spostare la carica) e la grandezza della carica esploratrice:

q
W
V
AB
BA

o

Nel caso in cui il punto B non è troppo distante dal punto A iniziale, possiamo ritenere
sufficientemente piccola la variazione del campo elettrico, della forza elettrostatica, dell’energia
potenziale e del potenziale.
E’ ammissibile utilizzare, nella formula precedente, le variazioni finite per tratti brevi di
spostamento:

q
W
V
AB
AB
D
D

Se il punto B è infinitamente vicino (da intendersi quasi coincidente) al punto iniziale, allora
alle variazioni finite indicate con D, potremo sostituire le variazioni infinitesime, indicate
con "dW"
AB e ".dV"
AB

La formula si scriverà dunque:
q
dW
dV
D’altra parte la variazione infinitesima di lavoro elettrostatico dW può essere sviluppata nei
termini infinitesimi che la compongono se si considera che essa è determinata dal prodotto
della forza elettrostatica, caratteristica del punto in esame e diretta come X, per lo
spostamento infinitesimo dx:

()dxxFdW
E
?

Oppure, tenendo conto del vettore campo elettrico E nel punto in esame (anch’esso diretto
come X):

() ()dxqxEdxxFdW
E
?? ?

Allora la variazione infinitesima di potenziale assume la forma:

()
dx
q
qxE
q
dW
dV ?
?

()dxxEdV ?

Tale formulazione ci indica che la variazione infinitesima di potenziale è data dal prodotto
del valore del campo elettrico nel punto considerato per la variazione infinitesima di
spostamento.

Si riconosce cioè, ritornando agli incrementi finiti D, un valore pari all’area del trapezio che
ha come base la variazione finita di spostamento xD, come altezza minore il valore del

201
campo
1
E nel punto iniziale dello spostamento e come altezza maggiore il valore del campo
2
E nel punto finale.
Oppure l’area del rettangolo che ha come base la variazione finita di spostamento e come
altezza, il valore intermedio
()XM
E del campo tra il punto iniziale e finale dello
spostamento.
Se lo spostamento è infinitesimo occorre invece pensare all’area di un rettangolo avente
come base lo spostamento infinitesimo dx e, come altezza, il valore del campo tipico del
punto considerato
()X
E.

D’altra parte, dalla formula precedente, si può ricavare la formula inversa:

()dxxEdV ?
()dxxEdVVV
1221
?
( ) ()dxxEdVVV
12
?
?? ()
()>@
dx
xVd
xE

Cioè, deve esistere una funzione della distanza, denominata potenziale, tale per cui la sua
derivata prima,
()>@
dx
xVd
, cambiata di segno e calcolata proprio nel punto distante x dal
centro determini il valore del campo E nel punto x.

Tale prima osservazione coincide esattamente con quanto visto precedentemente a proposito
della derivata del potenziale.

In sostanza:
Se si ragiona in termini finiti la variazione di potenziale tra i punti A e B corrisponde alla
sommatoria di tutte le aree rettangolari o trapezoidali che approssimano la funzione E (x); se
si ragiona in termini infinitesimi allora si deve tener conto dell’integrale, esteso a tutto lo
spostamento, della funzione E(x).

Cioè:
()dxxEVVV
B
A
X
X
BAAB
?“ Integrale (Potenziale esatto)
i
Ni
1i
iBAAB
xEVVV D??

Sommatoria (Potenziale approssimato)
Oppure:

() ( )
ABBA
X
X
VVVVdxxE
B
A
?“

Se il punto B è infinitamente distante dal centro, allora il suo potenziale caratteristico è nullo
e la variazione
ffo
VVV
AA corrisponde evidentemente a
A
V.

Per cui l’integrale tra un punto A e l’infinito, che corrisponde graficamente all’area della
superficie sottostante la curva del campo elettrico E limitata a sinistra dalla verticale
condotta dalla distanza
A
x, in basso dall’asse X e a destra dal punto d’intersezione dell’asse

202
X con la curva del campo (tale punto si trova all’infinito), altro non è che la variazione di
potenziale
foA
V o anche il valore della funzione potenziale nel punto
A
x.

L’integrazione di una funzione è infatti l’operazione inversa della derivazione:

Integrare una funzione ()xf significa, in altre parole, supporre che il valore della
funzione ()xf nel punto considerato rappresenti la derivata di una diversa funzione
originale ()xg, cioè il valore della tangente della funzione originale ()xg nel punto.

Ma il valore della tangente alla funzione originale nel punto è dato dal rapporto tra la
variazione della funzione originale e la variazione infinitesima della posizione del punto
dx.

Per cui, il prodotto del valore della tangente per l’incremento dx deve necessariamente
restituire la variazione della funzione originale. Moltiplicare i valori della funzione ()xf
per gli incrementi infinitesimi significa quindi determinare la funzione originale ()xg.
L’area racchiusa tra la funzione f(x) ed i limiti rappresenta quindi la variazione di g(x).

Cioè:
() () ()
( )()
dx
dg
dx
xgdxxg
xftanxg
dx
d
X

+
a
?? () ()dxxfdxtandg
X
? ?a
() ()dxxfxg ?“ ??

D’altra parte, il campo elettrico in un punto qualsiasi della linea di flusso in un campo
radiale dipende in modo inversamente proporzionale alla distanza al quadrato ed è
direttamente proporzionale al valore della carica generatrice:

( ) ( )
22
x
1
K
x
1
4
Q
Q;xEQ;xf ? ?
e?p?

Quindi l’integrale, cioè la funzione originale o funzione POTENZIALE, assume la
forma:

() dx
x
1
4
Q
dxxEV
2
XX
A
AA
??“
e?p?
?“
ff
fo
I valori costanti sono portati fuori del simbolo d’integrazione (ciò significa
determinare il resto dell’integrale come se fosse una funzione semplice e moltiplicare
poi il risultato per fattore costante K:

dx
x
1
KV
A
X
2
A
?“?
f
fo

Il risultato dell’integrale restituisce la funzione originale dalla quale, attraverso la
derivazione rispetto ad x, si ottiene la funzione da integrare, cioè:

?
?
?
?
?
?

x
1
dx
d
x
1
2

203
Il risultato dell’integrale è quindi la funzione Potenziale:
f
f
fo
?
?
?
…
?
?
? ?“?
AA XX
2
A
x
1
Kdx
x
1
KV
Sostituendo i limiti:
f
f
fo ?
?
?
…
?
?
+
f
? ?“?
A
A X
AX
2
A
x
11
Kdx
x
1
KV
AA
A
x
1
4
Q
x
1
KV ??
?
?
?
?
?
e?p?
?
fo

E, tenendo conto di un punto qualsiasi:

()
x
1
4
Q
xV ??
?
?
?
?
?
e?p?
FUNZIONE POTENZIALE

(volt/m)E
2,2
1,8
2,0
1,4
1,2
1,0
0,6
0,4
0,8
1,6
0,2
5,0
3,6
3,8
4,0
4,2
4,8
4,6
4.4
3,2
2,6
3,0
2,8
2,4
3,4
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
6,2
6,4
Q
+ x1,40,60,20,4 1,00,8 1,2 2,21,81,6 2,0 2,42,62,83,03,23,43,63,84,04,24,4
A= “
=-V
AV E(x)V
Ax
dx

Figura 91 – L’AREA COMPRESA TRA I LIMITI E’ IL POTENZIALE

La stessa teoria può essere applicata anche al caso più generale del campo radiale ove è coinvolta
una qualsiasi linea di flusso diversa dall’asse X, contenuta nel piano o nello spazio.
In questo caso la funzione “campo elettrico” dipende dalla distanza del punto dal centro cioè dal
raggio della circonferenza o della sfera e, di conseguenza dalle coordinate x, y, z del punto in
comune alla linea di flusso e alla sfera.
Nel caso più semplice di una linea di flusso radiale contenuta in un piano X-Y con al centro la
carica generatrice Q (ma il procedimento si può facilmente estendere allo spazio X-Y-Z), il campo
elettrico dipende dalle coordinate del punto iniziale e del punto finale.

204
Si vuole determinare la differenza di potenziale tra detti punti con il metodo visto in precedenza,
anche se sarebbe possibile determinarlo in modo molto semplice e rapido.
Tralasciamo il calcolo più semplice per riprenderlo alla fine a scopo di verifica.
Supponiamo quindi che il punto iniziale A sia stabilito dalle coordinate:
()
()
?
?
?

cm40y
cm10x
A
A
A

Mentre il punto finale B, dalle coordinate:
()
()
?
?
?

cm100y
cm30x
B
A
A

I vettori campo elettrico nei punti A e B sono determinati dai moduli e dalle direzioni:
2
A
2
A
A
yx
1
KE
+
?
2
B
2
B
B
yx
1
KE
+
?
Considerando che il potenziale dipende unicamente dalla posizione dei punti e non varia se varia il
percorso, possiamo pensare al seguente percorso:
x Mantenendo inalterata la coordinata
A
x iniziale, sia variata la sola y sino al massimo valore
possibile cioè
B
y (percorso verticale parallelo a Y)
x Mantenendo poi inalterata la coordinata
B
y, sia variata la sola x sino al massimo valore
possibile cioè
B
x(percorso orizzontale parallelo a X)

Durante il primo tratto verticale il modulo del campo elettrico E deve variare in funzione delle
coordinate dei punti del segmento:
22
A
yx
1
E
+

Mentre la sua direzione è stabilita, durante la variazione di Y, dall’angolo formato con l’asse
Y, dalla relazione:
()a? cosry
()
22
A
yx
y
r
y
cos
+
a
Di conseguenza la componente del campo E, parallela all’asse Y, è data da:
()
( )
( )
2
3
22
A
22
A
22
A
22
A
Y
yx
y
yx
y
yx
1
yx
y
EcosEE
+

+
?
+

+
? a?

Allora, per quanto visto prima, la differenza di potenziale
1
VD, tra il punto iniziale ed il
punto intermedio del percorso, è dato da:
dyEV
B
A
Y
Y
Y1
?“ D
( )
( )
“ ?
?
?
?
?
…
…
?
?
+
?“
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+
D
1
4,0
50,1
22
Y
Y
2
3
22
A
1
43,1dy
y1,0
y
dy
yx
y
V
B
A

K43,1V
1
? D

205
Durante il secondo tratto, orizzontale, il campo elettrico è dato da:
22
b
xy
1
E
+

Mentre la sua direzione è stabilita, durante la variazione di X, dall’angolo formato con l’asse
X, dalla relazione:
()b? cosrx
()
22
b
xy
y
r
x
cos
+
b
Di conseguenza la componente del campo E, parallela all’asse X, è data da:
()
( )
( )
2
3
22
B
22
B
22
B
22
B
X
xy
x
xy
x
xy
1
xy
x
EcosEE
+

+
?
+

+
? b?
Allora, per quanto visto prima, la differenza di potenziale
2
VD, tra il punto intermedio ed il
punto finale del percorso, è dato da:
dxEV
B
A
X
X
X2
?“ D
( ) ( )
037,0dx
x1
x
dx
xy
x
V
3,0
1,0
2
3
22
X
X
2
3
22
B
2
B
A
?“
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+
?“
?
?
?
?
?
…
…
…
?
?
+
D

K037,0V
2
? D

La differenza di potenziale complessiva è dunque data dalla somma delle due differenze di
potenziale:

( ) K467,1037,043,1KVVV
21AB
? +? D+D D

?
?
?
?
?
?
e?p?
? ? D
4
Q
467,1K467,1V
AB

D’altra parte la differenza tra i potenziali tra i due punti – che sono collocati su circonferenze aventi
raggi diversi – è anche data dalla relazione:
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
e?p?
D
BA
AB
r
1
r
1
4
Q
V
Con:
()m412,0yxr
2
A
2
AA
+
()m044,1yxr
2
B
2
BB
+

Per cui:
()K469,1
044,1
1
412,0
1
4
Q
V
AB
? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
e?p?
D

Si nota quindi che i due risultati sono praticamente coincidenti.

206
ESERCIZI
ENERGIA POTENZIALE - POTENZIALE

Esercizio 1:
Una sfera metallica con carica ()C102Q
2
? è spostata dall’aria all’acqua. Determinare di quanto
varia il potenziale da essa prodotto in un punto generico del campo alla distanza r.

Soluzione:
Il potenziale generato da una distribuzione di carica di forma sferica è pari a quello che si avrebbe
nel medesimo punto se la carica fosse tutta concentrata nel baricentro o centro della sfera.
Il suo valore è pari a:
r
1
4
Q
r
1
4
Q
V
R
R
?
e?e?p?
?
e?p?

F

Quando la carica è nell’aria:

()
( )
r
1
4
Q
V
ARIAR
R
?
e?e?p?

F
F
Quando è nell’acqua:

( )
( )
r
1
4
Q
V
O2HR
O2HR
?
e?e?p?

F

La variazione di potenziale è quindi data da:

( ) ( )
?
?
?
?
?
?
?
?
e

e
?
e??p?

F O2HRARIAR
R
11
r4
Q
V
Dato che per l’aria la costante dielettrica relativa è approssimativamente uguale all’unità, si
ottiene:
r4
Q
81
80
81
1
1
1
r4
Q
V
R
?e?p?
? ?
?
?
?
?
?
?
e??p?

FF

Il rapporto tra i due potenziali è:
( )
( )
81
V
V
ARIAR
O2HR
O2H
#
e
e

F

Cioè il potenziale generato nell’acqua, ad una distanza r dal centro, è 81 volte minore di
quello generato nello stesso punto nell’aria.

Esercizio 2:
In un rettangolo ABCD di dimensioni 3m x 4m sono poste nei vertici A, B e C rispettivamente le
seguenti cariche elettriche:
()C103Q
4
A

ì
()C105Q
2
B

ì+
()C104Q
5
C

ì+
Determinare il potenziale generato dalle tre cariche nel punto corrispondente al vertice D del
rettangolo.

Soluzione:

207
Il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme in un punto dipende dalla grandezza della
carica e dalla distanza tra la carica e il punto:
r
1
4
Q
V ?
H?S?

Il potenziale dovuto alla presenza di più cariche è pari alla somma algebrica dei potenziali
generati nel punto da ogni singola carica:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
H?S?

C
C
B
B
A
A
r
Q
r
Q
r
Q
4
1
V

A
B C
D
3m
4m

Per cui:

?
?
?
?
?
?
?
? u

?

?
?
H?S?

4
C104
169
C105
m3
C103
4
1
V
524

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?
H?S?

m
C
1091,9
4
1
V
3

?
?
?
?
?
??
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?S?

C
mN
1091,8
m
C
1091,9
mN
C
1085,84
1
V
73
2
2
12

Vvolt
C
J
C
mN
1091,8V
7
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
u

Esercizio 3:
Tre cariche puntiformi positive di valori C101Q
5
1

u , C102Q
5
2

u , C103Q
5
3

u ,
sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato 5,2 m.
Determinare il potenziale del sistema nel baricentro del triangolo.

Soluzione:

208
A
B C
5,2m

Il baricentro del triangolo equilatero è collocato alla metà della base e ad una distanza da essa pari
ad un terzo dell’altezza h:
() m50,460sen2,5h è?
m5,1
3
h

La distanza di ogni carica dal baricentro è data da:
()m00,35,1
2
2,5
r
2
2
+?
?
?
?
?
?

Il potenziale generato in tal punto da ogni carica è dunque:
()
( )() ( )volt
C
mN
1080,1C106
m34
1
V
55
??
?
?
?
?
??
ì ì?
?e?p

Esercizio 4:
Una sfera conduttrice di raggio R=5 cm è caricata fino ad assumere un potenziale di 100 V.
Determinare:
x La carica elettrica ricevuta dalla sfera
x L’intensità del campo elettrico nel centro della sfera
x L’intensità del campo elettrico a 50 cm dal centro della sfera.

Soluzione:
Si tenga presente che la carica elettrica si distribuisce solo sulla superficie esterna della sfera e che,
nella fase stazionaria successiva al processo di carica, la carica complessiva è distribuita in modo
uniforme con una densità superficiale s costante.
In tali condizioni non è quindi possibile che le cariche interne possano muoversi ulteriormente verso
l’esterno perché, altrimenti, varierebbe la carica complessiva.
Ciò equivale a dire che il campo elettrico, all’interno della sfera, deve essere nullo.
Quindi alla seconda richiesta del problema occorre dire che il campo elettrico è nullo al centro della
sfera.
D’altra parte se si ammette nullo il campo elettrico interno, allora, per la relazione:

209
E
ds
dV

Significa che la derivata della funzione potenziale all’interno della sfera ha un valore nullo
per tutti i punti interni.
Ciò significa che la funzione potenziale deve essere costante e quindi pari al potenziale
esistente sulla superficie come d’altra parte confermato anche dall’integrazione della
funzione campo elettrico.
Il potenziale interno alla sfera vale quindi 100 Volt.
Ma il potenziale calcolato al centro della sfera, per una distanza dalla superficie
costantemente uguale al raggio, è uguale alla sommatoria di tutti i contributi delle cariche
poste sulla superficie:
?
?
?
?
?
? D?s
++
D?s
+
D?s
?
e?p?

r
S
..........
r
S
r
S
4
1
V
N21

?
?
?
?
?
? D
++
D
+
D
?
e?p?
s

r
S
..........
r
S
r
S
4
V
N21

( )
N21
S.........SS
r
1
4
V D++D+D?
e?p?
s

Con:
( )
2
N21
r4S.........SS ?p? D++D+D Superficie complessiva della sfera

Per cui:
e
?s
?p???
e?p?
s

r
r4
r
1
4
V
2

Da cui si ricava la densità superficiale:
r
Ve?
s
()
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
s

2
8
2
2
12
m
C
1077,1
m05,0
mN
C
1085,8
C
J
100

La quantità di carica complessiva sulla sfera è data da:
()C1056,5r4
m
C
1077,1SQ
102
2
8
ì ?p???
?
?
?
?
?
ì ?s
Il campo elettrico prodotto alla distanza di 50 cm dal centro è dato utilizzando la legge di Gauss:
e
? F
Q
SE
()
()
?
?
?
?
?
?

?p??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì

?p?
?
e

C
N
20
m5,04
mN
C
1085,8
C1056,5
r4
1Q
E
22
2
2
12
10
2
1

210
Esercizio 5:
Due sferette metalliche, entrambe con carica ()C105Q
3
ì , sono poste nell’aria rispettivamente
in due punti A e B distanti 3 m uno dall’altro. Determinare l’intensità del campo elettrico ed il
potenziale nel punto intermedio alle due cariche e in un punto posto sulla retta congiungente le due
cariche a 1 metro di distanza da una di esse (internamente al segmento AB).
Soluzione:
Il campo elettrico prodotto dalle cariche nel punto intermedio è nullo in quanto ogni carica genera
un campo elettrico di pari valore ma di segno contrario.
Il potenziale è la somma dei potenziali prodotti da ogni carica:
()
()
( )volt106
m
2
3
mN
C
1085,84
C1052
2
r
1
4
Q
V
7
2
2
12
3
ì#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
ì?
??
e?p?

Ad un metro di distanza da una delle due cariche:
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
21
rr
rr
4
Q
r
1
r
1
4
Q
EEE
?

?
e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?

()( )()
()
?
?
?
?
?
?
ì
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
?ì

?

?
e?p?

C
N
1037,3
m21
mN
C
1085,84
m12C105
rr
rr
4
Q
E
7
422
2
2
12
2223
2
2
2
1
2
1
2
2

Con:
2
1
1
r
1
4
Q
E ?
e?p?

2
2
2
r
1
4
Q
E ?
e?p?

()m1r
1

()m2r
2

Per quanto riguarda il potenziale:
()
() ( )volt1075,6m
2
1
1
1
4
C105
r
1
r
1
4
Q
V
71
3
21
ì ?
?
?
?
?
?
+?
e?p?
ì

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
e?p?

211
Esercizio 6:
Si determini il potenziale elettrostatico nei punti A, B e C del campo generato da due cariche
disposte come nella figura seguente, di valore ()C103Q
6
1

ì e ()C103Q
8
2

ì

Soluzione:
A
BC
10 cm
10 cm
10 cm
20 cm
Q1
Q1

Nel punto A:
( )
()
()
( )volt
C
J
1072,2
m1,0
mN
C
1085,84
C103103
QQ
r4
1
V
5
2
2
12
86
21
A
A
??
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
ì+ì
+?
?e?p?

Nel punto B:

( )
()
()
( )volt
C
J
1092,1
45cos
1,0
mN
C
1085,84
C103103
QQ
r4
1
V
5
2
2
12
86
21
C
B
??
?
?
?
?
?
ì
è
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
ì+ì
+?
?e?p?

Nel punto C:
( )
()
()
( )volt
C
J
1036,1
m2,0
mN
C
1085,84
C103103
QQ
r4
1
V
5
2
2
12
86
21
C
B
??
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
ì+ì
+?
?e?p?

Esercizio 7:
Calcolare il lavoro meccanico necessario per portare un elettrone da un punto ad un altro tra cui
esiste una differenza di potenziale (d.d.p. o tensione) pari a ( )volt000.1V D .

Soluzione:
Si intende che l’elettrone, la cui carica negativa è pari a 1,602 (C), si muova in modo spontaneo, per
effetto del campo elettrostatico che genera la differenza di potenziale, da un punto a potenziale
minore verso punti a potenziale maggiore.

212
Il valore della differenza di potenziale è comunque dato dal rapporto tra la quantità di lavoro
necessario per trasportare una carica q da un punto all’altro del campo diviso per la grandezza della
carica che si sposta:
q
W
V
AB
AB

Per determinare il lavoro occorre dunque utilizzare la formula inversa e tenere conto della carica
dell’elettrone:
() ()J10602,1C10602,1
C
J
000.1eVW
1619
ABAB

ì ì??
?
?
?
?
?
?

Quindi se l’elettrone si sposta da punti a potenziale basso verso punti a potenziale più elevato, il
lavoro è fornito dal campo, mentre il lavoro deve essere fornito dall’esterno per provocare il
movimento contrario.

Esercizio 8:
Calcolare il lavoro richiesto da una carica di ()C103
3
ì per essere portata da un punto A di un
campo elettrico il cui potenziale è 500 V sino ai limiti del campo.

Soluzione:
Il lavoro richiesto è dato dalla relazione:
() () ()J5,1C103V500qVW
3
AA
ì? ?

fo

Esercizio 9:
Determinare il potenziale che si ha in un punto A in cui una carica di ()C103
5
ì possiede
un’energia potenziale elettrostatica di 0,03 (J).

Soluzione:
L’energia potenziale che la carica possiede nel punto A del campo è pari al lavoro che dovrebbe
fare il campo per trasferirla dal punto A sino ai limiti del campo.
Nel punto considerato si può determinate il potenziale dal rapporto tra l’energia potenziale e la
grandezza della carica, per cui:

()
()
()volt10
C103
J103
q
W
V
3
5
2
A
A

ì
ì

Esercizio 10:
Due lamine metalliche uguali e parallele distano tra loro 3 cm. Tra le lamine esiste una differenza di
potenziale (tensione elettrica) ()V000.2V .
Calcolare l’intensità del campo elettrico esistente tra le lamine sapendo che è interposta aria.

Soluzione:
Il campo elettrico generato da due lamine cariche e parallele è di tipo uniforme. Quindi l’intensità
del campo è costante.
Dato che la funzione potenziale si ottiene dall’integrale della funzione campo elettrico:

dxEdV ?

213
Allora la differenza di potenziale è data dal termine costante E moltiplicato per la distanza tra le
lamine:

xEV D? D

Ed il valore uniforme del campo, di conseguenza:

()
()
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
ì
D
D

C
N
mC
mN
mC
J
m
V
1067,6
m03,0
V000.2
x
V
E
5

Esercizio 10:
Determinare la carica elettrica di un corpo immerso in un campo elettrico sapendo che il lavoro
compiuto dal campo per spostarlo da un punto ad un altro punto in cui il potenziale è maggiore di
2.000 V è di 1 J.

Soluzione:
Dato che il campo compie un lavoro sul corpo carico spostandolo da un punto a potenziale più
piccolo verso un altro punto a potenziale maggiore, occorre che la carica posseduta dal corpo sia
negativa.
Dalla relazione dell’energia potenziale elettrostatica si ottiene:

qVW
ABAB
?
()
()C105
C
J
000.2
J1
V
W
q
4
AB
AB
?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 11:
Determinare il lavoro che è necessario fornire ad un corpo carico con ()C103q
5
? per portarlo
da un punto che dista 50 cm da una carica ()C102Q
4
ì , ad un punto che è distante 5 cm dalla
stessa carica.

Soluzione:
La carica negativa attrae i corpi carichi positivamente e respinge i corpi carichi negativamente. Per
questo motivo lo spostamento da punti più lontani dalla carica a punti più ravvicinati, da effettuarsi
su una carica negativa, richiede l’intervento di una quantità di lavoro esterno pari a quello che
farebbe il campo per lo spostamento opposto.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

BA
AB
r
1
r
1
4
qQ
W
() ()
() ()J971m18
mN
C
1085,84
C103C102
5,0
1
05,0
1
4
qQ
W
1
2
2
12
54
AB
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì?ì
?
?
?
?
?
?
?
e?p?
?

214
Esercizio 12:
Nel passaggio di una carica puntiforme ()C103,0q
3
ì da un punto A ad un punto B di un campo
elettrico, rispettivamente a potenziale ()V300V
A
e ()V500V
B
, quale lavoro è necessario
compiere?

Soluzione:
In un campo elettrico qualsiasi è definito potenziale nullo quello caratterizzato da un punto posto
all’infinito.
Se la carica che genera il campo è positiva e se la carica esploratrice è anch’essa positiva, ogni
punto del campo diverso dall’infinito è caratterizzato dal lavoro
A
W che il campo compie per
spostare la carica dal punto sino all’infinito.
Tale lavoro è positivo e, di conseguenza, il potenziale
A
V è positivo.
Se la carica che genera il campo è negativa ed essendo nullo per definizione il potenziale a distanza
infinita, allora lo spostamento di una carica positiva richiede un lavoro esterno che consideriamo
negativo.
Quindi il potenziale di ogni punto è caratterizzato da valori grandi negativi per punti prossimi alla
carica generatrice che tendono al valore nullo per punti distanti.
Allora anche in questo caso le cariche positive si spostano in modo naturale nel campo passando da
punti distanti (potenziali più grandi in senso algebrico) a punti più vicini (potenziali più piccoli in
senso algebrico)
Nel caso dell’esercizio, la carica elettrica positiva passa da un valore elevato positivo ad un valore
negativo con una differenza di potenziale pari a:
()V800V D

Il lavoro occorrente è quindi:
() () ()J24,0C103,0V800qVW
3
ABAB
ì? ?

Esercizio 13:
Calcolare il lavoro compiuto dalle forze del campo nel portare una carica di ()C103
5
ì da un
punto distante 3 metri ad un punto distante 100 metri da una carica di ()C102
3
? che produce il
campo elettrico.
Si opera in olio minerale la cui costante dielettrica relativa è 5,2
R
e .

Soluzione:
La carica generatrice è positiva, la carica che si sposta è positiva.
Il lavoro è eseguito dal campo che spinge la carica da punti più vicini (potenziale grande e positivo)
a punti più distanti (potenziale piccolo e sempre positivo).
Il lavoro eseguito dal campo è pari alla differenza di energia potenziale elettrostatica tra il punto più
vicino e quello più distante:
BAAB
WWW
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?e?p?
?

F BAR
AB
r
1
r
1
4
qQ
W
()
()J81,69
100
1
3
1
mN
C
1085,85,24
C103102
W
2
2
12
253
AB
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
ì?ì

215
Esercizio 14:
Tra due piastre metalliche poste a 50 cm di distanza una dall’altra vi è una differenza di potenziale
di 1.000 V.
Un corpo carico puntiforme, con carica di ()C105
4
ì , partendo da una piastra, si arresta a 10 cm
dalla seconda. Determinare il lavoro compiuto dalle forze del campo.

Soluzione:
Considerando che il campo elettrico è uniforme tra le piastre e che la differenza di potenziale è data
dall’integrale, esteso a tutta la distanza, del campo elettrico, si ottiene, conoscendo la differenza di
potenziale, il valore del campo:

() xEV000.1V D? D
?
()
()
?
?
?
?
?
?

D
D

m
V
000.2
m50,0
V000.1
x
V
E
La forza elettrostatica cui è sottoposta la carica ha quindi un valore di:
qEF
E
?
Mentre il lavoro fatto da tale forza è dato da:
1E
xFW D?
() () ()J4,0m40,0C105
m
V
000.2xqEW
4
1
?ì??
?
?
?
?
?
D??

Esercizio 15:
La differenza di potenziale (d.d.p. o tensione) tra due punti appartenenti ad una linea di forza di un
campo elettrico uniforme è di 200 V. Sapendo che la forza agente su una carica ()C102q
4
ì ,
immersa nel campo, è ()N104F
3
E

ì , calcolare la distanza tra i due punti:

Soluzione:
La differenza di potenziale tra i due punti del campo è data dal rapporto tra la quantità di lavoro
effettuato dal campo per trasferire la carica da un punto all’altro e la grandezza della carica stessa:

q
W
V
AB
AB
D
D

Dato che il campo è uniforme (come quello generato da due piastre parallele caricate di
segno contrario), la forza elettrica applicata è costante ed il lavoro è dato dalla relazione:

ABABEAB
SqESFW ?? ? D

Per cui la differenza di potenziale è determinata da:

q
SqE
q
W
V
ABAB
??

D
D
??
AB
SEV ? D

Da cui si ottiene la distanza:
??
E
V
S
AB
D

216
??
E
E
AB
F
qV
q
F
V
S
?D

D

() ()
()
()m
NC
CmN
NC
CJ
N
CV
10
N104
C102V200
S
3
4
AB
??
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??

ì
ì?

Esercizio 16:
Due cariche, ()C104Q
5
1

ì e ()C105Q
4
2

ì , sono fissate rispettivamente ai punti A e B che
distano tra loro 1 metro.
Determinare il lavoro richiesto per trasferire una carica ()C103q
4
ì dal punto C al punto D.

Soluzione:

A
1m
DCB

La differenza di potenziale tra il punto C e D è pari al rapporto tra il lavoro necessario per lo
spostamento della carica e la grandezza della carica stessa:
q
W
V
CD
CD

Per cui, se si conoscesse la differenza di potenziale, si otterrebbe:
qVW
CDCD
?

D’altra parte per determinare la differenza di potenziale occorre conoscere i potenziali dei due
punti:

DCCD
VVV

Ed i potenziali sono rispettivamente ottenuti sommando algebricamente i potenziali generati
dalle due cariche nei punti che ci interessano:

217
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
e?p?
?
e?p?
+?
e?p?

BC
B
AC
A
BC
B
AC
A
C
r
Q
r
Q
4
1
r
1
4
Q
r
1
4
Q
V
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
e?p?
?
e?p?
+?
e?p?

BD
B
AD
A
BD
B
AD
A
D
r
Q
r
Q
4
1
r
1
4
Q
r
1
4
Q
V
Si ottengono i seguenti risultati:
()
()
()
()
?
?
?
?
?
?
e?p?
?ì ?
?
?
…
?
? ì

ì
?
e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
e?p?

4
1
1047,2
m2,0
C105
m2,1
C104
4
1
r
Q
r
Q
4
1
V
3
45
BC
B
AC
A
C
()
()
()
()
?
?
?
?
?
?
e?p?
?ì ?
?
?
…
?
? ì

ì
?
e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
e?p?

4
1
1022,1
m4,0
C105
m4,1
C104
4
1
r
Q
r
Q
4
1
V
3
45
BD
B
AD
A
D

La differenza di potenziale è quindi data da:
( ) ?
?
?
?
?
?
e?p?
?ì ì+ì??
?
?
?
?
?
e?p?

4
1
1025,11022,11047,2
4
1
VVV
333
DCCD

Il potenziale del punto D è quindi più elevato del potenziale del punto C.
La carica esploratrice è positiva quindi tende a muoversi da punti a potenziale maggiore
verso punti a potenziale minore.
Nel nostro caso occorre un lavoro esterno per provocare il movimento contrario da C a D,
quindi, il lavoro è negativo e vale:
() () ()J1037,3C103V
4
1
1025,1qVW
343
CDCD
ì ì??
?
?
?
?
?
e?p?
?ì ?

Esercizio 17:
Calcolare la velocità che acquista una sfera pesante 5 grammi, avente una carica di ()C102
3
ì , nel
passare da un punto con potenziale di 1.500 V ad un punto alla stessa quota, ai limiti del campo.
Si suppone nulla la velocità iniziale della sfera.

Soluzione:
Potendo considerare nullo il potenziale di un punto ai limiti del campo, il potenziale del punto
considerato moltiplicato per la grandezza della carica che si sposta altro non è che il lavoro fornito.
Sfruttando il teorema dell’energia cinetica è allora possibile determinare la velocità finale della
sfera nel punto ai limiti del campo:

2
AA
vm
2
1
qVW ?? ?
fo

Dato che la quota non cambia, l’energia potenziale non varia e non incide nel calcolo.
Con la formula inversa:

m
qV2
v
A2 ??

??
()
()
?
?
?
?
?
?
?
??

ì??
?
?
?
?
??
?

kg
mN
200.1
kg005,0
C102
C
mN
500.12
v
3

218
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??

2
2
2
2
s
m
m
kg
s
m
kg
kg
mN
200.1v
?? ?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?

s
m
64,34
s
m
200.1v
2
2

Esercizio 18:
Una particella pesante 10 grammi e con carica elettrica ()C105q
3
ì si trova in quiete in un
punto A di un campo elettrico uniforme. Determinare il tempo che impiega per giungere in B
(distante da A 10 metri) sapendo che tra A e B vi è una differenza di potenziale (tensione) di 1.000
V.

Soluzione:
Il lavoro applicato dal campo uniforme per spostare la carica dal punto A al punto B è dato da:
() ()J5C105
C
J
000.1qVW
3
ABAB
ì??
?
?
?
?
?
?

La forza elettrostatica costante ha quindi un valore:
ABEAB
SFW ?
?
( )
()
()N5,0
m10
mN5
S
W
F
AB
AB
E

?

L’accelerazione costante cui è sottoposta la particella vale:
amF
E
?
?
()
()
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

2
2
E
s
m
50
kg
s
m
kg
50
kg01,0
N5,0
m
F
Fa

Il tempo impiegato, con l’accelerazione calcolata, per percorrere lo spazio di 10 metri è dato
da:
2
ta
2
1
S ??
??
()
() ()s63,0s4,0
s
m
50
m102
a
S2
t
2
2

?
?
?
?
?
?
?

?

Esercizio 19:
Una sfera di 10 cm di raggio, caricata con una carica ()C103Q
5
ì , è posta a contatto con una
seconda sfera, scarica, di raggio 25 cm.
Successivamente le due sfere sono allontanate.
Determinare la densità superficiale di carica su ogni sfera dopo il contatto.

Soluzione:
La prima sfera, caricata positivamente, assume sulla superficie un valore di potenziale elettrostatico
pari a quello di un punto interno qualsiasi come, ad esempio, al centro della sfera.

219
Detto potenziale è determinato dalla somma algebrica di tutti i potenziali generati nel centro da ogni
tratto di superficie esterna caricata con una densità superficiale iniziale s:
?
?
?
?
?
? D?s
++
D?s
+
D?s
?
e?p?

r
S
.......
r
S
r
S
4
1
VV
N21
SUP ERFICIECENTRO
e
?s
?p??
?e?p?
s
?
?
?
?
?
?
?D?
?e?p?
s

r
r4
r4
S
r4
VV
2
Ni
1i
iSUP ERFICIECENTRO

La seconda sfera, inizialmente scarica, ha un potenziale elettrostatico nullo.
Ponendo a contatto la sfera carica con la sfera scarica, gli elettroni di conduzione negativi presenti
nella sfera scarica sono costretti a passare da punti a potenziale nullo (sfera scarica) verso punti a
potenziale maggiore (sfera carica).
Durante il processo transitorio che avviene durante il contatto, elettroni negativi provenienti dalla
sfera scarica giungono continuamente sulla sfera carica a potenziale maggiore provocando la
riduzione della quantità di carica positiva iniziale, una conseguente riduzione della densità
superficiale di carica e del potenziale iniziale.
Nel contempo, il trasferimento di elettroni provoca, nella sfera inizialmente scarica, la comparsa di
una uguale quantità di carica positiva, l’aumento della densità superficiale di carica e un
conseguente aumento del potenziale.
Il potenziale cui si porterà la seconda sfera sarà determinato dalla relazione precedente tenendo
conto del raggio della sfera:
e
?s
?p??
?e?p?
s
?
?
?
?
?
?
?D?
?e?p?
s

112
Ni
1i
iSUP ERFICIECENTRO
r
r4
r4
S
r4
VV

Il trasferimento di elettroni cesserà quando viene a mancare la causa che lo provoca, cioè quando il
potenziale della seconda sfera (in aumento) ed il potenziale della prima sfera (in diminuzione)
raggiungeranno lo stesso valore, cioè:

e
?s

e
?s rr
211

Alla fine il rapporto tra le due densità superficiali di carica sarà dato da:
rr
211
?s ?s
??
12
1
r
r

s
s

D’altra parte, per il principio di conservazione della carica elettrica, si dovrà avere:

( ) ( ) ()C103Qr4r4
52
2
2
11

ì ?p??s+?p??s

Ricavando
1
s dalla precedente e sostituendo:
( ) ( ) ()C103r4r4
r
r
52
2
2
1
1
2
ì ?p??s+?p??
?s

( ) ( ) ()C103r4r4r
52
212

ì ?p??s+?p???s
( ) ()C103rrr4
52
12

ì +??p??s
( )
?
?
?
?
?
?
ì
+??p?
ì
s

2
5
2
1
5
2
m
C
1082,6
rrr4
103

?
?
?
?
?
?
ì s

2
5
1
m
C
1073,2

220
Esercizio 20:
Determinare il potenziale elettrico V a una distanza ()m1012,2r
12
ì dal nucleo di un atomo di
idrogeno (che possiede un solo protone).

Soluzione:
Il nucleo di un atomo di idrogeno contiene un solo protone avente carica positiva pari, in valore
assoluto, a quella dell’elettrone. Il potenziale generato dal protone positivo è dunque:
()
r
p
4
1
V
r
+
?
e?p?

Da cui si ricava:
()
()
()
( )volt
C
mN
79,6
m1012,2
C10602,1
mN
C
1085,84
1
V
10
19
2
2
12
r
??
?
?
?
?
??

ì
ì+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?

Esercizio 21:
Determinare l’energia potenziale elettrostatica di un elettrone posto alla medesima dell’esercizio
precedente dal nucleo dell’atomo di idrogeno.

Soluzione:
Considerando pari a zero l’energia potenziale elettrostatica di un elettrone posto ad una distanza
infinitamente grande dal nucleo allora l’energia potenziale caratteristica della posizione considerata
corrisponde al lavoro occorrente per trasportarlo all’infinito.
Dato che il protone attrae l’elettrone occorre quindi l’intervento di lavoro esterno che deve essere
considerato negativo.
La quantità di lavoro esterno negativo sarà pari, in valore assoluto, al lavoro positivo che compie il
campo per spostare la carica dall’infinito sino al punto:
r
1
4
ep
WW
AA
?
e?p?
?

+
fo
()
()
( )()JmN1009,1
m1012,2
1
mN
C
1085,84
C10602,110602,1
W
18
10
2
2
12
21919
A
??ì
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì?ì

E’ anche possibile determinare l’energia potenziale elettrostatica tenendo presente il
potenziale calcolato precedentemente e ricordando che il potenziale ad una distanza infinita
è nullo.
La differenza di potenziale tra il punto e l’infinito è proprio uguale al potenziale del punto r.
Quindi:
AA
WW
fo
AA
AA
VVV
e
W
e
W

f
fo

() ( ) ()J1009,1Vo lt79,6C10602,1VeW
1819
AA

ì ?ì ?

221
Esercizio 22:
La differenza di potenziale elettrico tra il terreno e una nuvola durante un temporale è
()V102,1V
9
ì D . Determinare la variazione dell’energia potenziale elettrostatica di un elettrone
che si muove tra questi punti.

Soluzione:
Dalla relazione:
q
W
V
D
D
Si ottiene la variazione dell’energia potenziale elettrostatica:
()( ) ()J1092,1C10602,1
C
J
102,1eVqVW
10199
ì ì??
?
?
?
?
?
ì ?D ?D D

Tale energia può essere anche misurata in elettronvolt (eV) tenendo presente che un eV
corrisponde al lavoro necessario per spostare la carica di un elettrone tra due punti con una
differenza di potenziale di 1 Volt:
() ()( ) ()J10602,1
C
J
C10602,1volt1C10602,1eV1
191919
ì ?
?
?
?
?
?
?ì ?ì
Quindi:
()
() ( )GeV19,1eV1019,1
eV
J
10602,1
J1092,1
W
9
19
10
ì
?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

Esercizio 23:
Si supponga che in un tipico lampo di un fulmine la differenza di potenziale tra nuvole e terreno sia
()V101V
9
ì D e la quantità di carica trasferita ()C30Q .
Determinare:
1. L’energia trasferita dal lampo
2. La velocità finale di un corpo di massa 1000 kg, inizialmente fermo, se tutta l’energia del lampo
potesse essere trasferita integralmente al corpo
3. La quantità di ghiaccio che potrebbe fondersi con tale energia (calore latente di fusione a 0°
uguale a
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
kg
J
103,3
5

Soluzione:
L’energia coinvolta nel passaggio di una quantità di carica di 30 C per effetto di una differenza di
potenziale data, è pari a:
QVW ?D D
?? () () ()J103C30V101W
109
ì ?ì D
Se tale quantità di energia fosse trasferita al corpo di massa data si potrebbe determinare la velocità
finale assunta utilizzando il teorema dell’energia cinetica:
2
FI.CF.C
vm
2
1
EEWL ?? D D
??
( )
()
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
?ì?

D?

s
m
746.7
kg
m
s
m
kg
106
kg000.1
mN1032
m
W2
v
2
7
10
F

222
La quantità di ghiaccio che fonderebbe con l’energia del fulmine sarebbe data da:
L
cmW ? D
??
()
() ( )tonn91kg1009,9
kg
J
103,3
J103
c
W
m
4
5
10
L
#ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
?

D

Esercizio 24:
Due cariche lineari di lunghezza infinita sono disposte parallelamente ad un asse Z. La prima, con
densità di carica lineare l+, si trova ad una distanza
A
r a destra dell’asse principale. L’altra, con
densità di carica l, alla stessa distanza
A
r a sinistra dell’asse principale. Le linee di carica e
l’asse Z sono sullo stesso piano.
Determinare il potenziale generato in un punto posto a 3 metri.

Soluzione:
ra ar
l
+
l
A
z
r
t
t
r

R14 - 1

La distribuzione lineare positiva di destra produce nel punto A un potenziale pari alla somma di tutti
i potenziali generati dai tratti di filo carico.
Per il tratto di filo posto ad una distanza z dall’origine degli assi, il potenziale è determinato dalla
relazione:

22
a
22
A
zr2
1
4
dz
zr
1
4
dz
t
1
4
dQ
dV
+?
?
e?p?
?l

+
?
e?p?
?l
?
e?p?

+

Il potenziale
+
A
V generato dal filo di destra deve quindi essere l’integrale della funzione
calcolato entro i limiti dell’altezza z da un minimo pari a – infinito ad un massimo pari al
valore infinito.
Per cui:

223
( )
( )dzzr2
4
dz
zr2
1
4
V
z
z
2
1
22
a
z
z
2
1
22
a
A
?“ +??
e?p?
l
?“
+?
?
e?p?
l

f
f

f
f
+

( )> @
f+
f
+
+?+?
e?p?
l

22
aA
zr2zlog
4
V

La funzione è illimitata e non è quindi possibile determinarne il valore per un limite infinito,
occorre perciò porre un limite superiore finito supponendo, ad esempio, che il filo abbia una
lunghezza complessiva di 2.000 m.
Il limite superiore sarà quindi posto a 1.000 m.
Occorre fissare anche la distanza del filo dall’asse Z. Per esempio 4 m.
Allora il valore del potenziale sarà dato da:
( )> @
000.1
000.1
22
A
z42zlog
4
V
+

+
+?+?
e?p?
l

Si ottiene:
73,11
4
V
A
?
e?p?
l

+

Allo stesso risultato ma con segno negativo si perviene determinando il potenziale nello
stesso punto per effetto di un filo uguale ma caricato di segno negativo:
( )> @
000.1
000.1
22
A
z42zlog
4
V
+

+?+?
e?p?
l

Si ottiene:
73,11
4
V
A
?
e?p?
l

Il potenziale nel punto A collocato sull’asse Y al centro della circonferenza di raggio 4 metri
è quindi nullo.
Tutti i punti collocati sull’asse Y, per simmetria, saranno caratterizzati da potenziale nullo.

rara
ra
A

R14 - 2

224

Esercizio 25:
Nell’esperimento di Millikan con le goccioline d’olio, un campo elettrico avente valore
?
?
?
?
?
?
ì
C
N
1092,1E
5
è instaurato tra due piatti posti ad una distanza di 1,50 cm.
Si determini la differenza di potenziale tra i due piatti.

Soluzione:
Il valore costante del campo elettrico tra le piastre permette di determinare la differenza di
potenziale VDtramite il semplice calcolo del lavoro effettuato dal campo per spostare le cariche
elettriche.
Il lavoro effettuato dal campo su una carica positiva q per lo spostamento da A a B si determina
tenendo conto che la forza elettrica è costante in tutti i punti tra le piastre:

dqEdFW
EAB
?? ì

La differenza di potenziale è pari al rapporto tra la differenza di energia potenziale elettrostatica (o
lavoro effettuato) e il valore della carica stessa:

dE
q
W
V
AB
AB
?

Dunque:

() ()V
C
J
C
mN
880.2m015,0
C
N
1092,1V
5
AB
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
ì

Esercizio 26:
Due grandi piatti paralleli conduttori sono posti ad una distanza di 12 cm l’uno dall’altro e sulle loro
superfici sono presenti cariche uguali ed opposte. Un elettrone posto a metà strada tra i due piatti è
soggetto a una forza ()N109,3F
15
E

ì .
Determinare il campo elettrico Nella posizione dell’elettrone e la differenza di potenziale
elettrostatico tra i due piatti.

Soluzione:
Il campo elettrico è uniforme tra i piatti ed ha un valore pari a:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì

m
V
1043,2
C10602,1
N109,3
e
F
E
4
19
15
E

La differenza di potenziale tra i piatti è data dal prodotto del campo elettrico per la distanza
tra gli stessi:
() ()V1091,2m12,0
m
V
1043,2dEV
34
ì ??
?
?
?
?
?
ì ? D

225
Esercizio 27:
Un piano carico infinito ha una densità di carica ?
?
?
?
?
?
u V

2
6
m
C
101,0 su una faccia. A quale
distanza si trovano le superfici equipotenziali il cui potenziale differisce di 50 V?

Soluzione:
Il campo elettrico prodotto dal piano carico ha un valore pari a:
H?
V

2
E
La differenza di potenziale tra le superfici equipotenziali è data da:
dEV ? '
Si ricava quindi la distanza tra le superfici:
V
H??'

'

2V
E
V
d
??

mm9,8m0089,0
m
C
101,0
mN
C
1085,82V50
d
2
6
2
2
12

?
?
?
?
?
?
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u??

Esercizio 28:
Una lamina sottile non conducente ha una densità di carica positiva V disposta su una faccia.
Determinare, in modo simbolico, la quantità di lavoro esercitata dal campo elettrico del foglio
mentre una piccola carica q è spostata da una posizione iniziale sul foglio ad una posizione finale
posta ad una distanza z dal foglio. Si dimostri poi che il potenziale prodotto dal foglio ad una
distanza z è espresso dalla relazione:
z
2
VV
0
??
?
?
?
?
?
H?
V

Dove con
0
V si intende il potenziale sulla superficie carica.

Soluzione:
Il campo elettrico generato sulla superficie della lastra è dato da:

H
?S?V
?S?? )
2
2 r
r2E
??
H?
V

2
E
Quando la carica q, per effetto del campo è spostata ad una distanza z, la quantità di lavoro
Z
W è espressa dalla relazione:
z
2
q
zqEW
Z
?
H?
?V
??
La differenza di potenziale tra un punto situato sulla superficie ed un punto alla distanza z è
quindi espressa da:
z
2q
W
VV
Z
0
?
H?
V

Quindi il potenziale alla distanza z risulta essere:
z
2
VV
0
?
H?
V
Come si voleva dimostrare

226
Esercizio 29:
Un cilindro metallico avente diametro di 2,0 cm contiene, posizionato sul suo asse, un filo di
diametro pari a ()cm102,1
4
ì . Sapendo che tra la superficie del filo e la parete interna del cilindro
è applicata una differenza di potenziale di 850 V, determinare il campo elettrico sulla superficie del
cilindro e del filo.

Soluzione:
Sfruttando la legge di Gauss applicata ad una superficie gaussiana cilindrica di raggio variabile da
un minimo pari al raggio del filo ad un massimo pari al raggio del cilindro e contenente la carica
disposta sul filo, si può determinare il valore del campo elettrico lungo una linea di flusso.
Il valore del campo elettrico dipenderà, oltre che dalla distanza lungo la linea, anche dalla densità
superficiale di carica del filo.

1. Legge di Gauss:
() ()
e
??p??s

e
??p?? F
Hr2Q
Hz2zEz
FFFILO

Da cui si ottiene:
()
z
r
zE
FF
?e
?s

La differenza di potenziale di 850 V è data dall’integrale, esteso tra il limite inferiore pari al raggio
del filo ed il limite superiore pari al raggio del cilindro, della funzione campo elettrico, variabile con
la distanza e dipendente dalla densità di carica sul filo:
2. Integrazione del campo elettrico

() () “?
e
?s
“ ?
e
?s
?“ D
C
F
C
F
C
F
R
R
FF
R
R
FF
R
R z
dzr
z
dzr
dzzEV850V
Integrando tra i limiti:

()
() ()m105,6cm1065,0
2
cm103,1
r
74
4
F

ì ì
ì

()
() ()m101cm1
2
cm2
r
2
C

ì
Si ottiene:
() “?
e
?s

ì
ì
2
7
101
105,6
FF
z
dzr
V850
()
2
7
101
105,6
FF
zlog
r
V850

ì
ì
?
e
?s

()
72FF
105,6log101log
r
V850

ìì?
e
?s

() 24,14605,4
r
V850
FF
+?
e
?s

()
e
?s
?
FF
r
64,9V850

Sostituendo i valori noti (raggio del filo e costante dielettrica assoluta), si determina la
densità di carica sul filo:

227

?
?
?
?
?
?
u
u?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u??
?
?
?
?
??
V

2
3
7
2
2
12
F
m
C
102,1
m105,664,9
mN
C
1085,8
C
mN
850

Il valore del campo elettrico sulla superficie del filo è quindi dato da:
?
?
?
?
?
?
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
?
?
?
?
?
?
?

H
V

C
N
1035,1
mN
C
1085,8
m
C
102,1
rzE
8
2
2
12
2
3
F
F
Il campo elettrico sulla superficie interna del cilindro si ottiene calcolando la funzione con z uguale
al raggio del cilindro:

?
?
?
?
?
?
u
u?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u
???
?
?
?
?
?
?

?H
?V

C
N
1081,8
m101
mN
C
1085,8
m105,6
m
C
102,1
r
r
rzE
3
2
2
2
12
7
2
3
C
FF
C

rc
rf

R14 - 3

Esercizio 30:
Una carica puntiforme C101q
6
u . Si consideri il punto A, posto alla distanza di 2,0 m a destra
della carica ed il punto B posto ad una distanza di 1 m a sinistra della carica.
Determinare la differenza di potenziale tra i due punti.
Determinare la differenza di potenziale nel caso in cui il punto B sia ad un metro di distanza ma
sulla verticale condotta per q.

228

Soluzione:
Il potenziale nel punto A vale:
()
()
()V498.4
m2
1
mN
C
1085,84
C101
r
1
4
q
V
2
2
12
6
A
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

Il potenziale nel punto B:
()
()
()V996.8
m1
1
mN
C
1085,84
C101
r
1
4
q
V
2
2
12
6
B
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

La differenza di potenziale:

()V500.4996.8498.4VV
BA

Se il punto B è sulla verticale, sempre ad un metro di distanza dalla carica, la differenza di
potenziale non cambia in quanto è comunque sempre collocato sulla stessa superficie equipotenziale
sferica, di raggio 1 m, del punto precedente.

AB
B
q
V
A
V
A
V
B
2
1
1

R14 – 4

Esercizio 31:
Si consideri una carica puntiforme ()C105,1q
8
ì ed il potenziale nullo all’infinito. Quali sono la
forma e le dimensioni di una superficie equipotenziale di 30 V. Le superfici equipotenziali che
differiscono tra loro solo per una costante sono distanziate in modo uguale o disparato?

Soluzione:
La superficie equipotenziale richiesta è sicuramente una sfera il cui raggio è determinato
imponendo il valore del potenziale dato:

229
r
1
4
q
V ?
e?p?

Da cui si ricava:
()
()m5,4
C
mN
30
mN
C
1085,84
C105,1
V
1
4
q
r
2
2
12
8

?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
ì
?
e?p?

Le altre superfici equipotenziali, differendo solo per una costante – ad esempio k -, hanno un
raggio determinato dalla relazione:
Vk
1
4
q
r
K
?
?
e?p?

Il rapporto tra i raggi delle sfere con potenziali multipli di V o sottomultipli di V è quindi
dato da:
k
1
r
r
K

Per cui:
k
r
r
K

Così le sfere con potenziale rispettivamente di: 15, 60, 90,120 hanno raggi di:
()m9r2r
15
?
25,2
2
r
r
60

5,1
3
r
r
90

Esercizio 32:
Determinare il potenziale raggiunto da una sfera conduttrice isolata di raggio 16 cm con una carica
pari a ()C1050,1Q
8
ì se si suppone di porre il potenziale all’infinito pari a zero?

Soluzione:
La carica elettrica si dispone sulla superficie della sfera dando luogo ad una densità di carica pari a:
2
r4
Q
?p?
s

Il campo elettrico sulla superficie della sfera è perpendicolare alla superficie ed è costante in
modulo su tutti i punti della sfera.
Di conseguenza la superficie sferica, essendo perpendicolare al campo, è anche una superficie
equipotenziale.
All’interno della sfera è nullo il campo elettrico (altrimenti comparirebbero ulteriori fenomeni di
movimento delle cariche e varierebbe di conseguenza la densità di carica).
Il potenziale che caratterizza i vari punti interni alla sfera deve essere necessariamente costante in
quanto la derivata della funzione che lo rappresenta, cioè il campo elettrico, è nulla.
Si conclude che il potenziale di un punto interno alla sfera è pari al potenziale sulla superficie della
stessa e, in particolare, risulta abbastanza semplice determinarne il valore per il punto centrale della
sfera.
Esso è il risultato della somma di tutti i potenziali elementari generati nel centro dalle infinite
distribuzioni superficiali di carica che possono essere individuate suddividendo la superficie sferica
in aree piccolissime SD:
( )
2
Ni
1i
i
Ni
1i
i
SUP ERFICIECENTRO
r4
r4
S
r4
1
r
1
4
Q
VV ?p??
?e?p?
s
?D?s?
?e?p?
? ?
e?p?
D

230
r4
Q
r
r4
Q
rVV
2
SUP ERFICIECENTRO
?e?p?
?
e??p?
?
e
s

()
()
()V4,843
m16,0
mN
C
1085,84
C105,1
VV
2
2
12
8
SUP ERFICIECENTRO

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
?

Da notare che il potenziale sulla superficie della sfera, per effetto di una carica distribuita
uniformemente, è pari al potenziale che la stessa carica totale provocherebbe in un punto ad una
distanza pari al raggio se fosse tutta concentrata nel centro.

Esercizio 33:
Quando una navetta spaziale si muove nel gas ionizzato rarefatto della ionosfera terrestre, il suo
potenziale varia di circa – 1 Volt per ogni rivoluzione. Supponendo che la navicella sia sferica con
raggio pari a 10 m determinare la quantità di carica raccolta per ogni rivoluzione.

Soluzione:
Il potenziale assunto da una superficie sferica caricata elettricamente con una quantità Q, è pari a
quello che assumerebbe un punto posizionato ad una distanza pari al raggio se la carica fosse tutta
concentrata nel centro:
r
1
4
Q
V ?
e?p?

Da questa relazione si deduce la quantità di carica necessaria per produrre una variazione di
potenziale di – 1 V sulla navicella di raggio 10 m:

r4VQ ?e?p??
?? () ()C1011,1m10
mN
C
1085,84
C
mN
1Q
9
2
2
12
ì ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p???
?
?
?
?
??

Esercizio 34:
Molti dei materiali che costituiscono gli anelli di Saturno hanno la forma di minuscole particelle
sferiche di raggio pari a circa ()m10
6
. Queste particelle si trovano in una regione che contiene gas
ionizzato rarefatto e raccolgono elettroni in eccesso. Se si ritiene, in modo approssimato, che il
potenziale sulla superficie della particella sferica sia di -400 V, è possibile determinare il numero di
elettroni in eccesso raccolti.

Soluzione:
Si utilizza la soluzione del problema precedente.
r
1
4
Q
V ?
e?p?

?? () ()C1044,4m10
mN
C
1085,84
C
mN
400Q
146
2
2
12
ì ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p???
?
?
?
?
??

Considerando poi la carica unitaria dell’elettrone:

? enQ

231
()
( )elettroni377.419
.elett
C
10602,1
C1044,4
e
Q
n
19
14

?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 35:
Determinare la quantità e la densità superficiale di carica sulla superficie di un conduttore sferico di
raggio 0,15 m il cui potenziale è di 200 V.

Soluzione:
Ancora con la soluzione del problema precedente:
r
1
4
Q
V ?
e?p?

?? () ()C1033,3m15,0
mN
C
1085,84
C
mN
200Q
9
2
2
12
ì ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p???
?
?
?
?
??

La densità superficiale si ottiene considerando la superficie sferica:
()
()
?
?
?
?
?
?
ì
?p?
ì
s

2
8
22
9
m
C
1018,1
m15,04
C1033,3
S
Q

Esercizio 36:
Una goccia d’acqua sferica su cui è presente una carica ()C103Q
13
ì , ha un potenziale
superficiale di 500 V. Determinare il raggio della goccia ed il potenziale che assumerebbe se la
goccia si combinasse con un’altra goccia, scarica e con uguale raggio, per formarne una più grande.

Soluzione:
Con il valore del potenziale e la quantità di carica, si determina il raggio della goccia d’acqua:
r
1
4
Q
V ?
e?p?

??
()
()m104,5
C
mN
500
mN
C
1085,84
C103
V4
Q
r
6
2
2
12
13

ì
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

?e?p?

Il volume della goccia è quindi:
()
3163
m1058,6r
3
4
Volume

ì ?p?
Raddoppiando il volume e determinando il raggio della nuova goccia, si ottiene:
()m108,6
4
3Vo l2
r
6
3

ì
p?
??

E si determina poi il potenziale della nuova goccia:
()
()
( )Volt396
m108,6
mN
C
1085,84
C103
r
1
4
Q
V
6
2
2
12
13

ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

232
Esercizio 37:
Un campo elettrico di circa ?
?
?
?
?
?

m
V
100E è spesso osservato sulla superficie della Terra. Se questo
campo fosse costante sull’intera superficie, quale sarebbe il potenziale elettrico in un punto della
superficie terrestre.

Soluzione:
Il teorema di Coulomb ci permette di determinare la densità di carica superficiale di carica a partire
dalla conoscenza del campo elettrico in prossimità:
e
s
E
Da cui si ottiene:
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
e? s

2
10
2
2
12
m
C
1085,8
mN
C
1085,8
C
N
100E

La conoscenza del raggio terrestre ci permette poi di determinare la quantità di carica
complessivamente presente sulla superficie terrestre nel caso in cui il campo fosse costante
in tutti i punti:
( )() ()C453.452m1038,64
m
C
1085,8SQ
2
2
6
2
10
ì?p???
?
?
?
?
?
ì ?s

Il potenziale sarebbe dato da:
()
()V1038,6
1038,64
C453.452
r
1
4
Q
V
8
6
ì
ì?e?p?
?
e?p?

Esercizio 38:
Si supponga che la carica elettrica negativa complessivamente contenuta in una moneta di rame
avente massa di 3,11 grammi, sia completamente rimossa e portata ad una grande distanza dalla
Terra (ad esempio su un’altra galassia) e chela carica positiva rimanente sia distribuita
uniformemente sulla superficie terrestre. Di quanto varierebbe il potenziale sulla superficie della
Terra?

Soluzione:
Il numero atomico del rame è 29. Equivale a dire che un atomo di rame allo stato neutro è formato
da 29 protoni positivi e 29 elettroni negativi.
Moltiplicando il numero di elettroni per il numero di Avogadro si ottiene il numero complessivo di
elettroni che sarebbero contenuti in una grammo-mole della sostanza in esame.
L’effettivo numero di moli di rame costituenti la moneta è dato dal rapporto tra la quantità in
grammi effettivamente presente nella moneta e il numero di grammi costituente una grammo-mole
cioè il peso atomino della sostanza.
Quindi:

x Calcolo del numero di elettroni presenti in una grammo-mole di rame:
( )elettroni1075,1
moleg
atomi
1002,6
atomo
el
29n
2523
ì
?
?
?
?
?
?
?
?

ì??
?
?
?
?
?

x Calcolo delle moli di rame contenute nella moneta:
()
( )mo li049,0
mo le
g
63
g11,3
mo lare.P
m
mo li.n
?
?
?
?
?
?

233
x Calcolo del numero di elettroni presenti nella moneta:
( ) ( )elettroni1058,8mo li049,0
mo le
elettroni
1075,1.elettr.n
2325
ì ??
?
?
?
?
?
ì
x Calcolo della carica elettrica negativa (e positiva) contenuta nella moneta:
( ) ()C371.137
elttr
C
10602,1elett1058,8p.prot.ne.elet.nQ
1923
?
?
?
?
?
?
ì?ì ? ?
+

Se la carica elettrica positiva fosse distribuita uniformemente sulla superficie terrestre essa darebbe
luogo ad un potenziale – uguale in un qualsiasi punto – pari a quello generato sulla superficie della
Terra dalla carica concentrata nel centro della Terra:

()
()
( )Volt285.705.193
m1038,6
mN
C
1085,84
C371.137
r
1
4
Q
V
6
2
2
12T

ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
?
e?p?

La carica elettrica negativa trasportata ad enorme distanza non avrebbe alcuna influenza sul
potenziale terrestre.

Esercizio 39:
Il punto P è al centro di un rettangolo di base 2d ed altezza d. Ai vertici del rettangolo ed al centro
dei due lati maggiori sono collocate le cariche come illustrato nel disegno sottostante. Determinare
il potenziale nel punto P.

Soluzione:

+3q
+5q
+5q
-3q-2q
-2q
P
d d
d d
d d
d/2
e

R14 - 5

Il potenziale nel punto P è la somma algebrica dei potenziali prodotti, nello stesso punto, dalle
cariche ognuna considerata con il suo segno.

Per cui:

234
?
?
?
?
?
? ?

?

?

?
+
?
+
?
?
e?p?

d
q2
d
q2
e
q3
e
q3
e
q5
e
q5
4
1
V
B
?
?
?
?
?
? ?

?
?
e?p?

d
q4
e
q10
4
1
V
B

Con:

2
d
5e ?
?
?
?
?
?
? ?

?
?
?
e?p?

d
q4
5d
q20
4
1
V
B

?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
e?p?

5d
q54q20
4
1
V
B

?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?e?p?

5
5420
d4
q
V
B

d4
q
94,4V
B
?e?p?
?

Esercizio 40:
Una carica puntiforme e0,6Q
1
? è tenuta fissa nell’origine di un sistema di coordinate cartesiane.
Una seconda carica puntiforme e10Q
2
? è fissata in un punto a distanza ()mm6,8x . Il luogo
dei punti del piano x-y nei quali il potenziale è nullo, è una circonferenza centrata sull’asse x. Si
trovi la posizione
C
x del centro della circonferenza e il raggio della circonferenza.

Soluzione:
Occorre determinare a quale distanza, da una delle due cariche si annulla il potenziale sapendo che
esso è determinato dalla somma algebrica dei potenziali prodotti singolarmente da ogni carica.
Per un punto situato sull’asse x, di coordinata y nulla, deve valere:
?
?
?
?
?
?

?
+
?
?
e?p?

x6,8
e10
x
e6
4
1
V
X
?
?
?
?
?
?

?
e?p?

x6,8
10
x
6
4
e
V
X
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
e?p?

x6,8x
x10x6,86
4
e
V
X
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?

x6,8x
x166,51
4
e
V
X
Imponendo l’annullamento del potenziale si ricava la distanza x:
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?p?

x6,8x
x166,51
4
e
0
( )
0
x6,8x
x166,51

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

()mm23,3
16
6,51
x
Oppure:

235
?
?
?
?
?
?
+
?
+
?
?
e?p?

6,8x
e10
x
e6
4
1
V
X
?
?
?
?
?
?
+
?
e?p?

6,8x
10
x
6
4
e
V
X
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?+?
?
e?p?

6,8xx
x106,8x6
4
e
V
X
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?
?
e?p?

6,8xx
x46,51
4
e
V
X
Imponendo nuovamente l’annullamento del potenziale:
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?
?
e?p?

6,8xx
x46,51
4
e
0
0x46,51 ?
()mm90,12x

Il valore del raggio e dato da:
() ()m1007,8mm07,8
2
23,390,12
r
3
ì
+

Il centro del cerchio è collocato ad una distanza dal centro dell’origine pari a:
( )mm83,407,890,12x
C

Esercizio 41:
Una bacchetta, di lunghezza L, è caricata con una densità di carica uniforme l. Determinare il
potenziale generato dalla bacchetta in un punto P collocato ad una distanza d misurata
perpendicolarmente alla bacchetta nel suo punto mediano.

Soluzione:

P
d
L/2 L/2
ll
x
g

R14 - 6
Il potenziale nel punto P è pari alla somma algebrica dei potenziali generati da ogni tratto
infinitesimo dx di bacchetta.

236
Per ogni tratto il potenziale in P dipende dalla distanza g secondo la formula:
g
1
4
dx
dV
P
?
e?p?
?l

Con:
22
dxg +
Per cui il potenziale complessivamente prodotto da un metà della bacchetta è pari
all’integrale:

“
+
?
e?p?
l

2/L
0
22
P
dx
dx
4
V
Dall’integrazione si ottiene:
( )
2/L
0
22
P
dxxlog
4
V ++?
e?p?
l

( )
222
2
P
d00logd
2
L
2/Llog
4
V ++
?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?
?
?
?
?
+?
e?p?
l

d
d
4
L
2
L
log
4
V
2
2
P
++
?
e?p?
l

E, tenendo conto anche dell’altra metà della bacchetta:
d
d
4
L
2
L
log
4
2
V
2
2
P
++
?
e?p?
l?

Esercizio 42:
Una bacchetta ha la forma di un arco di cerchio con apertura angolare di 120°, raggio R e possiede
una carica complessiva –Q. La carica è uniformemente distribuita su tutta la bacchetta.
Determinare il potenziale nel punto centrale della circonferenza.

Soluzione:
Ogni tratto ds della bacchetta produce nel centro un potenziale:
R
1
4
dq
dV
C
?
e?p?

R
1
4
ds
dV
C
?
e?p?
?l

La lunghezza complessiva dell’arco è pari alla terza parte della circonferenza di raggio R:
3
R2
S
?p?

La densità lineare di carica è dunque data da:
R2
Q3
S
Q
?p?
?
l
Il potenziale totale è dunque l’integrale esteso a tutta la lunghezza dell’arco, di:
“?
?e?p?
?
“ “ ?
?p???e?p?
?

?e?p?
?l

?p
3
R2
0
22
S
0
S
0
C
ds
R8
Q3
ds
R2R4
Q3
R4
ds
V

237
>@
R4
Q
3
R2
R8
Q3
s
R8
Q3
V
22
3
R2
0
22
C
?e?p?
?
?
?
?
?
? ?p?
?
?e?p?
?
?
?e?p?
?

?p

Esercizio 43:
Determinare il potenziale in un punto P, ad una distanza d dall’estremità di un bacchetta carica di
lunghezza L e carica totale Q.

Soluzione:
Il potenziale è dato dalla somma dei contributi di ogni tratto dx posto alla distanza x dall’estremità
della bacchetta.
La distanza di ogni tratto di bacchetta dal punto P è dunque la somma della distanza fissa del punto
dall’estremità e della distanza x del tratto.

P
L
x
d
Y
X
l
x+d

R14 - 7

Per cui:
( )dx
1
4
dq
dV
P
+
?
e?p?

( )dx
1
4
dx
dV
P
+
?
e?p?
?l

( )dx
1
4
dx
L
Q
dV
P
+
?
e?p?
?

( )dx
1
L4
dxQ
dV
P
+
?
?e?p?
?

Integrando si ottiene:
( )
“
+
?
?e?p?

L
0
P
dx
dx
L4
Q
V

238
( )
L
0
P
xdlog
L4
Q
V +?
?e?p?

( )> @dlogLdlog
L4
Q
V
P
+?
?e?p?

d
Ld
log
L4
Q
V
P
+
?
?e?p?

?
?
?
?
?
?
+?
?e?p?

d
L
1log
L4
Q
V
P

Esercizio 44:
Determinare l’energia potenziale elettrostatica di due elettroni separati da una distanza
()m102d
9
ì .

Soluzione:
L’energia potenziale elettrostatica del sistema dei due elettroni è pari al lavoro applicato dal campo
o dall’esterno per spostarne uno dei due dalla posizione iniziale ad una posizione finale ove non
esiste più l’interazione tra le due cariche, cioè all’infinito.
La relazione tra energia potenziale e differenza di potenziale, permette di determinare l’energia:
AAA
V0VV D
fo
e
W
V
A
A
fo
fo
D
D
fofo
? D
AA
VeW

Per cui:
()
()
( )Volt
C
J
721,0
m102
1
mN
C
1085,84
C10602,1
r
1
4
e
V
9
2
2
12
19
A
A
??
?
?
?
?
?

ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

() ()
()
()eV721,0
eV
J
10602,1
J1015,1
J1015,1
C
J
721,0C10602,1W
19
19
1919
A

?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì+ ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??

fo

Esercizio 45:
Due cariche uguali di valore ()C102q
9
?+ sono fisse nello spazio ad una distanza d=2,0 cm una
dall’altra. Supponendo il potenziale nullo all’infinito, determinare il potenziale elettrico in un punto
C posto a 10 cm sulla perpendicolare passante per la mediana delle due cariche.
Una terza carica, uguale alle precedenti, è portata lentamente dall’infinito sino al punto C.
Determinare il lavoro necessario e l’energia potenziale U del sistema quando la terza carica è nel
punto C.

Soluzione:
Il potenziale generato dalle due cariche nel punto C è dato dalla somma dei potenziali generati
singolarmente:
()
()
()V1057,2
m014,0
mN
C
1085,82
C102
r4
q
2V
6
2
2
12
6
C
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

?e?p?
?

239
Quando la carica n. 3 è spostata dall’infinito sino al punto C occorre una quantità di lavoro esterno,
quindi negativo, pari al prodotto del potenziale in C per la grandezza della carica:

( ) () () ()J14,5C102V1057,2qVVqVW
66
CCC
ì?ì ? ?

fofof

Quando la terza carica è giunta nel punto C, l’energia potenziale del sistema è pari al lavoro che il
sistema applica per giungere ad una configurazione di potenziale nullo.
In altre parole occorre pensare alla somma del lavoro fatto da due cariche per trasportare la terza
all’infinito e da una delle due cariche rimanenti per spostare all’infinito anche quella rimanente.
Il lavoro fatto dalle due cariche per spostare la terza all’infinito è pari all’inverso del lavoro
calcolato in precedenza.

Perciò
() ()J94,6
02,01085,84
104
14,5
r4
qq
J14,5U
12
12
12

?ì?p?
ì
+
?e?p?
?
+

P
1cm 1cm
1cm1,4cm
1,4cm
q

R14 -8

Esercizio 46:
Due cariche elettriche, di valori rispettivamente ()C100,3Q
6
1

ì e ()C100,4Q
6
2

ì , sono
trasportate da punti infinitamente distanti (V=0) in due punti di un piano cartesiano di riferimento
aventi rispettivamente le coordinate:
^ ()
^ ()cm5,0y
cm5,3x
1
1

^ ()
^ ()cm5,1y
cm0,2x
2
2

Determinare il lavoro necessario per far assumere al sistema la configurazione richiesta.

Soluzione:

240
Q1
Q2
1,5cm
0,5cm
3,5cm2,0cm
5,5cm
1,0cm
5,6cm

R14 - 9

Il potenziale generato dalla carica 1 nel punto 2 ove deve essere trasportata la carica 2 è dato da:
()
()
()V1082,4
m056,0
1
mN
C
1085,84
C103
r
1
4
Q
V
5
2
2
12
6
1
2
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

Il lavoro per trasportare la carica 2 dall’infinito – supponendo presente la carica 1 – è eseguito dal
campo elettrico ed ha un valore pari a:

()( ) ( ) ()J93,11082,4104V0C104VQW
56
2
6
222
ììì ?ì ?

of

Tale lavoro rappresenta anche il lavoro complessivo in quanto si suppone che per trasportare la
carica numero 1 dall’infinito sino al punto 1, quando la carica 2 si trova all’infinito, non occorra
lavoro.

Se si ragiona supponendo che la carica 2 sia già nel punto 2, si avrà il seguente risultato:

()
()
()V1043,6
m056,0
1
mN
C
1085,84
C104
r
1
4
Q
V
5
2
2
12
6
2
1
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì
?
e?p?

Il lavoro che occorrerebbe per trasportare la carica 1 dall’infinito sarebbe dato da:
()( ) ( ) ()J93,11043,6103V0C103VQW
56
1
6
111
ììì ?ì ?

of

Come si noterà il lavoro necessario per trasportare la carica 1 dall’infinito è pari al lavoro per
trasportare la carica 2 dall’infinito.
Tale lavoro, cambiato di segno, è anche l’energia potenziale elettrostatica del sistema.

241
Esercizio 47:
Prima che Einstein pubblicasse la sua teoria della relatività, lo scienziato J. Thomson ipotizzò che
l’elettrone potesse essere composto da piccole parti e che la sua massa fosse dovuta all’interazione
elettrica delle parti.
Inoltre affermò che l’energia fosse pari a
2
cmE ? . Si valuti sommariamente la massa
dell’elettrone nel modo seguente:
x Si assuma che l’elettrone sia composto da tre parti identiche portate dall’infinito e poste ai
vertici di un triangolo equilatero con lati uguali al raggio classico dell’elettrone cioè
()m1082,2
15
ì .
x Si trovi l’energia potenziale elettrica totale di questa disposizione.
x Si divida per
2
c e si confronti il risultato con il valore della massa dell’elettrone,
comunemente riconosciuta come ()kg1011,9m
31
e

ì .

Soluzione:
Supponendo di partire dalla configurazione finale, con le tre parti dell’elettrone disposte ai vertici
del triangolo equilatero, potremo calcolare l’energia potenziale del sistema pensando prima di
permettere a due cariche fisse, applicando il proprio campo elettrico, lo spostamento della terza
carica e, poi, ad una delle due cariche rimanenti di spostare l’altra all’infinito. La somma del lavoro
ottenuto sarà l’energia potenziale elettrostatica.

1) Lavoro di due cariche sulla terza:
Il potenziale prodotto dalle due cariche nel punto in cui è posizionata la terza è dato dalla
somma dei potenziali singoli:
r
1
6
e
2
r
1
4
3
e
V
1
?
e?p?
ì?
e?p?

Il lavoro eseguito dalle due cariche sulla terza è quindi:
r
1
18
e
V
3
e
W
2
11
?
e?p?
?

2) Lavoro di una cariche sull’altra:
r
1
12
e
r
1
4
3
e
V
2
?
e?p?
?
e?p?

r
1
36
e
V
3
e
W
2
22
?
e?p?
?

Lavoro totale:
r12
e
36
21
r
e
36
1
18
1
r
e
WWW
222
21
?e?p?
? ?
?
?
?
?
?+
?
?e?p
?
?
?
?
?
?
+?
?e?p
+
( )()
()
()J1073,2
m1082,2
mN
C
1085,812
C10602,1
W
14
15
2
2
12
2
2
19

ì
ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

Ipotizzando ora che tale energia potenziale sia l’espressione di un equivalente quantità di materia –
secondo quanto ipotizzato da Thomson – tale quantità di materia dovrebbe essere ottenuta
dividendo l’energia per la velocità della luce al quadrato:
2
cmW ?

242
()
( )
()kg1003,3
103
J1074,2
c
W
m
31
2
8
14
2

?
ì
ì

Seguendo l’ipotesi di Thomson e supponendo di considerare diviso in tre parti l’elettrone e
la relativa carica elettrica, risulterebbe una massa pari a circa 1/3 di quella classica.

Esercizio 48:
Ricavare un’espressione per quantificare il lavoro necessario per disporre le quattro cariche come
raffigurato, assumendo che le cariche siano infinitamente lontane tra loro.

Soluzione

-q+q
-q
+q
1
23
a
a a
a

R14 - 10

a24
q
a4
q
a4
q
V
1
??e?p?

+
?e?p?
+
+
?e?p?
+

a4
q
a24
q
V
2
?e?p?

+
??e?p?
+

a4
q
V
3
??e?p?

()qVW
11
?
()qVW
22
+?
()qVW
32
?
?? ( ) ?
?
?
?
?
?
++?
?e?p?
? 1
2
1
111
2
1
a4
q
VVVqW
2
312
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?
?
?
?
?
?
?
?
?e?p?

2
21
a2
q
2
2
2
a4
q
W
22

243
Esercizio 49:
Tre cariche di 0,12 C formano un triangolo equilatero di lato 1,70 metri. Se si fornisce energia con
potenza di 0,83 kW, quanto tempo occorre per spostare una delle cariche nel punto medio del lato
del triangolo ad essa opposto?

Soluzione:

+q +q
+q
1.7
1.7
1.7
A
B
1,47

R14 - 11

La carica q deve essere spostata dal punto A, vertice del triangolo equilatero, al punto B, medio del
lato contrapposto al vertice A.
Occorre quindi passare dal potenziale caratteristico del punto A a quello del punto B fornendo
energia dall’esterno per vincere le azioni repulsive del campo elettrostatico.
Il campo elettrostatico dovuto alle due cariche che rimangono fisse è variabile in funzione della
posizione della carica lungo il percorso AB ed è dato dalla somma delle componenti perpendicolari
al lato contrapposto del triangolo:

()a?? cosE2E
Y

Con:
2
r
1
4
q
E ?
e?p?

( )
22
x47,185,0r +
( ) ()a? cosrx47,1
()
( )
22
x47,185,0
x47,1
cos
+

a
Quindi:

( )> @
( )
( )> @
2
1
22
22
Y
x47,185,0
x47,1
x47,185,0
1
4
q
2E
+

?
+
?
e?p?
?

244

> @
2
3
22
Y
x47,185,0
x47,1
4
q
2E

?
H?S?
?

Di conseguenza, la forza da applicare alla carica deve essere uguale e contraria alla forza
elettrostatica variabile:

> @
2
3
22
Y
x47,185,0
x47,1
4
qq
2F

?
H?S?
?
?

Il lavoro che esegue la forza per lo spostamento della carica dal punto alla massima distanza
a quello a distanza nulla dal lato contrapposto è quindi dato da:

> @
dx
x47,185,0
x47,1
2
q
L
oY
47,1Y
2
3
22
2
AB
??

?
H?S?

> @
dx
x47,185,0
x47,1
mN
C
1085,82
C12,0
L
0X
47,1X
5,122
2
2
12
22
AB
??

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?S?

> @
dx
x47,185,0
x47,1
mN
C
1085,82
C12,0
L
0X
47,1X
5,122
2
2
12
22
AB
??

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?S?

J751.154.152L
AB

Fornendo energia con una potenza ?
?
?
?
?
?

s
J
830P è necessario un tempo pari a:
tPL
AB
?

s1084,1
s
J
830
J1052,1
P
L
t
5
8
AB
u
?
?
?
?
?
?
u

In giorni:

giorni12,2
d
h
24
h
s
3600
s1084,1
t
5

?
?
?
?
?
?
u?
?
?
?
?
?
u

Se si determina il potenziale nel punto A e nel punto B per effetto delle sole due cariche fisse si
ottiene:
2
r
1
4
q
V
A
??
H?S?

V1027,12
7,1
1
1085,84
12,0
V
9
12
A
u ??
u?S?

2
r
1
4
q
V
1
B
??
H?S?

V1054,22
85,0
1
1085,84
12,0
V
9
12
B
u ??
u?S?

V1027,1V
9
AB
u '

245

()J000.400.152W
AB

Poi il calcolo segue lo stesso procedimento di prima conducendo allo stesso risultato.
D’altra parte, come controprova, occorre anche ricordare che la derivata della funzione potenziale
altro non è che il campo elettrico e che, di conseguenza, l’integrale del campo elettrico rispetto alla
distanza, entro i limiti d’integrazione prefissati, è la variazione di potenziale.
Per cui, calcolando l’integrale del campo elettrico tra i limiti precedenti si dovrebbe determinara la
variazione di potenziale già calcolata.

()
( )
( )> @
()V1027,1dx
x47,185,0
x47,1
2
q
dxxEV
9
0
47,1
5,122
0X
47,1X
AB
ì ?“
+

?
e?p?
?“

Esercizio 50:
Determinare il lavoro occorrente per trasportare la carica +5q da un punto all’infinito, cui
corrisponde potenziale nullo, lungo la linea indicata, in un punto B posto vicino alle due cariche
fisse +4q e -2q.

Soluzione:
+4q
-2q
+5q
+5q
2d
d
60°43°
A
B

Il potenziale nel punto B, al termine dello spostamento, è dato dalla somma dei potenziali prodotti
nello stesso punto dalle cariche fisse considerate singolarmente:
0
d
1
4
q2
d2
1
4
q4
V
B
?
e?p?
?
+
?
?
e?p?
?+

Considerando che il potenziale è nullo sia all’infinito – punto A - che nel punto B, il lavoro
occorrente per lo spostamento AB è automaticamente nullo.
Sarebbe comunque nullo il lavoro per uno spostamento qualsiasi con estremi A e B.

246
Esercizio 51:
Un elettrone è lanciato con una velocità iniziale di ?
?
?
?
?
?
ì
s
m
102,3
5
direttamente verso un protone
tenuto fisso in un punto. Se l’elettrone è, inizialmente, ad una grande distanza dal protone, a quale
distanza dal protone la sua velocità sarà istantaneamente uguale al doppio del suo valore iniziale.

Soluzione:
Con il teorema dell’energia cinetica si determina la quantità di lavoro che il campo elettrico
prodotto dal protone deve applicare all’elettrone per raddoppiarne la velocità:
( )
2
I
2
I
2
F
v3m
2
1
vvm
2
1
W ??? ??
Tale lavoro corrisponde alla variazione di energia potenziale elettrostatica del campo:
r
1
4
ep
W ?
e?p?
?

+

Con:
r distanza dal protone

Per cui si ricava la distanza:
r
1
4
ep
?
e?p?
?
+
2
I
v3m
2
1
???
??
2
I
vm6
ep
r
??e?p?
?

+

??
( )
()( )
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?
ì

2
2
2
531
2
2
12
2
19
s
m
102,3kg1011,9
mN
C
1085,86
10602,1
r
?? ()m1065,1r
9
ì

Esercizio 52:
Due elettroni sono tenuti ad una distanza fissa di 2 cm. Un altro elettrone è lanciato dall’infinito e si
arresta a metà strada tra i due. Determinare la velocità iniziale dell’elettrone.

Soluzione:
L’elettrone in movimento passa da un potenziale nullo all’infinito al potenziale corrispondente al
punto di mezzo dei due elettroni fissi:
()
()
()V1088,2
m101
mN
C
1085,82
C10602,1
2
r
1
4
e
V
7
2
2
2
12
19

ì
ì?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
ì
??
e?p?

L’energia occorrente per effettuare tale movimento è dunque:
() ()J1062,4
C
J
1088,2C10602,1VeW
26719
ì ?
?
?
?
?
?
ì?ì ?
Dal teorema dell’energia cinetica, tenendo conto che la velocità finale è nulla, si ottiene:
2
I
vm
2
1
W ??
?
?
?
?
?
?

ì
ì?

?

s
m
318
1011,9
1062,42
m
W2
v
31
26
I

247

Esercizio 53:
Due superfici conduttrici parallele, piane, distanziate di 1 cm hanno una differenza di potenziale di
625 (V). Un elettrone è proiettato da un piatto verso l’altro. Determinare la velocità iniziale
dell’elettrone sapendo che esso si ferma a metà strada tra i due piatti.

Soluzione:
Se l’elettrone raggiungesse la piastra negativa fermandosi allora la sua energia cinetica iniziale
sarebbe pari alla differenza di potenziale moltiplicata per la carica.
Considerando che si ferma a metà strada allora esso dovrà possedere un’energia cinetica pari alla
metà:
() ()
()J105
2
V625C10602,1
Ve
2
1
E
17
19
C

ì
?ì
??

La sua velocità iniziale sarà quindi:
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì?

?

s
m
10048,1
1011,9
1052
m
E2
v
7
31
17
C

Esercizio 54:
Una carica di valore pari a ()C100,9Q
9
ì è uniformemente distribuita intorno ad un anello di
raggio 1,5 metri che giace sul piano YZ con il centro sull’origine.
Una carica puntiforme di valore pari a ()C106q
12
ì è posta sull’asse X a 3,0 cm distanza dal
centro della distribuzione ad anello.
Determinare il lavoro occorrente per spostare la carica nell’origine.

Soluzione:
La distribuzione ad anello genera, nel punto a 3 cm dall’origine, un potenziale elettrostatico dato
dalla somma di tutti i contributi dei vari tratti ds di anello.
Tale potenziale è dato da:
22
N
22
1
B
35,1
1
4
s
..........
35,1
1
4
s
V
+
?
e?p?
D?l
++
+
?
e?p?
D?l

( )
N21
22
B
s.....ss
35,1
1
4
V D++D+D?
+
?
e?p?
l

S
35,1
1
4
V
22
B
?
+
?
e?p?
l

R2
35,1
1
4
V
22
B
?p??
+
?
e?p?
l

()V14,24
35,1
1
1085,84
Q
V
22
12
B

+
?
ì?p?

La stessa distribuzione genera, nel centro dell’anello – origine degli assi - , un potenziale pari a:
5,1
1
4
s
..........
5,1
1
4
s
V
N1
A
?
e?p?
D?l
++?
e?p?
D?l

( )
N21A
s.....ss
5,1
1
4
V D++D+D??
e?p?
l

248
S
5,1
1
4
V
A
??
H?S?
O

R2
5,1
1
4
V
A
?S???
H?S?
O

V98,53
5,1
1
1085,84
Q
V
12
A
?
u?S?

La differenza di potenziale tra i due punti è dunque:
V84,29V '

Mentre il lavoro necessario a spostare la carica è dato da:

J1079,184,29106VqW
1012
u ?u '?

Allo stesso risultato si perviene integrando la funzione campo elettrico tra i due punti ed i rispettivi
limiti.

249
CAPACITA’ ELETTRICA

INTRODUZIONE
ANALOGIA CON IL POTENZIALE DEL CAMPO GRAVITAZIONALE.
Allo scopo di meglio comprendere il concetto “Capacità elettrica” può risultare utile assimilare il
potenziale elettrico di un corpo conduttore al potenziale gravitazionale del liquido contenuto in un
recipiente.
A tale scopo si supponga di aver a disposizione un volume V di liquido, ad esempio acqua, da
travasare, completamente ed in tempi diversi, in recipienti cilindrici di vetro ognuno dei quali ha
una base circolare di raggio disuguale.
Si supponga inoltre che tutti i recipienti cilindrici siano in grado di contenere il volume d’acqua che
ricevono senza traboccare.
Ciò significa, in altre parole, che l’altezza H di ogni cilindro deve essere inversamente
proporzionale alla sua superficie di base.
Travasando quindi il liquido nei vari cilindri risulta evidente che, essendo costante la quantità,
l’altezza raggiunta deve essere variabile in funzione della superficie di base.
Potendo associare all’altezza della colonna d’acqua un relativo potenziale gravitazionale, si dirà
che, pur non variando il volume d’acqua contenuto, ad ogni recipiente corrisponderà un’altezza di
liquido diversa.
In altre parole, il potenziale gravitazionale caratteristico del liquido dipende unicamente dalla forma
del recipiente che lo contiene e, più precisamente, che esso è inversamente proporzionale al valore
che caratterizza l’area di base (se il recipiente è cilindrico).
Il rapporto tra la quantità di liquido (costante per tutti i recipienti) e l’altezza raggiunta dal liquido
nel recipiente altro non è che la superficie dell’area di base (per il recipiente cilindrico):

BASEAREA
H
VOLUME

La possibilità di contenere una quantità di liquido, cioè la capacità del recipiente, dipende dunque, a
parità d’altezza, dalla sua area di base.

CAPACITA’ ELETTRICA DI UNA SFERA CONDUTTRICE.
Anche nel caso della descrizione dei fenomeni determinati dalla presenza di un corpo squilibrato
elettricamente o, in altre parole, dotato di una carica elettrica positiva o negativa, è possibile
ricollegarsi all’esempio precedente:

Una determinata quantità di carica elettrica Q è trasferita, completamente ed in tempi
differenti, a conduttori sferici caratterizzati ognuno dal proprio raggio o diametro.

Ogni conduttore assume, per effetto della carica contenuta, un potenziale elettrico
numericamente espresso dalla somma dei potenziali generati dalla distribuzione superficiale
di carica ed uguale al potenziale che tutta la carica genererebbe in un punto della superficie
del conduttore se fosse concentrata nel suo centro:

( )
r
1
4
Q
r4
S
r4
r4
s
r4r4
s
V
2
Ni
1i
i
Ni
1i
1
i
?
e?p?

?e?p?
?l
?p??
?e?p?
l
?D?
?e?p?
l
?
?e?p?
D?l

Si ricorda che:
x Il vettore campo elettrico in un punto qualsiasi della superficie è sempre
perpendicolare alla tangente alla superficie in quel punto.

250
x In particolare, per un conduttore sferico, il campo elettrico è parallelo alla direzione
del raggio in quel punto.
x La superficie esterna del conduttore è una superficie equipotenziale
x Il valore numerico del campo elettrico dipende dal valore della densità superficiale di
carica nel punto che si considera. La densità di carica dipende dal raggio di curvatura
della superficie nel punto considerato.
x All’interno del conduttore è nullo il campo elettrico
x All’interno del conduttore il potenziale è costante ed è uguale al potenziale di un
punto qualsiasi sulla superficie esterna.
x Il potenziale ha un valore costante su tutta la superficie del conduttore
indipendentemente dalla forma del conduttore.

Il potenziale che assume il conduttore sferico di raggio r prefissato dipende quindi – a parità
di raggio – dalla quantità di carica contenuta.
Raddoppiando o triplicando la carica, raddoppia o triplica il potenziale.

Di conseguenza il rapporto tra la quantità di carica ed il potenziale deve essere una costante
caratteristica del particolare conduttore utilizzato e, in particolare per la sfera di raggio r:

r4
r4
Q
Q
V
Q
C ?e?p?
?e?p?

La costante di proporzionalità C è definita “CAPACITA’ ELETTRICA” della sfera
conduttrice di raggio r.

Occorre inoltre precisare che la costante dielettrica assoluta e si riferisce al tipo di materiale
che circonda la sfera conduttrice.
Tenendo presente che la costante dielettrica assoluta è data dal prodotto tra la costante
dielettrica del vuoto e la costante dielettrica relativa del materiale e che tutti i materiali sono
caratterizzati da costanti relative superiori all’unità, risulta evidente che non esistono
costanti dielettriche assolute minori od uguali a quella del vuoto.

F
e?e e
R
1
R
?e Per tutti i materiali
F
e?e

Di conseguenza la capacità elettrica di una sfera circondata dal vuoto è, tra tutte quelle
possibili, quella minore.
Il rapporto tra la capacità della sfera inserita in un dielettrico e della stessa sfera immersa nel
vuoto è data dalla seguente relazione:
r4C ?e?p?
FF
r4r4C
R
?e?e?p? ?e?p?
F
R
R
r4
r4
C
C
e
?e?p?
?e?e?p?

F
F
F

Cioè:
F
?e CC
R
Ovviamente, a parità di quantità di carica Q e per sfere di uguale raggio, quella circondata
dal vuoto assume potenziali più elevati:

251
F
F

C
Q
V
R
C
Q
V
e?

F

??
F
F
FF
e
?
e??

CQ
CQ
V
V
R

?? VV
R
?e
F

Esempio:
Determinare la capacità elettrica ed il potenziale assunto da due sfere di raggio ()m1r per
effetto di una carica ()C12Q .
La prima sfera è nel vuoto mentre la seconda in alcool etilico
( )
28
ALCOOLR
e .
Soluzione:

Per la sfera nel vuoto:
() ( )Farad
V
C
mN
C
1011,1m1
mN
C
1085,84C
2
10
2
2
12
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?

F
()
()V109
V
C
1011,1
C1
C
Q
V
9
10
ì
?
?
?
?
?
?
ì

F
F

Per la sfera nell’alcool etilico:
()
9
2
2
12
ALCOOL
1011,3m1
mN
C
1085,8284C

ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì??p?
()
()V1021,3
V
C
1011,3
C1
C
Q
V
8
9ALC
ALCOOL
ì
?
?
?
?
?
?
ì

Se la stessa quantità di carica è trasferita ad una sfera di raggio minore, si ottiene, di conseguenza,
un potenziale maggiore e una “Capacità elettrica” minore.
Infatti:
Per ipotesi:
21
rr?

1
1
r
1
4
Q
V ?
e?p?

2
2
r
1
4
Q
V ?
e?p?

??
12
VV?

Di conseguenza:

1
1
1
r4
V
Q
C ?e?p?

252

2
2
2
r4
V
Q
C ?e?p?
??
12
CC?

CAPACITA’ ELETTRICA
La relazione che definisce la nuova grandezza “CAPACITA’ ELETTRICA” è applicabile a corpi di
forma e dimensioni qualsiasi e si può quindi concludere con le seguenti osservazioni:

Corpi che hanno la stessa estensione superficiale e la stessa carica elettrica ma forma diversa,
presentano potenziali differenti. Di conseguenza anche la capacità elettrica che li caratterizza
sarà diversa.

Corpi che hanno la stessa carica e la stessa forma ma superficie diversa presentano potenziali
differenti. Anche in questo caso la capacità elettrica che li caratterizza sarà diversa.

Corpi che hanno una maggiore estensione superficiale presentano un potenziale minore e una
capacità elettrica maggiore.

UNITA’ DI MISURA DELLA CAPACITA’ ELETTRICA
Si assume come unità di misura standard della nuova grandezza “CAPACITA’ ELETTRICA”
quella tipica di un corpo che, caricato con una quantità di carica pari all’unità – cioè 1 COULOMB
– assume un valore di potenziale elettrico pari all’unità – cioè 1 VOLT.
L’unità di misura della capacità, definita in questo modo, prende il nome di “FARAD”.
Per cui:

( )
( )
( )
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
2
22
s
m
kg
sA
mN
sAsA
C
J
sA
Volt1
Coulomb1
Farad1
DETERMINAZIONE DEL RAGGIO DI UNA SFERA AVENTE CAPACITA’ DI 1 FARAD
Il valore unitario della capacità elettrica – 1 Farad – corrisponde alla capacità di una sfera che
assume un potenziale di 1 volt per effetto di una carica pari a 1 Coulomb.
Tenendo conto dell’espressione del potenziale di una sfera si ottiene dunque:
()
()
()V1
C1
F1C
()
()
()
r4
r4
C1
C1
F1C ?e?p
?e?p?

??
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?#
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??p?
?
?
?
?
?
?

e?p?

2
2
9
2
2
12
CV
mNC
109
mN
C
1085,84
V
Q
1
4
F1
r

253
?? ()m
C
mC
C
C
J
mJC
CV
mNC
109r
2
2
2
9
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?#

DETERMINAZIONE DELLA CAPACITA’ ELETTRICA DI UNA SFERA DI RAGGIO 1 M.
Per una sfera di raggio unitario – 1 metro – la capacità elettrica è:

r4C ?e?p?

() ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p?

V
C
J
CC
J
C
mN
C
1011,1m1
mN
C
1085,84C
22
10
2
2
12

( )Farad1011,1
V
C
1011,1C
1010
ì ?
?
?
?
?
?
ì#

SOTTOMULTIPLI DI USO COMUNE PER LE MISURE DI CAPACITA’ ELETTRICA
Per le misure di capacità elettrica relativa ai corpi di uso comune si utilizzano alcuni sottomultipli
del Farad quali:
1 microfarad ? ( ) ()F10F1
6
m
1 millimicrofarad o nanofarad ? ( ) ()F10nF1
9

1 micromicrofarad o picofarad ? ( ) ()F10pF1
12

CONDENSATORE

CONDUTTORE ISOLATO DALL’AMBIENTE ESTERNO -
La capacità elettrica di un corpo conduttore è dunque il rapporto tra la quantità di carica in esso
contenuta ed il valore del potenziale assunto dal corpo per effetto di tale carica:
V
Q
C
La costante di proporzionalità – detta appunto capacità elettrica – è una caratteristica morfologica
del corpo in quanto dipende dalla sua forma e dimensioni.
In particolare, per una sfera di raggio r posta nel vuoto, la costante C assume un valore pari a:

r4C ?e?p?
F ()F

La capacità elettrica di un corpo conduttore perfettamente isolato elettricamente dall’ambiente che
lo circonda è dunque costante ed invariabile.

CONDUTTORE NON ISOLATO DALL’AMBIENTE ESTERNO - CONDENSATORE :
Per i conduttori non isolati dall’ambiente esterno e quindi in grado di risentire delle azioni
elettrostatiche causate dalla presenza di altri corpi conduttori carichi elettricamente posti nelle
vicinanze, occorre rivedere le basi teoriche che hanno condotto alla definizione della capacità
elettrica.
Supponiamo quindi di caricare elettricamente un corpo conduttore, ad esempio sferico.
Terminata la fase transitoria di passaggio dallo stato neutro allo stato finale, le cariche elettriche si
dispongono su uno strato spesso alcune unità atomiche della superficie esterna del conduttore.
Ciò è causato dall’azione repulsiva tra cariche di ugual segno.

254
All’interno il campo elettrico E è nullo ed il potenziale V assume il valore costante pari a quello
di un qualsiasi punto appartenente alla superficie.
Di conseguenza il flusso del campo elettrico F attraverso ad una qualsiasi superficie gaussiana
contenuta nel contorno della sfera è nullo ad indicare che la quantità di carica contenuta nella sfera
è pari a zero (infatti tutta la carica è sulla superficie).

In queste condizioni la capacità elettrica della sfera risulta pari a:

r4
V
r4
V
Q
C
2
?e?p?
?p??l

F

Si immagini ora di disporre un corpo conduttore neutro nelle immediate vicinanze della sfera carica
evitando però il contatto tra i due corpi.
Ora la sfera carica non è più isolata dall’ambiente esterno.
Inizia quindi una nuova fase transitoria durante la quale l’azione elettrostatica delle cariche sulla
superficie sferica costringe gli elettroni di conduzione presenti nel corpo neutro ad avvicinarsi o
allontanarsi dalla sfera carica.
Il conduttore inizialmente neutro continua a mantenersi neutro, ma è ora polarizzato in modo tale
che cariche di segno contrario a quelle contenute nella sfera sono collocate sulla superficie più
prossima alla sfera.
Nel contempo, senza che la sfera subisca modificazioni alla quantità di carica iniziale, si noterà una
diminuzione del potenziale V dovuto al fatto che la polarizzazione del conduttore neutro instaura un
potenziale di segno contrario maggiore di quello dello stesso segno (le cariche di segno opposto
sono più vicine alla sfera carica).
L’abbassamento del potenziale della sfera al termine della fase transitoria di polarizzazione (anche
segnalato da un eventuale elettrometro collegato alla sfera) ci porta a concludere che a tale
situazione corrisponda un aumento della capacità elettrica della sfera.
La nuova capacità elettrica dovrà essere determinata dal rapporto tra la carica Q – che non subisce
variazioni – ed il nuovo valore del potenziale
1
V- minore di quello iniziale – assunto dalla sfera al
termine della seconda fase transitoria con la presenza del conduttore polarizzato:
C
V
Q
C
1
1
?

L’aumento di capacità è ancora maggiore se il conduttore polarizzato è collegato a terra.
In questo caso tutto il corpo si carica di segno contrario alla carica della sfera ed il potenziale di
segno contrario generato sui punti della sfera riduce ulteriormente il potenziale originale
aumentando di conseguenza la capacità.
Nello stesso tempo anche nella sfera avvengono fenomeni di polarizzazione il cui risultato finale è
quello di concentrare le cariche nei punti più prossimi al conduttore inizialmente scarico.
In altre parole:
La presenza di due corpi conduttori ravvicinati è causa di concentrazione o “CONDENSAZIONE”
delle cariche e dell’aumento del valore della capacità elettrica.

Quando due corpi conduttori qualsiasi sono in posizione fissa nello spazio, l’uno in presenza
dell’altro, e si instaura tra essi un campo elettrico, allora si è realizzato un “CONDENSATORE”.
La capacità elettrica del condensatore è maggiore della capacità elettrica normalmente caratteristica
di un solo corpo isolato.

255
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
---
-
-
-
----
++
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

R 14 – 2/4 – CORPO ISOLATO E CORPO NON ISOLATO (CONDENSATORE)

+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
---
-
-
-
----
-
-
-
-
-
---
---
-
-
-
------- -- -- --
---- -- -- --- -

R 14 – 3/4 – CONDENSATORE – CONDUTTORE A TERRA

Praticamente un CONDENSATORE è un dispositivo costituito da due corpi metallici – solitamente
con superficie molto estesa – isolati elettricamente e posti a breve distanza uno dall’altro.
Tra i due corpi è interposta aria o un materiale dielettrico.
Di solito i corpi metallici sono definiti “Armature del condensatore”.
In base alla forma delle “armature” si possono individuare le seguenti tipologie di condensatore:

Condensatore piano
Condensatore cilindrico
Condensatore sferico

256

CONDENSATORE – PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO
CONDENSATORE PIANO

Sfruttando le definizioni sino ad ora descritte, si supponga di disporre di una larga piastra
conduttrice – ad esempio rettangolare – caratterizzata da uno spessore relativamente piccolo se
confrontato con le altre due dimensioni.
La lastra, inizialmente neutra e isolata elettricamente dal terreno, è quindi caricata – ad esempio
positivamente – con una quantità di carica
+
Q.
Trattandosi di un conduttore piano sottile potremo affermare che la carica si distribuisce in modo
uniforme sulle due superfici piane e parallele dando luogo ad una densità di carica pari al rapporto
tra la carica totale e la superficie complessiva delle due facce contrapposte.
Se si considera una lastra avente dimensioni a e b, si avrà:
( )
?
?
?
?
?
?
??
s
2
m
C
ba2
Q

Il campo elettrico generato dalla larga piastra conduttrice carica non può che essere perpendicolare
alle superfici e diretto dalle superfici verso le due regioni dello spazio suddiviso dalla lastra.
Il valore numerico del campo elettrostatico è determinato utilizzando la legge di Gauss applicata ad
una superficie chiusa cilindrica che interseca perpendicolarmente il piano della lastra con la
superficie laterale in direzione parallela al campo e le due basi poste nelle due regioni di spazio a
destra e sinistra della lastra:
( )
( )
F
e
?p??s
?p?? F
2
2 r2
r2E
Con:
r raggio delle basi del cilindro
s densità superficiale di carica (riferita ad una distribuzione sulle due facce)
F
e costante dielettrica del vuoto (si suppone che la lastra sia circondata dal vuoto)

Il valore del campo elettrico prodotto è dunque:
( )
( )
F
e
?p??s
?p??
2
2 r2
r2E
?
F
e
s
E
Se la lastra avesse uno spessore infinitesimo occorrerebbe pensare ad una distribuzione di
carica su un solo strato di spessore atomico ed ad una conseguente densità di carica:
( )
?
?
?
?
?
?
?
s
2
1
m
C
ba
Q

Tale distribuzione darebbe luogo nelle due regioni separate dalla lastra, ad un campo
elettrico:
( )
( )
F
e
?p?s
?p?? F
2
2 r
r2E
F
e?
s

2
E
1

Si prenda ora una seconda lastra conduttrice neutra, di uguali dimensioni, e si disponga a breve
distanza dall’altra a formare due piani paralleli.
Tra le due lastre il vuoto.

257
L’effetto d’induzione della lastra carica provoca la polarizzazione di quella scarica caricando di
segno negativo il piano ravvicinato e segno positivo il piano più distante e la comparsa di un campo
elettrico E nella regione di spazio di lunghezza pari alla distanza tra le lastre.
E’ un campo elettrico uniforme in tutti i punti della regione, diretto perpendicolarmente alle
superfici delle lastre e orientato dalla lastra positiva a quella negativa.
La presenza di un campo elettrico uniforme ci consente di affermare che tra le lastre si deve essere
generata una differenza di potenziale VD.
A una qualsiasi particella positiva q collocata sulla superficie della lastra positiva è applicata una
forza elettrostatica repulsiva che ne provoca l’avanzamento verso la lastra negativa.
Tale forza elettrostatica ha un valore costante in tutti i punti del segmento perpendicolare alle due
lastre e sviluppa quindi un lavoro di spostamento pari a:

dqEdFW
EAB
?? ?

Di conseguenza è possibile affermare che tra le due lastre si deve essere necessariamente
instaurata una differenza di potenziale VV
AB
D pari al rapporto tra il lavoro
AB
W e la
grandezza della carica che subisce lo spostamento.
dE
q
dqE
q
dF
q
W
V
EAB
?
??

?
D

Se di fronte ed a breve distanza dalla lastra già caricata positivamente con la carica Q è posizionata
un’uguale lastra conduttrice neutra e collegata a terra, le forze d’induzione elettrostatica provocate
dalla presenza delle cariche positive polarizzano il sistema composto dalla lastra neutra, dal filo e
dal terreno.
La lastra neutra si carica negativamente ed il terreno di segno contrario.
Il potenziale all’interno del sistema lastra negativa-filo-terreno deve essere necessariamente nullo in
quanto somma degli effetti di cariche uguali e di segno contrario.
Inoltre l’induzione elettrostatica tra le cariche positive e negative sulle due lastre ravvicinate
provoca la condensazione delle cariche positive e negative sulle sole facce interne delle lastre.

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ ++++++ ++ + +++ ++++
+

R 14 - 4/4 - CONDENSATORE

258
Tre le due lastre si instaura dunque un campo elettrico uniforme il cui valore può essere determinato
tenendo conto della legge di Gauss e del principio di sovrapposizione degli effetti.

Si pensi allora di suddividere lo spazio in tre regioni distinte:
x Regione posta a sinistra della lastra positiva (1)
x Regione posta a destra della lastra negativa (2)
x Regione compresa tra le lastre (poste ad una distanza d) (3)

In tutte e tre le regioni il valore del campo elettrico risulta dalla somma algebrica dei campi prodotti
separatamente dalle due lastre.
I campi prodotti dalle lastre si ottengono applicando la legge di Gauss a cilindri che intersecano
perpendicolarmente le lastre e la cui base circolare ha un raggio r generico.
Per cui:
Per la regione (1) a sinistra della lastra positiva .
x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso
sinistra:
( )
( )
2
1
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F
+
F

?
F
+
e?
s

2
E
1
x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso
destra:
( )
( )
2
1
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F

F

?
F

e?
s

2
E
1
Campo elettrico risultante:
()
0EEE
111
+
+

E’ quindi nullo il campo elettrico nella regione di sinistra.

Per la regione (2) a destra della lastra negativa.
x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso
destra:
( )
( )
2
2
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F
+
F

?
F
+
e?
s

2
E
2
x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso
sinistra:
( )
( )
2
2
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F

F

?
F

e?
s

2
E
2
Campo elettrico risultante:
()
0EEE
222
+
+

E’ quindi nullo il campo elettrico nella regione di destra.

259
Per la regione (3) compresa tra le due lastre.
x Campo elettrico prodotto dalla lastra positiva, uscente dalla lastra e quindi orientato verso
destra:
( )
( )
2
3
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F
+
F

?
F
+
e?
s

2
E
3
x Campo elettrico prodotto dalla lastra negativa, entrante nella lastra e quindi orientato verso
destra:
( )
( )
2
3
2
r2E
r
?p??
e
?p?s
F

F

?
F

e?
s

2
E
3
Campo elettrico risultante:
()
FFF
+
e
s

e?
s
+
e?
s
+
22
EEE
333
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E E
+
EE
-
E
E
-
E
1
1
3
3
-
2
2
+
3

R 14 - 5/4 - CAMPO ELETTRICO NEL CONDENSATORE

Tra le lastre del sistema – ovvero del “condensatore” – si instaura quindi un campo elettrico
uniforme , perpendicolare ai piani delle lastre e orientato dalla lastra positiva a quella negativa, il
cui valore dipende dalla quantità di carica Q o dalla densità di carica s e dalla costante dielettrica
del materiale interposto tra le lastre (in questo caso il vuoto ma in generale un dielettrico di costante
relativa
R
e):
F
e
s

3
E ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
V
C
N
mN
C
m
C
2
2
2

260

FF
e?

e

S
Q
S
Q
E
3 ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
V
C
N
mN
C
m
C
2
2
2

Tra le lastre si genera una differenza di potenziale data dal prodotto tra il campo elettrico e la
distanza d tra le lastre:
d
S
Q
dEV ?
e?
? D
F
()()Vm
m
V
???
?
?
?
?
?

ddEV ?
e
s
? D
F

Risulta ora possibile determinare la “capacità del condensatore” come rapporto tra la quantità di
carica immagazzinata (si considera il valore assoluto della carica presente su una sola lastra) e la
differenza di potenziale tra le lastre:
V
Q
C
D

?
d
S
d
S
Q
Q
C ?e
?
e?

F
F
( )Farad
Dimensionalmente:
( )Farad
V
C
J
CC
m
m
mN
C
C
2
2
2
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

La capacità elettrica di un condensatore dipende unicamente dalla superficie delle lastre o “armature
del condensatore”, dalla loro distanza d e dalla costante dielettrica del materiale interposto tra le
armature.
Più precisamente:
La capacità di un condensatore è:

x Direttamente proporzionale alla superficie delle armatura
x Direttamente proporzionale alla costante dielettrica del mezzo interposto
x Inversamente proporzionale alla distanza

Per quanto riguarda la variazione della capacità in funzione del valore della costante dielettrica si
può dire quanto segue:

La presenza di un materiale dielettrico isolante (di costante relativa
R
e) tra le armature del
condensatore provoca un abbassamento del valore del campo elettrico e della differenza di
potenziale. Quindi si ha un aumento di capacità:
Il rapporto tra la capacità con dielettrico e la capacità con il vuoto interposto è dato da:
d
S
C
R
?e?e
F Capacità con dielettrico di costante
R
e
d
S
C ?e
FF Capacità con il vuoto interposto

261
??
R
C
C
e
F
?
F
?e CC
R

Per quanto riguarda la distanza tra le armature a parità delle altre condizioni:
d
S
C
R
?e?e
F Capacità a distanza d
1
R1
d
S
C ?e?e
F Capacità a distanza
1
d
??
d
d
C
C
1
1
?
1
1
C
d
d
C ?

DEFINIZIONE DI NUOVE UNITA’ DI MISURA PER LA COSTANTE D IELETTRICA
Sfruttando la definizione dell’unità di misura della capacità elettrica e la relazione che permette di
calcolarne il valore nel caso di condensatore piano, è possibile dare un’interpretazione diversa alle
unità di misura della costante dielettrica:
d
S
C ?e
Da cui si ottiene:
S
dC?
e ? ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?e
m
F
m
mF
2

Nel caso della costante dielettrica del vuoto si avrà:
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e

F
m
F
1085,8
m
F
85,8
m
picofarad
85,8
m
faradmic ro mic ro
85,8
12

CONDENSATORE CILINDRICO

Un condensatore cilindrico è costituito da due superfici cilindriche coassiali di raggio
rispettivamente
1
R e dRR
12
+ . Ove d è molto piccolo rispetto ad
1
R.
Si tratta, in altre parole, di un tubo esterno di piccolo spessore che contiene un cilindro più piccolo.
Entrambe le superfici o armature del condensatore appartengono a corpi conduttori e, tra loro, è
interposto il vuoto o un dielettrico isolante.

12
RRd Distanza tra le armature

Con:
d Distanza tra le due superfici cilindriche ()m
2
R Raggio interno del tubo conduttore esterno ()m
1
R Raggio esterno del cilindro interno ()m

Anche in questo caso si provvede a caricare positivamente l’armatura interna cioè il cilindro più
piccolo, mentre l’armatura esterna è collegata a terra.
La carica positiva
+
Q si dispone uniformemente sulla superficie del cilindro interno e l’induzione
elettrostatica polarizza il terreno e l’armatura esterna caricando quest’ultima di segno negativo con
lo stesso valore

Q.

262
Si genera in questo modo un campo elettrico radiale E, orientato dal cilindro interno verso quello
esterno, necessariamente perpendicolare alle due superfici cilindriche.
Il valore di tale campo elettrico è determinato con l’applicazione della legge di Gauss ad una
superficie gaussiana cilindrica coassiale di raggio variabile da un minimo, pari al raggio esterno
dell’armatura interna, ad un massimo, pari al raggio interno del cilindro esterno.

Tale variazione è pari allo spazio d interposto tra i due cilindri.

1
R
R
2
d
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
H
R
-
-
-
-
--
- -
--
-
-
-
-
-
-

R 14 - 6/4 – CONDENSATORE CILINDRICO

Applicando quindi la legge di Gauss alla superficie gaussiana cilindrica che contiene la carica Q
positiva, si ottiene, per i punti appartenenti alla regione compresa tra le due armature:
Hr2E
Q
??p??
e
F
+

Con:
r Variabile da un minimo pari a
1
R ad un massimo pari a
2
R
H Altezza delle armature
e Costante dielettrica assoluta del materiale interposto

Si ottiene quindi:
()
r
1
H2
Q
rE ?
?e?p?
Campo elettrico radiale variabile
Il campo elettrico è quindi massimo sulla superficie del cilindro interno e minimo sulla
superficie interna dell’armatura cilindrica negativa:
1
MAX
R
1
H2
Q
E ?
?e?p?

2
MIN
R
1
H2
Q
E ?
?e?p?

La conoscenza della funzione ()rE ci permette di determinare la differenza di potenziale tra le due
armature:

263
()drrEV
2
R
1R
?“ D
dr
r
1
H2
Q
V
2R
1R
??“
?e?p?
D
dr
r
1
H2
Q
V
2R
1R
?“?
?e?p?
D
()> @
2R
1R
rlog
H2
Q
V ?
?e?p?
D
( )
12
RlogRlog
H2
Q
V ?
?e?p?
D

1
2
R
R
log
H2
Q
V ?
?e?p?
D Differenza di potenziale tra le armature

La capacità del condensatore cilindrico è quindi determinata dal rapporto:

V
Q
C
D

1
2
1
2
R
R
log
H2
R
R
log
H2
Q
Q
C
?e?p?

?
?e?p?

E, tenendo conto della distanza tra le armature:

?
?
?
?
?
?
?
?
+
?e?p?

?
?
?
?
?
?
?
?+
?e?p?

?
?e?p?

11
1
1
2
R
d
1log
H2
R
dR
log
H2
R
R
log
H2
Q
Q
C
Moltiplicando e dividendo per il raggio
1
R:

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?e

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
??e?p?

1
1
1
1
1
1
R
d
1logR
S
R
d
1logR
RH2
C
Anche nel caso di condensatore cilindrico il valore della capacità elettrica dipende unicamente dal
valore della costante dielettrica assoluta e dalle caratteristiche geometriche del sistema quali il
raggio del cilindro interno, la distanza tra le armature (sempre molto piccola) e l’altezza del
condensatore.
Tra tutti i valori possibili di capacità in relazione al tipo di materiale interposto, si ottiene quello
minimo, quando tra le armature è fatto il vuoto:

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?e

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
??e?p?

FF
F
1
1
1
1
1
1
R
d
1logR
S
R
d
1logR
RH2
C

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?e?e

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
??e?e?p?

FF
1
1
1R
1
1
1R
R
d
1logR
S
R
d
1logR
RH2
C

R
C
C
e
F

??
F
?e CC
R

264

CONDENSATORE SFERICO

Si tratta di un involucro sferico o strato sferico conduttore sottile che contiene una sfera più piccola
anch’essa conduttrice.
Lo strato e la sfera interna sono caratterizzati, rispettivamente, da un raggio interno
2
Re da un
raggio
1
R.
La distanza tra la superficie esterna della sfera e quella interna dello strato è determinata dalla
differenza tra i due raggi:

dRR
12
+ Raggio interno dello strato sferico

1
R Raggio della sfera interna

12
RRd Distanza tra le armature

Anche in questo caso si provvede a caricare positivamente il conduttore sferico interno che, a sua
volta, polarizza di segno contrario lo strato collegato a terra.
Le quantità di carica – positiva sulla sfera e negativa sullo strato – hanno lo stesso valore Q e sono
distribuite uniformemente sulle superfici affacciate.
Evidentemente le densità superficiali di carica presenti sulle superfici, seppur molto simili
considerando la piccola differenza tra i raggi, sono diverse tra loro.
Nella regione di spazio compresa tra le superfici si instaura quindi un campo elettrico variabile,
radiale e perpendicolare alla sfera.
Il valore del campo elettrico si ottiene applicando la legge di Gauss ad una superficie gaussiana
sferica di raggio variabile da un minimo pari al raggio esterno della sfera interna -
1
R- ad un
massimo pari al raggio interno dello strato.
Si ottiene:
( )
e
?p?? F
Q
r4E
2

Con:
F Flusso del campo elettrico uscente dalla sfera gaussiana
()rE campo elettrico variabile entro la distanza d

2
r4?p? Area della superficie sferica gaussiana (variabile in d)
Q Carica positiva contenuta sulla sfera interna
e Costante dielettrica assoluta del materiale interposto

Si ottiene quindi il valore del campo:
()
e??p?

2
r4
Q
rE
Da notare che il campo elettrico generato dalla carica interna – distribuita sulla superficie
sferica – è pari al campo che genererebbe la stessa carica nel punto considerato se fosse
concentrata nel centro della sfera.
Il campo elettrico, prodotto dalla carica negativa sullo strato, nello spazio vuoto interno allo
strato sferico stesso è nullo per simmetria sferica.

Il valore della differenza di potenziale tra la superficie esterna della sfera e quella interna dello
strato, si ottiene integrando la funzione campo elettrico con i limiti imposti dai valori dei raggi.
Si tenga conto che integrare la funzione campo elettrico significa determinare la quantità di lavoro
che eseguirebbe il campo variabile per trasportare una carica dall’armatura positiva a quella
negativa e dividere il lavoro risultante per la grandezza della carica trasportata.
Quindi:

265

q
W
V
2R1Ro
'
drrEV
2R
1R
?? '
dr
r4
Q
V
2R
1R
2
??
?H?S?
'
dr
r
1
4
Q
V
2R
1R
2
??
H?S?
'

2R
1R
r
1
4
Q
V
?
?
?
?
?
?
?
H?S?
'

?
?
?
?
?
?
?
?
?
H?S?
'
12
R
1
R
1
4
Q
V

?
?
?
?
?
?
?
?
?
H?S?
'
21
R
1
R
1
4
Q
V

?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
H?S?
'
21
12
RR
RR
4
Q
V

La capacità del condensatore sferica è dunque data da:

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?H?S?
'

12
21
RR
RR
4
V
Q
C

Anche in questo caso la capacità risulta dipendente dalle sole caratteristiche geometriche delle
armature e dalla costante dielettrica del materiale interposto:
x Nel vuoto:

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?H?S?
)
12
21
RR
RR
4C
x In un dielettrico qualsiasi:

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?H?H?S?
)
12
21
R
RR
RR
4C
Per cui:

)
?H CC
R

La capacità di un condensatore sferico con interposto un dielettrico è uguale a quella dello
stesso condensatore con interposto il vuoto, moltiplicata per il valore della costante dielettrica
relativa.

266
L’ENERGIA ELETTROSTATICA DEL CONDENSATORE

Un condensatore è un’apparecchiatura in grado di immagazzinare sulle proprie armature una certa
quantità di carica Q e di generare nel contempo una certa differenza di potenziale.
Se si utilizza ancora l’analogia idraulica, l’azione del condensatore potrebbe essere paragonata a
quella di un lago artificiale formato in quota dalla presenza di una diga, cioè contenere una
determinata quantità d’acqua il cui livello energetico gravitazionale è “potenzialmente” superiore a
quello che sarebbe in possesso alla stessa quantità d’acqua contenuta in un lago di pianura.
L’energia potenziale dell’acqua trattenuta dalla diga in quota può essere sfruttata in qualsiasi
momento e trasformata, ad esempio, in energia elettrica.
La quantità di carica nel condensatore corrisponde alla quantità d’acqua, la differenza di potenziale
tra le armature è paragonabile alla differenza di potenziale gravitazionale (differenza di livello) tra
la quota cui è spillata l’acqua del lago e la quota ove è installata la centrale di trasformazione,
mentre, lo spazio tra le armature o distanza d, sede del campo elettrico, rappresenta fisicamente il
luogo ove è contenuta l’energia potenzialmente utilizzabile, cioè, in altre parole, il bacino artificiale
in quota.
Ciò che differenzia in modo importante il condensatore elettrostatico dall’analogia idraulica con il
lago in quota, sono le modalità con le quali si accumulano rispettivamente la carica elettrica e
l’acqua.
Nel caso del lago artificiale l’accumulo di acqua avviene in modo naturale per merito delle
precipitazioni atmosferiche senza alcun intervento od azione da parte dell’uomo.
La diga deve quindi essere considerata come una limitazione all’azione gravitazionale terrestre che,
altrimenti, provvederebbe a livellare l’energia convogliando l’acqua meteorica al livello più basso
possibile, cioè il livello del mare.
L’energia elettrica che si ottiene dallo sfruttamento dell’energia potenziale contenuta nel bacino
artificiale, a parte i costi relativi alla costruzione e alla gestione delle infrastrutture, risulta
completamente gratuita alla società.
Se così non fosse e si pensasse di riempire il lago artificiale prelevando acqua dalla pianura, sarebbe
necessario fornire dall’esterno una quantità di lavoro meccanico pari alla variazione di energia
potenziale tra le due quote di tutta la quantità d’acqua.

hgmL D?? ()J
Con:
L Lavoro meccanico esterno
M Massa d’acqua contenuta nel lago
G Accelerazione gravitazionale terrestre
hD Differenza di potenziale gravitazionale o differenza di livello

La carica del condensatore, con l’ipotesi di collegare a terra una delle due armature, richiede, al
contrario, l’applicazione di lavoro esterno almeno per quanto concerne l’instaurarsi delle azioni
elettrostatiche.
In altre parole:
x E’ pur vero che l’effetto d’induzione avviene spontaneamente tra l’armatura carica e quella
scarica collegata a terra ma, tale effetto può solo essere provocato da una precedente azione
esterna in grado di modificare l’equilibrio elettrostatico naturale dell’armatura che
provocherà poi l’induzione.
x Per tale azione è richiesta la fornitura di energia dall’esterno.

In questo senso il processo di carica di un condensatore è molto simile a quanto avviene durante la
deformazione di una molla elastica per effetto di una forza esterna.

267
La forza elastica aumenta proporzionalmente al valore della deformazione ed il lavoro esterno
occorrente a far variare di un tratto xDla lunghezza iniziale della mola è determinato dall’area
sottostante la linea che, graficamente, rappresenta la relazione forza-dilatazione:

2
xk
2
1
L D??
Tale lavoro esterno è immagazzinato dalla molla sottoforma di energia potenziale elastica e può poi
essere restituita all’ambiente, quando la molla torna alla sua lunghezza iniziale.
F (N)
x (m)
F = k
3
L (J)
3

R 14 – 7/4 LAVORO DI DEFORMAZIONE ELASTICA O ENERGIA POTENZIALE ELASTICA

Allo stesso modo l’energia elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico tra le armature del
condensatore è pari al lavoro che occorre applicare alle cariche elettriche per costringerle a passare
da un’armatura all’altra vincendo le azioni elettrostatiche contrarie che aumentano d’intensità
concordemente all’aumento di potenziale da esse stesse provocato.
Ricordando che la variazione di potenziale VD è determinato dal rapporto tra il lavoro applicato e
la carica trasportata, si ottiene:
Q
W
V D
?? QVW ?D

Tenendo poi presente che, per un condensatore, è costante il rapporto tra la quantità di carica
e la differenza di potenziale tra le armature, e che detto rapporto altro non è che la capacità:
V
Q
C
D

VCQ D?

Si ottiene il lavoro speso per caricare il condensatore utilizzando ancora la rappresentazione
grafica simile a quella della molla.
Il lavoro speso, che corrisponde all’energia potenziale elettrostatica immagazzinata dal
condensatore, è rappresentato dall’area del triangolo che ha per base la differenza di
potenziale finale e per altezza la quantità di carica depositata sulle armature.
Tale quantità di carica si ottiene tenendo conto della capacità del condensatore.

268
Q (C)
V (Volt)
Q = C

L (J)
V
V

R 14 – 8/4 ENERGIA ELETTROSTATICA CONTENUTA NEL CONDENSATORE

Si ottiene quindi:

( )
2
.EL.P
VC
2
1
2
VCV
EW D??
D??D
ENERGIA POTENZ. ELETTROSTATIC A

Da notare l’analogia tra l’energia potenziale elettrostatica di un condensatore e l’energia
potenziale elastica di una molla deformata.

Se si utilizza la definizione di capacità per esprimere la capacità e la differenza di potenziale
in funzione della carica, si ottiene:

V
Q
C
D

?? VQ
2
1
V
V
Q
2
1
VC
2
1
E
22
.EL.P
D?? D?
D
? D??

C
Q
V D
??
C
Q
2
1
C
Q
C
2
1
VC
2
1
E
2
2
2
.EL.P
? ?
?
?
?
?
?
?? D??

269
ESERCIZI
CAPACITA’ ELETTRICA - CONDENSATORI

Esercizio 1:
Le armature di un condensatore a piatti paralleli sono separati da una distanza d=1 mm.
Determinare quale deve essere l’area dei piatti se la capacità è ()F1C .

Soluzione:
La capacità di un condensatore piano è data dalla relazione:

d
S
C
R
?e?e
F
In questo caso, in mancanza di dati precisi, si considera il vuoto come mezzo interposto,
quindi dalla formula inversa si ottiene:
() ()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì??
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì?

e
?

F
VC
mN
1013,1
mN
C
1085,8
m101
V
C
1
mN
C
1085,8
m101F1dC
S
3
8
2
2
12
3
2
2
12
3

()
28
3
8
3
8
3
8
m1013,1
mN
mN
1013,1
JC
CmN
1013,1
VC
mN
1013,1S ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
Se si vuole la superficie in km quadrati:
() ( )
22
2
2
6
28
km1013,1
km
m
10
1
m1013,1S ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ìì
Ciò corrisponde da armature quadrate di lato:
()km63,101013,1L
2
ì

Un condensatore avente una capacità come quella data dal problema sarebbe in grado, sfruttando
l’energia in esso immagazzinata, di sopperire per un tempo di un mese alla richiesta di corrente di
un elaboratore.

Esercizio 2:
Il condensatore di un circuito integrato di memoria centrale per calcolatori (RAM), ha una capacità
()fF55C . Se la carica Q immagazzinata ha dato luogo ad una differenza di potenziale pari a 5,3
V, quanti elettroni in eccesso sono presenti sull’armatura negativa?

Soluzione:
Anche in questo caso, per mancanza di ulteriori informazioni, si suppone il vuoto interposto tra i
piatti di un condensatore piano.
Il suffisso “f” prima di Farad deve essere inteso:
()( ) ()F10Farad_femto1Ff1
15

Direttamente dalla definizione di capacità elettrica:

V
Q
C
D

? ( ) () ( )VF1092,2V3,5Farad1055VCQ
1315
?ì ìì D?

270
? ( ) ()CV
V
C
1092,2VF1092,2Q
1313
??
?
?
?
?
?
?ì ?ì

Ricordando il valore della carica elettrica dell’elettrone, si ricava il numero di elettroni in eccesso
sull’armatura negativa:

? enQ

()
( )elettroni10825,1
elettr
C
106,1
C1092,2
e
Q
n
6
19
13
ì
?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 3:
Un conduttore con capacità:
() ( ) ( )Farad10300Farad_pico300pF300C
12
ì
possiede una carica immagazzinata di ()C105Q
6
ì . Determinare il potenziale cui si porta.

Soluzione:
Dalla definizione di capacità:

V
Q
C ?
()
( )Volt1066,1
V
C
103
C105
C
Q
V
4
10
6
ì
?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 4:
Determinare la capacità di un condensatore sapendo che, con una carica di ()C103
6
ì , è presente
tra le armature una d.d.p. di 500 V.

Soluzione:

()
()
() ()( )Farad_nanonF6F106
V500
C103
V
Q
C
9
6
? ì
ì

D

Esercizio 5:
In un condensatore ()pF50C si ha una d.d.p. tra le armature di 100 V. Determinare la carica
posseduta da ciascuna armatura.

Soluzione:
Ogni armatura possiede una carica di:
() ()C105V100
V
C
1050VCQ
912
ìr ì?
?
?
?
?
?
ì D?

Esercizio 6:
Ai capi di un condensatore che possiede una carica ()C102,1Q
3
? si stabilisce una tensione di
600 V. Determinare la capacità del condensatore:

Soluzione:
Dalla definizione di capacità:

()
()
() ( ) ()F2Farad_micro2F102
V600
C102,1
V
Q
C
6
3
m ì
ì

Esercizio 7:

271
Determinare la carica di un condensatore di capacità ()pF5 quando ai suoi capi è applicata una
tensione di 300 V.

Soluzione:
Dalla relazione della capacità:
() () ()C105,1V300F105VCQ
912
ì ?ì D?

Esercizio 8:
Calcolare la differenza di potenziale – d.d.p. – che nasce tra le armature di un condensatore avente
capacità ( )Farad_nano3C quando ciascuna di esse possiede una carica di ()C103
6
ì .

Soluzione:
La differenza di potenziale è data da:

()
()
()v000.1
F103
C103
C
Q
V
9
6

ì
ì
D

Esercizio 9:
Due conduttori sferici isolati posseggono ciascuno una carica elettrica ()C10Q
5
. Il primo si
trova ad un potenziale di 1.000 V. Quando si stabilisce in contatto elettrico tra i due conduttori, si
ha un passaggio di elettricità, dal secondo al primo, di ()C10
6
. Determinare la capacità del
secondo conduttore.

Soluzione:
La capacità del primo conduttore sferico è data dalla relazione:

V
Q
C
Con:
Q Carica su ciascuna armatura
V Potenziale del conduttore.
Il potenziale sulla superficie del conduttore sferico è uguale a quello caratteristico di un qualsiasi
punto appartenente al corpo interno del conduttore come, ad esempio, il punto centrale.
Il potenziale del punto centrale è uguale alla somma dei potenziali provocati da ogni tratto di
superficie carica oppure al potenziale generato in un punto distante quanto il raggio della sfera se si
immagina tutta la carica concentrata nel centro:

1
R
1
4
Q
V ?
e?p?

F

Per cui la capacità della sfera è data da:

1
R4C ?e?p?
F

La prima sfera ha dunque un raggio pari a:

F
e?p?

4
C
R
1
Sostituendo a C il suo valore, ricavato dai dati in nostro possesso di ottiene:

272

()
()
()m90
mN
C
1085,84V000.1
C10
4
V
Q
R
2
2
12
5
1

?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p??

e?p?

F

Dopo il contatto con la seconda sfera, anch’essa carica, la carica della prima sfera aumenta di una
quantità pari a ()C10
6
per cui, considerando costante la sua capacità, anche il potenziale subisce
un aumento.
Il potenziale sulla prima sfera dopo il contatto è dato da:
()V100.1
R4
1010
C
QQ
V
1
65
1
|
?e?p?
+

+

F

A questo punto, considerando che dopo il contatto il potenziale della seconda sfera deve essere
uguale a quello d’equilibrio – cioè uguale a quello della prima sfera dopo il contatto – e che la
carica posseduta dalla seconda sfera è quella data dalla differenza tra la carica iniziale e quella
perduta durante il contatto, si ottiene la capacità della seconda sfera:

()
()
()F1018,8
V100.1
C1010
V
Q
C
9
65
2

ì

Di conseguenza il raggio della prima sfera deve essere uguale a:
()m
J
mN
CV
mN
59,73
mN
C
1085,84
V
C
1018,8
4
C
R
22
2
2
12
9
2
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
|
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p
?
?
?
?
?
?
ì

e?p?

F

Esercizio 10:
Due sfere conduttrici con raggi rispettivamente di 3 e 5 cm sono poste a contatto con un morsetto di
una macchina elettrostatica, che ha un potenziale di 10.000 v rispetto al potenziale nullo della terra.
Se le due sfere, dopo la carica, sono poste a 50 cm di distanza una dall’altra, quale forza
coulombiana si manifesta tra di esse?

Soluzione:
Sia la prima che la seconda sfera assumono un potenziale uguale a quello della macchina
elettrostatica, assorbendo dunque una quantità di carica rispettivamente di:

11
R4C ?e?p?
F

V
Q
C
1
1

() ()C1033,3
C
J
000.10m03,0
mN
C
1085,84VCQ
8
2
2
12
11

ì ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p? ?

22
R4C ?e?p?
F

V
Q
C
2
2

() ()C1056,5
C
J
000.10m05,0
mN
C
1085,84VCQ
8
2
2
12
22

ì ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?p? ?

Ponendo a 50 cm di distanza i baricentri delle sfere e supponendo che tutta la carica sia concentrata
nei rispettivi baricentri, si otterrà una forza coulombiana di repulsione pari a:

273

N1066,6
m5,0
1
mN
C
1085,84
C1033,31056,5
r
1
4
QQ
F
5
22
2
2
12
288
2
21
E

)
u ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
u?S?
u?u
?
H?S?
?

Esercizio 11:
Due cariche elettriche, C103Q
8
1

u e C108Q
9
2

? , sono poste su due sfere aventi la
prima una capacità doppia della seconda. La distanza tra i centri delle due sfere è di 1 metro.
Sapendo che la differenza di potenziale tra le sfere è di 20.000 V, determinare la forza elettrostatica
che agisce sulle due sfere ed il loro potenziale elettrico.

Soluzione:
Le capacità delle due sfere sono, rispettivamente, date da:

11
R4C ?H?S?
)

22
R4C ?H?S?
)
La prima ha una capacità doppia della seconda, quindi:
2
R
R
C
C
2
1
2
1

Per cui il raggio della prima è il doppio di quello della seconda:

21
RR
Il potenziale sulle due sfere deve essere necessariamente determinato dalla carica posseduta da
ognuna e dalla rispettiva capacità, ed inoltre, la differenza di potenziale tra le due sfere è 20.000 V,
per cui:

1
1
1
C
Q
V

2
2
2
C
Q
V
Dato che le due sfere sono caricate di segno contrario, la differenza di potenziale tra esse è data
dalla somma dei potenziali, per cui:

2
21
2
2
2
1
2
2
1
1
21
C2
2QQ
C
Q
C2
Q
C
Q
C
Q
VVV000.20V
?
?

?
'
Si determina quindi la capacità
2
C e poi la capacità
1
C:

F1015,1
V000.202
C1082103
V2
Q2Q
C
12
98
21
2

u
?
u?u

'?
?

F103,2C
12
1

u
Determiniamo ora i potenziali delle due sfere:

V043.13
V
C
103,2
C103
C
Q
V
12
8
1
1
1

?
?
?
?
?
?
u
u

V957.6
V
C
1015,1
C108
C
Q
V
12
9
1
1
2

?
?
?
?
?
?
u
u

V000.20957.6043.13V '

274
Esercizio 12:
Un condensatore della capacità di 100 pF ha un’armatura collegata a terra e l’altra al potenziale di
1.000 V. In seguito al contatto di questa armatura con un conduttore sferico, il potenziale
dell’armatura scende a 700 V.
Si determini il raggio del conduttore sferico.

Soluzione:
Dato che si conoscono i dati iniziali del condensatore è possibile determinare la quantità di carica da
esso posseduta inizialmente:

V
Q
C
D

?? ( )() ()C101V0000.1
V
C
10100VCQ
712
ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
Dopo il contatto con il conduttore sferico, l’armatura assume un potenziale d’equilibrio pari a 700
V. Per cui si determina la carica finale ancora presente sull’armatura dopo il contatto:
( )() ()C107V0700
V
C
10100VCQ
812
11

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
Dato che il conduttore sferico ha ricevuto una quantità di carica pari a:
()C103QQQ
8
12

ì
e il suo potenziale ha pareggiato quello dell’armatura – potenziale d’equilibrio – è possibile
determinarne la capacità e poi il raggio:

()
()
R4
V700
C103
V
Q
C
8
e
2
2
?e?p?
ì

F

Da cui si ottiene il raggio:
()m386,0
4700
103
R
8

e?p??
ì

F

Esercizio 13:
Fornendo ad un condensatore una carica ()C103Q
4
ì , si determina tra le sue armature una
tensione di 100 V. Determinare la sua capacità e l’energia immagazzinata nel condensatore.

Soluzione:
La capacità del condensatore è data da:

()
()
()F103
V100
C103
V
Q
C
6
4

ì
ì

D

L’energia immagazzinata nella regione compresa tra le armature può essere pensato pari al lavoro
che, dall’esterno, è stato applicato per trasportare le cariche negative da un’armatura all’altra,
provocando in questo modo la comparsa del campo elettrico.
Il lavoro che è stato applicato dall’esterno si può determinare mediante una delle seguenti relazioni:

() ()J105,1
C
J
100C103
2
1
VQ
2
1
W
24
AB

ì ?
?
?
?
?
?
?ì? D??
() ()J105,1V100
V
C
103
2
1
VC
2
1
VQ
2
1
W
22262
AB

ì ??
?
?
?
?
?
ì? D?? D??

275
Esercizio 14:
Un condensatore avente la capacità ()F1C m è caricato fino a che si crea tra le sue armature una
differenza di potenziale di 800 V. Determinare la carica esistente sul condensatore e l’energia che si
rende disponibile durante la scarica.

Soluzione:
La carica sul condensatore è determinata da:
() ()V108V800
V
C
101VCQ
46
ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
L’energia potenziale elettrostatica immagazzinata:
() ()J32,0V800
V
C
101
2
1
VC
2
1
W
2262
??
?
?
?
?
?
ì? D??

Esercizio 15:
Un condensatore viene caricato fino ad assumere una carica ()C105Q
4
? ; successivamente viene
scaricato e fornisce un lavoro di 0,3 (J). Determinare la capacità del condensatore.

Soluzione:
Conoscendo il lavoro fornito dal processo di scarica e la quantità di carica sulle armature, si
determina il potenziale iniziale:
VQ
2
1
V
V
Q
2
1
VC
2
1
W
22
D?? D?
D
? D??
Da cui si ottiene:

()
()
( )Vo lt102,1
C105
J3,02
Q
W2
V
3
4
ì
ì
?

?
D

La capacità del condensatore è dunque data da:

()
()
()F7,41
V102,1
C105
V
Q
C
3
4
m
ì
?

D

Esercizio 16:
Dimostrare che la costante dielettrica e si può misurare in F/m.

Soluzione:
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?e
m
F
mV
C
mJ
CC
mN
C
2
2

Esercizio 17:
Un condensatore ad aria ha una capacità ()pF3C . Determinare quale sarà la sua capacità se si
interpone tra le armature uno strato di mica:
( )
5
MICAR
e

Soluzione:
Se si suppone che il condensatore sia piano (vale comunque per altri tipi di condensatore), allora la
sua capacità è data dalla relazione:

d
S
C
R
?e?e
F
Se poi si approssima ad 1 la costante dielettrica relativa dell’aria, si avrà:

276
()pF3
d
S
1C
ARIA
?e?
F

d
S
5C
MICA
?e?
F

Per cui si ottiene:
5
1
5
C
C
ARIA
MICA

()pF15C5C
MICA
?
F

Esercizio 18:
Un condensatore piano è costituito da due piastre circolari distanti tra loro 2 mm, tra le quali è
interposto uno strato di carta paraffinata di costante dielettrica relativa pari a 2,1. Determinare il
diametro delle armature sapendo che la capacità del condensatore è di 2 nF.

Soluzione:
Dalla relazione della capacità di un condensatore piano:

d
S
C
R
?e?e
F
Si ottiene la superficie dell’armatura e, di conseguenza il raggio:

F
e?e
?
?p
R
2 dC
rS

() ()
()
2
2
2
12
39
R
2
m0685,0
mN
C
1085,81,2
m102F102dC
r
p?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?
ì?ì

p?e?e
?

F

()m26,0r
()cm52d

Esercizio 19:
Le piastre di un condensatore ad aria hanno una superficie di ( )
2
cm50 e sono poste alla distanza di
2 cm. Sapendo che il condensatore è caricato con ()C1021,2Q
9
ì , determinare la differenza di
potenziale (tensione o d.d.p.) tra le armature.

Soluzione:
La capacità del condensatore piano è data da:

d
S
C
R
?e?e
F

()
()
()pF21,2
J
C
1021,2
m102
m1050
mN
C
1085,81C
2
12
2
24
2
2
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?

La differenza di potenziale tra le armature vale:

()
()
( )Volt000.1
F1021,2
C1021,2
C
Q
V
12
9

ì
ì
D

Esercizio 20:
Determinare la capacità di un condensatore cilindrico le cui armature sono alte 10 cm e quella
interna ha un raggio di 3 cm. Tra le armature si ha uno stato d’aria di 2 mm.

277

Soluzione:
La capacità di un condensatore cilindrico è determinata dalla relazione:

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?e?e

F
i
i
iR
R
d
1logR
S
C
Con:

i
S Superficie dell’armatura interna HR2
i
??p?

i
R Raggio dell’armatura interna
d Distanza tra le armature

Per cui:

() ()
()
()F1061,8
m103
m102
1logm103
m1,0m1032
mN
C
1085,81
C
11
2
3
2
2
2
2
12

ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì
+?ì
?ì?p??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì?

Esercizio 21:
Determinare la capacità di una sfera conduttrice isolata di raggio pari a 0,125 m.

Soluzione:
La capacità di una sfera conduttrice è determinata dalla relazione standard:

V
Q
C
Occorre determinare il potenziale assunto dalla sfera, quando è presente la carica Q.
Per far ciò bisogna considerare che la carica si distribuisce solo sulla superficie e determina
un potenziale costante all’interno e sulla superficie della sfera.
Il potenziale si può quindi calcolare in un punto qualsiasi della sfera come, ad esempio, il
centro.
Esso è dato dalla somma dei potenziali generati in detto punto da ogni elemento superficiale
dotato di densità s:

r4
Q
r4
r4
s
r4r
s
4
V
2
i
i
?e?p?
?p??
?e?p?
s
?D?
?e?p?
s
?
D
?
e?p?
s

Per cui la capacità è data da:

r4C ?e?p?

Esercizio 22:
Su una sfera conduttrice isolata avente raggio R=6,85 cm è collocata una carica ()C1025,1Q
9
ì .
Determinare l’energia potenziale immagazzinata nel campo elettrico generato da questo conduttore
carico.

Soluzione:
L’energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel campo elettrico del conduttore sferico è
determinata dalla relazione:

278

2
VC
2
1
W ??
Ove si intende con C la capacità e con V il potenziale assunto dal conduttore per effetto
della carica.
Il potenziale assunto dal conduttore sferico è uguale a quello che assumerebbe un punto
qualsiasi della sua superficie se la carica fosse concentrata nel centro della sfera:
()V164
1085,61085,84
1025,1
R4
Q
V
212
9

ì?ì?p?
ì

?e?p?

Per cui si ottiene:
() nJ1021010102J1002,11641025,1
2
1
V
V
Q
2
1
VC
2
1
W
727922
?ì ì ?ì? ?? ??

Esercizio 23:
Un condensatore piano ha due armature circolari aventi raggio di 8,2 cm distanti 1,3 mm l’uno
dall’altro. Determinare la capacità. Quale carica comparirà sui piatti se si applica una differenza di
potenziale di 120 V ?

Soluzione:
Si suppone che tra le armature sia interposto il vuoto. La capacità del condensatore piano è
determinata da:
( )()
( )
() ()pF14410144F1044,1
mm103,1
m102,8
mN
C
1085,8
d
S
C
1210
3
2
2
2
2
2
12
ì ì
ì
ì?p
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì ?e

F

Se tra le armature compare una differenza di potenziale di 120 V, la quantità di carica è:

() () () ()nC3,17103,17C1073,1V120F1044,1VCQ
9810
ì ì ìì ì

Esercizio 24:
Si hanno due piatti metallici piani, ciascuno di superficie 1 metro quadrato, con i quali costruire un
condensatore a piatti paralleli. Se la capacità deve essere di 1 F, quale deve essere la distanza tra i
due piatti.

Soluzione:
Data la relazione per calcolare la capacità di un condensatore piano e il valore di capacità che si
deve ottenere, si ricava:
d
S
C ?e
F ? ()m1085,8
C
S
d
12
FF
ì e ?e
Non è praticamente possibile la costruzione di un tale condensatore in quanto la distanza tra le
armature è esageratamente piccola. Si tratta infatti di 8,85 miliardesimi di millimetro.
Esercizio 25:
Le armature di un condensatore sferico hanno raggi di 38 mm e 40 mm. Determinarne la capacità.
Quale dovrebbe essere l’area di un condensatore ad armature parallele con una uguale distanza e
capacità ?

Soluzione:
La capacità di un condensatore sferico è data dalla seguente relazione:

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?e?p?
12
21
RR
RR
4C

279
Per cui:
() ()pF5,84105,84F1045,8
10381040
10401038
4C
1211
33
33
ì ì
?
?
?
?
?
?
?
?
ìì
ì?ì
?e?p?

La superficie delle armature di un equivalente condensatore piano dovrebbe essere di:

d
S
C ?e
? () ( )
2
2
2
2
12
113
cm190
m
cm
000.10m019,0
1085,8
1045,8102Cd
S
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì?ì

e
?

Esercizio 26:
L’accumulo di carica elettrica sul corpo di una persona che entra in contatto con materiali sintetici
(sedili automobile) provoca una scintilla di lunghezza pari a circa 5 mm quanto di cerca di toccare
una sporgenza metallica. La lunghezza della scintilla indica che la differenza di potenziale tra il
corpo umano e la terra è di circa 15.000 V

280
CONDENSATORI IMPIEGATI NELLA TECNICA
I condensatori precedentemente descritti non sono altro che una pura idealizzazione geometrica dei
componenti che effettivamente sono impiegati nel campo dell’elettrotecnica e dell’elettronica.
Gli svariati tipi di condensatore esistenti, si possono, come prima suddivisione, classificare in:

x Condensatori a dielettrico gassoso
x Condensatori a dielettrico solido

Si evita di costruire, per ovvi motivi pratici, condensatori a dielettrico liquido.

CONDENSATORI A DIELETTRICO GASSOSO
Si possono suddividere in:
x Condensatori in gas compresso
Impiegati quasi esclusivamente nel campo delle alte tensioni (a partire da parecchie decine
di kV) e precisamente in quel particolare settore dell’elettrotecnica industriale che riguarda
le prove sui materiali e sulle parti d’impianto ad alta tensione.
x Condensatori in aria
La cui importanza è in gran parte legata alla possibilità di realizzare, oltre a condensatori di
capacità fissa, anche condensatori a capacità variabile.
I condensatori fissi sono costituiti da due pacchi di lamine compenetrati uno nell’altro: le
lamine di ciascun pacco sono collegate tra loro mediante tiranti, i quali sono fissati su di un
supporto isolante.
Nei condensatori variabili, un pacco di lamine è fisso, mentre l’altro può ruotare attorno ad
un asse, cosicché i due pacchi si possono compenetrare in misura maggiore o minore
variando di conseguenza la capacità del condensatore.
Un loro tipico impiego si ha negli apparecchi radioriceventi, per ottenere la sintonizzazione
su una determinata stazione trasmittente.
I condensatori ad aria hanno il vantaggio di essere componenti che realizzano nel miglior
modo possibile una capacità pura e che. Inoltre, conserva una grande stabilità nel tempo.
Hanno però lo svantaggio di poter realizzare una gamma limitata di valori di capacità (per i
condensatori fissi si hanno valori massimi attorno ai 10.000 pF, per i condensatori variabili
valori massimi intorno ai 1.000/2.000 pF, ed inoltre hanno un ingombro notevole ed un
costo elevato.

CONDENSATORI A DIELETTR ICO SOLIDO
In linea di massima si può dire che, rispetto ai condensatori in aria, si scambiano i vantaggi con gli
svantaggi,
Essi, infatti, possono raggiungere capacità anche molto elevate, senza avere ingombri eccessivi né
costi troppo elevati.
Però la complicata tecnologia costruttiva ne limita spesso la stabilità nel tempo ed anche la
possibilità di realizzare una capacità pura.
In base alla struttura seconda la quale sono realizzati, indipendentemente dal tipo di dielettrico
impiegato, si distinguono in:

x Condensatori a pila o “impilati” che, a parte le diversità tecnologiche, hanno la stessa
struttura dei condensatori in aria fissi.
Sono, infatti, costituiti da tanti rettangolini metallici molto sottili (ad esempio di stagnola)
che sono disposti in pile, alternando rettangolini metallici con rettangolini di dielettrico. Si
collegano poi tra loro i rettangolini metallici in modo da formare due pacchi di armature
compenetrate.

x Condensatori avvolti.

281
Sono costituiti da due strisce metalliche (in genere stagnola) strette e lunghe, che formano le
armature, e da due strati di carta, uno interposto tra le armature e l’altro al di sopra della
seconda armatura.
Il tutto è poi avvolto ed infilato in un contenitore; due terminali metallici, uno a contatto con
un’armatura e l’altro a contatto con l’altra armatura, provvedono ai collegamenti con il
circuito esterno.

x Condensatori per piccoli valori di capacità.
Non sono realizzati né con l’una né con l’altra tecnica sopra descritta, essendo costituiti
sostanzialmente da pezzi di ceramica di varia forma (piastrine, tubetti, ecc.) con le armature
metallizzate direttamente sulla superficie del dielettrico.

In base ai dielettrici impiegati, i condensatori a dielettrico solido si differenziano in:

x Condensatori a mica.
Sono essenzialmente condensatori di tipo impilato, in cui le armature molto sottili (di solito
in alluminio) sono intercalate con strati di mica; una volta fatto l’impilamento, esso è poi in
qualche modo compresso, meccanicamente irrigidito e poi racchiuso in un involucro a tenuta
d’umidità; i valori di capacità realizzabili vanno dalle decine di pF fino a
7
10

F.

x Condensatori a carta impregnata.
Sono i tipici condensatori avvolti, costituiti da due strisce di stagnola alternate a due strati di
carta realizzati in più strisce; non essendo la carta di per sé un buon dielettrico, essa viene
impregnata con olio isolante, dopo avere subito un’essicazione in autoclave. Coprono lo
stesso campo di capacità dei condensatori a mica e, rispetto ad essi, hanno lo svantaggio di
peggiori caratteristiche di purezza e di stabilità, ma il vantaggio di un minor ingombro e di
un minor costo.

x Condensatori a resine sintetiche.
Sono essenzialmente condensatori di tipo avvolto, che usano come dielettrico il polistirolo;
si avvolgono semplicemente due nastri di stagnola e due nastri di polistirolo, senza che
occorra, come per la carta, alcuna impregnazione. Il polistirolo ha inoltre caratteristiche
meccaniche tali da renderlo particolarmente adatto a tecniche che consentono la
realizzazione di avvolgimenti molto compatti e di buona stabilità nel tempo.

x Condensatori ceramici.
Di materiali ceramici adatti per essere usati come dielettrici per condensatori ne esistono in
quantità notevole; possiamo distinguerli in due categorie:

Materiali ceramici a bassa costante dielettrica:
Hanno valori della costante dielettrica relativa pari ad alcune decine di unità.
Di solito i condensatori che utilizzano questi materiali, assumono la forma di pastiglie o
di tubetti, con le armature realizzate per metallizzazione diretta del dielettrico ceramico.
Servono essenzialmente nel campo dei piccoli valori di capacità (da alcuni pF fino alle
migliaia di pF.
Materiali ceramici ad alta costante dielettrica.
Specialmente realizzati utilizzando titanati di bario e stronzio con costante dielettrica
relativa compresa tra valori di 1.000 e 10.000. Con tali materiali si realizzano
condensatori il cui impiego richiede essenzialmente un piccolo ingombro; infatti
l’altissimo valore della costante dielettrica consente di realizzare condensatori che,
anche con valori di capacità piuttosto notevoli, hanno un ingombro modesto.

282
Come si può intuire dalla classificazione sopra fatta, i molti tipi di condensatori esistenti hanno
ciascuno delle caratteristiche che lo rendono idoneo a lavorare in particolari condizioni.
Una speciale attenzione deve essere fatta alla tensione di lavoro cui deve operare il condensatore
(tensione che è sempre indicata sul componente, assieme alla sua capacità).
Infatti, l’applicazione tra le armature di una tensione superiore a quella indicata, può portare alla
perforazione dello spessore del dielettrico, con conseguente messa fuori uso del componente.

SIMBOLOGIA ADOTTATA PER LA RAPPRESENTAZION E DEI CONDENSATORI

Negli schemi dei circuiti elettrici in cui compare la presenza dei condensatori elettrostatici, essi
sono solitamente rappresentati graficamente con i seguenti simboli:

C
1 C
2 C
3
q
1
+
q
1
-
q
2
+
-
q
2
3q
q
-
3
+
A
B
+
-
V
AB
V
AB ABV V
ABGEN.

R 14 – 9/4 SIMBOLO CONDENSATORE DI CAPACITA’ FISSA E VARIABILE

LEGGI DI COLLEGAMENTO DEI CONDENSATORI

Il condensatore, come è stato definito precedentemente, costituisce un elemento tecnico che si
inserisce nel contesto dei circuiti elettrici. Un circuito elettrico è composto da almeno un generatore
di tensione (o differenza di potenziale), da fili conduttori, da fusibili di protezione, da interruttori,
da resistenze elettriche e da apparecchiature utilizzatrici quali, ad esempio, lampadine, forni,
resistenze per riscaldamento ecc. ecc.
La combinazione di due o più condensatori presenti nel circuito è paragonabile alla presenza di un
solo condensatore virtuale, definito “CONDENSATORE EQUIVALENTE”, che ha la stessa
capacità della combinazione dei vari condensatori realmente presenti.

283
La possibilità di ricorrere alla definizione del “condensatore equivalente” permette una notevole
semplificazione del circuito elettrico e un più rapido calcolo dei parametri che caratterizzano il
circuito quali la tensione, la corrente complessiva e quella tipica nei vari rami del circuito.

La combinazione dei condensatori presenti nei circuiti avviene sostanzialmente secondo i seguenti
due tipi di collegamento:

CONDENSATORI COLLEGATI IN PARALLELO
CONDENSATORI COLLEGATI IN SERIE

LEGGE DI COLLEGAMENTO CONDENSATORI IN PARALLELO

Lo schema classico di condensatori collegati in PARALLELO è il seguente:

C
1 C
2 C
3
q
1
+
q
1
-
q
2
+
-
q
2
3q
q
-
3
+
A
B
+
-
V
AB
V
AB ABV V
ABGEN.

R 14 – 10/4 SCHEMA DI CONDENSATORI IN PARALLELO CON GENERATORE DI TENSIONE

I terminali collegati alle armature positive dei condensatori confluiscono in un punto del circuito
ove è presente un potenziale o tensione
A
V, mentre, i terminali collegati alle armature negative in
un punto ove è presente un potenziale
B
V.
Tutti i condensatori presenti sono quindi sottoposti alla differenza di potenziale o tensione
AB
V che
è mantenuta costante dal generatore di tensione G (batteria) inserito nel circuito.
Considerando che ognuno dei condensatori è caratterizzato da capacità generalmente diverse si può
concludere che le quantità di carica sulle armature di ognuno di essi è data dalla relazione:

AB
1
1
V
Q
C ??
AB11
VCQ ?

284

AB
2
2
V
Q
C ??
AB22
VCQ ?

AB
3
3
V
Q
C ??
AB33
VCQ ?

La capacità che deve possedere il condensatore equivalente che, virtualmente, ha lo stesso effetto
dei condensatori presenti collegati in parallelo nel circuito, è quindi un condensatore in grado di
immagazzinare la stessa quantità di carica presente nella realtà alla stessa differenza di potenziale.
Per cui:

( )
321
AB
321AB
AB
321
.EQ
CCC
V
CCCV
V
QQQ
C ++
++?

++

In generale:

Quando esiste un numero N di condensatori, ognuno caratterizzato dalla propria capacità C,
collegati in parallelo in un circuito elettrico qualsiasi, si può sostituire ad essi un unico
condensatore avente una capacità virtuale equivalente pari alla somma delle capacità dei
singoli condensatori:

N321.EQ
C...........CCCC ++++

?

Ni
1i
i.EQ
CC CAPACITA’ EQUIVALENTE DI COND. IN PARALLELO

LEGGE DI COLLEGAMENTO CONDENSATORI IN SERIE

I condensatori sono collegati in SERIE quando i terminali delle armature positive e negative sono
collegati tra loro.
Il terminale collegato all’armatura positiva del primo condensatore della serie è poi collegato al
morsetto positivo del generatore di tensione, mentre, quello collegato all’armatura negativa
dell’ultimo condensatore della serie al morsetto negativo.
Caricando di segno positivo la prima armatura della serie, si provoca la polarizzazione di tutte le
altre, cosicché, su ogni armatura è presente la stessa quantità di carica Q.

Dato che, solitamente, ogni condensatore della serie è caratterizzato dalla propria capacità elettrica,
si ottengo quindi tra le armature differenze di potenziale diverse in base alla relazione generale:
1
1
V
Q
C
D
??
1
1
C
Q
V D
2
2
V
Q
C
D
??
2
2
C
Q
V D
3
3
V
Q
C
D
??
3
3
C
Q
V D

La quantità di carica effettivamente prodotta dalla presenza del generatore di tensione non è quindi
la somma delle cariche di ogni condensatore ma la sola carica presente sull’armatura positiva del
primo o negativa dell’ultimo della serie.

285
In effetti, le armature interne dei condensatori collegati in serie si sono solo polarizzate senza che si
sia effettivamente generato uno squilibrio delle cariche totali.

C
2 C
3
-
+
C
1
A B
+
q q
-
q
-
q
+
q
-+
q
ABV
V2V1 V3

R 14 – 11/4 CONDENSATORI IN SERIE

Tra le armature di ogni condensatore si instaura dunque una differenza di potenziale dato da:
1
1
V
Q
C
D
??
1
1
C
Q
V D
2
2
V
Q
C
D
??
2
2
C
Q
V D
3
3
V
Q
C
D
??
3
3
C
Q
V D

Tra i capi A e B dei due terminali della serie di condensatori, si ha dunque una differenza di
potenziale pari alla somma delle differenze di potenziale:

321AB
VVVV D+D+D
321
AB
C
Q
C
Q
C
Q
V ++

La capacità del condensatore equivalente che, virtualmente, può sostituire l’effetto dei condensatori
collegati in serie, deve quindi essere tale da generare la stessa differenza di potenziale complessiva
per effetto della sola carica Q.
Per cui:
AB
EQ
V
Q
C

286
??
321
321
EQ
C
1
C
1
C
1
1
C
1
C
1
C
1
Q
Q
C
++

?
?
?
?
?
?
?
?
++?

??
321EQ
C
1
C
1
C
1
C
1
++

??
321
213132
EQ
CCC
CCCCCC
C
1
??
?+?+?

??
133221
321
EQ
CCCCCC
CCC
C
?+?+?
??
CAPACITA’ EQUIVALENTE

In generale:

Quando esiste un numero N di condensatori, ognuno caratterizzato dalla propria capacità C,
collegati in SERIE in un circuito elettrico qualsiasi, si può sostituire ad essi un unico
condensatore avente una capacità virtuale equivalente pari alla rapporto tra il prodotto dei
valori degli N condensatori e la somma dei prodotti dei valori di ogni singolo condensatore
per il valore degli altri:

iN)2i()1i()1i(i
N321
EQ
CC......CCCC
C........CCC
C
?++?+?
????

+++

287
ESERCIZI
CONDENSATORI IN SERIE E PARALLELO

Esercizio 1:
Due condensatori aventi capacità di 3 e 10 pF sono collegati in parallelo. Se ai capi del sistema si
applica una tensione di 20 V, qual è la carica che si condensa su ogni condensatore?

Soluzione:
I condensatori sono collegati in parallelo quindi, per entrambi, la tensione applicata ai terminali è
uguale a quella applicata ai capi del sistema.
Non occorre, per il calcolo della carica condensata, ricorrere al condensatore equivalente, basta
applicare la relazione tipica per il condensatore:

V
Q
C
'

Da cui si ottiene:
C106V20
V
C
103VCQ
1112
11

u ??
?
?
?
?
?
u '?
C102V20
V
C
1010VCQ
1012
22

u ??
?
?
?
?
?
u '?
Il condensatore equivalente ha una capacità di:
pF13F1013CCC
12
21EQ
u

C
1 C
2Q
1
+
A
B
+
-
V
AB
V
AB ABV
3 pF Q
1
-
10 pF
1Q
-
Q
1
+
20 V
1Q13 pFABV
B
20 V
-
+
C
-
EQ Q
1
+
A

Esercizio 2:
Tre condensatori di capacità rispettivamente di F2P, F6P e F4P sono collegati in serie.
Determinare la capacità complessiva. E se fossero collegati in parallelo quanto sarebbe la capacità
complessiva.

Soluzione:
La capacità complessiva dei tre condensatori collegati in serie equivale a quella di un condensatore
equivalente:

288

321EQ
C
1
C
1
C
1
C
1

Da cui si ottiene:

6666
666
EQ
1092,01017,01025,0105,0
106
1
104
1
102
1
C
1
u uuu
u

u

u

F09,1F1009,1C
6
EQ
P u

Se fossero collegati in parallelo la capacità del condensatore equivalente sarebbe la somma delle tre
capacità:
F1012CCCC
6
321EQ

u
C
2 C
3
-
+
C
1
A B
ABV
A
AB
+
-
V
C
EQ
B
2EF F4E 6EF 1,09FE

Esercizio 3:
Si collegano 6 condensatori secondo lo schema seguente. Sapendo che ogni condensatore ha una
capacità di 2 FP, determinare la capacità equivalente complessiva.

Soluzione:

289
C
2C
1
A
B
C
3 C
5
4C
C
6
C
6C
C
EQ1
B
4
A
C
EQ2 C
C
6
C
4
B
EQ3
A
B
C
C
4
EQ4
A

I condensatori 1 e 2 sono collegati in serie, la capacità equivalente è data da:

1
2
1
2
1
C
1
C
1
C
1
211EQ

F1C
1EQ
P

I condensatori 3, 4 e 5 sono collegati in parallelo, la capacità equivalente è la somma delle capacità:

F6222C
2EQ
P

Le due capacità equivalenti 1 e 2 risultano collegate in parallelo, per cui:

F761C
3EQ
P

Infine il condensatore 6 e la capacità equivalente 3 sono collegate in serie, per cui risulta:

14
9
14
72
2
1
7
1
C
1
C
1
C
1
63EQTO T.EQ

F56,1F
9
14
C
TO T.EQ
P P

Esercizio 4:
Due condensatori aventi capacità di F3P e F10P sono collegati in serie. Se ai capi del sistema si
ha una differenza di potenziale di 260 V, qual è la carica che si condensa su ciascuna armatura?

Soluzione:
I condensatori collegati in serie hanno una capacità equivalente pari a:

290

30
13
30
310
10
1
3
1
C
1
C
1
C
1
21EQ

+
+ +
()F31,2
13
30
C
EQ
m
La carica che si condensa sull’armatura del condensatore equivalente è pari alla carica che si
condensa sulle armature di ciascun condensatore.
Il valore di tale carica è data da:
() ()C10610600V260
V
C
1031,2VCQ
466
EQ

ì ì ??
?
?
?
?
?
ì D?

Esercizio 5:
Un condensatore di ()F5m è posto in serie con un altro condensatore di capacità sconosciuta.
Caricando con una carica pari a ()C104Q
4
ì i due condensatori, si vede che la differenza di
potenziale ai capi della serie si porta a 220 V. Determinare la capacità del secondo condensatore e
l’energia accumulata dal sistema.

Soluzione:
La capacità complessiva equivalente del sistema formato dai due condensatori in serie, è
determinata dalla definizione di capacità:
V
Q
C
EQ
D

Da cui si ottiene la capacità equivalente:
()
()
() ()F82,1F1082,1
V220
C104
C
6
4
EQ
m ì
ì

D’altra parte la capacità equivalente di due condensatori in serie è data da:
C
1
C
1
C
1
1EQ
+
Ove si è indicato con
1
C la capacità conosciuta e con C quella incognita.
Risolvendo si ottiene la capacità incognita:
35,0
5
1
82,1
1
C
1
C
1
C
1
1EQ

()F86,2C m

L’energia elettrostatica immagazzinata nel sistema è data dalla relazione:

() ( ) ()J
C
J
CVC104,4V220
V
C
1082,1
2
1
VC
2
1
W
22262
EQ
??
?
?
?
?
?
???ì ??
?
?
?
?
?
ì? ??

Esercizio 6:
Tre condensatori, rispettivamente di capacità uguale a ()nF1,0 , ()nF2,0 e ()nF3,0 sono collegati in
serie tra loro. Il sistema è poi caricato applicando ai suoi estremi una tensione di 275 V.
Determinare la differenza di potenziale (d.d.p.) che si stabilisce ai capi di ogni condensatore.

Soluzione:
La capacità equivalente del sistema è data da:

291
33,1833,3510
3,0
1
2,0
1
1,0
1
C
1
EQ
++ ++
() ()F105,5nF105,5C
112
EQ

ì ì

La carica che si accumula sulle armature del condensatore equivalente è pari alla carica che
si accumula su ciascun condensatore facente parte della serie.
A tal riguardo si ricordi che i condensatori in serie si caricano per polarizzazione e
posseggono quindi ognuno la stessa carica.

Il valore della carica si ricava tenendo conto della capacità equivalente:
() ()C1051,1V275
V
C
105,5VCQ
811
EQ

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
La differenza di potenziale ai capi di ogni condensatore si ricava tenendo conto delle
effettive capacità singole e del valore della carica accumulata.
La somma delle differenze di potenziale dovrebbe essere pari alla differenza totale:
()
()V151
V
C
101,0
C1051,1
C
Q
V
9
8
1
1

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

()
()V5,75
V
C
102,0
C1051,1
C
Q
V
9
8
2
2

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

()
()V33,50
V
C
103,0
C1051,1
C
Q
V
9
8
2
3

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

()V83,273VVVV
321TO T
D+D+D D

La differenza tra il potenziale reale ai capi del sistema e quello calcolato differisce di poco a
causa dell’arrotondamento dei valori risultanti dal calcolo.

Esercizio 7:
Due condensatori collegati in parallelo danno una capacità ()pF6C
EQ
. Se collegati in serie la
capacità scende a ()pF
3
4
C
EQ
. Determinare la capacità dei due condensatori.

Soluzione:
Si tratta di risolvere un sistema di equazioni a due incognite:
?
?
?
?
?
+
+
4
3
C
1
C
1
6CC
21
21

?
?
?
?
?

?
+
+
4
3
CC
CC
6CC
21
12
21

292

?
?
?
?
?

?
+
+
4
3
CC
CC
6CC
21
12
21
?
?
?
?
?
?
?? +
+
2121
21
CC
4
3
CC
6CC
?
?
?
?
?
?
??
+
21
21
CC
4
3
6
6CC

?
?
?
?
?
+
21
21
CC8
6CC
?
?
?
?
?
?

+
2
1
21
C
8
C
6CC
?
?
?
?
?
?
?
?

+
2
1
2
2
C
8
C
6C
C
8

?
?
?
?
?
?
?
?

+
2
1
2
2
C
8
C
6
C
C8
?
?
?
?
?
?

+?
2
1
2
2
2
C
8
C
08C6C

Dall’equazione di secondo grado si ottiene la seguente radice:

()pF2C
2

E, sostituendo il valore trovato nella seconda, si ottiene la capacità:

()pF4C
1

Esercizio 8:
Determinare la capacità di un condensatore che, aggiunto in serie ad un altro di capacità ()F8C m
né riduce ad ¼ la capacità.

Soluzione:
Denominata con X la capacità incognita del condensatore iniziale e supponendo di aggiungere in
serie il secondo condensatore, si ottiene:

C
1
X
1
C
1
EQ
+

Con i seguenti valori:
()F2
4
8
C
EQ
m
Si ottiene:
8
1
X
1
2
1
+ ?
8
3
X
1
? ()F7,2
3
8
X m

Esercizio 9:
Un condensatore avente capacità ()F5C m , è caricato alla tensione di 1.000 V e poi, isolato dalla
sorgente di tensione, collegato in parallelo con un condensatore scarico avente capacità
()F3C m . Determinare la tensione finale che si stabilisce agli estremi del sistema.

Soluzione:
Il condensatore, inizialmente caricato sino alla differenza di potenziale di 1.000 V, assume una
quantità di carica pari a:

293
() ()C105V000.1
V
C
105VCQ
36
ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
Il collegamento in parallelo con un condensatore scarico, dopo che il condensatore carico è
isolato dal generatore di tensione, non modifica la quantità di carica accumulata
inizialmente. Essa si distribuisce sulle armature del condensatore scarico facendo assumere
al sistema – quindi i due condensatori in parallelo – la differenza di potenziale data da:
EQ
C
Q
V D
Con:
()F835C
EQ
m +
Per cui si ottiene:
()
()V625
V
C
108
C105
V
6
3

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

Esercizio 10:
Due condensatori con capacità di 5 e 10 Fm sono posti in parallelo e la combinazione è unita in
serie con un condensatore di F20m. La tensione ai capi del sistema è di 210 V. Determinare la
carica e la differenza di potenziale ai capi dei vari condensatori.

Soluzione:
Si determina la capacità equivalente dei due condensatori in parallelo, data da:

()F15105C
P.1EQ
m +

Poi la capacità equivalente dei condensatori in serie:
60
7
60
34
20
1
15
1
C
1
C
1
C
1
3P.1EQS.2EQ

+
+ +
() ?
?
?
?
?
?
ì m

V
C
1057,8F
7
60
C
6
S.2EQ
Con la capacità equivalente complessiva e tenendo conto della tensione ai capi del sistema, è poi
possibile determinare la quantità di carica sulle armature:
() ()C108,1V210
V
C
1057,8VCQ
36
S.2EQ

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
Tale quantità di carica è collocata sia sulle armature del terzo condensatore sia sulle armature del
condensatore equivalente al parallelo dei primi due.
Si ricava dunque la differenza di potenziale tra le armature del terzo condensatore:
()
()V90
V
C
1020
C108,1
C
Q
V
6
3
3
2

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

Per differenza si può ricavare la tensione tra le armature dei primi due condensatori in
parallelo:

()V12090210V
1
D

La tensione tra i capi del sistema dei primi due condensatori in parallelo è anche ottenibile dalla
relazione:

294
()
()V120
V
C
1015
C108,1
C
Q
V
6
3
P.1EQ
1

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

La carica accumulata dal condensatore 1 in parallelo si ottiene tenendo conto che le sue armature
sono alla tensione di 120 V:
() ()C106V120
V
C
105VCQ
46
111

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?

La carica accumulata dal secondo condensatore in parallelo si può ricavare per differenza o ancora
con la relazione:
() ()C1012V120
V
C
1010VCQ
46
122

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?

La somma delle cariche sulle armature dei condensatori in parallelo è la quantità di carica
complessiva:

21
QQQ +

Esercizio 11:
Due condensatori di capacità 5 e 10 Fm sono caricati alla tensione rispettivamente di 10 e 220 V e
poi collegati in parallelo. Determinare la tensione ai capi del sistema così ottenuto.

Soluzione:
Si determina la quantità di carica immagazzinata da ogni condensatore caricato alla propria
tensione, ottenendo:
() ()C1025V5
V
C
105VCQ
66
111

ì ??
?
?
?
?
?
ì ?
() ()C102,2V220
V
C
1010VCQ
36
222

ì ??
?
?
?
?
?
ì ?
La tensione finale dei due condensatori in parallelo si ottiene considerando che il condensatore
equivalente deve necessariamente immagazzinare la somma delle quantità di carica e deve avere
una capacità equivalente pari alla somma delle due capacità:
()V3,148
CC
QQ
V
21
21
F

+
+
D

Esercizio 12:
Due condensatori di capacità ()F3C
1
m e ()F25C
2
m sono collegati in serie ed agli estremi della
serie vi è una differenza di potenziale di 1.000 V.
Determinare:
x La capacità equivalente del sistema
x La carica su ciascun condensatore
x La differenza di potenziale ai capi di ogni condensatore
x L’energia immagazzinata nei condensatori.

Soluzione:
La capacità equivalente della serie dei due condensatori è data da:

295
75
28
75
325
25
1
3
1
C
1
EQ

+
+
()F68,2
28
75
C
EQ
m

La quantità di carica immagazzinata da ogni condensatore è data da:
() ()C1068,2V000.1
V
C
1068,2VCQ
36
EQ

ì ??
?
?
?
?
?
ì D?

La differenza di potenziale ai capi di ciascuno di essi:

()
()V893
V
C
103
C1068,2
C
Q
V
6
3
1
1

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

()
()V107
V
C
1025
C1068,2
C
Q
V
6
3
2
2

?
?
?
?
?
?
ì
ì
D

L’energia immagazzinata è data da:

() ()J34,1V10
V
C
1068,2
2
1
VC
2
1
W
2662
EQ
??
?
?
?
?
?
ì? D??

Esercizio 13:
Quanti condensatori di capacità singola uguale a ()F1C m devono essere connessi in parallelo per
immagazzinare una carica di 1 ( C ) applicando sul sistema una differenza di potenziale di 110 (V)?

Soluzione:
La capacità equivalente del sistema di condensatori di uguale capacità collegati in parallelo, si
ottiene sommando le diverse capacità:

CnC..........CCCC
EQ
? ++++

Al condensatore equivalente è poi applicata una differenza di potenziale di 110 V per effetto della
quale si ottiene un accumulo di carica pari a 1 C:
V
Q
CnC
EQ
D
?
Tenendo conto della quantità di carica, della differenza di potenziale e della capacità di un singolo
condensatore connesso in parallelo, si ottiene:
()
()
091.9
V110
V
C
101
C1
VC
Q
n
6

??
?
?
?
?
?
ì

D?

D’altra parte, considerando che tutti i condensatori sono collegati in parallelo con uguale
tensione agli estremi delle armature, la carica complessiva è determinata dalla somma delle
cariche che ogni condensatore assume per effetto della differenza di potenziale stabilita.
Ogni singolo condensatore assume una carica pari a:
() ?
?
?
?
?
?
ì ??
?
?
?
?
?
ì D?

.Condens
C
101,1V110
V
C
101VCQ
46

296
Per cui per ottenere la carica complessiva di 1 ( C ) occorrerà un numero di condensatori
pari a:
()
( )riCondensato091.9
.Cond
C
101,1
C1
n
4

?
?
?
?
?
?
ì

Esercizio 14:
Ciascuno dei condensatori scarichi della figura sottostante ha una capacità di ()F25C m .
Determinare la quantità di carica che passa attraverso l’amperometro, quando si applica una
differenza di potenziale di 4.200 V ai capi del sistema.
Soluzione:
La quantità di carica che è segnalata dall’amperometro misuratore (misurazione della corrente e del
tempo occorrente per una completa carica) altro non è che la carica totale immagazzinata tra le
armature dei condensatori facenti parte del circuito.
Dato che i condensatori sono collegati in parallelo è possibile e posseggono la stessa capacità, è
possibile determinare la carica posseduta da uno singolo e poi moltiplicare per tre:
() ()C105,0V200.4
V
C
1025VCQQQ
6
321
??
?
?
?
?
?
? D?

() ( )milliC315C315,0Q3Q
1TO T
?
C
C C
A
4.200 V

Esercizio 15:
Il disegno sottostante rappresenta un collegamento di due condensatori in serie. La parte rigida
centrale, di altezza h, si può muovere verticalmente. Si dimostri che la capacità equivalente della
combinazione è indipendente dalla posizione della parte centrale rispetto alle armature fisse ed è
data da
( )ha
S
C
EQ

?e .

Soluzione:

297
a
h
C
C

La capacità del sistema di condensatori in serie è data da:
21EQ
C
1
C
1
C
1

Con:
dha
S
C
1

?H

*
2
dha
S
C

?H
Per cui:

*
*
EQ
dhadha
S
1
S
dha
S
dha
C
1
?
?H

?H

?H

*
EQ
ddh2a2
S
1
C
1
?
?H

> @
*
EQ
ddh2a2
S
1
C
1
???
?H

Ma la somma tra le distanze d e d* altro non è che la differenza tra a ed h, quindi:

ha*dd

Per cui si ottiene:
> @ ha
S
1
hah2a2
S
1
C
1
EQ
?
?H
???
?H

Da cui si ottiene la capacità equivalente:
ha
S
C
EQ

?H

Come si voleva dimostrare.

298

Esercizio 16:
Tre condensatori sono collegati in parallelo. Ciascuno di essi ha armature di superficie S e distanza
d. Determinare quale deve essere la distanza tra le armature di un condensatore singolo, avente
superficie S, se la sua capacità è uguale a quella dell’insieme descritto. Quale sarà la distanza se i
tre condensatori sono collegati in serie?

Soluzione:
La capacità di un singolo condensatore, supponendolo piano, è data da:
d
S
C ?e
Tale capacità deve essere uguale alla capacità del sistema in parallelo dei tre condensatori:
*d
S
d
S
3C
EQ
?e ?e?
Da cui si ricava la distanza tra le armature del condensatore singolo equivalente:
*d
S
d
S
3 ?e ?e?

*d
1
d
3

3
d
*d
Se i condensatori sono collegati in serie, si avrà:
S
d3
S
d
S
d
S
d
C
1
EQ
?e
?

?e
+
?e
+
?e

*d
S
d3
S
C
EQ
?e

?
?e

Da cui si ricava:
*d
S
d3
S ?e

?
?e

*d
1
d3
1

?

d3*d ?

299
CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO

CAPACITA’ IN FUNZIONE DELLA COSTANTE DIELETTRICA RELATIVA
Come si è visto in precedenza, la capacità di un condensatore dipende in modo direttamente
proporzionale dalla costante dielettrica assoluta del materiale interposto tra le armature che, a sua
volta, dipende dal valore della costante dielettrica relativa.
Interponendo tra le armature materiali isolanti ad elevato potere dielettrico come, ad esempio,
composti di titanio o titanati di stronzio, si ottiene un aumento della capacità del condensatore
proporzionato al valore della costante dielettrica relativa.
Nel caso di un condensatore piano con interposto dielettrico, la capacità è data da:
d
S
C
R
?e?e
F
Mentre, se lo stesso condensatore ha le armature poste nel vuoto:
d
S
C ?e
FF

Si ottiene dunque un aumento di capacità paria a:
( )1CCC
R
e?
FF
( )1CC
R
e? D
F

In altre parole la capacità di un condensatore con dielettrico è uguale al prodotto tra la capacità
dello stesso condensatore nel vuoto e la costante dielettrica relativa del materiale interposto:
F
?e CC
R

TENSIONE MASSIMA NEL DIELETTRICO – POTENZIALE DISRUPTIVO
Un’altra caratteristica del condensatore, dipendente dal tipo di materiale dielettrico isolante posto
tra le armature, è la differenza di potenziale massima
MAX
VD che può essere applicata ai suoi capi,
prima che intervenga il collasso del condensatore.
Se viene superato tale potenziale, definito “potenziale disruptivo”, si innescano, all’interno del
dielettrico isolante, dei percorsi preferenziali attraverso ai quali si manifestano scariche elettriche
tra le armature.
Il dielettrico perde quindi le sue capacità isolanti ed avviene una sorta di “corto circuito” tra le
armature con conseguente scarica del condensatore.
Dato che la differenza di potenziale tra le armature dipende dal valore del campo elettrico E e dalla
distanza d, è evidente che la perdita del potere isolante per raggiungimento del “potenziale
disruptivo” si ha quando il valore del campo E tra le armature raggiunge un limite tipico del
materiale interposto.
Tale limite è definito “costante di RIGIDITA’ DIELETTRICA” ed è rappresentato dal massimo
valore di campo elettrico tollerato dal dielettrico prima che si raggiungano le condizioni
“disruptive”.

La costante di RIGIDITA’ DIELETTRICA è misurata solitamente in kV/mm.
Alcuni valori della rigidità dielettrica per i materiali isolanti utilizzati per la realizzazione di
condensatori:

Aria secca 3 ( )mm/kV
Acqua pura 15 “
Olio minerale 7,5-16 “
Olio per trasformatori 12 – 17 “
Bachelite 10 “
Carta 6 “

300
Carta paraffinata 40 – 50 “
Carta per condensatori 30 “
Gomma 15 – 40 “
Mica 50 – 100 “
Polietilene 50 “
Porcellana 12 – 30 “
Vetro 25 – 100 “
Ossido di titanio 5 “
Titanati di bario e stronzio 5 “

L’ASPETTO ATOMICO DEI DIELETTRICI
I materiali dielettrici hanno la caratteristica di non possedere elettroni liberi di conduzione e sono
quindi ottimi isolanti. Gli atomi o molecole che li compongono possono essere però considerati
singolarmente come “dipoli elettrici” in possesso di un “momento di dipolo” permanente proprio o
di un momento di dipolo indotto.
Il momento di dipolo permanente è solitamente dovuto alla posizione degli atomi costituenti la
molecola e alle relative sfere d’influenza nelle quali ruotano gli elettroni.
Ad esempio, una molecola d’acqua si comporta come “dipolo permanente” in quanto i due nuclei di
idrogeno sono collegati al nucleo di ossigeno secondo una struttura non simmetrica ma sbilanciata
secondo un angolo di circa 105°.

H H
Ossigeno
Lato positivo
Lato negativo

R 14 – 17/4 – MOLECOLA D’ACQUA CONSIDERATA DIPOLO PERMANENTE

La sfera d’influenza dell’ossigeno contiene più elettroni delle sfere d’influenza dei due nuclei
d’idrogeno, cosicché il lato ossigeno ed il lato idrogeno possono essere considerati come
permanenti in virtù della struttura propria della molecola.
I dielettrici che posseggono un momento di dipolo permanente sono definiti “Dielettrici polari”.
Altri materiali, che si polarizzano geometricamente in presenza di un campo elettrico esterno, sono
definiti “Dielettrici non polari”.

301
MOMENTO TORCENTE SU UN DIPOLO IMMERSO IN UN CAMPO ELETTRICO
Quando un materiale dielettrico è posto tra le armature di un condensatore nel quale è presente un
campo elettrico uniforme E, tutti i dipoli molecolari di cui è costituito sono contemporaneamente
sottoposti all’azione di un momento torcente (rivolto perpendicolarmente al piano del dipolo) che
causa una rotazione in senso orario o antiorario rispetto ad un asse perpendicolare al piano e
passante nei centri di ciascun dipolo.
Il momento torcente provoca quindi una rotazione di tutti i dipoli (sia quelli permanenti di tipo
polare che di quelli non polari) che dispongono il proprio asse secondo direzioni parallele alla
direzione delle linee di forza del campo inducente.
Il momento torcente che agisce su ogni dipolo deve essere considerato come un vettore il cui
modulo è dato dal prodotto vettoriale tra il vettore campo elettrico ed il vettore momento di dipolo.
La direzione del momento torcente è perpendicolare al piano in cui sono contenuti il vettore campo
E ed il vettore momento di dipolo p.

q+
-
q
+
-
E
p
b
d
E
E
F=E q
E qF=
V

R 14 – 18/4 DIPOLO IN UN CAMPO ELETTRICO UNIFORME

L’azione torcente, cioè il momento torcente sul dipolo, è data dalla coppia
T
M il cui modulo si
ottiene dalla relazione:

dFM
T
L
()> @a?? ? sendFbFM
T

Se la forza elettrostatica cui sono sottoposte entrambe le cariche del dipolo è espressa in
funzione dell’intensità del campo elettrico:

qEF ?

E se la distanza tra le cariche del dipolo è espressa in funzione del momento pcaratteristico
del dipolo:

dqp ?

302
??
q
p
d

Si ottiene un momento torcente dato da:
( ) ()a?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? sen
q
p
qEM
T
?? ()a?? senpEM
T

Ma tale prodotto equivale al prodotto vettoriale tra il vettore “Campo elettrico E” ed il
vettore “Momento di dipolo p”.
Tornando alla rappresentazione vettoriale:

pEM
T
L Momento torcente del campo E sul dipolo di momento p

Il risultato dell’azione del momento torcente è l’allineamento dell’asse di tutti i dipoli secondo la
direzione del campo elettrico e, conseguentemente, la formazione di un campo elettrico contrario al
campo principale che induce la polarizzazione.
La presenza di un materiale dielettrico tre le armature di un condensatore che, in presenza del vuoto,
ha una capacità C ed assume una differenza di potenziale VDcon immagazzinata una carica Q,
provoca dunque la diminuzione del potenziale e l’aumento della capacità che, dal valore C, si porta
al nuovo valore C*:
1
VV
Q
*C
DD

+
-
E
E
- +
+-
+-
+-
+-
+-
+- - +
- +
-
- +
- +
- +
+
+-
- +
- +
-
- +
- +
- +
+
+-
- +
- +
-
- +
- +
- +
+
+-
- +
- +
-
- +
- +
- +
+
+-
- +
- +
-
- +
- +
- +
+
+-
+
+-
-
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
V
V
1

R 14 – 19/4 – POLARIZZAZIONE DEL DIELETTRICO

303

ELETTRODINAMICA

304
LA CORRENTE ELETTRICA

In un conduttore elettrizzato le cariche elettriche sono dotate normalmente di moti disordinati
caratterizzati da velocità molto elevate. In altre parole gli elettroni di conduzione sono liberi di
muoversi in ogni direzione in quanto all’interno del conduttore è nullo il campo elettrico.
Fissata quindi una superficie qualsiasi all’interno del conduttore si può immaginare che la quantità
di elettroni passanti in un verso sia esattamente bilanciata dallo stesso numero di elettroni nel verso
opposto.
Non si può dire, in questo caso, che il conduttore è attraversato da una corrente di elettroni orientata
in un solo senso.

Si consideri ora un condensatore recante cariche uguali ed opposte sulle due armature.
Il valore della quantità di carica presente è data dalla relazione:
VCQ D?
L’energia spesa dall’esterno per caricare il condensatore (cioè in pratica provocare la separazione
artificiale delle cariche) si ottiene dalla relazione:
C2
Q
VQ
2
1
VC
2
1
W
2
2
?
D?? D??
E’ ovvio che, sino a quando le estremità del condensatore o capi delle armature si mantengono
isolate tra loro, sia la separazione delle cariche che la differenza di potenziale mantengono le
condizioni iniziali allo stesso modo con cui, per analogia, mantiene la propria energia elastica una
molla compressa e trattenuta in tale posizione da opportuni vincoli.

Sull’armatura positiva del condensatore sono presenti atomi in difetto d’elettroni, mentre, su quella
negativa, atomi con eccesso di elettroni. Tale situazione rappresenta una specie di condizione di
equilibrio instabile in quanto, sulle piastre affacciate e separate da una distanza d in cui è presente il
vuoto o un dielettrico isolante, sono condensate le cariche elettriche di segno opposto che avrebbero
la tendenza a riequilibrare lo scompenso elettrostatico se solo potessero oltrepassare lo spazio che le
separa.
Tale squilibrio si manifesta, appunto, con la comparsa di una differenza di potenziale e di un campo
elettrico, diretto dalla piastra positiva a quella negativa, e contenuto nella sola regione di spazio tra
le armature.

Se le due armature sono ora collegate elettricamente con un cavo conduttore, il condensatore
assume immediatamente le caratteristiche di un corpo elettricamente polarizzato al quale viene di
colpo a mancare la causa che ha provocato appunto la polarizzazione.
Ai capi del cavo conduttore che unisce le armature è applicata la differenza di potenziale VDe gli
elettroni di conduzione in esso contenuti sono costretti dal campo elettrico a spostarsi da punti a
potenziale minore verso punti a potenziale maggiore cioè dall’armatura negativa a quella positiva.
A tale spostamento di elettroni corrisponde una diminuzione della differenza di potenziale tra le
armature e nel cavo di collegamento (gli elettroni affluiscono sulla piastra positiva provocando una
riduzione della carica positiva) sino al punto di annullare completamente il campo elettrico nel cavo
e riequilibrare elettricamente il sistema che, alla fine, torna allo stato di neutralità.
Il condensatore si scarica e restituisce all’ambiente esterno l’energia potenziale elettrostatica che in
esso era contenuta.

Il movimento di cariche elettriche nel cavo conduttore avviene in una sola direzione (dall’armatura
negativa a quella positiva) e, analogamente a quanto succede in un tubo percorso da liquido in
movimento, è definito “CORRENTE ELETTRONICA” o, più semplicemente “CORRENTE
ELETTRICA”.

305
Se si tralascia, per il momento, il verso di tale “corrente”, il fenomeno di scarica di un condensatore
trova un’analogia idraulica nel sistema di due recipienti che contengono un liquido a livelli diversi e
sono collegati tra loro da una tubazione.
L’effetto della pressione idrostatica generata dal potenziale gravitazionale terrestre sui due
recipienti non consente il permanere di una tale situazione di squilibrio.
L’acqua contenuta nel recipiente con livello più elevato si muove rapidamente nel tubo ed affluisce
nel recipiente a livello più basso dando luogo ad uno spostamento di sostanza fluida che, anche in
questo caso, è definito “corrente”.
La corrente fluida non si mantiene nel tempo ed il fenomeno termina non appena i livelli nei due
recipienti raggiungono lo stesso valore.

La corrente di sostanza fluida è quindi diretta da punti a livello maggiore (potenziale più elevato) a
punti a livello minore (potenziale più basso) e rappresenta, anche visivamente, un fenomeno che
osserviamo quasi quotidianamente.

La corrente di elettroni è invece un fenomeno molto famigliare al quale non corrisponde la stessa
percezione visiva attribuibile alla corrente fluida in un tubo o in condotto aperto.
Agli elettroni di conduzione contenuti nel cavo conduttore è applicata una forza elettrica
direttamente proporzionale al valore del campo elettrico ma diretta nel senso opposto – cioè
dall’armatura negativa a quella positiva – che ne provoca la migrazione verso l’armatura positiva
(occorre qui ricordare che le cariche elettriche negative si muovono da punti a potenziale minire
verso punti a potenziale maggiore).
Il verso della corrente è quindi diretto da potenziale minore a potenziale maggiore ed è quindi
esattamente opposto al movimento di una corrente fluida in una tubazione.
La corrente di elettroni è anche definita “CORRENTE ELETTRICA REALE”.

+
-
-------
+ + + + + + + ++
--
E
E
E
E
e
-
F = E q
e
-
F = E q
VA
BV
VA>V
B
VAV
B-=V

R 14 – 20/4 – VERSO DELLA CORRENTE REALE

306
GENERATORE DI TENSIONE
La corrente elettrica generata nel cavo di collegamento tra le armature del condensatore durante il
fenomeno di scarica, non ha tuttavia caratteristiche di uniformità e durata nel tempo.
La quantità di elettroni che attraversa una sezione del cavo è variabile in funzione del valore della
differenza di potenziale (o del campo elettrico), mentre, il campo e il potenziale decrescono
rapidamente mano a mano che le cariche elettriche negative giungono sull’armatura positiva.
Di conseguenza il numero di cariche che si spostano, varia da un massimo, corrispondente
all’istante in cui si provvede al collegamento delle armature cariche, ad un valore nullo
corrispondente all’istante in cui è raggiunto l’equilibrio elettrostatico.
Possiamo dire che il passaggio di corrente si esaurisce nell’istante in cui cessa la polarizzazione del
sistema armature-cavo e, nel contempo, non sono presenti sistemi esterni che provvedono ad una
nuova polarizzazione del sistema.
Per generare un nuovo passaggio di corrente occorre dunque ricaricare il condensatore fornendo
allo stesso una nuova quantità d’energia.
Si ha così un’alternanza di cariche e scariche sfalsate nel tempo ed il passaggio di corrente nel cavo
potrà essere rappresentato qualitativamente dal seguente diagramma:

Corrente
Tempo
Scarica
Carica
Scarica
Carica
Scarica

R 14 – 21/4 – CORRENTE ELETTRICA DISCONTINUA

Se però ora si immagina di avere a disposizione un’apparecchiatura qualsiasi - posta tra le armature
- in grado di, con un’adeguata fornitura d’energia dall’esterno, prelevare istantaneamente lo stesso
numero di cariche negative che affluisce sulla piastra positiva e riportarle sulla piastra negativa,
allora non si verificherebbe una diminuzione della differenza di potenziale.
Il campo elettrico e le forze elettriche all’interno del cavo sarebbero costanti e, di conseguenza,
anche la quantità di elettroni in movimento non varierebbe nel tempo.

La “CORRENTE ELETTRICA REALE” acquisterebbe così un carattere di continuità ed il numero
di elettroni passanti attraverso una sezione del conduttore nell’unità di tempo non avrebbe motivo di
modificarsi da un istante all’altro.
Una simile corrente sarà quindi definita “CORRENTE ELETTRICA CONTINUA”.
L’apparecchiatura che polarizza di continuo il condensatore, vincendo le azioni elettrostatiche che
naturalmente si oppongono alla polarizzazione stessa, è definito “GENERATORE DI TENSIONE”
proprio per la caratteristica peculiare di generare di continuo una differenza di potenziale o tensione
separando cariche positive e negative.

307
+
-
-------
+ + + + + + + ++
--
E
E
E
E
e
-
F = E q
e
-
F = E q
VA
BV
VA>V
B
VAV
B-=V
GENERATORE DI TENSIONE
ENERGIA ESTERNA
-
e
e
-
e
-

R 14 – 22/4 – GENERATORE DI TENSIONE E CORRENTE CONTINUA

Nella realtà pratica, il “generatore di tensione”, è un condensatore in grado di generare in modo
autonomo la polarizzazione elettrica delle sue estremità (capi del generatore) e la conseguente
comparsa di una differenza di potenziale
BA
VVV D .
Se i capi del generatore di tensione sono collegati mediante un cavo conduttore, si ottiene la
circolazione di corrente elettrica continua e, in questo senso, il generatore di tensione può anche
essere definito “generatore di corrente.

Per il momento, senza entrare in dettaglio, possiamo dire che:

Un qualunque generatore di tensione può essere considerato come un sistema capace di
spostare in un dato verso gli elettroni di conduzione contenuti nei corpi conduttori di cui
esso stesso è composto e che costituiscono il suo cosiddetto “circuito interno”. Le estremità
di questo circuito interno sono sempre sporgenti dal corpo del generatore stesso e ne
costituiscono i due “POLI” o “MORSETTI ”.

A seguito delle azioni interne al generatore che tendono a dislocare gli elettroni di
conduzione verso uno dei due poli, su di questo si accumulano le cariche negative (polo
negativo), mentre, sull’altro polo, si ha un corrispondente difetto di elettroni (polo positivo).

Il polo positivo (contrassegnato con il simbolo +) assume un potenziale maggiore di quello
assunto dal polo negativo (contrassegnato con il simbolo -).

Lo schema elettrico rappresentato in figura 22/4 può quindi essere semplificato nel modo seguente:

308
E
E
E
E
e
-
F = E q
e
-
F = E q
VA
BV
VA>V
B
VAV
B-=V
G
+
-

R 14 – 23/4 – SCHEMA DI CIRCUITO ELETTRICO CON GENERATORE DI TENSIONE G

SIMBOLOGIA GRAFICA ADOTTATA PER RAPPRESENTARE UN GENERATORE
Il generatore di tensione G che è inserito nei circuiti elettrici è solitamente rappresentato
graficamente nel modo seguente:

G
+
VA
-
V
B
+
V
B
AV
-

R 14 – 24/4 – RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL GENERATORE

L’EQUILIBRIO ELETTROSTATICO DEL GENERATORE DI TENSIONE
Un generatore di tensione di tipo qualsiasi (voltaico, termoelettrico o dinamo-elettrico) è costituito
da dispositivi in grado di fornire energia (chimica, meccanica, termica, ecc. ecc.) alle cariche

309
elettriche negative e da strutture conduttrici interne che possono essere considerate come estensione
del circuito esterno eventualmente collegato al generatore stesso.
Quando ai poli del generatore (morsetto positivo – morsetto negativo) non è collegato alcun cavo
conduttore (circuito esterno), la corrente elettrica esterna non può che ovviamente essere nulla.
In tali condizioni la differenza di potenziale generata sui morsetti terminali dall’applicazione di
energia è perfettamente equilibrata dalle azioni elettrostatiche contrarie che le cariche polarizzate si
scambiano.
Il generatore è quindi in condizioni di EQUILIBRIO ELETTROSTATICO ed il campo elettrico
interno – somma algebrica del campo elettrico artificiale e del campo elettrico dovuto alla
polarizzazione – risulta nullo.
Quando il generatore ha raggiunto l’equilibrio elettrostatico e non è presente alcun circuito esterno,
il grado di polarizzazione è massimo e non sono più possibili ulteriori movimenti di cariche
elettriche nel corpo del generatore.
L’equilibrio elettrostatico e la polarizzazione artificiale permangono sino a quando il generatore
possiede energia in quantità sufficiente a mantenere separate le cariche.
Tale condizione è analoga a quella di una molla deformata ove le forze esterne che tenderebbero a
modificarne la lunghezza sono perfettamente equilibrate dalle reazioni elastiche di deformazione.

L’equilibrio elettrostatico è normalmente raggiunto dal generatore in tempi molto brevi e può essere
spiegato nel modo seguente:

Inizialmente il materiale conduttore che costituisce il corpo interno del generatore è
elettricamente neutro. Gli elettroni di conduzione sono liberi di muoversi in tutte le direzioni
e non campare quindi alcun fenomeno di polarizzazione sui morsetti terminali. Il campo
elettrico interno è ovviamente nullo.

La polarizzazione ha inizio nel momento in cui l’energia (interna al generatore stesso o
fornita dall’esterno) genera un campo elettrico di valore
1
E che costringe gli elettroni di
conduzione a muoversi in senso contrario al campo stesso e a concentrarsi su uno dei due
poli che assume quindi la polarità negativa, mentre, il polo opposto assume la polarità
positiva per difetto d’elettroni.

Il continuo affluire d’elettroni sul polo negativo e il conseguente deflusso dal polo positivo è
causa dell’aumento di densità di carica, del grado di polarizzazione e del campo elettrico
2
E
contrario a quello artificialmente creato dal generatore.

Nel momento in cui il campo elettrico
2
E è perfettamente uguale e contrario al campo
1
E,
gli elettroni di conduzione non sono più sottoposti ad alcuna azione elettrostatica ed il
generatore è in equilibrio.

Un elettrone di conduzione che è collocato sul polo negativo possiede quindi una quantità di
energia potenziale elettrostatica pari al lavoro che è stato applicato dal generatore per
mantenerlo in tale posizione a dispetto del campo elettrico contrario. E’ questa una
situazione analoga a quella in cui si trova un corpo di massa m posizionato ad un’altezza h
all’interno del campo gravitazionale terrestre ed mantenuto in tale posizione da una energia
perfettamente uguale a quella che esso possiede in virtù dell’altezza raggiunta.
Si immagini, a questo proposito, di collocare una sfera di massa m perfettamente centrata
sullo sbocco di un tubo verticale dal quale esce acqua con una certa velocità.
L’energia cinetica del flusso d’acqua è trasferita alla massa della sfera che, di conseguenza,
inizia a salire in verticale trasformando istantaneamente l’energia cinetica in energia
potenziale.

310
All’altezza massima raggiunta dalla sfera corrisponde uno stato d’equilibrio in cui il valore
d’energia cinetica istantaneamente ceduto dall’acqua alla sfera corrisponde esattamente al
valore d’energia potenziale della sfera in quel punto.

DIFFERENZA DI POTENZIALE – FORZA ELETTROMOTRICE (FEM)
La differenza di potenziale, o tensione, che il generatore mantiene tra i poli o morsetti quando non
si ha collegamento elettrico – cioè, come si dice comunemente “A CIRCUITO APERTO” – è
comunemente definita, anche in modo improprio, “FORZA ELETTROMOTRICE”.
Per la forza elettromotrice si utilizza sovente l’abbreviazione “f.e.m.” ed il simbolo E.
Naturalmente la forza elettromotrice non si misura in Newton – come la definizione lascerebbe
intendere – ma in VOLT.

DEFINIZIONE E UNITA’ DI MISURA DELLA CORRENTE REALE

Si realizza un “CIRCUITO elettrico, quando i poli del generatore di tensione sono collegati tra loro
mediante un cavo conduttore.
Altri componenti essenziali del circuito elettrico sono:
x Interruttore - Dispositivo atto ad interrompere la continuità fisica del cavo
x Resistenza – Dispositivo atto a limitare il numero di elettroni in transito nel filo
x Fusibile – Dispositivo di sicurezza atto ad interrompere automaticamente la continuità del
cavo nel caso di sovracorrenti
x Utilizzatore – Dispositivo in grado di trasformare il passaggio di elettroni in energia termica,
luminosa ecc. ecc.

Un circuito elettrico è definito “CHIUSO”, quando non esistono ostacoli al passaggio di corrente.
La differenza di potenziale, caratteristica del generatore (tensione o f.e.m.) a circuito aperto, è
applicata ai capi del conduttore generando istantaneamente un campo elettrico che provoca lo
spostamento di tutti gli elettroni di conduzione contenuti nel cavo e nei materiali dei vari dispositivi
del circuito esterno verso il polo positivo del generatore.
Il generatore di tensione, dapprima in equilibrio elettrostatico per le ragioni di cui al punto
precedente, riceve quindi elettroni sul polo positivo ove la densità di carica subisce un immediato
decremento; il grado di polarizzazione ed il campo elettrico resistente – interno al generatore –
diminuiscono e, di conseguenza, il campo elettrico attivo creato dal generatore ha la possibilità di
spostare, attraverso il corpo del generatore stesso, altri elettroni verso il polo negativo che, nel
frattempo, ne aveva persi altrettanti.

Il grado di polarizzazione è così ripristinato e la differenza di potenziale ai morsetti si mantiene
costante (come si vedrà più avanti, il movimento di cariche elettriche attraverso il corpo del
generatore provoca una caduta di potenziale, cosicché, a circuito chiuso, la tensione ai capi è minore
della forza elettromotrice – f.e.m. – a circuito aperto).
Risulta così evidente che l’equilibrio elettrostatico del generatore di tensione non può più essere
raggiunto.
Per ogni elettrone che, partendo dal polo negativo, è sospinto al polo positivo attraverso il circuito
esterno, corrisponde un altro elettrone che, prelevato dal polo positivo, raggiunge il polo negativo
attraverso il circuito interno del generatore.
Il moto degli elettroni attraverso il circuito esterno ed il corpo del generatore è quindi “continuo” e
costante nel tempo sino a quando l’energia fornita al generatore è sufficiente a mantenere invariata
la forza elettromotrice originale.

311
+ -
VA V
B
POLAR.E
GEN.E
=VA-V
Bf.e.m.
Generatore o batteria

R 14 – 25/4 – GENERATORE A CIRCUITO APERTO – EQUILIBRIO ELETTROSTATICO - f.e.m.

+ -
VA V
B
POLAR.E
GEN.E
Generatore o batteria
FUS INT
RES. LIMIT.
UTILIZZATORE
-
e
e
-
e
-
-
e
e
-
-
e
-
e
-
e
**
*
VAV
B
*
-=f.e.m.-V
GEN
VERSO CORRENTE REALE

R 14 – 26/4 – VERSO DELLA CORRENTE REALE – GENERATORE CON CIRCUITO CHIUSO

Considerando che il movimento di elettroni è continuo e supponendo di considerare due sezioni
trasversali del cavo conduttore separate da una qualsiasi distanza, si conclude che il numero di
cariche che entra attraverso la prima sezione deve essere uguale a quelle che escono dalla sezione
successiva.
Ciò è esattamente analogo a quanto succede in una tubazione attraversata da una corrente fluida in
moto permanente.

Si può allora comprendere che la maggiore o minore entità della corrente elettrica che percorre il
circuito è definita dalla quantità di elettricità che attraversa una sezione qualsiasi del circuito stesso
riferita all’unità di tempo.

312
Da questo punto di vista e sfruttando ancora l’analogia con la corrente di fluido in una tubazione
che è a sua volta completamente definita dalla portata volumica, massica o in peso, si può dire che
la corrente elettrica è individuata se si conosce il valore:

t
Q
i
D
?
?
?
?
?
?
s
C

Con:
Q Quantità di carica elettrica che attraversa una sezione qualsiasi ()C
tD Intervallo di tempo o unità di tempo ()s

Il valore della nuova grandezza fisica risultante dal rapporto tra la carica elettrica ed il tempo è
definito “INTENSITA’ DI CORRENTE” ed è considerata una “GRANDEZZA FISICA
FONDAMENTALE “ che si aggiunge a quelle già considerate sino ad ora:

MASSA >@M ()kg Chilogrammo
SPAZIO >@L ()m Metro
TEMPO >@t ()s Secondo
TEMPERATURA >@T ()K Kelvin
INTENSITA’ DI CORRENTE ELETTRICA >@i ()A Ampere
INTENSITA’ LUMINOSA >@
v
I ()cd Candela
QUANTITA’ DI SOSTANZA (MOLE) >@n ( )mo le Mole
………………………………………………………………..
ANGOLO PIANO ()rd Radiante
ANGOLO SOLIDO ()srd Steradiante

Considerando il fatto che gli elettroni sono portatori della più piccola carica elettrica, l’intensità di
corrente elettrica è anche determinata dalla seguente relazione:

()
t
C10602,1n
t
en
t
Q
i
19
D
ì?

D
?

D

Da cui si potrebbe determinare il numero di elettroni in transito nel conduttore qualora si
conosca il valore dell’intensità di corrente e l’intervallo di tempo:
19
10602,1
ti
n

ì
D?

Nel caso di corrente continua e supponendo che non sia modificato il valore della forza
elettromotrice, il numero di cariche è costante nel tempo e l’intensità non subisce variazioni nei vari
istanti.

UNITA’ DI MISURA DELL’INTENSITA’ DI CORRENTE ELETTRICA
L’unità di misura dell’intensità di corrente elettrica, che è denominata “AMPERE” e che si
rappresenta simbolicamente con ()A, si ottiene considerando una carica unitaria ()C1Q in
transito in una sezione qualsiasi del circuito in un intervallo di tempo pari ad ()s1t D .
Per il momento e sino a quando non saranno introdotte le azioni elettromagnetiche tra conduttori
percorsi da corrente, l’Ampere resta così definito come il valore dell’intensità di corrente che
determina il passaggio di una quantità di carica pari a 1 Coulomb nell’unità di tempo:

313

()
()
()s1
C1
A1i
La definizione dell’unità di misura dell’intensità corrente consente ora di determinare il
numero di elettroni in transito nel circuito per ogni secondo:
()
( )elettroni10602,1
.elett
C
10602,1
s1
s
C
1
10602,1
ti
n
19
19
19
ì
?
?
?
?
?
?
ì
??
?
?
?
?
?

ì
D?

Sono naturalmente da utilizzarsi per la risoluzione dei problemi le formule inverse che
permettono di determinare la quantità di carica ed il tempo:

tiQ D?
i
Q
t D

Per valori di corrente inferiori all’Ampere si utilizzano solitamente i seguenti sottomultipli:

1 milliampere ( ) ()A10mA
3

1 microampere () ()A10A
6
m

NUOVA DEFINIZIONE DELLE UNITA’ DI MISURA DELL’ELETTROSTATICA
Come si era detto sin dall’inizio, tutte le principali grandezze caratteristiche dell’elettrostatica sono
state sino ad ora definite in funzione della quantità di carica Q espressa in Coulomb.
D’altra parte, con la definizione dell’intensità di corrente come nuova grandezza fondamentale, la
quantità di carica Q diventa una grandezza derivata e, con essa, tutte le altre grandezze definite sino
ad ora.
Occorre quindi ridefinire tutte le grandezze in funzione dell’intensità di corrente i e le relative unità
di misura in funzione dell’Ampere.

QUANTITA’ DI CARICA ELETTRICA
La carica elettrica è ora definita dalla relazione:
tiQ ?
>@>@>@tiQ ì

L’unità di misura della carica risulta quindi:
( )s1A1Q ì??

COSTANTE ELETTRICA DEL VUOTO
La costante elettrica del vuoto
?
?
?
?
?
?
?
??
ì
F
2
2
9
C
mN
109k sarà ora definita dalla seguente
relazione:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ì
F
22
2
9
sA
mN
109k
In termini di grandezze fondamentali:

314

42
3
22
2
2
ti
LM
ti
L
t
L
M
k
?
?

?
??
??
F
COSTANTE DIELETTRICA DEL VUOTO
La costante dielettrica del vuoto
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? e

F
2
2
12
mN
C
1085,8 sarà ora definita da:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? e

F
2
22
12
mN
sA
1085,8
In termini di grandezze fondamentali:
3
42
LM
ti
?
?
??e
F
CAMPO ELETTRICO
Il campo elettrico risulta ora da misurarsi:
?
?
?
?
?
?
?
??
sA
N
q
F
E
Resta ancora valida la formulazione che tiene conto del potenziale:
?
?
?
?
?
?
??
m
V
E
Ed in termini di grandezze fondamentali:
3
2
ti
LM
ti
t
L
M
E
?
?
??
?
?
??
POTENZIALE ELETTRICO
Per il potenziale:
( )Vo lt
sA
mN
sA
J
q
W
V ???
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
In termini di grandezze fondamentali:

2
2
2
ti
LM
ti
L
t
L
M
V
?
?
??
?
??

CAPACITA’ ELETTRICA
( )Farad
mN
sA
sA
J
sA
V
Q
C
22
??
?
?
??
?
?
??
2
42
2
22
LM
ti
L
t
L
M
ti
C
?
?
??
??
?
??
VERSO CONVENZIONALE DELLA CORRENTE
Si è visto che la corrente elettrica nei metalli è costituita da un moto di scorrimento degli elettroni
liberi (elettroni di conduzione) che vi sono contenuti.
Tali elettroni, infatti, sotto l’azione della forza elettromotrice (differenza di potenziale creata da
generatore) si spostano attraverso gli spazi vuoti che separano i vari atomi della struttura cristallina
di un metallo.
Si ricorda che lo spostamento degli elettroni dal polo negativo verso il polo positivo (da potenziale
minore a potenziale maggiore) altro non è che la CORRENTE ELETTRICA REALE.

315
Nei metalli la corrente elettrica è quindi dovuta al moto di cariche negative rispetto alle cariche
positive fisse (i protoni, contenuti nei nuclei degli atomi metallici, i quali occupano posizioni nodali
fisse nel reticolo cristallino).
Questo tipo di conduzione è quindi una conduzione “elettronica”.
A questo tipo di conduzione si contrappone la “conduzione ionica” la quale, come si vedrà, si
verifica essenzialmente nelle soluzioni conduttrici (elettroliti) e nei gas ionizzati.
Nel processo di “conduzione ionica”, la corrente elettrica è causata dallo spostamento
contemporaneo ed in senso opposto di ioni positivi (atomi o molecole che hanno perso uno o più
elettroni) e ioni negativi (derivanti da atomi o molecole che hanno acquistato uno o più elettroni).
La caratteristica comune a questi due tipi di corrente elettrica, pur derivando da processi
completamente diversi tra loro, è proprio il fatto che la corrente si manifesta come uno scorrimento
relativo di cariche di un segno rispetto alle cariche di segno opposto.
Agli effetti pratici è quindi assolutamente indifferente considerare la corrente elettrica come il
movimento reale degli elettroni mentre i protoni restano fissi nel reticolo cristallino oppure un
movimento “convenzionale” di cariche positive “protoni” mentre si considerano fissi gli elettroni.

La corrente elettrica “CONVENZIONALE” deve essere quindi considerata come un moto
“virtuale” di cariche positive nei corpi conduttori e sostituisce integralmente la corrente REALE.

D’ora in avanti sarà presa in considerazione la sola “CORRENTE CONVENZIONALE”.
Il verso della “corrente convenzionale” è esattamente opposto al verso della corrente reale:

CORRENTE ELETTRICA CONVENZIONALE:
Occorre dunque considerare le cariche positive (protoni) in movimento dal polo positivo del
generatore al polo negativo dello stesso, lungo il circuito esterno, e un uguale movimento di
cariche positive dal polo negativo a quello positivo all’interno dei materiali conduttori che
formano il corpo del generatore.
L’intensità della corrente convenzionale è uguale a quella della corrente reale.
t
Q
i
C
D

+
CORRENTE CONVENZIONALE

t
Q
i
R
D

CORRENTE REALE

Le motivazioni che stanno alla base della definizione ed utilizzo della corrente
convenzionale piuttosto di quella reale, sono da intendersi comprese nella naturale abitudine
a considerare naturale il movimento dall’alto verso il basso di un corpo nel campo
gravitazionale terrestre.
Paragonando l’altezza di caduta al potenziale elettrico, risulta quindi ovvio considerare il
movimento dei protoni dal polo a potenziale maggiore (polo positivo) a quello a potenziale
minore (polo negativo), quello che maggiormente somiglia al nostro comune senso di
percezione visiva.
Di conseguenza anche la differenza di potenziale creata dal generatore (forza elettromotrice)
sarà orientata in modo da assicurare alle cariche tale movimento convenzionale.

316
+ -
VA V
B
POLAR.E
GEN.E
Generatore o batteria
FUS INT
RES. LIMIT.
UTILIZZATORE
p
+
**
*
VAV
B
*
-=f.e.m.-V
GEN
CORRENTE CONVENZIONALE
+p p+
p+
p+
+p
p+
p+

R 14 – 27/4 – CORRENTE CONVENZIONALE

i
V
E
c
ci
ic
G
+-
ABV
(A)
(A)
(Volt)
f.e.m.

R 14 – 28/4 – CORRENTE CONVENZIONALE E F.E.M. GENERATORE

DENSITA’ DI CORRENTE
Dopo aver definito e determinato il valore dell’intensità di corrente (si parla ora di corrente
convenzionale) che attraversa un dato conduttore e i componenti del circuito esterno al generatore,

317
risulta anche possibile svolgere indagini più approfondite circa il flusso di cariche elettriche
attraverso una sezione qualsiasi del conduttore stesso.
A questo scopo si immagini un cavo conduttore di forma qualsiasi (ad esempio cilindrica) e una
sezione, di forma circolare, perpendicolare all’asse principale di simmetria (asse del cilindro).
La corrente elettrica convenzionale, per quanto detto precedentemente, avrà la stessa direzione e lo
stesso verso del vettore campo elettrico nel punto considerato.
Se è noto il valore dell’intensità
c
i è possibile determinare il numero di cariche elettriche che
attraversano la sezione:
t
en
t
Q
i
C
D
?

D

+

Ove si indica con
+
e la carica elettrica positiva unitaria, pari, in valore assoluto, a quella
posseduta dall’elettrone (cioè, altre parole, la carica del protone).
Si ottiene quindi:
+
D?

e
ti
n
C

Il rapporto tra l’intensità di corrente (o, in alternativa, il numero n di cariche nell’unità di tempo) e
l’area della sezione trasversale prende il nome di “DENSITA’ DI CORRENTE” ed è indicata con il
simbolo J:
A
i
A
i
J
C

Nel caso di conduttore cilindrico e supponendo che il numero di cariche in movimento si
distribuisca in modo uniforme in tutta la sezione:
2
R
i
A
i
J
?p

Le unità di misura della densità di corrente sono:
?
?
?
?
?
?
??
2
m
A
J
La densità di corrente si può anche definire “pressione della corrente elettrica” proprio in
virtù della chiara analogia con la grandezza meccanica “pressione”.

Mentre l’intensità di corrente è costante in tutte le sezioni del conduttore, la densità di corrente è
inversamente proporzionale all’area della sezione; basse densità per cavi di grande diametro,
elevate densità per cavi di piccolo diametro.
Considerando il fatto che le cariche in movimento sono costrette ad utilizzare gli spazi liberi del
reticolo cristallino del conduttore e che tali spazi sono ridotti se si riduce la sezione, è agevole
giungere alla conclusione che ad ogni aumento della densità corrisponde una maggiore difficoltà di
spostamento e un crescente numero di urti.
Più avanti si dirà che, a parità di intensità di corrente e di tipo di materiale, i conduttori di piccola
sezione hanno una “resistenza” maggiore.

Se il passaggio di cariche non è uniforme in tutti i punti della sezione (effetto pelle) occorrerà tenere
presente del fatto che anche la densità di corrente è variabile da punto a punto.

318
J = costante
J = variabile
A
A
J
1
J
2
A
1 2A

R 14 – 29/4 - DENSITA’ DI CORRENTE COSTANTE E VARIABILE

LA VELOCITA’ DELLE CARICHE ELETTRICHE – VELOCITA’ DI DERIVA
Per meglio comprendere la definizione ed il calcolo della velocità di cui sono dotate le cariche
elettriche in moto (elettroni se si considera la corrente reale, protoni quando si prende in
considerazione la corrente convenzionale), è utile l’analogia con una corrente fluida in moto in una
tubazione.
Si ricorda brevemente che, la corrente fluida è caratterizzata dal valore della portata volumica cioè
dal rapporto tra il volume di liquido passante attraverso una determinata sezione di tubo ed il tempo
impiegato:
?
?
?
?
?
?
?
?
??
D

s
m
t
V
P
3

D’altra parte si può ottenere il volume passante attraverso una sezione W se si tiene conto
della velocità di spostamento del fluido e del tempo:
( )tvV D??W
Ove il prodotto della velocità per il tempo rappresenta la lunghezza del cilindro di liquido
passato attraverso la sezione e si è indicato con W l’area della sezione.
Per cui la portata si ottiene da:
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????W
D
D??W

s
m
s
m
mv
t
tv
P
3
2

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
W

s
m
m
s
m
P
v
2
3

Nel caso di corrente elettrica, alla grandezza volume occorre sostituire la quantità di carica
trasportata dagli elettroni o protoni per ottenere l’intensità della corrente che equivale quindi alla
portata volumica:

VQ??
Pi??

319
t
Q
i
D

Per ottenere la quantità di corrente Q in transito nel tempo tD attraverso una sezione del conduttore
occorre, anche in questo caso, tenere conto della velocità di transito delle cariche, detta
“VELOCITA’ DI DERIVA”.
Se si suppone che tutte le cariche elettriche siano dotate della stessa velocità e che la densità di
corrente J sia uniforme in tutti i punti della sezione, il numero di cariche N, presenti entro una
lunghezza L del cavo conduttore di sezione W, sarà dato da:

LnN ?W?
Con:
n Numero di cariche elementari per unità di volume

La carica complessiva contenuta nel volume sarà quindi:
++
??W? ? pLnpNQ
Se si indica con
d
v la velocità di spostamento delle cariche quando sono sottoposte al campo
elettrico e tenendo conto che la quantità totale di carica è contenuta nella lunghezza L, si ottiene:

Ltv
d
D?
d
v
L
t D
Sostituendo ora nell’equazione che definisce l’intensità di corrente:
d
v
L
pLn
t
Q
i
+
??W?

D

+
??W? pvni
d

Da cui si ottiene la velocità di deriva:
+
?W?

pn
i
v
d

+
?
?
W

pn
1i
v
d

+
?

pn
J
v
d

320
ESERCIZI
CORRENTE ELETTRICA – DENSITA’ DI CORRENTE
VELOCITA’ DI DERIVA

Esercizio 1:
Un conduttore è percorso da una corrente ()A25i . Determinare la quantità di elettricità che lo
attraversa in un tempo pari a 25 s.

Soluzione:
La corrente è definita dalla relazione:
t
Q
i
D

La quantità di elettricità (quantità di carica elettrica) si ottiene con la formula inversa:

tiQ D?

Si ottiene quindi:
() () ( )sA625s25A25Q ? ?

Dato che si ha una corrente di 1(A) quando, in un tempo di 1 (s), passa una quantità di carica
pari a 1 (C), la quantità trovata corrisponde anche a:

()C625Q

Il numero di cariche elettriche corrispondenti a tale quantità di carica complessiva, si ottiene
dalla relazione:

+
? ? enpnQ

Nel primo caso si considera la corrente convenzionale, quella reale nel secondo.
()
( )elememtaricariche109,31039010
6,1
625
carica
C
106,1
C625
p
Q
n
211919
19
ì ì ì
?
?
?
?
?
?
ì

+

Esercizio 2:
In un filo conduttore percorso da corrente si ha, in un tempo di 30 minuti, il transito di una quantità
di carica pari a ()C25Q . Determinare l’intensità di corrente.

Soluzione:
t
Q
i
()
( )
()A389,1
s
C
10389,1
min
s
60min30
C25
i
2
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?

321
Esercizio 3:
Calcolare la quantità di elettricità ed il numero di cariche elementari (positive o negative) che, in 1
minuto, passa in un conduttore percorso da una corrente di 20 (A).

Soluzione:
( ) ()( )sAC200.1
min
s
60min1
s
C
20tiQ ?? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
t
pn
i
+
?

??
( )
( )cariche105,7
carica
C
106,1
min
s
60min1
s
C
20
p
ti
n
21
19
ì
?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?

?

+

Esercizio 4:
Un accumulatore ha ricevuto, in un tempo di 12 ore, una carica complessiva di 84.000 C.
Determinare l’intensità media della corrente di carica.

Soluzione:
L’accumulatore (ad esempio la batteria di un’automobile) è un generatore di tensione che deve
essere caricato d’energia per poterla poi cedere ai dispositivi ad esso collegati (motorino
d’avviamento).
Supponendo costante l’intensità della corrente durante il periodo di carica:

()
()
()A94,1
h
s
3600h12
C000.84
t
Q
i
?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 5:
L’intensità di corrente che scorre in un circuito è di 20 (mA). Quanti elettroni di conduzione
passano attraverso una sezione del circuito in un tempo pari a 1/1.000 di secondo?

Soluzione:
tienQ ? ?

??
()
( )elettroni1025,110
6,1
20
.elettr
C
106,1
s10
s
C
1020
e
ti
n
1413
19
33
ì ì
?
?
?
?
?
?
ì
??
?
?
?
?
?
ì

?

Esercizio 6:
Attraverso una sezione di un circuito elettrico passa un numero di elettroni pari a
16
103ì per ogni
secondo. Determinare il valore dell’intensità di corrente.

Soluzione:
( )
()
() ()mA8,4A108,4
s1
elettrone
C
106,1elettroni103
t
en
t
Q
i
3
1916
ì
?
?
?
?
?
?
ì?ì

?

Esercizio 7:

322
Un condensatore avente capacità ()F2C m , caricato applicando tra le sue armature una tensione di
200 V, è poi scaricato collegando le armature con un filo conduttore. Sapendo che la corrente di
scarica ha avuto un’intensità media di 0,02 (A), determinare la durata della scarica.

Soluzione:
Dalla capacità e dalla tensione si può determinare la quantità di carica accumulata sul condensatore:
V
Q
C
D

?? () ()C104V200
V
C
102VCQ
46
ì ??
?
?
?
?
?
ì D?
La durata della scarica si ottiene tenendo conto dell’intensità media di corrente:
t
Q
i
M

()
()s102
s
C
102
C104
i
Q
t
2
2
4
M

ì
?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 8:
Dell’acqua scorre attraverso un terminale di un impianto per irrigazione. La portata volumetrica è
pari a
?
?
?
?
?
?
?
?

s
cm
450P
3
. Determinare l’intensità di corrente elettrica negativa ad essa associata.

Soluzione:
La corrente elettrica dovuta al passaggio di cariche negative è data dalla relazione:
t
Q
i
La quantità di carica negativa passante, in un tempo pari ad un secondo, è essenzialmente
determinata dal numero di cariche negative che, complessivamente, attraversa la sezione. Le
cariche negative sono distribuite in numero pari a 10 (otto per l’atomo di ossigeno + 2 per
gli atomi di idrogeno) su ogni molecola d’acqua.
Considerando che la densità dell’acqua è pari a:
?
?
?
?
?
?

3
cm
g
1d
si può determinare la quantità in massa che esce dalla sezione nell’unità di tempo:
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
s
g
450
s
cm
450
cm
g
1Pdm
3
3

Se si considera poi che la massa molecolare dell’acqua è:
?
?
?
?
?
?

mo le
g
18M
si può determinare il numero di moli nell’unità di tempo:
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

s
mo li
25
mo le
g
18
s
g
450
M
m
M.nun
Con il Numero d’Avogadro si determina poi il numero complessivo di molecole d’acqua:
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
?
s
molecole
105,1
mo le
molecole
1002,6
s
mo li
25NMoli.nunN
2523
A

323
E, moltiplicando per il numero di elettroni portati da ogni molecola e per la carica
elementare di ogni elettrone, si determina la quantità di elettricità negativa uscente per ogni
secondo dal terminale:
?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

s
C
104,2
elettrone
C
106,1
mo le c o la
elettroni
10
s
mo le c o le
NQ
719

Tale risultato, essendo già espresso in Coulomb al secondo, rappresenta anche la corrente
elettrica negativa associata alla portata d’acqua in esame:

()A104,2i
7
ì

Ovviamente la corrente elettrica negativa è completamente bilanciata dalla corrente elettrica
positiva associata ai protoni contenuti nel flusso d’acqua.

Esercizio 9:
La densità di corrente in un conduttore cilindrico di raggio ()mm0,2R è uniforme sulla sezione
del filo ed ha un valore pari a ?
?
?
?
?
?
ì
2
5
m
A
102J . Determinare l’intensità di corrente che fluisce
nello strato cilindrico esterno del filo compreso tra i raggi pari ad
2
R
ed R.

Soluzione:
Considerando che la densità di corrente è uniforme in tutta la sezione si può utilizzare la relazione:
W

i
J
Ove con W si deve considerare la sola area della sezione anulare di raggi compresi tra R/2
ed R:
( )()
()
26
2
2
32
2
2
m104,9
4
m1023
4
R3
2
R
R

ì
ì??p

?
?p ?
?
?
?
?
?
?p?p W

L’intensità di corrente che attraversa la sezione considerata si ottiene dunque da:

W? Ji
?? () ()A88,1m104,9
m
A
102i
26
2
5
ì??
?
?
?
?
?
ì

Esercizio 10:
Un’estremità di un filo d’alluminio avente diametro di 2,5 mm è saldato ad un filo di rame con un
diametro di 1,8 mm. Il filo così composto è poi percorso da una corrente stazionaria di 17 (mA).
Determinare la densità di corrente in ciascun filo supponendola uniforme in tutti i punti delle
sezioni.

Soluzione:
La densità di corrente è data da:
W

i
J

324
Con W si intende l’area della sezione del conduttore.

Per il filo di rame:
( ) ()
26222
Cu
m1054,2mm54,29,0r

ì ?p ?p W
()
()
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì

2
3
26
3
Cu
m
A
1069,6
m1054,2
A1017
J

Per il filo d’alluminio:
( ) ()
26222
Al
m109,4mm9,425,1r

ì ?p ?p W
()
()
?
?
?
?
?
?
ì
ì
ì

2
3
26
3
Cu
m
A
1047,3
m109,4
A1017
J

325
RESISTENZA ELETTRICA
PRIMA LEGGE DI OHM PER I CONDUTTORI

Si è visto che la condizione necessaria affinché gli elettroni di conduzione contenuti in un metallo
(corrente reale) o le cariche positive (corrente convenzionale), assumano contemporaneamente un
movimento orientato e continuo caratterizzato da un certa velocità, definita “velocità di deriva”, è
che gli estremi del circuito conduttore siano collegati ai poli di un generatore di tensione.
La differenza di potenziale VDgenera, all’interno dei materiali che compongono il circuito esterno,
un campo elettrico e la conseguente comparsa di forze elettriche che accelerano le cariche cedendo
ad esse una determinata quantità d’energia.

Risulta così abbastanza evidente che la quantità di cariche in movimento nell’unità di tempo, quindi
l’intensità di corrente elettrica, deve sicuramente dipendere dal valore delle forze elettriche agenti
che, a loro volta, dipendono dal valore del campo elettrico il cui valore è però determinato dalla
differenza di potenziale (tensione o f.e.m.) applicata dal generatore.
Di conseguenza l’intensità di corrente deve essere direttamente proporzionale alla tensione
applicata.

Occorre però considerare che il movimento accelerato cui sono assoggettate le cariche per effetto
del campo è certamente paragonabile a quello che succede, in meccanica, ad un qualsiasi corpo di
massa m sul quale è applicato un sistema di forze attive e reattive.
Fino a quando l’intensità della risultante delle forze attive (ad esempio forze motrici) si mantiene
superiore alla risultante delle forze reattive (ad esempio le forze di attrito e la resistenza del mezzo
all’avanzamento del corpo), il corpo procede di moto accelerato e tende così ad aumentare la
propria velocità.
Però, mano a mano che la velocità del corpo aumenta, le forze reattive (specialmente la resistenza
del mezzo) si incrementano, cosicché si giunge, più o meno rapidamente, ad una condizione di
equilibrio dinamico in cui la velocità raggiunta rappresenta quella massima possibile in relazione
all’intensità delle forze motrici.
Per variare la condizione di equilibrio dinamico, ad esempio per incrementare ulteriormente la
velocità, occorre un incremento della forza motrice.
Ad esempio, un paracadutista in caduta libera sottoposto all’azione gravitazionale del proprio peso,
raggiunge, accelerando, una velocità massima di circa 230 k/h oltre alla quale la resistenza dell’aria
oppone una forza reattiva pari alla forza gravitazionale ed il paracadutista continua il moto di caduta
senza ulteriori accelerazioni e con moto rettilineo uniforme.

Un simile esempio può essere utile per descrivere il moto delle cariche elettriche in un conduttore.
Come si è detto la f.e.m. applicata ai capi del conduttore genera un campo elettrico e una forza
motrice che costringe le cariche ad accelerare aumentando la propria velocità.
Il moto delle cariche di conduzione avviene, però, in un ambiente in cui gli atomi del reticolo
cristallino del materiale rappresentano ostacoli fissi e costringono le cariche in movimento a
continui urti.
Quando l’energia ceduta dalla forza motrice (campo elettrico) alle cariche in movimento è pari
all’energia dissipata dalle stesse durante gli urti molecolari, il moto delle cariche risulta uniforme e
la loro velocità è la velocità di “deriva”.

Questa introduzione si rende necessaria per comprendere il fatto che, oltre alla differenza di
potenziale applicata al circuito dal generatore (vera e propria forza motrice), l’intensità di corrente
elettrica deve essere necessariamente influenzata anche dalle caratteristiche morfologiche (e poi,
come si vedrà, anche dalla temperatura) del materiale in cui la corrente si manifesta.
Ciò risulta ancora più chiaro se si considera l’analogia con due corpi entrambi sospinti da motori in
grado di esercitare la stessa forza motrice ma in movimento su traiettorie o in fluidi diversi.

326
A parità di forza motrice, la velocità di un corpo in moto su una superficie orizzontale risulta
sicuramente maggiore di quella mantenuta dallo stesso corpo su una superficie inclinata (se si tratta
di moto verso l’alto).
Alla stessa conclusione si perviene immaginando il moto di un corpo immerso in un gas piuttosto
che un liquido.

Diciamo dunque che la resistenza all’avanzamento delle cariche nel mezzo conduttore, a parità di
differenza di potenziale applicata, agisce da limite alle velocità raggiunte dalle cariche e,
considerando che dalla velocità di deriva dipende il numero di cariche che riescono ad attraversare
una sezione, è quindi da considerarsi una variabile in grado di influenzare l’intensità di corrente.

La conclusione ovvia di tale introduzione è la seguente:

L’intensità di corrente “ i ”, fluente nel circuito di collegamento esterno al generatore, deve
essere direttamente proporzionale al valore della “DIFFERENZA DI POTENZIALE VD”
applicata ai capi, ed inversamente proporzionale al valore di una costante “ R “,
caratteristica della morfologia e della geometria dei componenti che costituiscono in circuito
stesso e che, in qualche modo, rappresenta la resistenza del mezzo all’avanzamento delle
cariche elettriche.

Detta costante sarà, d’ora in avanti definita, “RESISTENZA DEL CIRCUITO”.

Tale risultato, peraltro confermato dalla sperimentazione, è espresso da una legge definita “LEGGE
DI OHM” in onore al fisico Georg Ohm cui si deve la scoperta e la formulazione:

R
V
i
D
LEGGE DI OHM >@1 CORRENTE

L’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla tensione ed inversamente
proporzionale alla resistenza R.

Se si misura con un amperometro l’intensità di corrente e con un voltmetro da differenza di
potenziale applicata ai capi del circuito, è quindi possibile determinare analiticamente il valore di R
caratteristico del circuito:

i
V
R
D
LEGGE DI OHM >@2 RESISTENZA

Oppure:

iRV ? D LEGGE DI OHM >@3 CADUTA DI TENSIONE

UNITA’ DI MISURA DELLA RESISTENZA – GRANDEZZE FONDAMENTALI
Utilizzando ora la legge di Ohm nella sua forma >@2 risulta possibile stabilire le unità con cui
misurare il valore della resistenza del circuito o di alcune sue parti.
Considerando che la tensione VD(o differenza di potenziale) è misurata in Volt (V) e che la
corrente è misurata in Ampere (A), si ottiene di conseguenza:

327
() ()W??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
D

Ampere
Volt
i
V
R
L’unità di misura della resistenza è definita “OHM” ed il simbolo che lo rappresenta è W.

Un circuito o una parte di circuito ha una resistenza ()W 1R quando, per effetto di una
differenza di potenziale ()V1V D , circola un’intensità di corrente pari a ()A1i .
In termini di grandezze fondamentali la resistenza R si esprime con:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
????
32
2
2
2
ti
LM
ti
L
t
L
M
A
1
sA
mN
A
1
C
J
A
V
R
Multipli e sottomultipli dell’unità di misura della RESISTENZA sono:
1 mega-ohm ( )WM = ()W
6
10
1 chilo-ohm ()Wk = ()W
3
10
1 milli-ohm ( )Wm = ()W
3
10
1 micro-ohm ()Wm = ()W
6
10

In molti casi può essere opportuno identificare il conduttore con l’inverso della resistenza elettrica
cui è dato il nome di “CONDUCIBILITA’ ELETTRICA O CONDUTTANZA OHMICA” e che
rappresenta la facilità con cui il conduttore si lascia attraversare dalla corrente elettrica.
La “conduttanza” è rappresentata dal simbolo G:

V
i
R
1
G
D

Le unità di misura della conduttanza sono quelle inverse della resistenza:

()
11
V
A
G

W??
?
?
?
?
?
W
??
?
?
?
?
?
?

L’unità di misura della Conducibilità elettrica è il SIEMENS definito anche “Ohm
reciproco”:
()
()
()
()V1
A1
1
1
S1
W

SIMBOLOGIA DA ADOTTARSI PER RAPPRESENTARE LA RESISTENZA OHMICA.
La resistenza R offerta dai vari dispositivi e dai conduttori presenti in un circuito elettrico è
solitamente rappresentata graficamente mediante la seguente simbologia:

328
VA VB
VA VB
RESISTENZA FISSA
RESISTENZA VARIABILE
i
C
Ci

R 14 – 30/4 – SIMBOLOGIA PER LA RESISTENZA E I RESISTORI – FISSI E VARIABILI

LA LEGGE DI OHM ESTESA AI VARI TRATTI DI CIRCUITO.
Quanto esposto in precedenza si riferisce a tutto il circuito elettrico, semplice o complesso, i cui
terminali sono collegati ai poli del generatore.
La costante R – o resistenza ohmica – deve essere necessariamente una caratteristica dell’intero
circuito e quindi dipendente dalla resistenza che ogni tratto ed ogni dispositivo ad esso associato,
considerato singolarmente, offre al passaggio della corrente stazionaria.
Si intende “stazionaria” una corrente elettrica caratterizzata da intensità costante nel tempo.
Ogni tratto di filo conduttore, ogni organo utilizzatore ed ogni dispositivo costituente il circuito,
contribuisce in qualche modo a determinare la resistenza complessiva dello stesso.

Tutto funziona allo stesso modo di un tubo percorso da una corrente liquida – sospinta da una
pompa o semplicemente dalla forza gravitazionale – sul quale sono inseriti, o uno dopo l’altro o in
parallelo, un certo numero di valvole o rubinetti di regolazione.
Ogni valvola di regolazione, opportunamente manovrata in apertura o chiusura, consente di regolare
sia la quantità che la pressione della corrente liquida.
La regolazione delle valvole in apertura o chiusura corrisponde, rispettivamente, a diminuire o
incrementare la resistenza all’avanzamento del liquido.
Alla fine, però, regolate tutte le valvole e stabiliti tutti i diametri delle tubazioni di collegamento, la
portata di fluido risulta completamente determinata in funzione della pressione esercitata dalla
pompa.
La resistenza R, opposta dal circuito idraulico, assume un valore fisso e la quantità di liquido in
circolazione ne è una diretta conseguenza.
E’ ovvio che la completa chiusura di una sola delle valvole di regolazione equivale ad incrementare
ad un valore infinito la resistenza del circuito ed impedire la circolazione del liquido.

Il funzionamento di un circuito elettrico è analogo a quello di un circuito idraulico.
Una volta determinata la resistenza elettrica R complessiva del circuito (si utilizza solitamente il
metodo volt-amperometrico misurando il valore della tensione ai capi del circuito e il valore

329
dell’intensità di corrente elettrica circolante) risulta poi possibile determinare la resistenza di ogni
singolo dispositivo.
Occorre inoltre tenere presente che la tensione ai capi del circuito è il risultato della somma delle
tensioni applicate ai capi dei vari resistori per permettere in ognuno il passaggio della corrente
stazionaria.
In altre parole:

Ogni tratto o dispositivo del circuito, preso singolarmente, provoca un abbassamento di
potenziale, comunemente definito “CADUTA OHMICA DI TENSIONE”, che è
direttamente proporzionale al valore caratteristico della resistenza e dell’intensità di
corrente. La somma di tutte le “cadute ohmiche” lungo il circuito deve corrispondere alla
tensione applicata dal generatore ai capi del circuito.
Ad ogni caduta ohmica è applicabile la legge di Ohm.
Ciò si può esprimere in modo analitico con la seguente relazione (per resistori in serie):

BN32211AAB
V...................VVVV

D+D+D+D D

Con:
iRV
CAB
? D Tensione applicata dal generatore ai capi del circuito ()V
C
R Resistenza complessiva circuito ()W
i Corrente stazionaria ()A
1A
V

D Caduta di tensione ohmica sul primo resistore ()V
BN
V

D Caduta di tensione ohmica sull’ultimo resistore ()V
Le varie cadute ohmiche sono trattate singolarmente con la legge di Ohm, perciò:
iRV
11A
? D

iRV
221
? D

.
iRV
NBN
? D

Si può quindi pensare di visualizzare quanto detto utilizzando uno schema standard come il
seguente:

330
VA VB
G
+ -
VB
21 3 4 5 6 7 8 9 10
AV VB
VABVA
2V
V1
V8
4V
V5
V6
7V
3V
V9
10V
c c c c c c
R
12 43R
56R 78R
9/10R

R 14 – 31/4 – CADUTE OHMICHE DI TENSIONE SU CIRCUITO ESTERNO DI CONDUTTORI E RESISTORI

VA VB
VB
21 3 4 5 6 7 8 9 10
VABVA
2V
V1
V8
4V
V5
V6
7V
3V
V9
10V
c c c c c c
R
12 43R
56R
78R
9/10R
c
V34= R i
34

R14 – 32/4 – CIRCUITO SCHEMATIZZATO CON RESISTENZE DOVUTE AI CONDUTTORI ED UTIULIZZ.

ESEMPIO:
I capi di un circuito elettrico sono collegati ad un generatore di tensione. La lettura della differenza
di potenziale ai capi è eseguita con un volmetro collegato in parallelo al circuito, mentre, la misura
dell’intensità di corrente circolante è eseguita con un amperometro collegato in serie al circuito
stesso.
La differenza di potenziale (tensione) risulta essere ( )Volt150VVV
BA
D e la corrente
elettrica è stazionaria ed ha un’intensità ( )Ampere3i .
Si determini la resistenza complessiva del circuito.

331
Sapendo che il circuito è costituito da quattro utilizzatori (resistenze elettriche concentrate) e da
cinque tratti di cavo conduttore che collegano tra loro gli utilizzatori e i capi del generatore e
supponendo che tali resistenze e conduttori abbiano i seguenti valori:
()W 10R
1
()W 5R
2
()W 20R
3
()W 10R
4
()W 5,2R
1C
()W 3,0R
2C
()W 5,0R
3C
()W 2,0R
4C
()W 5,1R
5C
Determinare i valori delle differenze di potenziale o tensione al capo iniziale e terminale di ciascuno
dei nove resistori.

Soluzione:
La resistenza elettrica complessiva nel circuito è determinata dall’applicazione della legge di Ohm
tra il capo iniziale e terminale del circuito utilizzando i dati delle letture Volt-Amperometriche:

()
()
()W
D
50
A3
V150
i
V
R
T

I valori delle differenze di potenziale che risulterebbero da una misurazione volumetrica tra i due
capi di ogni resistore, sia utilizzatore che conduttore, e con l’ipotesi che ogni utilizzatore sia
collegato a quello successivo con un tratto di cavo, sarebbero le seguenti:
()() ( )Vo lt5,7A35,2iRV
1C1CA
?W ? D

()() ( )Vo lt30A310iRV
11R1C
?W ? D

()() ( )Vo lt9,0A33,0iRV
2C2C1R
?W ? D

()() ( )Vo lt15A35iRV
22R2C
?W ? D

()() ( )Vo lt5,1A35,0iRV
3C3C2R
?W ? D

()() ( )Vo lt60A320iRV
33R3C
?W ? D

()() ( )Vo lt6,0A32,0iRV
4C4C3R
?W ? D

()() ( )Vo lt30A310iRV
44R4C
?W ? D

()() ( )Vo lt5,4A35,1iRV
5C5C4R
?W ? D

( )? D D Volt150VV
AB

332
ESERCIZI
PRIMA LEGGE DI OHM

Esercizio 1:
Determinare il valore dell’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza pari a
()W 3R , quando ai suoi capi è applicata una tensione ()V24E .

Soluzione:
Utilizzando la legge di Ohm si ottiene:
i
E
i
V
R
D

??
( )
( )
( )Ampere8
Ohm3
Vo lt24
R
E
i

Esercizio 2:
Calcolare la tensione esistente ai capi di un apparecchio utilizzatore sapendo che in esso circola una
corrente ()A3i e che presente una resistenza ?
?
?
?
?
?

A
V
5R .

Soluzione:
Dalla legge di Ohm:
i
E
i
V
R
D

?? ()() ()V15A35iREV ?W ? D

Esercizio 3:
Calcolare la resistenza di un circuito in cui circola una corrente ()A20i quando ai suoi capi è
applicata una tensione di 1.000 (V).

Soluzione:
Dalla legge di Ohm:
i
E
i
V
R
D

??
()
()
()W 50
A20
V000.1
R

Esercizio 4:
Determinare la tensione esistente ai capi di un’apparecchiatura percorsa da una corrente ()A25i e
che presenta una resistenza ()W 5R . E se l’apparecchiatura avesse una resistenza doppia e fosse
percorsa da una corrente di intensità tripla della precedente, a quale valore si porterebbe la tensione
esistente ai suoi capi ?

Soluzione:
Dalla legge di Ohm:

333
i
E
i
V
R
D

?? () () ()V125A255iREV ?W ? D

Se la resistenza fosse doppia e l’intensità di corrente tripla:

?? ()() ()V750A7510i3R2EV ?W ??? D

Esercizio 5:
Ai capi di un conduttore è applicata la differenza di potenziale di 18 V. Determinarne la resistenza,
sapendo che esso è attraversato da una corrente di intensità ()A1027i
3
ì .

Soluzione:
Dalla legge di Ohm:
i
V
R
D

??
()
()W ?
ì

66710
3
2
1027
V18
R
3
3

Esercizio 6:
Qual è l’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza ()W k200R , quando si
applica ai suoi estremi una differenza di potenziale di 500 V ?.

Soluzione:
Dalla legge di Ohm:
R
E
R
V
i
D

??
()
()
()A105,2
10200
V500
i
3
3

ì
Wì

Esercizio 7:
Qual è l’intensità di corrente che percorre un conduttore di resistenza ()W k200R , quando si
applica ai suoi estremi una differenza di potenziale di 500 V ?.

334
LA SECONDA LEGGE DI OHM – CONDUTTIVITA’ E RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI
Si consideri ora un conduttore cilindrico di lunghezza L e di sezione S (solitamente i conduttori
cilindrici, denominati “cavi conduttori”, sono caratterizzati da una lunghezza L molto
preponderante rispetto alle dimensioni della sezione circolare).
Se il conduttore è collegato ai capi del generatore che applica una differenza di potenziale VD, si
avrà una circolazione di corrente la cui intensità è data dalla prima legge di Ohm:
R
V
i
D
()A
Tenendo conto della definizione di “densità di corrente” vista precedentemente:
W

i
S
i
J ?
?
?
?
?
?
2
m
A

Si può ottenere il valore dell’intensità da:

SJi?

Confrontando il valore dell’intensità di corrente ottenuto dalla prima legge di Ohm con
quello ottenuto dalla conoscenza della densità e della sezione del conduttore, si ottiene:

iSJ
R
V
i ?
D

Per cui:
SJ
R
V
?
D
()()Am
m
A
2
2
??
?
?
?
?
?
>@1

Se poi si considera che, nella maggioranza dei casi, la sezione del conduttore cilindrico si
mantiene costante per tutta la lunghezza, si potrà facilmente intuire (anche tenendo presente
le rappresentazioni delle cadute ohmiche di tensione illustrate in precedenza) che
l’abbassamento del potenziale interno è costante per ogni tratto di conduttore di pari
lunghezza.
Ciò è esattamente analogo a quello che succede nello spazio di lunghezza d compreso tra le
armature di un condensatore.
Ciò significa che il valore del campo elettrico E, in tutti i punti interni al conduttore e per
tutta la sua lunghezza, deve essere costante e che la differenza di potenziale VD tra le
estremità risulta definita dalla relazione:

LEV ? D ()m
m
V
??
?
?
?
?
?
>@2

Occorre qui considerare che con il simbolo E è utilizzato per rappresentare il campo elettrico
e non la tensione ai capi del circuito.
Riprendendo ora la relazione
i
V
E
c
ci
ic
G
+-
ABV
(A)
(A)
(Volt)
f.e.m.
e tenendo presente la relazione
VA VB
VB
21 3 4 5 6 7 8 9 10
VABVA
2V
V1
V8
4V
V5
V6
7V
3V
V9
10V
c c c c c c
R
12 43R
56R
78R
9/10R
c
V34= R i
34
, si ottiene:
R
V
SJ
D
?
?
R
LE
SJ
?
?
? E
SR
L
SR
LE
J ??
?
?
?
?
?
?

?
?

335
La densità di corrente all’interno di un cavo conduttore di sezione costante dipende dunque in modo
direttamente proporzionale sia dal valore del campo elettrico sia dal termine contenuto in parentesi
?
?
?
?
?
?
?SR
L
.
Fissati che siano la lunghezza L, la sezione S e la resistenza R del conduttore, allora il termine non
può che essere costante ed è comunemente definito “CONDUTTIVITA’ ELETTRICA DEL
MATERIALE”:

s ?
?
?
?
?
?
?SR
L
CONDUTTIVITA’ ELETTRICA DEL MATERIALE

A parità di lunghezza L e sezione S, la “conduttività” di un cavo conduttore dipende unicamente
dalle caratteristiche del reticolo cristallino del materiale con il quale è realizzato, che determina
dunque la sua resistenza complessiva R.
La conduttività elettrica del materiale è misurata da:

( )
11
2
m
m
m
SR
L

?W??
?
?
?
?
?
?W
???
?
?
?
?
?
?
?s

Se però si tiene conto del fatto che la lunghezza L è preponderante rispetto al valore dalla
sezione S e che, solitamente, l’area della sezione (quasi sempre circolare) è compresa tra
alcune unità e alcune decine di millimetri quadrati, si utilizza convenzionalmente il seguente
sistema:
( )mmm
mm
m
SR
L
21
2
??W??
?
?
?
?
?
?W
???
?
?
?
?
?
?
?s

RESISTENZA TOTALE – RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA’
Con l’introduzione del concetto di “conduttività elettrica” di un “cavo conduttore”, risulta possibile
determinarne la “RESISTENZA TOTALE” – cioè la resistenza opposta al passaggio di corrente
elettrica – utilizzando la formula inversa:

S
L
R
?s

Con R si intende la resistenza – espressa in Ohm – di un cavo conduttore avente lunghezza L
(espressa in metri) e sezione S (espressa in millimetri quadrati) realizzato con un certo
materiale avente una “resistenza specifica o resistività” pari all’inverso della conduttanza
specifica.

E’ definita “ RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA ” la resistenza (espressa in Ohm)
di un cavo conduttore realizzato con un certo materiale, avente sezione unitaria ( )
2
mm1S
e lunghezza unitaria pari a ()m1L .
Si utilizza solitamente il simbolo r:
?
?
?
?
?
?
?
??W
??r
m
mm
2
RESISTENZA SPECIFICA O RESISTIVITA’

La resistenza totale R risulta quindi determinata da una relazione denominata “ 2° LEGGE
DI OHM “:

336

S
L
R ?r
()
( )
()W??
?
?
?
?
?
?
?
??W
2
2
mm
m
m
mm
2° LEGGE DI OHM >@3

L’inverso della “ Resistività “ è invece definito “Conduttanza specifica o conduttività” ed è
indicato con il simbolo g:
r
g
1
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?W
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?W
?
222
mm
mS
mm
m
m
mm
1

Misure sperimentali volt-amperometriche su campioni di lunghezza e sezione note, permettono di
determinare la resistività e la conduttività dei materiali più comunemente impiegati per la
realizzazione dei circuiti elettrici.

Per temperatura pari a 0° C, i valori della resistività e conduttività sono i seguenti:

TABELLA RESISTIVITA’ E CONDUTTIVITA’ ALLA TEMPERATURA DI 0° C

Sostanza

Resistività:
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
2

Conduttività:
?
?
?
?
?
?
?
g
2
mmS
m

a
?
?
?
?
?
?
èC
1

Acciaio 0,15 6,66 +0,0048
Ambra
20
105ì
21
102

ì
-
Alluminio 0,028 35,71 +0,004
Argentana (Cu,Zn,Ni) 0,37 2,70 +0,00017
Argento 0,015 66,66 +0,0017
Bachelite
15
101ì
15
101

ì
-
Bronzo 0,020 50 +0,004
Bronzo fosforoso 0,060 16,70 +0,004
Carbone 45 0,022 -0,0005
Carbone per spazzole 20-100 0,01-0,05 -0,0005
Carbone per archi 50-90 0,011-0,02 -0,0005
Carta
1613
1010
1316
1010

-
Celluloide
14
102ì
15
105

ì
-
Costantana (Cu, Ni) 0,49 2,04 +0,000008
Ebanite
22
10
22
10

-
Ferro 0,13 7,70 +0,0048
Ferro-Nichel 0,90 1,10 +0,0008
Ghisa 0,90 1,10 -
Grafite 12 0,083 -
Gomma
20
10
20
10

-
Manganina (Cu, Mn, Ni) 0,45 2,22 +0,00001
Marmo
13
10
13
10

-
Mercurio 0,94 1,06 +0,0009

337
Mica
20
10
20
10

-
Nichel 0,104 9,61 +0,0056
Nichel-cromo 1,00 1,00 +0,0001
Ottone 0,085 11,76 +0,0015
Oro 0,021 47,62 +0,0036
Paraffina
21
10
21
10

-
Platino 0,10 10 +0,0036
Piombo 0,21 4,76 +0,0039
Porcellana
17
10
17
10

-
Politene
23
10
23
10

-
Quarzo
22
105u
23
102

u
-
Rame commerciale 0,017 58,83 +0,0043
Rame elettrolitico 0,016 62,53 +0,0040
Silicio 0,58 1,72 -
Tungsteno 0,055 18,18 +0,0042
Vetro
18
10
18
10

-
Zinco 0,06 16,70 +0,0038
Soluzioni elettrolitiche
94
1010
49
1010

-
Stagno 0,11 9,10 +0,0045

338
ESERCIZI
2° LEGGE DI OHM – RESISTIVITA’ DEI CONDUTTORI

Esercizio 1:
Determinare la resistenza elettrica di un filo di rame lungo 100 m ed avente un diametro di 1 mm.
Si tratta di rame commerciale.

Soluzione:
Si utilizza la seconda legge di Ohm tenendo presente che la resistività del rame commerciale è
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
017,0
2
.
Occorre prima calcolare l’area della sezione del filo:
4
d
rS
2
2 ?p
?p
?
( )
( )
2
22
mm
44
mm1
S
p

?p

La resistenza R del filo è data da:
()
( )
()W
p
?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 16,2
mm
4
m100
m
mm
017,0
S
L
R
2
2

Esercizio 2:
Quale resistenza presenta un conduttore di nichel lungo 20 m e avente sezione quadrata con lato di
2 cm?.

Soluzione:
Con la seconda legge di Ohm e tenendo presente la resistività del nichel:
()
() ()
()Wì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
3
2
102,5
mm20mm20
m20
m
mm
104,0
S
L
R

Esercizio 3:
Determinare il lato di un conduttore a sezione quadrata avente resistenza ()W 25R , sapendo che è
lungo 80 m e che è costituito da un materiale di resistività pari a
?
?
?
?
?
?
?
??W
ì r

m
mm
105,3
2
2
.

Soluzione:
S
L
R ?r
?
R
L
S ?r
?
R
L
d
2
?r
?
R
L
d ?r ?
()
()W
?
?
?
?
?
?
?
?
??W
ì

25
m80
m
mm
105,3d
2
2

? ( )
2
mm112,0d

339

()mm334,0d

Esercizio 4:
Un filo di platino, lungo 1 metro, presenta una resistenza ()W 40R . Determinare il peso del filo
sapendo che la densità del platino è ?
?
?
?
?
?

3
cm
g
4,21d .

Soluzione:
Occorre innanzi tutto determinare la sezione del filo con la seconda legge di Ohm:
S
L
R ?r
R
L
S ?r
()
()
( ) ( )
2523
2
cm105,2mm105,2
40
m1
m
mm
1,0S

ì ì
W
?
?
?
?
?
?
?
?
??W

Con la sezione del filo, la lunghezza, la densità e il valore dell’accelerazione gravitazionale, si
determina il peso del filo:

( ) () ( )
3325
cm105,2cm100cm105,2LSV

ì ?ì ?
( ) ()g1035,5cm105,2
cm
g
4,21Vdm
233
3

ì ì??
?
?
?
?
?
?
() ()N1025,5
kg
N
81,9
kg
g
000.1
1
g1035,5gmP
42
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?ì ?

Esercizio 5:
Determinare la resistenza di un conduttore di alluminio avente sezione ( )
2
mm8S e lungo 25 m.
Se invece il conduttore fosse di rame, quale lunghezza dovrebbe avere se si volesse mantenere la
stessa sezione e resistenza?

Soluzione:
Si determina la resistenza del conduttore d’alluminio:
()
( )
()Wì ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
2
2
2
AlAl
1075,8
mm8
m25
m
mm
028,0
S
L
R
Con la resistività del rame e la resistenza calcolata si determina la lunghezza incognita:
Al
Cu
CuCu
R
S
L
R ?r
()( )
()m18,41
m
mm
017,0
mm81075,8SR
L
2
22
Cu
Al
Cu

?
?
?
?
?
?
?
??W
?Wì

r
?

Esercizio 6:
Un filo lungo 10 m, di sezione ( )
2
1
mm3S , presenta una resistenza ()W 25R
1 . Un filo,
costituito dello stesso materiale, di sezione ( )
2
2
mm10S , presenta una resistenza ()W 15R
2 .

340
Determinare la lunghezza del secondo filo.

Soluzione:
1
1
1
S
L
R ?U
1
11
L
SR?
U

m20
mm325
m10mm1015
SR
LSRSR
L
2
2
11
12222
2

?:
??:

?
??

U
?

Esercizio 7:
Una resistenza di alluminio lunga 3 m e di sezione
2
mm2S , deve essere sostituita con una di
ferro di sezione
2
mm3S .
Determinare la lunghezza del filo di ferro affinché la resistenza rimanga invariata:

Soluzione:
Dalla seconda legge di Ohm applicata alle due resistenze in filo conduttore:
Fe
Fe
Fe
Fe
Al
Al
AlAl
R
S
L
S
L
R ?U ?U

m97,0
m
mm
13,0mm2
mm3m3
m
mm
028,0
S
SL
L
2
2
2
2
FeAl
FeAlAl
Fe

?
?
?
?
?
?
?
??:
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??:

U?
??U

Esercizio 8:
La resistenza di un filo è : 50R . Quale sarebbe la resistenza se si ripiegasse il filo su se stesso
per 10 volte. Cioè se riducessimo la lunghezza a 1/10 e ne facessimo un conduttore unico?.

Soluzione:
Ripiegando il filo e riducendo la lunghezza ad 1/10 di quella originale si aumenta di 10 volte la
sezione, perciò, applicando la legge di Ohm si ottiene:
: ?U 50
S
L
R
1
: ?: ??
?
?
?
?
?
?U
?
?U
?
?U 5,0
100
1
50
100
1
S
L
S100
L
10S
10
L
R
2

Esercizio 9:
Un filo metallico ha una resistenza : 3R
1 , è lungo 25 m ed ha una sezione
2
1
mm3S .
Determinare la resistenza di un altro filo dello stesso materiale lungo 100 m e di sezione

2
2
mm1S .

341
Soluzione:
()W ?r 3
S
L
R
1
1
11
2
2
12
S
L
R ?r
?
12
12
1
2
LS
SL
R
R
?
?

?
()( )
( )()
() ()W W?
?
?
?
?
?
363
m25mm1
mm3m100
R
LS
SL
R
2
2
1
12
12
2

Esercizio 10:
Determinare la resistenza di una bobina (filo conduttore avvolto su un supporto cilindrico) avente
diametro di 5 cm, costituita da 200 spire di zinco con sezione ( )
2
mm2S .

Soluzione:
S
L
R
Zn
?r
Con:
( ) ( ) ( ) ()m4,31spire200
spira
m
025,02spire200r2L ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p? ??p?
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
94,0
mm2
m4,31
m
mm
06,0R
2
2
Bob

Esercizio 11:
Due fili, uno di ferro e l’altro di costantana, aventi la stessa lunghezza, hanno la stessa resistenza.
Se il primo ha un diametro di 5 mm, quale sarà il diametro del secondo filo ?

Soluzione:
Cs
2
Cs
Cs
2
Fe
FeFe
R
4
d
L
4
d
L
R
?p
?r
?p
?r
?
2
Cs
Cs
2
Fe
Fe
d
L4
d
L4
?p
?
?r
?p
?
?r
( ) ( )mm71,9
13,0
49,0
mm5d
d
d
Fe
Cs
Fe
Fe
2
FeCs
Cs
?
r
r
?
r
?r

Esercizio 12:
Un filo di nichel-cromo lungo 2,5 m, con sezione ( )
2
mm2S , è percorso da una corrente di 15
(A). Determinare la differenza di potenziale (tensione) applicata ai suoi capi.

Soluzione:
Si determina la resistenza del filo:

342
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 25,1
mm2
m5,2
m
mm
00,1
S
L
R
2
2

Applicando poi la prima legge di Ohm. Si determina la tensione:
i
V
R
D

()() ()V75,18A1525,1iRV ?W ? D
() ()V75,18A15
A
V
25,1iRV ??
?
?
?
?
?
? D

Esercizio 13:
Attraverso la sezione di un conduttore passa in 1 secondo la carica di 3 (C). Sapendo che il
conduttore è costituito da un filo di argentana di sezione ( )
2
mm3S e lunghezza 5 (m),
determinare la differenza di potenziale applicata ai suoi capi.

Soluzione:
Si determina la resistenza del conduttore:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 62,0
mm3
m5
m
mm
37,0
S
L
R
2
2
Ar

Si determina l’intensità di corrente:
()
()
()A3
s1
C3
t
Q
i
Si determina infine la tensione:
() ()V86,1A3
A
V
62,0iRV ??
?
?
?
?
?
? D

Esercizio 14:
Una rotaia di acciaio di un tram ha una sezione ( )
2
cm56S . Determinare la resistenza di una
rotaia avente lunghezza di 10 (km). La resistività dell’acciaio è
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
15,0
2
Acc .

Soluzione:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 27,0
mm600.5
m000.10
m
mm
15,0
S
L
R
2
2
Acc
()m000.10L
( ) ( )
2
2
2
2
mm600.5
cm
mm
100cm56S
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 15:
Determinare la resistività del materiale costituente un filo conduttore di diametro 1 (mm), lunghezza
2 (m) e resistenza pari a ()W m50R .

Soluzione.
S
L
R ?r

343
()( )()
()
( )() ( )m102m105
m
1025
m2
mr1050
L
SR
82
2
43
223
?Wì ??p??
?
?
?
?
?W
ì
?p?Wì

?
r

Tale resistività, espressa in m?W corrisponde a:

()( )( )
()
?
?
?
?
?
?
?
??W
#
?p?Wì

?
r

m
mm
02,0
m2
mm5,01050
L
SR
2223

Per convertire una resistività con sezione espressa in
2
mm nella corrispondente resistività
espressa in m?W, occorre dividere per il fattore
6
10

(passare dai millimetri quadrati ai
metri quadrati).

Esercizio 16:
Due conduttori sono realizzati con lo stesso materiale ed hanno la stessa lunghezza. Il conduttore A
è un cavo pieno di diametro 1 (mm). Il conduttore B è un tubo di diametro esterno pari a 2 (mm) e
diametro interno pari a 1 (mm). Determinare il rapporto tra le resistenze
B
A
R
R
dei due conduttori.

Soluzione:
A
A
S
L
R ?r
B
B
S
L
R ?r
( )
75,0
1
5,01
r
rr
S
S
R
R
2
22
2
A
2
I
2
E
A
B
B
A

?p
?p?p

Esercizio 17:
A un cavo di rame e uno di ferro di uguale lunghezza è applicata la stessa differenza di potenziale.
Quale deve essere il rapporto dei loro raggi affinché la corrente sia la stessa? Si può rendere uguale
la densità di corrente con un’oculata scelta dei raggi?

Soluzione:
Affinché l’intensità di corrente sia la stessa nei due cavi per effetto della stessa tensione occorre che
i due cavi abbiano la stessa resistenza elettrica. Perciò:
Fe
2
Fe
Fe
2
Cu
CuCu
R
r
L
r
L
R
?p
?r
?p
?r
36,0
13,0
017,0
r
r
Fe
Cu
Fe
Cu

r
r

Non è possibile che la densità di corrente possa essere uguale in quanto a parità di corrente
cambiano le sezioni.

Esercizio 18:
Una bacchetta quadrata di alluminio è lunga 1,3 (m) ed ha un lato di base 5,2 (mm). Determinare la
resistenza. Quale deve essere il diametro di una bacchetta cilindrica di rame avente la stessa
lunghezza e resistenza uguale a quella della bacchetta di alluminio?

Soluzione:
La resistenza della bacchetta di alluminio deve essere pari a quella cilindrica di rame:

344
Cu
Cu
Cu
AL
AlAl
R
S
L
S
L
R ?r ?r
Con i dati del problema:
Al
AlCu2
Cu
S
rS
r
?r
?p
Al
AlCu2
S
r
r?p
?r

( )
( )mm57,4
m
mm
028,0
mm2,5
m
mm
017,0
2
S
2d
2
22
2
Al
AlCu

?
?
?
?
?
?
?
??W
?p
?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?
r?p
?r
?

Esercizio 19:
Quando si applica la tensione di 115 (V) ai capi di un cavo di lunghezza pari a 10 (m) e di diametro
pari a 0,30 (mm), la densità di corrente risulta essere ?
?
?
?
?
?
ì
2
2
m
A
104,1J . Si determini la resistività
del cavo.

Soluzione:
Dalla densità di corrente e con il diametro del filo, è possibile determinare l’intensità totale di
corrente:
S
i
J
( )()
()A101
4
m103
m
A
104,1SJi
5
2
2
4
2
2

ì
ì?p
??
?
?
?
?
?
ì ?

Con l’intensità e la tensione si calcola la resistenza del filo:
()
()
()Wì
D

7
5
1015,1
A10
V115
1
V
R
Con il valore della resistenza e le caratteristiche del filo si determina infine la resistività:
S
L
R ?r
() ( )
()
?
?
?
?
?
?
?
??W
ì
?p
?Wì

?
r
m
mm
1012,8
m10
mm
4
3,0
1015,1
L
SR
2
4
2
2
7

Esercizio 20:
Per costruire una linea di trasmissione ad alta tensione che deve trasportare una corrente di 60 (A) si
prendono in considerazione il rame e l’alluminio. La resistenza per unità di lunghezza deve essere
?
?
?
?
?
?W

km
15,0R . Si calcoli, per ciascuno dei due materiali:
La densità di corrente
La massa di 1 (m) di cavo

345
Soluzione:
Dal valore di resistenza unitaria per ogni chilometro di cavo si ottengono i diametri:
R
L
4
d
S
Cu
2
Cu
?U
?S

mm65,11
15,0
m000.1
m
mm
016,0
2
R
L
2d
2
Cu
Cu

:?S
?
?
?
?
?
?
?
?
??:
?
?S
?U
?

mm42,14
15,0
m000.1
m
mm
028,0
2
R
L
2d
2
Al
Al

:?S
?
?
?
?
?
?
?
?
??:
?
?S
?U
?

La densità di corrente è data da:

?
?
?
?
?
?

?S
?

222
Cu
Cu
mm
A
56,0
mm65,11
4A60
S
i
J

?
?
?
?
?
?

?S
?

222
Al
Al
mm
A
37,0
mm42,14
4A60
S
i
J

Il peso di un metro di cavo è:
g954cm100
cm
mm
100
1
mm
4
65,11
cm
g
96,8Vdm
2
2
2
2
3
Cu
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?S
??
?
?
?
?
?
?
g440cm100
cm
mm
100
1
mm
4
42,14
cm
g
7,2Vdm
2
2
2
2
3
AlAl
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?S
??
?
?
?
?
?
?

346
INFLUENZA DELLA TEMPERATURA
SULLA RESISTENZA ELETTRICA DEI CONDUTTORI

La resistività specifica e, di conseguenza, la resistenza elettrica che, complessivamente, oppone un
conduttore al passaggio di corrente, varia in modo sensibile con il livello termico e con il tipo di
conduttore.
L’aumento di temperatura in un conduttore metallico è accompagnato dall’incremento di energia
interna, del grado di agitazione degli atomi e delle molecole e da un conseguente maggior numero
di urti tra gli elettroni in movimento di deriva ed il reticolo cristallino.
L’aumento di temperatura si traduce quindi, per i conduttori metallici, in una maggiore resistività e
resistenza.
Per i conduttori elettrolitici, l’aumento di temperatura provoca una maggiore percentuale di
dissociazione ionica e un conseguente, a parità di differenza di potenziale agli elettrodi, maggior
afflusso di cariche libere.
In altre parole, per un conduttore elettrolitico, l’aumento di temperatura equivale ad una
diminuzione di resistività.

CONDUTTORI METALLICI
I conduttori metallici (metalli e loro leghe) sono caratterizzati da una resistività
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
m
mm
2
2
e
crescente con la temperatura. Questo aumento di resistività è assai meno sensibile per le leghe
metalliche (ed in particolare per manganina, argentana, costantana, nichel-cromo) che non per i
metalli puri.
Se si costruiscono sperimentalmente i diagrammi che raffigurano la resistività dei conduttori
metallici in funzione della temperatura, si vede che entro un certo intervallo di temperatura (di cui si
specificheranno i limiti) tali diagrammi hanno un andamento sensibilmente lineare.
Per cui, prendendo come riferimento la temperatura di 0° C ed indicando con
0
r il corrispondente
valore della resistività, si ha che la resistività
t
r del metallo alla temperatura t, si può esprimere con
una relazione del tipo:

( )t1
0t
?a+?r r

Con:
t
r Resistività alla temperatura t
0
r Resistività alla temperatura di 0° C
a Coefficiente di temperatura ?
?
?
?
?
?
èC
1

Per la maggior parte dei metalli puri, il coefficiente di temperatura a ha un valore
approssimativamente uguale a:
273
1
a

Per cui si ha:
T
273273
t273
t
273
1
1
0
00t
?
r
?
?
?
?
?
?+
?r ?
?
?
?
?
?
?+?r r
T
T
0
0
T
?
r
r

347
Oppure:
1
2
1T2T
T
T
?r r
La resistività di un metallo puro è proporzionale alla sua temperatura assoluta.

Per le leghe metalliche ad alta resistività il coefficiente di temperatura ha valori molto più piccoli: in
particolare per la manganina esso vale 0,00001

Applicando la seconda legge di Ohm ad un conduttore metallico di lunghezza L e di sezione S ed
utilizzando la resistività in funzione della temperatura, si ottiene la resistenza in funzione della
temperatura:
( )
S
L
t1
S
L
0t
??a+?r ?r
?? ( )t1
S
L
R
0t
?a+??
?
?
?
?
?
?r
?? ( )t1RR
0t
?a+?
?? ?
?
?
?
?
?
?+? t
273
1
1RR
0t
?? ?
?
?
?
?
?+
?
273
t273
RR
0t
?? T
273
R
R
0
t
?
??
0
0
0
T
T
T
RT
273
R
R ? ?
Oppure:

1
2
1T2T
T
T
RR ?

Il coefficiente di temperatura a rappresenta l’aumento di resistenza del conduttore per ogni grado
di temperatura aumentato e per ogni ohm di resistenza iniziale.

Il campo di validità della relazione che prevede l’aumento o la diminuzione lineare della resistività
o della resistenza in funzione dei corrispondenti aumenti o diminuzioni di temperatura, è compreso
tra un limite inferiore che esclude le bassissime temperature (prossime allo zero assoluto) ed un
limite superiore che esclude le temperature che si avvicinano al punto di fusione del metallo.

In prossimità della temperatura assoluta )C273tK0T( è , la resistività e, di conseguenza
la resistenza, si annullano ed il metallo diventa un “conduttore perfetto” o
“SUPERCONDUTTORE”.
Al contrario, per temperature prossime al punto di fusione caratteristico, la resistività cresce più
rapidamente che con le temperature inferiori.

CONDUTTORI NON METALLICI
I conduttori non metallici (carbone, ossidi dei metalli alcalini e alcalino-terrosi) sono una particolare
categoria di conduttori solidi che si comportano in maniera anomala dal punto di vista della
resistenza elettrica, in quanto essa diminuisce con l’aumentare della temperatura.

348
Si può dire che, per tali conduttori, il coefficiente di temperatura a è negativo.

SOLUZIONI CONDUTTRICI O ELETTROLITI
Le soluzioni di acidi, basi e Sali hanno una resistività compresa tra i seguenti valori:
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
m
mm
10
2
4

?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
m
mm
10
2
9

Tali resistività decrescono sensibilmente all’aumentare della temperatura per effetto di una
maggiore dissociazione in ioni.

ISOLANTI
Per materiali solidi, liquidi o gassosi da considerarsi isolanti elettrici, la resistività è sempre
superiore a:
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
m
mm
10
2
12

C’è da notare che la resistività di mantiene effettivamente a valori elevatissimi solo fino ad una
temperatura di poco superiore a 100 °C.
Per temperature più elevate, infatti, essa decresce molto rapidamente, tanto che il materiale assume
caratteristiche elettriche che lo avvicinano più ad un conduttore che ad un isolante.

349
ESERCIZI
RESISTENZA E TEMPERATURA

Esercizio 1:
Un filo conduttore alla temperatura di 0°C presenta una resistenza : 5R . Determinare la sua
resistenza elettrica alla temperatura di 150 °C.
Si assume, come coefficiente di temperatura caratteristico del metallo, un valore pari a

1
C
273
1

q D

Soluzione:
Utilizzando la relazione:

t1RR
0t
?D?
?

?
?
?
?
?
?
q?q?

qq
C150C
273
1
1RR
1
C0C150
?

:
?
?
?
?
?
?
q?q?:

q
75,7C150C
273
1
15R
1
C150
Oppure la relazione ove si tiene conto della temperatura assoluta:
1
2
1T2T
T
T
RR ?
Con:
K273T
1

K423150273T
2

Si ottiene:

: ?: 75,7
K273
K423
5R
2T
Esercizio 2:
25 metri di filo di un certo materiale di sezione
2
mm5S presentano un resistenza : 25,0R
alla temperatura di 0 °C. Determinare la resistenza di un filo dello stesso materiale, di sezione

2
mm15S e di lunghezza 10 m, alla temperatura di 100 °C.
Soluzione:
Utilizzando la seconda legge di Ohm:
S
L
R
)C0()C0(
?U
qq

?
?
?
?
?
?
?
??:

?:

?
U
q
q
m
mm
05,0
m25
mm525,0
L
SR
22
C0
C0
Ricavando poi la resistività alla temperatura di 100 °C:

?
?
?
?
?
?
?
??:
?
?
?
?
?
?
?
?
??:
?U U
m
mm
068,0
273
373
m
mm
05,0
T
T
22
0
1
K273K373
E, di conseguenza, la resistenza a quella temperatura per il secondo filo:

:u ?
?
?
?
?
?
?
?
??:
?U

qq
2
2
2
1
1
)C100()C100(
105,4
mm15
m10
m
mm
068,0
S
L
R
Esercizio 3:

350
Calcolare la lunghezza di un filo di nichel avente un diametro di 2 mm, sapendo che alla
temperatura di 150 °C presenta una resistenza ()W 4R .

Soluzione:
Di determina la resistenza del filo alla temperatura di 0 °C:

( ) ( )
( )t1RR
C0C150
?a+?
èè
( )
( ) ()
()W
?+
W

?a+

è
è
17,2
1500056,01
4
t1
R
R
C150
C0
Si tiene conto del coefficiente di temperatura relativo al nichel sulla tabella allegata.
0056,0
Nichel
+ a

Con la seconda legge di Ohm e la resistività del nichel alla temperatura di 0 °C, si ottiene la
lunghezza del filo:
( ) ( ) ( )
2
C0C0C0
d
L4
S
L
R
?p
?
?r ?r
èèè
( )
( )
() ( )
()m52,65
4
m
mm
104,0
mm217,2
4
dR
L
2
2
C0
2
C0

?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?p?W

?r
?p?

è
è

Esercizio 4:
Una bobina (più spire circolari di filo conduttore – isolato elettricamente sulla superficie – avvolte
su un supporto solitamente cilindrico) è collegata elettricamente ai capi di un generatore che applica
ai terminali una tensione ()V200V D .
L’intensità di corrente risulta essere ()A4i mentre la temperatura della bobina si mantiene
costante ad un valore di 0 °C (273 K).
Dopo 1 ora la corrente assume un’intensità di 2 (A).
Supponendo che la tensione applicata sia rimasta costante, determinare la temperatura finale del filo
con l’ipotesi che il coefficiente di temperatura sia pari ( )
1
C0064,0

è a .

Soluzione:
La resistenza della bobina nelle condizioni iniziali di tensione, corrente e temperatura, è determinata
dalla legge di Ohm:
( )
()
()
()W
D

è
50
A4
V200
i
V
R
INIZ
C0

La resistenza finale alla temperatura incognita è ancora stabilita dalla legge di Ohm:
()
()
()
()W
D
100
A2
V200
i
V
R
F
TF

Applicando la relazione:

( ) ( )
( )t1RR
C0K.TF
?a+?
è

Si ricava la temperatura finale:

351

C0
TF
R
R
t1
q
?D

1
R
R
t
C0
TF
?D
q

C2,156
0064,0
1
1
50
1001
1
R
R
t
C0
TF
q ??
?
?
?
?
?

D
?
?
?
?
?
?
?
?
?

q

352

ESTENSIONE DELLA LEGGE DI OHM
ALL’INTERO CIRCUITO ELETTRICO
RESISTENZA INTERNA DEL GENERATORE
Sino ad ora si è considerato il caso di un circuito - costituito da cavi, dispositivi di comando,
resistenze ed utilizzatori resistivi - collegato ai capi di un generatore di tensione che applica
costantemente una differenza di potenziale (tensione) al circuito stesso.
Si intende come differenza di potenziale VD quella misurata tra i poli del generatore, mentre nel
circuito esterno circola la corrente.

Per il circuito esterno è dunque valida la legge di Ohm che è ora espressa dalla seguente relazione:
i
V
R
E
D

iRV
E
? D >@1
Con:
E
R Resistenza elettrica complessiva del circuito esterno ()W
VD Differenza di potenziale misurata ai capi del circuito ()V
i Intensità di corrente nel circuito ()A
D’altra parte si è anche detto che la tensione ai capi del generatore quando nel circuito esterno non
circola corrente 0i (interruttore aperto) è superiore a quella misurata con circolazione stazionaria
di corrente (interruttore chiuso).

La “tensione nominale del generatore” – detta anche “forza elettromotrice” o FEM (f.e.m.)” –
indicata solitamente con il simbolo E e rappresentata con un vettore diretto dal polo negativo a
quello positivo, è la differenza di potenziale che il generatore esercita ai suoi morsetti terminali per
effetto della sola polarizzazione interna e con il circuito esterno scollegato o aperto.
La “tensione nominale” è una caratteristica intrinseca ed è indicata chiaramente dai costruttori sulla
targhetta del generatore unitamente all’indicazione della polarità dei capi terminali e alla massima
intensità di corrente sopportabile.
+ -
E
f.e.m.
Generatore o batteria
= 12 V
E
i = 80 A
R = 0,2 i N

R 14 – 33/4 – GENERATORE DI TENSIONE CON INDICATA LA FEM, LE POLARITA’ E LA CORRENTE

353

La misurazione della tensione nominale si effettua con un voltmetro collegato in parallelo ai capi
del generatore e con circuito esterno aperto (il circuito interno del voltmetro presenta una resistenza
elevatissima e, di conseguenza, la corrente uscente dal generatore è quasi nulla).

Quando il circuito esterno è chiuso e la corrente circola sia nel circuito esterno che all’interno del
generatore, una frazione percentuale della tensione nominale è utilizzata per vincere le reazioni che
i conduttori interni al generatore (corpo) oppongono al passaggio di corrente.
Tale fenomeno riduce la tensione effettiva ai capi del generatore di una quantità – detta “caduta di
tensione ohmica interna” – esprimibile utilizzando la legge di Ohm:

iRV
IINT
? D
Con:
INT
VD Caduta ohmica interna al generatore
I
R Resistenza elettrica del corpo del generatore
i Corrente stazionaria nel generatore e nel circuito esterno

La tensione ai capi del generatore e del circuito esterno è quindi determinata da:

INT
V.m.e.fV D D
iREV
I
? D >@2

Se ora si confrontano le relazioni relative al valore della tensione sul circuito esterno >@1 e sul
generatore >@2, si ottiene la seguente equivalenza:

iRV
E
? D >@1
iREV
I
? D >@2

?? iRiRE
EI
? ?

Da cui si ottiene un’espressione della legge di Ohm valida per il circuito comprensivo del
tratto interno del generatore di tensione:

( )iRRiRiRE
IEIE
?+ ?+? LEGGE DI OHM PER L’INTERO CIRCUITO

IEIE
RR
.m.e.f
RR
E
i
+

+

Con:

E
R Resistenza circuito esterno

I
R Resistenza del generatore (caratteristica intrinseca)
.m.e.fE Tensione nominale a circuito aperto del generatore (caratteristica intrinseca)

354
+ -
E
Voltmetro
Generatore o batteria
= 12 V
E
i = 80 A
R = 0,2 i N
12 V = f.e.m.
Con circuito aperto
I
R
E
R
I
Voltmetro
Con circuito chiuso
Generatore o batteria
IR
+
I

E= 12 V
R = 0,2
i = 80 A
i N
-
R
E
i
i
(12 V - R i)
I
V

R 14 – 34/4 – GENERATORE DI TENSIONE – CIRCUITO CHIUSO – CADUTA OHMICA

355

ESERCIZI
ESTENSIONE LEGGE OHM ALL’INTERO CIRCUITO

Esercizio 1:
Determinare la f.e.m. di una pila sapendo che la sua resistenza interna è ()W 2,0R
I e che, chiusa
su un circuito avente resistenza ()W 8,3R
E , vi fa circolare una corrente di intensità ()A5,0i .

Soluzione:
Possiamo determinare la tensione che la pila applica al circuito esterno utilizzando la legge di Ohm:

iRV
E
? D
() () ( )Volt9,1A5,08,3V ?W D

Si può utilizzare ancora la legge di Ohm per determinare la caduta di tensione ai morsetti del
generatore per effetto del passaggio di corrente all’interno dello stesso:

iRV
IINT
? D
() () ( )Vo lt1,0A5,02,0V
INT
?W D

La tensione nominale della pila sarà quindi data dalla somma della tensione effettivamente applicata
ai capi del circuito, quando circola la corrente, e della caduta ohmica di tensione attraverso il corpo
del generatore:

INT
VVE.m.e.f D+D
( )Volt21,09,1.m.e.f +

Si perveniva allo stesso risultato applicando la relazione:

( )iRRE
IE
?+
( )() () ()V2A5,02,08,3E ?W+

Esercizio 2:
Determinare la resistenza interna di un generatore con f.e.m. pari a 25 (V), sapendo che,
chiudendolo su una resistenza esterna ()W 48R
E , questo è attraversato da un’intensità di corrente
pari a ()A5,0i

Soluzione:
La differenza di potenziale che il generatore applica al circuito esterno per determinare il passaggio
dell’intensità di corrente data, è:

() () ()V24A5,048iRV
E
?W ? D

Di conseguenza, la caduta ohmica intera è pari a:
()V12425VEV
INT
D D
Applicando la legge di Ohm alla caduta ohmica, si ottiene la resistenza interna:
iRV
IINT
? D

356
??
()
()
()W
D
2
A5,0
V1
i
V
R
INT
I

Allo stesso risultato si perveniva applicando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito:

( )iRR.m.e.fE
IE
?+
?
i
E
RR
IE
+
?
()
()
() ()W W 2485048
A5,0
V25
R
i
E
R
EI

Esercizio 3:
Un circuito è formato da un filo di manganina lungo 3 (m) e di sezione ( )
2
mm8,0S ed è
alimentato da una pila con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna ()W 4,0R
I . Calcolare l’intensità
della corrente e la tensione agli estremi del circuito esterno.
Resistività della manganina:
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
45,0
2

Soluzione:
Le caratteristiche del filo ci permettono di determinare la resistenza esterna del circuito.
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 69,1
mm8,0
m3
m
mm
45,0
S
L
R
2
2
E
La legge di Ohm estesa a tutto il circuito elettrico ci permette di determinare l’intensità di corrente:

( )iRR.m.e.fE
IE
?+
()
() ()
()A86,0
4,069,1
V8,1
RR
E
i
IE

W+W

+

La tensione applicata al filo dalla pila è quindi data dalla differenza tra la forza elettromotrice e la
caduta ohmica interna:

() () () ()V46,1A86,04,0V8,1iREV
i
?W ? D

Esercizio 4:
Un circuito elettrico è alimentato da un generatore la cui f.e.m. vale 50 (V). Il circuito, in cui circola
una corrente di intensità ()A2i , è costituito da un filo avente resistenza ()W 7R
E .
Determinare la caduta di tensione interna al generatore.

Soluzione:
Con la resistenza del circuito esterno e l’intensità di corrente, si determina la differenza di
potenziale realmente applicata dal generatore ai capi del filo:

()() ()V14A27iRV
E
?W ? D

La caduta di tensione interna al generatore è quindi data dalla differenza tra la forza
elettromotrice e la tensione effettiva:

357
()V361450V.m.e.fV
INT
D D

Esercizio 5:
Collegando una pila con una resistenza esterna da ()W2 si ottiene una corrente di ()A1 mentre, se
si collega con una resistenza da ()W1 si ottiene una corrente di ()A6,1 . Determinare la f.e.m. della
pila e la sua resistenza interna.

Soluzione:
Dalla legge di Ohm estesa ai due diversi circuiti, si ottiene:

( )
1I1E
iRRE ?+
( )
2I2E
iRRE ?+

Le due equazioni relative ai circuiti costituiscono un sistema a due incognite (la f.e.m. e la
resistenza interna).
Utilizzando il metodo di sostituzione si ottiene dunque:

( ) ( )
2I2E1I1E
iRRiRR ?+ ?+
Da cui:
2I22E1I11E
iRiRiRiR ?+? ?+?
( )
11E22E21I
iRiRiiR ?? ?
() ()()()
() ()
()W

?W?W

??
67,0
A6,1A1
A12A6,11
ii
iRiR
R
21
11E22E
I

La f.e.m. della pila si ottiene da una delle due relazioni iniziali:

( ) ( )()() ( )Volt67,2A167,02iRR.m.e.fE
1I1E
?W+ ?+

Esercizio 6:
La f.e.m. di una pila vale 1,8 (V) e la sua resistenza interna è di ()W 6,0R
I . Questa pila è
collegata ad un circuito di ()W 3R
E di resistenza.
Determinare l’intensità di corrente nel circuito e la d.d.p. agli estremi della pila.

Soluzione:
Sfruttando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito, si ottiene:
( )iRR.m.e.f
IE
?+
()
()
()A5,0
6,3
V8,1
RR
.m.e.f
i
IE

W

+

La differenza di potenziale ai capi della pila:

() () () ()V5,1A5,06,0V8,1iR.m.e.fV
I
?W ? D

358
ENERGIA E POTENZA
DELLA CORRENTE ELETTRICA – LEGGE DI JOULE

Come si è visto sino ad ora, il movimento di cariche in un circuito elettrico – cioè la corrente
elettrica – avviene solamente se ai capi del circuito stesso è applicata, da parte del generatore, una
differenza di potenziale VD.

Considerando però che i fenomeni fisici avvengono ed evolvono spontaneamente in modo tale da
mantenere l’equilibrio (principio dei vasi comunicanti – trasferimento di calore da corpi caldi a
corpi freddi ecc. ecc.) e ricordando che la differenza di potenziale altro non è che il risultato di uno
squilibrio di cariche elettriche, risulta evidente giungere alla conclusione che tale squilibrio può
esistere solamente nel caso in cui l’ambiente esterno provveda a fornire una certa quantità d’energia
per provocarlo e mantenerlo a discapito dei fenomeni naturali che tenderebbero invece ad opporsi.
Il generatore di tensione fornisce quindi l’energia sufficiente a polarizzare i suoi morsetti vincendo
le azioni naturali elettrostatiche contrarie.

Consideriamo il circuito sottostante dal punto di vista dell’energia posseduta dalla corrente elettrica.

VA VB
VB
21 3 4 5
6
7
8 9 10
VABVA
2V
V1
V8
4V
V5
V6
7V
3V
V9
10V
c c c c c c
R
12 43R
56R
78R
9/10R
c
V34= R i
34
1
2
3
4
5
6 7
8
9
10

R14 – 35/4 – CIRCUITO SCHEMATIZZATO CON RESISTENZE DOVUTE AI CONDUTTORI ED UTIULIZZ.

Il circuito in esame è costituito genericamente da n. 5 resistori (R) (possiamo dire resistenze
concentrate in uno spazio ridotto come, ad esempio, la resistenza di una stufetta elettrica) e da n. 5
cavi conduttori di collegamento (indicati con c).
Le estremità del circuito sono collegate ai morsetti di un generatore che applica agli stessi, un
differenza di potenziale
BA
VVV D .
Possiamo ancora dire, per precisare meglio, che la differenza di potenziale VDapplicata al circuito
è il risultato della differenza tra la forza elettromotrice (f.e.m. o tensione nominale) del generatore a

359
circuito aperto e la caduta ohmica di tensione nel generatore stesso per effetto del passaggio di
corrente a circuito chiuso:

iREiR.m.e.fV
II
? ? D

Come si vede dal grafico, le cadute ohmiche di tensione su ogni conduttore e su ogni resistore sono
variabili rispettivamente in funzione di:

Per i resistori:
Dal valore di resistenza caratteristica del resistore R e dal valore dell’intensità di corrente,
secondo quanto stabilito dalla prima legge di Ohm:
iRV
R
? D

Per i cavi di collegamento:
Dal valore della resistività specifica r del cavo, dalla lunghezza L, dalla sezione Se dal
valore dell’intensità di corrente i secondo quanto stabilito dalla seconda legge di Ohm
tenuto conto anche della prima:
i
S
L
V
C
??
?
?
?
?
?
?r D

La somma algebrica di tutte le cadute ohmiche non può che corrispondere alla differenza di
potenziale tra le estremità del circuito:

?D+?D D
CR
VVV

D’altra parte si è detto che tali abbassamenti di potenziale nei conduttori e resistori devono essere
considerati come rapporti tra la differenza di energia potenziale elettrostatica del campo elettrico tra
gli estremi e la quantità di carica q trasportata, in base alla legge:

q
W
V
R
R
D
D
q
W
V
C
C
D
D
Con:

R
WD Lavoro compiuto dal campo elettrico per trasportare la carica
da un estremo all’altro del resistore.
C
WD Lavoro compiuto dal campo elettrico per trasportare la carica
da un estremo all’altro del resistore.
q Carica trasportata

Si ricorda che ogni carica – positiva o negativa - inserita in un campo elettrico qualsiasi,
possiede energia potenziale elettrostatica in funzione della posizione occupata e
dell’intensità del campo.
Ad ogni spostamento della carica corrisponde quindi una variazione della quantità di energia
potenziale rispetto a quella inizialmente posseduta.
Tale variazione corrisponde al lavoro che la carica scambia con l’ambiente esterno e il suo
valore dipende dalla grandezza della carica.

360
Il rapporto tra la quantità di energia scambiata e la grandezza della carica – cioè la differenza
di potenziale – è però costante e dipende unicamente dalla posizione iniziale e finale.

Ma, a sua volta, il lavoro compiuto dal campo per trasportare le cariche può essere determinato,
come in meccanica, dal prodotto della forza per lo spostamento ove per forza si intende quella
elettrica e lo spostamento altro non è che lo spazio compreso tra i capi di ogni resistore o
conduttore:

SqESFW
E
?? ? D
( ) qVqSEW ?D ?? D

Quindi il lavoro complessivo occorrente per trasportare la carica q dal capo iniziale A del circuito a
quello finale B, non può che essere la somma dei lavori parziali:

qVqV..........qVqVqVW
6C5R2C1R1CTO T
?D+?D++?D+?D+?D

E, considerando che la corrente è stazionaria – cioè ogni sezione del circuito è attraversata,
nell’unità di tempo – dallo stesso numero di cariche, si conclude:

( )qV.............VVW
6C1R1CTO T
?D++D+D

qVW
ABTO T
?D ()J

Cioè:

x L’energia spesa dal generatore per permettere il trasferimento della
quantità di carica q dal capo iniziale a quello terminale del circuito è
uguale al prodotto tra la differenza di potenziale applicata
AB
VD e la
quantità di carica q.

x Tale energia corrisponde, alla fine, all’energia posseduta dalla corrente elettrica

Se ora si tiene conto che la quantità di carica q passante nel circuito può essere determinata se si
dispone del valore dell’intensità di corrente i e del tempo t, secondo la relazione:
t
q
i
? tiq ? ( )sA?

L’energia della corrente elettrica si può determinare con:

qVW
ABTO
?D

??? tiVW ??D ENERGIA DELLA CORRENTE

Le dimensioni e le unità di misura:

361
()()stAi
C
J
VW ???
?
?
?
?
?
D
()()stAi
sA
J
VW ???
?
?
?
?
?
?
D ??? ()JW??

ENERGIA E LEGGE DI OHM – CIRCUITO ESTERNO

Dall’espressione dell’energia e tenendo conto della prima legge di Ohm:

tiVW ??D ENERGIA
i
V
R
D
LEGGE DI OHM
?? iRV ? D
??
R
V
i
D

Si ricavano le seguenti espressioni dell’energia:

( ) tiRtiiRW
2
?? ???
t
R
V
t
R
V
VW
2
?
D
??
?
?
?
?
?D
?D

tiRW
2
?? >@1 Energia in funzione della corrente e resistenza

t
R
V
W
2
?
D
>@2 Energia in funzione del potenziale e della resistenza

Con:

W Energia della corrente – Pari al lavoro compiuto dal campo elettrico nel
tempo t e sufficiente a spostare le cariche nei conduttori nonostante la
resistenza opposta dagli stessi al loro movimento. In tal senso l’energia della
corrente equivale anche al lavoro che è dissipato. Tale concetto è
formalmente analogo a quello – già utilizzato in meccanica – in cui il motore
di un’automobile, che si muove con velocità costante, fornisce energia
sufficiente solo a mantenere uniforme la velocità contrapponendosi alla
perdita di energia causata dall’attrito e dalla resistenza all’avanzamento.
Naturalmente l’energia è misurata in Joule.

VD Differenza di potenziale ai capi estremi del circuito.
Si deve considerare quella realmente applicata al circuito dal generatore dopo
aver dedotto dal valore della forza elettromotrice E la caduta ohmica di
tensione interna al generatore stesso.
Si misura in Volt.
R Resistenza elettrica.
i Intensità della corrente
t Tempo

362

ENERGIA E LEGGE DI OHM – ESTENSIONE ALL’INTERO CIRCUITO

Oltre all’energia ceduta dal generatore alle cariche in movimento nel circuito esterno occorre tenere
in considerazione il fatto che il circuito esterno si chiude necessariamente attraverso il corpo stesso
del generatore ove si intende localizzata la resistenza interna
I
R.
In questo caso, per ottenere l’energia complessiva ceduta dal generatore, è necessario tenere in
considerazione una quota d’energia, diversa da quella ceduta al circuito, pari a:

tiRW
2
IG
??
t
R
V
W
I
2
I
G
?
D

In questo caso occorre tenere conto di una differenza di potenziale pari alla caduta ohmica di
tensione attraverso il corpo del generatore e far riferimento al valore della tensione nominale
o forza elettromotrice:

ABI
VVE D D
ABI
VEV D D

L’energia complessiva è quindi data indifferentemente da una delle due relazioni:

IET
WWW +

tiRtiRW
2
I
2
ET
??+??

( ) tiRRW
2
IET
??+ >@1

t
RR
E
W
IE
2
T
?
+
>@2

POTENZA DELLA CORRENTE
Come in Meccanica, la potenza è definita dalla quantità di lavoro compiuto nell’unità di tempo:
t
L
P

La “POTENZA” della corrente elettrica è dunque definita dal rapporto tra l’energia assorbita
ed il tempo:
t
W
P
Tenendo conto dell’espressione generalizzata dell’energia si ha:
iV
t
tiV
P ?D
??D
( ) ( )Watt
s
J
A
sA
J
A
C
J
AV ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???

Se si tiene conto della prima legge di Ohm:

363
2
2
iR
t
tiR
t
W
P ?
??
WattAVA
A
V
A
22
??????
?
?
?
?
?
???:
R
V
t
t
R
V
t
W
P
2
2
'

?
'
WattAV
A
V
VV
22
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
:

La potenza elettrica di una corrente è quindi espressa, indifferentemente, da una delle due
espressioni:

2
iRP ? Watt

R
V
P
2
'
Watt

364
ESERCIZI
ENERGIA E POTENZA DELLA CORRENTE

Esercizio 1:
Calcolare l’energia assorbita in un tempo di 24 ore da un motore elettrico a corrente continua che,
alimentato da una tensione di 200 V, assorbe un’intensità di corrente di 10 A.

Soluzione:
L’energia assorbita dal motore è data dalla relazione:

qVW ?D

Con:
tiq ?

Da cui:

tiVW ??D
()() () ()J10728,1
h
s
3600h24A10V200W
8
ì ?
?
?
?
?
?
???
()
( )kWh48
kWh
J
106,3
J10728,1
W
6
8

?
?
?
?
?
?
ì
ì

Tenendo conto che l’energia dipende dalla potenza erogata in base alla relazione:
t
W
P
tPW ?
( ) ?
?
?
?
?
?

s
J
1Watt1
() ?
?
?
?
?
?

s
J
10kW1
3

L’energia erogata da un motore di potenza 1 (kW) per 1 (ora) di funzionamento, è anche
determinata da:
()() () ()J106,3s600.3
s
J
000.1h1kW1W
6
ì ??
?
?
?
?
?
?
Da cui si ottiene l’unità di misura dell’energia:
( ) ()J106,3kWh1
6
ì

Esercizio 2:
Un apparecchio utilizzatore, la cui resistenz è ()W 25R , è alimentato con una tensione di 125 (V).
Spapendo che funziona per 3 ore al giorno, calcolare l’energia elettrica che consuma in un mese.

Soluzione:
L’energia consumata mensilmente è data da:
ti
W
q
W
V
?
D

365

?? tiVW ??D

Tenendo conto della legge di Ohm:
R
V
i
D

Si ottiene:
()
()
?
?
?
?
?
?
?
?
W
?
ì ?
?
?
?
?
?
ì?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?
?
?
W
?
D

sV
1002,2
h
s
600.3
mese
gg
30
gg
h
3
25
V125
t
R
V
W
2
8
222

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?W
?
ì
mese
J
mese
sA
sA
J
mese
sAV
mese
sA
V
sV
mese
sV
1002,2W
22
8

L’energia espressa in kWh:
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
?

mese
kWh
11,56
kWh
J
106,3
mese
J
1002,2
W
6
8

Esercizio n. 3:
Una pila com f.e.m. pari a ()V4,5E e con resistenza interna ()W 6,0R
I , alimenta un
apparecchio utilizzatore di resistenza ()W 3R . Determinare il tempo impiegato dall’utilizzatore
per utilizzare un’energia ( )kWh1W .

Soluzione:
La tensione applicata ai capi dell’apparecchio utilizzatore è determinata dalla legge di Ohm estesa
al circuito:
iRiREV
EI
? ? D
( )iRRE
IE
?+
()
()
()A5,1
6,3
V4,5
RR
E
i
IE

W

L’energia ceduta all’utilizzatore si calcola:

tiRW
2
E
??

Da cui si ricava il tempo necessario per il consumo previsto:
( )
() ()
()
() ()
?
?
?
?
?
?
?W
ì
?W
ì

?W

?

2
5
22
6
222
E
A
J
1033,5
A5.13
J106,3
A5,13
kWh1
iR
W
t
()s
A
sA
J
J
AV
J
A
A
V
J
A
J
1033,5t
2
2
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?W
ì
Esercizio 4:
Un circuito elettrico è formato da un filo di manganina lungo 100 m, di sezione ( )
2
mm1S . Tale
conduttore costituisce i 4/5 della resistenza totale del circuito stesso e l’intensità di corrente che vi

366
circola è ()A5,2i . Calcolare la tensione applicata ai morsetti del filo di manganina e l’energia
dissipata su tale filo in un tempo di 30 minuti.

Soluzione:
Occorre determinare la resistenza del filo di manganina con la seconda legge di Ohm:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 45
mm1
m100
m
mm
45,0
S
L
R
2
2
F
Considerando che la resistenza del filo rappresenta i 4/5 della resistenza totale del circuito, si
può determinare la resistenza del circuito:
TF
R
5
4
R ?
()
()W
W?
? 25,56
4
455
R
4
5
R
FT

Usando ora la prima legge di Ohm, si determina la differenza di potenziale applicata ai capi
del circuito:

() () ()V63,140A5,225,56iRV
T
?W ? D

Ai capi del filo di manganina deve essere applicata la tensione:

() () ()V5,112A5,245iRV
F1
?W ? D

L’energia dissipata dal filo in 30 minuti:
() () ( ) ( )sAV1006,5
min
s
60min30A5,2V5,112tiVW
5
F
??ì ?
?
?
?
?
?
??? ??D
( ) ()JsA
sA
J
sAV1006,5W
5
F
??
?
?
?
?
?
??
?
???ì
Convertita in kWh:
()
( )kWh14,0
kWh
J
106,3
J1006,5
W
6
5
F

?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 5:
Determinare la tensione che deve essere applicata ad un apparecchio utilizzatore percorso da una
corrente di 10 (A), affinché esso assorba una potenza ()kW5,1P .

Soluzione:
Sapendo che la potenza di una corrente elettrica è determinata dalla relazione:
iV
i
V
V
R
V
P
22
?D
D
D

D

Dalla formula inversa, imponendo il valore della potenza espresso in Watt, si ottiene la
differenza di potenziale:
i
P
V D

367
()
()
()
()
( )Volt150
sA
J
150
A
s
J
150
A10
W500.1
A10
kW5,1
V ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
D

Esercizio 6:
Calcolare l’intensità di corrente necessaria per azionare un motore che assorbe una potenza
()HP1P , sapendo che la tensione applicata ai capi del motore è ()V150V D .

Soluzione:
La potenza di 1 (HP) corrisponde, espressa in Watt, a:
()() ( )Watt735
s
J
735
kg
N
81,9
s
mkg
75
s
mkg
75CV1HP1P
ff
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??

Conoscendo la tensione applicata ai capi del motore e la potenza assorbita, si può
determinare l’intensità di corrente:
iVP ?D
?
()
()
()A9,4
sA
J
s
J
9,4
V150
W735
V
P
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D

Esercizio 7:
In quanto tempo un apparecchio utilizzatore che assorbe una potenza di 10 kW consuma un’energia
di 0,2 (kWh) ?

Soluzione:
La potenza e l’energia sono collegati dalla relazione:
t
W
P
Il tempo è quindi dato dalla formula inversa:
P
W
t
Sostituendo i valori noti e tenendo conto che l’energia di 1 kWh corrisponde a:

( ) ()J106,3kWh1W
6
ì

Si ottiene:
()
()
()s72
s
J
J
72
kW
W
000.1kW10
J106,32,0
t
6

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
ì?

Esercizio 8:
Calcolare il lavoro e la potenza richiesta per trasferire, in un’ora, una carica di 9.650 (C) da un
punto ad un altro tra cui esiste una differenza di potenziale di 2.000 (V)

368

Soluzione:
L’energia richiesta è data da:

qVtiVW ?D ??D
tiq ?
Sostituendo i valori noti si ottiene:
() ( ) ()JsA
sA
J
1093,1sA650.9V000.2W
7
??
?
?
?
?
?
??
?
ì ??

La potenza è data dal rapporto tra l’energia calcolata ed il tempo:
()
()
( ) ()kW361,5Watt361.5
s3600
J1093,1
t
W
P
7

ì

Esercizio 9:
Una lampadina elettrica, alimentata da una tensione di 120 (V), assorbe una potenza di 12 (W).
Determinare quanto vale la resistenza del suo filamento.

Soluzione:
Utilizzando la relazione:
R
V
P
2
D

Si ottiene:
()
()
()W??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D

A
V
sAV
sV
J
sV
s
J
V
200.1
W12
V120
P
V
R
222222

Esercizio 10:
Un circuito avente resistenza ()W 20R è alimentato da una tensione di 200 (V). Determinare
l’intensità di corrente che percorre il circuito e la potenza elettrica che è assorbita.

Soluzione:
Dalla legge di Ohm si ricava il valore dell’intensità di corrente:
()
()
()A10
20
V200
R
V
i
W

D

La potenza assorbita è data da:
() () ( )()WAVA
A
V
000.2A1020iRW
2222
????
?
?
?
?
?
? ?W ?
Quindi:
()W000.2W

Esercizio 11:
Per far funzionare un apparecchio utilizzatore per 16 ore ad una tensione di 150 (V), si è consumata
un’energia pari a ( )kWh20W .
Determinare la resistenza dell’apparecchio utilizzatore.

369

Soluzione:
Dalla relazione dell’energia si ottiene:
t
R
V
t
R
V
VtiVW
2
?
D
?
D
?D ??D
? t
W
V
R
2
?
D

Sostituendo i termini noti:

()
( )
()
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
ì?

J
sV
18
ora
s
600.3ore16
kWh
J
106,3kWh20
V150
R
2
6
22

()W??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??

A
V
sAV
sV
J
sV
18R
22

Esercizio 12:
Un circuito elettrico, alimentato da una tensione di 100 (V), assorbe una potenza di 6 (CV).
Determinare l’intensità di corrente che percorre il circuito e l’energia da esso assorbita in 2 (ore) e
15 (minuti).

Soluzione:
La potenza assorbita di 6 (CV), espressa in Watt:
() ( )Watt
s
J
414.4
kg
N
81,9
CVs
mkg
75CV6P
f
f
??
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
E’ funzione della differenza di potenziale e dell’intensità di corrente:

iVP ?D

Da cui si ricava il valore della corrente:
()
()A14,44
sA
J
s
J
14,44
V100
s
J
414.4
V
P
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

L’energia assorbita in 2 (ore) e 15 (min) è determinata da:

tPW ?
() () ()J1057,3
min
s
60min15
h
s
600.2h2
s
J
414.4W
7
ì
?
?
?
…
?
?
?
?
?
?
?
?
?+?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?

()
( )kWh92,9
kWh
J
106,3
J1057,3
W
6
7

?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 13:
Una resistenza ()W 250R è calibrata per una potenza di 3 (kW). Quanta corrente può
sopportare?.

Soluzione:

370
Dalla relazione della potenza in funzione della resistenza e dll’intensità di corrente, si ricava:

2
iRP ?
()
()
( )()AA
s
sA
J
AJ
sV
AJ
A
V
s
J
46,3
250
W000.3
R
P
i
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

W

Quindi:

()A46,3i

Esercizio 14:
Un circuito è percorso da una corrente di 70 (A) con una tensione di 300 (V). La potenza è fornita
da una caduta d’acqua da un’altezza di 20 (m) e il rendimento complessivo dell’impianto è pari a
%65 h (solo il 65% della potenza erogata dalla caduta d’acqua è assorbito dal circuito, mentre la
restante quota di potenza si può pensare disperso).
Determinare la portata della condotta d’acqua.

Soluzione:
Il circuito assorbe una potenza elettrica pari a:

iVP
U
?D
() () ()W101,2A
sA
J
101,2A70V300P
442
U
ì ?
?
?
?
?
?
?
?
ì ?
Tale potenza – potenza utile – rappresenta quindi il 65% della potenza totale che fornisce
l’impianto idroelettrico, cioè:
%65100
P
P
T
U
? h
Si può quindi ricavare il valore della potenza complessiva dell’impianto:
()
()W307.32100
65
W101,2
100
65
P
P
4
U
T
?
ì
?

D’altra parte l’energia fornita in un tempo di un secondo dall’acqua che scende a valle da un’altezza
di 20 (m) all’interno della condotta di adduzione, altro non è che la potenza della condotta
idroelettrica.
t
Energia
t
L
P Potenza della corrente nel condotto
L’energia della corrente d’acqua nella condotta si identifica nell’energia cinetica finale:
2
C
vm
2
1
EE ??
Che, a sua volta, è pari – se non si tiene conto delle perdite per attrito nella condotta – alla
diminuzione di energia potenziale nel passaggio dalla quota + 20 m alla quota 0,00 m
(teorema di conservazione dell’energia meccanica):
2
vm
2
1
hgm ?? ??
In conclusione:
La di munizione di energia potenziale in un tempo di un secondo, deve corrispondere alla
potenza totale erogata dall’impianto:

371
()s1
hgm
P
T
??

Da questa relazione si ricava la massa d’acqua che deve attraversare il condotto in un tempo
di 1 secondo, cioè la portata in massa:
() ()()
()
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

??
?
?
?
?
?
?

?
?

m
sN
m
smN
m
sJ
s
m
s
s
J
63,164
m20
s
m
81,9
s1W307.32
hg
s1P
m
2
2
2
2
2
2
2
2
T

( )
m
2
2
m
2
kg
ms
smkg
m
sN
63,164m ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??

La portata in massa della condotta è quindi pari a:

?
?
?
?
?
?

s
kg
63,164Q
M
E, vista la corrispondenza tra l’unità di misura della massa e del volume relativamente
all’acqua, si ottiene:
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?

h
m
66,592
s
dm
63,164Q
33
V

Esercizio 15:
Un motore per montacarichi, ai morsetti del quale vi è una tensione di 500 (V), alza un carico di
2.000 kg alla velocità di ?
?
?
?
?
?
s
m
7,0 , assorbendo un’intensità di corrente di 30 (A). Determinare la
potenza esercitata dal motore ed il rendimento dello stesso.

Soluzione:
La potenza assorbita dal motore elettrico è data da:

() () ()W000.15A30V500iVP ? ?D

D’altra parte la potenza necessaria per il sollevamento del carico alla velocità data, si può
determinare calcolando il lavoro effettivamente applicato dalla fune del motore al carico in
movimento.
Ad esempio si può pensare che in un tempo di 1 secondo lo spazio percorso dal carico sia
dato da:
() ()m7,0s1
s
m
7,0tvh ??
?
?
?
?
?
?
Per detto spostamento il lavoro strettamente necessario sarà:
() () ()J734.13m7,0
kg
N
81,9kg000.2hFL ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
Dato che il lavoro è stato calcolato per un tempo di 1 secondo, il suo valore corrisponde
anche alla potenza strettamente necessaria al sollevamento del carico.
Il rendimento del motore è quindi dato dal rapporto tra la potenza utile e la potenza
effettivamente assorbita:

()
()
%56,91100
W000.15
W734.13
100
P
P
A
U
ì ì h

372

Esercizio 16:
Uno studente tiene accesa la sua radio portatile alimentata da una tensione di 9 (V). Tenendo conto
che la potenza impegnata è stata di 7 (W) e sapendo che la radio è stata accesa dalle 9 di sera alle 2
del mattino, determinare la quantità di carica passata nel circuito.

Soluzione:
Dal valore della potenza impegnata e conoscendo il valore della tensione, si può determinare il
valore dell’intensità di corrente i:

iVP ?D

Da cui si ottiene:
()A78,0
sA
J
9
s
J
7
V
P
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D

Con il valore della corrente ed il tempo di funzionamento si determina poi la quantità di
carica complessivamente passata attraverso il circuito:
()() ( ) ()kC14sA000.14
h
s
600.3h5A78,0tiq ??? ?
?
?
?
?
?
?? ?
Si legga (chilocoulomb) – ritornando a misurare la carica in Coulomb.

Esercizio 17:
Un tubo a raggi X opera con una corrente di 7 (mA) e ad una differenza di potenziale di 80 (kV).
Determinare la potenza dissipata in Watt.

Soluzione:
La potenza impegnata durante il funzionamento dell’apparecchiatura è data da:

iVP ?D

Per cui:
() () ( ) ()WA
sA
J
AV560A107V000.80P
3
???
?
?
?
?
?
?
?
?? ì?

Esercizio 17:
Una resistenza qualsiasi è connessa ai morsetti di una batteria avente tensione di 3 (V). La potenza
dissipata nella resistenza è di 0,54 (W). La stessa resistenza è poi collegata ai morsetti di una
batteria da 1,5 (V). Qual è la potenza dissipata in questo caso?

Soluzione:
Dal valore della potenza e della tensione della prima batteria, si ricava il valore della resistenza:
R
V
P
2
D

373
??
()
()W??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

A
V
s
J
V
sA
J
67,16
s
J
54,0
V3
P
V
R
222

La stessa resistenza, collegata alla seconda batteria, dissipa la potenza di:

()
()
()W135,0
67,16
V5,1
R
V
P
222
1

W

D

Esercizio 18:
Una resistenza cilindrica avente raggio di 5,00 (mm) e lunghezza di 2 (cm) è fabbricata con un
materiale che ha una resistività ?
?
?
?
?
?W
ì r

m
105,3
5
.
Determinare la densità di corrente e la differenza di potenziale quando la dissipazione di potenza
nella resistenza è di 1,0 (W).

Soluzione:
La potenza impegnata inizialmente dalla resistenza cilindrica, è determinata da:
F
2
R
V
P
D

Con:
() ( )
( )()
3
2
2
3
7
2725
1092,8
m105
107
R
mm107m102
m
105,3LSR

ì
ì?p
ì

?Wì ì??
?
?
?
?
?W
ì ?r ?

La differenza di potenziale sarà quindi data da:
()V1044,9
sAAs
JJ
1092,8
A
V
1092,8
s
J
1RPV
233
ì ?
?
?
?
?
?
???
?
ì ?
?
?
?
?
?
ì??
?
?
?
?
?
? D
L’intensità di corrente è data da:

()
()
()A58,10
1092,8
V1044,9
R
V
i
3
2

Wì
ì

D

La densità di corrente è pari a:
()
( )()
?
?
?
?
?
?
ì
ì?p

2
5
2
2
3
m
A
1035,1
m105
A58,10
S
i
J

374
EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE
LEGGE DI JOULE – EFFETTO JOULE

Come si è detto in precedenza, l’energia ceduta dal generatore alle cariche in movimento nel
circuito elettrico è quella strettamente necessaria per vincere la resistenza che il circuito stesso
oppone.
Tale resistenza è causata agli urti delle cariche in movimento con gli atomi costituenti il reticolo
cristallino del materiale che compone il circuito e può quindi essere equiparata ad una forza
d’attrito.

ANALOGIA CON L’ESPERIMENTO DI JOULE
EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA

Il fenomeno è quindi analogo a quanto succede durante l’esperienza condotta da Joule allo scopo di
determinare l’equivalente meccanico della caloria con l’utilizzo del “Mulinello di Joule” (si veda la
termodinamica).
Nel caso del “mulinello di Joule”, una certa quantità d’energia era applicata ad una leggera elica,
immersa nell’acqua contenuta in un calorimetro Bunsen.
La quantità di lavoro esterno era determinato dalla diminuzione d’energia potenziale di alcune
masse collegate per mezzo di un filo ad un meccanismo in grado di trasformare il moto rettilineo
delle masse nel moto rotatorio dell’elica.
La rotazione dell’elica – in moto circolare uniforme – produceva, a causa delle forze d’attrito con
l’acqua, un incremento dell’energia interna del liquido con conseguente aumento di temperatura.
La successiva determinazione della quantità d’energia termica prodotta durante l’esperimento
permetteva a Joule di affermare che il rapporto tra l’energia meccanica fornita e l’energia termica
(calore) prodotta risultava costante se la trasformazione è a ciclo chiuso.
Detto rapporto – definito “EQUIVALENTE MECCANICO DELLA CALORIA” – è comunemente
indicato con:

?
?
?
?
?
?

cal
J
186,4
Q
L
J
Con:
J Equivalente meccanico della caloria ?
?
?
?
?
?
cal
Joule

L Lavoro meccanico (energia meccanica) ( )Joule
Q Energia termica (calore) ()cal

Si ricorda che l’unità di misura del lavoro o energia meccanica è definita dalla quantità di
lavoro per effetto dell’applicazione di una forza di 1 (N) e di uno spostamento di 1 (m).
L’energia termica era invece solitamente misurata in calorie (cal) ove si definiva la caloria
come la quantità di energia necessaria per aumentare di 1 (K) la temperatura di una massa
d’acqua pari ad 1 (g).

( )()()m1N1Joule1LE
M
?
( ) () ()K1
Kg
cal
1g1Tcmcaloria1QE
O2H
O2H/SO2HT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? D??

L’esperimento di Joule ha dunque permesso di affermare che:

375

Per incrementare l’energia termica di una quantita pari a 1 (caloria) occorre una quantità di
energia meccanica pari a 4,186 (J).
Per incrementare l’energia termica di una quantità pari a 1.000 (calorie), cioè 1 (Kcal),
occorre una quantità d’energia meccanica pari a 4.186 (J)

Il circuito percorso da un’intensità di corrente i non è quindi molto dissimile dall’apparecchiatura
utilizzata da Joule, alle seguenti condizioni:

L’energia elettrica fornita alla corrente dal generatore, equivale all’energia meccanica
fornita al mulinello dall’abbassamento di energia potenziale delle masse
La resistenza del circuito corrisponde all’attrito tra l’elica rotante e l’acqua
La variazione della temperatura nel circuito e in ogni utilizzatore in esso contenuto (con
conseguente aumento dell’energia termica interna), corrisponde all’incremento di energia
termica dell’acqua nel calorimetro

Si può quindi concludere che, anche nel caso in cui sia fornita energia elettrica, si deve considerare
un fattore d’equivalenza nella conversione in energia termica pari a J, cioè:

?
?
?
?
?
?

cal
J
186,4
E
E
J
TERMICA
ELETTR

?
?
?
?
?
?

Kcal
J
186.4
E
E
J
TERMICA
ELETTR

LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO DELLA CORRENTE
In base alle considerazioni di cui sopra e tenendo presente le modalità con le quali è possibile
determinare l’energia e la potenza applicate dal generatore alla corrente, si giunge a stabilire la
seguente Legge di Joule:

Presupposti:

?
?
?
?
?
?

Kcal
J
186.4
Q
W
J
EL
Equivalente meccanico o elettrico della Caloria

tiVW ??D Energia elettrica (indipendente dalla legge di Ohm)
iVP ?D Potenza elettrica(indipendente dalla legge di Ohm)

t
R
V
W
tiRW
2
2
?
D

??
Energia elettrica (in funzione della legge di Ohm)
R
V
P
iRP
2
2
D

?
Potenza elettrica (in funzione della legge di Ohm)

FINALITA’:

376
J
W
Q
EL
Quantità di calore fornita dalla corrente elettrica

Per l’energia e la potenza elettrica non dipendenti dalla legge di Ohm, l’equivalente in calore
e potenza termica è data dalle relazioni:

ENERGIA TERMICA ESPRESSA IN GRANDI CALORIE E PICCOLE CALORIE:
()
> @()JtiV
J
Kcal
1039,2
Kcal
J
186.4
JtiV
Q
4
??D??
?
?
?
?
?
ì
?
?
?
?
?
?
??D

( )Kcal
Kcal
J
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

()
> @()JtiV
J
cal
239,0
cal
J
186,4
JtiV
Q ??D??
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
??D
()cal
cal
J
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

POTENZA TERMICA ESPRESSA IN Kcal/s E cal/s:

()
?
?
?
?
?
?
?D

Kcal
J
186.4
WiV
P
T ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
Kc al
Kc al
J
s
J

()
?
?
?
?
?
?
?D

cal
J
186,4
WiV
P
T ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s
cal
cal
J
s
J

Per l’energia e la potenza termica espresse in funzione della legge di Ohm:

ENERGIA TERMICA ESPRESSA IN GRANDI CALORIE E PICCOLE CALORIE:
J
W
Q
E

186.4
tiR
Q
2
??
( )Kcal
186.4
1
R
tV
Q
2
?
?D
( )Kcal
186.4
iR
P
2
T
?
?
?
?
?
?
?
s
Kcal

186.4
1
R
V
P
2
?
D
?
?
?
?
?
?
s
Kcal

377
ESERCIZI
LEGGE DI JOULE – EFFETTO TERMICO

Esercizio 1:
La resistenza di un conduttore di rame lungo 2 (km) non deve superare i ()W3. Calcolare la sezione
minima del conduttore. Determinare inoltre l’energia dissipata per effetto Joule dal conduttore in
un’ora, se questo trasporta una corrente che ha una potenza di 20 (kW) alla tensione di 10.000 (V).
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
017,0
2
Cu

Soluzione:
La sezione minima del conduttore si ricava dalla seconda legge di Ohm:
S
L
R
Cu
?r
Da cui:
()
()
( )
2
2
Cu
mm33,11
3
m000.2
m
mm
017,0
R
L
S
W
?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r
( )mm9,1
33,11S
r
p

p

L’energia dissipata dalla corrente, di potenza nota, in un’ora:

?
?
?
?
?
?
ì ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
h
J
102,7
h
s
600.3
s
J
000.20tPW
7
Errato

Esercizio 2:
Una lampadina collegata ad una tensione di 200 (V) è percorsa da una corrente di 0,5 (A). Calcolare
la potenza assorbita in Watt e le calorie sviluppate in un’ora.

Soluzione:
La potenza assorbita è data da:

() () ( )Watt100A5,0V200iVP ? ?D

L’energia termica sviluppata in un’ora:
()J106,3
h
s
600.3
s
J
100tPW
5
ì ?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?

Tenendo conto dell’equivalente meccanico della caloria:
()
( )kcal86
kcal
J
186.4
J106,3
J
W
Q
5
T

?
?
?
?
?
?
ì

378
Esercizio 3:
Una resistenza in nichel-cromo da ()W25 assorbe una corrente di 10 (A). Determinare il calore
sviluppato in 2 minuti.

Soluzione:
L’energia posseduta dalla corrente è pari a:
() () () ()J000.300s120A1025tiRW
222
??W ??

L’energia termica dissipata si ottiene convertendo l’energia elettrica con il fattore J:
()
( )kcal66,71
kcal
J
186.4
J000.300
Q
T

?
?
?
?
?
?

Esercizio 4:
Calcolare la quantità di calore sviluppata in un’ora da un apparecchio utilizzatore avente una
resistenza di ()W50 e alimentato da una tensione di 150 (V).

Soluzione:
La quantità d’energia termica sviluppata è data da:
J
W
Q
E
T

Esercizio 5:
Una corrente di 2,5 (A) percorre un conduttore che presenta ai suoi estremi una differenza di
potenziale di 100 (V). Determinare la quantità di carica trasferita in un minuto, il lavoro fatto per
trasferire questa carica ed il calore prodotto.

Soluzione:
Il lavoro fatto equivale all’energia posseduta dalla corrente che è determinata da:

() () () ()J000.15s60A5,2V100tiVWL ?? ??D

La quantità di carica trasferita si ottiene da:
() ()C150s60
s
C
5,2tiq ??
?
?
?
?
?
?

Il calore prodotto è pari all’energia elettrica espressa in kcal:
()
( )
( )kcal58,3
kcal
J
186.4
J000.15
J
W
Q
T

() ()
()
( )kcal387
J
kcalJ
J
kcalsAV
387Q
kcal
J
A
V
sV
387
kcal
J
186.450
s3600V150
186.4
t
R
V
Q
T
222
2
T
??
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
? ???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?W
?

?
D

379
Esercizio 6:
Una resistenza percorsa da una corrente di 25 (A) sviluppa un’energia termica di 3 (kcal) in un
tempo di 1 (min) e 20 (s). Determinare la tensione applicata ai morsetti.

Soluzione:
L’energia termica di 3 (kcal) è equivalente ad un’energia elettrica di:
( ) ()J558.12
kcal
J
186.4kcal3JQW
T
?
?
?
?
?
?
? ?
Con il valore dell’energia elettrica si determina la tensione ai capi della resistenza:

tiVW ??D
??
()
() ()
()V28,6
s80A25
J558.12
ti
W
V
?

?
D

Esercizio 7:
Calcolare la quantità di calore sviluppato in un’ora da una stufa elettrica che assorbe una potenza di
2 (kW).

Soluzione:
La quantità di calore sviluppato dipende dalla potenza elettrica in base alla seguente relazione:
J
tP
J
W
Q
T
?

Sostituendo i valori noti si ottiene:
()
( )kcal720.1
kcal
J
186.4
s600.3
s
J
000.2
Q
T

?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

Esercizio 8:
Calcolare la resistenza elettrica di un filo metallico il quale, quando è percorso da una corrente di 2
(A), sviluppa in 2 minuti una quantità di calore pari a 30 (kcal).

Soluzione:
La quantità di calore sviluppata dal filo equivale ad un’energia elettrica:

186.4QW
T
?
( ) ()J580.125
kcal
J
186.4kcal30W ?
?
?
?
?
?
?

Tale quantità d’energia è data da:

tiRW
2
??

Da cui si ricava il valore della resistenza R:

()
() ()
()W??
?
?
?
?
?

?

?

A
V
261
s120A2
J580.125
ti
W
R
222

380
Esercizio 9:
Un filo di nichel-cromo lungo 20 (m), di sezione ( )
2
mm1S , è alimentato da una pila che presenta
una f.e.m. di 25 (V) e resistenza interna ()W 2R
I . Calcolare l’intensità di corrente, la quantità di
calore prodotta globalmente nel circuito in 2 (ore) e quella che, nello stesso tempo, è dissipata dal
filo.

Soluzione:
Con le caratteristiche del filo è possibile determinare la resistenza esterna:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 20
mm1
m20
m
mm
1
S
L
R
2
2
E
Data la forza elettromotrice e la resistenza interna del generatore si determina poi l’intensità
di corrente utilizzando la legge di Ohm estesa a tutto il circuito:ù
()
()
()A14,1
22
V25
RR
E
i
IE

W

+

La quantità di calore prodotta globalmente nel circuito è determinata calcolando l’energia
della corrente:
() ()() ()J1005,2
h
s
600.3h2A14,1V25tiEW
5
ì ?
?
?
?
?
?
??? ??
()
( )kcal49
kcal
J
186.4
J1005,2
J
W
Q
5

?
?
?
?
?
?
ì

La quantità da calore dissipata dal filo è data da:
() ()() ()J1087,1
h
s
600.3h2A14,120tiRW
5222
E
ì ?
?
?
?
?
?
???W ??
()
( )kcal7,44
kcal
J
186.4
J1087,1
J
W
Q
5

?
?
?
?
?
?
ì

Esercizio 10:
Un apparecchio utilizzatore assorbe una potenza di 0,18 (kW) ad una tensione di 12 (V). Sapendo
che la resistenza dei collegamenti è di ()W2,0 , calcolare il rendimento dell’apparecchio (potenza
utilizzata /potenza assorbita) ed il calore sviluppato dalla corrente in 1 minuto.

Soluzione:
Dal valore della potenza assobita e della tensione, si determina l’intensità di corrente:

iVP ?D
()
()A15
s
sA
J
J
15
V12
s
J
180
V
P
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

La potenza assorbita dai collegamenti è data da:

() () ()W45A152,0iRP
222
CC
?W ?

Quindi la potenza utilizzata dal solo appararecchio è la differenza:

381

()W135PPP
CU

E il rendimento si ottiene dal rapporto tra la potenza complessiva e la potenza reale
sull’utilizzatore:
()
()
%75100
W180
W135
? h
Il calore sviluppato dalla corrente in un minuto è dato da:
()
( )kcal58,2
kcal
J
186.4
s60
s
J
180
J
tP
J
W
Q
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?

?

Esercizio 11:
Calcolare la caduta di tensione dovuta ad una resistenza di ()W25 che assorbe una corrente di 3 (A).
Se si dimezza la tensione, per ottenere la stessa quantità di calore nello stesso intervallo di tempo,
quale dovrà essere il nuovo valore della resistenza e da quale intensità di corrente essa sarà
percorsa?

Soluzione:
La caduta di tensione sulla resistenza è data dalla legge di Ohm:

()() ()V75A
A
V
75A325iRV ?
?
?
?
?
?
? ?W ? D
La quantità di calore ceduta in un determinato intervallo di tempo t, sarà data da:
J
tiV
J
W
Q
??D

Se il valore della tensione è dimezzato, la stessa quantità di calore sarà sviluppata con un
valore di corrente:
J
tiV
J
ti
2
V
Q
1
??D

??
D

Da cui si ricava il valore della corrente:

i
2
i
1
()A6i2i
1
? ?

La nuova resistenza sarà quindi data da:

()
()
()W
?
W

D
25,6
A62
75
i
V
R
1
1
1

382
Esercizio 12:
Due bollitori sono utilizzati per portare all’ebollizione una stessa quantità d’acqua. Il primo impiega
35 minuti lavorando alla tensione di 60 (V), mentre il secondo impiega 1 ora lavorando alla
tensione di 140 (V). Calcolare il rapporto tra le intensità di corrente nei due bollitori.

Soluzione:
La quantità di calore necessaria per portare la stessa quantità d’acqua all’ebollizione – partendo
dalla stessa temperatura – è data dalla relazione:

TcmQ
S
D??

La quantità di energia elettrica occorrente si ricava utilizzando il fattore di conversione J:

TcmJQJW
S
D??? ?

L’energia utilizzata dalla resistenza elettrica del primo bollitore è:

() ()Ji000.1266035iV60tiVW
11111
? ??? ??D

Quella utilizzata dal secondo:

() ()Ji000.5046060iV140tiVW
12122
? ??? ??D

Si ottengono quindi le due relazioni:

() TcmJJi000.504W
S2
D??? ?
() TcmJJi000.126W
S1
D??? ?

Dividendo la prima per la seconda:

1
i000.126
i000.504
1
2

?
?

Da cui si ottiene il rapporto tra le intensità di corrente:
000.504
000.126
i
i
1
2

25,0
i
i
1
2

Esercizio 13:
Con una batteria di pile avente resistenza interna totale pari a ()W2,0 si alimenta una resistenza di
platino lunga 1 (m) e con sezione di ( )
2
mm4 . Tale batteria alimenta per due ore il circuito con una
corrente di 2 (A). Determinare:
La f.e.m. della batteria
La caduta di tensione interna
Il calore prodotto per effetto Joule nella resistenza esterna

Soluzione:
La caduta di tensione sui morsetti della batteria di generatori è data da:

383

()() ()V4,0A22,0iRV
I
?W ? D

La resistenza del filo di platino è determinato da:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 025,0
mm4
m1
m
mm
1,0
S
L
R
2
2
E

La forza elettromotrice si ricava da:

( ) () () ()V45,0225,0A2iRRE
IE
W? ?+
Il calore prodotto dal passaggio di corrente nel filo:

( )() () ()J720s200.7A2VEtiVW ??D ??D
( )kcal172,0
J
W
Q

Esercizio 14:
Ai capi di un filo di costantana lungo 300 (m) è applicata una tensione di 220 (V). Sapendo che il
passaggio della corrente elettrica sviluppa 3.000 (kcal) in 2 ore e 30 minuti, calcolare l’intensità
della corrente e la sezione del filo.

Soluzione:
Dalla quantità di calore sviluppato è possibile determinare l’energia della corrente:
( ) ()J1026,1
kcal
J
186.4kcal000.3JQW
7
ì ?
?
?
?
?
?
? ?
Utilizzando il tempo si ottiene poi il prodotto:
tiVW ??D
t
W
iV ?D
Da cui, considerando il valore della tensione, si determina l’intensità di corrente:
()
() ()
()A36,6
h
s
600.3h5,2V220
J1026,1
tV
W
i
7

?
?
?
?
?
?
??
ì

?D

La resistenza del filo è dunque data da:
i
V
R
D

Ed è anche determinata da:
S
L
R ?r
Uguagliando le due relazioni si ottiene la sezione:
i
V
S
LD
?r
() ()
()
( )
2
2
mm25,4
V220
A36,6m300
m
mm
49,0
V
iL
S
??
?
?
?
?
?
?
?
??W

D
??r

Esercizio 15:
Un filo metallico immerso in 100 g di ghiaccio fondente, quando è percorso da una corrente di 5
(A), fonde 10 g di ghiaccio in 5 minuti. Determinare la resistenza del filo.

384
Il calore latente di fusione del ghiaccio è di 79,7 (cal/g)

Soluzione:
Dal calore latente di fusione e dalla quantità di ghiaccio fuso, si determina la quantità di calore ed
energia occorrenti:
() ()J336.3
cal
J
186,4
g
cal
7,79g10JQW ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?

Con il valore della corrente e del tempo si può determinare la resistenza:
tiRW
2
??

()
() ()
()W
??

?
44,0
s605A5
J336.3
ti
W
R
222

Esercizio 16:
Determinare il costo per riscaldare, mediante un boiler elettrico, 55 litri d’acqua da 25 (°C) a 65
(°C) assumendo un costo di dell’energia pari a 1,5 centesimi per kWh.

Soluzione:
La quantità d’energia occorrente per il riscaldamento è data da:

JTcmJQW
S
?D?? ?
() () ()J1021,9
kcal
J
186.4C40
Ckg
kcal
1kg55W
6
ì ?
?
?
?
?
?
?è?
?
?
?
?
?
?
?
?
è?
?
Considerando che 1 kWh corrisponde a ()J106,3
6
ì , si ottiene:
Costo ( )Euro038,0015,0
106,3
W
6
ì
ì

Esercizio 17:
In una vasca contenente 100 litri d’acqua a 25 °C, è immersa una resistenza da ()W5. Applicando
per 20 minuti, ai capi di questa resistenza, una tensione di 150 (V), di quanto sale la temperatura
dell’acqua ?

Soluzione:
L’energia elettrica dissipata dalla resistenza immersa è determinata da:
t
R
V
W
2
?
D

Sostituendo i valori noti, si ottiene:

()
()
() ()MJ4,5
min
s
60min20
5
V150
W
22
?
?
?
?
?
?
??
W

Tale quantità di energia corrisponde ad una quantità di calore pari a:

385
()
( )kcal290.1
kcal
J
186.4
J000.400.5
J
W
Q
?
?
?
?
?
?

Il corrispondente aumento di temperatura si ottiene dalla relazione del calore:

TcmQ
S
D??
( )
()
()K90,12
Kkg
kcal
1kg100
kcal290.1
cm
Q
T
S

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
D
La temperatura finale dell’acqua è quindi:

()C90,3790,1225Ttt
IF
è + D+

Esercizio 18:
Una resistenza da ()W50 immersa in 10 litri d’acqua fa aumentare di 70 °C la temperatura in un
tempo di 15 minuti. Determinare l’intensità della corrente che attraversa la resistenza.

Soluzione:
La quantità di calore ceduto dalla resistenza percorsa da corrente elettrica alla massa d’acqua, è data
da:
() () ( )kcal700K70
Kkg
kcal
1kg10TcmQ
S
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? D??
Tale quantità di calore corrisponde ad un’energia elettrica di:
( ) ()J1093,2
kcal
J
186.4kcal700JQW
6
ì ?
?
?
?
?
?
? ?
Tale energia elettrica è quella posseduta dalla corrente che fluisce per 15 muniti nella
resistenza:

tiRW
2
??

Da cui si ricava il valore dell’intensità di corrente:
()
()( ) ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?W

?
?
?
?
?
?
??W

?

s
A
V
J
07,8
s
J
11,65
min
s
60min1550
J000.930.2
tR
W
i
( ) ()A07,8A
s
sA
J
AJ
s
A
V
J
07,8i
2
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 19:
Un boiler elettrico assorbe una potenza di 1,75 (kW). Il 60 % di questa potenza è dissipata sulla
resistenza di riscaldamento del boiler e scalda in 10 (ore) una certa quantità d’acqua da 25 °C a 60

386
°C. Il restante 40 % di potenza è dissipato in resistenze esterne al boiler e non producono quindi
effetti di riscaldamento dell’acqua.
L’intensità di corrente che percorre il circuito elettrico è di 5 (A).
Determinare:
x Il volume d’acqua riscaldata
x La tensione ai capi della resistenza di riscaldamento del boiler
x L’energia utilizzata nel riscaldamento dell’acqua

Soluzione:
La potenza effettivamente dissipata sulla resistenza di riscaldamento del boiler è pari al 60 % di
quella complessiva, cioè:

()kW05,16,075,1P
U
?

L’energia termica dissipata nel tempo di 10 ore dalla resistenza è quindi data da:
() ()J1078,3
h
s
600.3h10
s
J
050.1tPW
7
U
ì ?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?

()
( )kcal030.9
kcal
J
186.4
J1078,3
J
W
Q
7

?
?
?
?
?
?
ì

Dalla relazione fondamentale del calore si ottiene la quantità in massa equivalente alla
quantità in litri d’acqua:
TcmQ
S
D??

( )
()
()litri258
K35
Kkg
kcal
1
kcal030.9
Tc
Q
.Volm
S

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D?

Per determinare la tensione ai capi della resistenza si utilizza il valore della potenza utile e il valore
dell’intensità di corrente dato dal problema:

iVP
U
?D

Da cui:

()
( )Volt
C
J
sA
J
210
A5
s
J
050.1
i
P
V ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
D

L’energia utilizzata per riscaldare l’acqua è già stato calcolato e è solo più convertito in kWh:

()
( )kWh5,10
kWh
J
106,3
J1078,3
W
6
7

?
?
?
?
?
?
ì
ì

Esercizio 20:
Calcolare il tempo impiegato da un boiler per innalzare la temperatura di 80 litri d’acqua da 25 °C a
50 °C, sapendo che esso assorbe una potenza di 2 (kW) e che ha un rendimento del 60 %.
Determinare inoltre l’energia consumata in kWh.

387

Soluzione:
La potenza impegnata dalla resistenza elettrica del boiler per il solo riscaldamento dell’acqua, è pari
al 60 % della potenza complessivamente assorbita:

() ()W200.1W000.26,0P
U
ì

Dalla relazione fondamentale del calore e sfruttando la definizione di potenza si ottiene il tempo
occorrente per il riscaldamento dell’acqua:

TcmtPW
SU
D?? ?

() ()
() ( )min116s976.6
s
J
200.1
kcal
J
186.4K25
Kkg
kcal
1kg80
t ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

L’energia consumata complessivamente nel tempo calcolato, espressa in kWh, è data da:

()
( )kWh88,3
kWh
J
106,3
s976.6
s
J
000.2
kWh
J
106,3
tP
W
66

?
?
?
?
?
?
ì
??
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
ì
?

Esercizio 21:
Un forno elettrico serve per fondere dell’acciaio che inizialmente si trova ad una temperatura di 30
°C. Sapendo che al forno è applicata una tensione di 220 V, che in 8 minuti e 30 secondi sviluppa
15.000 (kcal) e che in 15 minuti si fonde una certa quantità di acciaio con un rendimento del 60 %,
calcolare l’intensità di corrente assorbita dal forno e la massa di acciaio che subisce il processo di
fusione.
Dati del problema:
()C528.1t
F
è Temperatura di fusione acciaio
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Kkg
kcal
113,0c
S Calore specifico acciaio
?
?
?
?
?
?
?
?

kg
kcal
30C
L Calore latente acciaio

Soluzione:
Con la quantità di calore sviluppata nel tempo dato, si può ricavare l’intensità di corrente:

tiVJQW ??D ?

( )
()( )()
()A6,559
s30608V220
kcal
J
186.4kcal000.15
tV
JQ
i
+??
?
?
?
?
?
?
?

?D
?

La quantità di calore che, in 15 minuti, il forno cede alla massa d’acciaio, si ricava con una
semplice proporzione, considerando, nello stesso tempo, il rendimento:
15
t
Q
Q
15
?

388
( )kcal470.2615
50,8
000.15
Q
15
?

()
( )kcal882.15470.266,0Q
15U
ì

La quantità di calore serve in parte per innalzare la temperatura dell’acciaio dal valore iniziale a
quello caratteristico della temperatura di fusione e, per la restante parte, per fondere una certa
quantità di acciaio:

() LS15U
CmTcmQ ?+D??

Con l’ipotesi di considerare uguali la massa d’acciaio che subisce l’incremento di
temperatura e la massa che fonde, si ottiene il valore con la formula inversa:

( )
()15ULS
QCTcm +D??

Da cui:

() ( )
( )()
()kg7,79
kg
kcal
30K301528
Kkg
kcal
113,0
kcal882.15
CTc
Q
m
LS
15U

?
?
?
?
?
?
?
?
+?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

+D?

Esercizio 22:
Un fulmine si scarica su un parafulmine di rame, di sezione ( )
2
mm5 e di lunghezza 1 (m),
fondendolo. La scarica è durata ()s102
5
ì e la temperatura ambiente è di 10 °C.
Determinare:
1. Il calore liberato dalla scarica
2. La resistenza del parafulmine
3. Il potenziale della scarica ammettendo che la corrente di scarica rimanga costante
4. La potenza dissipata nella scarica
Dati del problema:
?
?
?
?
?
?

3
cm
g
9,8d densità rame
?
?
?
?
?
?
?
?
?

Kkg
kcal
093,0c
s calore specifico rame
?
?
?
?
?
?
?
?

kg
kcal
42C
L calore latente rame
()C083.1t
F
è temperatura di fusione

Soluzione:
Il calore liberato dalla scarica si può ottenere considerando la massa del parafulmine e le
caratteristiche fisiche e morfologiche del materiale che lo compone:

Calcolo del volume del parafulmine:

389

322
cm5mm000.5mm000.1mm5hSV ? u ?
Calcolo della massa:
kg1045,4g5,44cm5
cm
g
9,8Vdm
23
3

u ??
?
?
?
?
?
?
Calcolo dl calore di fusione:

LSLS
CTcmCmTcmQ '?? ?'??
kcal31,6
kg
kcal
42K10083.1
Kkg
kcal
093,0kg1045,4Q
2

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?u

La resistenza del parafulmine si ottiene con la seconda legge di Ohm:

:u ?
?
?
?
?
?
?
?
??:
?U
3
2
2
Cu
102,3
mm5
m1
m
mm
016,0
S
L
R

Per determinare il potenziale della scarica ammettendo costante la corrente, si può utilizzare la
legge di Joule convertendo il calore e tenendo conto della relazione:

t
R
V
JQW
2
?
'
?
Da cui si ottiene:

V055.2
s102
102,3
kcal
J
186.4kcal31,6
t
RJQ
V
5
3

?
:u??
?
?
?
?
?
?

??
'

Se si considera nullo il potenziale della terra, allora la differenza di potenziale calcolata
rappresenta anche il potenziale di scarica.

La potenza dissipata dalla scarica è data da:

kW1032,1Watt1032,1
102,3
V055.2
R
V
JQ
t
tJQ
t
W
P
69
3
222
u u
:u

'
?
??

390
LEGGI DI COLLEGAMENTO ELETTRICO
RESISTENZE IN SERIE E PARALLELO
GENERATORI IN SERIE E PARALLELO

I CIRCUITI ELETTRICI
Come si è detto sino ad ora, lo scopo dell’elettrodinamica è lo studio dei fenomeni correlati al
passaggio di corrente elettrica entro cavi conduttori, resistenze ed utilizzatori, costituenti,
nell’insieme, un circuito elettrico.
Dato che la corrente è provocata dalla presenza di un generatore di tensione, occorre considerare il
generatore stesso come parte integrante del circuito.

Solitamente però, nella realtà pratica, un circuito è ben dissimile dal modello semplice che è stato
utilizzato per l’introduzione delle leggi dell’elettrodinamica.
La presenza di un elevato numero di resistenze, di cavi di collegamento e generatori, rende il più
delle volte difficile, il calcolo delle intensità di corrente che attraversano i diversi rami del circuito.
Per altro, per quanto sia complessa la distribuzione delle apparecchiature, esiste sempre la
possibilità di ridurre il circuito in esame a un equivalente circuito virtuale semplice.
Detto circuito semplice è definito “circuito equivalente” e le argomentazioni che seguono hanno lo
scopo di illustrare i metodi da utilizzare per determinare il “circuito equivalente” partendo dallo
schema del circuito complesso reale.

Una prima semplificazione del circuito si può ottenere considerando che il collegamento tra due o
più resistenze (ove si deve intendere come resistenze anche i cavi conduttori e, in special modo, gli
utilizzatori resistivi) o tra due o più generatori di tensione, avviene essenzialmente secondo le
seguenti modalità:

Resistenze o generatori in serie
Resistenze o generatori in parallelo

Due o più resistenze in serie o in parallelo possono essere sostituite da una sola resistenza virtuale il
cui valore è stabilito da relazioni semplici.
Lo stesso si può dire per generatori in serie e/o parallelo.

RESISTENZE IN SERIE

Due o più resistenze, siano esse di tipo concentrato (utilizzatori resistivi) o distribuito (cavi di
collegamento – resistenze continue), sono collegate in serie se ognuna è percorsa dalla stessa
intensità di corrente.
La caduta ohmica di tensione sui capi di ogni resistenza costituente la serie è determinata dalla
prima legge di Ohm.
Nel caso cui si fa riferimento, il tratto di circuito è costituito da tre resistenze
321
R;R;R percorse
da un’intensità di corrente i.
Ai capi di ogni resistenza la caduta ohmica sarà:

iRVVV
11BA
? D
iRVVV
22CB
? D
iRVVV
33DC
? D

391
La caduta ohmica complessiva, o differenza di potenziale totale, tra il morsetto iniziale della prima
resistenza e quello terminale dell’ultima, è quindi pari alla somma delle cadute di tensione:

iRiRiRVVVVVV
321321DA
?+?+? D+D+D D
( )iRRRV
321
?++ D

La differenza di potenziale totale per effetto di resistenze collegate in serie è dunque pari a quella
che si otterrebbe in un circuito virtuale composto da una sola resistenza equivalente di valore pari
alla somma delle resistenze in serie:

iRV
EQ
? D

Con, nel caso particolare di tre resistenze:

321EQ
RRRR ++

Mentre, in generale:

n21EQ
R...................RRR +++ RESISTENZE IN SERIE

VA
R
1 2R R
3
VD
B C
VA VD
R
EQ=
1RR
2++R
3
i
i
CIRCUITO REALE
CIRCUITO EQUIVALENTE

R14 – 36/4 – RESISTENZE IN SERIE – RESISTENZA EQUIVALENTE

392
RESISTENZE IN PARALLELO
Due o più resistenze sono collegate in parallelo, quando i morsetti di ognuna sono raggruppati in
modo da formare due nodi A e B ai quali è applicata la differenza di potenziale VD.
Ad ogni resistenza è quindi applicata la stessa tensione.
La corrente, proveniente da un altro tratto di circuito posto a monte del nodo A, si suddivide nel
nodo stesso dando luogo ad intensità di corrente
321
i;i;i inversamente proporzionali ai valori delle
resistenze che attraversa.
L’intensità di corrente entrante nel nodo A è uguale alla somma delle correnti che attraversano le
resistenze del parallelo ed uguale alla corrente uscente dal nodo B (Equazione di continuità).
La caduta ohmica di tensione ai capi di ogni resistenza in parallelo è uguale alla differenza di
potenziale tra i due nodi A e B (legge di Ohm).

USCENTE321ENTRANTE
iiiii ++ EQUAZIONE DI CONTINUITA’
11
BA
1
R
V
R
VV
i
D

LEGGE DI OHM
22
BA
2
R
V
R
VV
i
D

“

33
BA
3
R
V
R
VV
i
D

“

Utilizzando l’equazione di continuità della corrente e le leggi di Ohm ai vari tratti del parallelo, si
ottiene la seguente relazione:

?
?
?
?
?
?
?
?
++?D
D
+
D
+
D

321321
R
1
R
1
R
1
V
R
V
R
V
R
V
i

Le resistenze collegate tra loro in parallelo hanno quindi lo stesso effetto che avrebbe
un’unica resistenza virtuale equivalente di valore:
EQ
R
V
i
D

Dal confronto si ottiene la relazione di dipendenza tra la resistenza equivalente e le
resistenze collegate in parallelo:

321EQ
R
1
R
1
R
1
R
1
++ RESISTENZE IN PARALLELO

L’inverso della resistenza equivalente a resistenze in parallelo è uguale alla somma degli
inversi di ogni resistenza componente.
Nel caso più generale di n resistenze in parallelo, si ha:

n21EQ
R
1
................
R
1
R
1
R
1
+++

Da notare che l’inverso della resistenza altro non è che la conducibilità.

393
VA
i
VB
i
i
R
1
R
2
R
3
1
2
3
i
i
AV
BV
i
EQR
i
i
1
R
EQ
=
1
R
1
+
R
1
2R
1
+
3
CIRCUITO REALE CIRCUITO EQUIVALENTE

R14 – 37/4 – RESISTENZE IN PARALLELO – RESISTENZA EQUIVALENTE

GENERATORI IN SERIE
Due o più generatori di tensione sono collegati in serie, quando si realizza una connessione tra
morsetti di polarità opposta costituendo così una catena in cui sono liberi il polo positivo del primo
generatore ed il polo negativo dell’ultimo.
La stessa intensità di corrente circola in tutti i generatori.
La somma delle forze elettromotrici di ciascun generatore costituisce la tensione o differenza di
potenziale che la serie di generatori applica al circuito esterno connesso ai morsetti terminali della
serie.
La somma delle resistenze interne di ciascun generatore è la resistenza interna equivalente del
generatore che, virtualmente, potrebbe sostituire la serie.

n21EQ
E........EEE +++ TENSIONE EQUIVALENTE
n.I2.I1.IEQ.I
R..........RRR +++ RESISTENZA INTERNA EQUIVALENTE

Lo scopo del collegamento in serie di più generatori di tensione è proprio quello di ottenere tensioni
complessive elevate utilizzando più generatori a basso o medio potenziale.

Applicando la legge di Ohm al circuito equivalente si ottiene il valore dell’intensità di corrente:

EEQ.I
EQ
RR
E
i
+

Occorre tenere presente che, solitamente, generatori con f.em. relativamente basse non possono
sopportare correnti eccessivamente elevate.

394
VA
R
I.1
VD
B C
VAVD
R
I.EQ=
I.1RR
I.2+ +R
I.3
i
i
CIRCUITO REALE
CIRCUITO EQUIVALENTE
E1 E
R
I.2
2
R
I.3
E3
R
I.EQ
EEQ
EQE E+=E
1E+
2 3

R14 – 38/4 – GENERATORI IN SERIE – GENERATORE EQUIVALENTE

GENERATORI IN PARALLELO
Due o più generatori sono collegati in parallelo quando sono connessi in modo tale che tutti i poli
positivi sono raggruppati in un nodo A e tutti i poli negativi sono raggruppati in un nodo B.
La forza elettromotrice del generatore equivalente al parallelo dei generatori componenti è pari alla
tensione esercitata da un singolo generatore.
In questo caso, allo scopo di evitare circuitazioni di corrente all’interno del parallelo dovute allo
squilibrio delle tensioni dei componenti, occorre che tutte le forze elettromotrici abbiano lo stesso
valore.
La resistenza interna del generatore equivalente è invece pari a quella che si ottiene considerando le
resistenze interne in parallelo.
L’intensità di corrente che circola nel circuito esterno (corrente totale) si suddivide nei rami del
parallelo dei generatori in funzione delle resistenze interne di ognuno:

n.I2.I1.IEQ.I
R
1
.........
R
1
R
1
R
1
+++

Solitamente i valori delle resistenze interne dei generatori sono uguali e, in questo caso, si
ottiene:

IEQ.I
R
1
n
R
1
?

Da cui si ottiene:
n
R
R
I
EQ.I

L’intensità di corrente che circola nel circuito è dunque determinata da:

395
n
R
R
E
i
I
E
+

Con:
E
R Resistenza del circuito esterno
I
R Resistenza interna di ogni generatore componente il parallelo
n Numero di generatori

Nel caso in cui il numero di generatori sia elevato il termine
n
R
I
tende ad annullarsi ed l’intensità
di corrente tende al valore che avrebbe nel caso di resistenza interna nulla:
E
R
E
i#

Lo scopo del collegamento di generatori in parallelo è quello di consentire l’alimentazione
del circuito esterno con una corrente di intensità superiore a quella sopportabile da un solo
generatore e che è definita “ corrente di pieno carico”.

VA VB
R
I.1
PARALLELO
= 0,3N
= 0,3RI.2 N
= 0,3R
I.3 N
= 0,3R
I.4 N
= 0,3RI.5 N
=1,8 VE
1
=1,8 VE
5
VA VB
EQUIVALENTE
= 0,06
=1,8 VE
RI.E Q
EQ
N
=1,8 VE2
E=1,8 V
3
E=1,8 V
4
COLLEGAMENTO REALE

R14 – 39/4 – GENERATORI IN PARALLELO – GENERATORE EQUIVALENTE

396
ESERCIZI
COLLEGAMENTO IN SERIE E PARALLELO

Esercizio 1:
Calcolare la f.e.m. e la resistenza interna totale di 5 pile, collegate in serie e poi in parallelo,
sapendo che ciascuna di esse ha una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna ()W 3,0R
I .

Soluzione:

Collegamento in serie:
La f.e.m. e la resistenza interna del generatore equivalente ai generatori in serie sono
rispettivamente la somma delle f.e.m. e la somma delle resistenze interne:

() ()V9V8,15EnE
EQ
? ?
() ()W W? ? 5,13,05RnR
IEQ.I

Collegamento in parallelo:
Se le pile sono collegate in parallelo, la tensione del generatore equivalente è uguale alla
tensione di una pila singola, mentre, la resistenza interna equivalente è pari alla resistenza
interna della singola pila diviso il numero di pile:
()V8,1E
EQ

()
()W
W
06,0
5
3,0
5
R
R
I
EQ.I

VA VB
R
I.1
PARALLELO
= 0,3N
= 0,3RI.2 N
= 0,3R
I.3 N
= 0,3R
I.4 N
= 0,3RI.5 N
=1,8 VE
1
=1,8 VE
5
VA VB
EQUIVALENTE
= 0,06
=1,8 VE
RI.E Q
EQ
N
=1,8 VE2
E=1,8 V
3
E=1,8 V
4
COLLEGAMENTO REALE

R14 – 40/4 – COLLEGAMENTO DI GENERATORI IN PAR ALLELO

397
R
I.1
SERIE
= 0,3N
= 0,3R
I.2 N
= 0,3R
I.3 N
= 0,3RI.4 N
= 0,3R
I.5 N=1,8 VE
1
=1,8 VE
5
VA V
EQUIVALENTE
= 1,50
= 9,0 VE
R
I.E Q
EQ
N
E=1,8 V
3
E=1,8 V4
COLLEGAMENTO REALE
BVAV
=1,8 VE
2

R14 – 40/4 – COLLEGAMENTO DI GENERATORI IN SERIE

Esercizio 2:
Calcolare la resistenza interna e la f.e.m. di una batteria costituita da 25 pile disposte in serie
sapendo che 10 di esse hanno una f.e.m. di 1,5 (V) e una resistenza interna di ()W2,0 , mentre le
altre 15 hanno una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di ()W6,0 .

Soluzione:
Ai capi terminali della batteria di 25 pile in serie si ha una forza elettromotrice pari alla somma
delle f.e.m. di tutte le pile:

() () ()V42V8,115V5,110V ?+? D

La resistenza interna della batteria è pari alla somma delle resistenze interne:

() () ()W W?+W? 116,0152,010R
I

Esercizio 3:
20 pile, ciascuna con una tensione di 1,8 (V) e resistenza interna ()W7,0 , sono collegate prima in
serie e poi in parallelo.
Determinare l’intensità di corrente nei due casi quando il sistema alimenta un circuito esterno
avente resistenza di ()W22

Soluzione:

Batteria di pile collegate in serie:
() ()V36V8,120E
EQ
?
() ()W W? ? 147,020R20R
IEQ.I
Con la legge di Ohm estesa a tutto il circuito, si ha:

398
()
()
()A1
36
V36
RR
E
i
EEQ.I
EQ

W

+

Batteria di pile collegate in parallelo:
()V8,1E
EQ

()
()Wì
W

2I
EQ
105,3
20
7,0
20
R
R
()
()
()A082,0
035,22
V8,1
RR
E
i
EEQ.I
EQ
PAR

W

+

Esercizio 4:
Una batteria formata da elementi uguali in serie, ciascuno con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna
()W5,0 , alimenta con una corrente di 0,3 (A) una resistenza di ()W66. Determinare il numero di
elementi che costituiscono la batteria.

Soluzione:
L’intensità di corrente che circola nel circuito è data da:
EQ.IE
EQ
RR
E
i
+

Tenendo presente i dati del problema ed il fatto che i generatori sono in serie, si ottiene:
()
() ()W?+W
?

5,0n66
V8,1n
i
Da cui:

( ) 8,1n5,0n66i ? ?+?
8,1n5,0ni66i ? ??+?
5,0ni8,1n66i ??? ?
( ) 66i5,0i8,1n ? ??

()
()
( )elementi12
5,03,08,1
66A3,0
5,0i8,1
66i
n
W?
?

?
?

Esercizio 5:
10 pile in serie, ciascuno con tensione E uguale a 1,6 (V) e resistenza interna di ()W1,0 , sono
collegate con una resistenza esterna di ()W15. Determinare la potenza generata e la potenza utile
(cioè quella che si ottiene ai capi della resistenza esterna).

Soluzione:
La corrente circolante nel circuito avrà un’intensità pari a:
() ()
()
()A1
16
V16
1,01015
V6,110
RR
E
i
EQ.IE
EQ

W

?+
?

+

La potenza utile ai capi della resistenza esterna si ottiene dalla relazione:
( ) ()()()> @() ( )Watt15A1A11V16iiREiVP
EQ.IEQ
??W ?? ?D

La potenza titale generata è pari a:

399
()
()
( )Watt16
16
A16
RR
E
P
22
EQ.IE
EQ
2

W

+

Il rendimento della batteria di generatori in serie è quindi data da:
%94100
16
15
P
P
T
U
#? h

Esercizio 6:
Calcolare l’intensità di corrente in un circuito alimentato da 5 gruppi di pile, collegati in parallelo,
sapendo che ciascuno di questi gruppi è costituito da 10 pile, collegate in serie, che presentato
ciascuna una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di ()W1,0 .
La resistenza esterna del circuito è di ()W50.

Soluzione:

50N
1,8 V
N0,1

La tensione equivalente e la resistenza interna di un gruppo di generatori in serie è data da:

( )
() ()V18V8,110E
SERIE.EQ
?
( )
()()W W? 11,010R
SERIEEQ.I

La tensione equivalente e la resistenza equivalente dei 5 gruppi in parallelo, sarà data da:

( )
()V18E
P ARALL.EQ

400
( )
()
()W
W
2,0
5
1
R
PARALLEQ.I

L’intensità di corrente che circola nel circuito per effetto della batteria e della resistenza esterna, è
data da:
( )
( )
()
()
()A358,0
2,50
V18
RR
E
i
PARALL.EQ.IE
PARALL.EQ

W

+

Esercizio 7:
Tre resistenze rispettivamente di ()W5, ()W10 e ()W25 sono collegate in serie. Determinare la
conduttanza equivalente.

Soluzione:
La resistenza equivalente è la somma delle resistenze componenti la serie:

()W 40R
EQ

La conduttanza equivalente è l’inverso della resistenza equivalente:

()
( )Siemens025,0
40
1
G
W

Esercizio 8:
Quattro resistenze hanno ciascuna un valore triplo di quella precedente. Sono collegate in serie e la
resistenza totale è di ()W20. Determinare il valore delle resistenze.

Soluzione:
Se si definisce con
1
Rla prima resistenza della serie, allora si avrà:

1111EQ
R333R33R3RR ???+??+?+

Da cui si ottiene:

( )2027931R
1
+++?
()
()W
W
5,0
40
20
R
1
Per cui cui:
()W 5,1R
2
()W 5,4R
3
()W 5,13R
4

Esercizio 9:
Determinare la resistenza da aggiungere ad una seconda resistenza da ()W50 affinché la resistenza
complessiva si riduca a ()W10.

401
Soluzione:
E’ evidente che il collegamento tra le due resistenze deve essere in parallelo.
Considerando il valore della resistenza equivalente e la regola per il collegamento in parallelo, si
ottiene:

()R
1
50
1
R
1
EQ
+
W

Avendo indicato con R la resistenza incognita e con
EQ
Rla resistenza complessiva, si
ottiene:
50
4
50
15
50
1
10
1
50
1
R
1
R
1
EQ

Da cui:
() ()W W 5,12
4
50
R

Esercizio 10:
Due fili di manganina, uno di sezione ( )
2
1
mm2S e lunghezza 3 (m) e l’altro con sezione
( )
2
1
mm3S e lunghezza 2 (m), sono collegati in parallelo. Determinare la resistenza equivalente e
la lunghezza che dovrebbe avere un filo di rame di sezione ( )
2
3
mm5,0S se fosse messo al posto
dei due fili di manganina.
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
016,0
2
Cu
?
?
?
?
?
?
?
??W
r
m
mm
45,0
2
Mn

Soluzione:
Si determina innanzi tutto la resistenza dei due fili di manganina utilizzando la seconda legge di
Ohm:
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 675,0
mm2
m3
m
mm
45,0
S
L
R
2
2
1
1
Mn1
()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 30,0
mm3
m2
m
mm
45,0
S
L
R
2
2
2
2
Mn2

Occorre poi determinare la resistenza equivalente dei due fili collegati in parallelo:
21
12
21EQ
RR
RR
R
1
R
1
R
1
?
+
+
()
()
()W
W+
W?

+
?
21,0
3,0675,0
30,0675,0
RR
RR
R
2
12
21
EQ

Dalla valore della resistenza equivalente si determina poi la lunghezza che dovrebbe avere il filo di
rame se utilizzato al posto dei due fili in parallelo:

402
Cu
Cu
CuEQ
S
L
R ?r
()( )
()m125,13
m
mm
016,0
mm121,0SR
L
2
2
Cu
CuEQ
Cu

?
?
?
?
?
?
?
??W
?W

r
?

Esercizio 11:
Due resistenze sono collegate in serie e danno una resistenza complessiva di ()W150 . Se invece
sono collegate in parallelo la resistenza scende a ()W
3
100
.
Calcolare il valore delle due resistenze.

Soluzione:
Dalle relazioni relative al collegamento in serie e parallelo, si ricava:

()W + 150RR
21
>@W
+
?
3
100
RR
RR
21
21

Sostituendo nella seconda:
>@W
?
3
100
150
RR
21

10050RR
21
? ?
2
1
R
000.5
R
Tornando alla prima:
150R
R
000.5
2
2
+
R150R000.5 2
2
? +
0000.5R150R
2
2
2
+?

Risolvendo l’equazione di secondo grado si ottiene il valore della resistenza
2
R:

r r
?
?
?
?
?
?
?
?
r 257562575000.5
4
150
2
150
R
2
2

100R
2
50R
2
50R
1
100R
1

Esercizio 12:
Un filo di nichel con resistenza di ()W6 è collegato in serie con un filo di manganina che presenta
una resistenza di ()W20. Entrambi i fili sono ad una temperatura di 0 °C: quale sarà la resistenza
complessiva a 200 °C ?
Coefficienti di temperatura:
Nichel 0056,0+ a
Manganina 00001,0+ a

403
Soluzione:
La resistenza a 200 ° C del filo di nichel e di manganina si ottiene dalla relazione:

( )T1RR
0200
D?a+?

Per cui:
()( ) ()W ?+?W 72,12K2000056,016R
Ni
()( ) ()W ?+?W 04,20K20000001,0120R
Mang

La resistenza complessiva dei due fili, collegati in serie e ad una temperatura di 200 °C, è data dalla
somma delle resistenze:

()W + 76,3204,2072,12R
200.EQ

Esercizio 13:
Calcolare l’intensità di corrente che attraversa due resistenze da 100 e ()W150 collegate in serie,
quando ai capi della serie agisce una tensione di 220 (V).

Soluzione:
La resistenza equivalente è data dalla somma delle resistenze:

()W 250R
EQ

Con la legge di Ohm si determina il valore dell’intensità di corrente, comune alle due
resistenze:
()
()
()A88,0
250
V220
R
V
i
EQ

W

D

Esercizio 14:
Una batteria di pile con f.e.m. ()V25E e resistenza interna ()W 2R
I , alimenta due resistenze
aventi resistenza di ()W10 e ()W5 collegate in serie. Determinare l’intensità della corrente nel
circuito.
Soluzione:
La resistenza esterna del circuito è pari alla somma delle resistenze collegate in serie, cioè:
()W 15R
EQ
La corrente che circola nel circuito interno ed esterno si ricava tendo conto della forza
elettromotrice della batteria di pile e della resistenza interna:
()
()
()A47,1
17
V25
RR
E
i
IEQ

W

+

Esercizio 15:
Una batteria di pile con f.e.m. ()V25E e resistenza interna ()W 4R
I alimenta due resistenze
da ()W30 e ()W20 rispettivamente, disposte in parallelo. Determinare l’intensità di corrente
erogata dalla batteria e l’intensità di corrente che percorre ciascuna delle due resistenze.

Soluzione:
Le resistenze esterne collegate in parallelo sono equivalenti ad una resistenza di:
21
12
21EQ
RR
RR
R
1
R
1
R
1
?
+
+

404
()
()
()W
W
W?

+
?
12
50
2030
RR
RR
R
2
12
21
EQ

L’intensità di corrente che circola per effetto della batteria di pile è data da:
()
()
()A56,1
16
V25
RR
E
i
IEQ

W

+

La corrente che circola in ognuna delle resistenze si ricava tenendo conto della legge di Ohm
e della caduta di tensione ai morsetti della batteria:

()() ()
()
()A62,0
30
A56,14V25
R
iRE
R
V
i
1
I
1
1

W
?W

?

D

L’intensità di corrente nell’altra resistenza si calcola per differenza con la corrente totale:
()A94,062,056,1iii
12

VA
i
VB
i
R
1
R2
1
2
i
i
AV
BV
i
EQR
i
i
1
R
EQ
=
1
R
1
+
R
1
2
CIRCUITO REALE
CIRCUITO EQUIVALENTE

Esercizio 16:
Tre resistenze rispettivamente di ()W5,7 , ()W15 e ()W5,17 , sono collegate in serie tra di loro ed in
parallelo con una resistenza di ()W25. La tensione ai capi del sistema è di 200 (V). Calcolare
l’intensità di corrente in ciascuna resistenza.

Soluzione:
Il collegamento in serie delle tre resistenze da luogo ad una resistenza equivalente pari a:

()W ++ 405,17155,7R
1.EQ

405
Il collegamento in parallelo di tale resistenza equivalente con l’altra resistenza, da luogo ad una
resistenza equivalente di:
()
()
()W
W
W?

+
?
38,15
65
2540
RR
RR
R
2
1.Eq
1.EQ
2.EQ

La corrente che circola nel circuito è data dalla legge di Ohm:
()
()
()A13
38,15
V200
R
V
i
2.EQ

W

D

Tale intensità di corrente si suddivide al nodo di collegamento tra la serie di resistenze e la
resistenza singola in modo che la tensione ai capi dei due circuiti sia uguale, per cui:
()
()
()A5
40
V200
R
V
i
1.EQ
1

W

D
nella batteria di tre resistenze in serie

()
()
()A8
25
V200
R
V
i
2

W

D
nel circuito con una sola resistenza

Esercizio 17:
Due resistenze, da ()W10 e ()W25 rispettivamente, sono collegate prima in serie e poi in parallelo
ai capi di un generatore di tensione da 150 (V). Calcolare la potenza che si dissipa
complessivamente sulle resistenze nei due casi.

Soluzione:
Nel caso di collegamento in serie:
()W + 352510R
EQ
()
()
( ) ( )WattA
sA
J
AV643
A
V
V
643
35
V150
R
V
P
222
EQ
2
SERIE
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

W

D

Nel caso di collegamento in parallelo:

()
()
()W
W
W

+
?
14,7
35
250
RR
RR
R
2
21
21
EQ

()
()
( ) ( )WattA
sA
J
AV151.3
A
V
V
151.3
14,7
V150
R
V
P
222
EQ
2
PAR
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

W

D

Esercizio 18:
Due batterie, costituite la prima da 15 elementi e la seconda da 5 (ogni elemento presenta una f.e.m.
()V8,1E e una resistenza interna ()W 2R
I ) sono collegate prima in serie e poi in parallelo per
alimentare una resistenza ()W 10R . Calcolare l’intensità di corrente attraverso la resistenza nei
due casi.

Soluzione:
La prima batteria di generatori, costituita da 15 elementi in serie, è equivalente ad un generatore
unico che ha le seguenti caratteristiche:

() ()V27V8,115EnE
EQ
? ?

406
() ()W W? ? 30215RnR
IEQ.I

La seconda batteria è caratterizzata da:

() ()V0,9V8,15EnE
EQ
? ?
() ()W W? ? 1025RnR
IEQ.I

Se le due batterie sono poi collegate in serie si avrà:

()V36927EEE
2EQ1EQEQ
+ +
()W + + 401030RRR
2EQ.I1EQ.IEQ

Quando le due batterie in serie alimentano la resistenza esterna, il valore dell’intensità di
corrente sarà data da:
()
() ()
()A72,0
1040
V36
RR
E
i
EQ.I
EQ

W+W

+

Diverso è il discorso quando le batterie sono collegate in parallelo.
Occorre considerare che, ai capi del parallelo di batterie, la differenza di potenziale ha un unico
valore sia che lo si consideri applicato dall’una o dall’altra serie di generatori.
Inoltre la corrente che percorre il circuito esterno deve essere uguale alla somma delle correnti che
attraversano i due rami del parallelo.
Ragionando sul circuito esterno si ricava l’intensità di corrente:
R
V
i
D
Corrente complessiva sul circuito esterno
Con:

111
iREV ? D Tensione ai capi della 1° serie di batterie in parallelo
222
iREV ? D Tensione ai capi della 2° serie

Da cui si ricava:

122111
iREiRE ? ? Parità della tensione ai capi del parallelo

Tenendo conto dell’equazione di continuità della corrente uscente o entrate ai nodi del parallelo, si
ottiene:
21
iii +

E utilizzando una della due relazioni precedenti:

R
iRE
R
V
i
111
?

D

Si ricava:
R
iRE
ii
111
21
?
+

407
In conclusione, si dispone di due equazioni contenenti ognuna le due incognite del problema, cioè i
valori delle intensità di corrente attraverso i due rami del parallelo.
Tali equazioni costruiscono un sistema dal quale si ricaveranno le incognite:

?
?
?
?
?
? ?
?

222111
111
21
iREiRE
R
iRE
ii

Con:
: 30R
1 Resistenza interna equivalente della batteria da 15 elementi in serie
: 10R
2 Resistenza interna equivalente della batteria di 5 elementi in serie
V27E
1
Tensione equivalente della prima batteria in serie
V9E
2
Tensione equivalente della seconda batteria in serie
: 10R Resistenza esterna

Si può risolvere il sistema ad esempio ricavando
2
i dalla seconda e sostituendo nella prima:

?
?
?
? ?
? ?
222111
11121
iREiRE
iREiiR

?
?
?
? ?
? ??
222111
11121
iREiRE
iREiRiR

?
?
?
? ?
? ??
222111
21111
iREiRE
iREiRiR
??

?
?
?
? ?
? ?
222111
2111
iREiRE
iRERRi

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?

?

222
1
21
11
1
21
1
iRE
RR
iRE
RE
RR
iRE
i
??
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?

?

22
1
21
121
1
21
1
iR
RR
iRE
REE
RR
iRE
i

?
?
?
?
?
?
?
?

?
?

?

22
1
21
121
1
21
1
iR
RR
iRE
REE
RR
iRE
i

??

?
?
?
?
?
??? ???

?

2111122121
1
21
1
iRRERRRiRRREE
RR
iRE
i

?
?
?
?
?
??? ????????

?

211121222122111
1
21
1
iRRERiRRiRRRERERERE
RR
iRE
i

?
?
?
?
?
????? ????

?

1221111111222
1
21
1
REREREREERRRRRRRi
RR
iRE
i

408
()
?
?
?
?
?
?
?

?+?+?
?+?+???

+
?

A128,0
700
90
103030101010
309109302710272730
i
RR
iRE
i
2
1
21
1

()
()?
?
?
?
?

+
?

A128,0i
A643,0
3010
128,01027
i
2
1

La tensione applicata dalla batteria di generatori in parallelo ai capi della resistenza esterna è quindi
determinata da:

() () () ()V71,7A643,030V27iREV
111
?W ? D
() () () ()V71,7A128,010V9iREV
222
?W ? D

VA
R
i
i2
i1
VB
E
2
E
1
R
2
R
1

Esercizio 19:
Una resistenza di costantana lunga 3 (m) e di sezione ( )
2
mm7 è collegata ai poli di una batteria di
15 pile ciascuna con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna ()W8,0 . Determinare l’intensità di
corrente nel circuito e la quantità di calore sviluppata dalla resistenza in 1 ora e 15 minuti di
funzionamento, nei casi di pile poste in serie o in parallelo.

Soluzione:
Il valore della resistenza esterna di costantatana determinata dalla seconda legge di Ohm:

()
( )
()W ?
?
?
?
?
?
?
?
??W
?r 21,0
mm7
m3
m
mm
49,0
S
L
R
2
2

409
La batteria di pile poste prima in serie e poi in parallelo è equivalente ad un generatore che
ha, rispettivamente, le seguenti caratteristiche:
x In serie:
() ()V27V8,115E ?
() ()W W? 128,015R
I
x In parallelo:
()V8,1E
()
()W
W
053,0
15
8.0
R
L’intensità di corrente sviluppata dai due collegamenti è data da:
()
()
()A21,2
1221,0
V27
RR
E
i
I
S
S

W+

+

()
()
()A84,6
053,021,0
V8,1
RR
E
i
I
P
P

W+

+

La quantità di calore sviluppata dalla resistenza esterna nel tempo dato è determinata da:

J
W
Q
Con:
tiVW ??D

Quindi, nei due casi si ha:
( ) ( ) ()J773.4607521,221,21227tiiREW
SSS
???? ???
()
( )kcal14,1
kcal
J
186.4
J773.4
Q
S

?
?
?
?
?
?

( ) ( ) ()J245.44607584,684,6053,08,1tiiREW
SSP
???? ???
()
( )kcal57,10
kcal
J
186.4
J245.44
Q
P

?
?
?
?
?
?

Esercizio 20:
Ai poli di una batteria di 15 pile in serie, ciascuna con una f.e.m. di 1,5 (V) e resistenza interna di
()W4,0 , è collegato un filo di argentana di sezione ( )
2
mm2 . Sapendo che nel filo passa una
corrente di 0,4 (A), determinarne la lunghezza.

Soluzione:
La batteria di pile in serie sviluppa una f.e.m. e una resistenza equivalente pari a:
() ()V5,22V5,115E ?
() ()W W? 64,015R
I

Dato che si conosce l’intensità di corrente, è possibile determinare il valore della resistenza esterna
dalla relazione:

410

RR
E
i
I
+

( ) EiRR
I
?+
()() ()
()
()W
?W

?
25,50
A4,0
A4,06V5,22
i
iRE
R
I

Dalla resistenza del filo si ottiene poi la sua lunghezza:
S
L
R ?r
()( )
()m6,271
m
mm
37,0
mm225,50SR
L
2
2

?
?
?
?
?
?
?
??W
?W

r
?

Esercizio 21:
Calcolare la resistenza di un filo che unisce i due poli di una batteria di 10 pile in serie, ciascuna
della quali presenta una f.e.m. di 1,8 (V) e una resistenza interna di ()W2,0 , sapendo che il filo è
percorso da una corrente di 0,8 (A). Determinare inoltre il tempo necessario per dissipare sulla
resistenza un’energia di 0,1 (kWh).

Soluzione:
La tensione e la resistenza equivalente della batteria di pile in serie è:

()V18E
()W 2R
I

La resistenza del filo di unione è data da:
RR
E
i
I
+

()W
?

?
5,20
8,0
8.0218
i
iRE
R
i

Il tempo necessari per dissipare sulla resistenza l’energia data è:
( )tiiREW
i
???
( )
()
() ()
() ()()()s19min37h7s439.27
A8,0V4,16
J106,31,0
iiRE
W
t
6
I
?
?
ì?

??

Esercizio 22:
Ai capi di due resistenze elettriche in serie, la prima di ()W500 e la seconda di ()W000.5 , è
applicata una tensione di 220 (V). Calcolare come tale tensione si distribuisce tra le due resistenze.

Soluzione:
La resistenza equivalente alla serie è pari alla somma delle resistenze:

()W 500.5R
EQ

Per effetto di tale tensione si genera un passaggio di corrente la cui intensità è data da:

411
()
()
()A04,0
A
V
V
04,0
500.5
V220
R
V
i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

W

D

Tale corrente provoca una caduta di tensione su ogni resistenza data dalla legge di Ohm:

() () ()V20A04,0500iRV
11
?W ? D
() () ()V200A04,0000.5iRV
22
?W ? D

Esercizio 23:
Collegando ad una batteria di 30 pile in serie, ciascuna con f.e.m. di 1,8 (V) e resistenza interna di
()W7,0 , un resistore a filo di nichel di sezione ( )
2
mm2 , si ha una corrente di 0,8 (A). Determinare
la lunghezza del filo e l’energia dissipata nel resistore in 3 ore e 35 minuti di funzionamento.

Soluzione:
La tensione e la resistenza equivalenti della batteria di pile in serie:
()V54E
()W 21R
I

Dal valore dell’intensità di corrente si ricava la lunghezza del filo:
FI
RR
E
i
+

EiRiR
FI
?+?
i
iRE
S
L
R
I
F
?
?r
( ) ( )()( )
()
()m23,894
m
mm
104,0A8,0
mm2V8,02154
i
SiRE
L
2
2
I

?
?
?
?
?
?
?
??W
?
??

r?
??

L’energia dissipata dal resistore esterno è data da:

tiVW ??D
( )() () () () ( )kWh11,0J1002,4s500.13A8,0V8,02154W
5
ì ???

Esercizio 24:
Un circuito è costituito da un riscaldatore da 300 (W) e da tre lampadine in serie da 25 (W) caduna.
La potenza erogata dal generatore è di 2 (CV). Calcolare il rendimento del generatore e la quantità
di calore prodotta in un’ora dal riscaldatore.

Soluzione:
Occorre convertire la potenza del generatore, data in CV, in Watt:
() () ()W
s
J
471.1
kg
N
81,9
s
mkg
75CV2CV2P ??
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
La potenza assorbita dal circuito è data dalla somma delle potenze in serie:

()W37575300P
A
+

412

Il rendimento del generatore è dato dal rapporto tra la potenza assorbita e la potenza
effettivamente erogata:
%49,25100
471.1
375
100
P
P
A
? ? h

La quantità di calore prodotta in un ora dal riscaldatore è data da:

() ()
( )kcal258
186.4
s600.3W300
kcal
J
186.4
tP
J
W
Q
R.A

?

?
?
?
?
?
?
?

Esercizio 25:
Il parallelo di 25 lampadine da 40 (W) è sottoposto ad una tensione di 200 (V). Determinare
l’intensità della correnteche attraversa ogni lampadina.

Soluzione:
Tutte le lampadine in parallelo sono attraversate dalla stessa intensità di corrente in quanto
alimentate dalla stessa tensione.
L’intensità di corrente si determina tenendo conto della potenza caratteristica della lampadina:

()W40iVP ?D
()
()A2,0
sA
J
s
J
2,0
V200
s
J
40
V
P
i
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

Esercizio 26:
Un generatore alimenta ad una tensione di 220 (V) il parallelo di tre lampade da 50 (W), 40 (W) e
200 (W) rispettivamente.
Calcolare l’intensità di corrente erogata dal generatore.

Soluzione:
Con la formula dell’esercizio precedente si determina la corrente passante su ogni lampada:
()
()A227,0
sA
J
s
J
227,0
V220
s
J
50
V
P
i
1
1

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

()
()A181,0
sA
J
s
J
181,0
V220
s
J
40
V
P
i
2
2

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

()
()A909,0
sA
J
s
J
909,0
V220
s
J
200
V
P
i
3
3

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?

D

La corrente erogata dal generatore è quindi la somma di quelle calcolate:

413
()A317,1i

Esercizio 27:
Un circuito è alimentato da una batteria avente f.e.m. di 12 (V) e resistenza interna di ()W1,0 . Nel
circuito, percorso da una corrente di 3 (A), sono inseriti una lampada in serie con una resistenza da
()W2. Calcolare la resistenza della lampada.

Soluzione:
Ai capi della serie del circuito esterno (lampada e e resistenza) è applicata una tensione pari a:

()V7,1131,012iREV
I
? ? D

La resistenza equivalente del circuito esterno è data dalla somma della resistenza nota e
della resistenza incognita della lampada:

LLEQ
R2RRR + +

Tenendo conto della tensione applicata, della corrente e della relazione della resistenza
equivalente, si ottiene la resistenza della lampada:
i
V
R2R
LEQ
D
+
()
()
() ()W W
D
9,12
A3
V7,11
2
i
V
R
L

Esercizio 28:
Una batteria alimenta un circuito costituito da un riscaldatore da 600 (W) posto in serie con una
lampadina la cui resistenza è di ()W30. Sapendo che la tensione ai capi del riscaldatore è 220 (V),
determinare:
x l’intensità di corrente che fluisce nel circuito
x la tensione ai capi della batteria
x la potenza assorbita dal circuito

Soluzione:

414
i
E
R
R
L
R
R
VBAV
I

Utilizzando la caduta di tensione sul riscaldatore e la sua potenza utile, si ottiene l’intensità di
corrente che attraversa il circuito:

iVP
AB
?D
()
()
()A73,2
V220
W600
V
P
i
D

Applicando poi la legge di Ohm alla resistenza della lampadina si determina la caduta di tensione
sulla lampadina:

() () ()V82A73,230iRV
LL
?W ? D

La f.e.m. del generatore sarà quindi la somma delle cadute di tensione sul riscaldatore e sulla
lampadina (si considera, in assenza di altrio dati, nulla la resistenza interna del generatore):

()V30282220E +

La potenza assorbita dal circuito è quindi data da:

() () ()W46,824A73,2V302iVP ? ?D

Esercizio 29:
Una resistenza di ()W100 è alimentata da una tensione di 220 (V). Quale resistenza occorre
aggiungere in parallelo alla prima affinché la potenza complessivamente fornita dall’alimentazione
sia di 500 (W) ?

Soluzione:
La resistenza complessiva del parallelo che utilizza una potenza di 500 (W) è data dalla relazione:
()W500
R
V
P
EQ
2

D

415
Da cui si ricava:
()
()
()W??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

D

A
V
sAV
sV
s
J
V
8,96
W500
V220
P
V
R
22222
EQ
Dalla legge di collegamento delle resistenze in parallelo, si ottiene la resistenza incognita:

1
1
1EQ
RR
RR
R
1
R
1
R
1
?
+
+
1
1
EQ
RR
RR
R
+
?

Con R uguale alla resistenza incognita:

( )
1EQ1
RRRRR ? ?+
( )
EQ11EQ
RRRRR ? ?
()W

?

?
025.3
1008,96
8,96100
RR
RR
R
1EQ
EQ1

Esercizio 30:
Un circuito è costituito da una resistenza di ()W25 avente in serie il parallelo di tre resistenze
ciascuna del valore di ()W5. Il circuito è alimentato da una tensione di 200 (V). determinare la
resistenza totale e l’intensità di corrente che attraversa ciascun resistore.

Soluzione:
La resistenza equivalente al parallelo delle tre resistenze è data da:
R
1
3
R
1
EQ
?
()W 67,1
3
5
3
R
R
1.EQ
La resistenza equivalente complessiva è data dalla somma:

()W + + 67,262567,1RRR
1.EQ2.EQ

L’intensità di corrente è dunque:
()
()
()A5,7
67,26
V200
R
V
i
2.EQ

W

D

La corrente che attraversa ciascuna delle tre resistenze in parallelo è quindi uguale ad 1/3
della corrente totale:

()A5,2i
P

416
Esercizio 31:
Due resistenze da 10 e ()W15 sono collegate in serie ed una terza da ()W50 è disposta in parallelo
ad esse. Se ai capi del circuito la tensione è di 125 (V), calcolare la d.d.p. ai capi di ogni resistenza e
l’intensità di corrente che le percorre.

Soluzione:
La resistenza equivalente del circuito si ottiene considerando il parallelo tra la terza resistenza e la
resistenza equivalente della serie delle prime due:

()W + 25RRR
211.EQ
()W
+
?

+
?
67,16
2550
2550
RR
RR
R
1.EQ3
1.EQ3
2.EQ

L’intensità di corrente che, complessivamente, percorre il circuito, si determina con la legge di
Ohm:
()
()
()A5,7
67,16
V125
R
V
i
2.EQ

W

D

Ancora con la legge di Ohm si determina la quota di corrente che circola nelle prime due
resistenze in serie:
()
()
()A5
25
V125
R
V
i
1.EQ
S

W

D

La corrente che attraversa la terza resistenza, in parallelo alle prime due, si determina o per
differenza con la corrente totale o ancora con la legge di Ohm:

()A5,2iii
SP

()
()
()A5,2
50
V125
R
V
i
3
P

W

D

La differenza di potenziale ai capi delle tre resistenze è uguale alla caduta ohmica per effetto
dell’intensità di corrente che le attraversa:

()V125V
3
D
()() ()V50A510iRV
S11
?W ? D
()() ()V75A515iRV
S22
?W ? D

Esercizio 32:
Calcolare l’intensità di corrente i che attraversa il circuito rappresentato dallo schema seguente.

Soluzione:

417
E =25 V
R =2,431
I
21 14
151 61
101121 121
12
151 120
121
21
8,571 22,571 251

Si tratta di determinare le varie resistenze equivalenti sino a ricondurre il circuito ad una schema
semplice.
Si applicano le leggi di collegamento delle resistenze e si considera, alla fine, anche la resistenza
interna del generatore come in serie alla resistenza equivalente finale.
La resistenza equivalente finale ha dunque un valore pari a :25 e la corrente che transita nel
circuito è:

A1
25
V25
i
:

418
Esercizio 33:
Calcolare l’intensità di corrente erogata dalla batteria nel circuito seguente.

Soluzione:
E =213 V
R =1N
I
N2
14N 16N
10N12N
N
N8
6
N4
12N
N
N10
14N 16 18N
N2
N
12N 10N
N14 8,47
2N
N12
14N 20,47N
12N
8,32N 20,32N 21,32N

L’intensità di corrente erogata dalla batteria è data da:

()
()
()A10
32,21
V213
i #
W

Il circuito è stato ridotto allo schema semplice finale tenendo conto della resistenza interna del
generatore.

Esercizio 34:
Per il circuito indicato in figura determinare la resistenza equivalente e la corrente totale.
15N
20N
25N
12N
N8
N4
220 V

Calcolo della resistenza equivalente alle tre resistenze in parallelo:

419
156667,0
25
1
20
1
15
1
R
1
1.EQ
++
()W 38,6R
1.EQ

Calcolo della resistenza equivalente alle due resistenze in parallelo:

2083,0
12
1
8
1
R
1
2.EQ
+
()W 8,4R
2.EQ

Calcolo della resistenza equivalente finale:

()W ++ 18,1548,638,6R
3.EQ

La corrente che attraversa il circuito è data da:
()
()
()A5,14
18,15
V220
i
W

Esercizio 35:
Calcolare l’intensità di corrente nei bracci ab, cd, ef del circuito riportato in figura.

Soluzione:

N2
6N N8
N4
R =
E =
I
N2
50 V
a b
c d
e f

Calcolo delle resistenze equivalenti:
Ai capi e,f:

420
: 14R
1.EQ
Ai capi c,d:
: 6R
2.EQ
Ai capi a,b:
:

?
2,4
614
614
R
3..EQ

La resistenza equivalente finale, tenendo conto della resistenza interna del generatore:

: 2,6R
F.EQ

La corrente erogata dalla batteria:

A06,8
2,6
V50
i
:

Nel braccio a,b circola la corrente complessiva sino ai nodi c e d.
Nel braccio c,d la corrente è data da:

A64,5
6
206,850
i
cd

:
?

Nel braccio e,f sino ai nodi c, d la corrente è:

A42,2
14
206,850
i
ef

:
?

La tensione ai capi della batteria è:

V88,33206,850V ? '

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