Enculturacion-matematica cultura segun prof blanco parte 2

cultura

1. 122 | Eneuturncion Matemático

Por lo tanto, la Enculturación Matemática formal debe tener en cuenta los
conflictos con el proceso de encultursciön info

al y transmitir el nivel técnico
de la cultura matemática. Sin embargo, debería concentrarse en todos los niños y
ser responsable ante el grupo cultural formal descrito anterior
te que quienes se encargan de la tarea de la Enculturación Matem:
nen una gran responsabilidad,

Como ya dije antes, la Es n Matemática formal es a la vez un «ob
jeto» y un «proceso». Para que la enculturación se lleve a cabo de una manera in
tencionada y explícita, el fenómeno llamado cultura se tiene que elaborar y obje.
tivar. El peligro es que se niegue la personalidad individual de cada niño y que el
proceso se conceptualice como una mera transmisión. Por lo tanto, al considerar
el currículo Matemático, que es el «objeto» de interés, deberé encontrar una ma
nera de definir el ntos que permita la manifestación de la
personalidad y Iai Éste se
capitulo,

aspecto complementario, el «proceso» de enculturación, se examinará de
manera detallada en el capitulo 6. En este caso, el reto consiste
ceptualizacién del proceso que opere dentro del marco de
to en el capítulo 5. Entre

Por últ
deencult

10s dos capítulos existe una fu
0, en el capítulo 7 me centraré en las personas clave en el proceso.
ración formal, llamadas «Enculturadores Matemáticos», Como se verá
en los dos capítulos siguientes, hay muchas cosas que dependen de los encultu

radores, delas decisiones que toman, de los papeles que desempeñan y de la res

ponsabilidad con que llevan a cabo sus tareas, Son los
tema educativo, quienes deben ser responsables de todo el

ulturadores, y no el ss

5 ENCULTURACIÓN MATEMÁTICA: EL CURRÍCULO

5.1. El proyecto curricular.

Durante los años cincuenta y sesenta apareció un nuevo fen enla edu
cación Matemática: el proyecto curricular Matemático. Se trataba de un «vel
lo» experimental destinado deliberadamente a modificar el currículo y, hoy en
día, este fenómeno es un aspecto bien conocido de la actividad educativa ger
El proyecto curricular
tamente revoluci

ral
ect6 una idea muy deliberada, intervencionista y cier
naria en el proceso educativo, El cambio educativo ya no era al
o que simplemente parecía suceder o que estuviera sometido a unas fuerzas ex:
ternas desconocidas. Se podía imaginar, planificar, experimentar y, si tenía éxito
en una «prueba piloto», era implementado deliberadamente a gran escala.
‘Antes dela época de los proyectos curriculares, el principal constructo orga
nizador para el currículo Matemático era el programa, que hoy en d
mente se llamaría «programa para el examen». El program
1e se esperaba cubrir durante la enseñanza.
iban de manera cronológica o lógica (es deci,
ca) y unas entradas típicas serían

robable

de temas.
Normalmente, estas listas se order
(con una cierta estructura Matem:

Multiplicación de números prefijados.
Media, mediana y modo.
Ecuación de la recta

Estos temas no sólo se encontraban en los programas impresos: con frecuen
cia, también aparecían en los títulos de los capítulos de los libros de texto o en los
encabezados de los apartados de esos capítulos, Además, eran los temas de las
lecciones que se impartan y los enseñantes decían, y aún dicen: «Hoy toca “La
ecuación dela recta”». Este méjodo del program

2. 124 | Encuturacon Matomática

te del valor aromista de la cultura Matemática: se enseñaban pes
programa una después de otra y, gradualmente, se
grandes.

He descrito los programas en estos términos no con un afán crítico, sino pa-
ra indicar la dificultad de representar el currículo Matemático. Incluso ahora nos
podemos preguntar: ¿cómo y en qué forma existe el currículo? ¿Cómo lo sabe.
mos? ¿Es el contenido de los libros de texto? ¿Es el contenido de las lecciones?
¿0 quizá los exámenes? ¿Es la manera en que se enseñan las lecciones? ¿Cómo
deberíamos describir el currículo Matemático? En particular, ¿cuál es la mejor
‘manera de describir un currículo que objetive la cultura Matematica, pero que te
conozca la naturaleza interactiva del proceso de enculturaciön?

En un importante estudio llevado a cabo por Howson, Keitel y Kilpatrick
(1981), se analizaron los procesos y los contenidos del desarrollo curricular Ma.
temático durante los años setenta y se identificaron cinco maneras diferentes de
abordar este currículo que estaban representadas por diversos proyectos curri
culares. Este análisis me ha sido muy itil en mi búsqueda de una representación
apropiada del currículo para la enculturación Matemática

He aquí un resumen de estos cinco enfoques

1. Elenfoque conductista

Este enfoque intentaba mejorar el aprendizaje por medio del «análisis de ta
reas» de una area de contenidos, dando como resultado un procedimiento deta.
ado paso a paso para un aprendizaje secuencial, Se cita a Gagne como el princi
pal agente «teórico» de este enfoque y como ejemplos del mismo cabe citar los
proyectos IPL e IMU. No nos ocuparemos más de este enfoque porque sólo se
dirige al dominio de unos contenidos Matemáticos concretos.

2. El enfoque de las Matemáticas mouernas

Este enfoque se caracteriza como: «Una descripción sistemática de la mate
mática reorganizada para destacar consideraciones estructu
un Jenguaje uniforme y con gran precisión» (pág. 100). También: «El principio
básico de Bourbaki, la deducción de contenidos a partir de axiomas, también
ocupó un lugar fundamental en la enseñanza de las matemáticas» (pág. 101). La
alocución de Dieudonné (1961) al OEEC Seminar en Royaumont se cita como
impulso teórico de este enfoque, y como ejemplos del n

les y presentada en

1. IPH son las spas de Individually Prescribed Instruction Proc; vés un buen ani en
Lidl y Cox. IMU son a sigs de Indias Mathemues
as),

Encuuracién Matemática: et euro | 125

la preparación de futuros Matemáticos Uni

yectos SMSG y SMP? El énfasis DRE

Versitarios y el manifiesto enfoque de arriba a abajo, hace
‘laramente inadecuado para nuestros

3. El enfoque estructuralista

En enfoque tsa nl toi de Ban Dine, como
nen conan) aia qe str els
st tpn ps Ponge despre ena ae
e ras de las dissem (pi, 10). Co
tor ne fogs se cia el proyecto CSMP, aunque el trabajo de Dienes
pts en varias forms diferentes y de manera indireta en vais proyectos
pda canes Mani onan cea formas exces
cara anterna de las Matemáticas no debería determinar por ai sola la

4, El enfoque formativo

iS a date cs ido ro ponme
5 remos algunas asociaciones muy fuertes

enfoque es Pi
Nati Mats Projet. Más adela
y cuando s

Sin embargo, est

on este enfoque, sien
«ión» es culturalmente espec
Tacionadas con el interés del próximo capítulo en el proceso de.

on el «objeto» curricular.

2, SMSC so la vil de Schoo! Mathematics Sty Group ase Wooton (1959) SMP on ls
ic Seh Maia Projet vés Howson (1987 ae
MeN Shion muchos Soul Mathematics Projet ve Heber (97
Heel Maison Dot eae Dans 1969. Para información sobre el

ESM son ls as de C
4, Para informaciôn s
Nut Po, vase Heston (175)

3. 126 | Enouturacién Matemática
5. Elenfoque de la enseñanza integrada

Este og sedal po mo br mia pi
meras afirmaciones sobre métodos y considera también ls problemas relacio
ados con los contenidos». «Las eas problemáticas del realidad determinarán
«contenido de la enseñanza (pá. 121), Ar es como Howson, Keitel y Kipa
trick describe el currículo, indicando además que «Las unidades curiulares
deben tener a Nexibilidad suite para dejar biets el máximo número de vis
hacia (y dese) un problema, de manera que el proceso de resolución de proble
ma y cn consecuencia ln solución del proces de aprendizaje, pueda set con
trolado por los estudiantes mismos». Es important el hecho de que no ve esa.
bez una disinción entre as diferentes disciplinas y los dos proyectos ctades
como ejemplos de ue enfoque son el USMES y el MMP (CP)? Veremos ave
tural con mgs delle
Es evidente que para Howson, Keitel y Kilpatrick, un curriculo es mucho
más que un programa y «debe incluir al mismo tiempo objetivo
étodos y procedimientos de valuación» (pd. 2). Sin embargo, algo que pare
<< tener ms importancia cuando se analizan los diferentes enfoques de eos
‚örica determinada. Por ejemplo, si quisiera identificar un proyecto curricular
basado en los análisis de et libro, e indudable que la base tóricas clasifica
ría como «cultural: en consecuencia, el enfoque que deseo desarrollar en se
capítulo eel enfoque cultural al curículo Matemático, Se puede considerar que
dos por Howson, Keitel y Kilpatick, Me ocupané menos de los procedimientos
die evaluación, per abordaré «fondo los objetivos, los eontenides y os métodos
ner lugar alzar los
menfoque «ultras al curicl, después der

contenidos,

6, para ser más preciso (en mis propios términos), en pı
principios que hay que segui
cribité los componentes del cure
el próximo capítulo

Ast pues, ¿qué aspecto debería tener este enfoque y cuál
par, los principios o los objetivos que cabe alcanzar?

n,en primer lu

3. USMES so It ile de Unified Science and Mathematics for Elementary Schools ee
Shan y otros( 973), MMP (CP) sn las siglas de Mathematie forthe Majoiy Project (Continuation
Projet: eae Kane (197),

Enculuración Matemática: el cun | 127

5.2. Cinco prin

ios del enfoque cultural al currículo Matemático

Como decía en el capitulo anterior, la cultura Matemática es la asociación de
la tecnología simbölica particular desarrollada por las actividades descritas en el

lo 2, con los valores de la cultura Matemática descritos en el capítulo 3. Es.
ta combinación nos ofrece el punto de partida para el análisis del enfoque cultu
ral y delos cinco principios que debería seguir un currículo de enculturación.

5.2.1. Representatividad

Naturalmente, en primer lugar debería representar adecuadamente la cultu-
ta Matemática, Es decir, no sólo se debe ocupar de la tecnología simbólica de las
Matemáticas, sino que también deber ocuparse de una manera explícita y formal
de los valores de la cultura Matemática, Recuérdese que en el capítulo 1 mi in.
tención era abordar con más claridad los valores de la cultura Matemática preci

imente porque suelen ser ignorados en las formulaciones explícitas de los con.
tenidos curriculares, En cualquiera de los análisis de Howson, Keitel o Kilpatrick
sc hacen pocas referencias explícitas a estos valores salvo en el caso del enfoque
de la «enseñanza integrada».

Como ya dije antes el hecho de que no haya habido ninguna educación Ma:
temática explícita en relación con estos valores no significa que no se hayan ens
ado valores. El currículo «técnico» que caractericé y critiqué en el capítulo 1 de
sarrolla un equilibrio de valores que, desde mi punto de vista, destaca en exceso
«el objetismo, el control y el misterio. El hecho de que las demostraciones corran el
peligro de desaparecer de muchos currículos Matemáticos indica la falta de aten:
ción al «racionalismo», La escasez general de posibilidades creativas, innovado.

© inventivas en el currículo Matemático nos dice que el «progreso» está rela

nospreciado y la falta de sentido y de comprensión experimentada
mos de todo el mundo demuestra que la «apertura» no es un valor im
me en los actuales currículos Matemáticos.

Entonces, ¿qué quiero decir con «representar adecuadamente»? Es evidente
que debo abogar por una atención explícita a todos los valores descritos ante
riormente, y que también debo reflejar mi opinión de que es necesario llevar a ca-
bo una corrección de los desequilibrios, En consecuencia, presentare una estruc:
tura curricular para las Matemáticas que permita destacar el racionalismo por
encima del objetismo, que permita destacar el progreso más que el control y don.
dela apertura sea más significativa que el misterio. Además, mi opinión es que al
formular aspectos más detallados del currículo Matemático, estas prioridades de.

¡ción especial

por
po

ben recibir una consi

4. 128 | Encutu

ción Matematica
5.2.2. Formalismo

En seg

indo lugar, es importante rei

rar el punto de vista de que este curricu
lo debería objetivar el nivel formal de la cultura Matemática, mostrando las co-
nexiones con el nivel informal y ofreciendo además una introducción al nivel téc
nico. Por ejemplo, debería reflejar las conexiones entre las Matemáticas y la
sociedad actual, así como las Matemáticas como fenómeno cultural, y el curr
lo no se debería concebir como una simple preparación para el nivel técnico,
mo en el enfoque de las Matemáticas modernas. No obstante, la estructuración
—empleando la noción clave del enfoque «estructuraista»— será evidente, por
que en la expresión «cultura Matemática» reconozco claramente la existencia de
algo semejante a una adisciplina» Matemática, siguiendo la terminología de Bru
ner, o un núcleo de conceptos, que es como prefiero denominarlo yo.

De hecho, la estructura que se va a adoptar para la tecnología simbólica es
tari basada en las seis actividades universales del capítulo 2. Puesto que son uni
versales y han dado origen al desarrollo de ideas y conceptos Matemáticos signi
ficativos, será razonable emplear esta estructura para desarrollar estas ideas con
los niños. Como las Matemáticas forman parte de su cultura, será importante re
fejar esta base cultural en la estructura de su currículo Matemático.

“Además, mediante esta estructura cultural es fácil hacer referencia a las ideas
Matemáticas de otras culturas. Parte de la dificultad experimentada en la actus:
lidad por varios educadores que tratan de representar las Matemáticas como una
‘materia «multicultural» es que, en general, carecen de una buena estructura par
reconocer similitudes entre idaas matemáticas. Para h
multicultural, primero hay que «culturizarlo».

er que un currículo sea

5.2.3. Accesibilidad

El tercer principio básico que se debería seguir es que un currículo de encul
turacién debería ser accesible para todos los niños. Como ya indiqué en el primer
capitulo, el enfoque «de arriba a abajo» a los contenidos deja en clara desventaja
a la mayoría de los niños que no quieren, o no pueden, profundizar en el estudio
de las Matemáticas. Por desgracia, la educación puede ser un proceso que fraca
se en la práctica con determinados alumnos, pero no tiene ninguna lógica plani
ficar un currículo de enculturación que esté diseñado para que los alumnos fra
casen. La enculturación debe ser para todos: la educación Matemática debería
ser para todos, Naturalmente, existirá la necesidad de crear oportunidades para
que algunos niños concretos, de acuerdo con sus intereses y sus antecedentes
profundicen en algunas ideas más que otros niños; pero esta condición no
da el principio.

La otra idea fundamental de

e principio es que el contenido curricular no
debe estar fuera de la capacidad intelectual de los niños, y que los ejemplos, los

Encuturacion Matomálica: e cum | 129

materiales, las situaciones y los fenómenos que hay que explicar no deben ser ex-
clusivos de un grupo de la sociedad. Aquí el imperativo moral, que también se
sentra en el enfoque «formativo», es encontrar maneras de llegar a todos los
niños. Soy consciente de las dificultades que este principio podria ocasionar a los
enseñantes de niños con necesidades especiales, sobre todo si se trata de niños
discapacitados. Pero sigo pensando que este principio es importante incluso en
dichas

5.2.4. Poder explicativo

Otro principio que ya ha aparecido antes en este libro es que el currículo de
enculturación debería «explicar». Como hemos visto, las Matemáticas como fe-
némeno cultural obtienen su poder del hecho de ser una rica fuente de explica-
«ciones y esta característica debe conformar los significados importantes que de-
ben surgir del currículo d currículo «técnico»
‘como el descrito en el capítulo 1, aunque es evidente que el poder de explicar só-
por medio de la actividad de explicar que, necesariamente, con-
llevará en cierta medida «hacer» varias actividades Matemáticas. El problema es
ue, en la actualidad, los objetivos de la mayoría de los currículos Matemáticos se
entran por completo en «hacer» y casi nada en expli

El corolario de todo esto es que, para que el poder explicativo se transmita,
los fenómenos que hay que explicar deben ser accesibles para todos los niños, de
ben ser «conocidos» por todos ellos y deben estar sin explicar hasta entonces. El
entorno, tanto físico (natural y artificial) como social, cs la fuente de estos fend-
menos, y en este sentido comparto los intereses del enfoque de la «enseñanza in
tegradan. Asi el currículo Matemático debe estar basado de alguna manera en el
entorno del niño y su sociedad. Esto implica, además, que en países diferentes y
en sociedades distintas deberíamos encontrar currículos Matemáticos diferentes
n la distintas necesidades sociales y del entorno, No existe ninguna

enculturación. No se trata de u

lose transmit

que refleja
razón, ni siquiera en un enfoque cultural al currículo Matemático, para aspirar a
riculo de aplicación universal. De la misma manera, cabe esperar que dos
mentado currículos bastante diferentes como resul

iños distintos hayan expe
tado de su personalidad y de sus propias elecciones. Como los.
tre sí, tenemos que ser capaces de crear estructuras curriculares que permitan ex:
perimentar la individualidad.

os difieren en-

6.2.5. Concepción amplia y elemental

el quinto principio es una extensión lógica del cuarto. En vez de
sente», el currículo de encultura

ción debería tener una concepción r

5. 190 | Encuturación Matemática

tiempo. Se deberían ofrecer varios contextos porque el poder de explicación, que
se deriva de la capacidad de las Matemáticas para conectar entre sí grupos de le
nömenos aparentemente dispares, se debe manifestar por completo. Por ejemplo,
limitarse a ofrecer un mero ejemplo de una aplicación algorítmica dada puede
conservar la pureza Matemática, pero no ayuda a explicar. No contesta la pre.
‘gunta que los niños plantean con frecuencia acerca de las Mateméticas: «¿Para
¡qué sirven?», También ellos desean que las Matemáticas hagan algo por ellos. Si
su poder es explicar y, más aún, explicar amplias gamas de fenómenos, entonces
esa amplitud tiene que ser un principio importante para cualquier currículo de
enculturación

La limita
tud de la explicación y del contexto es un objetivo importante, entonces cl con
tenido Matemático debe ser relativamente elemental. Me apresuro a añadir que
con esto no quiero decir que sólo nos debamos limitar a una aritmética simple, à
tunas «matemáticas recreativas» o a unos juegos infantiles. Unas Matemáticas ele
mentales quizá no sean una propuesta atractiva para quienes desean ver las Ma
temáticas como una gimnasia mental difícil, o para quienes sólo están interesados
en el desarrollo de futuros Matemáticos, Pero si el objetivo esla «enculturación»,
y sila «explicación» es el poder dela tecnología simbólica de la cultura, entonces
tuna tecnología con una complejidad desmedida no podrá explicar, no podrá con.
vencer y, en última instancia, no podrá enculturar. Además, me atrevo a afirmar
we incluso los futuros Matemáticos (3, de hecho, puede que precisamente los fu
turos Matemáticos) necesitan una sólida base enculturadora en esta materia,

En reso os son los cinco principios que, en mi opinión, deberían ca
racterizar el currículo de enculturaciön Matemática o el enfoque «cultural» al eu
triculo Matemático:

ón de un tiempo finito para la enseñanza significa que sila ampli

} — Deberia representar la cultura Matemática, tanto desde la perspectiva de
sus valores como de su tecnología simbólica
— Debería objetivar el nivel formal de esta cultura
— Debería ser accesible para todos los niños.
— Debería enfatizar las Matemáticas como explicación.

— Debería ser relativamente amplio y elemental en ver de limitado y exi
gente en su concepción,
; 5.3. Los tres componentes del currículo de enculturación
i ¿Cómo podemos estructurar el marco de conocimientos del currículo de en:

culturacién? Es evidente que después de presenta los cinco principios generales
‘que debería seguir el enfoque cultural, ahora carecería de sentido prescribir ar.
gas lists de temas que hay que tratar, Sin embargo, es necesario pasar a un nivel
más detallado con el fin de ejemplificar este enfoque para el lector y también pa:

ee...

or atomic au | 31
ural al currículo Matemático está enteramente orier mica
¿onde ese enfoque dir sensible

presentarlos en i

Beet
ne may vn
rl ne tort
"erg spn cen ed

las conceptualizaciones explicativas signi

ticas, permitiendo bis.
mera explícita los valores del «racio.

ice ¡cepto de las matemáticas co.
n todas las culturas e introduce la idea técnica de
«cultura Matemática» con sus valores básicos de «apertura» y ambre

Elector perspicaz habrá observado que enel

la palabra abarca y en Los osos does emple palabra
plo de sas palabra ex deliberado, porqe cr que cuac am El
be dese nponente cultural de mancra due

vo no vale la
lo debe poder tener en cuenta las
alumnos y que esas diferencias se
en estos dos componentes y no,
nplicitamente reconocidas. Por lo tan
por un enfoque al currículo basado en

des, para recordar de dónde proteden muchas de las ideas, B

6. 132 | Encuturaciôn Matematica
5.4. Componente simbólico: basado en conceptos

Este componente se organiza en torno a las seis actividades «universales»
descritas en el capítulo 2 y se ocupa de la tecnología simbólica que se deriva de
esas actividades. Mi propuesta es que, al estructurar así este componente, pode.
‘mos garantizar una cobertura amplia y elemental de las ideas Matemáticas im.
portantes. Aunque estas seis actividades ya se han presentado de una manera re

la, existen varios conceptos que creo necesario perfilar y que deberían se
encontrados por todos los niños durante su educación formal, Éstos conceptos
han sido elegidos para ilustrar todos los principios del curriculo Matemático des

crtosantriormente, especialmente los principios, 4y 5. No existe niguna ma
nera obiiv de evalua el poder explicativa» peto adopiamos el spa de
ind important para lo ninos que ls «funciones trigonométicass porque la
primera puede sexplica» muchas más siuacones comprensibles aceso pa
Talos ns que la segunda

crates y similides con ideas Matem a culturas. Independie
mé, oraciones, paa dos, gan, medidas 0 dancing de
fendmenos- el empleo de os datos de tat cluras const una potete au
da curricular. à ” pl
en el senido quese ls da en los programas de examen, Se olecen come Con

ceptos organizadores del currículo que proporcionan el marco de conocimiento.
Deberían ser los centros de interés y se deberían abordar mediante actividades
realizadas en contextos ricos relacionados con el entorno, deberian ser explora
dos por su significado, su lógica y sus conexiones Matemáticas, y se deberían ge
neralizar a otros contextos para ejemplificar y validar su poder explicativo, (Exa
minaremos algunas actividades adecuadas más adelante),

Por lo tanto, el componente simbólico del currículo de enculturación debe
ría estar basado en conceptos.

5.4.1. Contar

Cuantificadores (cada, algunos, muchos, ninguno)

Adjetivos numéricos Contar con los dedos y con el cuerpo Corresponden
cia Números

Valor posicional Cero Base 10 Operaciones con números Combinatoria

Precisión Aproximación

Positivos, Negativos Infinitamente grande, pequeño Limite

Pautas numéricas Potencias Relaciones numéricas Diagramas de fechas

rores, Fracciones. Decimales

Encusturación Matemática: el cure | 193

lidades Representaciones de

os Probab

Representaciones algebraicas S
frecuencias.

Para empezar he indicado una ordenación parcial d sos conceptos aun
ao puedo ext un orden único o necesario. Basándome en mis análisis atro-
lies y escicles», ceo que se debería trabajar más con números enters,
El sentido de la combinaton y de «recuento inteligente», y quese deberían
ae, Además, es care adoptar un enfoque conceptual bastante definido,
rad innen pane in

mente pequeños explotando las posibilidades ofrecidas por las facciones y los
male yestäbleiende relaciones con la ¡dea de mie Naturalmente, el le
Tinboiizar Juno con los nombres de os números, el sistema de base diez y los di
poants son para el posterior desarollo conceptual. Estas cuestiones volverán
aparecer en el aparado dedicado expesficamente a «explica».

medida la preicción, la probabilidad ye za, y representar grandes cantidades
de sucesos estimula la necesidad de un sitema, de símbolos y de epresentacio
nes como las gráficas de frecuencia.

5.4.2. Localizar

Preposiciones Descripciones de recorridos
E.O. Orientación con la brájula

la/derecha Delante/deiräs

as rectas y curvas El ángulo como giro Rotaciones

Localización en el
Arriba/abajo lzquies
Viajes (distancia) Li
Sistemas de localización: Coordenadas polares Coordenadas 2D/3D Mapas
Latitud/longitud

Lugar geométrico Mecanismos articulados Círculo Elipse Vector

ral

Localizar enfatiza la geometría espacial de la posición y del movimiento con-
trolado y, evidentemente, no debería ser un mero ejercicio de lápiz y papel. En es-
ve caso, los conceptos se derivan de actividades en el entorno inmediato y accesi-
ble para el niño, y de la codificación y la simbolización de los resultados de esas
actividades de formas diversas. Además de desarrollar el lenguaje y los símbolos
sovimientos, estas actividades también
reducir a escala el
io en el
in conjun:

del niño para describir localizaciones y

conducen a comprender los procedimientos empleados p

mplo, mapas, dibujos, fotografías), Pueden iniciar al n
e si se empl

entorno (por ej
abulario delas formas y las fi

7. 124 | Encutración Matemático.

tamente con las ideas de «forma» que se derivan de las actividades de diseño que
se describirán más adelante.

"Algunos lectores se pueden sorprender al ver las coordenadas polares en la
lista, pero creo que, para el niño pequeño, este sistema de localización es más ma
tural que el sistema de coordenadas cartesianas. Experiencias con el entorno in.
formático ofrecido por el lenguaje de programación LOGO parecen apoyar este
punto de vista De manera similar, puede que algunas personas no consideren es
pecialmente útil presentar las formas como lugares geométricos, pero creo que la
«comprensión de los mecanismos y las conexiones articuladas justifica el valor ex
plicativo de este enfoque en la sociedad altamente tecnológica de hoy.

6.4.3. Medir

do)
ıdo-el más pesado-pe

mtficadores comparativos (mis rápido, más di

Ordenación Cualidades Desarrollo de unidades (pe
so)

Precisión de las unidades Estimación

Longitud Área Volumen Tiempo Temperatura Peso

Unidades convencionales Unidades normalizadas Sistema de unidades (mé
trico) Dinero

Unidades compuestas

¡camente de comparar cosas en función de una cualidad
compartida, y su desarrollo va de las comparaciones de pares alas comparacio-

nes de muchos, y de las unidades prácticas a ls unidades normalizadas y los sis

temas de unidades. La noción de cualidad como cantidad «continua» está abi (a
diferencia delas cantidades discretas al contar) y, en consecuencia, los problemas
explicados por la medición son problemas que responden a la pregunta «¿cuán

o?» a diferencia de los que responden a la pregunta «¿cuántos?» que generan ac

tividades de contar.

Puede haber alguna objeción ala inclusión como conceptos Matemáticos d
«longitud, área, volumen... peso» sobre la base de que son cualidades físicas
vez de conceptos Matemáticos. No acepto este punto de vista por dos razones: en
primer lugar, estos conceptos desempeñan un papel importante en nuestro curicu
lo en general y en los niveles elementales debemos aceptar la superposición entre
materias; y, en segundo lugar, estos conceptos han desempeñado una función
fundamental en el desarrollo de nuestras Matemáticas a lo largo de la historia.
‘También son los conceptos mis evidentes y vos en el entorno inmedia
to del niño, como lo es el «dinero», el sisten dades que empleamos para
medir la cualidad continua denominada «valor económico»,

6. Vene, por emo, Hope Sutherland 1989.

Encustración Matemática: el ou | 195
5.4.4. Diseñar
Diseño Abstracción Figura Forma Estética

Objetos comparados por las propiedades de la forma
lo Semejanza Congruencia

Grunde. po
Propiedades de as formas Formas figura y sólidos geométricos comunes
Redes Superficies Mosaicos oi “

Simeua Proporción Razón Modelos a escala Ampliaciones

Rigider delas formas

¡Dicha es a actividad que quid sabe ls conexiossperepivas más
natural» fee preguntas sobre ellas, especialmente en un m 4
Las similitudes y las diferencias su =
noloson

form
pato de

n ser muy manifiestas, pero
nales hexagonales) la idea de un diseño y una
lar da origen a toda clase de explicaciones sobre estructuras desde
ist, por ejemplo, dela rigidez. Las propiedades delas formas fas

si están bien situadas en su entorno accesible.

En las Matemáticas, el diseño también et relacionado con la reducción del
entorno a escala y este proceso, en sí mismo, presenta algunas ideas importantes
para nosotros: modelos, razones, proporciones, etc. Sin duda, la actividad de di.
señar en general quizá sea la más poderosa para transmitir valores relacionados
con la interacción Matemäticas/entorno,

en el caso delos p

5.4.5. Jugar

Juegos Disesión Ace
Modelización Realidad i
Actividad eda por vegas Rasonamiento hipotético
Procedimiemos Planes Estrie

Juegos de cooperación Juego de competición Juegos en solita
Azar, predicción i

importante para organizar un aru Mate, yo lo conser mo tenes

tante para el desarollo del juego como actividad matemäieamenie ae

La pregón va de omg, sls Mecca solo fre Dan

«juegos Matemáticos», y a sá de o Jugos ene para deers ltd
La store slo Mendes conc pes =

idea muy poderosa en
este currículo y, en general, en esta actividad la atención se debe centrar en la ver

8. 136 | Encuuración Matemática

tiente seria del juego. Las características de los juegos

n à odelizar la realidad, te
ner una estructura, implicar uno, dos o más jugadores, tener reglas lógicas— se
deben abordar explícitamente, La predicción también es un componente impor.
tante del juego e, históricamente, ha tenido mucho que ver con el desarrollo de
juegos como el ajedrez. Los acertijos, las paradojas y otros juegos «mentales»
también desempeñan un papel importante en el desarrollo del pensamiento Ma:
temático, Los juegos y las actividades en solitario como los «cuadrados mágicos»
también han estado históricamente relacionados con el desarrollo Matemático,
‘como vimos en el capítulo 2,

A medida que nos acercamos a estos «metaintereses» con su perspectiva so
bre oûros conceptos Matemáticos, quizá esté más claro por qué empleo estos con
ceptos como constructos organizado
mo «hechos» que se deben definir

nse y aplicar

5.4.6. Explicar

¡ón jerárquica de objetos
Explicaciones de relatos Conectores lógicos

Explicaciones lingúísticas: Argumentos lógicos Demostraciones
Explicaciones simbólicas: Ecuación Desigualdad Algoritmo Función
Explicaciones figurativas: Gráficas Diagramas Tablas Matrices
Modelización matemática

Criterios: validez interna, generalización externa

El objetivo de incluir este conjunto de conceptos en el currículo es centrar
directamente la actividad de explicar en lo que podemos denominar el nivel me
taconceptual. Como vimos antes, hasta cierto punto esto también ocurre con «ju

at», pero aquí podemos hacer que los nos paiipe directament en la ma.
mea de explicar de las Matemáticas, en el po de srespuesaso que podemos
biene a preguntas Matematica, en as mismas preguntas yen el poder y al
Intaclones dela cxplicación Matemática, or lo tanto el Interés se cera en los
diferentes pos de explicación, en h naturaleza especial del lenguaje Matera
coven símbolos y figura, en las relaciones cr ente ellos, yen su precisión y
generación. A medida que se desaroll la progresión, ls explicaciones se
Vuelven más y más hacia as mismas Matemáticas (como en la demostración) De
hecho, lo que sucede e que las Matemáticas, como enidad ens mismas, se hace
más importame para el niño y pasa a formar parte desu entomo accsbl; eta
parte del enorno también e debe explica y comprende, con toda as taula
ary paradoja lies que eta tation provoguc

Encutuación Matematica: curicuo | 137
5.4.7. Conceptos a través de actividades

De nuevo es necesario subrayar el hecho de que estos conceptos no se debe-
rían enseñar como puntos del temario si queremos que desarrollen su potencial
dad explicativa. Se deberían desarrollar mediante actividades apropiadas y adap-
tadas al nivel de los niños, y se deberían presentar en contextos accesibles e
eresantes (para el niño). El énfasis debería recaer en el hecho de que el mio
lleve a cabo las actividades en una variedad de contextos y situaciones. El entorno
del aula y la escuela puede proporcionar situaciones suficientes para todas estas
actividades, aunque de vez en cuando sería importante llevar a cabo algunas de
ells en el contexto de la comunidad. Naturalmente, también doy por supuesto
que el aula y la escuela estarán equipadas con materiales de todo tipo: objetos co
tidianos, recipientes, ju nodelos, juegos de construcción, materiales ari
ulados, méviles ec, Seria dificil, si no imposible, llevara cabo estas actividades

por completo y con el espíritu correcto en una clase desnuda, A este respecto, es
toy totalmente de acuerdo con varios aspectos de proyectos curriculares como
USMES, Nuffield Project y MMP(CP),

Además, estas actividades deberían estar centradas en problemas o tareas
adecuadamente estimulantes en las que intervinicran los distintos materiales y
que hici cia al entorno físico y social más amplio. Sin embargo, la
atención no está en los materiales o el entorno en sí, sino en los conceptos em-
pleados para explicar el entorno. Así pues, teniendo todo esto muy presente, a
continuación se presentan algunos ejemplos de las actividades que se podrían
emplear para desarrollar los diversos conceptos

Contar. Estas ndan en el entorno del niño y el estudio
cesos reales, aniversarios, os de la familia, etc, dentro del grupo de clas,
puede empezar a revelar unas regularidades importantes. Las situaciones más es:
tructuradas, como las que se dan en los problemas de combinatoria, suelen tener

mucho éxito en destacar las regularidades, las pautas y la necesidad de métodos
«intcligentes» para contar. Como ejemplos tenemos los problemas del tipo:
«¿Cuántos apretones de manos se dan seis personas cuando se encuentran?»,
junto con sus análogos: «¿Cuántas diagonales tiene un hexágono?», Ciertos re
cursos como los códigos de Braille y de Morse y ciertos juegos como los dominós
y los naipes también tienen un fuerte componente combinatorio. Las pautas nu
méricas como las sucesiones de Fibonnacci no sólo relacionan y explican fend-
‘menos naturales sino que, cuando se continúan, también dan origen a ideas de lo
infinitamente grande, Problemas «imposibles», como: «¿Cuántos granos de are-
na hay en la playa?» o «¿Cuántas estrellas hay en el cielo?», pueden estimular ide-
nar con estudios estadísticos, Las cal-
‘culadoras ofrecen muchas posibilidades para descubrir relaciones numéricas, por

‘operaciones repetidas como doblar o dividir por diez, Las frac

as de muestreo además de poderse relac

ejemplo median

ciones y los decimales pueden surgir como representaciones de los resultados de

9. 138 | Enculración Matemática

Tachuhs

A Re QE

Dee

Figure 6

ones como «Necesitamos repartir 10 objetos entre 3 personas», que da 3
con un resto de 1,03 1/3, 03,33, dependiendo de si el «objeto» es indivisible (un
vaso), divisible de una manera realista (una barra de chocolate), ¡o «infinitam

te» divisible! El hecho de que ningún objeto verdadero pueda satisfacer el último
blar discusiones acerca de los conceptos de «lin

opera

caso da mucho de si para
te» y de «infinitamente pequ

Localizar, Estas actividades pueden implicar mov
vegaciön, caminos, etc, además de la manera de describir la relación mutva en
te lugares y objetos. Las actividades de explorar y trazar mapas pueden ser muy
productivas, especialmente si se trata de lugares conocidos como la escuela, el
nto de ésta y el entorno local. Se pueden crear más estructuras me
idades que empleen mecanismos y conexiones articuladas, como la
idad de Bolt (1982), denominada «Círculos que giran» (figura 6)

RS pe
dad era pal
orgia fy DO apes al RE mee

El «pequeño» mundo delos objetos relacionados eme sí sucio er pe as
tunciones cuyo análisis puede ser muy producivo como, por ejemplo, l mov
miento de on lies en cadre, o os problemas de Minerals, pero el hecho de
que gran pane de a Matemáticas tengan luar sobre papel no significa quede
Baumer gnorar cl mundo de mayore dimensiones La postin relativa de lugares
y objets ena superficie de la Tera, en elccloy en el espacios puede abordar

Encuuracién Motomátc: el curiou | 199

nismo cuya exploración es fascinante y es fácil hacer instrumentos topográficos
simples,

Medir Estas actividades suelen empezar con comparaciones y con el empleo
de partes del cuerpo para medir, con el fin de encontrar, por ejemplo, las dimen:
siones relativas del mobiliario, el aula y la escuela. «¿Qué tamaño deberían tener
las aulas?» es un problema que da pie a muchas actividades de medición. Natu
ralmente, la longitud, el área y el volumen son conceptos ricos que se deben ex.
plorar acticamente, aunque hay otro que, en ocasiones, se nelige el «tiempos.
Históricamente, la medición del tiempo ha tenido un gran interés y las activida:
¿des basadas en sombras de palos, péndulos, relojes de candelas, de arena y de
agua, y relojes de sol, además de relojes mecánicos, pueden generar mucho inte
rés. De hecho, el «mundo» de los dispositivos e instrumentos de medición tiene
muchas cosas que oftecernos aquí.

Encontrar las áreas de formas

regulares —por ejemplo, comparar los tan
ños de continentes, mares 0 países empleando un globo terráqueo. también.
pueden dar pie a muchas ideas de valor Matemático. Las ciencias, incluyendo.
la geografía, tienen un gran interés para esta actividad y, aunque debemos tener la
brecaucién de no centrarnos únicamente en la cualidad per se, que es el interés
del científico, muchos de los proyectos para la enseñanza de las ciencias conti:
nen actividades que también son interesantes para nosotros?

Diseñar. Estas actividades centran la atención del alumno en las formas y tan
to los objetos naturales como los atficales pueden ser una rica fuente para ta
reas de correspondencia y comparación. Semejanzas, congruencias y transforma.
siones revelan y «explican» muchos aspectos de nuestro entorno. Bender y
Schreiber (1980) ilustran esto perfectamente, mostrando qué se puede hacer con
la idea de los «conos truncados» en el entorno hecho por el hombre (véase laf.
gura 7)

Las diversas estructuras y formas de los cristales permiten hacer compara.
«iones interesantes que ponen de manifiesto aspectos fascinantes de las teselas
tridimensionales; también se pueden comparar otros objetos naturales como h

65, esqueletos de mamiferos, ete. Las conchas y las flores poscen unas pau
ucturas que están estrechamente vinculadas con el crecimiento con lin
taciones. Estas formas se consideran de gran belleza, al igual que los rectángulos
con unas proporciones «perfectas, los sólidos platónicos y el diseño arquitecté
nico. La vertiente estética de la actividad Matemática se manifiesta mediante el
diseño, como ha sucedido alo largo de nuestra historia,

Jugor. Estas actividades se entienden fácilmente, tanto si implican juegos di
bujados como «tres en raya», juegos de mesa como las damas o el ajedrez, o jue
#05 de movimiento como «el tejo», De hecho, los juegos yla actividades de Je.
#0 en general se pueden categorizar en función del medio empleado y, como

7, ése, por sempl, la wid obre «tiempos en a Since 3/13 ere (MacDonald El

10. 140 | Encutuación Matematica

Figura

vimos ulo 2, los juegos con cuerdas poseen un carácter universal que
no tienen los que están basados en lápiz y papel. Con frecuencia, los bailes po
pulares manifiestan unas regularidades estructurales interesantes, y lo mismo
ocurre con los acertijos y los juegos basados en números, como por ej. los cua:
drados mágicos.

El azar y la predicción fueron ideas clave en el desarrollo de la noción del
juego serio y predecir resultados en situaciones más o menos estructuradas es una
importante actividad Maten

ica. Los éxitos —o no— en la predicción de suce
508 se pueden explorar mediante cartas astrales, juegos como el «bingo», máqui
nas tragaperras, etc. Predecir generalizaciones también puede ser important
tanto en situaciones numéricas (como el problema de alos granos de trigo en el
tablero de ajedrez») como geométricas (trazar dos puntos À y B y otro punto C,
de manera que el ángulo ACB sea un ángulo recto. Trátense de hallar más puntos
Gi Ca, Cs, ete). Una área importante que se suele pasar por alto es la actividad de
modelización que forma parte del juego. La elaboración de modelos empleando
materiales simples enseña a simplificar, modelar e ignorar los detalles irrelevan:
tes para centrar la atención en la estructura global

Explicar. Es evidente que estas actividades se basan en las otras áreas y que,
en algunos casos, las vinculan conceptualmente —un buen ejemplo es la inter
pretaciôn gráfica de fenómenos esencialmente numéricos —. Estas actividades
suelen requerir que los alumnos representen los resultados de otras actividades a
través de carteles de la pared, redactando reseñas, soluciones, etc. Pero los mis:
mos conceptos explicativos se pueden activar de muchísimas mancras; por ejem
plo, el diagrama en árbol de la figura 8 ilustra la gama de modelos disponibles de
un automóvil concreto.

Encuturación Matemática: el curfew | 141

Ford Orin
ns L
[ T N
Lis Laos Mile bl Lied

inyección

rh aa | [

ModdoL 1. GL Ghia L GL Ghia

Figura 8

‘Otz0 buen ejemplo nos lo proporciona el folleto «Matrices» producido por
el proyecto holandés OW & OC que se centra en el poder d

representación de
la matriz, Actividades como «justificar» y criticar» contribuyen a desarrollar la
ideaded mente, la cal
dora y el ordenador han hecho más accesibles las ideas «conectivas» de diagra
de flujo y algoritmo. La producción de algoritmos paso a paso y «siempre
108» es una actividad tan explicativa como la de demostra

mostración y el valor del racionalismo y, más recient

pero con frecuencia
se ignora por la prisa en querer dominar la técnica. La función, algoritmo o regla

que explica secuencias de números como por ejemplo las sucesiones de Fibon-
nacei, es un resultado poderoso, y comprender cómo funciona este algoritmo en
la naturaleza para producir los resultados observables es muy importante. Desde
una perspectiva más mecanicista, programar la sucesión de pasos necesarios pa-
Fa que una «tortuga» ejecute un gráfico determinado es una actividad tan reta
dora como generalizar una pauta numérica, y quizá sea más importante para ayu:

dar a «explicar» a un niño pequeño el entorno controlado por la informática hoy
en dia,

Las actividades de aplicación de las Matemáticas se han desarrollado tam-

de forma que tienen relación con este currículum y, en particular, la noción
de modelización Matemática tiene gran significaividad. Libros como la obra de
Burkhardt The Real World and Mathematics, la obra de Lighthill Newer Uses of
Mathematics, los libros del Mathematics Applicable Project (C. P. Ormell y ar.

tículos como «Teaching Mathematical Modelling», de McLone, contienen mu

chos ejemplos de actividades adecuadas que pueden desarrollarla idea de «Mo

delo Matemático»,

bic

5.4.8. Conexiones entre conceptos

Las superposiciones entre co
tural, por lo tanto de.
repr

tos se darán de una manera inevitable y na:
nportante destacar que los conceptos anteriores
dores del conocimiento. Por ejemplo, si consi-

11. 142 | Enouturacién Matomática

cn todas las otras actividades se

eramos la actividad de Explica, veremos qu
producen explicaciones y que estas explicaciones constituyen su objetivo final

n una función de «repre
las

De esta forma, todos los conceptos presentados
sentación» en la actividad que luego les permite explicar las situaciones.
que se ha basado la actividad, Más adelante, esta explicación se desarrolla löpi
camente y se generaliza para permitir la explicación de situaciones similares, Pe
ro en el apartado denominado «Explicar» el interés se centra en los mismos dis
tintos tipos de explicación en sus cualidades y en los criterios para juzgar el valor
y la importancia de las explicaciones, Por criterios «internos» entiendo los crite
rios de significatividad dentro de las Matemá
n otros conceptos Matemáticos. Los cr
uación: precisión de la predicción, relevancia societal y
lización a fenómenos similares
También se darán superposiciones entre actividades además de entre con
litudes, desde este punto de vista,

ceptos, y de hecho podemos ver fuertes si
con el enfoque curricular de la «enseñanza integrada». Mientras las estructuras
conceptuales sigan siendo significativas, estas superposiciones no serán ningún
problema: al contrario, las ventajas pueden ser muchas, Ya he mencionado el e
leo ocasional de publicaciones científicas y, de hecho, muchos proyectos de en
sefianza de las ciencias contienen ejemplos de actividades que también pueden
ser muy adecuadas para la Educación Matemática. Por ejemplo, el folleto del
SCIS titulado Relative Position and Motion contiene algunas actividades exce
lentes y de gran valor para el componente «Localizar», los materiales del proyecto
USMES tienen muchas buenas situaciones relacionadas con «Medir» y «Contar»
y, en el Reino Unido, el proyecto Science 5-13 también oftece unas actividades in
teresantes relacionadas con estos componentes.

Pero sería erróneo considerar que esta integración y superposición sólo se da
con la ciencia. Ya he destacado otras conexiones y podemos encontrar activida
des ütiles en materiales dedicados a la enseñanza del arte. Por ejemplo, los trabe
jos de Escher, Gombrich y Amheim, la obra de Bourgoin Arabic Geometric Pat

ciones como la obra de M. Holt Mathesnaties in Ant
ido,

tern and Design e
nos ayuda

En el área del diseño, personalmente he encontrado muy estimulantes los si
guientes libros: The Development of Shape, de K. Rowland, y The Power of Li
‘mits: proportional harmonies in nature, art and architecture, de G. Doczi.

La enseñanza de la geografia también tiene muchas conexiones con nuestros
intereses, y libros como los siguientes contienen ideas para actividades útiles: Ga
mes in Geography, de R. Walford y General Cartography, de E. Raisz,

Cuando existe una materia escolar dedicada a «jugar», normal
tra en juegos de carácter físico y deportivo. En relación con la Educación Mate-
mática, esto nos brinda la oportunidad de abarcar determinados aspectos de es
ta materia (ji lo consideramos oportuno!). Sin duda, existe abundante material
sobre el juego y muchísimos libros y actividades dedicados a este tema que po-

Encutxnctin Matomálica: el cun | 143

demos aprovechar. Con
tent and Oriental and How
Además

jemplo puedo ciar la obra de alent Gener An
Play Them. k E
bre Natbomatics Aros he Caida,
Haciendo hincapié els concepts Matemáios de dteminadasatida
des y simlando I rein sobr las emos sra de eri
os un buena comprensión de os valores del ecamali à ba
sonas dig om plementar quese encuen dede ls
ul conceptual ev un buen vico pur pesonas
porque. adecuac : ibs

ment el valor del «racionalismo
otra razón por que me he centrado en el desarrollo de
concepts mediante actividades x porque ete enfoquedestacs lo antun
ls explicaciones ofrecidos por las Matemáticas y et importance ¡cos
de mavipulación que dominan nuestros curculos Matemático acuales Con la
aparición de as calculadoras, la proliferación de datos tbulars de todo po y
ahora también con los microordenadores, y no tenemos razones para centrarnos
lodos modos, tienen poca importan
ult. Ss necesitan unas apitudese
peclfc para unos trabajos epeeicos entonces sea relance
ts un formación en pes obre os andamos Martos
de hablidade cnica o consigo una educació: 500
: cabin hace que sa poble abordar con
Por cemplo y como yu je ante, algunos lectores se pueden sorprender el gr
que heíncluido los «conceptos de limit, infiniment vie comia
elipse, eet demostración, algoritmo, función y matrices. Mi razonamiento es,
en primer lugar, que es importante conocer estas ideas, y en segundo lugar, que
mi objetivo no ela competencia en la munpaacióny el desarollo Matemático
e sas ide, Por ejemplo, el cocepo de linie c racionalmente podran y
mn expan y. como hemos vio, oe need ear es tl de
sis matemático para aprecia y comprender situaciones donde apa a
idea de lí De manes il +
er similar, pars aprecia I den de lps yla manera de
general no hace fala comprende la coi dels secciones cónicas a dann
las técnicas de la pcometra anti

vando se resta importancia alas técni

; s ÿ su mera ejecución pierde valor,
entonces es posible dedicar mucho mas tiempo al desarrollo conceptual, alas co

12. 144 | Encuturación Matemática

nexiones lógicas entre ideas, a significados Jentro y fuera de las Matemáticas ya
las relaciones entre distintos tipos de explicaciones Matemáticas. Un enfoque ba:
sado en actividades, conceptual y explicativo ala tecnología simbôlica de las Ma:

temáticas, ofrece unos fundamentos genuinamente educativos para la Encultura-
ción Matemática,

5.5. Componente societal: basado en proyectos

En realidad, creo que si el enfoque conceptual anterior se adoptara en más
currículos, las Matemáticas se entenderían mejor de lo que se entienden en la ac
tualidad, Sin embargo, no creo que este componente constituya por sí solo una
buena experiencia de enculturación. Aun suponiendo que el currículo concep.
tual esté completamente desarrollado mediante actividades ricas basadas en el

ntorno, por sí mismo no generaría una conciencia critica del desarrollo de los va
lores de las Matemáticas dentro de la sociedad,

En particular, creo que para desarrollar esta conciencia con comprensión,
debemos reflexionar sobre el empleo de las Matemáticas en las sociedades del pa
sado, sobre su empleo en la sociedad actual y sobre su empleo potencial en la so-
ciedad del futuro, Este componente svcietal representa la dimensión histórica
‘completa del desarrollo Matemático.

Un principio adecuado para este componente del currículo es el de «ejem:
plificar» en vez de «abarcar», que era importante en el componente anterior. En
tonces yo abogaba por la importancia de incluir actividades destinadas a desa
rrollar todos esos conceptos. En este caso,

«cesario abordar mediante un
enfoque ejemplarizador y paradigmático el desarrollo histórico y futuro del co-
nocimiento. Por ejemplo, no podemos ofrecer a nuestros niños un curso sist
tico sobre la

mediante una
náticas, que la interfase entre las Mate
máticas ÿ la sociedad sea más manifiesta, más analizable de una manera crítica y,
en consecuencia, mejor comprendida,

En mi opinión

la manera más adecuada de hacer que los niños participen de
una manera apropiada en estas situaciones paradigmäticas es el empleo de pro:
yectos. Para mi, un proyecto es un trabajo de una investigación personal e
¿dida por el alumno, empleando materiales de referencia y redactada en forma de
informe. Necesitará una cantidad considerable de tiempo, digamos una o dos se

manas, e llevará a cabo individualmente o en grupos pequeños, será supervisada
por el enseñante y su énfasis dependerá del interés y las aptitudes del alumno.
La enseñanza basada en proyectos es un método pedagógico muy importan
te, como demuestra su empleo en todos los trabajos de alo nivel y como se ve en
«disertaciones, tess, libros y artículos de todo tipo. En cierto sentido, no hay na
da realmente nuevo en el empleo de proyectos en la enseñanza, asociado como
estuvo con las ideas de John Dewey durante los años veinte en los Estados Uni

Encatuación Matemática: el curieuo | 145

dos. Pero, por alguna razón, los proyectos no parecen emplearse mucho en la
educación Matemática actual. Esto me parece una gran omisión porque tienen
‘mucho que ofrecer en una educación Matemática genuina. En particular, hay tres
“aspectos de los proyectos que destacan por tener un valor especial para nosotros
‘en relación con este componente social.

1. En primer lugar, los proyectos permiten la participación personal profun-
dizando cuanto se desee para una situación dada y, en consecuencia, otor-
za ese aspecto individualizador y personalizador que con
tant fecuenca está sente el urrclo Matemitco típico. |
2. En segundo lugar, los proyectos fomentan el empleo de una variedad de
materiales que estimulan el pensamiento sobre la importancia del enfoque
Matemático a la interpretación y explicación de la realidad. El simple he-
ndante material existente en forma de
de hacer que los valores y las ideas

gan ala enseñ

cho de entrar en contacto con el ab

lors, peliculas y ines de video pu
de las Marena aber con rs mps da ta ole

3. Enseres ugar pacas en proyectos fomenta la actividad nivel ee
five, Mediant la investigación yl documentació de una situación so
Sit y one apoyo del enehune paa analizarla lación entr asides
Macias le ceuacin concret, llamo puede inicia el proceso de
Anis eco que tan necesario et o queremos que los valores que las
Matemdvcasotece ala sociedad nose tomen meramente por sentado,

Así pues, he aquí algunas propuestas de posibles temas para proyectos que
considero importantes para este componente societal.

5.5.1. La sociedad en el pasado

Estos primeros proyectos deberían intentar indicar al alumno situaciones his
tóricas significativas para el desarrollo Matemático. Todas están suficientemente

“documentadas para permitir la investigación y, aunque algunas puedan ser más
adecuadas para alumnos de más edad, no por ello dejan de ser accesibles para
alumnos que se encuentren en diferentes etapas y niveles de desarrollo, Se debe:

ría adoptar una perspectiva crítica especialmente en relación con los valores de

«control» y «progreso» resultantes de estos temas concretos,

Reparto de la terra tras las inundaciones del Nilo,
¿Cuánto dura un año?
Construcción de las pirámides de Egipto.

13. 146 | Encuturación Matematica

Relojes de agua y de arena.
imeras técnicas de navegación.
Comprobación del oro.

La geomancia y sus pruebas actuales
El movi

ento de los planetas,
La ciencia de la astrolo

La mejora en la precisión de la artillería

La perspectiva enla pintura.

La numerología yla fascinación por los números.
Codificación y descubrimiento de códigos.

La proporción áurea en la arquitectura
Técnicas para pesar.

Armonías y pa

La relación cambiante entre el Arte y las Matemáticas.
Autómatas y difusión delos valores matemáticos.
Los yacimientos astroarqueológicos y su importancia.

tas musicales

Otra posibilidad es dedicar los proyectos a la biografía de Matemáticos im
portantes. Hay muchas fuentes de di
tacar que, además de las fuentes bien establecidas como, por ejemplo, Men of
Mathematics, de E.T. Bell, ahora podemos encontrar otros ejemplos como Wo
men Mathematicians, de Dubreil-Jacotin, y Maths Equels, de Perl, The Muslivt
Contribution to Mathematics, de Al-Dalta y Blacks i Science: ancient and modern,
de van Sertima, obras que contribuyen a derribar un mito anterior según el cual
las Ma eran por con

El campo de Ith

estas personas yes importante des.

eto la creación de varones occidentales blancos.
storia de las Matemáticas y de las ciencias es muy feril y en
nuestros currículos Matemáticos debemos encontrar oportunidades para remitir
alos alumnos a su herencia cultural

5.52. La sociedad actual

Los temas pata proyectos que se presentan a continuación se refieren a as
pectos de la vida societal actual que han estado, y siguen estando, muy influidos
por las Matemáticas. Más que los de la lista anterior, estos proyectos se deberían
modificar para emplearlos en contextos societales diferentes porque no todos se
rían relevantes (por ejemplo, «la navegación de cabotaje»). Aunque casi todos los
aspectos de la sociedad pueden sen

de motivo para estos proyectos —tal es
penetración de las Matemáticas en la sociedad — de nuevo deberíamos buscar si

9. Veans en Swetz (1982) y Burgess (1986) algunos cemples de cómo presen
a studies y alumnos mediante proyectos, Os (197) da una informa
Women Male agua que Fox oto 1980.

ews hi
nds biográfica en

ones paradigmáticas. Las perspectiva crítica se debería centrar, principal
mente, en las Matemáticas que sirven al valor del «control».

Relojes.
Competiciones deportivas.
Comprar un automóvil,
Seguros de vida.

Diseño de edificios

Eng
La navegación de cabotaje.
El hombre en a luna,
Trazado de mapas.

najes y poleas.

Juegos de casino
Planificación de nuevas ciudades
Predicción metcorológi

Microscopios y telescopios.
Vacaciones organizadas.

Juegos bélicos y simulaciones.

Datos informáticos
Juegos de ordenador.
Las encuestas de opinión

De nuevo queda claro que, con proyectos como éstos, existe la necesidad de
unos materiales de referencia que permitan establecer fuertes conexiones con
otros campos. En general, la literatura Matemática no será de gran ayuda —cosa
que quizá no sea sorprendente— y será necesario recurrir a libros, revistas y fo
lletos informativos que traten campos tan diversos como los seguros, la banca y
el comercio, la gestión, la arquitectura, la navegación, los transportes, la planifi

ión urbana y la informática. Aunque es posible encontrar varios libros «de
aplicación» para algunos de estos temas (por ejemplo, la obra Mathematics in Ma
magement, de A. Battersby) en got
tecer de la lite

ral esta área de proyectos concreta parece ca
ura de referencia que, en mi opinión, deber
silo que queremos es cı

tener, especial
icar de una manera constructiva los valores con
frecuencia implícitos que encarnan estas ideas. Esto indica claramente cómo se
dan por supuestos y se encuentran implícitos los valores en la actualidad.

5.5.3. La sociedad en el futuro

Los últimos temas ilustran la idea de proyectos que se orientan al «progreso»
delas:

edad mediante diversas aplicaciones Matemáticas, Como en el apartado

lo alterar estos proyectos para adaptarlos alas situaciones par.
ticulares de cada sociedad. Sin düda, este apartado tiene un gran alcance creat

14. 148 | Encuturaciia Matemática

vo, tanto para os enseñanes como para los
más importante, el valor del «progress dl
abordar y disc en coments onen
ternativas, no sólo opciones ecnalóicas ce
comparar futuros hipotéticos para poner DE
lua, se plantearán cuestiones polie y mor

imnos Además, y sto guid sa lo
do por as Matemáticas se puedo
pueden generar poublidades al
tradas en producto, y se pueden

Duración del jornada escola
Mejorar el rio en los rue &
Exit una longitud ea para una cal = emo
La logística delos vine iterlanctarios
Disponiblidad de aliments en mue fi
itunciön delos servicio de emergencia en acd y en el am
¿Son las Olimpíadas demasiado grandes? in
Implicaciones del clecc de sexo de ls hijo,
Los costes de la paz, x
Robörica calidad de vida,
Comparar niveles de vida

Enel casó de que ests idea pa
texto de una edcatin Mare ben
destacado que, com frecuencia las Mate
idea y tomas de decisions y que deberan soga cal CN

vismo» es un aspecto importante del progreso; ib el coils de
ig ne nan coc

drei etn en cn

de proyectos qe, en mi pint, pein am neta dee À
hs o una conciencia del poder y las limitaciones de la represen Her
plicación Matemática, y de la importancia relativa de los valores del na
progreso. Obsérvese que digo «pert i
fanaa buda cn pros oax

absurdas al lector dentro del con.
permítaseme defender su presencia
han <abierto» y democratizado

os valores del contol y el
fm enseñando La ese
ras personas, ni que el enseñante se lis er 5 E À
alumnos hagan I que mé es gust. Los proyecto pin dar le
encia critica y la exploración de valores significativos, pero todo es ias
ma enseñanza atenta y sensible. Tendré mí ee

a cosas que dec sobre
ximo capítulo, dedicado al proceso en el aul AT CASE ia
la preparación dels enschante de

10, Hudson (1987) desrbe

base de datos as

ED des wn exon recy prosa ens campo plan na

Enculturacón Matemática: e curteuo | 149
5.6. Componente cultural: basado en investigaciones

Para completar el currículo de Enculturación Matemática es necesario in
luir un tercer componente. Sin duda, los componentes simbólico y societal
fransmitirin mensajes importantes sobre el poder de as ideas Matemáticas en u
ontexto societal, pero el niño no aprenderá necesariamente mucho acerca de
"naturaleza de la actividad dentro de las Matemáticas ni sobre la génesis de las ideas
Maemáticas. Hasta cierto punto, el componente simbólico indica a los alumnos
qué ideas Matemáticas creemos que vale la pena conocer, mientras que el compo:
nente societal muestra cómo se utiliza las ideas, Necesitamos otro componente
que indique cómo, o quizá por qué, se generaron estas ideas y que permita rele
Sionar acerca de lo que son las Matemáticas. Otra manera de verla necesidad de
“darse cuenta de que se podría emplear el enca-
sos» para caracterizar los dos primeros
el que muchos parecen creer, de
in más, sino también en relación.

este componente final consiste
bezamiento «Las Matemáticas y sus
componentes y podría perpetuarse el mito,
‘que las ideas Matemáticas no sólo se descubres
on la necesidad de resolver problemas prácticos
¡de demostrar la naturaleza de las Ma-

Por lo tanto, este componente pret
temáticas como cultura, el tipo de relación con I

atemäticos y el hecho de que las ideas Matemáticas se han inventado, Está
pensado como un vehículo para explorar el valor de la «apertura» y combatir
Jos sentimientos negativos generados por el «misterio». Por lo tanto, en parte
se incluye para iniciara los alumnos en el nivel técnico de la cultura Matemá-
tica, en la medida en que sea posible hacer esto con alumnos jóvenes de una
"manera accesible. De hecho, este componente presenta dos aspectos diferen
náticas» y «Matemáticas» aunque, como
il de trazar. Como los

abstracciones que tienen los

tes que he caracterizado como «mat
veremos, la línea exacta que los separa es bastante di
os se ocupan de ideas, simbolismos, conceptos y técnicas, el sabor de este
‘Componente es bastante diferente del anterior. En vez de buscar una perspec
tiva vexterna» de las Matemáticas, aquí nos ocuparemos mucho más de crite

Sin embargo, como en el componente societal, la cobertura del componente
cultural no es un fin adecuado: el «ejemplo paradigmático» también es la base de
este apartado. Para captar el sentido de la actividad dentro de este componente
elegido la etiqueta «investigación», y mi propuesta es que el
ico debería estar basado en invest

del currículo
componente cultural del currículo Maten
gaciones.

A igual que un proyecto, una investigación es un trabajo extenso y realizado
como los proyectos). Pero se trata de un

individualmente (o en grupos pequeños

trabajo extenso de carácter Matemático cuyo objetivo es imitar algunas de las ac
tividades de los Matemáticos. En una investigación hay dos fases distintas; en pri-

mer lugar, la fase creativa e inventiva caracterizada por la exploración, el análisis

y el desartollo de ideas Matemáticas. La segunda fase se dedica a redactar un

15. 150 | Encastaación Matemática

fo
erin

me sobre la actividad realizada durante la primera fase, La primera es el «ex

to», mientras que la segunda es la reflexión y la comunicación por escri
to de ese experimento.

Hay diversos problemas, enigmas o situaciones q
vestigación inte

eden provocar una in

esante como, por ejemplo, los siguientes:

Tomemos una tripleta pitagórica cualquiera,
ros entre síy el resultado si

rá siempre cierto? ¿Por qué?

¿Qué distingue a una forma capaz de generar teselas de otra que no lo es?
Nos encontramos en una isla desierta sin materiales manufacturados de nin

nultipliquemos los tres núme.
pre será un múltiplo de 60. ¿Es eso cierto? ¿Se-

gún tipo. ¿Podemos construir una tabla de múmeros aleatorios? En caso afi.

A veces pueden surgir investigaciones de situaciones que se produce
Mi ejemplo favorito ya se ha comunicado en otra parte (Bishop, 1976) y se
a una clase en la que enseñaba fracciones y que estaba siendo grabada en
ideo. Pedí una fracción entre 1/2 y 3/4 y la clase sugirió 2/3. Pregunté cómo po.
diamos saber siesta fracción realmente se encontraba entre las otra dos y un mu.

en el

chacho contestó: «Podemos ver que sí porque en el numerador los números son
1,2,3 y en el denominador son 2, 3, 4». En este punto detengo la reproducción
de la cinta en mis clases de formación de enseñantes y pido a mis alumnos que
investiguen». ¡Siempre se origina una acalorada discusión y algunos resultados

son sorprendentes!
Por lo tanto, una investigación capta los enigmas y los retos de las ideas Ma
icas abstractas. Los participantes no se

imitan a practicar una simple téc
: actúan en un nivel intelectual mucho más elevado e incluso sugiero que re
mente hacen Matemáticas creativas. Una vez más, gran parte del éxito del
trabajo de investigación depende del enseñante, en primer lugar adaptando la si
tuación a un nivel adecuado para el niño y en segundo lu

para desarrollar la investigación con provecho. Además, el otro aspecto im.
portante de las investigaciones es que no tienen un punto final determinado.
Siempre nos podemos inventar otra dirección que emprender, u otra suposición
desde la que parti, u otra cuestión que abordar. Esto significa que las investi

igual que los proyectos, se pueden adaptar para satisfacer objetivos in

les y personales. Algunos alumnos pueden profundizar más que otros en
su trabajo de investigación y, en consecuencia, además de ofrecer una introduc
ción a «qué es ser un Matemático», para algunos alumnos este componente pue
de indicar una futura especialización de su carrera. De hecho, tal vez quieran ll
gara ser Matemáticos.

Por lo tanto, y como ocurría con el componente anterior, ls listas que se pre.
sentan a continuación son simples propuestas de i -máticas que,
en mi opinión, seria provechoso que investigaran los alumnos. La primera parte

ar trabajando con el

Encuturación Matemática: ol cuniculo | 151

es de otras culturas harán que los alumnos se
ultural del pensamiento matemático. La segu
da parte contiene ideas para investigaciones de la cultura Matemática,

conscientes de la naturaleza pa

5.6.1. Investigaciones en la cultura matemática

Métodos de con

« con el cuerpo.
Contar con los dedos,
Sistemas de contar de bas

Mapas de oras culturas.
Calendarios circulares,

Pautas de tejido de alfombras.
Meétodos empleados en cest

Los quipus,

El ábaco y el soroban,

Los gnomon y los relojes de sol

Juegos con cuerdas.

Medidas basadas en el cuerpo (codos, ete.)
Diseños de los azulejos islámicos.

Análisis de juegos de tablero.

Un buen ejemplo de investigación en este apartado es el ten
pus». Como se dijo en el capítulo 2, los q

das que se empleaban para registrar información numérica sobre muchos aspec:
tos de la vida en la civilización inca. En su libro Code of the Quipu, Marcia y
Robert Ascher muestran cómo se pueden construir y emplear quipus para repre.
sentar información numérica como las cifras del rollo de papel de una máquina

de alos qu
us son un sistema de cuerdas anuda.

registradora (pág. 24) o las horas de apertura de una estación de servicio duran.
te las próximas cuatro semanas. El ibro contiene muchos otros ejemplos de act
vidades de registro y es evidente que no sólo los niños, sino también los adultos,
pueden aprender mucho sobre la codificación de información construyendo e in
vestigando los quipus.

Otros ejemplos son los ofrecidos por la información sobre los métodos de
cestería en Mozambique recopilados por Gerdes (1985), sobre las pautas de tei
do de alfombras en África documentados por Zaslavsky (1973), sobre los mit
ples sistemas de contar de Papús-Nueva Guinea recopilados por Lean (1986) y
sobre los diseños islámicos recopilados por Bourgoin (1973). Este tipo de datos
etnográficos ofrece muchas posibilidades fascinantes y, como dice Gerdes, la ta
rea consiste en «descongelar» las ideas matemáticas que han sido «congeladas»
dentro de las muchas culturas que hay en el mundo. El objetivo es abrir las ideas

0 Ma

y hacerlas accesibles para todos, Entonces se podrá ver que el pensam
temático es el fenómeno pancultural que realmente es,

16. 152 | Encuturacién Matematica

5.6.2. Investigaciones en la cultura Matemática

Números figurados (triangular, cuadrado,
Diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras,
Secciones cónicas.

Aproximaciones racionales al valor de x.

Números de Fibonnacei

La regla de cálculo,

Probabilidades experimentales

El triángulo de Pascal

Logaritmos neperianos.

Nómeros pares e impares.

Medidas antiguas en nuestra sociedad actual

Los cuadrados mágicos.

Naturalmente, será necesario que el enseñante limite cualesquiera de estas
ideas para que puedan ser vehículos de investigación adecuados para el nivel de
los niños. También sera importante que los materiales de referencia apropiados
estén disponibles. Se pucen emplear muchos libros, incluyendo las referencias
históricas, pero a mí me gustaría recomendar especialmente: Investigations in
Mathematics, de Mottershead, Matberratical Activities, de Bolt, Thinking Mathe

‘matically, de Mason y Starting Points, de Banwell, Saunders y Tahta; todos de.
muestran y ensalzan el enfoque investigador, Obsérvese, además, que varias de
las ideas antes presentadas generan investigaciones óptimas para ser rcalizadas
con la ayuda de microordenadores.""

5.6.3. Investigaciones y valores

Otra cuestión es que sólo participando

la actividad de una investigación
Matemática podemos empezar a apreciar completamente los valores de caper
tura y «misterio» de ls ideas Matemáticas. En una investigación, y en un ni
vel adecuadamente desafiante, nunca podemos estar seguros de si estamos in
ventando o estamos descubriendo algunos resultados derivados de nuestras
invenciones, de si controlamos la investigación o si la investigación nos con.
trola a nosotros. Puede que encontremos indicios de una pauta, que empece.
mos a desarrollar una conjetura ¡y que sintamos que es verdadera! Tomemos,
por ejemplo, esta situación bien conocida que implica la suma de números im
pares

A1. Véase, por ejemplo, Some Lesions in Mathematics with Microcomputer (SLIMWAM 1 and
2 publicado por la Association of Teacher of Mathematis, Qucen Sere, Petty, Reine Unida

Encuturación Matematica: el cuniculo | 169.

14
1934
14343+7=16

Los números del deca son muy reconocibles y e pued geen acon
Entonces recordamos que los números cuadrados sc pueden representar como

cuadrados:

Figura

ised 1434523

indica a

Hens eacontao el vino, la consi a representing
do el mundo que sa suma dels primeros» númetos impares» se rel
“los números cuadrados». Hemos sabierto» el conocimiento,

lificar totalmente como una demostración en el sentido Maremáio más e
pan e exiön adecuada sea manifiesta y ex:
pcia. Y además 1 hemos hecho nosotros, Nosotros hemos establecido es
una rapid since delos mismos números? ¿De donde ban salido los

17. 154 | Encuturación Matemática

dad de los mismos números o alguien ha inventado esas categorías? ¿Qué ocurre
con las secuencias de números impares que no empiezan con uno? ¿Qué ocurre si

nos números pares? Y, ¿qué sucede bajátamos con bases diferentes
si empleáramos un sistema de símbolos diferente? ¿Obtendríamos el mismo re
sultado?

De esta manera, la investigación avanza y la naturaleza misteriosa de la acti
vidad Matemática se empieza a manifestar, Cada Matemático profesional conoce
este equilibrio entre la apertura y el misterio y vive con él, y las investigaciones
pueden ayudar a transmitir a los alumnos las emociones encontradas de la fasci
nación que produce trabajar dentro de las Matemáticas.

Una observación final se refiere al informe sobre el «experimento». Esta
cuestión es de primordial importancia en el proceso de enculturación, a causa
de su papel en el desarrollo de una comprensión del «apertura». La
investigación que se comunica debe dejar clara p er lector la situa.
ción investigada, el proceso seguido y los resultados y las conclusiones que se
han hallado. Los alumnos aprenderán acerca de la precisión y la lógica de una
presentación Matemática, ¡además del hecho de que esta forn
ción» de los resultados nt
ducido!

La redacción del «informe» tampoco se debería concebit como un ejercicio
irrelevante o carente de valor. Hoy por hoy, varias publicaciones aceptan infor
mes hechos por alumnos y cada vez se reconoce más que las investigaciones rea
lizadas en clase pueden hacer que los niños hagan aportaciones interesantes al co
nocimiento matemático general. Más importante es que los niños empezarán a
aprender que la apertura es un valor necesario en el desarrollo del análisis crit
co. Contrastando argumentos, razones, explicaciones y demostraciones, los
aprenderán los criterios de la crítica racional. En vez de ser una actividad «den
tro de las Matemáticas» e introvertida, investigar se podrá generaliza al conjun:
to de la sociedad y a cualquier forma de conocimiento,

de «demostra:
cesión de actividades que los ha pro

ca sigue las

5.7. El equilibrio en este currículo

Asi pues, éstos son los tres componentes
en interacción, de mi currículo de enculturación, y
estos tres componentes no sólo son necesarios sino que
para crear un currículo capaz de oftecer una Enculturación Matemática para to
dos los niños. Además de educarles, este currículo también conservará y estimo.
lard la cultura Matemática durante su educación. Los aspectos históricos y evo:
lutivos, tal como se ofrecen en los componentes societal y cultura, asegurarán la

puestos y
ste capítulo es que
rambién son suficientes

12. En Banvell, Sanders y Taba (196) se presentan algunos ejemplos de investigaciones te
Trad por alumnos

Encuoracin Matematica: of curious | 165.

conservación de la herencia cultural de las Matemáticas La atención a as activi:
dades relacionadas con el entorno, a los usos societales en el presente y en el fu
turo hipotético ya los aspectos creativos de las investigaciones, deberían hacer
mucho por estimular el desarrollo Matemático en las generaciones futuras. Este

culo también puede servir para reducir, ala largo lo que Kline (1980) deno-
1 «el aislamiento de las Matemáticas». Como dice este autor: «Las matemáti

invención maravillosa, pero la maravilla reside en la capacidad de la
mente humana para construir modelos comprensibles de fenómenos naturales
complejos y aparentemente inescrutables y en consecuencia, otorga al hombre
un poco de claridad y de poder» (pág. 305). Si pudiera sustituir la palabra «na
turales» por la frase «relacionadas con el entorno», suscribiría totalmente esta
afirmación.

Hay dos cuestiones más que necesitan atención antes de que, en el próximo
capitulo, pasemos a considerar el proceso interpersonal de enculturación en el
aula, En equilibrio debemos buscar entre estos tres compo:
nentes? E ido de evitar cualquier prescripción de:
tallada a causa de las abundantes variaciones societales existentes, tanto naciona
Jes como locales, ya causa de la inevitable imprecisión de la descripción y de las
superposiciones entre las ideas. Sin embargo, desde la perspectiva de Ia encultu
ración, parecería valioso hacer que los componentes «paradigmáticos y ejempla
res» fueran por lo menos tan importantes como la «cobertura» del componente
basado en actividades. No puedo ver ningún valor en el hecho de tener un currícu:
lo cuyos detalles sean completamente obligatorios. Es necesario ofrecer a los en
señantes oportunidades curriculares para personalizar el aprendizaje del niño y
para pormenorizar las actividades Matemáti
reses y antecedentes de los alumnos.

Sin embargo, de igual modo no puedo aceptar que un cu
ración se abra por complet

general, en este libro he tr

relación con los distintos inte

ulo de encultu
a la elección personal. Sin duda, un elemento obli
nportante de una experiencia de enculturación. Por
Jo tanto, mi equilibrio entre los tres componentes debería equiparar el «núcleo»
obligatorio y las opciones paradigmáticas para que tengan la oportunidad de
complementarse entre sí.

patorio debe ser una parte

Este equilibrio también se debería reflejar en cualquier procedimiento de
evaluación que se deba adoptar durante el «curso» o al final del mismo, Sin em
bargo, es indudable que en esta cuestión la interfase educación/sociedad es im
portante. Desde la perspectiva de la enculturs

iön, la evaluación es innecesaria
porque la enculturación no es algo que aprobamos o suspendemos, ¡ni es algo en
lo que podamos ser mejores que otros! La única evaluación que se puede llevar a
cabo ade ve es la del mismo proceso de enculturaciön. Así, si juzgamos
en función de lo poco que parecen comprender las Matemáticas la persona co

mün y corriente de hoy, la educación Matemática que se ofrece en la actualidad
fracasa totalmente como enculturación, La persona Matemáticamente encultura

da es una rara excepción.

18. 156 | Enculturación Matemática
5.8. El progreso a través de este currículo

La segunda cuestión aún no abordada está relacionada con la idea de pro:
presión en este currículo de enculturaciön. Es evidente que todo currículo nece.
sita algún tipo de secuencia; entonces, ¿qué criterios deberían gobernar la se
«cuencia de un currículo de enculturación?

En primer lugar, la creciente complejidad del entorno del niño debería ser un
criterio importante, El niño pasa de la dependencia total del contexto doméstico
hasta la posición de adulto independiente en el país y en el mundo, pasando por
lun entorno escolar y comunitario cada vez más amplio y complejo; por lo tanto el
currículo también debería reflejar esta creciente complejidad ambiental

Así, ala bicicleta» seria una buena fuente para una actividad de nat
Matemática mucho antes q

el automóvil», y la variedad de rutas para escapar
de un incendio en la escuela podría proporcionar a los niños pequeños una in.
troducción más motivador para los problemas de elección de rutas que la adop-
ción de un sistema de sentido único en la ciudad. De igual modo, se podrían Île
var a cabo estudios dentro de la población de la escuela antes de estudiar las
cuestiones de la «representación proporcional» y dal «voto persor
rible» dentro del contexto del gobierno nacional,

Como ya dije antes, el poder de explicar una situación sólo se transmisirá si
sa situación es bien conocida pero no necesariamente bien comprendida. No
nos debería preocupar que el niño no tenga ninguna necesidad inmediata de
comprender una bicicleta en términos Matemáticos para que monte en bicicleta
con soltura. El hecho es que el niño conoce la bicicleta lo suficiente como para
que el enseñante lo pueda motivar para comprender más sobre ella, y las ideas
Matemáticas de rotación, revoluciones, ángulos, rigidez tr lugares geo.
métricos, centro de gravedad, etc, pueden explicar una variedad de fenómenos
asociados con ese objeto familiar

le intransfe

El entorno escolar no sólo ofrece un contexto físico para la explicación Ma.
temática, sino que también ofrece,

a través de otras materias escolares, una rica
variedad de fenómenos parcialn

te estructurados. Pronto, en la vida escolar
consciente puede hacer un poderoso empleo
Matemático de los movimientos físicos delos juegos y de las actividades lúdicas,
de la naturaleza representativa de dibujos y fotografías, de la elaboración de mo:
delos, de las categorizaciones en el lenguaje, de las medidas en la cocina y en la
«costura, y de los mapas de la escuela y de la comunidad. Más adelante, y como
ya hemos comentado, las materias de ciencias, la geografía y los estudios técni
cos y sociales ofrecen muchas otras posibilidades estructuradas para la explica
ción Matemática

Por lo «

10, la creciente complejidad del entorno es un criterio importante
para la secuenciación del currículo. Otro criterio importante es el'crecimiento de
la complejidad Matemática. Las Matemáticas son una materia acumulativa, sin du
da localmente, es decir, dentro de cada una de lus actividades del componente

Enculturación Matemática: el curicuo | 187

Te que deba sr una materi ordenada de una sola manera, En los currículos di
semen desarollo dic conser node s moy
nportant el ema parece ser que ano se puede empezara casa pore tejado

De hecho el enfoque curricular basado cn tcoris del aprendizaje» sein la des

cripciin de Howson, Ketel y Kilpatrick yl enfoque dela «Matematica modera»

‘cn steven comes dele pino y nn menden

components complementos pere dices ext un bs ica pra

2 las explicaciones desa-

ordenar las ideas entre e
car», porque esta actividad, en cierta medida, se basa ct
rrolladas mediante las otras cinco actividades simbólicas.
ital se puede ordenar en función de sus u

apartados,

Él componente so
aunque algunos proyectos hisórios pueden sr más eigene, Mate
ce hablando, que algunos proyectos de los oor apartados Para el compon
Cultural no cio que haya ninguna estructura global que se importante Sin em
tres componentes. Por ejemplo, después de haber abordado las medidas del
tiempo enel componente simbólico, para el nino seria valioso participar en un
proye dedicado alos rclojes de agua y de arena o quid en una investigación
Sobre es goma y ls eles de sl» U pl más enzo podr ser
losa una investigación sobre la escccioncs cónicas» ol proyecto sobre los mo
vimicnos plantas». De hecho, otras consideraciones de ete ipo me llevan a
proponer el siuiente diagram de desarollo ira 10) en equilibrio del cure
Culo Matematico Este diagrama sta cómo consider que cambia el equilibrio
à media que el niño avanza porel currículo, desde que empieza alos 3 años de
dad hast que acaba aos 18 aos

19. 158 | Encuturación Matematica

‘Aunque el diagrama sólo sen indicativo (y, por ejemplo, no pretende impli
car que la «cantidad» de currículo Matemático que recibe un niño de 5 años de
ba ser igual que la que recibe un muchacho de 18 años), sí que refleja algunas
las investigaciones —y

cuestiones evidentes. Por ejemplo, para mí está claro qu

los proyectos— no pueden empezar a los 5 años de edad porque el al
menos, tiene que poder leer y escribir. Sin embargo, no veo ningur
la que no se puedan empezar a llevar a cabo proyectos limitados a los 8 años de

edad, probablemente como actividades de clase o de grupo y no como proyec.

tos individuales. Con todo, el contenido y el estilo de las investigaciones hacen

que, desde mi punto de vist, sean más significativas en el aspecto reflexivo pa-
hemos visto, seguramente es posible Île

var a cabo trabajos de investigación con niños más pequeños. Además, a medi

dda que el alumno madura Matemátic a del todo apropiado a

«el tiempo dedicado a proyectos e investigaciones en relación con el tiempo de

ra alumnos algo mayores aunque, e

dicado a conceptos.

Por último, el tercer criterio para la progresión en este currículo debe ser el
desarrollo de los mismos alumnos. Existe una tendencia en la literatura de la en
culturaciôn a ignorar la individualidad del niño
cculturacién deja clara la misma intención y los mismos objetivos para todos los
niños; la realización yla elaboración de estos objetivos debe depender de la indi
vidualidad de cada niño. De nuevo debo indicar que en la enculturación no hay
‘un «mínimo», no hay nada que aprobar, ningún temor a suspender, ningún crite
rio de logro necesario y ningún plazo limitado.

‘Todos los niños desarrollan sus propias personalidades, sus propios puntos
fuertes intelectuales, sus propios intereses y sus propias preferencias. La encul
turación no es algo que se hace a todos los niños: es un proceso de participación
+ interacción intencional entre cada persona individual y otras que erepresentan»
su patrimonio cultural, Por lo tanto, en el fondo la enculturación es evolutiva,

‘Asi pues, un currículo establecido sólo puede ofrecer sugerencias, criterios,
un marco de conocimientos e ideas. A una «persona ajena» le es imposible espe

car con precisión qué debe constar en el currículo para cada niño y en cada
etapa de desarrollo, po enseñante del niño es en mejor
posición para juzgarlo. Por lo tanto, cs fundamental incorporar
posibilidad y la oportunidad de dar cabida a la variación personal en cuanto a in-
tereses, antecedentes y facultades intelectuales relativas

‘Como el currículo que he propuesto está basado en tres componentes sepa.
ados pero complementarios, ofrece un equilibrio entre cobertura y oportunidad

dividual que considero adecuado para un currículo de enculturación sólido, Lo

que ahora debemos analizar y discutir es el proceso real de enculturación en el

donde se aúnan enseñante, currículo y niño, y aquí

tes donde la enculturación, como proceso, triunfa o fracasa. Este proceso inter
personales el que abordaremos a continuación.

y, aunque la perspectiva de la en

aula y en la escuela. A

6 ENCULTURACION MATEMATICA: EL PROCESO

6.1. Conceptualizar en acción el proceso de enculturación

6.1.1. ¿Qué debe implicar?

eslora loa pc del Ecce Mutis La
de la cultura Matemática para nuestros fines educ: ivos. Esta pea nos ha
ayudado comidos ee Pepe no be
esas actividades en un todo coherente. pra
se dno de omar de ona y no kan
co formalizado e institucionalizado. Naturalment de

ración Matems:
ía poner en práctica.
alumnos en un m.

también intervienen otras.
el análisis sus papeles no serán
este capítulo es la interacción interpersonal

personas, pero para no pormenorizar en exceso.
examinados, El interés esencial de
entre el ens

event yo alumnos
Ue ace poco Br emp, si
nal, que no del :

y no se del
e que no debería ser una cues.
limitarse a textos ni ser imperso
cría estar meramente orientado a la técnica ni regido exclusive:
mente por necesidades universitarias o industriales, Tampoco se deberfa dirigir

hacia la selección o el exclusivismo. En cambio, el proceso de Encult
temática debería: E ale