Enem 2015 resolução da prova de matemática

Resolução da prova de matemática do ENEM 2015 caderno amarelo do segundo dia.

1. RESOLUÇÃO DA PROVA

2. Questão: 136 - Resposta: D
Resolução
Para encontrar o valor máximo, precisamos calcular o y do vértice do polinômio

Para o polinômio em questão.

30 ≤ T=36 ≤ 43 … Alta.
Letra D.

Questão: 137 - Resposta: B
A diferença entre os comprimentos horizontal e vertical é igual à metade do comprimento
vertical.
2a – 2b = b
Dessa equação, temos: a = 3b/2.
O volume do elipsóide é dado por V = 4ab
2
= 4 (3b/2) b
2
= 6b
3

Letra B

Questão: 138 - Resposta: B
Solução
A questão nos informa o seguinte:
número de ligações valor cobrado, em reais
x ≤ 100 12
100 < x ≤ 300 12 + (x-10)*0,10
300 < x ≤ 500 32

3. Esta tabela na forma gráfica é exatamente a alternativa B. Veja, por exemplo, que para x<100
temos o valor constante de 12 reais. E para x entre 300 e 500, o valor é de 32 reais.


Questão: 139 - Resposta: B
Solução
As operações feitas pelo investidor ocorrem nos instantes imediatamentes posteriores a
t1 (critério I), t2 (critério II), t3 (critério I) e t4 (critério III).

Assim, o total de operações realizadas pelo investidor é 4 (quatro).
Em português, para os que não curtem muito o gráfico:
Um investidor inicia um dia com x ações de uma empresa, a operação na bolsa começa às
10:00.
t1 – Em seguida, o valor da ação sobe acima de Vi (Videal) e ele vende metade das ações x/2, e
fica com os x/2 restantes.
t2 – Depois o valor da ação cai abaixo do Valormínimo Vm, momento em que ele compra o
mesmo número de ações que possui, ou seja, compra x/2. Passa assim a ter x ações.
t3 – Quando o valor das ações atingir Vi, ele vende metade (x/2).
t4– Quando o valor atinge o valor ótimo ele vende tudo, ou seja, os x/2 restantes.
E fica sem nenhuma ação.
O valor das ações volta a cair, mas não atinge o valor mínimo (valor que ele compraria mais
ações), por isso que não ocorrem outros eventos.
Resposta: B

4. Questão: 140 - Resposta: A
Resposta
O raio de uma circunferência concêntrica em um triângulo equilátero é:

Letra A.
Questão: 141 - Resposta: D
Resolução
O valor pago na locadora Q é menor que o pago na locadora P quando o gráfico de Q ficar
abaixo de P e igual na intersecção. Veja as partes em vermelho:


Assim, temos de 0 a 20 e de 100 a 160.
Letra D

5. Questão: 142 - Resposta: C

Questão: 143 - Resposta: A
Solução
Primeiro vamos contar quantos contêineres cabem na Figura 2.
Comprimento: 32 ÷ 6,4 = 5 contêineres
Largura 10 ÷ 2,5 = 4
Assim, cabem 4 x 5 = 20 contêineres na superfície disponível.
Dependendo da altura do “reservatório de contêineres”da figura 2 poderemos ter várias
camadas de 20 contêineres.

6. Se quisermos armazenar 100 contêineres, precisaremos de 5 “camadas”, pois 100 ÷ 20 = 5

Após o empilhamento total da carga, a altura mínima a ser atingida será:
5 (camadas) . 2,5 m (altura de cada contêiner)= 12,5 m.
Letra A
Questão: 144 - Resposta: D
Resolução
Vemos que o comprimento real da caneta é 16,8 cm e o seu comprimento c na foto é 1,4 cm.
Podemos então estabelecer uma razão de semelhança de:
r = 16,8 / 1,4 = 12
ou seja, a foto diminui em 12 vezes o tamanho real.
Assim, basta multiplicarmos o comprimento e a largura da pegada na foto para encontrarmos
os valores reais:
Largura_pegada = 12 . 2,2 = 26,4 cm
Comprimento_pegada = 3,4 . 12 = 40,8 cm
Letra D

7. Questão: 145 - Resposta: A
Solução

O enunciado nos diz que em cada quadrado de d por d da malha, apenas uma área de (d – 1)
por (d – 1) permite a passagem de luz.
Como a taxa de cobertura é 75%, apenas 25% da luz incidente deverá passar.
Assim, sendo d > 1, temos:


Letra A
Questão: 146 - Resposta: E
Resposta: E
O máximo divisor comum de 540 = 2
2
. 3
3
. 5
1
, 810 =2
1
. 3
4
. 5
1
e 1080 = 2
3
. 3
3
. 5
1
é 270 = 2
1
.
3
3
. 5
1

O comprimento de cada peça deve ser um divisor de 270 e menor que 200 (2m), que será 135
cm.
(40×540 + 30×810 + 10×1080) / 135 = 420
Questão: 147 - Resposta: A
Resposta: A
Em uma aplicação, são utilizadas 12 unidades de insulina (10 + 2 para retirar as bolhas de ar),
portanto são consumidos 0,12 mL de insulina por aplicação.
Com um refil de 3 mL, temos:
3 mL / 0,12 mL = 25 aplicações

8. Questão: 148 - Resposta: E


Questão: 149 - Resposta: D
Resolução
A probabilidade de nenhum dos três alunos responderem à pergunta feita pelo entrevistador é
70% . 70% . 70% = 0,70. 0,70. 0,70 = 0,343 = 34,3%
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta respondida em inglês, é o
complementar desse valor:
100% – 34,3% = 65,7%
Resposta D

Questão: 150 - Resposta: C
Vemos pelos gráficos, que a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção
de tecidos e malhas, em kton é:
37,8%(têxteis). 30%(tecidos e malhas). 282(quant. PET reciclado) = 31,97
quantidade = 32
Letra C
Questão: 151 - Resposta: A

9. Questão: 152 - Resposta: D
Resolução
Embora o casal pague uma prestação todo mês, apenas 500 servem para amortizar (diminuir)
a dívida.
Então no décimo mês, o casal terá pago 9 parcelas de 500 (9.5 = 4,5 mil reais).
Assim, o saldo devedor será, em reais, de 180000 – 9 . 500 = 175500
O juro de 1% sobre este valor resulta em: 1% . 175 500 = 1755
Assim, a décima prestação é, em reais, de 500 + 1755 = 2255
Letra D



Questão: 153 - Resposta: C
Solução
mil = 1.000 = 10
3

milhão = 1.000.000= 10
6

4,129 milhões de toneladas = 4,129 . 10
6
toneladas
1 tonelada = 1000 kg = 10
3
kg
Logo
4,129 milhões de toneladas = 4,129 . 10
6
toneladas = 4,129 . 10
6.
10
3
kg = 4,129 . 10
9
kg
Letra C
Questão: 154 - Resposta: B
Solução
Para resolver essa questão, vamos, primeiramente calcular a idade da criança. Para isso
usamos os dados do remédio Y: dose_criança_Y = 14 = (idade/(idade+12)).42

Assim, basta aplicarmos esse valor na fórmula para calcular a dosagem de X:

Letra B

10. Questão: 155 - Resposta: E
Dados do enunciado:
soma dos rendimentos mensais dos 10% mais pobres correspondeu a 1,1 % do total de
rendimentos dessa população
a soma dos rendimentos mensais dos 10% mais ricos correspondeu a 44,5% desse total
A receita gerada pela população p = 101,8 milhões de brasileiros com 10 anos ou mais de
idade e que teve algum tipo de rendimento em 2010 foi R$ 1 202,00. p.
Receita dos mais pobres:
R = 1,1% receita_média.população_total = Valor recebido. 10% população total
R = 1,1%.R$1202.P = V.10%.P
V = R$ 132,22
Receita dos mais ricos
R = 44,5%.Receita.população_total = Valor recebido.10%.População total
R = 44,5%.R$ 1202.P = V. 10%P
V = R$ 5.348,90
A diferença entre as duas rendas médias:
Diferença = 5348,90 – 132,22 = 5216,68 reais.
Letra E
Questão: 156 - Resposta: C
Solução
Vamos pegar um cubo.


Em seguida, tiramos as “quinas” dele (encontro de 3 faces.):

11. Cada uma dessas quinas vira uma face triangular. Como fizemos esse procedimento em oito
“quinas”, teremos 8 faces triangulares a mais.


Quando retiramos todos os cantos do cubo, passamos a ter um sólido com 6 faces octogonais
e 8 faces triangulares.



Logo, sabemos que cada face será pintada com uma cor diferente das demais, assim serão
necessárias (6 + 8) cores = 14
cores.
Ou seja, aqui só precisamos saber quantas faces teremos, 6 faces do cubo mais 8 faces
das “quinas” recém removidas do cubo.
Letra C.
Questão: 157 - Resposta: A
Solução
Se o preço é p e a quantidade de pães vendida é q = 400 – 100p, a arrecadação média, em
reais, em função do preço p, é dada por R (p) = (400 – 100p) . p
Para que esta arrecadação seja de R$ 300,00, deve-se ter:
(400-100p).p=300
4p-p
2
=3
p
2
-4p+3=0
logo p=1 ou p=3
Sabemos que o preço atual é 3,00, já que R$ 300,00/100 = R$ 3,00
Para manter a arrecadação, o novo preço deverá ser R$ 1,00. Logo a letra a, pois 0,5 < 1 <
1,5.
Letra A

12. Questão: 158 - Resposta: A
Resolução
O enunciado nos informa:
HPV acomete 50% das pessoas não vacinadas ao longo da vidas
A vacina tem eficácia de 98%, ou seja, em 2% das pessoas a vacina não funciona
Supondo que p seja a quantidade de meninas do público-alvo do município e x a
porcentagem que deverá ser vacinada.
Queremos que a quantidade de meninas que desenvolvam a doença seja de no máximo 5,9%
da população, ou seja, 5,9%p.
Assim, temos que o HPV acomete 50% das pessoas não vacinadas, precisamos considerar
ainda os 2% nas pessoas de ineficácia da vacina, e a quantidade de pessoas que não vão
tomar a vacina (1-x). Assim, temos a seguinte equação:
Precisamos considerar:
50% das pessoas que não foram vacinadas
2% das pessoas que tomaram a vacina, mas esta não funcionou (ineficaz)
(1-x) pessoas que não tomaram a vacina.
Agora precisamos considerar que não é porque a pessoa não tomou a vacina que ela vai
desenvolver a doença (apenas 50% vai desenvolver). Da mesma forma, não é porque a vacina
não foi eficaz que ela vai desenvolver também (só 50% vai desenvolver).
Dessa forma, o cálculo será:
metade das pessoas não vacinadas + metade das pessoas cuja vacina foi ineficaz = 5,9%
da população
50%.2%x.p + 50%.(1-x).p = 5,9%p

Letra A.
Questão: 159 - Resposta: E
Solução: O número de unidades produzidas P, em função de t, corresponde, em cada ano, aos
termos de uma progressão geométrica de primeiro termo: a1 = 8000 unidades e razão q = 1,5.
Logo, a expressão que determina esse número de unidades é:

Letra E

13. Questão: 160 - Resposta: D
Solução
Para o cálculo da mediana, só consideramos os termos centrais. No caso da mediana de uma
quantidade ímpar de números ela é igual ao termo central. No caso da mediana de um número
par de números, como é o caso agora, pois temos 8 números, precisamos fazer a média dos
dois termos centrais.
Em ordem crescente, os tempos, em segundos, são 20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90, 20,90;
20,90 e 20,96.
Os dois termos centrais deste rol são 20,80 e 20,90 e, portanto, a mediana: (20,80 + 20,90) /2
= 20,85.
Letra D
Questão: 161 - Resposta: A

Questão: 162 - Resposta: C
Resolução
Precisamos encontrar o máximo dividor comum entre 400 e 320.
m.d.c. (400; 320) = 80
Cada escola será contemplada com 80 ingressos; dessa forma, os 720 ingressos serão
distribuídos para 9 escolas.
Letra C

Questão: 163 - Resposta: C
Solução
A cisterna atual tem 1 m de raio na base e 3 m de altura.
Os condôminos querem fazer uma nova cisterna com 81 m
3
de volume, 3 m de altura e raio R,
em metros, tal que
π. R
2
. 3 = 81; assim, para π = 3, deve-se ter:
3 . R
2
. 3 = 81
R
2
= 9
⇒
R = 3
Dessa forma com o novo raio de 3, o aumento, em metros, no raio da cisterna deve ser 3 – 1 =
2
Letra C

14. Questão: 164 - Resposta: C

Questão: 165 - Resposta: E
Resolução
Primeiro vamos relembrar as propriedades dos logaritmos:

Agora, tomemos os pontos do gráfico que vão nos ajudar a resolver a questão. Queremos
ter uma relação entre h e n (como a questão pede). Para isso, vamos estabelecer um ponto
de abscissa x (rosa), no gráfico, e um ponto de abscissa x+n (verde).

15. Agora juntando a abscissa e a ordenada, temos os pontos:
ponto rosa: (x, -h/2)
ponto verde: (x+n, h/2).
(para os daltônicos, rosa está na esquerda inferior e verde na direita superior)
Como os pontos estão na curva y = log(x), podemos aplicar a equação para encontrar as
equações:
(eq. 1)
(eq. 2)
Somando as equações 1 e 2, temos:
logx + log (x+n) = 0
Propriedades da soma de log:
logx + log (x+n) = log[x.(x+n)]=0
Logo, x.(x+n) = 10
0
=1
x
2
+nx-1=0
Resolvendo por Báskara:

16. O valor negativo de x não existe pela nossa hipótese
Logo,

Usando a eq. 2:

Substituindo o x:

Letra E
Questão: 166 - Resposta: B

17. Questão: 167 - Resposta: D
SOLUÇÃO CORRETA
Antes de tudo, é uma boa ideia assumirmos que a chuva é uniforme, nada de ventos muito
fortes (em tornados é impossível medir o índice pluviométrico através dessa metodologia).
Neste caso, vamos mostrar que a chuva vai ter a mesma altura em um copo cilíndrico,
numa piscina, ou num cubo de 1m
2
. Sabe por quê? Simplesmente porque a chuva é uniforme.
A grandeza física que mede a “uniformidade” de um parâmetro é o fluxo. O fluxo mássico é
uma variável que depende da massa, da área e do tempo. Ele define quanta massa (quantos
gramas de chuva) passa por uma área em um determinado tempo. O fluxo não vai mudar
se a área for cilíndrica ou quadrada. E o fluxo da chuva dependerá de outros fatores climáticos
como características da nuvem, temperatura e vento.

Veja que intuitivamente você sabe que as gotas de chuva caem de maneira uniforme ao seu
redor. Essa é a definição mais clara do fluxo, um exemplo disso é a uniformidade das gotas na
superfície de um lago.

Assim, no pluviômetro da questão 1/3 da altura foi completada, 1/3.1200 = 400 mm. Esse seria
o mesmo valor de altura que seria obtido no cubo. Veja a seguir:

altura = 400 mm

18. No pluviômetro profissional, a altura medida em um cilindro é o índice pluviométrico. Ninguém
precisa passar esse volume para um cubo de 1m x 1m (o que é, na verdade, um absurdo).
Assim, se encheu 100 mm no tubo, teremos 100 mm de chuva no cubo e são esses 100 mm
que a moça do tempo vai falar na televisão.
SOLUÇÃO INCORRETA (gabarito oficial)
Primeiro, vamos calcular o volume do líquido na lata. A lata é cilíndrica, com raio 300 mm e
altura 1200 mm, entretanto apenas 1/3 da altura está ocupada. Vamos lembrar que o volume é
V = Base * Altura = Base * (1/3.altura total) = (π.r
2
)* (1/3.altura total).

Este é o volume da chuva que caiu ma lata. Se colocarmos esse mesmo líquido em um cubo
de 1 m de aresta (1000 mm), poderemos calcular qual altura esse volume teria no cubo
fazendo uma igualdade entre os dois volumes.
H.1000.1000 = 108.000.000 mm
3

Assim, H = 108 mm. Por essa resolução, o índice pluviométrico seria 108 mm. Mas não é
assim que se calcula índice pluviométrico!
Gabarito OFICIAL incorreto: Letra D.
Possível ideia (não explicada) do examinador
A única maneira de essa questão fazer sentido seria se a área de abertura da lata fosse a
mesma área superior do cubo. Ou seja, a lata teria uma abertura superior com as dimensões
do cubo, veja o esquema a seguir. Assim, poderíamos transferir o volume.

19. Questão: 168 - Resposta: E

Questão: 169 - Resposta: C
Queremos o valor mínimo de | x – 3 |. A solução é testar cada uma das alternativas.
| 2,099 – 3 | = 0,901
| 2,96 – 3 | = 0,04
| 3,021 – 3 | = 0,021
| 3,07 – 3 | = 0,07
| 3,10 – 3 | = 0,10
Resposta: C

20. Questão: 170 - Resposta: A
Solução
São 9 poltronas que devem ser escolhidas por 7 pessoas.
O primeiro passageiro da família tem 9 opções, o segundo 8, o terceiro 7, o quarto 6, o quinto
5, o quarto 4 opções e o último 3 opções de poltronas.
9x8x7x6x5x4x3 = 9! / 2!
Resposta: A
Questão: 171 - Resposta: B
A área ocupada pela nova piscina deve ser menor que a ocupada pela piscina já existente,
então:

R2 < 800, logo R<28, porque R precisa ser natural e:
28
2
< R2 < 29
2

Letra B
Questão: 172 - Resposta: D
Solução
1 copo 150 ml a cada meia hora
2 copos de 150 ml a cada hora = 300 ml por hora
Regra de 3:
300 ml – 1 hora
x – 10 horas
x = 300*10 ml = 3000 ml = 3 L
Logo ela deve comprar duas garradas de 1,5 litros.
Letra D
Questão: 173 - Resposta: B
Resolução
Como o felino tem 3,0 kg de massa, sua área corporal é 0,208 m
2
.
Como a dosagem diária do medicamento deve ser 250 mg por metro quadrado de superfície
corporal, podemos fazer uma regra de 3:
250 mg —- 1 m2 de área corporal
x mg —- 0,208 m2 de área corporal
x = 0,208*250 = 52 mg
Letra B

21. Questão: 174 - Resposta: E
Resolução
O reservatório deve ser suficiente para abastecer 10 pessoas x 20 dias x 0,08 m3 de água.
10 x 20 x 0,08 = 16 m
3

Como 1m
3
= 1000L, são necessários 16000L.
Letra E
Questão: 175 - Resposta: E

Questão: 176 - Resposta: D
Solução
O mês de produção máxima ocorre quando o preço é mais baixo. O valor mínimo de P(x)
ocorre quando o cosseno em questão é mínimo, ou seja, igual a -1.

Isso ocorre quando o ângulo é pi:

22. X=7 corresponde ao mês de julho.
Letra D
Questão: 177 - Resposta: E
Solução
Vejamos que a cartão da mesa é 6/8 que é igual a 6/8 = 3/4 = 75% = 0,75
Assim, temos três possibilidades de pares, as cartas: 3/4, 75% e 0,75.
Essa questão é simplesmente a manipulação de frações.
Letra E.
Questão: 178 - Resposta: B

Questão: 179 - Resposta: C
Solução
O volume total do recipiente é 10x10x20 = 2000 cm
3
.
A mistura de chocolate, depois de congelada, aumentará de 25%. 1000x(1 + 25%) = 1250.
Após isso, será colocado um volume V para que após o congelamento, ele ocupe o restante do
recipiente (750cm
3
).
Vx(1 + 25%) = 750
V = 750 / 1,25 = 600 cm
3
Resposta: C
Questão: 180 - Resposta: C
São 20 possibilidades em um universo de 100, portanto 20 / 100.
Resposta: C