Equações Algébricas e Transcendentes - Isolamento de Raízes - @professorenan

1. Equações Algébricas e Transcendentes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Zero Reais de Funções Reais

2. O que é uma Equação Algébrica? Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

3. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = . O que é uma Equação Algébrica? Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .

4. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O que é uma Equação Algébrica? As incógnitas são submetidas apenas às chamadas operações algébricas, ou seja, soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação, utilizando letras e números. Por exemplo: Um caso particular deste tipo de equações são as equações polinomiais.

5. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares O grau do polinômio, será também o grau da equação. Exemplo: 3x 4 - 2x 3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau. O que é uma Equação Algébrica?

6. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes. Exemplo: A equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes, a saber : x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.

7. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b. Exemplo: Para abaixar o grau de uma equação, divide-se P(x ) por x - b , aplicando Briot-Ruffini . Briot - matemático inglês - 1817/1882 e Ruffini - matemático italiano - 1765/1822.

8. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Se o número complexo (a + bi) for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado (a – bi) também será  raiz. Exemplo: Qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os  números 5 , 3 + 2i   e 4 - 3i ? Ora, por essa propriedade, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, pela primeira propriedade, conclui-se que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui, no mínimo, 5 raízes.  

9. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k. Exemplo: A equação x 3 = 0, possui três raízes iguais a 0, ou seja, três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas). A equação do segundo grau x 2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x’ = x’’ = 4). Dizemos, então, que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.

10. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula , então a unidade é raiz da equação (1 é raiz). Exemplo: O número 1 é raiz de 40x 5 -10x 3 + 10x - 40 = 0 , pois a soma dos coeficientes é igual a zero .

11. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável . Exemplo: A equação 3x 5 + 4x 2 = 0 possui duas raízes nulas. A equação x 100 + x 12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas!

12. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Propriedades de uma equação algébrica O que é uma Equação Algébrica? Se x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n são raízes da equação a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada : a o (x - x 1 ) . (x - x 2 ) . (x - x 3 ) . ... . (x - x n ) = Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau , então podemos escrever : (x+1 ).( x-2 ).( x-53 )= 0 , que desenvolvida fica : x 3 - 54x 2 + 51x + 106 =

13. O que é uma Equação Transcendente? Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

14. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares. O que é uma Equação Transcendente?

15. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares De modo geral, uma equação transcendente não possui uma solução exata expressa através de funções conhecidas, sendo necessário recorrer ao cálculo numérico para obter uma solução. O que é uma Equação Transcendente?

16. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares As equações transcendentes mais comuns que aparecem são: O que é uma Equação Transcendente? E quações logarítmicas com combinações do logaritmo e da incógnita. Equações trigonométricas em que a incógnita aparece tanto como argumento de uma função trigonométrica quanto independente. Ex.: Equação de Kepler, x - a sin (x) = b . E quações exponenciais em que a incógnita e sua exponencial são somadas. Ex : na modelagem de um circuito elétrico, um diodo e uma resistência.

17. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplos de Equações Transcendentes: O que é uma Equação Transcendente?      

18. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplos de Equações Transcendentes: O que é uma Equação Transcendente?    

19. Zeros de Funções Reais Introdução Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x)=0. Consideremos, por exemplo, o seguinte circuito: Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Kirchoff’s Law

20. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Estruturas Isostáticas

21. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

22. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

23. Zeros de Funções Reais Introdução Serão analisados os casos dos Zeros Reais da função f(x)=0. Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

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25. Zeros de Funções Reais Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Como obter raízes reais de uma equação qualquer?

26. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Sabemos que, para algumas equações, como por exemplo às equações polinomiais do segundo grau , existem fórmulas explicitas que nos mostram as raízes em função dos coeficientes ( Bháskara , por exemplo). No entanto, no caso de polinômios de grau mais elevado e no caso de funções mais complicadas, é praticamente impossível se achar zeros exatamente.

27. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares A ideia central destes métodos numéricos é partir de uma aproximação inicial para a raiz ( um intervalo onde imaginamos a raiz estar contida) e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.

28. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Por isso, temos que encontrar aproximações para esses zeros (soluções numéricas ), mas isto não é uma limitação muito séria, pois , com os métodos que veremos, vamos conseguir encontrar os zeros de uma função com qualquer precisão prefixada.

29. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou transcendente, algumas etapas devem ser seguidas: Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o menor possível, que contenha a raiz; 2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema. Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da seguinte maneira: 3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções disponíveis em algumas calculadoras ou softwares matemáticos.

30. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

31. Zeros de Funções Reais Introdução Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

32. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x). É importante ressaltar que o sucesso da fase II depende fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica, usamos frequentemente o T eorema de Bolzano : Seja f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos deste intervalo, isto é, f ( a ) . f ( b ) < 0, então existe pelo menos uma raiz real de f(x), ( x = ), no intervalo [ a ; b ].   Pois (+)×(+) → (+), (-)×(-) → (+); (+)×(-) ou (-)×(+) → (-)

33. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:

34. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Graficamente, temos:

35. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Se f(a ) . f(b ) > 0, pode-se ter outras situações no intervalo estudado, como as mostradas abaixo:

36. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Observação: Sob as hipóteses do Teorema de Bolzano, se f’( x) existir, preservando sinal dentro de (a, b ), então este intervalo contém um único zero de f(x). Graficamente, temos:

37. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

38. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x ) mudou de sinal.

39. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Primeira análise: Construindo uma tabela de valores para f(x) e considerando apenas os sinais, temos:      

40. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Assim, f(x) é cont í nua para . = [-5, -3] = [0, 1] = [2, 3]  

41. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 1: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:   Como f(x) é um polinômio de 3º grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x); assim, localizamos todas as raízes de f(x)=0. Uma segunda análise da função, por meio do sinal da sua derivada, não se faz necessário, neste exemplo, tendo em vista sua trivialidade. Veja:

42. Zeros de Funções Reais Fase I: Análise Gráfica Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Pode-se utilizar um dos seguintes processos:

43. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 2: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:  

44. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método (i): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

45. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método ( ii ): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

46. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes. Método ( ii ): Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares  

47. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 3: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função: -2  

48. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 3: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :            

49. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 3: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :

50. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 3: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :  

51. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 4: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:  

52. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 4: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :            

53. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 4: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:        

54. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 4 : Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :  

55. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 5: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:  

56. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 5: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :            

57. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 5: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função:    

58. Zeros de Funções Reais Fase I: Isolamento das Raízes Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Exemplo 5: Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes da função ( Método ii ) :  

59. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

60. Exercícios Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares Determinar quantas e em quais intervalos são e estão as raízes das funções abaixo:          

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