Equações e inequações trigonométricas

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1. Equações e inequações trigonométricas
Veja como resolvê-las
Carlos Alberto Campagner*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação
1. Equações trigonométricas

Normalmente as equações trigonométricas dependem de algumas identidades fundamentais e
também de reduções básicas dos arcos ao primeiro quadrante.

Identidades fundamentais e derivações básicas
(note-se que a primeira delas é a equação fundamental da trigonometria):



As reduções básicas ao primeiro quadrante são:

Para o seno:



Pela figura acima pode-se notar que:
sin(π – α) = sin α

da mesma maneira:
sin(π + α) = –sin α
sin(2π – α) = –sin α

Analogamente:
cos(π – α) = –cos α
cos(π + α) = –cos α
cos(2π + α) = cos α

e
tan(π – α) = –tan α
tan(π + α) = tan α
tan(2π + α) = –tan α

2. Algoritmo de resolução

Existem várias maneiras de se resolver uma equação trigonométrica, das quais podemos
destacar algumas. Eis alguns exemplos, para o caso de haver somente uma incógnita, ou seja,
um ângulo a ser encontrado:

a) A equação apresenta mais de uma função trigonométrica envolvida. Neste caso, utilizam-se
as identidades fundamentais e eventuais relações derivadas que se fizerem necessárias.

Exemplo:
tan α + cot α = 2 com 0 ≤ α ≤ 2π

- tenta-se reduzir todos os termos a seno e cosseno:


- tenta-se reduzir a equação a termos mais simples:


lembrando a equação fundamental temos:


2 sin α cos α = 1

Lembrando que temos uma relação derivado onde:
sin 2 α = 2sin α cos α

Teremos: sin 2 α = 1 ∴ 2 α = 90
o
e α = 45
o


Devemos lembrar também que para valores de sin2 α ≠ 1 (inclusive para sin2 α = 0), teremos
sempre dois valores do ângulo para o intervalo considerado (0 ≤ α ≤ 2π), no primeiro e
segundo quadrantes (v. acima, a primeira redução básica do seno).

b) A equação apresenta apenas uma função trigonométrica. Neste caso, podemos resolver a
equação por meio de uma mudança de variável.

Exemplo:
2 sin
2
α + 5 sin α = 3 com α ∈ |R

Substitui-se sin α = y:
2y
2
+ 5y – 3 = 0

Resolve-se a equação de segundo grau em y:

3. Retornando a substituição:
y = sin α – 3 = sin α → não serve pois –1 ≤ sin α ≤ 1


2. Inequações trigonométricas

As inequações trigonométricas seguem as mesmas técnicas de resoluções que as equações. A
resposta, porém, deve levar em consideração o círculo trigonométrico.

Por exemplo:

a) Para o seno:

Suponhamos que após a aplicação dos algoritmos propostos acima resulte:


Nosso ângulo de referência será .

Mais uma vez, utilizando a primeira redução acima, teremos como outra solução:


Observando então o círculo trigonométrico, tendo assinalado


e

4. Para que o seno seja maior ou igual precisa estar entre 45
o
e 135
o
, então:


b) Para o cosseno:


O círculo trigonométrico ficará para :
Nosso outro valor de referência é (v. acima reduções para o cosseno).